Biarkan beberapa urutan nomor penomoran ulang x 1 , x 2 ,..., x n ,... . diberikan, yang kami nyatakan secara singkat atau (x n ) . Barisan ini dapat ditulis sebagai fungsi dari bilangan n: x n =f(n) , atau x 1 =f(1) , x 2 =f(2),.. ., x n =f(n),.. ..

Urutan apa pun akan ditentukan jika aturan untuk pembentukan anggotanya ditentukan. Urutan biasanya diberikan oleh rumus seperti x n =f(n) atau x n =f(x n-1) , x n =f(x n-1 , x n-2) dll., di mana .

Contoh.Urutan 2, 4, 8, 16, .. . diberikan oleh rumus x n =2 n ; deret geometri a 1 , a 2 ,..., a n , .. . dapat didefinisikan dengan rumus a n =a 1 q n-1 atau a n =a n-1 q ; Angka Fibonacci 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, .. . didefinisikan oleh rumus x n =x n-1 +x n-2 , n=3, 4, .. ., x 1 =1 , x 2 =1 .

Grafik Urutan Angka(x n ) dibentuk oleh himpunan titik-titik M n (n;f(n)) pada bidang nOx, yaitu bagan urutan nomor terdiri dari titik-titik diskrit.

Barisan (x n ) disebut naik jika kondisi bentuk dipenuhi.

Barisan (x n ) disebut menurun jika kondisi bentuk dipenuhi.

Barisan (x n ) disebut tak naik jika kondisi bentuk dipenuhi.

Barisan (x n ) disebut tak menurun jika memenuhi kondisi berikut: .

Urutan seperti itu disebut monoton. Urutan yang tersisa tidak monoton.

Selanjutnya disebut urutan tak berujung benda apapun yang sifatnya sama.

Contoh.Seri angka - seri angka. Beberapa fungsi- jangkauan fungsional.

Urutan elemen deret adalah penting. Dengan mengubah urutan, kami mendapatkan baris lain dari elemen yang sama.

Di sini kita hanya tertarik pada deret bilangan dan jumlahnya, yang masih ditulis secara formal (tidak konstruktif, tidak diformalkan), yaitu, jumlah semua anggota dari beberapa barisan bilangan tak hingga u 1 , u 2 ,..., u n ,.. ., atau u 1 + u 2 +...+u n +.. .. Deret ini dapat ditulis secara ringkas sebagai

Tanda – tanda “sigma” atau tanda penjumlahan, penjumlahan berurutan dari semua elemen u n dari batas bawah n=1 (ditunjukkan di bawah, dapat berupa tak hingga atau negatif tak terhingga) hingga batas atas (ditunjukkan di atas, dapat berupa angka apa pun, lebih besar atau sama dengan batas bawah, serta tak terhingga positif).

Bilangan u n (n=1, 2, .. .) disebut anggota deret, dan u n adalah anggota biasa deret tersebut.

Contoh.Dalam pelajaran matematika sekolah, barisan geometri yang menurun tak hingga diberikan a=aq+aq 2 +...+aq n-1 +.. ., |q|<1 , u 1 =a , u 2 =aq, .. ., u n = aq n-1 . Сумма этого ряда (прогрессии), как известно из школьного курса, равна S=a/(1-q) .

Contoh. Deret bilangan harmonik- rangkaian bentuk : . Di bawah ini kami akan mempertimbangkannya secara lebih rinci.

Deret bilangan akan dianggap diberikan, yaitu, setiap elemennya akan ditentukan secara unik jika aturan untuk menemukan anggota umumnya ditentukan atau beberapa fungsi numerik argumen alami , atau u n =f(n) .

Contoh.Jika , maka deret tersebut diberikan , atau dalam notasi ringkas:

Jika diberikan deret bilangan harmonik, maka suku umumnya dapat ditulis sebagai , dan deret itu sendiri dapat ditulis sebagai

Mari kita berikan definisi jumlah berhingga dari suatu deret dan barisan dari jumlah berhingga tersebut.

Jumlah akhir dari n suku pertama deret tersebut disebut jumlah parsial ke-n dan dilambangkan dengan S n :

Jumlah ini ditemukan sesuai dengan aturan biasa untuk menjumlahkan angka. Ada banyak jumlah seperti itu, yaitu, untuk setiap deret, seseorang dapat mempertimbangkan deret yang terdiri dari jumlah parsial: S 1 , S 2 ,... , S n , .. . atau urutan jumlah parsial dibangun untuk seri ini: .

Barisan tersebut dibatasi dari atas, jika ada bilangan yang sama M untuk semua anggota barisan, yang tidak dilampaui oleh semua anggota barisan, yaitu, jika kondisi berikut dipenuhi:

Barisan bilangan dibatasi dari bawah, jika ada bilangan yang sama m untuk semua anggota barisan, yang melebihi semua anggota barisan, yaitu, jika kondisi terpenuhi:

Barisan bilangan dibatasi jika ada bilangan m dan M yang sekutu bagi semua anggota barisan dan memenuhi syarat:

Bilangan a disebut batas barisan numerik(x n ) , jika ada bilangan yang begitu kecil sehingga semua anggota barisan, kecuali beberapa anggota pertama yang berhingga, termasuk ke dalam lingkungan - bilangan a , yaitu, pada akhirnya, memadat di sekitar titik sebuah . Jadi, semua titik x i , i=N 0 , N 0 +1 , N 0 +2, .. harus masuk dalam interval. urutan. Dalam hal ini, angka N 0 tergantung pada angka yang dipilih, yaitu, (Gbr. 7.1).

Beras. 7.1.

Secara matematis, keberadaan limit barisan dapat ditulis sebagai:

Fakta ini ditulis secara singkat sebagai atau , dan katakan konvergen ke bilangan a . Jika barisan tersebut tidak memiliki limit, maka barisan tersebut disebut divergen.

Ini mengikuti langsung dari definisi limit: jika kita membuang, menambah atau mengubah sejumlah anggota barisan, maka konvergensi tidak dilanggar (yaitu, jika barisan asli konvergen, maka barisan yang dimodifikasi konvergen) dan batas urutan asli dan yang dihasilkan akan sama.

Contoh.Asumsikan bahwa , dimana , yaitu , , . Fakta ini mudah dibuktikan, tetapi untuk saat ini kami menganggapnya sebagai fakta yang terbukti. Kemudian , : . Tentukan nilai bilangan tersebut (jika ada nomor seperti itu). Mempertimbangkan . Hubungan berikut ini benar:

Jadi jika kita mengambil nomor , maka pertidaksamaan akan terpenuhi. Misalnya, dengan nilai , kita mendapatkan angka N 0 =99 , yaitu |x n -1|<0,01 . Чем меньше значение - тем больше значение N 0 . Например, если , то N 0 =999 .

Kami sekarang memberikan dua definisi yang setara dari limit fungsi : menggunakan limit barisan dan menggunakan korespondensi lingkungan kecil dari argumen dan nilai fungsi. Validitas satu definisi menyiratkan validitas yang lain. Biarkan fungsi y=f(x) didefinisikan , kecuali mungkin titik x=x 0 , yang merupakan titik batas D(f) . Pada titik ini, fungsi mungkin tidak terdefinisi (tidak terdefinisi) atau mungkin memiliki jeda.

Jika barisan konvergen ke nol:

maka disebut barisan infinitesimal. Juga dikatakan bahwa istilah umum adalah pada kuantitas yang sangat kecil. Urutan (84,3) dan (84,4) sangat kecil.

Jika kita menerapkan rumusan konsep limit pada kasus barisan infinitesimal, yaitu pada kasus dimana limitnya nol, maka kita sampai pada definisi barisan infinitesimal berikut (setara dengan yang diberikan di atas): suatu barisan disebut infinitesimal jika untuk sembarang bilangan tertentu terdapat bilangan sedemikian sehingga untuk semua akan ada pertidaksamaan

Mari kita rumuskan beberapa teorema yang berguna tentang barisan yang sangat kecil (dan buktikan yang pertama sebagai contoh).

Teorema 1. Jumlah dari dua atau lebih barisan yang sangat kecil adalah barisan yang sangat kecil.

Kami melakukan pembuktian untuk kasus penjumlahan dua barisan. Biarkan urutan menjadi sangat kecil. Jika adalah barisan yang diperoleh dari penjumlahannya, maka itu juga akan sangat kecil. Memang, biarkan sewenang-wenang positif nomor e diberikan Karena fakta bahwa itu sangat kecil, ada nomor N sedemikian rupa sehingga akan lebih kecil dari jumlah di . Demikian pula, untuk urutan kedua, seseorang dapat menentukan angka (secara umum, berbeda) sedemikian rupa sehingga untuk kita memiliki Sekarang, jika lebih besar dari angka terbesar , maka secara bersamaan

Tapi kemudian, dengan properti "modulus dari jumlah tidak melebihi jumlah modul" (item 74, properti 13), kami menemukan

yang membuktikan pernyataan yang diperlukan: barisan infinitesimal dibaca sebagai “yang lebih besar dari dua bilangan N dan .

Teorema 2. Hasil kali barisan berbatas dan barisan yang konvergen ke nol adalah barisan yang konvergen ke nol.

Dari teorema ini, khususnya, dapat disimpulkan bahwa produk dari nilai konstan dengan yang sangat kecil, sama seperti produk dari beberapa yang sangat kecil satu sama lain, adalah kuantitas yang sangat kecil. Memang, nilai konstan selalu merupakan nilai terbatas. Hal yang sama berlaku untuk yang sangat kecil. Oleh karena itu, misalnya, produk dari dua infinitesimal dapat ditafsirkan sebagai produk dari infinitesimal dengan yang terbatas.

Teorema 3. Hasil bagi pembagian barisan yang konvergen ke nol dengan barisan yang memiliki limit bukan nol adalah barisan yang konvergen ke nol.

Teorema berikut memungkinkan penggunaan infinitesimal dalam pembuktian teorema limit (Teorema 6-8).

Teorema 4. Suku umum suatu barisan yang memiliki suatu limit dapat dinyatakan sebagai jumlah dari limit ini dan suatu besaran yang sangat kecil.

Bukti. Biarkan ada urutan sedemikian rupa sehingga

Dari definisi limit berikut ini:

untuk semua yang memenuhi pertidaksamaan Tunjukkan dan kemudian kita dapatkan bahwa untuk nilai yang ditunjukkan akan menjadi

yaitu, bahwa ada kuantitas yang sangat kecil. Tetapi

dan ini membuktikan teorema kita.

Verna dan sebaliknya

Teorema 5. Jika suku umum suatu barisan berbeda dari suatu nilai konstanta dengan nilai yang sangat kecil, maka konstanta ini adalah limit dari barisan ini.

Kami sekarang mempertimbangkan aturan untuk melewati batas yang dirumuskan dalam tiga teorema berikut.

Teorema 6. Limit jumlah dua barisan atau lebih yang mempunyai limit sama dengan jumlah limit berikut:

Bukti. Biarkan ada barisan sedemikian rupa sehingga

Kemudian, berdasarkan Teorema 4, kita dapat menulis:

di mana adalah beberapa urutan yang sangat kecil. Mari kita tambahkan dua persamaan terakhir:

Nilai sebagai jumlah dari dua konstanta a dan b adalah konstan, dan sebagai jumlah dari dua barisan yang sangat kecil, menurut Teorema 1, ada barisan yang sangat kecil. Dari ini dan Teorema 5 kami menyimpulkan bahwa

dan ini harus dibuktikan.

Pembuktian yang telah kita lakukan sekarang dapat dengan mudah digeneralisasikan untuk kasus jumlah aljabar dari sejumlah barisan yang diberikan.

Biarkan harga beberapa aset pada saat ini r sama dengan S(T) . Harga pelaksanaan opsi beli pada aset ini dengan waktu kedaluwarsa T sama dengan K. Mari kita hitung harga opsi ini pada waktu t. Bagilah interval waktu [r, T] menjadi n periode dengan panjang yang sama (T - t)/n. Perhitungan harga opsi beli dilakukan dalam kerangka model penetapan harga opsi binomial periode-n, dan kemudian batasnya ditemukan pada n -> oo.
Jadi, harga opsi dalam model binomial periode-n ditentukan dengan rumus (3.12). Menurut definisi, jo cenderung In [K/(S(t)dn))/ ln(m/d) sebagai m i —» oo. Menurut rumus integral Moivre-Laplace
b&j0,n,p) - 1 -F (, b&j0,n,p") -
y/npq J \ l/np"q
di mana (х) = ^ dt - fungsi distribusi normal.
Menggunakan definisi (3.16) dari angka dan iklan, kita memperolehnya sebagai -> oo
c \u003d S (r) (гіі) - Ke-r ^-T4 (d2), (3.17)
di mana
\ii(S(t)/K) + (r + a2/2)(T - m)
d\
al/T - t
al/T - t
Rumus yang ditemukan (3.17) untuk harga opsi panggilan disebut rumus Black-Scholes.
Pembuktian rumus (3.17) menggunakan ekspansi eksponen dalam deret
ex = 1 + x+^+.... (3.18)
Substitusikan dan dan d dari rumus (3.17) ke persamaan (3.8), yang menentukan bilangan id, kita peroleh:
erAt - makan/Sh-
R
Memperluas eksponensial menjadi deret menurut rumus (3.18) dan mengabaikan suku-suku yang kecil dibandingkan dengan At, kita peroleh
al / At + (g - a212) At al / At - (g - a212) At
P ~ t= 1 I ~ t=
2al/M 2al/M
Jika tidak ada ketidakpastian harga pasar, maka harga aset S memenuhi persamaan
AS = fiSAt, (2.1)
dimana At cukup kecil. Karena At -> 0 persamaan (2.1) menjadi diferensial
S" = /J.S.
Solusinya S(T) = S(0)emT menentukan harga S(T) aset pada waktu T.
Namun, dalam praktiknya, selalu ada ketidakpastian tentang harga suatu aset. Untuk menggambarkan ketidakpastian, fungsi waktu dipertimbangkan, yang merupakan variabel acak untuk setiap nilai argumen. Properti ini mendefinisikan proses acak.
Proses acak w(t) disebut Wiener jika r(0) = 0 dan variabel acak w(t\ + s) - w(t\) dan w(t2 + s) - w(t2) berdistribusi normal dengan harapan nol dan dengan varians sama dengan s dan independen untuk setiap t\, t2, s membentuk interval yang tidak tumpang tindih (ti,ti + s) dan (t2,t2 + s).
Grafik proses Wiener dapat diperoleh, misalnya sebagai berikut. Kami memperbaiki beberapa nomor h > 0 dan mendefinisikan keluarga variabel acak Wh(t) pada waktu t = 0, h, 2h,.... Tetapkan Wh(0) = 0. Selisih AWh = Wh((k+l) h) - Wh(kh) adalah variabel acak dan diberikan oleh tabel: AWh -6 6 P 1/2 1/2 koin. Maka ekspektasi matematis dari variabel acak AWh adalah M(AI//1) = 0, dan varians D(AWh) = S2. Angka d diatur sama dengan Vh sehingga varians ~D(AWh) sama dengan h.
Ternyata proses Wiener w(t) diperoleh dari keluarga variabel acak Wh(t) sebagai h -> 0. Perjalanan ke limit itu sendiri agak sulit dan tidak dipertimbangkan di sini. Oleh karena itu, grafik keluarga Wh (t) untuk h kecil adalah pendekatan yang baik untuk proses Wiener. Misalnya, untuk representasi visual dari proses Wiener pada segmen, cukup untuk mengambil h = 0,01.
Dalam kasus yang paling sederhana, ketika /x = 0, yaitu pasar saham tidak tumbuh dan tidak turun rata-rata, diasumsikan bahwa
AS = ASW,
di mana w(t) adalah proses Wiener dan a > 0 adalah bilangan positif. Fakta bahwa kenaikan harga aset sebanding dengan harga menyatakan asumsi alami bahwa ketidakpastian ekspresi (S(t + At) - S(t))/S(t) tidak bergantung pada S. Ini berarti bahwa investor sama tidak yakinnya Anda mendapatkan bagian keuntungan pada harga aset $20 dan pada harga aset $100.
Model perilaku harga aset umumnya ditentukan oleh persamaan
A S(t) = /j,S(t)At + aS(t)Aw, (2.2)
Koefisien a, yang merupakan satuan ketidakpastian, disebut volatilitas.
2.2.

Lebih lanjut tentang topik Batasi transisi:

1. Transisi ke ekonomi pasar dikaitkan dengan transisi ke sistem manajemen modern, yang objek utamanya adalah organisasi (perusahaan), dan di dalamnya - pekerja, pekerja.
2. Nilai pembatas (limiting value dari suatu indikator ekonomi)

Mekanika kuantum berisi klasik sebagai kasus pembatas. Timbul pertanyaan tentang bagaimana jalan menuju batas ini dilakukan.

Dalam mekanika kuantum, sebuah elektron digambarkan oleh fungsi gelombang yang menentukan berbagai nilai koordinatnya; satu-satunya hal yang kita ketahui sejauh ini tentang fungsi ini adalah bahwa itu adalah solusi dari beberapa persamaan diferensial parsial linier. Dalam mekanika klasik, bagaimanapun, elektron dianggap sebagai partikel material yang bergerak sepanjang lintasan yang sepenuhnya ditentukan oleh persamaan gerak. Hubungan yang analog dengan hubungan antara mekanika kuantum dan klasik terjadi dalam elektrodinamika antara gelombang dan optik geometris. Dalam optik gelombang, gelombang elektromagnetik digambarkan oleh vektor medan listrik dan magnet yang memenuhi sistem persamaan diferensial linier tertentu (persamaan Maxwell). Dalam optik geometris, perambatan cahaya di sepanjang lintasan tertentu - sinar dipertimbangkan.

Analogi semacam itu memungkinkan kita untuk menyimpulkan bahwa perjalanan ke batas dari mekanika kuantum ke mekanika klasik terjadi serupa dengan transisi dari gelombang ke optik geometris.

Mari kita ingat bagaimana transisi terakhir ini dilakukan secara matematis (lihat II, 53). Membiarkan dan menjadi salah satu komponen medan dalam gelombang elektromagnetik. Ini dapat direpresentasikan sebagai dan - dengan amplitudo nyata a dan fase (yang terakhir disebut eikonal dalam optik geometris). Kasus membatasi optik geometris sesuai dengan panjang gelombang kecil, yang secara matematis dinyatakan oleh sejumlah besar perubahan pada jarak kecil; ini berarti, khususnya, bahwa fase dapat dianggap besar dalam nilai absolutnya.

Dengan demikian, kami melanjutkan dari asumsi bahwa kasus pembatas mekanika klasik sesuai dalam mekanika kuantum dengan fungsi gelombang bentuk , di mana a adalah fungsi yang berubah perlahan, dan mengambil nilai besar. Seperti diketahui, dalam mekanika lintasan partikel dapat ditentukan dari prinsip variasi, yang menyatakan bahwa apa yang disebut aksi 5 dari sistem mekanik harus minimal (prinsip aksi terkecil). Dalam optik geometris, jalur sinar ditentukan oleh apa yang disebut prinsip Fermat, yang menurutnya "panjang jalur optik" balok, yaitu, perbedaan antara fase di ujung dan di awal jalur, harus minimal.

Berdasarkan analogi ini, kita dapat menyatakan bahwa fase fungsi gelombang dalam kasus pembatas klasik harus sebanding dengan aksi mekanik S dari sistem fisik yang dipertimbangkan, yaitu seharusnya . Koefisien proporsionalitas disebut konstanta Tumbuhan dan dilambangkan dengan huruf . Ia memiliki dimensi tindakan (karena tidak berdimensi) dan sama dengan

Dengan demikian, fungsi gelombang dari sistem fisik "hampir klasik" (atau, seperti yang mereka katakan, semiklasik) memiliki bentuk

Konstanta Planck memainkan peran mendasar dalam semua fenomena kuantum. Nilai relatifnya (dibandingkan dengan kuantitas lain dari dimensi yang sama) menentukan "tingkat kuantum" dari sistem fisik ini atau itu. Transisi dari mekanika kuantum ke mekanika klasik sesuai dengan fase besar dan dapat secara formal digambarkan sebagai transisi ke batas (seperti transisi dari gelombang ke optik geometris sesuai dengan transisi ke batas panjang gelombang nol,

Kami telah mengklarifikasi bentuk pembatas dari fungsi gelombang, tetapi pertanyaannya masih tersisa tentang bagaimana kaitannya dengan gerak klasik di sepanjang lintasan. Dalam kasus umum, gerak yang digambarkan oleh fungsi gelombang sama sekali tidak berubah menjadi gerak sepanjang lintasan tertentu. Hubungannya dengan gerak klasik terletak pada kenyataan bahwa jika pada suatu momen awal fungsi gelombang, dan dengannya distribusi probabilitas koordinat diberikan, maka di masa depan distribusi ini akan “bergerak” sebagaimana mestinya menurut hukum mekanika klasik (untuk lebih jelasnya, lihat akhir 17).

Untuk mendapatkan gerakan di sepanjang lintasan tertentu, perlu untuk memulai dari fungsi gelombang bentuk khusus, yang sangat berbeda dari nol hanya di bagian ruang yang sangat kecil (yang disebut paket gelombang), dimensi bagian ini dapat cenderung nol bersama dengan d. Maka dapat dikatakan bahwa dalam kasus semiklasik paket gelombang akan bergerak dalam ruang sepanjang lintasan klasik partikel.

Akhirnya, operator mekanika kuantum dalam limit harus direduksi menjadi perkalian dengan besaran fisis yang sesuai.

Beberapa fungsi f akan cenderung ke bilangan A karena x cenderung ke titik x0 ketika perbedaan f(x) - A kecil. Dengan kata lain, ekspresi |f(x) –A| menjadi kurang dari nomor tetap yang ditetapkan sebelumnya h > 0, karena modulus dari kenaikan argumen |∆x| berkurang.

Batasi transisi

Menemukan bilangan A ini dari fungsi f disebut melewati batas. Dalam kursus sekolah, perjalanan ke batas akan terjadi dalam dua kasus utama.

1. Melewati limit terhadap f/∆x saat mencari turunan.

2. Saat menentukan kontinuitas suatu fungsi.

Kontinuitas fungsi

Suatu fungsi disebut kontinu di x0 jika f(x) cenderung ke f(x0) karena x cenderung ke x0. Dalam hal ini: f(x) – A = f(x) – f(x0) = f.
Ini berarti |∆f| akan kecil untuk |∆x| kecil. Dengan kata lain, perubahan kecil dalam argumen sesuai dengan perubahan kecil dalam nilai fungsi.

Fungsi-fungsi yang ditemukan dalam pelajaran matematika sekolah, misalnya, fungsi linier, fungsi kuadrat, fungsi pangkat, dan lain-lain, adalah kontinu di setiap titik di area di mana mereka didefinisikan. Untuk fungsi-fungsi ini, grafik digambarkan sebagai garis lengkung kontinu.

Fakta ini adalah dasar dari metode pembuatan grafik fungsi "berdasarkan titik", yang biasanya kita gunakan. Namun sebelum menggunakannya, perlu diketahui apakah fungsi yang dipertimbangkan benar-benar kontinu. Untuk kasus sederhana, ini dapat dilakukan berdasarkan definisi kontinuitas yang kami berikan di atas.

Sebagai contoh: kami akan membuktikan bahwa fungsi linier kontinu di setiap titik dari garis nyata y = k*x + b.

Secara definisi, kita perlu menunjukkan bahwa |∆f| menjadi kurang dari nomor yang ditetapkan sebelumnya h>0, untuk |∆x| . kecil

|∆f| = |f(x0 +∆x) – f(x0)| = |(k*(x0+ x) +b) – (k*x0+ b)| =|k|*|∆x|.

Jika kita ambil |∆x| >h/|k| untuk k tidak sama dengan nol, maka |∆f| akan lebih kecil dari h>0, yang harus dibuktikan.

Membatasi aturan

Saat menggunakan operasi transisi batas, seseorang harus dipandu oleh aturan berikut.

1. Jika fungsi f kontinu pada titik x0, maka f cenderung nol karena x cenderung nol.

2. Jika fungsi f memiliki turunan di titik x0, maka f/∆x cenderung ke f’(x0) karena x cenderung nol.

3. Misalkan f(x) cenderung ke A, g(x) cenderung ke B karena x cenderung ke x0. Kemudian:

f(x) + g(x) cenderung ke A + B;