pengantar

Ketika kami mulai mempelajari angka-angka stereometrik, kami menyentuh topik "Piramida". Kami menyukai tema ini karena piramida sangat sering digunakan dalam arsitektur. Dan karena profesi masa depan kami sebagai arsitek, terinspirasi oleh sosok ini, kami pikir dia akan mampu mendorong kami untuk proyek-proyek besar.

Kekuatan struktur arsitektur, kualitasnya yang paling penting. Mengaitkan kekuatan, pertama, dengan bahan dari mana mereka dibuat, dan, kedua, dengan fitur solusi desain, ternyata kekuatan struktur secara langsung berkaitan dengan bentuk geometris yang mendasarinya.

Dengan kata lain, kita berbicara tentang sosok geometris yang dapat dianggap sebagai model dari bentuk arsitektur yang sesuai. Ternyata bentuk geometris juga menentukan kekuatan struktur arsitektural.

Piramida Mesir telah lama dianggap sebagai struktur arsitektur yang paling tahan lama. Seperti yang Anda ketahui, mereka memiliki bentuk piramida segi empat biasa.

Bentuk geometris inilah yang memberikan stabilitas terbesar karena area dasar yang besar. Di sisi lain, bentuk piramida memastikan bahwa massa berkurang ketika ketinggian di atas tanah meningkat. Kedua sifat inilah yang membuat piramida stabil, dan karenanya kuat dalam kondisi gravitasi.

Tujuan proyek: belajar sesuatu yang baru tentang piramida, memperdalam pengetahuan dan menemukan aplikasi praktis.

Untuk mencapai tujuan ini, perlu untuk menyelesaikan tugas-tugas berikut:

Pelajari informasi sejarah tentang piramida

Pertimbangkan piramida sebagai sosok geometris

Temukan aplikasi dalam kehidupan dan arsitektur

Temukan persamaan dan perbedaan antara piramida yang terletak di berbagai belahan dunia

Bagian teoretis

Informasi sejarah

Awal dari geometri piramida diletakkan di Mesir kuno dan Babel, tetapi secara aktif dikembangkan di Yunani kuno. Yang pertama menetapkan volume piramida sama dengan adalah Democritus, dan Eudoxus dari Cnidus membuktikannya. Ahli matematika Yunani kuno Euclid mensistematisasikan pengetahuan tentang piramida dalam volume XII "Awal" -nya, dan juga mengeluarkan definisi pertama piramida: sosok tubuh yang dibatasi oleh bidang yang menyatu dari satu bidang pada satu titik.

Makam para firaun Mesir. Yang terbesar dari mereka - piramida Cheops, Khafre dan Mikerin di El Giza pada zaman kuno dianggap sebagai salah satu dari Tujuh Keajaiban Dunia. Pendirian piramida, di mana orang-orang Yunani dan Romawi sudah melihat monumen kebanggaan raja dan kekejaman yang belum pernah terjadi sebelumnya, yang membuat seluruh rakyat Mesir melakukan konstruksi yang tidak masuk akal, adalah tindakan pemujaan yang paling penting dan seharusnya diungkapkan, tampaknya, identitas mistik negara dan penguasanya. Penduduk negara bekerja pada pembangunan makam di bagian tahun bebas dari pekerjaan pertanian. Sejumlah teks memberikan kesaksian tentang perhatian dan perhatian yang diberikan oleh raja-raja itu sendiri (walaupun di kemudian hari) untuk pembangunan makam mereka dan para pembangunnya. Juga diketahui tentang penghargaan kultus khusus yang ternyata adalah piramida itu sendiri.

Konsep dasar

Piramida Disebut polihedron, yang alasnya adalah poligon, dan wajah yang tersisa adalah segitiga yang memiliki simpul yang sama.

Apotema- ketinggian sisi sisi piramida biasa, ditarik dari atasnya;

Wajah samping- segitiga konvergen di atas;

Iga samping- sisi umum dari sisi samping;

puncak piramida- titik yang menghubungkan tepi samping dan tidak terletak di bidang alas;

Tinggi- segmen tegak lurus yang ditarik melalui bagian atas piramida ke bidang alasnya (ujung segmen ini adalah bagian atas piramida dan alas tegak lurus);

Bagian diagonal piramida- bagian piramida yang melewati bagian atas dan diagonal alas;

Basis- poligon yang bukan milik puncak piramida.

Sifat utama dari piramida yang benar

Tepi samping, wajah samping, dan apotema masing-masing sama besar.

Sudut dihedral pada alasnya sama besar.

Sudut dihedral pada sisi-sisinya sama besar.

Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul dasar.

Setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisi.

Rumus dasar piramida

Luas permukaan lateral dan penuh piramida.

Luas permukaan lateral piramida (penuh dan terpotong) adalah jumlah luas semua permukaan sampingnya, luas permukaan total adalah jumlah luas semua permukaannya.

Teorema: Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema piramida.

p- perimeter dasar;

h- apotema.

Area permukaan lateral dan penuh dari piramida terpotong.

p1, p 2 - perimeter dasar;

h- apotema.

R- total luas permukaan piramida terpotong biasa;

sisi S- area permukaan lateral piramida terpotong biasa;

S1 + S2- daerah dasar

Volume Piramida

Membentuk Skala volume digunakan untuk piramida jenis apa pun.

H adalah ketinggian piramida.

Sudut piramida

Sudut-sudut yang dibentuk oleh sisi muka dan alas piramid disebut sudut dihedral pada alas piramid.

Sudut dihedral dibentuk oleh dua garis tegak lurus.

Untuk menentukan sudut ini, Anda sering perlu menggunakan teorema tiga tegak lurus.

Sudut yang dibentuk oleh sisi samping dan proyeksinya pada bidang alas disebut sudut antara tepi lateral dan bidang alas.

Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi disebut sudut dihedral di tepi lateral piramida.

Sudut yang dibentuk oleh dua sisi sisi salah satu muka piramida disebut sudut di puncak piramida.

Bagian dari piramida

Permukaan piramida adalah permukaan polihedron. Masing-masing wajahnya merupakan bidang, sehingga bagian piramida yang diberikan oleh bidang potong adalah garis putus-putus yang terdiri dari garis-garis lurus yang terpisah.

Bagian diagonal

Bagian piramida oleh bidang yang melalui dua sisi lateral yang tidak terletak pada permukaan yang sama disebut bagian diagonal piramida.

Bagian paralel

Dalil:

Jika piramida dilintasi oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, maka tepi samping dan tinggi piramida dibagi oleh bidang ini menjadi bagian-bagian yang proporsional;

Bagian dari bidang ini adalah poligon yang mirip dengan alasnya;

Luas bagian dan alasnya saling berhubungan sebagai kuadrat jaraknya dari atas.

Jenis-jenis piramida

Piramida yang benar- sebuah piramida, yang alasnya berupa poligon beraturan, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya.

Di piramida yang benar:

1. rusuk samping sama besar

2. sisi sisinya sama

3. apotema sama

4. sudut dihedral pada alasnya sama besar

5. sudut dihedral pada sisi-sisinya sama besar

6. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua simpul dasar

7. setiap titik ketinggian berjarak sama dari semua sisi sisi

Piramida terpotong- bagian piramida yang tertutup antara alasnya dan bidang potong yang sejajar dengan alasnya.

Bagian dasar dan bagian yang sesuai dari piramida terpotong disebut dasar piramida terpotong.

Garis tegak lurus yang ditarik dari suatu titik di suatu alas ke bidang alas lainnya disebut ketinggian piramida terpotong.

tugas

nomor 1. Pada piramida segi empat beraturan, titik O adalah pusat alas, SO=8 cm, BD=30 cm.Temukan sisi samping SA.

Penyelesaian masalah

nomor 1. Dalam piramida biasa, semua wajah dan tepinya sama.

Mari kita pertimbangkan OSB: OSB-persegi panjang, karena.

SB 2 \u003d SO 2 + OB 2

SB2=64+225=289

Piramida dalam arsitektur

Piramida - struktur monumental dalam bentuk piramida geometris biasa biasa, di mana sisi-sisinya bertemu pada satu titik. Sesuai dengan fungsinya, piramida pada zaman dahulu merupakan tempat pemakaman atau pemujaan. Basis piramida bisa berbentuk segitiga, segi empat, atau poligonal dengan jumlah simpul yang berubah-ubah, tetapi versi yang paling umum adalah alas segi empat.

Sejumlah besar piramida diketahui, dibangun oleh berbagai budaya Dunia Kuno, terutama sebagai kuil atau monumen. Piramida terbesar adalah piramida Mesir.

Di seluruh bumi Anda dapat melihat struktur arsitektur dalam bentuk piramida. Bangunan piramida mengingatkan pada zaman kuno dan terlihat sangat indah.

Piramida Mesir adalah monumen arsitektur terbesar Mesir Kuno, di antaranya salah satu dari "Tujuh Keajaiban Dunia" adalah piramida Cheops. Dari kaki ke atas mencapai 137,3 m, dan sebelum kehilangan puncak, tingginya 146,7 m.

Bangunan stasiun radio di ibu kota Slovakia, menyerupai piramida terbalik, dibangun pada tahun 1983. Selain kantor dan tempat layanan, ada ruang konser yang cukup luas di dalam volume, yang memiliki salah satu organ terbesar di Slovakia .

Louvre, yang "sesunyi dan megah seperti piramida" telah mengalami banyak perubahan selama berabad-abad sebelum menjadi museum terbesar di dunia. Itu lahir sebagai benteng, didirikan oleh Philip Augustus pada tahun 1190, yang segera berubah menjadi kediaman kerajaan. Pada tahun 1793 istana ini menjadi museum. Koleksi diperkaya melalui warisan atau pembelian.

Kami terus mempertimbangkan tugas-tugas yang termasuk dalam ujian dalam matematika. Kami telah mempelajari masalah di mana kondisi diberikan dan diperlukan untuk menemukan jarak antara dua titik atau sudut yang diberikan.

Piramida adalah polihedron yang alasnya berupa poligon, sisi lainnya adalah segitiga, dan mereka memiliki simpul yang sama.

Piramida biasa adalah piramida yang dasarnya terletak poligon beraturan, dan puncaknya diproyeksikan ke tengah alasnya.

Piramida segi empat biasa - alasnya adalah bujur sangkar. Bagian atas piramida diproyeksikan pada titik persimpangan diagonal alas (persegi).

ML - apotema
MLO - sudut dihedral di dasar piramida
MCO - sudut antara tepi lateral dan bidang dasar piramida

Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan tugas untuk memecahkan piramida yang benar. Diperlukan untuk menemukan elemen apa pun, luas permukaan lateral, volume, tinggi. Tentu saja, Anda perlu mengetahui teorema Pythagoras, rumus luas permukaan lateral piramida, rumus mencari volume piramida.

Di dalam artikel « » disajikan formula yang diperlukan untuk memecahkan masalah dalam stereometri. Jadi tugasnya adalah:

SABCD dot HAI- pusat dasarS puncak, JADI = 51, AC= 136. Temukan tepi sampingSC.

Dalam hal ini, alasnya adalah persegi. Ini berarti bahwa diagonal AC dan BD adalah sama, mereka berpotongan dan membagi dua di titik persimpangan. Perhatikan bahwa dalam piramida biasa, ketinggian yang diturunkan dari puncaknya melewati pusat dasar piramida. Jadi SO adalah tinggi dan segitigaSOCpersegi panjang. Maka dengan teorema Pythagoras:

Cara mengambil akar dari bilangan besar.

Jawaban: 85

Putuskan sendiri:

Dalam piramida segi empat biasa SABCD dot HAI- pusat dasar S puncak, JADI = 4, AC= 6. Cari sisi samping SC.

Dalam piramida segi empat biasa SABCD dot HAI- pusat dasar S puncak, SC = 5, AC= 6. Tentukan panjang ruas JADI.

Dalam piramida segi empat biasa SABCD dot HAI- pusat dasar S puncak, JADI = 4, SC= 5. Tentukan panjang segmen AC.

SABC R- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa AB= 7, dan SR= 16. Carilah luas permukaan lateral.

Luas permukaan sisi piramida segitiga beraturan sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema (apotema adalah ketinggian sisi sisi piramida biasa yang ditarik dari atas):

Atau Anda dapat mengatakan ini: luas permukaan lateral piramida sama dengan jumlah luas ketiga permukaan samping. Wajah-wajah lateral dalam piramida segitiga beraturan adalah segitiga-segitiga dengan luas yang sama. Pada kasus ini:

Jawaban: 168

Putuskan sendiri:

Dalam piramida segitiga biasa SABC R- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa AB= 1, dan SR= 2. Temukan luas permukaan samping.

Dalam piramida segitiga biasa SABC R- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa AB= 1, dan luas permukaan lateral adalah 3. Temukan panjang segmen SR.

Dalam piramida segitiga biasa SABC L- tengah tulang rusuk SM, S- atas. Diketahui bahwa TL= 2, dan luas permukaan lateral adalah 3. Tentukan panjang segmen AB.

Dalam piramida segitiga biasa SABC M. Luas segitiga ABC adalah 25, volume piramida adalah 100. Hitung panjang segmennya NONA.

Dasar piramida adalah segitiga sama sisi. Jadi Madalah pusat alas, danNONA- ketinggian piramida biasaSABC. Volume Piramida SABC sama: periksa solusi

Dalam piramida segitiga biasa SABC median alas berpotongan di suatu titik M. Luas segitiga ABC adalah 3, NONA= 1. Temukan volume piramida.

Dalam piramida segitiga biasa SABC median alas berpotongan di suatu titik M. Volume piramida adalah 1, NONA= 1. Hitung luas segitiga ABC.

Mari kita selesaikan dengan ini. Seperti yang Anda lihat, tugas diselesaikan dalam satu atau dua langkah. Di masa depan, kami akan mempertimbangkan dengan Anda masalah lain dari bagian ini, di mana badan-badan revolusi diberikan, jangan lewatkan!

Aku harap kamu berhasil!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Siswa menemukan konsep piramida jauh sebelum mempelajari geometri. Salahkan keajaiban Mesir yang terkenal di dunia. Oleh karena itu, mulai mempelajari polihedron yang indah ini, sebagian besar siswa sudah membayangkannya dengan jelas. Semua pemandangan di atas dalam bentuk yang benar. Apa piramida kanan, dan properti apa yang dimilikinya dan akan dibahas lebih lanjut.

dalam kontak dengan

Definisi

Ada banyak definisi piramida. Sejak zaman kuno, itu sangat populer.

Misalnya, Euclid mendefinisikannya sebagai sosok padat, terdiri dari bidang-bidang, yang, mulai dari satu, bertemu pada titik tertentu.

Heron memberikan formulasi yang lebih tepat. Dia bersikeras bahwa itu adalah sosok yang memiliki alas dan bidang-bidang yang berbentuk segitiga, konvergen pada satu titik.

Berdasarkan interpretasi modern, piramida disajikan sebagai polihedron spasial, yang terdiri dari k-gon dan k gambar segitiga datar tertentu yang memiliki satu titik yang sama.

Mari kita lihat lebih dekat, Terdiri dari elemen apa?

• k-gon dianggap sebagai dasar dari gambar;
• Angka 3-sudut menonjol sebagai sisi bagian samping;
• bagian atas, dari mana elemen samping berasal, disebut bagian atas;
• semua segmen yang menghubungkan simpul disebut tepi;
• jika garis lurus diturunkan dari atas ke bidang gambar pada sudut 90 derajat, maka bagiannya yang tertutup di ruang dalam adalah ketinggian piramida;
• di setiap elemen sisi ke sisi polihedron kami, Anda dapat menggambar tegak lurus yang disebut apotema.

Jumlah sisi dihitung menggunakan rumus 2*k, di mana k adalah jumlah sisi k-gon. Berapa banyak wajah yang dimiliki polihedron seperti piramida dapat ditentukan dengan ekspresi k + 1.

Penting! Piramida berbentuk biasa adalah sosok stereometrik yang bidang dasarnya adalah k-gon dengan sisi yang sama.

Sifat dasar

Piramida yang benar memiliki banyak sifat yang unik baginya. Mari kita daftar mereka:

1. Basis adalah sosok dari bentuk yang benar.
2. Tepi piramida, yang membatasi elemen samping, memiliki nilai numerik yang sama.
3. Elemen sisinya adalah segitiga sama kaki.
4. Pangkal tinggi gambar jatuh ke tengah poligon, sementara itu secara bersamaan merupakan titik pusat dari yang tertulis dan dijelaskan.
5. Semua rusuk sisi miring ke bidang dasar pada sudut yang sama.
6. Semua permukaan samping memiliki sudut kemiringan yang sama terhadap alas.

Berkat semua properti yang terdaftar, kinerja perhitungan elemen sangat disederhanakan. Berdasarkan sifat-sifat di atas, kami memperhatikan dua tanda:

1. Dalam kasus ketika poligon masuk ke dalam lingkaran, sisi-sisinya akan memiliki sudut yang sama dengan alasnya.
2. Saat menggambarkan lingkaran di sekitar poligon, semua tepi piramida yang berasal dari titik sudut akan memiliki panjang yang sama dan sudut yang sama dengan alasnya.

persegi didasarkan

Piramida segi empat biasa - polihedron berdasarkan persegi.

Ini memiliki empat sisi wajah, yang sama kaki dalam penampilan.

Di sebuah bidang, sebuah bujur sangkar digambarkan, tetapi mereka didasarkan pada semua properti dari segiempat beraturan.

Misalnya, jika perlu menghubungkan sisi persegi dengan diagonalnya, maka rumus berikut digunakan: diagonal sama dengan produk sisi kuadrat dan akar kuadrat dari dua.

Berdasarkan segitiga biasa

Piramida segitiga biasa adalah polihedron yang dasarnya adalah 3-gon biasa.

Jika alasnya adalah segitiga beraturan, dan sisi-sisinya sama dengan sisi-sisi alasnya, maka bangunlah bangun tersebut disebut tetrahedron.

Semua wajah tetrahedron adalah 3-gon sama sisi. Dalam hal ini, Anda perlu mengetahui beberapa poin dan tidak membuang waktu untuk menghitungnya:

• sudut kemiringan tulang rusuk ke alas apa pun adalah 60 derajat;
• nilai semua wajah internal juga 60 derajat;
• wajah apa pun dapat bertindak sebagai pangkalan;
• digambar di dalam gambar adalah elemen yang sama.

Bagian dari polihedron

Di setiap polihedron ada beberapa jenis bagian pesawat terbang. Seringkali dalam kursus geometri sekolah mereka bekerja dengan dua:

• aksial;
• dasar paralel.

Potongan aksial diperoleh dengan memotong polihedron dengan bidang yang melewati titik sudut, tepi samping dan sumbu. Dalam hal ini, sumbu adalah ketinggian yang ditarik dari titik. Bidang potong dibatasi oleh garis perpotongan dengan semua muka, menghasilkan segitiga.

Perhatian! Dalam piramida biasa, bagian aksial adalah segitiga sama kaki.

Jika bidang potong berjalan sejajar dengan alas, maka hasilnya adalah opsi kedua. Dalam hal ini, kita memiliki dalam konteks sosok yang mirip dengan pangkalan.

Misalnya, jika alasnya berbentuk bujur sangkar, maka bagian yang sejajar dengan alasnya juga akan berbentuk bujur sangkar, hanya saja lebih kecil.

Saat memecahkan masalah dalam kondisi ini, tanda dan sifat kesamaan angka digunakan, berdasarkan teorema Thales. Pertama-tama, perlu untuk menentukan koefisien kesamaan.

Jika bidang ditarik sejajar dengan alas, dan memotong bagian atas polihedron, maka piramida terpotong biasa diperoleh di bagian bawah. Kemudian alas dari polihedron yang terpotong dikatakan sebagai poligon serupa. Dalam hal ini, sisi-sisinya adalah trapesium sama kaki. Bagian aksial juga sama kaki.

Untuk menentukan ketinggian polihedron terpotong, perlu untuk menggambar ketinggian di bagian aksial, yaitu dalam trapesium.

Area permukaan

Masalah geometri utama yang harus diselesaikan dalam mata kuliah geometri sekolah adalah mencari luas permukaan dan volume piramida.

Ada dua jenis luas permukaan:

• luas elemen samping;
• seluruh luas permukaan.

Dari judulnya sendiri sudah jelas tentang apa itu. Permukaan samping hanya mencakup elemen samping. Dari sini dapat disimpulkan bahwa untuk menemukannya, Anda hanya perlu menjumlahkan luas bidang lateral, yaitu luas segitiga sama kaki 3-gon. Mari kita coba menurunkan rumus untuk luas elemen samping:

1. Luas sebuah segitiga sama kaki 3-gon adalah Str=1/2(aL), di mana a adalah sisi alas, L adalah apotema.
2. Jumlah bidang samping tergantung pada jenis k-gon di pangkalan. Misalnya, piramida segi empat biasa memiliki empat bidang lateral. Oleh karena itu, perlu menjumlahkan luas empat banguna Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L . Ekspresi disederhanakan dengan cara ini karena nilai 4a=POS, di mana POS adalah keliling alas. Dan ekspresi 1/2 * Rosn adalah semi-perimeternya.
3. Jadi, kami menyimpulkan bahwa luas elemen samping piramida biasa sama dengan produk setengah keliling alas dan apotema: Sside \u003d Rosn * L.

Luas seluruh permukaan piramida terdiri dari jumlah luas bidang lateral dan alasnya: Sp.p. = Sside + Sbase.

Sedangkan untuk luas alasnya, disini digunakan rumus sesuai dengan jenis poligonnya.

Volume piramida biasa sama dengan hasil kali luas bidang alas dan tinggi dibagi tiga: V=1/3*Salas*H, di mana H adalah tinggi polihedron.

Apa itu piramida biasa dalam geometri?

Sifat-sifat piramida segi empat beraturan

Piramida. Piramida terpotong

Piramida disebut polihedron, salah satu wajahnya adalah poligon ( basis ), dan semua wajah lainnya adalah segitiga dengan simpul yang sama ( wajah samping ) (Gbr. 15). Piramida disebut benar , jika alasnya adalah poligon beraturan dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya (Gbr. 16). Piramida segitiga yang semua sisinya sama panjang disebut segi empat .

rusuk samping piramida disebut sisi sisi wajah yang bukan milik alas Tinggi piramida adalah jarak dari puncaknya ke bidang alasnya. Semua sisi sisi piramida beraturan adalah sama satu sama lain, semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki yang sama. Tinggi sisi sisi piramida beraturan yang ditarik dari titik sudut disebut pendewaan . bagian diagonal Bagian dari piramida disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki wajah yang sama.

Luas permukaan samping piramida disebut jumlah luas semua sisi sisi. Luas permukaan penuh adalah jumlah luas semua sisi sisi dan alasnya.

Teorema

1. Jika dalam sebuah piramida semua sisi miring sama rata terhadap bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.

2. Jika dalam sebuah piramida semua tepi lateral memiliki panjang yang sama, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran berbatas dekat alasnya.

3. Jika dalam piramida semua wajah sama-sama condong ke bidang alasnya, maka puncak piramida diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya.

Untuk menghitung volume piramida sewenang-wenang, rumusnya benar:

di mana V- volume;

S utama- daerah dasar;

H adalah ketinggian piramida.

Untuk piramida biasa, rumus berikut ini benar:

di mana p- keliling pangkalan;

h a- apotema;

H- tinggi;

S penuh

sisi S

S utama- daerah dasar;

V adalah volume piramida biasa.

piramida terpotong disebut bagian piramida yang tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida (Gbr. 17). Piramida terpotong yang benar disebut bagian dari piramida biasa, tertutup antara alas dan bidang potong yang sejajar dengan alas piramida.

Yayasan piramida terpotong - poligon serupa. Wajah samping - trapesium. Tinggi piramida terpotong disebut jarak antara alasnya. Diagonal Piramida terpotong adalah segmen yang menghubungkan simpulnya yang tidak terletak pada wajah yang sama. bagian diagonal Bagian dari piramida yang terpotong disebut bidang yang melewati dua sisi yang tidak memiliki sisi yang sama.

Untuk piramida terpotong, rumusnya valid:

(4)

di mana S 1 , S 2 - area pangkalan atas dan bawah;

S penuh adalah luas permukaan total;

sisi S adalah luas permukaan lateral;

H- tinggi;

V adalah volume piramida terpotong.

Untuk piramida terpotong biasa, rumus berikut ini benar:

di mana p 1 , p 2 - perimeter dasar;

h a- apotema piramida terpotong biasa.

Contoh 1 Dalam piramida segitiga biasa, sudut dihedral di pangkalan adalah 60º. Temukan garis singgung sudut kemiringan tepi samping ke bidang alas.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 18).

Piramida beraturan, artinya alasnya adalah segitiga sama sisi dan semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki. Sudut dihedral pada alas adalah sudut kemiringan sisi muka piramida terhadap bidang alas. Sudut linier akan menjadi sudut sebuah antara dua garis tegak lurus: mis. Bagian atas piramida diproyeksikan di pusat segitiga (pusat lingkaran berbatas dan lingkaran bertulis di segitiga ABC). Sudut kemiringan rusuk samping (misalnya SB) adalah sudut antara tepi itu sendiri dan proyeksinya ke bidang dasar. Untuk tulang rusuk SB sudut ini akan menjadi sudut SBD. Untuk menemukan garis singgung, Anda perlu mengetahui kaki-kakinya JADI dan OB. Biarkan panjang segmen BD adalah 3 sebuah. dot HAI segmen garis BD dibagi menjadi beberapa bagian: dan Dari kita menemukan JADI: Dari kami menemukan:

Menjawab:

Contoh 2 Hitunglah volume limas segi empat beraturan jika diagonal alasnya cm dan cm dan tingginya 4 cm.

Keputusan. Untuk menemukan volume piramida terpotong, kami menggunakan rumus (4). Untuk menemukan luas alasnya, Anda perlu menemukan sisi-sisi bujur sangkar alas, mengetahui diagonal-diagonalnya. Sisi alasnya masing-masing adalah 2 cm dan 8 cm Ini berarti luas alas dan Substitusikan semua data ke dalam rumus, kita hitung volume piramida terpotong:

Menjawab: 112 cm3.

Contoh 3 Hitunglah luas permukaan sisi piramida beraturan berbentuk segitiga yang sisi alasnya 10 cm dan 4 cm, dan tingginya 2 cm.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 19).

Sisi sisi piramida ini adalah trapesium sama kaki. Untuk menghitung luas trapesium, Anda perlu mengetahui alas dan tingginya. Basis diberikan oleh kondisi, hanya tingginya yang tidak diketahui. Temukan dari mana TETAPI 1 E tegak lurus dari suatu titik TETAPI 1 pada bidang alas bawah, A 1 D- tegak lurus dari TETAPI 1 on AC. TETAPI 1 E\u003d 2 cm, karena ini adalah ketinggian piramida. Untuk menemukan DE kita akan membuat gambar tambahan, di mana kita akan menggambarkan tampilan atas (Gbr. 20). Dot HAI- proyeksi pusat pangkalan atas dan bawah. sejak (lihat Gambar 20) dan Di sisi lain Oke adalah jari-jari lingkaran tertulis dan om adalah jari-jari lingkaran tertulis:

MK=DE.

Menurut teorema Pythagoras dari

Area wajah samping:

Menjawab:

Contoh 4 Di dasar piramida terletak trapesium sama kaki, yang alasnya sebuah dan b (sebuah> b). Setiap sisi wajah membentuk sudut yang sama dengan bidang alas piramida j. Temukan total luas permukaan piramida.

Keputusan. Mari kita membuat gambar (Gbr. 21). Luas permukaan total piramida SABCD sama dengan jumlah luas dan luas trapesium ABCD.

Mari kita gunakan pernyataan bahwa jika semua wajah piramida sama-sama miring ke bidang alasnya, maka puncaknya diproyeksikan ke pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Dot HAI- proyeksi puncak S di dasar piramida. Segi tiga MERUMPUT adalah proyeksi ortogonal segitiga CSD ke bidang dasar. Menurut teorema pada area proyeksi ortogonal dari bangun datar, kita mendapatkan:

Demikian pula, itu berarti Jadi, masalahnya dikurangi menjadi menemukan luas trapesium ABCD. Menggambar trapesium ABCD secara terpisah (Gbr. 22). Dot HAI adalah pusat lingkaran yang tertulis dalam trapesium.

Karena lingkaran dapat ditulis dalam trapesium, maka atau Dengan teorema Pythagoras kita miliki

Pelajaran video 2: Tantangan piramida. Volume Piramida

Video pelajaran 3: Tantangan piramida. Piramida yang benar

Kuliah: Piramida, alasnya, tepi lateral, tinggi, permukaan lateral; piramida segitiga; piramida kanan

Piramida, sifat-sifatnya

Piramida- Ini adalah tubuh tiga dimensi yang memiliki poligon di dasarnya, dan semua wajahnya terdiri dari segitiga.

Kasing khusus piramida adalah kerucut, yang alasnya terletak sebuah lingkaran.

Pertimbangkan elemen utama piramida:

Apotema adalah ruas yang menghubungkan bagian atas piramida dengan bagian tengah tepi bawah sisi muka. Dengan kata lain, ini adalah ketinggian wajah piramida.

Pada gambar Anda dapat melihat segitiga ADS, ABS, BCS, CDS. Jika Anda melihat lebih dekat pada namanya, Anda dapat melihat bahwa setiap segitiga memiliki satu huruf yang sama dalam namanya - S. Artinya, semua sisi sisi (segitiga) bertemu pada satu titik, yang disebut puncak piramida.

Segmen OS, yang menghubungkan simpul dengan titik perpotongan diagonal alas (dalam kasus segitiga, pada titik perpotongan ketinggian), disebut tinggi piramida.

Bagian diagonal adalah bidang yang melewati bagian atas piramida, serta salah satu diagonal alasnya.

Karena permukaan lateral piramida terdiri dari segitiga, untuk menemukan luas total permukaan lateral, perlu untuk menemukan luas setiap wajah dan menambahkannya. Jumlah dan bentuk wajah tergantung pada bentuk dan ukuran sisi poligon yang terletak di alasnya.

Satu-satunya bidang dalam piramida yang tidak memiliki titik sudut disebut dasar piramida.

Pada gambar, kita melihat bahwa alasnya adalah jajaran genjang, namun, dapat ada poligon sembarang.

Properti:

Pertimbangkan kasus pertama piramida, di mana ia memiliki tepi dengan panjang yang sama:

• Sebuah lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida semacam itu. Jika Anda memproyeksikan bagian atas piramida seperti itu, maka proyeksinya akan berada di tengah lingkaran.
• Sudut di dasar piramida adalah sama untuk setiap wajah.
• Pada saat yang sama, kondisi yang cukup untuk fakta bahwa lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida, dan juga bahwa semua tepi memiliki panjang yang berbeda, dapat dianggap sebagai sudut yang sama antara alas dan setiap tepi wajah. .

Jika Anda menemukan piramida di mana sudut antara sisi menghadap dan alasnya sama, maka sifat-sifat berikut ini benar:

• Anda akan dapat menggambarkan sebuah lingkaran di sekitar dasar piramida, yang puncaknya diproyeksikan tepat ke tengah.
• Jika Anda menggambar di setiap sisi sisi yang tingginya ke alasnya, maka panjangnya akan sama.
• Untuk menemukan luas permukaan lateral piramida semacam itu, cukup dengan menemukan keliling alas dan mengalikannya dengan setengah panjang tingginya.
• Sbp \u003d 0,5P atau H.
• Jenis-jenis piramida.
• Tergantung pada poligon mana yang terletak di dasar piramida, mereka bisa berbentuk segitiga, segi empat, dll. Jika poligon beraturan (dengan sisi yang sama) terletak di dasar piramida, maka piramida seperti itu akan disebut biasa.

Piramida segitiga biasa