Privasi Anda penting bagi kami. Untuk alasan ini, kami telah mengembangkan Kebijakan Privasi yang menjelaskan bagaimana kami menggunakan dan menyimpan informasi Anda. Harap baca kebijakan privasi kami dan beri tahu kami jika Anda memiliki pertanyaan.

Pengumpulan dan penggunaan informasi pribadi

Informasi pribadi mengacu pada data yang dapat digunakan untuk mengidentifikasi atau menghubungi orang tertentu.

Anda mungkin diminta untuk memberikan informasi pribadi Anda kapan saja saat Anda menghubungi kami.

Berikut ini adalah beberapa contoh jenis informasi pribadi yang kami kumpulkan dan bagaimana kami dapat menggunakan informasi tersebut.

Informasi pribadi apa yang kami kumpulkan:

• Saat Anda mengajukan aplikasi di situs, kami dapat mengumpulkan berbagai informasi, termasuk nama, nomor telepon, alamat email, dll.

Bagaimana kami menggunakan informasi pribadi Anda:

• Informasi pribadi yang kami kumpulkan memungkinkan kami untuk menghubungi Anda dan memberi tahu Anda tentang penawaran unik, promosi, dan acara lainnya serta acara mendatang.
• Dari waktu ke waktu, kami dapat menggunakan informasi pribadi Anda untuk mengirimkan pemberitahuan dan pesan penting kepada Anda.
• Kami juga dapat menggunakan informasi pribadi untuk tujuan internal, seperti melakukan audit, analisis data, dan berbagai penelitian untuk meningkatkan layanan yang kami berikan dan memberi Anda rekomendasi terkait layanan kami.
• Jika Anda mengikuti undian berhadiah, kontes, atau insentif serupa, kami dapat menggunakan informasi yang Anda berikan untuk mengelola program tersebut.

Pengungkapan kepada pihak ketiga

Kami tidak mengungkapkan informasi yang diterima dari Anda kepada pihak ketiga.

Pengecualian:

• Jika perlu - sesuai dengan hukum, perintah pengadilan, dalam proses hukum, dan / atau berdasarkan permintaan publik atau permintaan dari badan-badan negara di wilayah Federasi Rusia - mengungkapkan informasi pribadi Anda. Kami juga dapat mengungkapkan informasi tentang Anda jika kami menentukan bahwa pengungkapan tersebut diperlukan atau sesuai untuk keamanan, penegakan hukum, atau tujuan kepentingan publik lainnya.
• Jika terjadi reorganisasi, merger, atau penjualan, kami dapat mentransfer informasi pribadi yang kami kumpulkan kepada penerus pihak ketiga yang relevan.

Perlindungan informasi pribadi

Kami mengambil tindakan pencegahan - termasuk administratif, teknis, dan fisik - untuk melindungi informasi pribadi Anda dari kehilangan, pencurian, dan penyalahgunaan, serta dari akses, pengungkapan, perubahan, dan penghancuran yang tidak sah.

Menjaga privasi Anda di tingkat perusahaan

Untuk memastikan bahwa informasi pribadi Anda aman, kami mengomunikasikan praktik privasi dan keamanan kepada karyawan kami dan secara ketat menegakkan praktik privasi.

Rumus kekuatan digunakan dalam proses pengurangan dan penyederhanaan ekspresi kompleks, dalam memecahkan persamaan dan pertidaksamaan.

Nomor c adalah n-kekuatan suatu bilangan sebuah Kapan:

Operasi dengan derajat.

1. Mengalikan derajat dengan basis yang sama, indikatornya bertambah:

sayaa n = a m + n .

2. Dalam pembagian derajat dengan basis yang sama, indikatornya dikurangi:

3. Derajat perkalian 2 faktor atau lebih sama dengan perkalian derajat faktor-faktor ini:

(abc…) n = a n b n c n …

4. Derajat pecahan sama dengan rasio derajat pembagian dan pembagi:

(a/b) n = a n / b n .

5. Menaikkan pangkat ke pangkat, eksponen dikalikan:

(am) n = a m n .

Setiap rumus di atas benar dalam arah dari kiri ke kanan dan sebaliknya.

Misalnya. (2 3 5/15)² = 2² 3² 5²/15² = 900/225 = 4.

Operasi dengan akar.

1. Akar perkalian beberapa faktor sama dengan hasil perkalian akar-akar faktor ini:

2. Akar rasio sama dengan rasio bagi hasil dan pembagi akar:

3. Saat menaikkan akar ke pangkat, cukup menaikkan nomor akar ke pangkat ini:

4. Jika kita meningkatkan derajat akar dalam n sekali dan pada saat yang sama naik ke n th power adalah nomor root, maka nilai root tidak akan berubah:

5. Jika kita menurunkan derajat akar dalam n root pada saat yang sama n derajat th dari bilangan akar, maka nilai akarnya tidak akan berubah:

Derajat dengan eksponen negatif. Derajat bilangan tertentu dengan eksponen non-positif (bilangan bulat) didefinisikan sebagai satu dibagi dengan derajat bilangan yang sama dengan eksponen yang sama dengan nilai absolut dari eksponen non-positif:

Rumus saya:a n = a m - n dapat digunakan tidak hanya untuk m> n, tetapi juga di m< n.

Misalnya. sebuah4:a 7 = a 4 - 7 = a -3.

Untuk merumuskan saya:a n = a m - n menjadi adil di m=n, Anda membutuhkan kehadiran derajat nol.

Gelar dengan eksponen nol. Pangkat bilangan bukan nol dengan eksponen nol sama dengan satu.

Misalnya. 2 0 = 1,(-5) 0 = 1,(-3/5) 0 = 1.

Gelar dengan eksponen pecahan. Untuk menaikkan bilangan asli sebuah sampai tingkat tertentu M N, Anda perlu mengekstrak root n derajat m kekuatan nomor ini sebuah.

Pada artikel ini, kita akan memahami apa itu derajat. Di sini kita akan memberikan definisi derajat suatu bilangan, sambil mempertimbangkan secara rinci semua kemungkinan eksponen derajat, dimulai dengan eksponen alami, diakhiri dengan eksponen irasional. Dalam materi Anda akan menemukan banyak contoh derajat yang mencakup semua seluk-beluk yang muncul.

Navigasi halaman.

Derajat dengan eksponen alami, kuadrat dari suatu bilangan, pangkat tiga dari suatu bilangan

Mari kita mulai dengan . Melihat ke depan, katakanlah definisi derajat a dengan eksponen alami n diberikan untuk a , yang akan kita sebut dasar derajat, dan n , yang akan kita sebut eksponen. Perhatikan juga bahwa derajat dengan indikator alami ditentukan melalui produk, jadi untuk memahami materi di bawah ini, Anda perlu memiliki gagasan tentang perkalian angka.

Definisi.

Kekuatan bilangan a dengan eksponen alami n adalah ekspresi dari bentuk a n , yang nilainya sama dengan produk dari n faktor, yang masing-masing sama dengan a , yaitu .
Secara khusus, derajat suatu bilangan a dengan eksponen 1 adalah bilangan a itu sendiri, yaitu a 1 =a.

Segera perlu disebutkan aturan untuk membaca derajat. Cara universal untuk membaca entri a n adalah: "a pangkat n". Dalam beberapa kasus, opsi tersebut juga dapat diterima: "a pangkat n" dan "pangkat n angka a". Sebagai contoh, mari kita ambil pangkat 8 12, ini adalah "delapan pangkat dua belas", atau "delapan pangkat dua belas", atau "kedua belas pangkat delapan".

Kekuatan kedua dari sebuah angka, serta kekuatan ketiga dari sebuah angka, memiliki nama mereka sendiri. pangkat dua suatu bilangan disebut kuadrat dari suatu bilangan, misalnya, 7 2 dibaca sebagai "kuadrat tujuh" atau "kuadrat dari angka tujuh". Kekuatan ketiga dari suatu bilangan disebut nomor kubus, misalnya, 5 3 dapat dibaca sebagai "lima pangkat tiga" atau ucapkan "kubus angka 5".

Saatnya membawa contoh derajat dengan indikator fisik. Mari kita mulai dengan pangkat 5 7 , di mana 5 adalah basis dari pangkat dan 7 adalah eksponen. Mari berikan contoh lain: 4,32 adalah basis, dan bilangan asli 9 adalah eksponen (4,32) 9 .

Harap dicatat bahwa dalam contoh terakhir, basis derajat 4.32 ditulis dalam tanda kurung: untuk menghindari perbedaan, kami akan mengambil dalam tanda kurung semua basis derajat yang berbeda dari bilangan asli. Sebagai contoh, kami memberikan derajat berikut dengan indikator alami , basisnya bukan bilangan asli, jadi ditulis dalam tanda kurung. Nah, untuk kejelasan lengkap pada titik ini, kami akan menunjukkan perbedaan yang terkandung dalam catatan bentuk (−2) 3 dan 2 3 . Ekspresi (−2) 3 adalah pangkat dari 2 dengan pangkat 3 alami, dan ekspresi 2 3 (dapat ditulis sebagai (2 3) ) sesuai dengan angka, nilai dari pangkat 2 3 .

Perhatikan bahwa ada notasi untuk derajat a dengan eksponen n dalam bentuk a^n . Selain itu, jika n adalah bilangan asli multinilai, maka eksponennya diambil dalam tanda kurung. Misalnya, 4^9 adalah notasi lain untuk pangkat 4 9 . Dan berikut adalah contoh penulisan derajat lainnya dengan menggunakan simbol “^”: 14^(21) , (−2,1)^(155) . Berikut ini, kita akan menggunakan notasi derajat dari bentuk a n .

Salah satu masalah, kebalikan dari eksponen dengan eksponen alami, adalah masalah menemukan basis derajat dari nilai derajat yang diketahui dan eksponen yang diketahui. Tugas ini mengarah ke .

Diketahui bahwa himpunan bilangan rasional terdiri dari bilangan bulat dan bilangan pecahan, dan setiap bilangan pecahan dapat direpresentasikan sebagai pecahan biasa positif atau negatif. Kami mendefinisikan derajat dengan eksponen bilangan bulat pada paragraf sebelumnya, oleh karena itu, untuk melengkapi definisi derajat dengan eksponen rasional, kami perlu memberikan arti derajat dari angka a dengan eksponen pecahan m / n, di mana m adalah bilangan bulat dan n adalah bilangan asli. Ayo lakukan.

Pertimbangkan gelar dengan eksponen pecahan dari bentuk . Agar properti derajat dalam derajat tetap berlaku, kesetaraan harus berlaku . Jika kita memperhitungkan persamaan yang dihasilkan dan cara kita mendefinisikan , maka logis untuk menerima, asalkan untuk m, n dan a yang diberikan, ekspresinya masuk akal.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa semua properti derajat dengan eksponen bilangan bulat valid untuk as (ini dilakukan di bagian properti derajat dengan eksponen rasional).

Alasan di atas memungkinkan kita untuk membuat yang berikut: kesimpulan: jika untuk m, n dan a yang diberikan ekspresi masuk akal, maka pangkat dari bilangan a dengan pangkat pecahan m / n adalah akar dari derajat ke-n dari pangkat m.

Pernyataan ini membawa kita mendekati definisi derajat dengan eksponen pecahan. Tetap hanya untuk menggambarkan ekspresi m, n dan a yang masuk akal. Tergantung pada pembatasan yang dikenakan pada m , n dan a, ada dua pendekatan utama.

Cara termudah untuk membatasi a adalah dengan mengasumsikan a≥0 untuk m positif dan a>0 untuk m negatif (karena m≤0 tidak memiliki kekuatan 0 m). Kemudian kita mendapatkan definisi derajat berikut dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Pangkat bilangan positif a dengan pangkat pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat, dan n adalah bilangan asli, disebut akar ke-n dari bilangan a pangkat m, yaitu .

Derajat pecahan nol juga didefinisikan dengan satu-satunya peringatan bahwa eksponen harus positif.

Definisi.

Pangkat nol dengan eksponen positif pecahan m/n, di mana m adalah bilangan bulat positif dan n adalah bilangan asli, didefinisikan sebagai .
Ketika derajat tidak ditentukan, yaitu derajat angka nol dengan eksponen negatif pecahan tidak masuk akal.

Perlu dicatat bahwa dengan definisi derajat seperti itu dengan eksponen pecahan, ada satu nuansa: untuk beberapa a negatif dan beberapa m dan n, ekspresi masuk akal, dan kami membuang kasus ini dengan memperkenalkan kondisi a≥0 . Misalnya, masuk akal untuk menulis atau , dan definisi di atas memaksa kita untuk mengatakan bahwa derajat dengan eksponen pecahan dari bentuk tidak ada artinya, karena basisnya tidak boleh negatif.

Pendekatan lain untuk menentukan derajat dengan pangkat pecahan m / n adalah dengan mempertimbangkan secara terpisah pangkat genap dan ganjil dari akar. Pendekatan ini memerlukan kondisi tambahan: derajat bilangan a, yang eksponennya , dianggap derajat bilangan a, eksponennya adalah pecahan tak tereduksi yang sesuai (pentingnya kondisi ini akan dijelaskan di bawah). Artinya, jika m/n adalah pecahan tak tereduksi, maka untuk sembarang bilangan asli k derajatnya pertama-tama diganti dengan .

Untuk n genap dan m positif, ekspresi masuk akal untuk sembarang a non-negatif (akar derajat genap dari bilangan negatif tidak masuk akal), untuk m negatif, bilangan a masih harus berbeda dari nol (jika tidak ada akan menjadi pembagian dengan nol). Dan untuk n ganjil dan m positif, bilangan a dapat berupa apa saja (akar derajat ganjil ditentukan untuk sembarang bilangan real), dan untuk m negatif, bilangan a harus berbeda dari nol (sehingga tidak ada pembagian dengan nol).

Alasan di atas membawa kita ke definisi derajat dengan eksponen pecahan.

Definisi.

Biarkan m/n menjadi pecahan tak tereduksi, m bilangan bulat, dan n bilangan asli. Untuk setiap pecahan biasa yang dapat direduksi, derajatnya diganti dengan . Pangkat a dengan pangkat pecahan tak tereduksi m / n adalah untuk



Mari kita jelaskan mengapa gelar dengan eksponen pecahan yang dapat direduksi pertama-tama diganti dengan gelar dengan eksponen yang tidak dapat direduksi. Jika kita hanya mendefinisikan derajat sebagai , dan tidak membuat reservasi tentang ireduksibilitas pecahan m / n , maka kita akan menghadapi situasi yang mirip dengan berikut: karena 6/10=3/5 , maka persamaan , tetapi , sebuah .

Kami menemukan apa tingkat angka secara umum. Sekarang kita perlu memahami cara menghitungnya dengan benar, mis. menaikkan angka menjadi kekuatan. Dalam materi ini, kita akan menganalisis aturan dasar untuk menghitung derajat dalam kasus bilangan bulat, alami, pecahan, eksponen rasional dan irasional. Semua definisi akan diilustrasikan dengan contoh.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Konsep eksponensial

Mari kita mulai dengan perumusan definisi dasar.

Definisi 1

Eksponen adalah perhitungan nilai pangkat beberapa bilangan.

Artinya, kata "perhitungan nilai derajat" dan "perpangkatan" memiliki arti yang sama. Jadi, jika tugasnya adalah "Naikkan angka 0 , 5 ke pangkat lima", ini harus dipahami sebagai "hitung nilai pangkat (0 , 5) 5 .

Sekarang kami memberikan aturan dasar yang harus diikuti dalam perhitungan tersebut.

Ingat kembali apa itu pangkat dari bilangan dengan eksponen alami. Untuk pangkat dengan basis a dan eksponen n, ini akan menjadi produk dari jumlah faktor ke-n, yang masing-masing sama dengan a. Ini dapat ditulis seperti ini:

Untuk menghitung nilai derajat, Anda perlu melakukan operasi perkalian, yaitu mengalikan basis derajat beberapa kali. Konsep gelar dengan indikator alami didasarkan pada kemampuan untuk mengalikan dengan cepat. Mari kita beri contoh.

Contoh 1

Kondisi: Naikkan - 2 pangkat 4 .

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: (− 2) 4 = (− 2) ( 2) (− 2) (− 2) . Selanjutnya, kita hanya perlu mengikuti langkah-langkah ini dan mendapatkan 16 .

Mari kita ambil contoh yang lebih rumit.

Contoh 2

Hitung nilainya 3 2 7 2

Keputusan

Entri ini dapat ditulis ulang menjadi 3 2 7 · 3 2 7 . Sebelumnya kita telah melihat cara mengalikan bilangan campuran yang disebutkan dalam kondisi dengan benar.

Lakukan langkah-langkah ini dan dapatkan jawabannya: 3 2 7 3 2 7 = 23 7 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Jika tugas menunjukkan kebutuhan untuk menaikkan bilangan irasional ke kekuatan alami, pertama-tama kita harus membulatkan basisnya ke angka yang memungkinkan kita mendapatkan jawaban dengan akurasi yang diinginkan. Mari kita ambil contoh.

Contoh 3

Lakukan kuadrat dari bilangan .

Keputusan

Mari kita bulatkan ke ratusan dulu. Maka 2 (3, 14) 2 = 9, 8596. Jika 3 . 14159, maka kita akan mendapatkan hasil yang lebih akurat: 2 (3, 14159) 2 = 9, 8695877281.

Perhatikan bahwa kebutuhan untuk menghitung pangkat bilangan irasional dalam praktik relatif jarang muncul. Kita kemudian dapat menulis jawabannya sebagai pangkat itu sendiri (ln 6) 3 atau jika mungkin mengubah: 5 7 = 125 5 .

Secara terpisah, itu harus ditunjukkan apa kekuatan pertama dari suatu angka. Di sini Anda hanya dapat mengingat bahwa angka apa pun yang dipangkatkan pertama akan tetap menjadi dirinya sendiri:

Ini jelas dari catatan. .

Itu tidak tergantung pada dasar gelar.

Contoh 4

Jadi, (− 9) 1 = 9 , dan 7 3 dipangkatkan pertama tetap sama dengan 7 3 .

Untuk memudahkan, kami akan menganalisis tiga kasus secara terpisah: jika eksponen adalah bilangan bulat positif, jika nol, dan jika bilangan bulat negatif.

Dalam kasus pertama, ini sama dengan menaikkan ke kekuatan alami: setelah semua, bilangan bulat positif termasuk dalam himpunan bilangan asli. Kami telah menjelaskan cara bekerja dengan gelar seperti itu di atas.

Sekarang mari kita lihat cara menaikkan pangkat nol dengan benar. Dengan basis yang bukan nol, perhitungan ini selalu menghasilkan keluaran 1 . Kami sebelumnya telah menjelaskan bahwa pangkat 0 dari a dapat didefinisikan untuk sembarang bilangan real yang tidak sama dengan 0 , dan a 0 = 1 .

Contoh 5

5 0 = 1 , (- 2 , 56) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 - tidak ditentukan.

Kami hanya memiliki kasus gelar dengan eksponen bilangan bulat negatif. Kita telah membahas bahwa derajat tersebut dapat ditulis sebagai pecahan 1 a z, di mana a adalah bilangan apa saja, dan z adalah bilangan bulat negatif. Kita melihat bahwa penyebut pecahan ini tidak lebih dari derajat biasa dengan bilangan bulat positif, dan kita telah mempelajari cara menghitungnya. Mari kita beri contoh tugas.

Contoh 6

Naikkan 3 ke pangkat -2.

Keputusan

Menggunakan definisi di atas, kita menulis: 2 - 3 = 1 2 3

Kami menghitung penyebut pecahan ini dan mendapatkan 8: 2 3 \u003d 2 2 2 \u003d 8.

Maka jawabannya adalah: 2 - 3 = 1 2 3 = 1 8

Contoh 7

Naikkan 1, 43 ke pangkat -2.

Keputusan

Rumuskan ulang: 1 , 43 - 2 = 1 (1 , 43) 2

Kami menghitung kuadrat dalam penyebut: 1,43 1,43. Desimal dapat dikalikan dengan cara ini:

Hasilnya, kami mendapatkan (1, 43) - 2 = 1 (1, 43) 2 = 1 2 , 0449 . Tetap bagi kita untuk menulis hasil ini dalam bentuk pecahan biasa, yang perlu dikalikan dengan 10 ribu (lihat materi tentang konversi pecahan).

Jawaban: (1, 43) - 2 = 10.000 20449

Kasus terpisah adalah menaikkan angka ke pangkat pertama minus. Nilai derajat seperti itu sama dengan angka yang berlawanan dengan nilai asli pangkalan: a - 1 \u003d 1 a 1 \u003d 1 a.

Contoh 8

Contoh: 3 1 = 1 / 3

9 13 - 1 = 13 9 6 4 - 1 = 1 6 4 .

Cara menaikkan angka ke kekuatan pecahan

Untuk melakukan operasi seperti itu, kita perlu mengingat definisi dasar derajat dengan eksponen pecahan: a m n \u003d a m n untuk setiap positif a, bilangan bulat m dan n alami.

Definisi 2

Dengan demikian, perhitungan derajat pecahan harus dilakukan dalam dua langkah: menaikkan pangkat bilangan bulat dan menemukan akar derajat ke-n.

Kami memiliki persamaan a m n = a m n , yang, mengingat sifat-sifat akar, biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam bentuk a m ​​n = a n m . Ini berarti bahwa jika kita menaikkan angka a ke pangkat pecahan m / n, maka pertama-tama kita mengekstrak akar derajat ke-n dari a, kemudian kita menaikkan hasilnya ke pangkat dengan eksponen bilangan bulat m.

Mari kita ilustrasikan dengan sebuah contoh.

Contoh 9

Hitung 8 - 2 3 .

Keputusan

Metode 1. Menurut definisi dasar, kita dapat menyatakan ini sebagai: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3

Sekarang mari kita hitung derajat di bawah akar dan ekstrak akar ketiga dari hasilnya: 8 - 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Metode 2. Mari kita ubah persamaan dasar: 8 - 2 3 \u003d 8 - 2 3 \u003d 8 3 - 2

Setelah itu, kita ekstrak akar 8 3 - 2 = 2 3 3 - 2 = 2 - 2 dan kuadratkan hasilnya: 2 - 2 = 1 2 2 = 1 4

Kami melihat bahwa solusinya identik. Anda dapat menggunakan cara apa pun yang Anda suka.

Ada kasus ketika derajat memiliki indikator yang dinyatakan sebagai angka campuran atau pecahan desimal. Untuk memudahkan perhitungan, lebih baik menggantinya dengan pecahan biasa dan menghitung seperti yang ditunjukkan di atas.

Contoh 10

Naikkan 44,89 ke pangkat 2,5.

Keputusan

Mari kita ubah nilai indikator menjadi pecahan biasa - 44, 89 2, 5 = 49, 89 5 2.

Dan sekarang kita melakukan semua tindakan yang ditunjukkan di atas secara berurutan: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501, 25107

Jawaban: 13501, 25107.

Jika ada bilangan besar dalam pembilang dan penyebut dari eksponen pecahan, maka menghitung eksponen tersebut dengan eksponen rasional adalah pekerjaan yang agak sulit. Biasanya membutuhkan teknologi komputer.

Secara terpisah, kita membahas derajat dengan basis nol dan eksponen pecahan. Ekspresi bentuk 0 m n dapat diberikan arti sebagai berikut: jika m n > 0, maka 0 m n = 0 m n = 0 ; jika m n< 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную - значения не имеет: 0 - 4 3 .

Cara menaikkan angka menjadi kekuatan irasional

Kebutuhan untuk menghitung nilai derajat, dalam indikator yang ada bilangan irasional, tidak sering muncul. Dalam praktiknya, tugas biasanya terbatas pada menghitung nilai perkiraan (hingga sejumlah tempat desimal tertentu). Ini biasanya dihitung di komputer karena rumitnya perhitungan seperti itu, jadi kami tidak akan membahas ini secara rinci, kami hanya akan menunjukkan ketentuan utama.

Jika kita perlu menghitung nilai derajat a dengan eksponen irasional a , maka kita mengambil pendekatan desimal dari eksponen dan menghitungnya. Hasilnya akan menjadi jawaban perkiraan. Semakin akurat pendekatan desimal yang diambil, semakin akurat jawabannya. Mari kita tunjukkan dengan sebuah contoh:

Contoh 11

Hitung nilai perkiraan 21 , 174367 ....

Keputusan

Kami membatasi diri pada pendekatan desimal a n = 1 , 17 . Mari kita lakukan perhitungan menggunakan angka ini: 2 1 , 17 2 , 250116 . Jika kita ambil, misalnya, aproksimasi a n = 1 , 1743 , maka jawabannya akan sedikit lebih tepat: 2 1 , 174367 . . . 2 1. 1743 2. 256833 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Sebagai kelanjutan dari percakapan tentang derajat suatu bilangan, adalah logis untuk berurusan dengan mencari nilai derajat. Proses ini diberi nama eksponensial. Dalam artikel ini, kita hanya akan mempelajari bagaimana eksponensial dilakukan, sementara kita akan menyentuh semua eksponen yang mungkin - natural, integer, rasional, dan irasional. Dan menurut tradisi, kami akan mempertimbangkan secara rinci solusi untuk contoh menaikkan angka ke berbagai derajat.

Navigasi halaman.

Apa yang dimaksud dengan "eksponensial"?

Mari kita mulai dengan menjelaskan apa yang disebut eksponensial. Berikut adalah definisi yang relevan.

Definisi.

Eksponen adalah mencari nilai pangkat suatu bilangan.

Jadi, mencari nilai pangkat a dengan pangkat r dan menaikkan angka a ke pangkat r adalah hal yang sama. Misalnya, jika tugasnya adalah "menghitung nilai pangkat (0,5) 5", maka dapat dirumuskan kembali sebagai berikut: "Naikkan angka 0,5 ke pangkat 5".

Sekarang Anda dapat langsung menuju ke aturan yang digunakan untuk melakukan eksponensial.

Menaikkan angka menjadi kekuatan alami

Dalam praktiknya, kesetaraan berdasarkan biasanya diterapkan dalam bentuk . Artinya, ketika menaikkan angka a menjadi pangkat pecahan m / n, akar derajat ke-n dari angka a pertama kali diekstraksi, setelah itu hasilnya dinaikkan menjadi pangkat bilangan bulat m.

Pertimbangkan solusi untuk contoh menaikkan ke pangkat pecahan.

Contoh.

Hitung nilai derajatnya.

Keputusan.

Kami menunjukkan dua solusi.

Cara pertama. Menurut definisi derajat dengan eksponen pecahan. Kami menghitung nilai derajat di bawah tanda akar, setelah itu kami mengekstrak akar pangkat tiga: .

Cara kedua. Dengan definisi derajat dengan eksponen pecahan dan berdasarkan sifat-sifat akar, persamaan adalah benar . Sekarang ekstrak root Akhirnya, kita naikkan ke pangkat integer .

Jelas, hasil yang diperoleh dari peningkatan ke kekuatan fraksional bertepatan.

Menjawab:

Perhatikan bahwa eksponen pecahan dapat ditulis sebagai pecahan desimal atau bilangan campuran, dalam kasus ini harus diganti dengan pecahan biasa yang sesuai, dan kemudian eksponen harus dilakukan.

Contoh.

Hitung (44,89) 2.5 .

Keputusan.

Kami menulis eksponen dalam bentuk pecahan biasa (jika perlu, lihat artikel): . Sekarang kami melakukan peningkatan ke kekuatan fraksional:

Menjawab:

(44,89) 2,5 =13 501,25107 .

Juga harus dikatakan bahwa menaikkan bilangan ke pangkat rasional adalah proses yang agak melelahkan (terutama bila pembilang dan penyebut dari pangkat pecahan adalah bilangan yang cukup besar), yang biasanya dilakukan dengan menggunakan teknologi komputer.

Sebagai penutup paragraf ini, kita akan membahas konstruksi angka nol menjadi pangkat pecahan. Kami memberikan arti berikut ke tingkat pecahan nol dari bentuk: karena kami memiliki , sedangkan nol pangkat m/n tidak ditentukan. Jadi, nol ke pangkat pecahan positif adalah nol, misalnya, . Dan nol dalam derajat negatif fraksional tidak masuk akal, misalnya, ekspresi dan 0 -4,3 tidak masuk akal.

Mengangkat ke kekuatan irasional

Terkadang menjadi perlu untuk mengetahui nilai derajat suatu bilangan dengan eksponen irasional. Dalam hal ini, untuk keperluan praktis, biasanya cukup diperoleh nilai derajat sampai suatu tanda tertentu. Kami segera mencatat bahwa dalam praktiknya nilai ini dihitung menggunakan teknologi komputasi elektronik, karena peningkatan manual ke kekuatan irasional memerlukan sejumlah besar perhitungan yang rumit. Namun demikian kami akan menjelaskan secara umum esensi dari tindakan.

Untuk mendapatkan nilai perkiraan eksponen a dengan eksponen irasional, beberapa pendekatan desimal dari eksponen diambil, dan nilai eksponen dihitung. Nilai ini adalah nilai perkiraan derajat dari bilangan a dengan eksponen irasional. Semakin akurat perkiraan desimal dari angka yang diambil pada awalnya, semakin akurat nilai derajat pada akhirnya.

Sebagai contoh, mari kita hitung perkiraan nilai pangkat 2 1.174367... . Mari kita ambil pendekatan desimal berikut dari indikator irasional: . Sekarang kita naikkan 2 ke pangkat rasional 1,17 (kami menggambarkan esensi dari proses ini di paragraf sebelumnya), kita mendapatkan 2 1,17 2,250116. Dengan demikian, 2 1,174367... ≈2 1,17 ≈2,250116 . Jika kita mengambil pendekatan desimal yang lebih akurat dari eksponen irasional, misalnya, , maka kita mendapatkan nilai derajat aslinya yang lebih akurat: 2 1,174367... ≈2 1,1743 ≈2,256833 .

Bibliografi.

• Vilenkin N.Ya., Zhokhov V.I., Chesnokov A.S., Shvartsburd S.I. Buku teks matematika Zh untuk 5 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 7 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 8 sel. institusi pendidikan.
• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Aljabar: buku teks untuk 9 sel. institusi pendidikan.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).