Tingkat pertama
Kemajuan aritmatika. Teori terperinci dengan contoh (2019)
Urutan numerik
Jadi mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka (dalam kasus kami, angka tersebut). Tidak peduli berapa banyak angka yang kita tulis, kita selalu dapat mengatakan yang mana yang pertama, yang kedua, dan seterusnya hingga yang terakhir, yaitu, kita dapat menghitungnya. Berikut adalah contoh barisan bilangan:
Urutan numerik
Misalnya, untuk urutan kami:
Nomor yang ditetapkan hanya khusus untuk satu nomor urut. Dengan kata lain, tidak ada tiga angka kedua dalam urutan. Angka kedua (seperti angka -th) selalu sama.
Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.
Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .
Dalam kasus kami: 
Katakanlah kita memiliki barisan numerik di mana selisih antara bilangan-bilangan yang berdekatan adalah sama dan sama.
Sebagai contoh: 
dll.
Barisan numerik seperti itu disebut deret aritmatika.
Istilah "kemajuan" diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius pada awal abad ke-6 dan dipahami dalam arti yang lebih luas sebagai urutan numerik tanpa akhir. Nama "aritmatika" dipindahkan dari teori proporsi kontinu, yang digunakan oleh orang Yunani kuno.
Ini adalah urutan numerik, yang masing-masing anggotanya sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama. Bilangan ini disebut selisih dari suatu barisan aritmatika dan dilambangkan.
Coba tentukan barisan bilangan mana yang merupakan barisan aritmatika dan mana yang bukan:
sebuah)
b)
c)
d)
Mengerti? Bandingkan jawaban kami:
Adalah deret aritmatika - b, c.
Tidak deret aritmatika - a, d.
Mari kembali ke progresi yang diberikan () dan coba cari nilai anggota ke-nya. Ada dua cara untuk menemukannya.
1. Metode
Kita dapat menambahkan nilai sebelumnya dari bilangan perkembangan sampai kita mencapai suku ke-th dari bilangan perkembangan tersebut. Ada baiknya kita tidak memiliki banyak hal untuk diringkas - hanya tiga nilai:
Jadi, anggota -th dari deret aritmatika yang dijelaskan adalah sama dengan.
2. Metode
Bagaimana jika kita perlu mencari nilai suku ke-th dari deret tersebut? Penjumlahan akan memakan waktu lebih dari satu jam, dan bukan fakta bahwa kami tidak akan membuat kesalahan saat menambahkan angka.
Tentu saja, ahli matematika telah menemukan cara di mana Anda tidak perlu menambahkan selisih dari deret aritmatika ke nilai sebelumnya. Perhatikan baik-baik gambar yang digambar… Tentunya Anda sudah memperhatikan pola tertentu, yaitu:
Sebagai contoh, mari kita lihat apa yang membentuk nilai anggota -th dari deret aritmatika ini: 
Dengan kata lain:
Coba cari sendiri dengan cara ini nilai anggota deret aritmatika ini.
Dihitung? Bandingkan entri Anda dengan jawaban:
Perhatikan bahwa Anda mendapatkan angka yang sama persis seperti pada metode sebelumnya, ketika kami menambahkan anggota deret aritmatika ke nilai sebelumnya secara berurutan.
Mari kita coba "depersonalisasi" formula ini - kita bawa ke dalam bentuk umum dan dapatkan:
|
Persamaan deret aritmatika. |
Progresi aritmatika meningkat atau menurun.
meningkat- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah lebih besar dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:
Menurun- progresi di mana setiap nilai berikutnya dari istilah kurang dari yang sebelumnya.
Sebagai contoh:
Rumus turunan digunakan dalam perhitungan suku dalam suku naik dan turun dari suatu deret aritmatika.
Mari kita periksa dalam praktek.
Kami diberikan deret aritmatika yang terdiri dari angka-angka berikut:
Dari dulu:
Jadi, kami yakin bahwa rumus tersebut berfungsi baik dalam penurunan maupun peningkatan deret aritmatika.
Coba cari sendiri anggota -th dan -th dari deret aritmatika ini.
Mari kita bandingkan hasilnya:
Properti deret aritmatika
Mari kita memperumit tugas - kita mendapatkan properti dari perkembangan aritmatika.
Misalkan kita diberikan kondisi berikut:
- deret aritmatika, temukan nilainya.
Mudah, katamu, dan mulailah menghitung sesuai dengan rumus yang sudah kamu ketahui:
Misalkan a, maka:
Benar-benar tepat. Ternyata kita temukan dulu, lalu tambahkan ke angka pertama dan dapatkan yang kita cari. Jika perkembangan diwakili oleh nilai-nilai kecil, maka tidak ada yang rumit tentang itu, tetapi bagaimana jika kita diberikan angka dalam kondisi? Setuju, ada kemungkinan membuat kesalahan dalam perhitungan.
Sekarang pikirkan, apakah mungkin untuk menyelesaikan masalah ini dalam satu langkah menggunakan rumus apa pun? Tentu saja, ya, dan kami akan mencoba mengeluarkannya sekarang.
Mari kita nyatakan suku yang diinginkan dari deret aritmatika sebagai, kita tahu rumus untuk menemukannya - ini adalah rumus yang sama yang kita peroleh di awal:
, kemudian:
- anggota progresi sebelumnya adalah:
- suku berikutnya dari progresi adalah:
Mari kita jumlahkan anggota progresi sebelumnya dan selanjutnya:
Ternyata jumlah anggota perkembangan sebelumnya dan selanjutnya adalah dua kali lipat nilai anggota perkembangan yang terletak di antara mereka. Dengan kata lain, untuk menemukan nilai anggota perkembangan dengan nilai sebelumnya dan berturut-turut yang diketahui, perlu untuk menjumlahkan dan membaginya.
Itu benar, kami mendapat nomor yang sama. Mari kita perbaiki materinya. Hitung sendiri nilai progresnya, karena sama sekali tidak sulit.
Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda tahu hampir segalanya tentang kemajuan! Tetap menemukan hanya satu formula, yang, menurut legenda, salah satu matematikawan terhebat sepanjang masa, "raja matematikawan" - Karl Gauss, dengan mudah disimpulkan untuk dirinya sendiri ...
Ketika Carl Gauss berusia 9 tahun, gurunya, sibuk memeriksa pekerjaan siswa dari kelas lain, menanyakan tugas berikut di pelajaran: "Hitung jumlah semua bilangan asli dari hingga (menurut sumber lain hingga) inklusif. " Apa yang mengejutkan guru ketika salah satu muridnya (itu adalah Karl Gauss) setelah satu menit memberikan jawaban yang benar untuk tugas itu, sementara sebagian besar teman sekelas pemberani setelah perhitungan yang lama menerima hasil yang salah ...
Carl Gauss muda memperhatikan sebuah pola yang dapat Anda perhatikan dengan mudah.
Katakanlah kita memiliki barisan aritmatika yang terdiri dari anggota -ti: Kita perlu mencari jumlah anggota barisan aritmatika yang diberikan. Tentu saja, kita dapat menjumlahkan semua nilai secara manual, tetapi bagaimana jika kita perlu menemukan jumlah sukunya dalam tugas, seperti yang dicari Gauss?
Mari kita gambarkan perkembangan yang diberikan kepada kita. Perhatikan baik-baik angka-angka yang disorot dan coba lakukan berbagai operasi matematika dengan angka-angka tersebut. 
Dicoba? Apa yang Anda perhatikan? Benar! Jumlah mereka sama
Sekarang jawab, berapa banyak pasangan seperti itu dalam perkembangan yang diberikan kepada kita? Tentu saja, tepat setengah dari semua angka, yaitu.
Berdasarkan fakta bahwa jumlah dua suku deret aritmatika adalah sama, dan pasangan sama yang serupa, kita mendapatkan bahwa jumlah totalnya sama dengan:
.
Jadi, rumus untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:
Dalam beberapa soal, kita tidak mengetahui suku ke-th, tetapi kita mengetahui perbedaan perkembangannya. Cobalah untuk mengganti rumus jumlah, rumus anggota ke-.
Apa yang kamu dapatkan?
Sudah selesai dilakukan dengan baik! Sekarang mari kita kembali ke masalah yang diberikan kepada Carl Gauss: hitung sendiri berapa jumlah bilangan yang dimulai dari -th, dan jumlah bilangan yang dimulai dari -th.
Berapa banyak yang Anda dapatkan?
Gauss ternyata jumlah suku-sukunya sama, dan jumlah suku-sukunya sama. Apakah itu cara Anda memutuskan?
Faktanya, rumus jumlah anggota deret aritmatika telah dibuktikan oleh ilmuwan Yunani kuno Diophantus pada abad ke-3, dan selama ini, orang-orang cerdas menggunakan sifat-sifat deret aritmatika dengan kekuatan dan utama.
Misalnya, bayangkan Mesir Kuno dan situs konstruksi terbesar saat itu - konstruksi piramida ... Gambar menunjukkan satu sisinya. 
Di mana perkembangannya di sini yang Anda katakan? Perhatikan baik-baik dan temukan pola jumlah balok pasir di setiap baris dinding piramida. 
Mengapa bukan deret aritmatika? Hitung berapa banyak balok yang diperlukan untuk membangun satu dinding jika bata balok ditempatkan di dasarnya. Saya harap Anda tidak akan menghitung dengan menggerakkan jari Anda melintasi monitor, apakah Anda ingat rumus terakhir dan semua yang kami katakan tentang deret aritmatika?
Dalam hal ini, perkembangannya terlihat seperti ini:
Selisih barisan aritmatika.
Banyaknya anggota barisan aritmatika.
Mari kita substitusikan data kita ke rumus terakhir (kita hitung jumlah balok dengan 2 cara).
Metode 1.
Metode 2.
Dan sekarang Anda juga dapat menghitung di monitor: bandingkan nilai yang diperoleh dengan jumlah balok yang ada di piramida kami. Apakah itu setuju? Selamat, Anda telah menguasai jumlah suku ke-tiga dari suatu deret aritmatika.
Tentu saja, Anda tidak dapat membangun piramida dari balok di pangkalan, tetapi dari? Coba hitung berapa banyak batu bata pasir yang dibutuhkan untuk membangun tembok dengan kondisi ini.
Apakah Anda berhasil?
Jawaban yang benar adalah blok:
Bekerja
Tugas:
- Masha semakin bugar untuk musim panas. Setiap hari dia meningkatkan jumlah squat. Berapa kali Masha akan jongkok dalam beberapa minggu jika dia melakukan jongkok pada latihan pertama.
- Berapa jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat pada
- Saat menyimpan log, penebang kayu menumpuknya sedemikian rupa sehingga setiap lapisan atas berisi satu log lebih sedikit dari yang sebelumnya. Berapa banyak balok dalam satu pasangan bata, jika dasar pasangan bata adalah kayu.
Jawaban:
- Mari kita tentukan parameter deret aritmatika. Pada kasus ini
(minggu = hari).Menjawab: Dalam dua minggu, Masha harus jongkok sekali sehari.
- Angka ganjil pertama, angka terakhir.
Selisih barisan aritmatika.
Jumlah bilangan ganjil di - setengah, bagaimanapun, periksa fakta ini menggunakan rumus untuk menemukan anggota -th dari deret aritmatika:Angka tersebut memang mengandung angka ganjil.
Kami mengganti data yang tersedia ke dalam rumus:Menjawab: Jumlah semua bilangan ganjil yang terdapat di dalamnya sama dengan.
- Ingat masalah tentang piramida. Untuk kasus kami, a , karena setiap lapisan atas dikurangi dengan satu log, hanya ada sekelompok lapisan, yaitu.
Substitusikan data ke dalam rumus:Menjawab: Ada log di batu.
Menyimpulkan
- - urutan numerik di mana perbedaan antara nomor yang berdekatan adalah sama dan sama. Hal ini meningkat dan menurun.
- Menemukan rumus Anggota ke deret aritmatika ditulis dengan rumus - , di mana adalah jumlah angka dalam deret.
- Properti anggota deret aritmatika- - di mana - jumlah angka dalam perkembangan.
- Jumlah anggota deret aritmatika dapat ditemukan dengan dua cara:
, di mana adalah jumlah nilai.
PROGRESI aritmatika. TINGKAT TENGAH
Urutan numerik
Mari kita duduk dan mulai menulis beberapa angka. Sebagai contoh:
Anda dapat menulis angka apa saja, dan bisa sebanyak yang Anda suka. Tetapi Anda selalu dapat membedakan mana di antara mereka yang pertama, mana yang kedua, dan seterusnya, yaitu, kita dapat memberi nomor pada mereka. Ini adalah contoh barisan bilangan.
Urutan numerik adalah satu set angka, yang masing-masing dapat diberi nomor unik.
Dengan kata lain, setiap bilangan dapat dikaitkan dengan bilangan asli tertentu, dan hanya satu. Dan kami tidak akan menetapkan nomor ini ke nomor lain dari set ini.
Bilangan dengan nomor tersebut disebut anggota -th dari barisan tersebut.
Kami biasanya menyebut seluruh urutan beberapa huruf (misalnya,), dan setiap anggota dari urutan ini - huruf yang sama dengan indeks yang sama dengan jumlah anggota ini: .
Sangat mudah jika anggota -th dari barisan dapat diberikan oleh beberapa rumus. Misalnya rumus
mengatur urutan:
Dan rumusnya adalah urutan sebagai berikut:
Misalnya, barisan aritmatika adalah barisan (suku pertama di sini adalah sama, dan selisihnya). Atau (, perbedaan).
rumus suku ke-n
Kami menyebut rumus berulang di mana, untuk mengetahui suku -th, Anda perlu mengetahui yang sebelumnya atau beberapa yang sebelumnya:
Untuk mencari, misalnya, suku ke- dari perkembangan menggunakan rumus seperti itu, kita harus menghitung sembilan sebelumnya. Misalnya, biarkan. Kemudian:
Nah, sekarang sudah jelas apa rumusnya?
Di setiap baris, kita tambahkan, dikalikan dengan beberapa angka. Untuk apa? Sangat sederhana: ini adalah jumlah anggota saat ini dikurangi:
Jauh lebih nyaman sekarang, bukan? Kami memeriksa:
Putuskan sendiri:
Dalam deret aritmatika, temukan rumus untuk suku ke-n dan temukan suku keseratus.
Keputusan:
Anggota pertama sama. Dan apa perbedaannya? Dan inilah yang:
(Lagi pula, itu disebut perbedaan karena sama dengan perbedaan anggota perkembangan yang berurutan).
Jadi rumusnya adalah:
Maka suku keseratusnya adalah:
Berapa jumlah semua bilangan asli dari ke?
Menurut legenda, ahli matematika hebat Carl Gauss, sebagai anak laki-laki berusia 9 tahun, menghitung jumlah ini dalam beberapa menit. Dia memperhatikan bahwa jumlah bilangan pertama dan terakhir adalah sama, jumlah kedua dan kedua dari belakang adalah sama, jumlah ketiga dan ketiga dari akhir adalah sama, dan seterusnya. Ada berapa pasangan seperti itu? Itu benar, persis setengah jumlah semua angka, yaitu. Jadi,
Rumus umum untuk jumlah suku pertama dari setiap deret aritmatika adalah:
Contoh:
Temukan jumlah semua kelipatan dua digit.
Keputusan:
Angka pertama adalah ini. Setiap berikutnya diperoleh dengan menambahkan nomor ke yang sebelumnya. Jadi, jumlah yang menarik bagi kami membentuk deret aritmatika dengan suku pertama dan selisihnya.
Rumus suku ke th untuk deret ini adalah:
Berapa banyak suku dalam barisan jika semuanya harus dua digit?
Sangat mudah: .
Suku terakhir dari progresi akan sama. Maka jumlah:
Menjawab: .
Sekarang putuskan sendiri:
- Setiap hari atlet berlari 1m lebih banyak dari hari sebelumnya. Berapa kilometer yang akan dia tempuh dalam beberapa minggu jika dia berlari km m pada hari pertama?
- Seorang pengendara sepeda mengendarai lebih banyak mil setiap hari daripada yang sebelumnya. Pada hari pertama ia melakukan perjalanan km. Berapa hari dia harus berkendara untuk menempuh satu kilometer? Berapa kilometer yang akan dia tempuh pada hari terakhir perjalanan?
- Harga lemari es di toko dikurangi dengan jumlah yang sama setiap tahun. Tentukan berapa penurunan harga lemari es setiap tahun jika, disiapkan untuk dijual seharga rubel, enam tahun kemudian dijual seharga rubel.
Jawaban:
- Hal terpenting di sini adalah mengenali deret aritmatika dan menentukan parameternya. Dalam hal ini, (minggu = hari). Anda perlu menentukan jumlah suku pertama dari perkembangan ini:
.
Menjawab: - Di sini diberikan:, perlu untuk menemukan.
Jelas, Anda perlu menggunakan rumus jumlah yang sama seperti pada soal sebelumnya:
.
Substitusikan nilainya:Akarnya jelas tidak cocok, jadi jawabannya.
Mari kita hitung jarak yang ditempuh selama satu hari terakhir menggunakan rumus suku ke-th:
(km).
Menjawab: - Diberikan: . Mencari: .
Itu tidak menjadi lebih mudah:
(menggosok).
Menjawab:
PROGRESI aritmatika. SINGKAT TENTANG UTAMA
Ini adalah urutan numerik di mana perbedaan antara angka yang berdekatan adalah sama dan sama.
Deret aritmatika meningkat () dan menurun ().
Sebagai contoh:
Rumus untuk menemukan anggota ke-n dari deret aritmatika
ditulis sebagai rumus, di mana adalah jumlah angka dalam perkembangan.
Properti anggota deret aritmatika
Itu memudahkan untuk menemukan anggota perkembangan jika anggota tetangganya diketahui - di mana jumlah angka dalam perkembangan itu.
Jumlah anggota deret aritmatika
Ada dua cara untuk mencari jumlah:
Dimana adalah jumlah nilai.
Dimana adalah jumlah nilai.
Misalnya, barisan \(2\); \(5\); \(delapan\); \(sebelas\); \(14\)… adalah deret aritmatika, karena setiap elemen berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan tiga (dapat diperoleh dari yang sebelumnya dengan menambahkan tiga):
Dalam deret ini, selisih \(d\) adalah positif (sama dengan \(3\)), dan oleh karena itu setiap suku berikutnya lebih besar dari suku sebelumnya. Perkembangan seperti itu disebut meningkat.
Namun, \(d\) juga bisa berupa bilangan negatif. Misalnya, dalam deret aritmatika \(16\); \(sepuluh\); \(4\); \(-2\); \(-8\)… perbedaan perkembangan \(d\) sama dengan minus enam.
Dan dalam hal ini, setiap elemen berikutnya akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut menurun.
Notasi deret aritmatika
Kemajuan dilambangkan dengan huruf Latin kecil.
Bilangan yang membentuk deret disebut anggota(atau elemen).
Mereka dilambangkan dengan huruf yang sama dengan deret aritmatika, tetapi dengan indeks numerik yang sama dengan nomor elemen secara berurutan.
Misalnya, barisan aritmatika \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) terdiri dari elemen \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) dan seterusnya.
Dengan kata lain, untuk progresi \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14…\right\)\)
Menyelesaikan masalah pada deret aritmatika
Pada prinsipnya, informasi di atas sudah cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah pada deret aritmatika (termasuk yang ditawarkan di OGE).
Contoh (OGE).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(b_1=7; d=4\). Temukan \(b_5\).
Keputusan:
Menjawab: \(b_5=23\)
Contoh (OGE).
Tiga suku pertama dari suatu barisan aritmatika diberikan: \(62; 49; 36…\) Tentukan nilai suku negatif pertama dari barisan ini..
Keputusan:
|
Kami diberi elemen pertama dari barisan dan tahu bahwa itu adalah deret aritmatika. Artinya, setiap elemen berbeda dari elemen tetangga dengan nomor yang sama. Cari tahu yang mana dengan mengurangkan elemen sebelumnya dari elemen berikutnya: \(d=49-62=-13\). |
|
|
Sekarang kita dapat mengembalikan perkembangan kita ke elemen yang diinginkan (negatif pertama). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawaban. |
Menjawab: \(-3\)
Contoh (OGE).
Beberapa elemen berurutan dari deret aritmatika diberikan: \(...5; x; 10; 12,5...\) Temukan nilai elemen yang dilambangkan dengan huruf \(x\).
Keputusan:
|
|
Untuk mencari \(x\), kita perlu mengetahui seberapa besar perbedaan elemen berikutnya dari elemen sebelumnya, dengan kata lain, perbedaan progresi. Mari kita cari dari dua elemen tetangga yang diketahui: \(d=12.5-10=2.5\). |
|
|
Dan sekarang kami menemukan apa yang kami cari tanpa masalah: \(x=5+2.5=7.5\). |
|
|
Siap. Anda dapat menulis jawaban. |
Menjawab: \(7,5\).
Contoh (OGE).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi berikut: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Temukan jumlah enam suku pertama dari deret ini.
Keputusan:
|
Kita perlu mencari jumlah enam suku pertama dari perkembangan tersebut. Tapi kita tidak tahu artinya, kita hanya diberikan elemen pertama. Oleh karena itu, pertama-tama kami menghitung nilainya secara bergantian, menggunakan yang diberikan kepada kami: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) |
|
|
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) |
Jumlah yang diminta telah ditemukan. |
Menjawab: \(S_6=9\).
Contoh (OGE).
Dalam deret aritmatika \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Temukan perbedaan dari perkembangan ini.
Keputusan:
Menjawab: \(d=7\).
Rumus Kemajuan Aritmatika Penting
Seperti yang Anda lihat, banyak masalah deret aritmatika dapat diselesaikan hanya dengan memahami hal utama - bahwa deret aritmatika adalah rantai angka, dan setiap elemen berikutnya dalam rantai ini diperoleh dengan menambahkan angka yang sama ke yang sebelumnya (perbedaannya dari kemajuan).
Namun, terkadang ada situasi di mana sangat tidak nyaman untuk menyelesaikan "di dahi". Misalnya, bayangkan bahwa dalam contoh pertama, kita tidak perlu menemukan elemen kelima \(b_5\), tetapi tiga ratus delapan puluh enam \(b_(386)\). Apa itu, kita \ (385 \) kali menambahkan empat? Atau bayangkan bahwa dalam contoh kedua dari belakang, Anda perlu menemukan jumlah dari tujuh puluh tiga elemen pertama. Menghitungnya membingungkan...
Oleh karena itu, dalam kasus seperti itu, mereka tidak memecahkan "di dahi", tetapi menggunakan rumus khusus yang diturunkan untuk deret aritmatika. Dan yang utama adalah rumus suku ke-n dari deret dan rumus jumlah \(n\) suku pertama.
Rumus untuk anggota ke \(n\): \(a_n=a_1+(n-1)d\), dengan \(a_1\) adalah anggota pertama dari perkembangan;
\(n\) – jumlah elemen yang dibutuhkan;
\(a_n\) adalah anggota perkembangan dengan nomor \(n\).
Rumus ini memungkinkan kita untuk dengan cepat menemukan setidaknya tiga ratus, bahkan elemen sepersejuta, hanya mengetahui yang pertama dan perbedaan perkembangan.
Contoh.
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Temukan \(b_(246)\).
Keputusan:
Menjawab: \(b_(246)=1850\).
Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), di mana
\(a_n\) adalah suku terakhir yang dijumlahkan;
Contoh (OGE).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi \(a_n=3.4n-0.6\). Temukan jumlah suku \(25\) pertama dari deret ini.
Keputusan:
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\) |
Untuk menghitung jumlah dua puluh lima elemen pertama, kita perlu mengetahui nilai suku pertama dan kedua puluh lima. |
|
|
\(n=1;\) \(a_1=3,4 1-0,6=2,8\) |
Sekarang mari kita cari suku kedua puluh lima dengan mengganti dua puluh lima sebagai ganti \(n\). |
|
|
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4 25-0,6=84,4\) |
Nah, sekarang kami menghitung jumlah yang dibutuhkan tanpa masalah. |
|
|
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(25)=1090\).
Untuk jumlah \(n\) suku pertama, Anda bisa mendapatkan rumus lain: Anda hanya perlu \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) alih-alih \(a_n\) gantikan dengan rumus \(a_n=a_1+(n-1)d\). Kita mendapatkan:
Rumus jumlah n suku pertama adalah: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), di mana
\(S_n\) – jumlah yang diperlukan \(n\) dari elemen pertama;
\(a_1\) adalah suku pertama yang dijumlahkan;
\(d\) – perbedaan perkembangan;
\(n\) - jumlah elemen dalam jumlah.
Contoh.
Temukan jumlah suku \(33\)-ex pertama dari deret aritmatika: \(17\); \(15,5\); \(empat belas\)…
Keputusan:
Menjawab: \(S_(33)=-231\).
Masalah perkembangan aritmatika yang lebih kompleks
Sekarang Anda memiliki semua informasi yang Anda butuhkan untuk menyelesaikan hampir semua masalah perkembangan aritmatika. Mari selesaikan topik dengan mempertimbangkan masalah di mana Anda tidak hanya perlu menerapkan rumus, tetapi juga berpikir sedikit (dalam matematika, ini bisa berguna )
Contoh (OGE).
Temukan jumlah semua suku negatif dari perkembangan: \(-19.3\); \(-sembilan belas\); \(-18.7\)…
Keputusan:
|
\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\) |
Tugasnya sangat mirip dengan yang sebelumnya. Kita mulai memecahkan dengan cara yang sama: pertama kita temukan \(d\). |
|
|
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\) |
Sekarang kita akan mengganti \(d\) ke dalam rumus untuk jumlah ... dan di sini muncul nuansa kecil - kita tidak tahu \(n\). Dengan kata lain, kita tidak tahu berapa banyak istilah yang perlu ditambahkan. Bagaimana cara mengetahuinya? Mari kita berpikir. Kami akan berhenti menambahkan elemen ketika kami sampai ke elemen positif pertama. Artinya, Anda perlu mengetahui jumlah elemen ini. Bagaimana? Mari kita tuliskan rumus untuk menghitung setiap elemen dari deret aritmatika: \(a_n=a_1+(n-1)d\) untuk kasus kita. |
|
|
\(a_n=a_1+(n-1)d\) |
||
|
\(a_n=-19.3+(n-1) 0.3\) |
Kita perlu \(a_n\) lebih besar dari nol. Mari kita cari tahu apa \(n\) ini akan terjadi. |
|
|
\(-19.3+(n-1) 0.3>0\) |
||
|
\((n-1) 0.3>19.3\) \(|:0.3\) |
Kami membagi kedua sisi pertidaksamaan dengan \(0,3\). |
|
|
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) |
Kami mentransfer minus satu, tidak lupa mengubah tanda |
|
|
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\) |
Komputasi... |
|
|
\(n>65.333…\) |
…dan ternyata elemen positif pertama memiliki bilangan \(66\). Dengan demikian, negatif terakhir memiliki \(n=65\). Untuk jaga-jaga, mari kita periksa. |
|
|
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1) 0.3=-0.1\) |
Jadi, kita perlu menambahkan elemen \(65\) pertama. |
|
|
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) |
Jawabannya sudah siap. |
Menjawab: \(S_(65)=-630.5\).
Contoh (OGE).
Deret aritmatika diberikan oleh kondisi: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Cari jumlah dari \(26\)th ke \(42\) elemen inklusif.
Keputusan:
|
\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\) |
Dalam soal ini, Anda juga perlu mencari jumlah elemen, tetapi tidak mulai dari yang pertama, tetapi dari \(26\)th. Kami tidak memiliki formula untuk ini. Bagaimana memutuskan? |
|
|
Untuk perkembangan kita \(a_1=-33\), dan selisih \(d=4\) (setelah semua, kita menambahkan empat ke elemen sebelumnya untuk menemukan yang berikutnya). Mengetahui hal ini, kami menemukan jumlah elemen \(42\)-uh pertama. |
|
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) |
Sekarang jumlah elemen ke-\(25\) pertama. |
|
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) |
Dan akhirnya, kami menghitung jawabannya. |
|
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\) |
Menjawab: \(S=1683\).
Untuk deret aritmatika, ada beberapa rumus lagi yang belum kami bahas dalam artikel ini karena kegunaan praktisnya yang rendah. Namun, Anda dapat dengan mudah menemukannya.
Sebelum kita mulai memutuskan masalah deret aritmatika, pertimbangkan apa itu barisan bilangan, karena barisan aritmatika adalah kasus khusus dari barisan bilangan.
Barisan numerik adalah himpunan numerik, yang setiap elemennya memiliki nomor serinya sendiri. Unsur-unsur himpunan ini disebut anggota barisan. Nomor urut dari elemen urutan ditunjukkan oleh indeks:
Elemen pertama dari urutan;
Elemen kelima dari urutan;
- elemen "n" dari urutan, mis. elemen "berdiri dalam antrian" di nomor n.
Ada ketergantungan antara nilai elemen urutan dan nomor urutnya. Oleh karena itu, kita dapat menganggap barisan sebagai fungsi yang argumennya adalah bilangan urut dari suatu elemen barisan. Dengan kata lain, seseorang dapat mengatakan bahwa urutannya adalah fungsi dari argumen alami:
Urutan dapat ditentukan dalam tiga cara:
1 . Urutan dapat ditentukan menggunakan tabel. Dalam hal ini, kita cukup mengatur nilai setiap anggota barisan.
Misalnya, Seseorang memutuskan untuk melakukan manajemen waktu pribadi, dan untuk memulainya, menghitung berapa banyak waktu yang dia habiskan di VKontakte selama seminggu. Dengan menuliskan waktu dalam sebuah tabel, ia akan mendapatkan barisan yang terdiri dari tujuh unsur:
Baris pertama tabel berisi nomor hari dalam seminggu, baris kedua - waktu dalam menit. Kami melihat bahwa, yaitu, pada hari Senin Seseorang menghabiskan 125 menit di VKontakte, yaitu pada hari Kamis - 248 menit, dan pada hari Jumat, hanya 15.
2 . Urutan dapat ditentukan menggunakan rumus anggota ke-n.
Dalam hal ini, ketergantungan nilai elemen urutan pada nomornya dinyatakan secara langsung sebagai rumus.
Misalnya, jika , maka
Untuk mencari nilai suatu unsur barisan dengan suatu bilangan tertentu, kita substitusikan bilangan unsur tersebut ke dalam rumus anggota ke-n.
Kami melakukan hal yang sama jika kami perlu mencari nilai fungsi jika nilai argumen diketahui. Kami mengganti nilai argumen sebagai gantinya dalam persamaan fungsi:
Jika, misalnya, 
, kemudian
Sekali lagi, saya perhatikan bahwa dalam urutan, berbeda dengan fungsi numerik arbitrer, hanya bilangan asli yang bisa menjadi argumen.
3 . Barisan tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang menyatakan ketergantungan nilai anggota barisan dengan bilangan n pada nilai anggota sebelumnya. Dalam hal ini, tidak cukup hanya mengetahui jumlah anggota barisan untuk menemukan nilainya. Kita perlu menentukan anggota pertama atau beberapa anggota pertama dari barisan.
Misalnya, perhatikan urutannya 
, 
Kita dapat menemukan nilai anggota barisan berurutan, mulai dari yang ketiga:
Artinya, setiap kali mencari nilai anggota ke-n dari barisan, kita kembali ke dua sebelumnya. Cara pengurutan ini disebut berulang, dari kata Latin berulang- kembali.
Sekarang kita dapat mendefinisikan deret aritmatika. Deret aritmatika adalah kasus khusus sederhana dari barisan numerik.
Deret aritmatika disebut urutan numerik, yang masing-masing anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambahkan dengan nomor yang sama.
Nomor tersebut disebut perbedaan barisan aritmatika. Selisih deret aritmatika dapat bernilai positif, negatif, atau nol.
Jika judul="(!LANG:d>0">, то каждый член арифметической прогрессии больше предыдущего, и прогрессия является !} meningkat.
Misalnya, 2; 5; delapan; sebelas;...
Jika , maka setiap suku pada barisan aritmatika lebih kecil dari suku sebelumnya, dan barisan tersebut adalah memudar.
Misalnya, 2; -satu; -4; -7;...
Jika , maka semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, dan barisan tersebut adalah Perlengkapan tulis.
Misalnya, 2;2;2;2;...
Properti utama dari deret aritmatika:
Mari kita lihat gambarnya.
Kami melihat itu
, dan pada saat yang sama
Menambahkan dua persamaan ini, kita mendapatkan:
.
Bagilah kedua ruas persamaan dengan 2:
Jadi, setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari dua yang bertetangga:
Apalagi karena
, dan pada saat yang sama
, kemudian
, dan karenanya
Setiap anggota deret aritmatika dimulai dengan title="(!LANG:k>l">, равен среднему арифметическому двух равноотстоящих.
!}
rumus anggota ke.
Kami melihat bahwa untuk anggota deret aritmatika, hubungan berikut berlaku:
dan akhirnya
Kita punya rumus suku ke-n.
PENTING! Setiap anggota deret aritmatika dapat dinyatakan dalam dan . Mengetahui suku pertama dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, Anda dapat menemukan salah satu anggotanya.
Jumlah n anggota barisan aritmatika.
Dalam deret aritmatika arbitrer, jumlah suku-suku yang berjarak sama dari suku-suku ekstrem adalah sama satu sama lain:
Pertimbangkan deret aritmatika dengan n anggota. Biarkan jumlah n anggota deret ini sama dengan .
Susunlah suku-suku perkembangan terlebih dahulu dalam urutan angka menaik, kemudian dalam urutan menurun:
Mari kita pasangkan:
Jumlah dalam setiap kurung adalah , jumlah pasangan adalah n.
Kita mendapatkan:
Jadi, jumlah n anggota barisan aritmatika dapat ditemukan dengan menggunakan rumus:
Mempertimbangkan memecahkan masalah deret aritmatika.
1 . Barisan tersebut diberikan oleh rumus suku ke-n: . Buktikan bahwa barisan ini merupakan barisan aritmatika.
Mari kita buktikan bahwa selisih dua anggota barisan yang berdekatan sama dengan bilangan yang sama.
Kami telah memperoleh bahwa perbedaan dua anggota barisan yang berdekatan tidak bergantung pada jumlah mereka dan adalah konstanta. Oleh karena itu, menurut definisi, barisan ini adalah deret aritmatika.
2 . Diberikan deret aritmatika -31; -27;...
a) Tentukan 31 suku dari progresi tersebut.
b) Tentukan apakah bilangan 41 termasuk dalam deret ini.
sebuah) Kami melihat bahwa ;
Mari kita tuliskan rumus suku ke-n dari gerak maju kita.
Secara umum 
Dalam kasus kami 
, Itu sebabnya 
Kita mendapatkan:
b) Misalkan angka 41 adalah anggota barisan. Mari kita temukan nomornya. Untuk melakukan ini, kami memecahkan persamaan:
Kami mendapat nilai alami n, oleh karena itu, ya, angka 41 adalah anggota dari perkembangan. Jika nilai n yang ditemukan bukan bilangan asli, maka kita akan menjawab bahwa bilangan 41 BUKAN anggota deret.
3 . a) Di antara angka 2 dan 8, sisipkan 4 angka sehingga, bersama dengan angka yang diberikan, membentuk barisan aritmatika.
b) Tentukan jumlah suku dari deret yang dihasilkan.
sebuah) Mari kita masukkan empat angka di antara angka 2 dan 8:
Kami mendapat deret aritmatika, di mana ada 6 suku. 
Mari kita temukan perbedaan dari progresi ini. Untuk melakukan ini, kami menggunakan rumus untuk suku ke-n:
Sekarang mudah untuk menemukan nilai angka:
3,2; 4,4; 5,6; 6,8
b) 
Jawaban: a) ya; b) 30
4. Truk tersebut mengangkut sejumlah batu pecah seberat 240 ton, setiap hari meningkatkan tingkat transportasi dengan jumlah ton yang sama. Diketahui 2 ton puing diangkut pada hari pertama. Tentukan berapa ton batu pecah yang diangkut pada hari kedua belas jika semua pekerjaan selesai dalam 15 hari.
Sesuai dengan kondisi masalahnya, jumlah batu pecah yang diangkut truk setiap hari bertambah dengan jumlah yang sama. Oleh karena itu, kita berhadapan dengan barisan aritmatika.
Kami merumuskan masalah ini dalam bentuk deret aritmatika.
Pada hari pertama, 2 ton batu pecah diangkut: a_1=2.
Semua pekerjaan selesai dalam 15 hari: .
Truk tersebut mengangkut sejumlah batu pecah seberat 240 ton:
Kita perlu menemukan.
Pertama, mari kita cari perbedaan perkembangannya. Mari kita gunakan rumus untuk jumlah n anggota perkembangan.
Dalam kasus kami:
IV Yakovlev | Materi tentang matematika | MathUs.ru
Deret aritmatika
Deret aritmatika adalah jenis barisan yang khusus. Oleh karena itu, sebelum mendefinisikan barisan aritmatika (dan kemudian geometrik), kita perlu membahas secara singkat konsep penting barisan bilangan.
selanjutnya
Bayangkan sebuah perangkat di layar yang beberapa nomornya ditampilkan satu demi satu. Katakanlah 2; 7; tigabelas; satu; 6; 0; 3; : : : Himpunan bilangan tersebut hanyalah contoh barisan.
Definisi. Barisan numerik adalah sekumpulan angka di mana setiap angka dapat diberi nomor unik (yaitu, berkorespondensi dengan satu bilangan asli)1. Bilangan dengan bilangan n disebut anggota ke-n dari barisan tersebut.
Jadi, dalam contoh di atas, angka pertama memiliki angka 2, yang merupakan anggota pertama dari barisan, yang dapat dilambangkan dengan a1 ; nomor lima memiliki nomor 6 yang merupakan anggota kelima dari urutan, yang dapat dilambangkan a5 . Secara umum, anggota ke-n dari suatu barisan dilambangkan dengan (atau bn , cn , dll.).
Situasi yang sangat nyaman adalah ketika anggota urutan ke-n dapat ditentukan oleh beberapa rumus. Misalnya, rumus an = 2n 3 menentukan urutannya: 1; satu; 3; 5; 7; : : : Rumus an = (1)n mendefinisikan barisan: 1; satu; satu; satu; : : :
Tidak setiap himpunan bilangan merupakan barisan. Jadi, segmen bukan urutan; itu berisi 'terlalu banyak' nomor untuk dinomori ulang. Himpunan R dari semua bilangan real juga bukan barisan. Fakta-fakta ini dibuktikan dalam proses analisis matematis.
Perkembangan aritmatika: definisi dasar
Sekarang kita siap untuk mendefinisikan deret aritmatika.
Definisi. Deret aritmatika adalah barisan di mana setiap suku (dimulai dari yang kedua) sama dengan jumlah dari suku sebelumnya dan beberapa bilangan tetap (disebut selisih dari barisan aritmatika).
Misalnya, urutan 2; 5; delapan; sebelas; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 2 dan selisih 3. Barisan 7; 2; 3; delapan; : : : adalah barisan aritmatika dengan suku pertama 7 dan selisih 5. Barisan 3; 3; 3; : : : adalah barisan aritmatika dengan selisih nol.
Definisi Setara: Barisan an disebut barisan aritmatika jika selisih an+1 an adalah konstanta (tidak bergantung pada n).
Suatu barisan aritmatika dikatakan naik jika selisihnya positif, dan menurun jika selisihnya negatif.
1 Dan berikut adalah definisi yang lebih ringkas: barisan adalah fungsi yang didefinisikan pada himpunan bilangan asli. Misalnya, barisan bilangan real adalah fungsi f:N! R.
Secara default, urutan dianggap tak terbatas, yaitu, berisi jumlah angka yang tak terbatas. Tapi tidak ada yang peduli untuk mempertimbangkan urutan yang terbatas juga; sebenarnya, setiap himpunan bilangan berhingga dapat disebut barisan berhingga. Misalnya, urutan terakhir 1; 2; 3; 4; 5 terdiri dari lima angka.
Rumus anggota ke-n dari deret aritmatika
Sangat mudah untuk memahami bahwa deret aritmatika sepenuhnya ditentukan oleh dua angka: suku pertama dan selisihnya. Oleh karena itu, muncul pertanyaan: bagaimana, mengetahui suku pertama dan perbedaannya, menemukan suku sembarang dari suatu deret aritmatika?
Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang diinginkan untuk suku ke-n dari suatu deret aritmatika. Biarkan
barisan aritmatika dengan selisih d. Kita punya: | |
an+1 = an + d (n = 1; 2; : ::): | |
Secara khusus, kami menulis: | |
a2 = a1 + d; | |
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d; | |
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d; | |
dan sekarang menjadi jelas bahwa rumus untuk an adalah: | |
an = a1 + (n 1)d: |
Tugas 1. Dalam deret aritmatika 2; 5; delapan; sebelas; : : : temukan rumus suku ke-n dan hitung suku keseratusnya.
Keputusan. Menurut rumus (1) kita memiliki:
an = 2 + 3(n 1) = 3n 1:
a100 = 3 100 1 = 299:
Properti dan tanda deret aritmatika
sifat-sifat deret aritmatika. Dalam deret aritmatika untuk sembarang
Dengan kata lain, setiap anggota barisan aritmatika (dimulai dari yang kedua) adalah rata-rata aritmatika dari anggota tetangga.
Bukti. Kita punya: | ||||
a n 1+ a n+1 | (an d) + (an + d) | |||
yang adalah apa yang dibutuhkan.
Secara umum, deret aritmatika memenuhi persamaan
a n = a n k+ a n+k
untuk n > 2 dan k alami apa pun< n. Попробуйте самостоятельно доказать эту формулу тем же самым приёмом, что и формулу (2 ).
Ternyata rumus (2) tidak hanya merupakan syarat perlu tetapi juga syarat yang cukup untuk suatu barisan menjadi barisan aritmatika.
Tanda barisan aritmatika. Jika persamaan (2) berlaku untuk semua n > 2, maka barisan an adalah barisan aritmatika.
Bukti. Mari kita tulis ulang rumus (2) sebagai berikut:
a na n 1 = a n+1a n:
Hal ini menunjukkan bahwa selisih an+1 an tidak bergantung pada n, dan ini hanya berarti bahwa barisan an merupakan barisan aritmatika.
Sifat dan tanda suatu deret aritmatika dapat dirumuskan sebagai satu pernyataan; untuk kenyamanan, kami akan melakukan ini untuk tiga angka (ini adalah situasi yang sering terjadi dalam masalah).
Karakterisasi barisan aritmatika. Tiga bilangan a, b, c membentuk barisan aritmatika jika dan hanya jika 2b = a + c.
Soal 2. (Universitas Negeri Moskow, Fakultas Ekonomi, 2007) Tiga bilangan 8x, 3 x2 dan 4 yang diurutkan membentuk barisan aritmatika menurun. Temukan x dan tulis perbedaan dari deret ini.
Keputusan. Dengan properti dari deret aritmatika, kami memiliki:
2(3 x2 ) = 8x 4 , 2x2 + 8x 10 = 0 , x2 + 4x 5 = 0 , x = 1; x=5:
Jika x = 1, maka diperoleh penurunan sebesar 8, 2, 4 dengan selisih 6. Jika x = 5, maka diperoleh peningkatan sebesar 40, 22, 4; kasus ini tidak berhasil.
Jawab: x = 1, selisihnya 6.
Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika
Legenda mengatakan bahwa suatu kali guru menyuruh anak-anak untuk menemukan jumlah angka dari 1 hingga 100 dan duduk untuk membaca koran dengan tenang. Namun, dalam beberapa menit, seorang anak laki-laki mengatakan bahwa dia telah memecahkan masalah tersebut. Itu adalah Carl Friedrich Gauss yang berusia 9 tahun, yang kemudian menjadi salah satu matematikawan terbesar dalam sejarah.
Ide Little Gauss adalah ini. Biarlah
S = 1 + 2 + 3 + : : : + 98 + 99 + 100:
Mari kita tulis jumlah ini dalam urutan terbalik:
S = 100 + 99 + 98 + : : : + 3 + 2 + 1;
dan tambahkan dua rumus ini:
2S = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + : : : + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1):
Setiap suku di dalam kurung sama dengan 101, dan ada 100 suku secara total.Oleh karena itu
2S = 101 100 = 10100;
Kami menggunakan ide ini untuk mendapatkan rumus jumlah
S = a1 + a2 + : : : + an + a n n: (3)
Modifikasi yang berguna dari rumus (3) diperoleh dengan mengganti rumus suku ke-n an = a1 + (n 1)d ke dalamnya:
2a1 + (n 1)d | |||||
Tugas 3. Temukan jumlah semua bilangan tiga digit positif yang habis dibagi 13.
Keputusan. Bilangan tiga angka yang merupakan kelipatan 13 membentuk barisan aritmatika dengan suku pertama 104 dan selisihnya 13; Suku ke-n dari barisan tersebut adalah:
an = 104 + 13(n 1) = 91 + 13n:
Mari kita cari tahu berapa banyak anggota yang terkandung dalam progres kami. Untuk melakukan ini, kami memecahkan ketidaksetaraan:
sebuah 6999; 91 + 13n 6999;
n 6 908 13 = 6911 13; n 6 69:
Jadi ada 69 anggota dalam perkembangan kami. Menurut rumus (4) kami menemukan jumlah yang diperlukan:
S = 2 104 + 68 13 69 = 37674: 2
Perhatian!
Ada tambahan
materi di Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")
Deret aritmatika adalah serangkaian angka di mana setiap angka lebih besar (atau lebih kecil) dari yang sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Topik ini seringkali sulit dan tidak dapat dipahami. Indeks huruf, anggota ke-n dari progresi, perbedaan progresi - semua ini entah bagaimana membingungkan, ya ... Mari kita cari tahu arti dari deret aritmatika dan semuanya akan segera beres.)
Konsep deret aritmatika.
Perkembangan aritmatika adalah konsep yang sangat sederhana dan jelas. Ragu? Sia-sia.) Lihat sendiri.
Saya akan menulis serangkaian angka yang belum selesai:
1, 2, 3, 4, 5, ...
Bisakah Anda memperpanjang garis ini? Nomor apa yang akan pergi selanjutnya, setelah lima? Semuanya ... eh ..., singkatnya, semua orang akan mengetahui bahwa angka 6, 7, 8, 9, dst. akan melangkah lebih jauh.
Mari kita memperumit tugas. Saya memberikan serangkaian angka yang belum selesai:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Anda dapat menangkap polanya, memperpanjang seri, dan memberi nama ketujuh nomor baris?
Jika Anda mengetahui bahwa angka ini adalah 20 - saya ucapkan selamat! Anda tidak hanya merasa poin-poin penting dari deret aritmatika, tetapi juga berhasil menggunakannya dalam bisnis! Jika Anda tidak mengerti, baca terus.
Sekarang mari kita terjemahkan poin-poin kunci dari sensasi ke dalam matematika.)
Poin kunci pertama.
Deret aritmatika berkaitan dengan deret bilangan. Ini membingungkan pada awalnya. Kami terbiasa memecahkan persamaan, membuat grafik, dan semua itu ... Dan kemudian perpanjang deretnya, temukan jumlah deretnya ...
Tidak apa-apa. Hanya saja progresi adalah perkenalan pertama dengan cabang matematika baru. Bagian ini disebut "Rangkaian" dan berfungsi dengan rangkaian angka dan ekspresi. Terbiasalah.)
Poin kunci kedua.
Dalam deret aritmatika, bilangan apa pun berbeda dari bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Dalam contoh pertama, perbedaan ini adalah satu. Berapa pun nomor yang Anda ambil, itu satu lebih banyak dari yang sebelumnya. Di kedua - tiga. Setiap nomor tiga kali lebih besar dari yang sebelumnya. Sebenarnya, momen inilah yang memberi kita kesempatan untuk menangkap pola dan menghitung angka-angka berikutnya.
Poin kunci ketiga.
Momen ini tidak mencolok ya... Tapi sangat-sangat penting. Itu dia: setiap nomor perkembangan ada di tempatnya. Ada angka pertama, ada ketujuh, ada empat puluh lima, dan seterusnya. Jika Anda membingungkan mereka secara sembarangan, polanya akan hilang. Deret aritmatika juga akan hilang. Itu hanya deretan angka.
Itulah intinya.
Tentu saja, istilah dan notasi baru muncul di topik baru. Mereka perlu tahu. Jika tidak, Anda tidak akan memahami tugas tersebut. Misalnya, Anda harus memutuskan sesuatu seperti:
Tuliskan enam suku pertama dari barisan aritmatika (a n) jika a 2 = 5, d = -2.5.
Apakah itu menginspirasi?) Surat, beberapa indeks... Dan tugas, omong-omong, tidak bisa lebih mudah. Anda hanya perlu memahami arti istilah dan notasinya. Sekarang kita akan menguasai masalah ini dan kembali ke tugas.
Istilah dan sebutan.
Deret aritmatika adalah barisan bilangan yang setiap bilangannya berbeda dengan bilangan sebelumnya dengan jumlah yang sama.
Nilai ini disebut . Mari kita bahas konsep ini secara lebih rinci.
Selisih barisan aritmatika.
Selisih deret aritmatika adalah jumlah di mana setiap angka perkembangan lagi yang sebelumnya.
Satu poin penting. Tolong perhatikan kata "lagi". Secara matematis, ini berarti bahwa setiap angka kemajuan diperoleh menambahkan perbedaan deret aritmatika dengan bilangan sebelumnya.
Untuk menghitung, katakanlah kedua nomor baris, perlu untuk pertama nomor Menambahkan perbedaan ini sangat dari perkembangan aritmatika. Untuk perhitungan kelima- perbedaan itu perlu Menambahkan ke keempat baik, dll.
Selisih deret aritmatika mungkin positif maka setiap nomor seri akan menjadi nyata lebih dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut meningkat. Sebagai contoh:
8; 13; 18; 23; 28; .....
Di sini setiap nomor adalah menambahkan angka positif, +5 ke yang sebelumnya.
Perbedaannya bisa negatif maka setiap bilangan pada deret tersebut adalah kurang dari yang sebelumnya. Perkembangan ini disebut (Anda tidak akan percaya!) menurun.
Sebagai contoh:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Di sini setiap nomor diperoleh juga menambahkan ke angka sebelumnya, tetapi sudah negatif, -5.
Omong-omong, ketika bekerja dengan progres, sangat berguna untuk segera menentukan sifatnya - apakah itu meningkat atau menurun. Ini sangat membantu untuk menemukan bantalan Anda dalam keputusan, untuk mendeteksi kesalahan Anda dan memperbaikinya sebelum terlambat.
Selisih deret aritmatika biasanya dilambangkan dengan huruf d.
Bagaimana menemukan d? Sangat sederhana. Hal ini diperlukan untuk mengurangi dari sejumlah seri sebelumnya nomor. Mengurangi. Omong-omong, hasil pengurangan disebut "selisih".)
Mari kita definisikan, misalnya, d untuk deret aritmatika yang meningkat:
2, 5, 8, 11, 14, ...
Kami mengambil sejumlah baris yang kami inginkan, misalnya, 11. Kurangi dari itu nomor sebelumnya itu. delapan:
Ini adalah jawaban yang benar. Untuk barisan aritmatika ini, selisihnya adalah tiga.
Anda hanya dapat mengambil sejumlah kemajuan, karena untuk kemajuan tertentu d-selalu sama. Setidaknya di suatu tempat di awal baris, setidaknya di tengah, setidaknya di mana saja. Anda tidak dapat mengambil hanya nomor pertama. Hanya karena nomor pertama tidak ada sebelumnya.)
Ngomong-ngomong, mengetahui itu d=3, menemukan angka ketujuh dari perkembangan ini sangat sederhana. Kami menambahkan 3 ke angka kelima - kami mendapatkan yang keenam, itu akan menjadi 17. Kami menambahkan tiga ke angka keenam, kami mendapatkan angka ketujuh - dua puluh.
Mari kita definisikan d untuk deret aritmatika menurun:
8; 3; -2; -7; -12; .....
Saya mengingatkan Anda bahwa, terlepas dari tanda-tandanya, untuk menentukan d dibutuhkan dari nomor berapapun singkirkan yang sebelumnya. Kami memilih sejumlah perkembangan, misalnya -7. Nomor sebelumnya adalah -2. Kemudian:
d = -7 - (-2) = -7 + 2 = -5
Perbedaan deret aritmatika dapat berupa bilangan apa saja: bilangan bulat, pecahan, irasional, apa saja.
Istilah dan sebutan lainnya.
Setiap bilangan dalam deret tersebut disebut anggota deret aritmatika.
Setiap anggota perkembangan memiliki nomornya. Angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa trik apa pun. Pertama, kedua, ketiga, keempat, dst. Misalnya, dalam perkembangan 2, 5, 8, 11, 14, ... dua adalah anggota pertama, lima adalah yang kedua, sebelas adalah yang keempat, nah, Anda mengerti ...) Harap dipahami dengan jelas - angka itu sendiri bisa benar-benar apa saja, utuh, pecahan, negatif, apa pun, tapi penomoran- benar-benar teratur!
Bagaimana cara menulis progresi dalam bentuk umum? Tidak masalah! Setiap nomor dalam seri ditulis sebagai huruf. Untuk menunjukkan deret aritmatika, sebagai aturan, huruf digunakan sebuah. Nomor anggota ditunjukkan oleh indeks di kanan bawah. Anggota ditulis dipisahkan dengan koma (atau titik koma), seperti ini:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 , .....
sebuah 1 adalah angka pertama sebuah 3- ketiga, dll. Tidak ada yang rumit. Anda dapat menulis seri ini secara singkat seperti ini: (sebuah).
Ada kemajuan terbatas dan tak terbatas.
Terakhir progresi memiliki jumlah anggota yang terbatas. Lima, tiga puluh delapan, terserah. Tapi itu angka yang terbatas.
tak berujung perkembangan - memiliki jumlah anggota yang tidak terbatas, seperti yang Anda duga.)
Anda dapat menulis progresi akhir melalui rangkaian seperti ini, semua anggota dan sebuah titik di akhir:
a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 .
Atau seperti ini, jika ada banyak anggota:
a 1 , a 2 , ... a 14 , a 15 .
Dalam entri singkat, Anda juga harus menunjukkan jumlah anggota. Misalnya (untuk dua puluh anggota), seperti ini:
(a n), n = 20
Sebuah kemajuan tak terbatas dapat dikenali dengan elipsis di akhir baris, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini.
Sekarang Anda sudah dapat menyelesaikan tugas. Tugasnya sederhana, murni untuk memahami arti dari deret aritmatika.
Contoh tugas untuk deret aritmatika.
Mari kita lihat lebih dekat tugas di atas:
1. Tuliskan enam anggota pertama dari deret aritmatika (a n), jika a 2 = 5, d = -2.5.
Kami menerjemahkan tugas ke dalam bahasa yang dapat dimengerti. Mengingat perkembangan aritmatika tak terbatas. Angka kedua dari perkembangan ini diketahui: a2 = 5. Perbedaan perkembangan yang diketahui: d = -2,5. Kita perlu menemukan anggota pertama, ketiga, keempat, kelima dan keenam dari perkembangan ini.
Untuk kejelasan, saya akan menuliskan rangkaian sesuai dengan kondisi masalah. Enam anggota pertama, di mana anggota kedua adalah lima:
a 1 , 5 , a 3 , a 4 , a 5 , a 6 , ....
sebuah 3 = sebuah 2 + d
Kami mengganti dalam ekspresi a2 = 5 dan d=-2,5. Jangan lupa minusnya!
sebuah 3=5+(-2,5)=5 - 2,5 = 2,5
Suku ketiga lebih kecil dari suku kedua. Semuanya logis. Jika jumlahnya lebih besar dari yang sebelumnya negatif nilai, sehingga nomor itu sendiri akan lebih kecil dari yang sebelumnya. Progresi semakin menurun. Oke, mari kita pertimbangkan.) Kami mempertimbangkan anggota keempat dari seri kami:
sebuah 4 = sebuah 3 + d
sebuah 4=2,5+(-2,5)=2,5 - 2,5 = 0
sebuah 5 = sebuah 4 + d
sebuah 5=0+(-2,5)= - 2,5
sebuah 6 = sebuah 5 + d
sebuah 6=-2,5+(-2,5)=-2,5 - 2,5 = -5
Jadi, istilah dari ketiga hingga keenam telah dihitung. Ini menghasilkan serangkaian:
a 1 , 5 , 2.5 , 0 , -2.5 , -5 , ....
Tetap mencari suku pertama sebuah 1 menurut detik terkenal. Ini adalah langkah ke arah lain, ke kiri.) Oleh karena itu, perbedaan dari deret aritmatika d tidak harus ditambahkan ke sebuah 2, sebuah bawa pulang:
sebuah 1 = sebuah 2 - d
sebuah 1=5-(-2,5)=5 + 2,5=7,5
Itu saja. Tanggapan tugas:
7,5, 5, 2,5, 0, -2,5, -5, ...
Secara sepintas, saya perhatikan bahwa kami menyelesaikan tugas ini berulang jalan. Kata mengerikan ini berarti, hanya, pencarian anggota progresi dengan nomor sebelumnya (berdekatan). Cara lain untuk bekerja dengan perkembangan akan dibahas nanti.
Satu kesimpulan penting dapat ditarik dari tugas sederhana ini.
Ingat:
Jika kita mengetahui setidaknya satu anggota dan perbedaan dari suatu deret aritmatika, kita dapat menemukan setiap anggota dari deret ini.
Ingat? Kesimpulan sederhana ini memungkinkan kita untuk memecahkan sebagian besar masalah kursus sekolah tentang topik ini. Semua tugas berkisar pada tiga parameter utama: anggota deret aritmatika, selisih deret, jumlah anggota deret. Semuanya.
Tentu saja, semua aljabar sebelumnya tidak dibatalkan.) Pertidaksamaan, persamaan, dan hal-hal lain yang melekat pada perkembangan. Tetapi sesuai perkembangannya- semuanya berkisar pada tiga parameter.
Misalnya, pertimbangkan beberapa tugas populer tentang topik ini.
2. Tulis barisan aritmatika akhir sebagai deret jika n=5, d=0.4, dan a 1=3.6.
Semuanya sederhana di sini. Semuanya sudah diberikan. Anda perlu mengingat bagaimana anggota deret aritmatika dihitung, dihitung, dan ditulis. Disarankan untuk tidak melewatkan kata-kata dalam kondisi tugas: "final" dan " n=5". Agar tidak dihitung sampai wajahmu benar-benar biru.) Hanya ada 5 (lima) anggota dalam perkembangan ini:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 3,6 + 0,4 \u003d 4
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 4 + 0,4 \u003d 4,4
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 4,4 + 0,4 = 4,8
sebuah 5 = sebuah 4 + d = 4,8 + 0,4 = 5,2
Tetap menuliskan jawabannya:
3,6; 4; 4,4; 4,8; 5,2.
Tugas lain:
3. Tentukan apakah bilangan 7 merupakan anggota barisan aritmatika (a n) jika a 1 \u003d 4.1; d = 1.2.
Hm... Siapa yang tahu? Bagaimana mendefinisikan sesuatu?
Bagaimana-bagaimana... Ya, tuliskan progresi dalam bentuk deret dan lihat apakah akan ada tujuh atau tidak! Kami percaya:
a 2 \u003d a 1 + d \u003d 4.1 + 1.2 \u003d 5.3
a 3 \u003d a 2 + d \u003d 5.3 + 1.2 \u003d 6.5
sebuah 4 = sebuah 3 + d = 6,5 + 1,2 = 7,7
4,1; 5,3; 6,5; 7,7; ...
Sekarang jelas terlihat bahwa kita hanya tujuh menyelinap melalui antara 6,5 dan 7,7! Tujuh tidak masuk ke rangkaian angka kami, dan, oleh karena itu, tujuh tidak akan menjadi anggota dari perkembangan yang diberikan.
Jawaban: tidak.
Dan inilah tugas berdasarkan versi nyata dari GIA:
4. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; limabelas; X; sembilan; 6; ...
Berikut adalah seri tanpa akhir dan awal. Tidak ada nomor anggota, tidak ada perbedaan d. Tidak apa-apa. Untuk mengatasi masalah tersebut, cukup memahami arti dari deret aritmatika. Mari kita lihat dan lihat apa yang kita bisa menemukan dari baris ini? Apa parameter dari tiga yang utama?
Nomor anggota? Tidak ada satu nomor pun di sini.
Tapi ada tiga angka dan - perhatian! - kata "berurutan" dalam kondisi. Ini berarti bahwa angka-angkanya benar-benar berurutan, tanpa celah. Apakah ada dua di baris ini? berdekatan nomor yang diketahui? Ya saya punya! Ini adalah 9 dan 6. Jadi kita bisa menghitung selisih dari barisan aritmatika! Kami kurangi dari enam sebelumnya nomor, yaitu sembilan:
Ada ruang kosong yang tersisa. Nomor berapa yang akan menjadi yang sebelumnya untuk x? Limabelas. Jadi x dapat dengan mudah ditemukan dengan penjumlahan sederhana. Untuk 15 menambahkan perbedaan dari deret aritmatika:
Itu saja. Menjawab: x=12
Kami memecahkan masalah berikut sendiri. Catatan: teka-teki ini bukan untuk rumus. Semata-mata untuk memahami arti dari deret aritmatika.) Kami hanya menuliskan serangkaian angka-huruf, melihat dan berpikir.
5. Tentukan suku positif pertama dari barisan aritmatika jika a 5 = -3; d = 1.1.
6. Diketahui bilangan 5.5 merupakan anggota barisan aritmatika (a n), dimana a 1 = 1.6; d = 1.3. Tentukan jumlah n dari anggota ini.
7. Diketahui bahwa pada suatu deret aritmatika a 2 = 4; a 5 \u003d 15.1. Temukan 3 .
8. Beberapa anggota barisan aritmatika yang berurutan dituliskan:
...; 15.6; X; 3.4; ...
Tentukan suku dari progresi yang dilambangkan dengan huruf x.
9. Kereta mulai bergerak dari stasiun, secara bertahap meningkatkan kecepatannya sebesar 30 meter per menit. Berapakah kecepatan kereta api dalam lima menit? Berikan jawaban Anda dalam km/jam.
10. Diketahui bahwa pada suatu barisan aritmatika a 2 = 5; a6 = -5. Temukan 1.
Jawaban (berantakan): 7.7; 7.5; 9.5; sembilan; 0,3; 4.
Semuanya berhasil? Luar biasa! Anda dapat menguasai perkembangan aritmatika pada tingkat yang lebih tinggi dalam pelajaran berikut.
Bukankah semuanya berhasil? Tidak masalah. Dalam Bagian Khusus 555, semua masalah ini dipecah menjadi beberapa bagian.) Dan, tentu saja, teknik praktis sederhana dijelaskan yang segera menyoroti solusi tugas-tugas tersebut dengan jelas, jelas, seperti di telapak tangan Anda!
Ngomong-ngomong, dalam teka-teki tentang kereta ada dua masalah yang sering membuat orang tersandung. Satu - murni dengan perkembangan, dan yang kedua - umum untuk tugas apa pun dalam matematika, dan fisika juga. Ini adalah terjemahan dimensi dari satu ke yang lain. Ini menunjukkan bagaimana masalah ini harus diselesaikan.
Dalam pelajaran ini, kami memeriksa arti dasar dari deret aritmatika dan parameter utamanya. Ini cukup untuk menyelesaikan hampir semua masalah tentang topik ini. Menambahkan d ke nomor, menulis seri, semuanya akan diputuskan.
Solusi jari bekerja dengan baik untuk bagian yang sangat pendek dari seri, seperti dalam contoh dalam pelajaran ini. Jika seri lebih panjang, perhitungan menjadi lebih sulit. Misalnya, jika dalam masalah 9 dalam pertanyaan, ganti "lima menit" pada "tiga puluh lima menit" masalahnya akan menjadi jauh lebih buruk.)
Dan ada juga tugas-tugas yang pada dasarnya sederhana, tetapi sama sekali tidak masuk akal dalam hal perhitungan, misalnya:
Diberikan barisan aritmatika (a n). Temukan 121 jika a 1 =3 dan d=1/6.
Dan apa, kami akan menambahkan 1/6 berkali-kali?! Apakah mungkin untuk bunuh diri!?
Anda bisa.) Jika Anda tidak tahu rumus sederhana yang dengannya Anda dapat menyelesaikan tugas-tugas seperti itu dalam satu menit. Rumus ini akan ada di pelajaran berikutnya. Dan masalah itu selesai di sana. Dalam semenit.)
Jika Anda menyukai situs ini...
Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)
Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)
Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.
