1. Sudut yang berdekatan.

Jika kita melanjutkan sisi dari beberapa sudut di luar titik sudutnya, kita mendapatkan dua sudut (Gbr. 72): ABC dan CBD, di mana satu sisi BC adalah umum, dan dua lainnya, AB dan BD, membentuk garis lurus .

Dua sudut yang satu sisinya sama dan dua sisi lainnya membentuk garis lurus disebut sudut bersebelahan.

Sudut yang berdekatan juga dapat diperoleh dengan cara ini: jika kita menggambar sinar dari beberapa titik pada garis lurus (tidak terletak pada garis lurus tertentu), maka kita mendapatkan sudut yang berdekatan.

Misalnya, ADF dan FDВ adalah sudut yang berdekatan (Gbr. 73).

Sudut yang berdekatan dapat memiliki berbagai posisi (Gbr. 74).

Sudut yang berdekatan dijumlahkan menjadi sudut lurus, jadi jumlah dua sudut yang berdekatan adalah 180°

Oleh karena itu, sudut siku-siku dapat didefinisikan sebagai sudut yang sama dengan sudut yang berdekatan.

Mengetahui nilai salah satu sudut yang berdekatan, kita dapat menemukan nilai sudut yang berdekatan lainnya.

Misalnya, jika salah satu sudut yang berdekatan adalah 54°, maka sudut kedua adalah:

180° - 54° = l26°.

2. Sudut vertikal.

Jika kita memperpanjang sisi sudut di luar titik sudutnya, kita mendapatkan sudut vertikal. Pada Gambar 75, sudut EOF dan AOC adalah vertikal; sudut AOE dan COF juga vertikal.

Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut merupakan perpanjangan dari sisi-sisi sudut yang lain.

Misalkan 1 = \(\frac(7)(8)\) 90° (Gbr. 76). 2 yang berdekatan akan sama dengan 180° - \(\frac(7)(8)\) 90°, yaitu 1\(\frac(1)(8)\) 90°.

Dengan cara yang sama, Anda dapat menghitung apa itu 3 dan 4.

3 = 180° - 1\(\frac(1)(8)\) 90° = \(\frac(7)(8)\) 90°;

4 = 180° - \(\frac(7)(8)\) 90° = 1\(\frac(1)(8)\) 90° (Gbr. 77).

Kita lihat bahwa 1 = 3 dan 2 = 4.

Anda dapat memecahkan beberapa masalah yang sama lagi, dan setiap kali Anda mendapatkan hasil yang sama: sudut vertikalnya sama satu sama lain.

Namun, untuk memastikan bahwa sudut vertikal selalu sama satu sama lain, tidak cukup untuk mempertimbangkan contoh numerik individual, karena kesimpulan yang diambil dari contoh tertentu terkadang bisa salah.

Penting untuk memverifikasi validitas properti sudut vertikal dengan bukti.

Pembuktian dapat dilakukan sebagai berikut (Gbr. 78):

∠sebuah +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°).

∠sebuah +∠c = ∠b +∠c

(karena sisi kiri persamaan ini adalah 180°, dan sisi kanannya juga 180°).

Persamaan ini mencakup sudut yang sama dengan.

Jika kita mengurangi sama dari nilai yang sama, maka itu akan tetap sama. Hasilnya akan menjadi: ∠sebuah = ∠b, yaitu, sudut vertikal sama satu sama lain.

3. Jumlah sudut yang memiliki simpul yang sama.

Pada gambar 79, 1, 2, 3 dan 4 terletak pada sisi yang sama dari garis dan memiliki simpul yang sama pada garis ini. Singkatnya, sudut-sudut ini membentuk sudut lurus, mis.

1 + 2 + 3 + 4 = 180 °.

Dalam menggambar 80 1, 2, 3, 4 dan 5 memiliki simpul yang sama. Sudut-sudut ini dijumlahkan menjadi sudut penuh, yaitu 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 360°.

bahan lainnya

Geometri adalah ilmu yang sangat beragam. Ini mengembangkan logika, imajinasi dan kecerdasan. Tentu saja, karena kerumitannya dan banyaknya teorema dan aksioma, anak sekolah tidak selalu menyukainya. Selain itu, ada kebutuhan untuk terus-menerus membuktikan kesimpulan mereka menggunakan standar dan aturan yang berlaku umum.

Sudut yang berdekatan dan vertikal merupakan bagian integral dari geometri. Pasti banyak anak sekolah yang hanya mengaguminya karena sifatnya yang jelas dan mudah dibuktikan.

Pembentukan sudut

Setiap sudut dibentuk oleh perpotongan dua garis atau dengan menggambar dua sinar dari satu titik. Mereka dapat disebut satu atau tiga huruf, yang berturut-turut menunjukkan titik-titik konstruksi sudut.

Sudut diukur dalam derajat dan dapat (bergantung pada nilainya) disebut berbeda. Jadi, ada sudut siku-siku, lancip, tumpul dan dikerahkan. Masing-masing nama sesuai dengan ukuran derajat tertentu atau intervalnya.

Sudut lancip adalah sudut yang besarnya tidak melebihi 90 derajat.

Sudut tumpul adalah sudut yang besarnya lebih dari 90 derajat.

Suatu sudut disebut siku-siku jika besarnya 90.

Dalam kasus ketika itu dibentuk oleh satu garis lurus terus menerus, dan ukuran derajatnya adalah 180, itu disebut dikerahkan.

Sudut yang memiliki sisi yang sama, sisi kedua yang saling bersambung, disebut berdekatan. Mereka bisa tajam atau tumpul. Perpotongan garis membentuk sudut yang berdekatan. Sifat mereka adalah sebagai berikut:

1. Jumlah sudut tersebut akan sama dengan 180 derajat (ada teorema yang membuktikan hal ini). Oleh karena itu, salah satunya dapat dengan mudah dihitung jika yang lain diketahui.
2. Dari titik pertama berikut bahwa sudut yang berdekatan tidak dapat dibentuk oleh dua sudut tumpul atau dua sudut lancip.

Berkat sifat-sifat ini, seseorang selalu dapat menghitung ukuran derajat suatu sudut berdasarkan nilai sudut lain, atau setidaknya rasio di antara mereka.

Sudut vertikal

Sudut-sudut yang sisi-sisinya merupakan kelanjutan satu sama lain disebut vertikal. Salah satu varietas mereka dapat bertindak sebagai pasangan seperti itu. Sudut vertikal selalu sama besar satu sama lain.

Mereka terbentuk ketika garis berpotongan. Bersama dengan mereka, sudut yang berdekatan selalu ada. Suatu sudut dapat berdekatan untuk satu dan vertikal untuk yang lain.

Saat melintasi garis sewenang-wenang, beberapa jenis sudut juga dipertimbangkan. Garis seperti itu disebut garis potong, dan membentuk sudut yang bersesuaian, satu sisi dan bersilangan. Mereka setara satu sama lain. Mereka dapat dilihat berdasarkan sifat-sifat yang dimiliki oleh sudut vertikal dan sudut yang berdekatan.

Dengan demikian, topik sudut tampaknya cukup sederhana dan dapat dimengerti. Semua properti mereka mudah diingat dan dibuktikan. Memecahkan masalah tidak sulit selama sudut sesuai dengan nilai numerik. Lebih jauh lagi, ketika studi tentang sin dan cos dimulai, Anda harus mengingat banyak rumus kompleks, kesimpulan dan konsekuensinya. Sampai saat itu, Anda hanya dapat menikmati teka-teki mudah di mana Anda perlu menemukan sudut yang berdekatan.

2) Berapa banyak titik persekutuan yang dapat dimiliki oleh 2 garis?
3) Jelaskan apa yang dimaksud dengan segmen?
4) Jelaskan apa yang dimaksud dengan sinar.Bagaimana sinar ditunjuk?
5) Bangun apa yang disebut sudut?Jelaskan apa yang dimaksud dengan titik sudut dan sisi-sisi suatu sudut?
6) Sudut apa yang disebut dikerahkan?
7) Angka apa yang disebut sama?
8) Jelaskan bagaimana membandingkan 2 segmen
9) Titik apa yang disebut titik tengah ruas?
10) Jelaskan cara membandingkan 2 sudut.
11) Sinar manakah yang disebut garis bagi sudut?
12) Titik C membagi ruas AB menjadi 2 ruas.Bagaimana mencari panjang ruas AB jika panjang ruas AC dan CB diketahui?
13) Alat apa yang digunakan untuk mengukur jarak?
14) Berapakah besaran derajat suatu sudut?
15) Ray OS membagi sudut AOB menjadi 2 sudut. Bagaimana cara mencari besar sudut AOB jika besar sudut AOC dan COB diketahui?
16) Apa yang disebut sudut lancip? Benar? Tumpul?
17) Apa yang disebut sudut-sudut yang berdekatan?Berapa jumlah sudut-sudut yang berdekatan?
18) Apa yang disebut sudut vertikal?Sifat apa yang dimiliki sudut vertikal?
19) Garis apa yang disebut tegak lurus?
20) Jelaskan mengapa 2 garis tegak lurus pada garis ke-3 tidak berpotongan?
21) Alat apa yang digunakan untuk membuat sudut siku-siku di tanah?

Berapa banyak garis yang dapat dibuat melalui dua titik?

Berapa banyak titik persekutuan yang dapat dimiliki dua garis?
3 Jelaskan apa yang dimaksud dengan segmen!
4jelaskan apa itu sinar.Bagaimana sinar-sinar itu disebut?
Bangun apakah yang disebut sudut? Jelaskan apa yang dimaksud dengan titik sudut dan sisi sudut
6 sudut apa yang disebut tidak dilipat?
7 angka apa yang disebut sama?
8jelaskan cara membandingkan dua segmen
Titik apa yang disebut titik tengah ruas?
10jelaskan cara membandingkan dua sudut
11 sinar manakah yang disebut garis bagi sudut
12titik c membagi ruas ab menjadi dua ruas Cara mencari panjang ruas ab jika panjang ruas ac dan sb diketahui
13 alat apa yang digunakan untuk mengukur jarak?
14 berapa besar derajat suatu sudut?
Sinar os membagi sudut aob menjadi dua sudut.Cara mencari besar sudut aob jika besar sudut aos
Sudut apa yang disebut lancip?, kan?, tumpul?.
17Berapakah sudut-sudut yang disebut bersebelahan?berapa jumlah sudut-sudut yang bersebelahan?
18 jenis sudut apa yang disebut vertikal? sifat apa yang dimiliki sudut vertikal?
19 garis mana yang disebut tegak lurus?
20jelaskan mengapa dua garis tegak lurus terhadap sepertiga tidak berpotongan!
21 Alat apa yang digunakan untuk membuat sudut siku-siku di atas tanah?

1) berapakah besar sudut suatu sudut? 2) bangun apa yang disebut sama besar 3) apa yang disebut sudut berdekatan, berapa jumlah sudut yang berdekatan 4) apa yang disebut sudut

vertikal properti apa yang dimiliki sudut vertikal 5)

Tolong dong!! tolong=**

7. Buktikan bahwa jika dua garis sejajar berpotongan dengan garis ketiga, maka sudut-sudut dalam berseberangan adalah sama, dan jumlah sudut satu sisi dalam adalah 180 derajat.

8. Buktikan bahwa dua garis yang tegak lurus terhadap garis ketiga adalah sejajar. Jika sebuah garis tegak lurus terhadap salah satu dari dua garis sejajar, maka garis tersebut juga tegak lurus terhadap yang lain.

9. Buktikan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat.

10. Buktikan bahwa setiap segitiga memiliki setidaknya dua sudut lancip.

11. Berapa besar sudut luar segitiga?

12. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan.

13. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga lebih besar daripada sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

14. Segitiga apa yang disebut segitiga siku-siku?

15. Berapa jumlah sudut lancip pada segitiga siku-siku?

16. Sisi mana dari segitiga siku-siku yang disebut sisi miring? Sisi apa yang disebut kaki?

17. Merumuskan tanda persamaan segitiga siku-siku sepanjang sisi miring dan kakinya.

18. Buktikan bahwa dari sembarang titik yang tidak terletak pada garis tertentu, seseorang dapat menjatuhkan garis tegak lurus terhadap garis ini, dan hanya satu.

19. Apa yang disebut jarak dari titik ke garis?

20. Jelaskan berapa jarak antara garis sejajar.

Apa yang dimaksud dengan sudut yang berdekatan

Injeksi- ini adalah sosok geometris (Gbr. 1), dibentuk oleh dua sinar OA dan OB (sisi sudut), yang berasal dari satu titik O (puncak sudut).

SUDUT BERSAMA adalah dua sudut yang jumlahnya 180°. Masing-masing sudut ini melengkapi yang lain dengan sudut penuh.

Sudut yang berdekatan- (Agles adjacets) mereka yang memiliki bagian atas yang sama dan sisi yang sama. Terutama, nama ini mengacu pada sudut seperti itu, di mana dua sisi lainnya terletak pada arah yang berlawanan dari satu garis lurus yang ditarik.

Dua sudut disebut bersebelahan jika memiliki satu sisi yang sama dan sisi-sisi lain dari sudut-sudut tersebut merupakan setengah garis yang saling melengkapi.

Nasi. 2

Pada Gambar 2, sudut a1b dan a2b saling berdekatan. Mereka memiliki sisi b yang sama, dan sisi a1, a2 adalah tambahan setengah garis.

Nasi. 3

Gambar 3 menunjukkan garis AB, titik C terletak di antara titik A dan B. Titik D adalah titik yang tidak terletak pada garis AB. Ternyata sudut BCD dan ACD bertetangga. Mereka memiliki sisi CD yang sama, dan sisi CA dan CB adalah tambahan setengah garis dari garis AB, karena titik A, B dipisahkan oleh titik awal C.

Teorema sudut yang berdekatan

Dalil: jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°

Bukti:
Sudut a1b dan a2b berdekatan (lihat Gambar 2). Balok b melewati antara sisi a1 dan a2 dari sudut yang diluruskan. Jadi, jumlah sudut a1b dan a2b sama dengan sudut lurus, yaitu 180°. Teorema telah terbukti.

Sudut yang besarnya sama dengan 90° disebut sudut siku-siku. Dari teorema tentang jumlah sudut yang berdekatan dapat disimpulkan bahwa sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku juga merupakan sudut siku-siku. Sudut yang kurang dari 90° disebut lancip, dan sudut yang lebih besar dari 90° disebut tumpul. Karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°, maka sudut yang berdekatan dengan sudut lancip adalah sudut tumpul. Sudut yang berdekatan dengan sudut tumpul adalah sudut lancip.

Sudut yang berdekatan- dua sudut dengan simpul yang sama, salah satu sisinya sama, dan sisi lainnya terletak pada garis lurus yang sama (tidak bertepatan). Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°.

Definisi 1. Sudut adalah bagian dari bidang yang dibatasi oleh dua sinar dengan asal yang sama.

Definisi 1.1. Sudut adalah sosok yang terdiri dari titik - titik sudut - dan dua setengah garis berbeda yang berasal dari titik ini - sisi sudut.
Misalnya, sudut BOS pada Gambar 1 Perhatikan dua garis berpotongan pertama. Ketika mereka berpotongan, garis membentuk sudut. Ada kasus khusus:

Definisi 2. Jika sisi-sisi suatu sudut merupakan setengah garis yang saling melengkapi dari satu garis lurus, maka sudut tersebut disebut sudut lurus.

Definisi 3. Sudut siku-siku adalah sudut 90 derajat.

Definisi 4. Sudut yang kurang dari 90 derajat disebut sudut lancip.

Definisi 5. Sudut yang lebih besar dari 90 derajat dan kurang dari 180 derajat disebut sudut tumpul.
garis berpotongan.

Definisi 6. Dua sudut, yang satu sisinya sama, dan sisi lainnya terletak pada garis lurus yang sama, disebut berdekatan.

Definisi 7. Sudut yang sisi-sisinya saling memanjang disebut sudut vertikal.
Gambar 1:
berdekatan: 1 dan 2; 2 dan 3; 3 dan 4; 4 dan 1
vertikal: 1 dan 3; 2 dan 4
Teorema 1. Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180 derajat.
Sebagai bukti, perhatikan Gambar. 4 sudut yang berdekatan AOB dan BOS. Jumlah mereka adalah sudut AOC yang dikembangkan. Jadi, jumlah sudut-sudut yang berdekatan ini adalah 180 derajat.

Nasi. 4

Hubungan antara matematika dan musik

"Berpikir tentang seni dan sains, tentang hubungan timbal balik dan kontradiksi mereka, saya sampai pada kesimpulan bahwa matematika dan musik berada di kutub ekstrem jiwa manusia, bahwa kedua antipode ini membatasi dan menentukan semua aktivitas spiritual kreatif seseorang, dan bahwa segala sesuatu ditempatkan di antara mereka, apa yang telah diciptakan manusia di bidang ilmu pengetahuan dan seni."
G. Neuhaus
Tampaknya seni adalah bidang yang sangat abstrak dari matematika. Namun, hubungan antara matematika dan musik dikondisikan baik secara historis maupun internal, terlepas dari kenyataan bahwa matematika adalah ilmu yang paling abstrak, dan musik adalah bentuk seni yang paling abstrak.
Konsonan menentukan suara senar yang enak didengar.
Sistem musik ini didasarkan pada dua hukum, yang menyandang nama dua ilmuwan besar - Pythagoras dan Archytas. Inilah hukum-hukumnya:
1. Dua dawai yang berbunyi menentukan konsonan jika panjangnya terkait sebagai bilangan bulat yang membentuk bilangan segitiga 10=1+2+3+4, mis. seperti 1:2, 2:3, 3:4. Selain itu, semakin kecil angka n dalam kaitannya dengan n:(n+1) (n=1,2,3), semakin konsonan interval yang dihasilkan.
2. Frekuensi osilasi w dari dawai yang berbunyi berbanding terbalik dengan panjangnya l.
w = a:l,
di mana a adalah koefisien yang mencirikan sifat fisik string.

Saya juga akan menawarkan perhatian Anda parodi lucu tentang perselisihan antara dua matematikawan =)

Geometri di sekitar kita

Geometri memainkan peran penting dalam kehidupan kita. Karena kenyataan bahwa ketika Anda melihat-lihat, tidak akan sulit untuk menyadari bahwa kita dikelilingi oleh berbagai bentuk geometris. Kami menemukan mereka di mana-mana: di jalan, di ruang kelas, di rumah, di taman, di gym, di kafetaria sekolah, pada prinsipnya, di mana pun kami berada. Tapi topik pelajaran hari ini adalah bara yang berdekatan. Jadi mari kita melihat-lihat dan mencoba mencari sudut di lingkungan ini. Jika Anda melihat dengan cermat ke luar jendela, Anda dapat melihat bahwa beberapa cabang pohon membentuk sudut yang berdekatan, dan Anda dapat melihat banyak sudut vertikal di partisi di gerbang. Berikan contoh sudut berdekatan yang Anda lihat di lingkungan.

Latihan 1.

1. Ada sebuah buku di atas meja di rak buku. Sudut apa yang terbentuk?
2. Tetapi siswa sedang mengerjakan laptop. Sudut apa yang Anda lihat di sini?
3. Berapa sudut bingkai foto pada dudukan?
4. Menurut Anda, apakah dua sudut yang berdekatan bisa sama besar?

Tugas 2.

Di depan Anda adalah sosok geometris. Ini gambar apa, sebutkan? Sekarang beri nama semua sudut yang berdekatan yang dapat Anda lihat pada gambar geometris ini.

Tugas 3.

Berikut adalah gambar gambar dan lukisan. Perhatikan baik-baik dan katakan jenis tangkapan apa yang Anda lihat dalam gambar, dan sudut apa dalam gambar.

Penyelesaian masalah

1) Dua sudut diberikan, terkait satu sama lain sebagai 1: 2, dan berdekatan dengan mereka - sebagai 7: 5. Anda perlu menemukan sudut-sudut ini.
2) Diketahui bahwa salah satu sudut yang berdekatan adalah 4 kali lebih besar dari yang lain. Apa itu sudut yang berdekatan?
3) Penting untuk menemukan sudut yang berdekatan, asalkan salah satunya 10 derajat lebih besar dari yang kedua.

Dikte matematika untuk pengulangan materi yang dipelajari sebelumnya

1) Gambarlah: garis a I b berpotongan di titik A. Tandai sudut terkecil yang terbentuk dengan angka 1, dan sudut yang tersisa - berurutan dengan angka 2,3,4; sinar komplementer dari garis a - melalui a1 dan a2, dan garis b - melalui b1 dan b2.
2) Menggunakan gambar yang sudah selesai, masukkan nilai dan penjelasan yang diperlukan di celah dalam teks:
a) sudut 1 dan sudut .... terkait karena...
b) sudut 1 dan sudut .... vertikal karena...
c) jika sudut 1 = 60°, maka sudut 2 = ..., karena ...
d) jika sudut 1 = 60°, maka sudut 3 = ..., karena ...

Menyelesaikan masalah:

1. Dapatkah jumlah 3 sudut yang terbentuk pada perpotongan 2 garis sama dengan 100°? 370 °?
2. Pada gambar, temukan semua pasangan sudut yang berdekatan. Dan sekarang sudut vertikal. Beri nama sudut-sudut ini.

3. Anda perlu mencari sudut yang besarnya tiga kali lebih besar dari sudut yang berdekatan.
4. Dua garis saling berpotongan. Sebagai hasil dari persimpangan ini, empat sudut terbentuk. Tentukan nilai salah satu dari mereka, asalkan:

a) jumlah 2 sudut dari empat 84 °;
b) selisih 2 sudutnya adalah 45°;
c) salah satu sudutnya 4 kali lebih kecil dari yang kedua;
d) jumlah ketiga sudut tersebut adalah 290°.

Ringkasan pelajaran

1. sebutkan sudut yang terbentuk pada perpotongan 2 garis?
2. Sebutkan semua pasangan sudut yang mungkin pada gambar dan tentukan jenisnya.

Pekerjaan rumah:

1. Temukan rasio ukuran derajat sudut yang berdekatan ketika salah satunya 54 ° lebih dari yang kedua.
2. Tentukan besar sudut yang terbentuk jika 2 garis berpotongan, asalkan salah satu sudutnya sama dengan jumlah 2 sudut lain yang berdekatan.
3. Diperlukan untuk menemukan sudut yang berdekatan ketika garis bagi salah satu dari mereka membentuk sudut dengan sisi yang kedua, yang 60 ° lebih besar dari sudut kedua.
4. Selisih 2 sudut yang bersebelahan sama dengan sepertiga dari jumlah kedua sudut tersebut. Tentukan nilai 2 sudut yang berdekatan.
5. Selisih dan jumlah dari 2 sudut yang berdekatan saling berhubungan sebagai 1:5. Temukan sudut yang berdekatan.
6. Selisih antara dua yang berdekatan adalah 25% dari jumlah mereka. Bagaimana nilai dari 2 sudut yang berdekatan berhubungan? Tentukan nilai 2 sudut yang berdekatan.

Pertanyaan:

1. Apa itu sudut?
2. Apa saja jenis sudut?
3. Apa fitur sudut yang berdekatan?

Mata Pelajaran > Matematika > Matematika Kelas 7

Dua sudut disebut bersebelahan jika memiliki satu sisi yang sama dan sisi-sisi lain dari sudut-sudut tersebut adalah sinar-sinar komplementer. Pada gambar 20, sudut AOB dan BOC berdekatan.

Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°

Teorema 1. Jumlah sudut yang berdekatan adalah 180°.

Bukti. Balok OB (lihat Gambar 1) melewati antara sisi sudut yang dikembangkan. Jadi AOB + BOC = 180°.

Dari Teorema 1 dapat disimpulkan bahwa jika dua sudut sama besar, maka sudut-sudut yang berdekatan sama besar.

Sudut vertikal sama besar

Dua sudut disebut vertikal jika sisi-sisi dari salah satu sudut adalah sinar-sinar komplementer dari sisi-sisi yang lain. Sudut AOB dan COD, BOD dan AOC, yang dibentuk pada perpotongan dua garis lurus, adalah vertikal (Gbr. 2).

Teorema 2. Sudut vertikal sama besar.

Bukti. Pertimbangkan sudut vertikal AOB dan COD (lihat Gambar 2). Sudut BOD berdekatan dengan masing-masing sudut AOB dan COD. Berdasarkan Teorema 1, AOB + BOD = 180°, COD + BOD = 180°.

Oleh karena itu kami menyimpulkan bahwa AOB = COD.

Akibat wajar 1. Sudut yang berdekatan dengan sudut siku-siku adalah sudut siku-siku.

Pertimbangkan dua garis lurus berpotongan AC dan BD (Gbr. 3). Mereka membentuk empat sudut. Jika salah satunya siku-siku (sudut 1 pada Gambar 3), maka sudut lainnya juga siku-siku (sudut 1 dan 2, 1 dan 4 berdekatan, sudut 1 dan 3 vertikal). Dalam hal ini, garis-garis ini dikatakan berpotongan tegak lurus dan disebut tegak lurus (atau saling tegak lurus). Tegak lurus garis AC dan BD dilambangkan sebagai berikut: AC BD.

Garis bagi suatu segmen tegak lurus adalah garis yang tegak lurus terhadap segmen tersebut dan melalui titik tengahnya.

AN - tegak lurus terhadap garis

Pertimbangkan garis a dan titik A tidak terletak di atasnya (Gbr. 4). Hubungkan titik A dengan ruas ke titik H dengan garis lurus a. Suatu ruas AH disebut garis tegak lurus yang ditarik dari titik A ke garis a jika garis AN dan a tegak lurus. Titik H disebut alas tegak lurus.

Menggambar persegi

Teorema berikut ini benar.

Teorema 3. Dari sembarang titik yang tidak terletak pada suatu garis, seseorang dapat menggambar garis tegak lurus terhadap garis ini, dan terlebih lagi, hanya satu.

Untuk menggambar tegak lurus dari suatu titik ke garis lurus dalam gambar, digunakan gambar persegi (Gbr. 5).

Komentar. Pernyataan teorema biasanya terdiri dari dua bagian. Satu bagian berbicara tentang apa yang diberikan. Bagian ini disebut kondisi teorema. Bagian lain berbicara tentang apa yang perlu dibuktikan. Bagian ini disebut kesimpulan dari teorema. Misalnya, syarat Teorema 2 adalah sudut vertikal; kesimpulan - sudut-sudut ini sama.

Teorema apa pun dapat dinyatakan secara rinci dalam kata-kata sehingga kondisinya akan dimulai dengan kata "jika", dan kesimpulannya dengan kata "maka". Misalnya, Teorema 2 dapat dinyatakan secara rinci sebagai berikut: "Jika dua sudut vertikal, maka mereka sama besar."

Contoh 1 Salah satu sudut yang berdekatan adalah 44°. Apa yang sama dengan yang lain?

Keputusan. Nyatakan besaran derajat sudut lain dengan x, maka menurut Teorema 1.
44° + x = 180°.
Memecahkan persamaan yang dihasilkan, kami menemukan bahwa x \u003d 136 °. Jadi, besar sudut lainnya adalah 136°.

Contoh 2 Biarkan sudut COD pada Gambar 21 menjadi 45°. Berapakah sudut AOB dan AOC?

Keputusan. Sudut COD dan AOB adalah vertikal, oleh karena itu, dengan Teorema 1.2 mereka sama, yaitu, AOB = 45°. Sudut AOC berdekatan dengan sudut COD, oleh karena itu, dengan Teorema 1.
AOC = 180° - COD = 180° - 45° = 135°.

Contoh 3 Hitunglah sudut-sudut yang berdekatan jika salah satu besarnya 3 kali sudut yang lain.

Keputusan. Nyatakan besaran derajat dari sudut yang lebih kecil dengan x. Maka ukuran derajat sudut yang lebih besar adalah Zx. Karena jumlah sudut yang berdekatan adalah 180° (Teorema 1), maka x + 3x = 180°, dari mana x = 45°.
Jadi sudut-sudut yang berdekatan adalah 45° dan 135°.

Contoh 4 Jumlah dua sudut vertikal adalah 100 °. Tentukan nilai masing-masing dari keempat sudut tersebut.

Keputusan. Misalkan gambar 2 sesuai dengan kondisi masalah Sudut vertikal COD ke AOB adalah sama (Teorema 2), yang berarti ukuran derajatnya juga sama. Oleh karena itu, COD = AOB = 50 ° (jumlahnya adalah 100 ° dengan syarat). Sudut BOD (juga sudut AOC) berdekatan dengan sudut COD, dan oleh karena itu, dengan Teorema 1
BOD = AOC = 180° - 50° = 130°.