Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(delapan\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):
Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.
Namun, \(d\) juga bisa berupa bilangan negatif. Misalnya, dalam deret aritmatika \(16\); \(sepuluh\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.
Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut menurun.
Notasi deret aritmatika
Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.
Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen).
Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.
Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk progresi \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Menyelesaikan masalah pada deret aritmatika
Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada deret aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Keputusan:
Menjawab: \(b_5=23\)
Contoh (OG).
Tiga suku pertama dari suatu barisan aritmatika diberikan: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama dari barisan ini..
Keputusan:
|
Kami diberi elemen pertama dari barisan dan tahu bahwa itu adalah deret aritmatika. Artinya, setiap elemen berbeda dari elemen tetangga dengan nomor yang sama. Cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen yang diinginkan (negatif pertama). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawaban. |
Menjawab: \(-3\)
Contoh (OG).
Beberapa elemen berurutan dari deret aritmatika diberikan: \(...5; x; 10; 12,5...\) Temukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Keputusan:
|
|
Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dari elemen sebelumnya, dengan kata lain, perbedaan progresi. Mari kita cari dari dua elemen tetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Dan sekarang kami menemukan apa yang kami cari tanpa masalah: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawaban. |
Menjawab: \(7,5\).
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Temukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Keputusan:
|
Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya, kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kami menghitung nilainya secara bergantian, menggunakan yang diberikan kepada kami: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Jumlah yang diminta telah ditemukan. |
Menjawab: \(S_6=9\).
Contoh (OG).
Dalam deret aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Keputusan:
Menjawab: \(d=7\).
Rumus Kemajuan Aritmatika Penting
Seperti yang Anda lihat, banyak masalah deret aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa deret aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaannya dari kemajuan).
Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk menyelesaikan "di dahi". Misalnya, bayangkan bahwa dalam contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan bahwa dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitungnya membingungkan...
Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak memecahkan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk deret aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari deret dan rumus jumlah \(n\) suku pertama.
Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).
Rumus ini memungkinkan kita untuk dengan cepat menemukan setidaknya tiga ratus, bahkan elemen sepersejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbedaan perkembangan.
Contoh.
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Keputusan:
Menjawab: \(b_(246)=1850\).
Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana
\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah suku \(25\) pertama dari deret ini.
Keputusan:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Untuk menghitung jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Sekarang mari kita cari suku kedua puluh lima dengan mengganti dua puluh lima sebagai ganti \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Nah, sekarang kami menghitung jumlah yang dibutuhkan tanpa masalah. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(25)=1090\).
Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:
Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana
\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam jumlah.
Contoh.
Temukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari deret aritmatika: \(17\); \(15,5\); \(empat belas\)…
Keputusan:
Menjawab: \(S_(33)=-231\).
Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks
Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna )
Contoh (OG).
Temukan jumlah semua suku negatif dari perkembangan: \(-19.3\); \(-sembilan belas\); \(-18.7\)…
Keputusan:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai memecahkan dengan cara yang sama: pertama kita temukan \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sekarang kita akan mengganti \(d\) ke dalam rumus untuk jumlah ... dan di sini muncul nuansa kecil - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami sampai ke elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung setiap elemen dari deret aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kita perlu \(a_n\) lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu apa \(n\) ini akan terjadi. |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Kami mentransfer minus satu, tidak lupa mengubah tanda |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Komputasi... |
|
|
\(n>65.333…\) |
…dan ternyata elemen positif pertama memiliki bilangan \(66\). Dengan demikian, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk jaga-jaga, mari kita periksa. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Jadi, kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).
Contoh (OG).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th ke \(42\) elemen inklusif.
Keputusan:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Dalam soal ini, Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak mulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak memiliki formula untuk ini. Bagaimana memutuskan? |
|
|
Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (setelah semua, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk menemukan yang berikutnya). Mengetahui hal ini, kami menemukan jumlah elemen \(42\)-uh pertama. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sekarang jumlah elemen ke-\(25\) pertama. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Dan akhirnya, kami menghitung jawabannya. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Menjawab: \(S=1683\).
Untuk deret aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami bahas dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.
Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Deret aritmatika adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf, anggota ke-n dari progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)
Konsep deret aritmatika.
Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.
Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semuanya ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst. akan melangkah lebih jauh.
Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?
Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin-poin penting dari deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.
Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)
Poin kunci pertama.
Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik, dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...
Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)
Poin kunci kedua.
Dalam deret aritmatika, bilangan apa pun berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.
Poin kunci ketiga.
Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Itu dia: setiap nomor perkembangan ada di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.
Itulah intinya.
Tentu saja, istilah dan notasi baru muncul di topik baru. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:
Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.
Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.
Istilah dan sebutan.
Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.
Selisih barisan aritmatika.
Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.
Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.
Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor Menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu Menambahkan ke keempat baik, dll.
Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nomor adalah menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.
Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.
Sebagai contoh:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.
Omong-omong, ketika bekerja dengan progres, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.
Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.
Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)
Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya itu. delapan:
Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.
Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)
Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.
Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun singkirkan yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.
Istilah dan sebutan lainnya.
Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.
Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, nah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!
Bagaimana cara menulis progresi dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).
Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.
Terakhir progresi memiliki jumlah anggota yang terbatas. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.
tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)
Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan sebuah titik di akhir:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Dalam entri singkat, Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:
(a n), n = 20
Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.
Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.
Contoh tugas untuk deret aritmatika.
Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:
1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.
Kami menerjemahkan tugas ke dalam bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.
Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....
sebuah 3 = sebuah 2 + d
Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!
sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Suku ketiga lebih kecil dari suku kedua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:
sebuah 4 = sebuah 3 + d
sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
sebuah 5 = sebuah 4 + d
sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5
sebuah 6 = sebuah 5 + d
sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Tetap mencari suku pertama sebuah 1 menurut detik terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah bawa pulang:
sebuah 1 = sebuah 2 - d
sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu saja. Tanggapan tugas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata mengerikan ini berarti, hanya, pencarian anggota progresi dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.
Satu kesimpulan penting dapat ditarik dari tugas sederhana ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.
Ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah tentang topik ini. Semua tugas berkisar pada tiga parameter utama: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.
Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer tentang topik ini.
2. Tulis barisan aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.
Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak menghitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Tetap menuliskan jawabannya:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh menyelinap melalui antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.
Jawaban: tidak.
Dan inilah tugas berdasarkan versi nyata dari GIA:
4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; limabelas; X; sembilan; 6; ...
Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa menemukan dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?
Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.
Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:
Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi x dapat dengan mudah ditemukan dengan penjumlahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:
Itu saja. Menjawab: x=12
Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.
5. Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Diketahui bilangan 5.5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari suku ini.
7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .
8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.
9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.
Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; sembilan; 0,3; 4.
Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika pada tingkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.
Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua masalah ini dipecah menjadi beberapa bagian.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, seperti di telapak tangan Anda!
Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.
Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke nomor, menulis seri, semuanya akan diputuskan.
Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari seri, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih sulit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)
Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:
Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?
Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana yang dengannya Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
Ketika mempelajari aljabar di sekolah menengah (kelas 9), salah satu topik penting adalah studi tentang barisan numerik, yang meliputi progresi - geometris dan aritmatika. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan perkembangan aritmatika dan contoh dengan solusi.
Apa itu barisan aritmatika?
Untuk memahami hal ini, perlu diberikan definisi tentang perkembangan yang sedang dibahas, serta memberikan rumus-rumus dasar yang akan digunakan lebih lanjut dalam memecahkan masalah.
Diketahui bahwa dalam beberapa deret aljabar, suku ke-1 sama dengan 6, dan suku ke-7 sama dengan 18. Perlu dicari selisihnya dan mengembalikan barisan ini ke suku ke-7.
Mari gunakan rumus untuk menentukan suku yang tidak diketahui: a n = (n - 1) * d + a 1 . Kami mengganti data yang diketahui dari kondisi ke dalamnya, yaitu angka a 1 dan a 7, kami memiliki: 18 \u003d 6 + 6 * d. Dari ekspresi ini, Anda dapat dengan mudah menghitung selisihnya: d = (18 - 6) / 6 = 2. Jadi, bagian pertama dari soal telah terjawab.
Untuk mengembalikan barisan ke anggota ke-7, Anda harus menggunakan definisi deret aljabar, yaitu, a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d, dan seterusnya. Hasilnya, kami mengembalikan seluruh urutan: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 dan 7 = 18.
Contoh #3: membuat kemajuan
Mari kita semakin memperumit kondisi masalah. Sekarang Anda perlu menjawab pertanyaan tentang bagaimana menemukan deret aritmatika. Contoh berikut dapat diberikan: dua angka diberikan, misalnya, 4 dan 5. Perlu untuk membuat deret aljabar sehingga tiga suku lagi ditempatkan di antara ini.
Sebelum mulai memecahkan masalah ini, perlu dipahami tempat yang akan ditempati oleh angka-angka yang diberikan dalam perkembangan di masa depan. Karena akan ada tiga suku lagi di antara mereka, maka 1 \u003d -4 dan 5 \u003d 5. Setelah menetapkan ini, kami melanjutkan ke tugas yang mirip dengan yang sebelumnya. Sekali lagi, untuk suku ke-n, kami menggunakan rumus, kami mendapatkan: a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Dari: d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25. Di sini selisihnya bukan bilangan bulat, melainkan bilangan rasional, sehingga rumus deret aljabar tetap sama.
Sekarang mari tambahkan perbedaan yang ditemukan ke 1 dan pulihkan anggota progresi yang hilang. Kami mendapatkan: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u003d 5, yang sesuai dengan kondisi masalah.
Contoh #4: Anggota pertama dari progresi
Kami terus memberikan contoh deret aritmatika dengan solusi. Pada semua soal sebelumnya, bilangan pertama dari deret aljabar diketahui. Sekarang pertimbangkan masalah dari jenis yang berbeda: biarkan dua angka diberikan, di mana a 15 = 50 dan a 43 = 37. Penting untuk menemukan dari nomor berapa urutan ini dimulai.
Rumus yang telah digunakan sejauh ini mengasumsikan pengetahuan tentang a 1 dan d. Tidak ada yang diketahui tentang angka-angka ini dalam kondisi masalah. Namun demikian, mari kita tulis ekspresi untuk setiap istilah yang informasinya kita miliki: a 15 = a 1 + 14 * d dan a 43 = a 1 + 42 * d. Kami mendapat dua persamaan di mana ada 2 besaran yang tidak diketahui (a 1 dan d). Ini berarti bahwa masalahnya direduksi menjadi penyelesaian sistem persamaan linier.
Sistem yang ditentukan paling mudah untuk diselesaikan jika Anda mengekspresikan 1 dalam setiap persamaan, dan kemudian membandingkan ekspresi yang dihasilkan. Persamaan pertama: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; persamaan kedua: a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Menyamakan ekspresi ini, kita mendapatkan: 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, dari mana perbedaannya d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,644 (hanya 3 tempat desimal yang diberikan).
Mengetahui d, Anda dapat menggunakan salah satu dari 2 ekspresi di atas untuk 1 . Misalnya, pertama: a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56.496.
Jika ada keraguan tentang hasilnya, Anda dapat memeriksanya, misalnya, menentukan anggota ke-43 dari perkembangan, yang ditentukan dalam kondisi. Kami mendapatkan: a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008. Kesalahan kecil disebabkan oleh fakta bahwa pembulatan ke seperseribu digunakan dalam perhitungan.
Contoh #5: Jumlah
Sekarang mari kita lihat beberapa contoh dengan solusi untuk jumlah deret aritmatika.
Biarkan deret angka dari bentuk berikut diberikan: 1, 2, 3, 4, ...,. Bagaimana cara menghitung jumlah 100 dari angka-angka ini?
Berkat perkembangan teknologi komputer, masalah ini dapat diselesaikan, yaitu menjumlahkan semua angka secara berurutan, yang akan dilakukan komputer segera setelah seseorang menekan tombol Enter. Namun, masalah tersebut dapat diselesaikan secara mental jika Anda memperhatikan bahwa deret angka yang disajikan adalah deret aljabar, dan selisihnya adalah 1. Menerapkan rumus untuk jumlah, kita mendapatkan: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.
Sangat mengherankan untuk dicatat bahwa masalah ini disebut "Gaussian", karena pada awal abad ke-18 orang Jerman yang terkenal, yang masih berusia 10 tahun, mampu menyelesaikannya dalam pikirannya dalam beberapa detik. Anak laki-laki itu tidak mengetahui rumus jumlah suatu deret aljabar, tetapi dia memperhatikan bahwa jika Anda menambahkan pasangan angka yang terletak di tepi barisan, Anda selalu mendapatkan hasil yang sama, yaitu, 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., dan karena jumlah ini akan tepat 50 (100 / 2), maka untuk mendapatkan jawaban yang benar, cukup dengan mengalikan 50 dengan 101.
Contoh #6: jumlah suku dari n ke m
Contoh tipikal lain dari jumlah deret aritmatika adalah sebagai berikut: diberikan serangkaian angka: 3, 7, 11, 15, ..., Anda perlu menemukan jumlah sukunya dari 8 hingga 14.
Masalahnya diselesaikan dengan dua cara. Yang pertama melibatkan menemukan istilah yang tidak diketahui dari 8 hingga 14, dan kemudian menjumlahkannya secara berurutan. Karena ada beberapa istilah, metode ini tidak cukup melelahkan. Namun demikian, diusulkan untuk memecahkan masalah ini dengan metode kedua, yang lebih universal.
Idenya adalah untuk mendapatkan rumus untuk jumlah deret aljabar antara suku m dan n, di mana n > m adalah bilangan bulat. Untuk kedua kasus, kami menulis dua ekspresi untuk jumlah:
- S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
- S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.
Karena n > m, jelaslah bahwa jumlah 2 termasuk yang pertama. Kesimpulan terakhir berarti bahwa jika kita mengambil perbedaan antara jumlah-jumlah ini, dan menambahkan istilah a m padanya (dalam kasus mengambil perbedaan, itu dikurangi dari jumlah S n), maka kita mendapatkan jawaban yang diperlukan untuk masalah ini. Kami memiliki: S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2). Hal ini diperlukan untuk mengganti formula untuk n dan a m ke dalam ekspresi ini. Maka diperoleh: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2.
Rumus yang dihasilkan agak rumit, namun, jumlah S mn hanya bergantung pada n, m, a 1 dan d. Dalam kasus kami, a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Mensubstitusikan angka-angka ini, kita mendapatkan: S mn = 301.
Seperti dapat dilihat dari solusi di atas, semua masalah didasarkan pada pengetahuan tentang ekspresi suku ke-n dan rumus jumlah himpunan suku pertama. Sebelum Anda mulai memecahkan salah satu masalah ini, Anda disarankan untuk membaca kondisinya dengan cermat, memahami dengan jelas apa yang ingin Anda temukan, dan baru kemudian melanjutkan dengan solusinya.
Tip lainnya adalah berusaha untuk kesederhanaan, yaitu, jika Anda dapat menjawab pertanyaan tanpa menggunakan perhitungan matematika yang rumit, maka Anda perlu melakukan hal itu, karena dalam hal ini kemungkinan membuat kesalahan lebih kecil. Misalnya, dalam contoh deret aritmatika dengan solusi No. 6, seseorang dapat berhenti pada rumus S mn \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, dan pisahkan tugas umum menjadi subtugas terpisah (dalam hal ini, pertama-tama temukan istilah a n dan a m).
Jika ada keraguan tentang hasil yang diperoleh, disarankan untuk memeriksanya, seperti yang dilakukan pada beberapa contoh yang diberikan. Bagaimana menemukan deret aritmatika, temukan. Setelah Anda mengetahuinya, itu tidak terlalu sulit.
Deret aritmatika sebutkan urutan angka (anggota perkembangan)
Di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan istilah baja, yang juga disebut perbedaan langkah atau kemajuan.
Jadi, dengan menetapkan langkah dari progresi dan suku pertamanya, Anda dapat menemukan salah satu elemennya menggunakan rumus
Sifat-sifat deret aritmatika
1) Setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari angka kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan selanjutnya
Kebalikannya juga benar. Jika rata-rata aritmatika anggota ganjil (genap) tetangga dari barisan sama dengan anggota yang berdiri di antara mereka, maka barisan bilangan ini adalah barisan aritmatika. Dengan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.
Juga oleh properti deret aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut:
Ini mudah untuk memverifikasi jika kita menulis istilah di sebelah kanan tanda sama dengan
Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam masalah.
2) Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dihitung dengan rumus
Ingat dengan baik rumus untuk jumlah deret aritmatika, itu sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup umum dalam situasi kehidupan yang sederhana.
3) Jika Anda tidak perlu menemukan jumlah keseluruhan, tetapi bagian dari barisan yang dimulai dari anggota ke-k, maka rumus jumlah berikut akan berguna bagi Anda
4) Kepentingan praktis adalah menemukan jumlah n anggota deret aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus
Di sinilah materi teoretis berakhir dan kami beralih ke pemecahan masalah yang umum dalam praktik.
Contoh 1. Tentukan suku keempat puluh dari barisan aritmatika 4;7;...
Keputusan:
Sesuai dengan kondisi, kami memiliki
Tentukan langkah kemajuan
Menurut rumus terkenal, kami menemukan suku keempat puluh dari perkembangan
Contoh2. Deret aritmatika diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama dari deret dan jumlah sepuluh.
Keputusan:
Kami menulis elemen perkembangan yang diberikan sesuai dengan rumus
Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangan
Nilai yang ditemukan diganti ke dalam salah satu persamaan untuk menemukan suku pertama dari deret aritmatika
Hitung jumlah sepuluh suku pertama dari perkembangan
Tanpa menerapkan perhitungan yang rumit, kami menemukan semua nilai yang diperlukan.
Contoh 3. Suatu barisan aritmatika diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Tentukan suku pertama dari deret tersebut, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50, dan jumlah dari 100 suku pertama.
Keputusan:
Mari kita tulis rumus untuk elemen keseratus dari progresi
dan temukan yang pertama
Berdasarkan yang pertama, kami menemukan suku ke-50 dari perkembangan
Menemukan jumlah bagian dari progresi
dan jumlah dari 100 yang pertama
Jumlah perkembangannya adalah 250.
Contoh 4
Tentukan banyaknya anggota barisan aritmatika jika:
a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.
Keputusan:
Kami menulis persamaan dalam hal suku pertama dan langkah dari perkembangan dan mendefinisikannya
Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus jumlah untuk menentukan jumlah istilah dalam jumlah
Membuat penyederhanaan
dan selesaikan persamaan kuadrat
Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi soal. Jadi jumlah delapan suku pertama dari barisan tersebut adalah 111.
Contoh 5
selesaikan persamaannya
1+3+5+...+x=307.
Solusi: Persamaan ini adalah jumlah dari deret aritmatika. Kami menulis suku pertamanya dan menemukan perbedaan dari perkembangannya
Sebelum kita mulai memutuskan masalah deret aritmatika, pertimbangkan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.
Barisan numerik adalah himpunan numerik, yang setiap elemennya memiliki nomor seri sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor urut dari elemen urutan ditunjukkan oleh indeks:
Elemen pertama dari urutan;
Elemen kelima dari urutan;
- elemen "n" dari urutan, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.
Ada ketergantungan antara nilai elemen urutan dan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari suatu elemen barisan. Dengan kata lain, seseorang dapat mengatakan bahwa urutannya adalah fungsi dari argumen alami:
Urutan dapat ditentukan dalam tiga cara:
1 . Urutan dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup mengatur nilai setiap anggota barisan.
Misalnya, Seseorang memutuskan untuk mengambil manajemen waktu pribadi, dan untuk memulai, menghitung selama seminggu berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte. Dengan menuliskan waktu dalam sebuah tabel, ia akan mendapatkan barisan yang terdiri dari tujuh unsur:
Baris pertama tabel berisi nomor hari dalam seminggu, baris kedua - waktu dalam menit. Kami melihat bahwa, yaitu, pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat, hanya 15.
2 . Urutan dapat ditentukan menggunakan rumus anggota ke-n.
Dalam hal ini, ketergantungan nilai elemen urutan pada nomornya dinyatakan secara langsung dalam bentuk rumus.
Misalnya, jika , maka
Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan suatu bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus anggota ke-n.
Kami melakukan hal yang sama jika kami perlu mencari nilai fungsi jika nilai argumen diketahui. Kami mengganti nilai argumen sebagai gantinya dalam persamaan fungsi:
Jika, misalnya, 
, kemudian
Sekali lagi, saya perhatikan bahwa dalam urutan, berbeda dengan fungsi numerik arbitrer, hanya bilangan asli yang bisa menjadi argumen.
3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai anggota barisan dengan bilangan n pada nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, tidak cukup hanya mengetahui jumlah anggota barisan untuk menemukan nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan.
Misalnya, perhatikan urutannya 
, 
Kita dapat menemukan nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:
Artinya, setiap kali mencari nilai anggota ke-n dari barisan, kita kembali ke dua sebelumnya. Cara pengurutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.
Sekarang kita dapat mendefinisikan deret aritmatika. Deret aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari barisan numerik.
Deret aritmatika disebut urutan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama.
Nomor tersebut disebut perbedaan barisan aritmatika. Selisih deret aritmatika dapat bernilai positif, negatif, atau nol.
Jika judul="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.
Misalnya, 2; 5; delapan; sebelas;...
Jika , maka setiap suku pada barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah memudar.
Misalnya, 2; -satu; -4; -7;...
Jika , maka semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah Perlengkapan tulis.
Misalnya, 2;2;2;2;...
Properti utama dari deret aritmatika:
Mari kita lihat gambarnya.
Kami melihat itu
, dan pada saat yang sama
Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:
.
Bagilah kedua ruas persamaan dengan 2:
Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang bertetangga:
Apalagi sejak
, dan pada saat yang sama
, kemudian
, dan karenanya
Setiap anggota deret aritmatika dimulai dengan title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
rumus anggota ke.
Kami melihat bahwa untuk anggota deret aritmatika, hubungan berikut berlaku:
dan akhirnya
Kita punya rumus suku ke-n.
PENTING! Setiap anggota deret aritmatika dapat dinyatakan dalam dan . Mengetahui suku pertama dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, Anda dapat menemukan salah satu anggotanya.
Jumlah n anggota barisan aritmatika.
Dalam deret aritmatika arbitrer, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:
Pertimbangkan deret aritmatika dengan n anggota. Biarkan jumlah n anggota deret ini sama dengan .
Susunlah suku-suku perkembangan terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, kemudian dalam urutan menurun:
Mari kita pasangkan:
Jumlah dalam setiap kurung adalah , jumlah pasangan adalah n.
Kita mendapatkan:
Jadi, jumlah n anggota barisan aritmatika dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:
Mempertimbangkan memecahkan masalah deret aritmatika.
1 . Urutannya diberikan oleh rumus anggota ke-n: . Buktikan bahwa barisan ini merupakan barisan aritmatika.
Mari kita buktikan bahwa selisih dua anggota barisan yang berdekatan sama dengan bilangan yang sama.
Kami telah memperoleh bahwa perbedaan dua anggota barisan yang berdekatan tidak bergantung pada jumlah mereka dan adalah konstanta. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah deret aritmatika.
2 . Diberikan deret aritmatika -31; -27;...
a) Tentukan 31 suku dari progresi tersebut.
b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam deret ini.
sebuah) Kami melihat bahwa ;
Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dari gerak maju kita.
Secara umum 
Dalam kasus kami 
, Itu sebabnya 
