Definisi probabilitas klasik dan statistik

Untuk kegiatan praktis, perlu untuk dapat membandingkan peristiwa menurut tingkat kemungkinan terjadinya. Mari kita pertimbangkan kasus klasik. Sebuah guci berisi 10 bola, 8 di antaranya berwarna putih dan 2 lainnya berwarna hitam. Jelas, kejadian “sebuah bola putih akan diambil dari guci” dan kejadian “sebuah bola hitam akan diambil dari guci” memiliki derajat kemungkinan yang berbeda untuk kejadiannya. Oleh karena itu, untuk membandingkan peristiwa, diperlukan ukuran kuantitatif tertentu.

Ukuran kuantitatif kemungkinan terjadinya suatu peristiwa adalah kemungkinan . Yang paling banyak digunakan adalah dua definisi probabilitas suatu peristiwa: klasik dan statistik.

Definisi klasik probabilitas terkait dengan gagasan hasil yang menguntungkan. Mari kita membahas ini secara lebih rinci.

Biarkan hasil dari beberapa tes membentuk kelompok kejadian yang lengkap dan memiliki kemungkinan yang sama, mis. secara unik mungkin, tidak konsisten dan sama-sama mungkin. Hasil seperti itu disebut hasil dasar, atau kasus. Dikatakan bahwa tes direduksi menjadi bagan kasus atau " skema guci", karena setiap masalah probabilistik untuk tes semacam itu dapat diganti dengan masalah yang setara dengan guci dan bola dengan warna berbeda.

Keluaran disebut baik peristiwa TETAPI jika terjadinya kasus ini menyebabkan terjadinya peristiwa TETAPI.

Menurut definisi klasik peluang kejadian A sama dengan rasio jumlah hasil yang mendukung peristiwa ini dengan jumlah total hasil, yaitu

,

(1.1)

di mana P(A)- peluang suatu kejadian TETAPI; m- jumlah kasus yang menguntungkan untuk acara tersebut TETAPI; n adalah jumlah kasus.

Contoh 1.1. Saat melempar dadu, enam hasil mungkin terjadi - kehilangan 1, 2, 3, 4, 5, 6 poin. Berapa peluang mendapatkan poin genap?

Keputusan. Semua n= 6 hasil membentuk kelompok lengkap peristiwa dan sama-sama mungkin, yaitu secara unik mungkin, tidak konsisten dan sama-sama mungkin. Acara A - "munculnya jumlah poin genap" - disukai oleh 3 hasil (kasus) - kehilangan 2, 4 atau 6 poin. Menurut rumus klasik untuk peluang suatu kejadian, kita peroleh

P(A) = = . ◄

Berdasarkan definisi klasik probabilitas suatu peristiwa, kami mencatat sifat-sifatnya:

1. Probabilitas suatu peristiwa terletak antara nol dan satu, mis.

0 ≤ R(TETAPI) ≤ 1.

2. Probabilitas suatu kejadian tertentu sama dengan satu.

3. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.

Seperti disebutkan sebelumnya, definisi klasik probabilitas hanya berlaku untuk peristiwa yang dapat muncul sebagai hasil percobaan yang memiliki simetri hasil yang mungkin, yaitu. direduksi menjadi skema kasus. Namun, ada kelas besar kejadian yang probabilitasnya tidak dapat dihitung menggunakan definisi klasik.

Misalnya, jika kita berasumsi bahwa koin diratakan, maka jelas bahwa peristiwa "penampilan lambang" dan "penampakan ekor" tidak dapat dianggap sama mungkinnya. Oleh karena itu, rumus untuk menentukan peluang menurut skema klasik tidak berlaku dalam kasus ini.

Namun, ada pendekatan lain untuk menilai probabilitas kejadian, berdasarkan seberapa sering kejadian tertentu akan terjadi dalam tes yang dilakukan. Dalam hal ini, definisi statistik probabilitas digunakan.

Probabilitas Statistikkejadian A adalah frekuensi relatif (frekuensi) terjadinya kejadian ini dalam n pengujian yang dilakukan, yaitu

,

(1.2)

di mana R * (A) adalah probabilitas statistik dari suatu kejadian TETAPI; w(A) adalah frekuensi relatif dari kejadian TETAPI; m adalah jumlah percobaan di mana peristiwa itu terjadi TETAPI; n adalah jumlah percobaan.

Tidak seperti probabilitas matematis P(A) dipertimbangkan dalam definisi klasik, probabilitas statistik R * (A) adalah karakteristik berpengalaman, eksperimental. Dengan kata lain, probabilitas statistik suatu peristiwa TETAPI nomor itu dipanggil, relatif terhadap mana frekuensi relatif distabilkan (ditetapkan) w(A) dengan peningkatan tak terbatas dalam jumlah pengujian yang dilakukan di bawah rangkaian kondisi yang sama.

Misalnya, ketika mereka mengatakan tentang seorang penembak bahwa ia mengenai target dengan probabilitas 0,95, ini berarti bahwa dari seratus tembakan yang ditembakkan olehnya dalam kondisi tertentu (target yang sama pada jarak yang sama, senapan yang sama, dll. . ), rata-rata ada sekitar 95 yang berhasil. Secara alami, tidak setiap seratus akan memiliki 95 tembakan yang berhasil, kadang-kadang akan ada lebih sedikit, kadang-kadang lebih, tetapi rata-rata, dengan pengulangan pemotretan yang berulang dalam kondisi yang sama, persentase pukulan ini akan tetap tidak berubah. Angka 0,95 yang menjadi indikator skill si penembak biasanya sangat stabil, yaitu persentase pukulan di sebagian besar penembakan akan hampir sama untuk penembak tertentu, hanya dalam kasus yang jarang terjadi menyimpang secara signifikan dari nilai rata-ratanya.

Kerugian lain dari definisi klasik tentang probabilitas ( 1.1 ), yang membatasi penggunaannya adalah bahwa ia mengasumsikan sejumlah kemungkinan hasil tes yang terbatas. Dalam beberapa kasus, kekurangan ini dapat diatasi dengan menggunakan definisi geometris probabilitas, yaitu. menemukan probabilitas mengenai suatu titik di area tertentu (segmen, bagian dari pesawat, dll.).

Biarkan sosok datar g merupakan bagian dari bangun datar G(Gbr. 1.1). Pada gambar G sebuah titik dilempar secara acak. Ini berarti bahwa semua titik di area G"sama" dalam kaitannya dengan memukulnya dengan titik acak yang dilemparkan. Asumsikan bahwa peluang suatu kejadian TETAPI- memukul titik yang dilempar pada sosok g- sebanding dengan luas gambar ini dan tidak tergantung pada lokasinya relatif terhadap G, bukan dari bentuk g, Temukan

Kemungkinan peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang mendukung peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa ini dapat terjadi. Probabilitas suatu peristiwa A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama dari kata Prancis probabilite - probabilitas). Menurut definisi
(1.2.1)
di mana jumlah hasil dasar yang mendukung peristiwa A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar yang sama dari pengalaman, membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul pada tahap awal pengembangan teori probabilitas.

Peluang suatu kejadian memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. Probabilitas suatu kejadian tertentu sama dengan satu. Mari kita tentukan acara tertentu dengan surat itu. Untuk acara tertentu, oleh karena itu
(1.2.2)
2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol. Kami menunjukkan peristiwa yang mustahil dengan surat itu. Untuk peristiwa yang mustahil, oleh karena itu
(1.2.3)
3. Probabilitas suatu kejadian acak dinyatakan sebagai bilangan positif kurang dari satu. Karena pertidaksamaan , atau dipenuhi untuk kejadian acak, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti dari hubungan (1.2.2) -(1.2.4).

Contoh 1 Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 di antaranya berwarna merah dan 6 berwarna biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?

Keputusan. Kejadian "bola yang ditarik ternyata berwarna biru" akan dilambangkan dengan huruf A. Tes ini memiliki 10 kemungkinan hasil elementer yang sama, 6 di antaranya mendukung kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita peroleh

Contoh 2 Semua bilangan asli dari 1 hingga 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah benar-benar mencampur kartu, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang terambil adalah kelipatan 5?

Keputusan. Dilambangkan dengan A kejadian "angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5". Dalam tes ini, ada 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, 6 di antaranya mendukung kejadian A (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu,

Contoh 3 Dua dadu dilempar, jumlah poin pada wajah atas dihitung. Temukan peluang kejadian B, yang terdiri dari fakta bahwa permukaan atas kubus akan memiliki total 9 poin.

Keputusan. Ada 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama dalam percobaan ini. Acara B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), so

Contoh 4. Sebuah bilangan asli tidak lebih dari 10 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan ini adalah prima?

Keputusan. Dilambangkan dengan huruf C peristiwa "bilangan yang dipilih adalah prima". Dalam hal ini, n = 10, m = 4 (bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan

Contoh 5 Dua koin simetris dilempar. Berapa peluang bahwa kedua koin memiliki angka di sisi atas?

Keputusan. Mari kita tunjukkan dengan huruf D peristiwa "ada angka di sisi atas setiap koin". Ada 4 kemungkinan hasil dasar yang sama dalam tes ini: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) berarti bahwa pada koin pertama ada lambang, pada yang kedua - angka). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka

Contoh 6 Berapa peluang bahwa angka-angka dalam dua angka yang dipilih secara acak adalah sama?

Keputusan. Angka dua digit adalah angka dari 10 hingga 99; total ada 90 angka seperti itu. 9 angka memiliki angka yang sama (ini adalah angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka
,
di mana A adalah peristiwa "angka dengan angka yang sama".

Contoh 7 Dari huruf kata diferensial satu huruf dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa huruf ini akan menjadi: a) vokal b) konsonan c) huruf h?

Keputusan. Ada 12 huruf dalam kata diferensial, 5 di antaranya adalah vokal dan 7 adalah konsonan. Surat h kata ini tidak. Mari kita tunjukkan peristiwa: A - "vokal", B - "konsonan", C - "huruf h". Jumlah hasil dasar yang menguntungkan: - untuk peristiwa A, - untuk peristiwa B, - untuk peristiwa C. Karena n \u003d 12, maka
, dan .

Contoh 8 Dua buah dadu dilempar, jumlah titik pada sisi atas setiap dadu dicatat. Tentukan peluang munculnya kedua dadu dengan jumlah poin yang sama.

Keputusan. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Secara total terdapat kemungkinan hasil elementer yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Jadi peluang yang diinginkan

Contoh 9 Buku itu memiliki 300 halaman. Berapa peluang bahwa halaman yang dibuka secara acak akan memiliki nomor urut yang merupakan kelipatan 5?

Keputusan. Dari kondisi masalah ini, akan ada n = 300 dari semua kemungkinan hasil elementer yang sama yang membentuk kelompok lengkap peristiwa.Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya peristiwa yang ditentukan. Memang, suatu bilangan yang merupakan kelipatan 5 memiliki bentuk 5k, di mana k adalah bilangan asli, dan , dari mana . Karena itu,
, di mana A - peristiwa "halaman" memiliki nomor urut yang merupakan kelipatan 5".

Contoh 10. Dua dadu dilempar, jumlah poin pada wajah atas dihitung. Apa yang lebih mungkin untuk mendapatkan total 7 atau 8?

Keputusan. Mari kita tentukan acaranya: A - "7 poin jatuh", B - "8 poin jatuh". Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B - oleh 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Ada n = 6 2 = 36 dari semua kemungkinan hasil elementer yang sama. dan .

Jadi, P(A)>P(B), yaitu, mendapatkan total 7 poin lebih mungkin terjadi daripada mendapatkan total 8 poin.

tugas

1. Sebuah bilangan asli tidak lebih dari 30 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan ini adalah kelipatan 3?
2. Di dalam guci sebuah merah dan b bola biru dengan ukuran dan berat yang sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Sebuah bilangan yang tidak lebih dari 30 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan tersebut adalah pembagi dari zo?
4. Di dalam guci sebuah biru dan b bola merah dengan ukuran dan berat yang sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini berwarna merah. Kemudian bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan asli tidak lebih dari 50 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan ini adalah prima?
6. Tiga dadu dilempar, jumlah poin pada sisi atas dihitung. Apa yang lebih mungkin - untuk mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga dadu dilempar, jumlah poin yang dijatuhkan dihitung. Apa yang lebih mungkin untuk mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?

jawaban

1. 1/3. 2 . b/(sebuah+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(sebuah+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitas mendapatkan total 9 poin; p 2 \u003d 27/216 - probabilitas mendapatkan total 10 poin; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

pertanyaan

1. Apa yang disebut peluang suatu kejadian?
2. Berapa peluang suatu kejadian tertentu?
3. Berapa peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi?
4. Berapakah batas peluang suatu kejadian acak?
5. Berapakah batas peluang suatu kejadian?
6. Apa definisi probabilitas yang disebut klasik?

Probabilitas suatu peristiwa dipahami sebagai beberapa karakteristik numerik dari kemungkinan terjadinya peristiwa ini. Ada beberapa pendekatan untuk menentukan probabilitas.

Peluang suatu kejadian TETAPI adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua kemungkinan hasil elementer yang sama-sama tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap. Jadi peluang suatu kejadian TETAPI ditentukan oleh rumus

di mana m adalah jumlah hasil dasar yang disukai TETAPI, n- jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes.

Contoh 3.1. Dalam percobaan pelemparan sebuah dadu, banyaknya semua hasil n adalah 6 dan semuanya sama-sama mungkin. Biarkan acara TETAPI berarti munculnya bilangan genap. Kemudian untuk kejadian ini, hasil yang menguntungkan adalah munculnya angka 2, 4, 6. Jumlahnya adalah 3. Oleh karena itu, peluang kejadian tersebut TETAPI adalah sama dengan

Contoh 3.2. Berapa peluang bahwa angka-angka dalam dua angka yang dipilih secara acak adalah sama?

Angka dua digit adalah angka dari 10 hingga 99, total ada 90 angka seperti itu. 9 angka memiliki angka yang sama (ini adalah angka 11, 22, ..., 99). Karena dalam hal ini m=9, n=90, maka

di mana TETAPI- acara, "angka dengan angka yang sama."

Contoh 3.3. Ada 7 bagian standar dalam banyak 10 bagian. Temukan probabilitas bahwa ada 4 bagian standar di antara enam bagian yang dipilih secara acak.

Jumlah total hasil dasar yang mungkin dari tes sama dengan jumlah cara di mana 6 bagian dapat diekstraksi dari 10, yaitu, jumlah kombinasi 10 elemen dari 6 elemen. Tentukan jumlah hasil yang mendukung peristiwa yang menarik bagi kita TETAPI(di antara enam bagian yang diambil, 4 adalah standar). Empat bagian standar dapat diambil dari tujuh bagian standar dengan cara; pada saat yang sama, sisa 6-4=2 bagian harus non-standar, tetapi Anda dapat mengambil dua bagian non-standar dari 10-7=3 bagian non-standar dengan cara yang berbeda. Jadi, banyaknya hasil yang menguntungkan adalah .

Maka peluang yang diinginkan sama dengan

Sifat-sifat berikut mengikuti dari definisi probabilitas:

1. Probabilitas suatu kejadian tertentu sama dengan satu.

Memang, jika acara tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes dasar mendukung acara tersebut. Dalam hal ini m=n, maka

2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.

Memang, jika acara itu tidak mungkin, maka tidak ada hasil dasar dari percobaan yang mendukung acara tersebut. Dalam hal ini berarti

3. Probabilitas suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Memang, hanya sebagian dari jumlah total hasil dasar tes yang menyukai peristiwa acak. Pada kasus ini< m< n, berarti 0 < m/n < 1, yaitu 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Konstruksi teori probabilitas yang lengkap secara logis didasarkan pada definisi aksiomatik dari peristiwa acak dan probabilitasnya. Dalam sistem aksioma yang diusulkan oleh A. N. Kolmogorov, konsep yang tidak ditentukan adalah peristiwa dan probabilitas dasar. Berikut adalah aksioma yang mendefinisikan probabilitas:

1. Setiap acara TETAPI diberi bilangan real non-negatif P(A). Angka ini disebut peluang kejadian. TETAPI.

2. Probabilitas suatu kejadian tertentu sama dengan satu.

3. Probabilitas terjadinya paling sedikit satu dari kejadian-kejadian yang tidak kompatibel berpasangan sama dengan jumlah dari probabilitas dari kejadian-kejadian tersebut.

Berdasarkan aksioma ini, sifat-sifat probabilitas dan hubungan di antara mereka diturunkan sebagai teorema.

Pertanyaan untuk pemeriksaan diri

1. Apa nama karakteristik numerik dari kemungkinan suatu peristiwa?

2. Apa yang disebut peluang suatu kejadian?

3. Berapa peluang suatu kejadian tertentu?

4. Berapa peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi?

5. Berapakah batas peluang suatu kejadian acak?

6. Berapakah batas peluang suatu kejadian?

7. Apa definisi probabilitas yang disebut klasik?

LEMBAGA PENDIDIKAN KOTA

GYMNAS No.6

pada topik "Definisi klasik dari probabilitas".

Diselesaikan oleh siswa kelas "B" ke-8

Klimantova Alexandra.

Guru matematika: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan menggunakan dadu. Dadu memiliki 6 wajah, pada setiap wajah jumlah poin yang berbeda ditandai - dari 1 hingga 6. Pemain melempar dadu dan melihat berapa banyak poin yang ada di wajah yang dijatuhkan (pada wajah yang terletak di atas). Cukup sering, titik-titik di tepi dadu diganti dengan angka yang sesuai dan kemudian mereka berbicara tentang gulungan 1, 2 atau 6. Melempar dadu dapat dianggap sebagai pengalaman, eksperimen, tes, dan hasil yang diperoleh adalah hasil tes atau peristiwa dasar. Orang-orang tertarik untuk menebak permulaan suatu peristiwa, memprediksi hasilnya. Prediksi apa yang bisa mereka buat ketika sebuah dadu dilempar? Misalnya, ini:

1. acara A - angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 jatuh;
2. acara B - angka 7, 8 atau 9 jatuh;
3. acara C - nomor 1 jatuh.

Peristiwa A, yang diprediksi dalam kasus pertama, pasti akan datang. Secara umum, suatu peristiwa yang pasti terjadi dalam pengalaman tertentu disebut acara tertentu.

Peristiwa B, yang diprediksi dalam kasus kedua, tidak akan pernah terjadi, itu tidak mungkin. Secara umum, suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi dalam suatu percobaan disebut peristiwa yang tidak mungkin.

Akankah peristiwa C, yang diprediksi pada kasus ketiga, terjadi atau tidak? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini dengan pasti, karena saya mungkin atau mungkin tidak jatuh. Suatu peristiwa yang dalam pengalaman tertentu mungkin atau mungkin tidak terjadi disebut kejadian acak.

Memikirkan permulaan suatu peristiwa tertentu, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan kata "mungkin". Misal hari ini hari rabu, maka besok hari kamis, ini peristiwa tertentu. Pada hari Rabu kami tidak akan mengatakan: "Mungkin besok adalah Kamis", kami akan mengatakan secara singkat dan jelas: "Besok adalah Kamis." Benar, jika kita cenderung pada frasa yang indah, maka kita dapat mengatakan ini: "Dengan kemungkinan seratus persen saya mengatakan bahwa besok adalah hari Kamis." Sebaliknya, jika hari ini adalah hari Rabu, maka datangnya hari esok adalah hari Jumat—suatu peristiwa yang mustahil. Mengevaluasi acara ini pada hari Rabu, kita dapat mengatakan ini: "Saya yakin besok bukan hari Jumat." Atau seperti ini: "Sulit dipercaya bahwa besok adalah hari Jumat." Nah, jika kita cenderung pada frasa yang indah, maka kita dapat mengatakan ini: "Kemungkinan besok adalah hari Jumat adalah nol." Jadi, peristiwa tertentu adalah peristiwa yang terjadi dalam kondisi tertentu. dengan kepastian 100%(yaitu datang dalam 10 kasus dari 10, dalam 100 kasus dari 100, dll). Peristiwa mustahil adalah peristiwa yang tidak pernah terjadi dalam kondisi tertentu, suatu peristiwa dengan probabilitas nol.

Tapi, sayangnya (dan mungkin untungnya), tidak semua hal dalam hidup ini begitu jelas dan jelas: akan selalu ada (peristiwa tertentu), ini tidak akan pernah terjadi (peristiwa yang mustahil). Paling sering, kita dihadapkan dengan peristiwa acak, beberapa di antaranya lebih mungkin, yang lain lebih kecil kemungkinannya. Biasanya orang menggunakan kata-kata "lebih mungkin" atau "kurang mungkin", seperti yang mereka katakan, sambil lalu, mengandalkan apa yang disebut akal sehat. Tetapi sangat sering perkiraan seperti itu ternyata tidak mencukupi, karena penting untuk diketahui berapa banyak persen kemungkinan peristiwa acak atau berapa kali satu peristiwa acak lebih mungkin daripada yang lain. Dengan kata lain, kita perlu tepat kuantitatif karakteristik, Anda harus dapat mengkarakterisasi probabilitas dengan angka.

Kami telah mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami mengatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi ditandai sebagai seratus persen, dan peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi sebagai nol. Mengingat bahwa 100% sama dengan 1, orang-orang telah menyetujui hal berikut:

1. peluang suatu kejadian tertentu dianggap sama dengan 1;
2. peluang suatu kejadian yang tidak mungkin dianggap sama dengan 0.

Bagaimana cara menghitung peluang kejadian acak? Bagaimanapun, itu terjadi kebetulan, yang berarti tidak mematuhi hukum, algoritma, rumus. Ternyata hukum tertentu beroperasi di dunia keacakan, memungkinkan Anda menghitung probabilitas. Ini adalah cabang matematika yang disebut- teori probabilitas.

Matematika berhubungan dengan model beberapa fenomena realitas di sekitar kita. Dari semua model yang digunakan dalam teori probabilitas, kami akan membatasi diri pada yang paling sederhana.

Skema probabilistik klasik

Untuk menemukan peluang kejadian A selama beberapa percobaan, seseorang harus:

1) temukan jumlah N dari semua hasil yang mungkin dari pengalaman ini;

2) menerima asumsi bahwa semua hasil ini sama-sama mungkin (sama mungkin);

3) temukan jumlah N(A) dari hasil pengalaman di mana peristiwa A terjadi;

4) temukan pribadi ; sama dengan peluang kejadian A.

Merupakan kebiasaan untuk menyatakan peluang suatu kejadian A sebagai P(A). Penjelasan untuk penunjukan ini sangat sederhana: kata "probabilitas" dalam bahasa Prancis adalah kemungkinan, dalam Bahasa Inggris- kemungkinan.Penunjukannya menggunakan huruf pertama dari kata tersebut.

Dengan menggunakan notasi ini, peluang suatu kejadian A menurut skema klasik dapat dicari dengan menggunakan rumus

P(A)=.

Seringkali semua poin dari skema probabilistik klasik yang diberikan diungkapkan dalam satu frase yang agak panjang.

Definisi klasik dari probabilitas

Probabilitas kejadian A selama pengujian tertentu adalah rasio jumlah hasil, sebagai akibatnya peristiwa A terjadi, dengan jumlah semua hasil yang mungkin sama dari tes ini.

Contoh 1. Tentukan peluang bahwa dalam satu kali pelemparan sebuah dadu: a) 4; b) 5; c) jumlah poin genap; d) jumlah poin lebih besar dari 4; e) jumlah poin bukan kelipatan tiga.

Keputusan. Secara total, ada N=6 kemungkinan hasil: menjatuhkan wajah kubus dengan jumlah poin sama dengan 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Kami percaya bahwa tidak satupun dari mereka memiliki keunggulan dibandingkan yang lain, yaitu, kami menerima asumsi kesamaan hasil ini.

a) Tepat di salah satu hasil, peristiwa yang menarik bagi kami A akan terjadi - hilangnya angka 4. Oleh karena itu, N (A) \u003d 1 dan

P(A)= =.

b) Solusi dan jawabannya sama seperti pada paragraf sebelumnya.

c) Peristiwa B yang menarik bagi kita akan terjadi tepat dalam tiga kasus ketika jumlah poinnya adalah 2, 4 atau 6. Oleh karena itu,

N(B)=3 danP(B)==.

d) Peristiwa C yang menarik bagi kita akan terjadi tepat dalam dua kasus ketika jumlah poin adalah 5 atau 6. Oleh karena itu,

N(C) =2 dan P(C)=.

e) Dari enam kemungkinan angka yang diambil, empat (1, 2, 4 dan 5) bukan kelipatan tiga, dan dua sisanya (3 dan 6) habis dibagi tiga. Ini berarti bahwa peristiwa yang menarik bagi kami terjadi tepat di empat dari enam kemungkinan dan kemungkinan yang sama di antara mereka sendiri dan kemungkinan yang sama di antara mereka sendiri hasil dari pengalaman. Jadi jawabannya adalah.

Jawaban: a); b) ; di) ; G) ; e).

Sebuah dadu bermain nyata mungkin berbeda dari dadu (model) yang ideal, oleh karena itu, untuk menggambarkan perilakunya, diperlukan model yang lebih akurat dan terperinci, dengan mempertimbangkan keunggulan satu wajah di atas yang lain, kemungkinan adanya magnet, dll. Tetapi "iblis ada dalam detail", dan akurasi yang lebih cenderung mengarah pada lebih banyak kerumitan, dan mendapatkan jawaban menjadi masalah. Kami membatasi diri untuk mempertimbangkan model probabilistik paling sederhana, di mana semua hasil yang mungkin sama-sama mungkin.

Catatan 1. Mari kita pertimbangkan contoh lain. Pertanyaan diajukan: "Berapa peluang terambilnya tiga dalam satu lemparan dadu?" Siswa menjawab seperti ini: "Kemungkinannya adalah 0,5." Dan dia menjelaskan jawabannya: “Ketiganya akan rontok atau tidak. Ini berarti bahwa ada dua hasil secara total, dan tepat dalam satu peristiwa, peristiwa yang menarik bagi kita terjadi. Menurut skema probabilistik klasik, kita mendapatkan jawabannya 0,5. Apakah ada kesalahan dalam penalaran ini? Sekilas, tidak. Namun, itu masih ada, dan dalam momen fundamental. Ya, memang, triple akan jatuh atau tidak, yaitu, dengan definisi hasil lemparan seperti itu, N = 2. Juga benar bahwa N(A)=1 dan, tentu saja, benar bahwa =0, ​​5, yaitu, tiga poin dari skema probabilistik diperhitungkan, tetapi pemenuhan poin 2) diragukan. Tentu saja, dari sudut pandang hukum murni, kami memiliki hak untuk percaya bahwa kehilangan tiga kali lipat kemungkinan besar akan gagal. Tapi bisakah kita berpikir begitu tanpa melanggar asumsi alami kita sendiri tentang "kesamaan" wajah? Tentu saja tidak! Di sini kita berurusan dengan penalaran yang benar dalam beberapa model. Hanya model ini sendiri yang “salah”, tidak sesuai dengan fenomena yang sebenarnya.

Catatan 2. Saat membahas probabilitas, jangan lupakan keadaan penting berikut ini. Jika kita mengatakan bahwa ketika melempar dadu, peluang mendapatkan satu poin sama dengan , ini tidak berarti sama sekali bahwa dengan melempar dadu 6 kali, Anda akan mendapatkan satu poin tepat satu kali, dengan melempar dadu 12 kali, Anda akan mendapatkan satu poin tepat dua kali, dengan melempar dadu 18 kali, Anda mendapatkan satu poin tepat tiga kali, dan seterusnya.Kata itu mungkin spekulatif. Kami berasumsi bahwa itu mungkin terjadi. Mungkin jika kita melempar dadu 600 kali, satu poin akan muncul 100 kali, atau sekitar 100.

Teori probabilitas muncul pada abad ke-17 ketika menganalisis berbagai permainan judi. Oleh karena itu, tidak mengherankan bahwa contoh pertama bersifat main-main. Dari contoh dadu, mari kita beralih ke gambar acak kartu remi dari dek.

Contoh 2. Dari setumpuk 36 kartu, 3 kartu diambil secara acak pada saat yang bersamaan. Berapa probabilitas bahwa tidak ada Ratu Sekop di antara mereka?

Keputusan. Kami memiliki satu set 36 elemen. Kami memilih tiga elemen, urutannya tidak penting. Oleh karena itu, adalah mungkin untuk mendapatkan hasil N=C. Kami akan bertindak sesuai dengan skema probabilistik klasik, yaitu, kami akan mengasumsikan bahwa semua hasil ini memiliki kemungkinan yang sama.

Tetap menghitung probabilitas yang diperlukan sesuai dengan definisi klasik:

Dan berapa peluang bahwa di antara tiga kartu yang dipilih ada Ratu Sekop? Jumlah semua hasil seperti itu tidak sulit untuk dihitung, Anda hanya perlu mengurangi dari semua hasil N semua hasil di mana tidak ada ratu sekop, yaitu, kurangi angka N(A) yang ditemukan pada Contoh 3. Maka selisih N - N (A) ini sesuai dengan skema probabilistik klasik harus dibagi dengan N. Inilah yang kita dapatkan:

Kita melihat bahwa ada hubungan tertentu antara probabilitas dari dua kejadian. Jika kejadian A terdiri dari tidak adanya Ratu Sekop, dan kejadian B terdiri dari kehadirannya di antara tiga kartu yang dipilih, maka

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Sayangnya, dalam persamaan P(A)+P(B)=1 tidak ada informasi tentang hubungan antara kejadian A dan B; kita harus menjaga hubungan ini dalam pikiran. Akan lebih mudah untuk memberi nama dan penunjukan acara B terlebih dahulu, dengan jelas menunjukkan hubungannya dengan A.

Definisi 1. Acara B ditelepon berlawanan dengan kejadian A dan menyatakan B=Ā jika peristiwa B terjadi jika dan hanya jika peristiwa A tidak terjadi.

TTeorema 1. Untuk mencari peluang kejadian yang berlawanan, kurangi peluang kejadian itu sendiri dari satu: (Ā)= 1—Р(А). Memang,

Dalam praktiknya, mereka menghitung apa yang lebih mudah ditemukan: P(A) atau P(Ā). Setelah itu, mereka menggunakan rumus dari teorema dan menemukan, masing-masing, P(Ā)= 1-P(A), atau P(A)= 1-P(Ā).

Sering digunakan adalah metode pemecahan masalah tertentu dengan "pencacahan kasus", ketika kondisi masalah dibagi menjadi kasus-kasus yang saling eksklusif, yang masing-masing dianggap terpisah. Misalnya, "jika Anda pergi ke kanan, Anda akan kehilangan kuda Anda, jika Anda lurus, Anda akan memecahkan masalah menurut teori probabilitas, jika Anda pergi ke kiri ...". Atau ketika memplot fungsi y=│x+1│—│2x—5│, perhatikan kasus-kasus x

Contoh 3. Dari 50 titik tersebut, 17 berwarna biru dan 13 berwarna oranye. Tentukan peluang bahwa suatu titik yang dipilih secara acak akan diarsir.

Keputusan. Secara total, 30 poin dari 50 diarsir, jadi peluangnya adalah = 0,6.

Jawaban: 0.6.

Namun, mari kita lihat lebih dekat contoh sederhana ini. Misalkan kejadian A adalah titik yang dipilih berwarna biru, dan kejadian B adalah titik yang dipilih berwarna jingga. Berdasarkan kesepakatan, peristiwa A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Kami menunjukkan dengan huruf C peristiwa yang menarik bagi kami. Peristiwa C terjadi jika dan hanya jika itu terjadi setidaknya satu dari kejadian A atau B. Jelas bahwa N(C)= N(A)+N(B).

Mari kita bagi kedua sisi persamaan ini dengan N, jumlah semua hasil yang mungkin dari percobaan yang diberikan; kita mendapatkan

Kami telah menganalisis situasi penting dan sering terjadi menggunakan contoh sederhana. Ada nama khusus untuknya.

Definisi 2. Peristiwa A dan B disebut tidak cocok jika mereka tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

Teorema 2. Probabilitas terjadinya paling sedikit satu dari dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah probabilitasnya.

Ketika menerjemahkan teorema ini ke dalam bahasa matematika, menjadi perlu untuk entah bagaimana memberi nama dan menunjuk suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari dua peristiwa A dan B yang diberikan. Peristiwa semacam itu disebut jumlah peristiwa A dan B dan dilambangkan dengan A+B.

Jika A dan B tidak kompatibel, maka P(A+B)= P(A)+P(B).

Memang,

Ketidaksesuaian peristiwa A dan B dapat dengan mudah diilustrasikan oleh sebuah gambar. Jika semua hasil dari pengalaman tersebut adalah sekumpulan titik pada gambar, maka kejadian A dan B adalah beberapa himpunan bagian dari himpunan tertentu. Ketidakcocokan A dan B berarti kedua himpunan bagian ini tidak berpotongan. Contoh khas dari peristiwa yang tidak kompatibel adalah setiap peristiwa A dan peristiwa yang berlawanan .

Tentu saja, teorema ini benar untuk tiga, empat, dan untuk sejumlah berhingga kejadian tak kompatibel berpasangan. Probabilitas jumlah sejumlah kejadian tidak kompatibel berpasangan sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini. Pernyataan penting ini persis sesuai dengan metode pemecahan masalah dengan "pencacahan kasus".

Antara peristiwa yang terjadi sebagai hasil dari beberapa pengalaman, dan antara probabilitas peristiwa ini, mungkin ada beberapa hubungan, ketergantungan, koneksi, dll. Misalnya, peristiwa dapat "ditambahkan", dan kemungkinan jumlah yang tidak kompatibel kejadian sama dengan jumlah peluangnya.

Sebagai kesimpulan, kami membahas pertanyaan mendasar berikut: apakah mungkin untuk membuktikan, bahwa peluang terambilnya "ekor" dalam satu kali pelemparan koin sama dengan

Jawabannya adalah negatif. Secara umum, pertanyaan itu sendiri tidak benar, arti yang tepat dari kata "membuktikan" tidak jelas. Bagaimanapun, kami selalu membuktikan sesuatu dalam kerangka beberapa model, di mana aturan, hukum, aksioma, rumus, teorema, dll sudah diketahui. Jika kita berbicara tentang koin imajiner, "ideal", maka itu dianggap ideal karena, a-prioritas, peluang terambilnya kepala sama dengan peluang terambilnya kepala. Dan, pada prinsipnya, kita dapat mempertimbangkan model di mana probabilitas jatuh "ekor" adalah dua kali probabilitas jatuh "kepala", atau tiga kali lebih sedikit, dll. Kemudian muncul pertanyaan: untuk alasan apa dari berbagai model yang mungkin untuk pelemparan sebuah koin apakah kita memilih salah satu di mana kedua hasil lemparan memiliki peluang yang sama?

Jawaban yang sepenuhnya frontal adalah: "Tapi itu lebih mudah, lebih jelas, dan lebih alami bagi kami!" Tetapi ada juga argumen yang lebih substantif. Mereka datang dari latihan. Sebagian besar buku teks tentang teori probabilitas memberikan contoh naturalis Prancis J. Buffon (abad ke-18) dan matematikawan-statistik Inggris C. Pearson (akhir abad ke-19), yang masing-masing melempar koin 4040 dan 24000 kali, dan menghitung jumlah "kepala" jatuh "atau" ekor". "Ekor" mereka jatuh, masing-masing, 1992 dan 11998 kali. Jika Anda menghitung frekuensi jatuh“ekor”, maka Anda mendapatkan = = 0,493069 ... untuk Buffon dan = 0,4995 untuk Pearson. Muncul secara alami anggapan bahwa dengan bertambahnya jumlah pelemparan sebuah koin yang tidak terbatas, frekuensi jatuhnya "ekor", serta frekuensi jatuhnya "elang", akan semakin mendekati 0,5. Asumsi inilah, berdasarkan data praktis, yang menjadi dasar untuk memilih model dengan hasil yang setara.

Sekarang kita bisa menyimpulkan. Konsep dasarnya adalah peluang kejadian acak, yang dihitung dalam kerangka model paling sederhana— skema probabilistik klasik. Konsep itu penting baik dalam teori maupun dalam praktik. peristiwa yang berlawanan dan rumus (Ā)= 1—Р(А) untuk mencari peluang kejadian seperti itu.

Akhirnya kita bertemu acara yang tidak kompatibel dan dengan rumus.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

memungkinkan untuk menemukan probabilitas jumlah peristiwa seperti itu.

Bibliografi

1. Acara. Probabilitas. Pengolahan data statistik: Tambah. paragraf ke kursus aljabar 7-9 sel. lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—edisi ke-4.—M.: Mnemozina, 2006.—112 hal.: sakit.

2. Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk “Aljabar. Elemen statistik dan teori probabilitas.—Moskow, Pencerahan, 2006.

Halaman yang berguna? Simpan atau beri tahu teman Anda

Konsep dasar teori probabilitas adalah konsep kejadian acak. kejadian acak Suatu peristiwa disebut peristiwa yang, dalam kondisi tertentu, mungkin atau mungkin tidak terjadi. Misalnya, mengenai atau meleset suatu objek saat menembak objek ini dengan senjata tertentu adalah peristiwa acak.

Peristiwa tersebut disebut dapat diandalkan jika, sebagai hasil dari tes, itu pasti terjadi. Mustahil Suatu peristiwa disebut peristiwa yang tidak dapat terjadi sebagai akibat dari pengujian.

Peristiwa acak disebut tidak cocok dalam percobaan yang diberikan jika tidak ada dua dari mereka dapat muncul bersama-sama.

Bentuk acara acak grup penuh, jika pada setiap percobaan salah satu dari mereka dapat muncul dan tidak ada acara lain yang tidak sesuai dengan mereka yang dapat muncul.

Pertimbangkan kelompok lengkap dari peristiwa acak yang sama-sama mungkin tidak kompatibel. Acara seperti itu akan disebut hasil atau peristiwa dasar. Keluaran disebut baik terjadinya peristiwa $A$, jika terjadinya hasil ini menyebabkan munculnya peristiwa $A$.

Contoh. Sebuah guci berisi 8 bola bernomor (setiap bola memiliki satu nomor dari 1 sampai 8). Bola bernomor 1, 2, 3 berwarna merah, sisanya berwarna hitam. Munculnya bola dengan angka 1 (atau angka 2 atau angka 3) adalah peristiwa yang menguntungkan munculnya bola merah. Munculnya bola dengan angka 4 (atau angka 5, 6, 7, 8) merupakan peristiwa yang mendukung munculnya bola hitam.

Peluang suatu kejadian$A$ adalah rasio jumlah $m$ hasil yang mendukung kejadian ini dengan jumlah total $n$ dari semua kemungkinan hasil dasar yang tidak kompatibel yang sama yang membentuk grup lengkap $$P(A)=\frac(m)(n ). \quad(1)$$

Properti 1. Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan satu
Properti 2. Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.
Properti 3. Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu.

Jadi, peluang suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan ganda $0 \le P(A) \le 1$ .

Kalkulator online

Lapisan besar masalah yang diselesaikan dengan menggunakan rumus (1) berkaitan dengan topik probabilitas hipergeometrik. Di bawah tautan, Anda dapat menemukan deskripsi tugas populer dan kalkulator online untuk solusinya:

• Soal tentang bola (sebuah guci berisi $k$ bola putih dan $n$ hitam, $m$ bola dikeluarkan...)
• Masalah suku cadang (sebuah kotak berisi $k$ standar dan $n$ suku cadang rusak, suku cadang $m$ dikeluarkan...)
• Soal tentang tiket lotre ($k$ menang dan $n$ kalah tiket berpartisipasi dalam lotre, tiket $m$ dibeli...)

Contoh solusi untuk masalah probabilitas klasik

Contoh. Ada 10 bola bernomor di dalam guci dengan angka dari 1 sampai 10. Satu bola dikeluarkan. Berapa peluang terambilnya bola tidak lebih dari 10?

Keputusan. Biarkan acara TETAPI= (Jumlah bola yang ditarik tidak melebihi 10). Jumlah kemunculan peristiwa yang menguntungkan TETAPI sama dengan jumlah semua kemungkinan kasus m=n= 10. Karena itu, R(TETAPI)=1. Peristiwa Dapat diandalkan.

Contoh. Ada 10 bola dalam sebuah guci: 6 putih dan 4 hitam. Menarik dua bola. Berapa peluang terambilnya kedua bola berwarna putih?

Keputusan. Anda dapat mengeluarkan dua dari sepuluh bola dengan beberapa cara berikut: .
Berapa kali ada dua bola putih di antara keduanya adalah .
Probabilitas yang diinginkan
.

Contoh. Ada 15 bola dalam sebuah guci: 5 putih dan 10 hitam. Berapa peluang terambilnya bola biru dari guci?

Keputusan. Karena tidak ada bola biru di dalam guci, m=0, n= 15. Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan R=0. Peristiwa pengambilan bola biru mustahil.

Contoh. Satu kartu diambil dari setumpuk 36 kartu. Berapa peluang munculnya kartu hati?

Keputusan. Jumlah hasil dasar (jumlah kartu) n=36. Peristiwa TETAPI= (Penampilan kartu heart suit). Berapa kali menguntungkan untuk terjadinya acara TETAPI, m= 9. Karena itu,
.

Contoh. Ada 6 pria dan 4 wanita di kantor. 7 orang dipilih secara acak untuk pindah. Temukan peluang bahwa ada tiga wanita di antara orang-orang yang dipilih.