• apotema- ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari atasnya (selain itu, apotema adalah panjang tegak lurus, yang diturunkan dari tengah poligon beraturan ke 1 sisinya);
• wajah samping (ASB, BSC, CSD, DSA) - segitiga yang bertemu di atas;
• rusuk samping ( SEBAGAI , BS , CS , D.S. ) - sisi umum dari sisi samping;
• puncak piramida (v.S) - titik yang menghubungkan tepi samping dan yang tidak terletak pada bidang alas;
• tinggi ( JADI ) - segmen tegak lurus, yang ditarik melalui bagian atas piramida ke bidang alasnya (ujung segmen tersebut akan menjadi bagian atas piramida dan alas tegak lurus);
• bagian diagonal piramida- bagian piramida, yang melewati bagian atas dan diagonal alas;
• basis (ABC) adalah poligon yang bagian atas piramida tidak termasuk.

sifat piramida.

1. Jika semua sisi sisinya berukuran sama, maka:

• dekat dasar piramida mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
• rusuk samping membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar;
• selain itu, kebalikannya juga benar, yaitu ketika tepi sisi membentuk sudut yang sama dengan bidang alas, atau ketika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat dasar piramida dan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini, maka semua tepi sisi piramida memiliki ukuran yang sama.

2. Jika sisi-sisi menghadap memiliki sudut kemiringan terhadap bidang alas dengan nilai yang sama, maka:

• dekat dasar piramida, mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
• ketinggian sisi-sisinya memiliki panjang yang sama;
• luas permukaan samping adalah hasil kali keliling alas dan tinggi permukaan samping.

3. Sebuah bola dapat digambarkan di dekat piramida jika alas piramida adalah poligon di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi perlu dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang yang melewati titik tengah tepi piramida yang tegak lurus terhadapnya. Dari teorema ini kami menyimpulkan bahwa sebuah bola dapat digambarkan baik di sekitar segitiga apa pun dan di sekitar piramida biasa apa pun.

4. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan di titik pertama (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.

Piramida paling sederhana.

Menurut jumlah sudut dasar piramida, mereka dibagi menjadi segitiga, segi empat, dan sebagainya.

Piramida akan segitiga, berbentuk segi empat, dan seterusnya, ketika alas piramida adalah segitiga, segi empat, dan seterusnya. Piramida segitiga adalah tetrahedron - tetrahedron. Segi empat - pentahedron dan sebagainya.

Di mana salah satu sisinya tegak lurus dengan alasnya.

Dalam hal ini, tepi ini akan menjadi ketinggian piramida.

sifat piramida.

1. Jika semua sisi sisinya berukuran sama, maka:

• dekat dasar piramida mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
• rusuk samping membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar;
• selain itu, kebalikannya juga benar, yaitu ketika tepi sisi membentuk sudut yang sama dengan bidang alas, atau ketika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat dasar piramida dan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini, maka semua tepi sisi piramida memiliki ukuran yang sama.

2. Jika sisi-sisi menghadap memiliki sudut kemiringan terhadap bidang alas dengan nilai yang sama, maka:

• dekat dasar piramida, mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
• ketinggian sisi-sisinya memiliki panjang yang sama;
• luas permukaan samping adalah hasil kali keliling alas dan tinggi permukaan samping.

3. Sebuah bola dapat digambarkan di dekat piramida jika alas piramida adalah poligon di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi perlu dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang yang melewati titik tengah tepi piramida yang tegak lurus terhadapnya. Dari teorema ini kami menyimpulkan bahwa sebuah bola dapat digambarkan baik di sekitar segitiga mana pun dan di sekitar piramida biasa apa pun;

4. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan di titik pertama (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.

5. Kerucut akan tertulis di piramida ketika puncaknya bertepatan, dan dasar kerucut akan tertulis di dasar piramida. Pada saat yang sama, dimungkinkan untuk menuliskan kerucut dalam piramida hanya jika apotema piramida memiliki nilai yang sama (kondisi yang diperlukan dan cukup);

6. Kerucut akan tertulis di dekat piramida jika simpulnya bertepatan, dan alas kerucut akan tertulis di dekat dasar piramida. Dalam hal ini, dimungkinkan untuk menggambarkan kerucut di dekat piramida hanya jika semua tepi sisi piramida memiliki nilai yang sama (kondisi yang diperlukan dan cukup). Ketinggian kerucut dan piramida ini sama.

7. Silinder akan tertulis di piramida jika 1 alasnya bertepatan dengan lingkaran yang tertulis di bagian piramida oleh bidang yang sejajar dengan alasnya, dan alas kedua akan menjadi milik dasar piramida.

8. Silinder akan ditorehkan di dekat piramida ketika bagian atas piramida menjadi salah satu alasnya, dan alas kedua dari silinder akan tertulis di dekat dasar piramida. Pada saat yang sama, dimungkinkan untuk menggambarkan sebuah silinder di dekat piramida hanya jika dasar piramida adalah poligon tertulis (kondisi yang diperlukan dan cukup).

Rumus untuk menentukan volume dan luas piramida segi empat.

V- volume piramida,

S adalah luas dasar piramida,

h- ketinggian piramida,

sb adalah luas permukaan lateral piramida,

sebuah- apotema (jangan bingung dengan α ) piramida,

P- keliling dasar piramida,

n- jumlah sisi dasar piramida,

b- panjang tepi lateral piramida,

α - sudut datar di puncak piramida.

Tingkat pertama

Piramida. Panduan Visual (2019)

Apa itu piramida?

Bagaimana penampilannya?

Anda lihat: di piramida di bawah (mereka mengatakan " di dasar"") beberapa poligon, dan semua simpul dari poligon ini terhubung ke beberapa titik dalam ruang (titik ini disebut " puncak»).

Seluruh struktur ini memiliki wajah samping, rusuk samping dan tulang rusuk dasar. Sekali lagi, mari kita menggambar piramida bersama dengan semua nama ini:

Beberapa piramida mungkin terlihat sangat aneh, tetapi mereka tetaplah piramida.

Di sini, misalnya, cukup "miring" piramida.

Dan sedikit lagi tentang nama-nama: jika ada segitiga di dasar piramida, maka piramida disebut segitiga;

Pada saat yang sama, titik di mana ia jatuh tinggi, disebut dasar ketinggian. Perhatikan bahwa di piramida "bengkok" tinggi bahkan mungkin berada di luar piramida. Seperti ini:

Dan tidak ada yang mengerikan dalam hal ini. Itu terlihat seperti segitiga tumpul.

Piramida yang benar.

Banyak kata sulit? Mari kita menguraikan: " Di pangkalan - benar"- ini bisa dimengerti. Dan sekarang ingat bahwa poligon beraturan memiliki pusat - titik yang merupakan pusat dan , dan .

Nah, dan kata-kata "bagian atas diproyeksikan ke tengah alas" berarti alas tingginya jatuh tepat ke tengah alas. Lihat betapa halus dan imutnya tampilannya piramida kanan.

heksagonal: di pangkalan - segi enam biasa, simpul diproyeksikan ke tengah alas.

berbentuk segi empat: di dasar - persegi, bagian atas diproyeksikan ke titik persimpangan diagonal persegi ini.

segitiga: pada alasnya adalah segitiga beraturan, puncaknya diproyeksikan ke titik perpotongan dari ketinggian (mereka juga merupakan median dan garis-bagi) dari segitiga ini.

Sangat sifat penting dari piramida biasa:

Di piramida kanan

• semua sisi sisinya sama.
• semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki dan semua segitiga ini sama besar.

Volume Piramida

Rumus utama untuk volume piramida:

Dari mana tepatnya? Ini tidak sesederhana itu, dan pada awalnya Anda hanya perlu mengingat bahwa piramida dan kerucut memiliki volume dalam rumus, tetapi silinder tidak.

Sekarang mari kita hitung volume piramida paling populer.

Biarkan sisi alasnya sama, dan tepi sampingnya sama. Saya perlu menemukan dan.

Ini adalah luas segitiga siku-siku.

Mari kita ingat bagaimana mencari daerah ini. Kami menggunakan rumus luas:

Kami memiliki "" - ini, dan "" - ini juga, eh.

Sekarang mari kita temukan.

Menurut teorema Pythagoras untuk

Apa pentingnya? Ini adalah jari-jari lingkaran yang dibatasi, karena piramidabenar dan karenanya pusat.

Sejak - titik persimpangan dan median juga.

(Teorema Pythagoras untuk)

Substitusi ke dalam rumus untuk.

Mari kita masukkan semuanya ke dalam rumus volume:

Perhatian: jika Anda memiliki tetrahedron biasa (yaitu), maka rumusnya adalah:

Biarkan sisi alasnya sama, dan tepi sampingnya sama.

Tidak perlu mencari di sini; karena pada dasarnya adalah persegi, dan karena itu.

Mari kita temukan. Menurut teorema Pythagoras untuk

Apakah kita tahu? Hampir. Lihat:

(kami melihat ini dengan meninjau).

Substitusi ke dalam rumus:

Dan sekarang kita substitusikan ke dalam rumus volume.

Biarkan sisi alasnya sama, dan tepi sampingnya.

Bagaimana menemukan? Lihat, segi enam terdiri dari tepat enam segitiga beraturan yang identik. Kami telah mencari luas segitiga beraturan saat menghitung volume piramida segitiga beraturan, di sini kami menggunakan rumus yang ditemukan.

Sekarang mari kita temukan (ini).

Menurut teorema Pythagoras untuk

Tapi apa bedanya? Ini sederhana karena (dan semua orang juga) benar.

Kami mengganti:

\displaystyle V=\frac(\sqrt(3))(2)((a)^(2))\sqrt(((b)^(2))-((a)^(2)))

PIRAMIDA. SINGKAT TENTANG UTAMA

Piramida adalah polihedron yang terdiri dari poligon datar (), titik yang tidak terletak pada bidang alas (puncak piramida) dan semua segmen yang menghubungkan bagian atas piramida ke titik alas (tepi samping) ).

Sebuah tegak lurus dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya.

Piramida yang benar- sebuah piramida, yang memiliki poligon beraturan di alasnya, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke tengah alasnya.

Properti piramida biasa:

• Dalam piramida biasa, semua sisi sisinya sama.
• Semua sisi sisinya adalah segitiga sama kaki dan semua segitiga ini sama besar.

Definisi

Piramida adalah polihedron yang terdiri dari poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(n\) segitiga dengan simpul yang sama \(P\) (tidak terletak pada bidang poligon) dan sisi-sisi yang berhadapan berhadapan dengan sisi-sisi poligon.
Penunjukan: \(PA_1A_2...A_n\) .
Contoh: piramida segi lima \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .

Segitiga \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) dll. ditelepon wajah samping piramida, segmen \(PA_1, PA_2\), dll. - rusuk samping, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – dasar, titik \(P\) – puncak.

Tinggi Piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya.

Piramida dengan segitiga di alasnya disebut segi empat.

Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan dan salah satu kondisi berikut terpenuhi:

\((a)\) tepi sisi piramida adalah sama;

\((b)\) ketinggian piramida melewati pusat lingkaran berbatas dekat alas;

\((c)\) rusuk sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.

\((d)\) permukaan sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.

tetrahedron biasa adalah piramida segitiga, semua wajah yang segitiga sama sisi.

Dalil

Kondisi \((a), (b), (c), (d)\) adalah ekuivalen.

Bukti

Gambarlah tinggi piramida \(PH\) . Biarkan \(\alpha\) menjadi bidang dasar piramida.

1) Mari kita buktikan bahwa \((a)\) menyiratkan \((b)\) . Biarkan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

Karena \(PH\perp \alpha\) , maka \(PH\) tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di bidang ini, sehingga segitiga siku-siku. Jadi segitiga-segitiga ini sama pada kaki yang sama \(PH\) dan sisi miring \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Jadi \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Artinya titik \(A_1, A_2, ..., A_n\) berada pada jarak yang sama dari titik \(H\) , sehingga terletak pada lingkaran yang sama dengan jari-jari \(A_1H\) . Lingkaran ini, menurut definisi, dibatasi di sekitar poligon \(A_1A_2...A_n\) .

2) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((c)\) .

\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sama dengan dua kaki. Oleh karena itu, sudut mereka juga sama, oleh karena itu, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).

3) Mari kita buktikan bahwa \((c)\) menyiratkan \((a)\) .

Mirip dengan titik pertama, segitiga \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sepanjang kaki dan sudut akut. Ini berarti bahwa sisi miringnya juga sama, yaitu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .

4) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((d)\) .

Karena dalam poligon beraturan, pusat lingkaran berbatas dan bertulisan bertepatan (secara umum, titik ini disebut pusat poligon beraturan), kemudian \(H\) adalah pusat lingkaran bertulisan. Mari menggambar garis tegak lurus dari titik \(H\) ke sisi alas: \(HK_1, HK_2\), dll. Ini adalah jari-jari lingkaran tertulis (menurut definisi). Kemudian, menurut TTP, (\(PH\) adalah tegak lurus bidang, \(HK_1, HK_2\), dll. adalah proyeksi tegak lurus ke sisi) miring \(PK_1, PK_2\), dll. tegak lurus ke sisi \(A_1A_2, A_2A_3\), dll. masing-masing. Jadi, menurut definisi \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) sama dengan sudut antara sisi-sisi dan alasnya. Karena segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) sama besar (sama siku-siku pada dua kaki), maka besar sudut \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) adalah sama.

5) Mari kita buktikan bahwa \((d)\) menyiratkan \((b)\) .

Demikian pula dengan titik keempat, segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) adalah sama (sepanjang kaki dan sudut lancip), yang berarti bahwa segmen \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) adalah sama. Oleh karena itu, menurut definisi, \(H\) adalah pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Tapi sejak untuk poligon beraturan, pusat lingkaran bertulis dan berbatas bertepatan, maka \(H\) adalah pusat lingkaran berbatas. Chtd.

Konsekuensi

Sisi-sisi sisi piramida beraturan adalah segitiga sama kaki.

Definisi

Ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya, disebut pendewaan.
Apotema dari semua sisi lateral piramida beraturan adalah sama satu sama lain dan juga merupakan median dan garis bagi.

Catatan penting

1. Ketinggian piramida segitiga beraturan jatuh ke titik persimpangan ketinggian (atau garis bagi, atau median) alasnya (alasnya adalah segitiga beraturan).

2. Ketinggian piramida segi empat beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya berbentuk bujur sangkar).

3. Ketinggian piramida heksagonal beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya adalah segi enam beraturan).

4. Tinggi piramida tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di dasarnya.

Definisi

Piramida disebut persegi panjang jika salah satu sisi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alas.

Catatan penting

1. Untuk piramida segi empat, sisi yang tegak lurus alasnya adalah tinggi piramida. Artinya, \(SR\) adalah tingginya.

2. Karena \(SR\) tegak lurus terhadap sembarang garis dari alas, maka \(\segitiga SRM, \segitiga SRP\) adalah segitiga siku-siku.

3. Segitiga \(\segitiga SRN, \SRK segitiga\) juga berbentuk persegi panjang.
Artinya, segitiga apa pun yang dibentuk oleh tepi ini dan diagonal yang keluar dari titik sudut tepi ini, yang terletak di alasnya, akan siku-siku.

\[(\Large(\text(Volume dan luas permukaan piramida))))\]

Dalil

Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tinggi piramida: \

Konsekuensi

Misalkan \(a\) adalah sisi alasnya, \(h\) adalah tinggi piramida.

1. Volume piramida segitiga beraturan adalah \(V_(\text(segitiga siku-siku pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),

2. Volume piramida segi empat beraturan adalah \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).

3. Volume piramida segi enam beraturan adalah \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).

4. Volume tetrahedron beraturan adalah \(V_(\text(tetra kanan.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).

Dalil

Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema.

\[(\Large(\text(Piramida terpotong))))\]

Definisi

Pertimbangkan piramida arbitrer \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Mari kita menggambar bidang yang sejajar dengan dasar piramida melalui titik tertentu yang terletak di tepi samping piramida. Bidang ini akan membagi piramida menjadi dua polihedra, salah satunya adalah piramida (\(PB_1B_2...B_n\) ), dan yang lainnya disebut piramida terpotong(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).

Piramida terpotong memiliki dua alas - poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(B_1B_2...B_n\) , yang mirip satu sama lain.

Ketinggian piramida terpotong adalah tegak lurus yang ditarik dari beberapa titik alas atas ke bidang alas bawah.

Catatan penting

1. Semua sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium.

2. Segmen yang menghubungkan pusat-pusat dasar piramida terpotong biasa (yaitu, piramida yang diperoleh dari bagian piramida biasa) adalah tingginya.

Tutorial video ini akan membantu pengguna untuk mendapatkan ide tentang tema Piramida. Piramida yang benar. Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan konsep piramida, memberikan definisi. Pertimbangkan apa itu piramida biasa dan properti apa yang dimilikinya. Kemudian kami membuktikan teorema pada permukaan lateral piramida biasa.

Dalam pelajaran ini, kita akan berkenalan dengan konsep piramida, memberikan definisi.

Pertimbangkan poligon A 1 A 2...Sebuah, yang terletak pada bidang , dan sebuah titik P, yang tidak terletak pada bidang (Gbr. 1). Mari kita hubungkan titiknya P dengan puncak A1, A2, A3, … Sebuah. Mendapatkan n segitiga: A 1 A 2 R, A 2 A 3 R dll.

Definisi. polihedron RA 1 A 2 ... A n, terdiri dari n-gon A 1 A 2...Sebuah dan n segitiga RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 , disebut n- piramida batubara. Beras. satu.

Beras. satu

Pertimbangkan piramida segi empat PABCD(Gbr. 2).

R- puncak piramida.

ABCD- dasar piramida.

RA- rusuk samping.

AB- tepi dasar.

Dari satu titik R jatuhkan tegak lurus RN di pesawat darat ABCD. Garis tegak lurus yang ditarik adalah tinggi piramida.

Beras. 2

Permukaan total piramida terdiri dari permukaan lateral, yaitu luas semua permukaan lateral, dan luas alas:

S penuh \u003d S sisi + S utama

Piramida dikatakan benar jika:

• alasnya adalah poligon beraturan;
• segmen yang menghubungkan puncak piramida dengan pusat alasnya adalah tingginya.

Penjelasan tentang contoh piramida segi empat biasa

Pertimbangkan piramida segi empat biasa PABCD(Gbr. 3).

R- puncak piramida. dasar piramida ABCD- segi empat biasa, yaitu persegi. Dot HAI, titik potong diagonalnya, adalah pusat bujur sangkar. Cara, RO adalah ketinggian piramida.

Beras. 3

Penjelasan: di kanan n-gon, pusat lingkaran bertulis dan pusat lingkaran berbatas bertepatan. Pusat ini disebut pusat poligon. Terkadang mereka mengatakan bahwa bagian atas diproyeksikan ke tengah.

Ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya, disebut pendewaan dan dilambangkan h a.

1. semua sisi sisi piramida biasa adalah sama;

2. sisi sisinya adalah segitiga sama kaki.

Mari kita buktikan sifat-sifat ini menggunakan contoh piramida segi empat biasa.

Diberikan: RABCD- piramida segi empat biasa,

ABCD- kotak,

RO adalah ketinggian piramida.

Membuktikan:

1. RA = PB = PC = PD

2.ATP = BCP = CDP = DAP Lihat Gambar. 4.

Beras. 4

Bukti.

RO adalah ketinggian piramida. Artinya, lurus RO tegak lurus bidang ABC, dan karenanya langsung AO, VO, SO dan MELAKUKAN berbaring di dalamnya. Jadi segitiga ROA, ROV, ROS, ROD- persegi panjang.

Pertimbangkan persegi ABCD. Ini mengikuti dari sifat-sifat persegi bahwa AO = BO = CO = MELAKUKAN.

Maka segitiga siku-siku ROA, ROV, ROS, ROD kaki RO- umum dan kaki AO, VO, SO dan MELAKUKAN sama, jadi segitiga ini sama pada dua kaki. Dari persamaan segitiga mengikuti persamaan ruas, RA = PB = PC = PD. Poin 1 terbukti.

Segmen AB dan Matahari sama karena merupakan sisi-sisi persegi yang sama, RA = RV = PC. Jadi segitiga AVR dan VCR - sama kaki dan sama pada ketiga sisinya.

Demikian pula, kita mendapatkan bahwa segitiga ABP, BCP, CDP, DAP adalah sama kaki dan sama, yang diperlukan untuk membuktikan pada item 2.

Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema:

Sebagai bukti, kami memilih piramida segitiga biasa.

Diberikan: RAVS adalah piramida segitiga biasa.

AB = BC = AC.

RO- tinggi.

Membuktikan: . Lihat Gambar. 5.

Beras. 5

Bukti.

RAVS adalah piramida segitiga biasa. Yaitu AB= AC = SM. Biarlah HAI- pusat segitiga ABC, kemudian RO adalah ketinggian piramida. Dasar piramida adalah segitiga sama sisi. ABC. perhatikan itu .

segitiga RAV, RVS, RSA- segitiga sama kaki sama (berdasarkan properti). Piramida segitiga memiliki tiga sisi wajah: RAV, RVS, RSA. Jadi, luas permukaan lateral piramida adalah:

S sisi = 3S RAB

Teorema telah terbukti.

Jari-jari lingkaran yang tertulis di dasar piramida segi empat beraturan adalah 3 m, tinggi piramida adalah 4 m. Temukan luas permukaan lateral piramida.

Diberikan: piramida segi empat beraturan ABCD,

ABCD- kotak,

r= 3m,

RO- ketinggian piramida,

RO= 4m

Mencari: sisi S. Lihat Gambar. 6.

Beras. 6

Keputusan.

Menurut teorema terbukti, .

Temukan sisi alasnya terlebih dahulu AB. Kita tahu bahwa jari-jari lingkaran yang terdapat di dasar piramida segi empat beraturan adalah 3 m.

Kemudian, m.

Cari keliling persegi ABCD dengan sisi 6 m:

Pertimbangkan segitiga BCD. Biarlah M- sisi tengah DC. Sebagai HAI- tengah BD, kemudian (m).

Segi tiga DPC- sama kaki. M- tengah DC. Yaitu, RM- median, dan karenanya tinggi dalam segitiga DPC. Kemudian RM- apotema piramida.

RO adalah ketinggian piramida. Kemudian, lurus RO tegak lurus bidang ABC, dan karenanya langsung om berbaring di dalamnya. Ayo temukan apotema RM dari segitiga siku-siku ROM.

Sekarang kita dapat menemukan permukaan sisi piramida:

Menjawab: 60 m2.

Jari-jari lingkaran yang dibatasi di dekat dasar piramida segitiga beraturan adalah m. Luas permukaan lateral adalah 18 m 2. Temukan panjang apotema.

Diberikan: ABCP- piramida segitiga biasa,

AB = BC = SA,

R= m,

Sisi S = 18 m 2.

Mencari: . Lihat Gambar. 7.

Beras. 7

Keputusan.

Dalam segitiga siku-siku ABC diberikan jari-jari lingkaran yang dibatasi. Ayo cari sisi AB segitiga ini menggunakan teorema sinus.

Mengetahui sisi segitiga biasa (m), kami menemukan kelilingnya.

Menurut teorema pada luas permukaan lateral piramida biasa, di mana h a- apotema piramida. Kemudian:

Menjawab: 4 m.

Jadi, kami memeriksa apa itu piramida, apa itu piramida biasa, kami membuktikan teorema pada permukaan lateral piramida biasa. Dalam pelajaran selanjutnya, kita akan berkenalan dengan piramida terpotong.

Bibliografi

1. Geometri. Kelas 10-11: buku teks untuk siswa lembaga pendidikan (tingkat dasar dan profil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - Edisi ke-5, Pdt. dan tambahan - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 hal.: sakit.
2. Geometri. Kelas 10-11: Buku teks untuk lembaga pendidikan umum / Sharygin I. F. - M.: Bustard, 1999. - 208 hal.: sakit.
3. Geometri. Kelas 10: Buku pelajaran untuk lembaga pendidikan umum dengan studi mendalam dan profil matematika / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - Edisi ke-6, stereotip. - M.: Bustard, 008. - 233 hal.: sakit.

1. Portal internet "Yaklass" ()
2. Portal internet "Festival Ide Pedagogis" First of September ()
3. Portal internet "Slideshare.net" ()

Pekerjaan rumah

1. Bisakah poligon beraturan menjadi dasar piramida tidak beraturan?
2. Buktikan bahwa sisi-sisi yang tidak berpotongan dari limas beraturan tegak lurus.
3. Hitunglah nilai sudut dihedral pada sisi alas piramida segi empat beraturan, jika apotema piramida sama dengan sisi alasnya.
4. RAVS adalah piramida segitiga biasa. Bangun sudut linier dari sudut dihedral di dasar piramida.