pengantar

Dalam matematika dan aplikasinya pada ilmu pengetahuan alam dan teknologi, fungsi eksponensial banyak digunakan. Ini, khususnya, dijelaskan oleh fakta bahwa banyak fenomena yang dipelajari dalam ilmu alam termasuk di antara apa yang disebut proses pertumbuhan organik, di mana laju perubahan fungsi yang berpartisipasi di dalamnya sebanding dengan nilai fungsi. diri.

Jika dilambangkan dengan fungsi, dan dengan argumen, maka hukum diferensial dari proses pertumbuhan organik dapat ditulis dalam bentuk di mana adalah beberapa koefisien proporsionalitas konstan.

Integrasi persamaan ini menghasilkan solusi umum dalam bentuk fungsi eksponensial

Jika Anda menetapkan kondisi awal pada, maka Anda dapat menentukan konstanta arbitrer dan, dengan demikian, menemukan solusi tertentu, yang merupakan hukum integral dari proses yang sedang dipertimbangkan.

Proses pertumbuhan organik termasuk, di bawah beberapa asumsi penyederhanaan, fenomena seperti, misalnya, perubahan tekanan atmosfer tergantung pada ketinggian di atas permukaan bumi, peluruhan radioaktif, pendinginan atau pemanasan tubuh dalam lingkungan suhu konstan, a reaksi kimia unimolekuler (misalnya, pelarutan suatu zat dalam air ), di mana hukum aksi massa terjadi (laju reaksi sebanding dengan jumlah reaktan yang ada), reproduksi mikroorganisme, dan banyak lainnya.

Peningkatan jumlah uang karena akrual bunga majemuk di atasnya (bunga atas bunga) juga merupakan proses pertumbuhan organik.

Contoh-contoh ini dapat dilanjutkan.

Seiring dengan fungsi eksponensial individu dalam matematika dan aplikasinya, berbagai kombinasi fungsi eksponensial digunakan, di antaranya kombinasi fungsi linier dan pecahan linier tertentu dan apa yang disebut fungsi hiperbolik sangat penting. Ada enam fungsi ini, nama dan sebutan khusus berikut telah diperkenalkan untuk mereka:

(sinus hiperbolik),

(kosinus hiperbolik),

(singgung hiperbolik),

(kotangen hiperbolik),

(garis potong hiperbolik),

(secan hiperbolik).

Timbul pertanyaan mengapa nama-nama seperti itu diberikan, dan inilah hiperbola dan nama-nama fungsi yang diketahui dari trigonometri: sinus, kosinus, dll.? Ternyata hubungan yang menghubungkan fungsi trigonometri dengan koordinat titik-titik lingkaran radius satuan mirip dengan hubungan yang menghubungkan fungsi hiperbolik dengan koordinat titik-titik hiperbola sama sisi dengan semisumbu satuan. Ini membenarkan nama fungsi hiperbolik.

Fungsi hiperbolik

Fungsi yang diberikan oleh rumus masing-masing disebut kosinus hiperbolik dan sinus hiperbolik.

Fungsi-fungsi ini didefinisikan dan kontinu, dan merupakan fungsi genap dan merupakan fungsi ganjil.

Gambar 1.1 - Grafik fungsi

Dari definisi fungsi hiperbolik berikut bahwa:

Dengan analogi dengan fungsi trigonometri, tangen hiperbolik dan kotangen didefinisikan, masing-masing, dengan rumus

Sebuah fungsi didefinisikan dan kontinu, dan fungsi didefinisikan dan kontinu pada himpunan dengan titik tertusuk; kedua fungsi tersebut ganjil, grafiknya ditunjukkan pada gambar di bawah ini.

Gambar 1.2 - Grafik fungsi

Gambar 1.3 - Grafik fungsi

Dapat ditunjukkan bahwa fungsi dan meningkat secara ketat, sedangkan fungsi menurun secara ketat. Oleh karena itu, fungsi-fungsi ini dapat dibalik. Nyatakan fungsi yang terbalik dengannya, masing-masing, dengan.

Pertimbangkan fungsi kebalikan dari fungsi, mis. fungsi. Kami mengungkapkannya dalam hal yang dasar. Memecahkan persamaan sehubungan dengan, kita mendapatkan Sejak, maka, dari mana

Mengganti dengan dan dengan, kami menemukan rumus untuk fungsi invers untuk sinus hiperbolik.

Seiring dengan hubungan antara fungsi trigonometri dan eksponensial yang kami temukan di domain kompleks (rumus Euler)

dalam domain kompleks ada hubungan yang sangat sederhana antara fungsi trigonometri dan hiperbolik.

Ingatlah bahwa, menurut definisi:

Jika dalam identitas (3) kita ganti dengan maka di ruas kanan kita mendapatkan ekspresi yang sama dengan yang ada di ruas kanan identitas, yang darinya persamaan ruas kiri mengikuti. Hal yang sama berlaku untuk identitas (4) dan (2).

Dengan membagi kedua bagian identitas (6) menjadi bagian-bagian yang bersesuaian dari identitas (5) dan sebaliknya (5) dengan (6), diperoleh:

Penggantian serupa dalam identitas (1) dan (2) dan perbandingan dengan identitas (3) dan (4) memberikan:

Akhirnya, dari identitas (9) dan (10) kami menemukan:

Jika kita memasukkan identitas (5) - (12) di mana x adalah bilangan real, yaitu, anggap argumen murni imajiner, maka kita mendapatkan delapan identitas lagi antara fungsi trigonometri dari argumen murni imajiner dan fungsi hiperbolik yang sesuai dari sebuah real argumen, serta antara fungsi hiperbolik dari Argumen imajiner murni imajiner dan fungsi trigonometri yang sesuai dari argumen nyata:

Hubungan yang diperoleh memungkinkan untuk beralih dari fungsi trigonometri ke fungsi hiperbolik dan dari

fungsi hiperbolik ke trigonometri dengan penggantian argumen imajiner dengan argumen nyata. Mereka dapat dirumuskan sebagai aturan berikut:

Untuk berpindah dari fungsi trigonometri argumen imajiner ke fungsi hiperbolik atau, sebaliknya, dari fungsi hiperbolik argumen imajiner ke fungsi trigonometri, kita harus mengeluarkan unit imajiner dari tanda fungsi sinus dan tangen, dan membuangnya sama sekali untuk kosinus.

Hubungan yang terjalin sangat luar biasa, khususnya, karena memungkinkan untuk memperoleh semua hubungan antara fungsi hiperbolik dari hubungan yang diketahui antara fungsi trigonometri dengan mengganti yang terakhir dengan fungsi hiperbolik.

Mari kita tunjukkan bagaimana keadaannya. sedang dilakukan.

Ambil contoh identitas trigonometri dasar

dan masukkan di mana x adalah bilangan real; kita mendapatkan:

Jika dalam identitas ini kita mengganti sinus dan kosinus dengan sinus hiperbolik dan kosinus sesuai dengan rumus, maka kita mendapatkan atau dan ini adalah identitas dasar antara yang diturunkan sebelumnya dengan cara yang berbeda.

Demikian pula, Anda dapat memperoleh semua rumus lainnya, termasuk rumus untuk fungsi hiperbolik dari jumlah dan selisih argumen, argumen ganda dan setengah, dll., dengan demikian, dari trigonometri biasa, dapatkan "trigonometri hiperbolik".

FUNGSI HIPERBOLIK- Sinus hiperbolik (sh x) dan cosinus (ch x) didefinisikan oleh persamaan berikut:

Tangen dan kotangen hiperbolik didefinisikan dengan analogi dengan tangen trigonometri dan kotangen:

Sekan hiperbolik dan kosekan didefinisikan dengan cara yang sama:

Ada rumus:

Sifat-sifat fungsi hiperbolik dalam banyak hal mirip dengan sifat-sifat (lihat). Persamaan x=cos t, y=sin t tentukan lingkaran x²+y² = 1; persamaan x=сh t, y=sh t mendefinisikan hiperbola x² - y²=1. Karena fungsi trigonometri ditentukan dari lingkaran berjari-jari satuan, maka fungsi hiperbolik ditentukan dari hiperbola sama kaki x² - y² = 1. Argumen t adalah area ganda dari segitiga lengkung yang diarsir OME (Gbr. 48), mirip dengan fakta bahwa untuk fungsi lingkaran (trigonometri) argumen t secara numerik sama dengan dua kali luas segitiga lengkung OKE ( Gambar 49):

untuk lingkaran

untuk hiperbola

Teorema penjumlahan untuk fungsi hiperbolik mirip dengan teorema penjumlahan untuk fungsi trigonometri:

Analogi ini mudah dilihat jika variabel kompleks r diambil sebagai argumen x. Fungsi hiperbolik terkait dengan fungsi trigonometri dengan rumus berikut: sh x \u003d - i sin ix, ch x \u003d cos ix, di mana i adalah salah satunya nilai-nilai akar -1. Fungsi hiperbolik sh x, serta ch x: dapat mengambil nilai besar apa pun (karenanya, tentu saja, satuan besar), berbeda dengan fungsi trigonometri sin x, cos x, yang untuk nilai nyata tidak dapat lebih besar dari satu dalam nilai absolut.
Fungsi hiperbolik berperan dalam geometri Lobachevsky (lihat), digunakan dalam studi resistensi bahan, dalam teknik listrik dan cabang pengetahuan lainnya. Ada juga sebutan fungsi hiperbolik dalam literatur seperti sinh x; enak x; terima kasih.