Bagian dari suatu unit dan direpresentasikan sebagai \frac(a)(b).

Pembilang pecahan (a)- angka di atas garis pecahan dan menunjukkan jumlah bagian di mana unit itu dibagi.

Penyebut pecahan (b)- nomor di bawah garis pecahan dan menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi unit.

Sembunyikan tampilan

Sifat dasar pecahan

Jika ad=bc , maka dua pecahan \frac(a)(b) dan \frac(c)(d) dianggap setara. Misalnya, pecahan akan sama dengan \frac35 dan \frac(9)(15), karena 3 \cdot 15 = 15 \cdot 9 , \frac(12)(7) dan \frac(24)(14), karena 12 \cdot 14 = 7 \cdot 24 .

Dari definisi persamaan pecahan dapat disimpulkan bahwa pecahan akan sama dengan \frac(a)(b) dan \frac(am)(bm), karena a(bm)=b(am) adalah contoh yang jelas dari penggunaan sifat asosiatif dan komutatif perkalian bilangan asli dalam aksi.

Cara \frac(a)(b) = \frac(am)(bm)- terlihat seperti ini sifat dasar pecahan.

Dengan kata lain, kita mendapatkan pecahan yang sama dengan yang diberikan dengan mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut pecahan asli dengan bilangan asli yang sama.

Pengurangan pecahan adalah proses penggantian pecahan, di mana pecahan baru sama dengan aslinya, tetapi dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil.

Merupakan kebiasaan untuk mereduksi pecahan berdasarkan sifat utama pecahan.

Sebagai contoh, \frac(45)(60)=\frac(15)(20)(pembilang dan penyebutnya habis dibagi 3); fraksi yang dihasilkan dapat dikurangi lagi dengan membagi 5, yaitu. \frac(15)(20)=\frac 34.

pecahan tak tereduksi adalah pecahan dari bentuk \frac 34, dimana pembilang dan penyebutnya relatif bilangan prima. Tujuan utama dari pengurangan pecahan adalah untuk membuat pecahan tidak dapat direduksi.

Membawa pecahan ke penyebut yang sama

Mari kita ambil dua pecahan sebagai contoh: \frac(2)(3) dan \frac(5)(8) dengan penyebut yang berbeda 3 dan 8 . Untuk membawa pecahan ini ke penyebut yang sama dan pertama kalikan pembilang dan penyebut pecahan \frac(2)(3) oleh 8 . Kami mendapatkan hasil berikut: \frac(2 \cdot 8)(3 \cdot 8) = \frac(16)(24). Kemudian kalikan pembilang dan penyebut pecahan \frac(5)(8) oleh 3 . Kami mendapatkan sebagai hasilnya: \frac(5 \cdot 3)(8 \cdot 3) = \frac(15)(24). Jadi, pecahan asli direduksi menjadi penyebut yang sama 24.

Operasi aritmatika pada pecahan biasa

Penjumlahan pecahan biasa

a) Dengan penyebut yang sama, pembilang pecahan pertama ditambahkan ke pembilang pecahan kedua, sehingga penyebutnya tetap sama. Seperti yang terlihat pada contoh:

\frac(a)(b)+\frac(c)(b)=\frac(a+c)(b);

b) Dengan penyebut yang berbeda, pecahan disederhanakan terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama, dan kemudian pembilangnya ditambahkan sesuai dengan aturan a):

\frac(7)(3)+\frac(1)(4)=\frac(7 \cdot 4)(3)+\frac(1 \cdot 3)(4)=\frac(28)(12) +\frac(3)(12)=\frac(31)(12).

Pengurangan pecahan biasa

a) Dengan penyebut yang sama, kurangi pembilang pecahan kedua dari pembilang pecahan pertama, biarkan penyebutnya tetap sama:

\frac(a)(b)-\frac(c)(b)=\frac(a-c)(b);

b) Jika penyebut pecahan berbeda, maka pecahan tersebut disederhanakan terlebih dahulu menjadi penyebut yang sama, kemudian ulangi langkah seperti pada paragraf a).

Perkalian pecahan biasa

Perkalian pecahan mengikuti aturan berikut:

\frac(a)(b) \cdot \frac(c)(d)=\frac(a \cdot c)(b \cdot d),

yaitu, kalikan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Sebagai contoh:

\frac(3)(5) \cdot \frac(4)(8) = \frac(3 \cdot 4)(5 \cdot 8)=\frac(12)(40).

Pembagian pecahan biasa

Pecahan dibagi dengan cara berikut:

\frac(a)(b) : \frac(c)(d)= \frac(ad)(bc),

itu pecahan \frac(a)(b) dikalikan dengan pecahan \frac(d)(c).

Contoh: \frac(7)(2) : \frac(1)(8)=\frac(7)(2) \cdot \frac(8)(1)=\frac(7 \cdot 8)(2 \cdot 1 )=\frac(56)(2).

Bilangan timbal balik

Jika ab=1 , maka bilangan b adalah nomor terbalik untuk nomor a.

Contoh: untuk angka 9, kebalikannya adalah \frac(1)(9), sebagai 9 \cdot \frac(1)(9)=1, untuk nomor 5 - \frac(1)(5), sebagai 5 \cdot \frac(1)(5)=1.

desimal

Desimal adalah pecahan biasa yang penyebutnya 10, 1000, 10\,000, ..., 10^n .

Sebagai contoh: \frac(6)(10)=0.6;\enspace \frac(44)(1000)=0.044.

Dengan cara yang sama, angka yang salah dengan penyebut 10 ^ n atau angka campuran ditulis.

Sebagai contoh: 5\frac(1)(10)=5.1;\enspace \frac(763)(100)=7\frac(63)(100)=7.63.

Dalam bentuk pecahan desimal, setiap pecahan biasa dengan penyebut yang merupakan pembagi dari kekuatan tertentu dari angka 10 diwakili.

Contoh: 5 adalah pembagi dari 100 jadi pecahannya \frac(1)(5)=\frac(1 \cdot 20)(5 \cdot 20)=\frac(20)(100)=0.2.

Operasi aritmatika pada pecahan desimal

Menambahkan desimal

Untuk menambahkan dua pecahan desimal, Anda perlu mengaturnya sehingga angka yang sama dan koma di bawah koma muncul di bawah satu sama lain, dan kemudian menambahkan pecahan sebagai angka biasa.

Pengurangan desimal

Ini bekerja dengan cara yang sama seperti penambahan.

perkalian desimal

Saat mengalikan angka desimal, cukup dengan mengalikan angka yang diberikan, mengabaikan koma (sebagai bilangan asli), dan dalam jawaban yang diterima, koma di sebelah kanan memisahkan digit sebanyak yang ada setelah titik desimal di kedua faktor secara total .

Mari kita lakukan perkalian 2,7 dengan 1,3. Kami memiliki 27 \cdot 13=351 . Kami memisahkan dua digit dari kanan dengan koma (angka pertama dan kedua memiliki satu digit setelah titik desimal; 1+1=2). Hasilnya, kita mendapatkan 2.7 \cdot 1.3=3.51 .

Jika hasilnya lebih sedikit digit daripada yang diperlukan untuk dipisahkan dengan koma, maka nol yang hilang ditulis di depan, misalnya:

Untuk mengalikan dengan 10, 100, 1000, dalam pecahan desimal, pindahkan koma 1, 2, 3 digit ke kanan (jika perlu, sejumlah nol ditetapkan ke kanan).

Misalnya: 1,47 \cdot 10\,000 = 14,700 .

Pembagian desimal

Pembagian pecahan desimal dengan bilangan asli dilakukan dengan cara yang sama seperti membagi bilangan asli dengan bilangan asli. Sebuah koma di pribadi ditempatkan setelah pembagian bagian bilangan bulat selesai.

Jika bagian bilangan bulat dari dividen lebih kecil dari pembagi, maka jawabannya adalah bilangan bulat nol, misalnya:

Pertimbangkan untuk membagi desimal dengan desimal. Katakanlah kita perlu membagi 2.576 dengan 1.12. Pertama-tama, kami mengalikan dividen dan pembagi pecahan dengan 100, yaitu, kami memindahkan koma ke kanan dalam dividen dan pembagi dengan karakter sebanyak yang ada di pembagi setelah titik desimal (dalam contoh ini , dua). Maka Anda perlu membagi pecahan 257.6 dengan bilangan asli 112, yaitu, masalahnya direduksi menjadi kasus yang sudah dipertimbangkan:

Itu terjadi bahwa pecahan desimal akhir tidak selalu diperoleh saat membagi satu angka dengan angka lainnya. Hasilnya adalah desimal tak terbatas. Dalam kasus seperti itu, pergi ke pecahan biasa.

2.8: 0,09= \frac(28)(10) : \frac (9)(100)= \frac(28 \cdot 100)(10 \cdot 9)=\frac(280)(9)= 31 \frac( 1)(9).

Memiliki sifat dasar pecahan:

Catatan 1

Jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan atau dibagi dengan bilangan asli yang sama, maka sebagai hasilnya kita mendapatkan pecahan yang sama dengan pecahan semula:

$\frac(a\cdot n)(b\cdot n)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div n)(b\div n)=\frac(a)(b)$

Contoh 1

Biarkan persegi dibagi menjadi $ 4 bagian yang sama diberikan. Jika $2$ dari $4$ bagian diarsir, kita mendapatkan $\frac(2)(4)$ yang diarsir dari seluruh persegi. Jika Anda melihat persegi ini, jelas bahwa tepat setengahnya diarsir, yaitu. $(1)(2)$. Jadi, kita mendapatkan $\frac(2)(4)=\frac(1)(2)$. Mari faktorkan angka $2$ dan $4$:

Substitusikan ekspansi ini ke persamaan:

$\frac(1)(2)=\frac(2)(4)$,

$\frac(1)(2)=\frac(1\cdot 2)(2\cdot 2)$,

$\frac(1)(2)=\frac(2\div 2)(4\div 2)$.

Contoh 2

Apakah mungkin untuk mendapatkan pecahan yang sama jika pembilang dan penyebut dari pecahan tersebut dikalikan dengan $18$ dan kemudian dibagi dengan $3$?

Keputusan.

Biarkan beberapa pecahan biasa $\frac(a)(b)$ diberikan. Dengan syarat, pembilang dan penyebut pecahan ini dikalikan dengan $ 18 $, kita dapatkan:

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)$

$\frac(a\cdot 18)(b\cdot 18)=\frac(a)(b)$

$\frac(a\div 3)(b\div 3)$

Menurut sifat dasar pecahan:

$\frac(a\div 3)(b\div 3)=\frac(a)(b)$

Dengan demikian, pecahan yang dihasilkan sama dengan aslinya.

Menjawab: Anda bisa mendapatkan pecahan yang sama dengan aslinya.

Penerapan sifat dasar pecahan

Properti utama pecahan paling sering digunakan untuk:

• mengubah pecahan ke penyebut baru:
• singkatan pecahan.

Membawa pecahan ke penyebut baru- penggantian pecahan tertentu dengan pecahan yang akan sama dengannya, tetapi memiliki pembilang yang lebih besar dan penyebut yang lebih besar. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengan bilangan asli yang sama, sebagai akibatnya, menurut sifat utama pecahan, diperoleh pecahan yang sama dengan yang asli, tetapi dengan yang lebih besar pembilang dan penyebut.

Pengurangan pecahan- penggantian pecahan tertentu dengan pecahan yang akan sama dengannya, tetapi memiliki pembilang yang lebih kecil dan penyebut yang lebih kecil. Untuk melakukan ini, pembilang dan penyebut pecahan dibagi dengan pembagi umum positif dari pembilang dan penyebut, yang berbeda dari nol, sebagai akibatnya, menurut sifat utama pecahan, diperoleh pecahan yang sama dengan yang asli, tetapi dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil.

Jika kita membagi (mengurangi) pembilang dan penyebutnya dengan KPK-nya, maka hasilnya adalah bentuk pecahan asli yang tidak dapat direduksi.

Pengurangan pecahan

Seperti yang Anda ketahui, pecahan biasa habis dibagi oleh dapat dikontrakkan dan tidak dapat direduksi.

Untuk mengurangi pecahan, Anda perlu membagi pembilang dan penyebut pecahan dengan pembagi persekutuan positifnya, yang tidak sama dengan nol. Saat mengurangi pecahan, pecahan baru diperoleh dengan pembilang dan penyebut yang lebih kecil, yang, menurut sifat utama pecahan, sama dengan yang asli.

Contoh 3

Kurangi pecahan $\frac(15)(25)$.

Keputusan.

Kurangi pecahan dengan $5$ (bagi pembilang dan penyebutnya dengan $5$):

$\frac(15)(25)=\frac(15\div 5)(25\div 5)=\frac(3)(5)$

Menjawab: $\frac(15)(25)=\frac(3)(5)$.

Mendapatkan pecahan yang tidak dapat direduksi

Paling sering, suatu pecahan direduksi untuk mendapatkan pecahan tak tereduksi yang sama dengan pecahan semula. Hasil ini dapat diperoleh dengan membagi pembilang dan penyebut pecahan asli dengan FPB-nya.

$\frac(a\div gcd (a,b))(b\div gcd (a,b))$ adalah pecahan tak tereduksi, karena sesuai dengan sifat-sifat GCD, pembilang dan penyebut suatu pecahan adalah bilangan koprima.

KPK(a,b) adalah bilangan terbesar yang pembilang dan penyebut pecahan $\frac(a)(b)$ dapat dibagi. Jadi, untuk mereduksi pecahan menjadi bentuk tak tereduksi, pembilang dan penyebutnya harus dibagi dengan gcd-nya.

Catatan 2

Aturan pengurangan pecahan: 1. Tentukan KPK dari dua bilangan yang menjadi pembilang dan penyebut pecahan. 2. Lakukan pembagian pembilang dan penyebut pecahan dengan FPB yang ditemukan.

Contoh 4

Kurangi pecahan $6/36$ menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi.

Keputusan.

Mari kita kurangi pecahan ini dengan GCD$(6,36)=6$, karena $36\div 6=6$. Kita mendapatkan:

$\frac(6)(36)=\frac(6\div 6)(36\div 6)=\frac(1)(6)$

Menjawab: $\frac(6)(36)=\frac(1)(6)$.

Dalam praktiknya, frasa "kurangi pecahan" menyiratkan bahwa Anda perlu mengurangi pecahan menjadi bentuk yang tidak dapat direduksi.

Saat mempelajari pecahan biasa, kita menemukan konsep sifat dasar pecahan. Bentuk yang disederhanakan diperlukan untuk menyelesaikan contoh dengan pecahan biasa. Artikel ini membahas tentang pecahan aljabar dan penerapannya pada sifat utama, yang akan dirumuskan dengan contoh penerapannya.

Formulasi dan alasan

Properti utama pecahan memiliki formulasi bentuk:

Definisi 1

Saat mengalikan atau membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama secara bersamaan, nilai pecahan tetap tidak berubah.

Artinya, kita mendapatkan bahwa a · m b · m = a b dan a: m b: m = a b adalah ekivalen, di mana a b = a · m b · m dan a b = a: m b: m dianggap valid. Nilai a , b , m adalah beberapa bilangan asli.

Pembagian pembilang dan penyebut dengan suatu bilangan dapat dinyatakan sebagai a · m b · m = a b . Ini mirip dengan contoh penyelesaian 8 12 = 8: 4 12: 4 = 2 3 . Saat membagi, persamaan bentuk a digunakan: m b: m \u003d a b, lalu 8 12 \u003d 2 4 2 4 \u003d 2 3. Itu juga dapat direpresentasikan sebagai a m b m \u003d a b, yaitu, 8 12 \u003d 2 4 3 4 \u003d 2 3.

Artinya, sifat utama dari pecahan a · m b · m = a b dan a b = a · m b · m akan dipertimbangkan secara rinci berbeda dengan a: m b: m = a b dan a b = a: m b: m .

Jika pembilang dan penyebutnya mengandung bilangan real, maka sifat tersebut berlaku. Pertama-tama kita harus membuktikan validitas pertidaksamaan tertulis untuk semua bilangan. Artinya, buktikan adanya a · m b · m = a b untuk semua real a , b , m , di mana b dan m adalah nilai bukan nol untuk menghindari pembagian dengan nol.

Bukti 1

Misalkan pecahan berbentuk a b dianggap sebagai bagian dari catatan z, dengan kata lain, a b = z, maka perlu dibuktikan bahwa a · m b · m sesuai dengan z, yaitu untuk membuktikan a · m b · m = z. Maka ini akan memungkinkan kita untuk membuktikan adanya persamaan a · m b · m = a b .

Bilah pecahan berarti tanda pembagian. Menerapkan hubungan dengan perkalian dan pembagian, kita mendapatkan bahwa dari a b = z setelah transformasi kita mendapatkan a = b · z. Menurut sifat-sifat pertidaksamaan numerik, kedua bagian pertidaksamaan harus dikalikan dengan angka selain nol. Kemudian kita kalikan dengan bilangan m, diperoleh a · m = (b · z) · m . Berdasarkan properti, kami memiliki hak untuk menulis ekspresi dalam bentuk a · m = (b · m) · z . Oleh karena itu, berikut dari definisi bahwa a b = z . Itu semua bukti dari ekspresi a · m b · m = a b .

Persamaan bentuk a · m b · m = a b dan a b = a · m b · m masuk akal jika alih-alih a , b , m ada polinomial, dan bukannya b dan m bukan nol.

Properti utama dari pecahan aljabar: ketika kita secara bersamaan mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama, kita mendapatkan persamaan yang sama dengan ekspresi aslinya.

Properti dianggap adil, karena operasi dengan polinomial sesuai dengan operasi dengan angka.

Contoh 1

Perhatikan contoh pecahan 3 · x x 2 - x y + 4 · y 3 . Dimungkinkan untuk mengubah ke bentuk 3 x (x 2 + 2 x y) (x 2 - x y + 4 y 3) (x 2 + 2 x y).

Perkalian dengan polinomial x 2 + 2 · x · y dilakukan. Dengan cara yang sama, sifat utama membantu menghilangkan x 2, yang terdapat dalam pecahan bentuk 5 x 2 (x + 1) x 2 (x 3 + 3) yang diberikan oleh kondisi, ke bentuk 5 x + 5 x 3 + 3. Ini disebut penyederhanaan.

Properti utama dapat ditulis sebagai ekspresi a · m b · m = a b dan a b = a · m b · m , ketika a , b , m adalah polinomial atau variabel biasa, dan b dan m harus bukan nol.

Lingkup penerapan sifat utama pecahan aljabar

Penggunaan sifat utama relevan untuk pengurangan ke penyebut baru atau pengurangan pecahan.

Definisi 2

Pengurangan ke penyebut yang sama adalah perkalian pembilang dan penyebut dengan polinomial yang sama untuk mendapatkan yang baru. Pecahan yang dihasilkan sama dengan aslinya.

Artinya, pecahan berbentuk x + y x 2 + 1 (x + 1) x 2 + 1 jika dikalikan dengan x 2 + 1 dan direduksi menjadi penyebut yang sama (x + 1) (x 2 + 1) akan diperoleh bentuk x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1 .

Setelah melakukan operasi dengan polinomial, kita mendapatkan bahwa pecahan aljabar diubah menjadi x 3 + x + x 2 y + y x 3 + x + x 2 + 1.

Pengurangan ke penyebut yang sama juga dilakukan saat menjumlahkan atau mengurangkan pecahan. Jika koefisien pecahan diberikan, maka pertama-tama perlu dilakukan penyederhanaan, yang akan menyederhanakan bentuk dan penemuan penyebut yang sama. Misalnya, 2 5 x y - 2 x + 1 2 = 10 2 5 x y - 2 10 x + 1 2 = 4 x y - 20 10 x + 5.

Penerapan sifat saat mereduksi pecahan dilakukan dalam 2 tahap: menguraikan pembilang dan penyebut menjadi faktor-faktor untuk menemukan persekutuan m, kemudian melakukan transisi ke bentuk pecahan a b , berdasarkan persamaan bentuk a · m b · m = ab.

Jika suatu pecahan berbentuk 4 x 3 - x y 16 x 4 - y 2 setelah penguraian diubah menjadi x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y, jelaslah bahwa pengali umumnya adalah polinomial 4 · x 2 y . Maka akan dimungkinkan untuk mereduksi pecahan sesuai dengan sifat utamanya. Kami mengerti

x (4 x 2 - y) 4 x 2 - y 4 x 2 + y = x 4 x 2 + y. Pecahan disederhanakan, maka ketika mengganti nilainya, akan perlu untuk melakukan tindakan yang jauh lebih sedikit daripada saat mengganti ke yang asli.

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Dari kursus aljabar kurikulum sekolah, kita beralih ke spesifik. Dalam artikel ini, kita akan mempelajari secara rinci jenis khusus dari ekspresi rasional pecahan rasional, dan juga menganalisis karakteristik apa yang identik transformasi pecahan rasional terjadi.

Kami segera mencatat bahwa pecahan rasional dalam arti yang kami definisikan di bawah ini disebut pecahan aljabar di beberapa buku teks aljabar. Artinya, dalam artikel ini kita akan memahami hal yang sama di bawah pecahan rasional dan aljabar.

Seperti biasa, kita mulai dengan definisi dan contoh. Selanjutnya, mari kita bicara tentang membawa pecahan rasional ke penyebut baru dan tentang mengubah tanda-tanda anggota pecahan. Setelah itu, kami akan menganalisis bagaimana pengurangan pecahan dilakukan. Akhirnya, mari kita membahas representasi pecahan rasional sebagai jumlah dari beberapa pecahan. Semua informasi akan diberikan dengan contoh dengan deskripsi rinci dari solusi.

Navigasi halaman.

Pengertian dan contoh pecahan rasional

Pecahan rasional dipelajari dalam pelajaran aljabar di kelas 8. Kami akan menggunakan definisi pecahan rasional, yang diberikan dalam buku teks aljabar untuk kelas 8 oleh Yu. N. Makarychev dan lainnya.

Definisi ini tidak menentukan apakah polinomial dalam pembilang dan penyebut pecahan rasional harus polinomial bentuk standar atau tidak. Oleh karena itu, kita akan mengasumsikan bahwa pecahan rasional dapat berisi polinomial standar dan non-standar.

Berikut adalah beberapa contoh pecahan rasional. Jadi , x/8 dan - pecahan rasional. Dan pecahan dan tidak cocok dengan definisi pecahan rasional, karena yang pertama pembilangnya bukan polinomial, dan yang kedua pembilang dan penyebutnya mengandung ekspresi yang bukan polinomial.

Mengubah pembilang dan penyebut pecahan rasional

Pembilang dan penyebut pecahan apa pun adalah ekspresi matematika mandiri, dalam kasus pecahan rasional mereka polinomial, dalam kasus tertentu mereka adalah monomial dan angka. Oleh karena itu, dengan pembilang dan penyebut pecahan rasional, seperti halnya ekspresi apa pun, transformasi identik dapat dilakukan. Dengan kata lain, ekspresi pembilang pecahan rasional dapat diganti dengan ekspresi yang identik sama dengan itu, seperti penyebutnya.

Dalam pembilang dan penyebut pecahan rasional, transformasi identik dapat dilakukan. Misalnya, di pembilang, Anda dapat mengelompokkan dan mengurangi suku yang serupa, dan dalam penyebut, produk dari beberapa angka dapat diganti dengan nilainya. Dan karena pembilang dan penyebut pecahan rasional adalah polinomial, dimungkinkan untuk melakukan transformasi karakteristik polinomial dengan mereka, misalnya, pengurangan ke bentuk standar atau representasi sebagai produk.

Untuk kejelasan, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Konversi Pecahan Rasional sehingga pembilangnya adalah polinomial dari bentuk standar, dan penyebutnya adalah produk dari polinomial.

Keputusan.

Mengurangi pecahan rasional ke penyebut baru terutama digunakan saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan rasional.

Mengubah tanda di depan pecahan, serta pembilang dan penyebutnya

Sifat dasar pecahan dapat digunakan untuk mengubah tanda-tanda suku pecahan. Memang, mengalikan pembilang dan penyebut pecahan rasional dengan -1 sama saja dengan mengubah tanda-tandanya, dan hasilnya adalah pecahan yang identik sama dengan yang diberikan. Transformasi seperti itu harus sering digunakan ketika bekerja dengan pecahan rasional.

Jadi, jika Anda secara bersamaan mengubah tanda pembilang dan penyebut suatu pecahan, Anda akan mendapatkan pecahan yang sama dengan pecahan aslinya. Pernyataan ini sesuai dengan kesetaraan.

Mari kita ambil contoh. Pecahan rasional dapat diganti dengan pecahan yang identik sama dengan tanda pembilang dan penyebut bentuk yang dibalik.

Dengan pecahan, satu lagi transformasi identik dapat dilakukan, di mana tandanya diubah baik dalam pembilangnya maupun pada penyebutnya. Mari kita membahas aturan yang sesuai. Jika Anda mengganti tanda pecahan dengan tanda pembilang atau penyebut, Anda mendapatkan pecahan yang sama persis dengan aslinya. Pernyataan tertulis sesuai dengan persamaan dan .

Tidak sulit untuk membuktikan persamaan ini. Pembuktian didasarkan pada sifat-sifat perkalian bilangan. Mari kita buktikan yang pertama: . Dengan bantuan transformasi serupa, kesetaraan juga terbukti.

Misalnya, pecahan dapat diganti dengan ekspresi atau .

Untuk menyimpulkan subbagian ini, kami menyajikan dua persamaan yang lebih berguna dan . Artinya, jika Anda mengubah tanda pembilangnya saja atau penyebutnya saja, maka pecahan itu akan berubah tandanya. Sebagai contoh, dan .

Transformasi yang dipertimbangkan, yang memungkinkan perubahan tanda suku-suku pecahan, sering digunakan saat mentransformasikan ekspresi rasional pecahan.

Pengurangan pecahan rasional

Transformasi pecahan rasional berikut, yang disebut pengurangan pecahan rasional, didasarkan pada sifat dasar pecahan yang sama. Transformasi ini sesuai dengan persamaan , di mana a , b dan c adalah beberapa polinomial, dan b dan c bukan nol.

Dari persamaan di atas, menjadi jelas bahwa pengurangan pecahan rasional berarti menghilangkan faktor persekutuan dalam pembilang dan penyebutnya.

Contoh.

Kurangi pecahan rasional.

Keputusan.

Faktor umum 2 segera terlihat, mari kita kurangi (saat menulis, lebih mudah untuk mencoret faktor umum yang digunakan untuk membuat pengurangan). Kita punya . Karena x 2 \u003d x x dan y 7 \u003d y 3 y 4 (lihat jika perlu), jelaslah bahwa x adalah faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan, seperti y 3 . Mari kita kurangi dengan faktor-faktor ini: . Ini menyelesaikan pengurangan.

Di atas, kami melakukan pengurangan pecahan rasional secara berurutan. Dan dimungkinkan untuk melakukan pengurangan dalam satu langkah, dengan segera mengurangi pecahan sebesar 2·x·y 3 . Dalam hal ini, solusinya akan terlihat seperti ini: .

Menjawab:

.

Saat mengurangi pecahan rasional, masalah utama adalah bahwa faktor persekutuan dari pembilang dan penyebut tidak selalu terlihat. Apalagi itu tidak selalu ada. Untuk menemukan faktor persekutuan atau memastikan bahwa itu tidak ada, Anda perlu memfaktorkan pembilang dan penyebut dari pecahan rasional. Jika tidak ada faktor persekutuan, maka fraksi rasional asli tidak perlu direduksi, jika tidak, reduksi dilakukan.

Dalam proses pengurangan pecahan rasional, berbagai nuansa mungkin muncul. Seluk-beluk utama dengan contoh dan detail dibahas dalam artikel pengurangan pecahan aljabar.

Mengakhiri percakapan tentang pengurangan pecahan rasional, kami mencatat bahwa transformasi ini identik, dan kesulitan utama dalam implementasinya terletak pada faktorisasi polinomial dalam pembilang dan penyebut.

Representasi pecahan rasional sebagai jumlah pecahan

Cukup spesifik, tetapi dalam beberapa kasus sangat berguna, adalah transformasi pecahan rasional, yang terdiri dari representasi sebagai jumlah dari beberapa pecahan, atau jumlah dari ekspresi bilangan bulat dan pecahan.

Pecahan rasional, yang pembilangnya terdapat polinomial, yang merupakan jumlah dari beberapa monomial, selalu dapat ditulis sebagai jumlah pecahan dengan penyebut yang sama, yang pembilangnya adalah monomial yang bersesuaian. Sebagai contoh, . Representasi ini dijelaskan oleh aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan aljabar dengan penyebut yang sama.

Secara umum, setiap pecahan rasional dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan dalam berbagai cara. Misalnya, pecahan a/b dapat dinyatakan sebagai jumlah dari dua pecahan - pecahan sembarang c/d dan pecahan yang sama dengan selisih antara pecahan a/b dan c/d. Pernyataan ini benar, karena persamaan . Misalnya, pecahan rasional dapat direpresentasikan sebagai jumlah pecahan dengan berbagai cara: Kami mewakili pecahan asli sebagai jumlah dari ekspresi bilangan bulat dan pecahan. Setelah membagi pembilang dengan penyebut dengan kolom, kita mendapatkan persamaan . Nilai ekspresi n 3 +4 untuk sembarang bilangan bulat n adalah bilangan bulat. Dan nilai suatu pecahan adalah bilangan bulat jika dan hanya jika penyebutnya adalah 1, 1, 3, atau 3. Nilai-nilai ini sesuai dengan nilai masing-masing n=3 , n=1 , n=5 dan n=−1.

Menjawab:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Bibliografi.

• Aljabar: buku pelajaran untuk 8 sel. pendidikan umum institusi / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S.A. Telyakovsky. - edisi ke-16. - M. : Pendidikan, 2008. - 271 hal. : Saya akan. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 7. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-13, Pdt. - M.: Mnemosyne, 2009. - 160 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Mordkovich A.G. Aljabar. kelas 8. Pukul 2 siang Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich. - Edisi ke-11, terhapus. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Berbicara tentang matematika, seseorang tidak bisa tidak mengingat pecahan. Studi mereka diberikan banyak perhatian dan waktu. Ingat berapa banyak contoh yang harus Anda pecahkan untuk mempelajari aturan tertentu untuk bekerja dengan pecahan, bagaimana Anda menghafal dan menerapkan sifat utama pecahan. Berapa banyak saraf yang dihabiskan untuk menemukan penyebut yang sama, terutama jika ada lebih dari dua istilah dalam contoh!

Mari kita mengingat apa itu, dan menyegarkan ingatan kita sedikit tentang informasi dasar dan aturan untuk bekerja dengan pecahan.

Pengertian pecahan

Mari kita mulai dengan hal yang paling penting - definisi. Pecahan adalah bilangan yang terdiri dari satu atau lebih bagian satuan. Bilangan pecahan ditulis sebagai dua bilangan yang dipisahkan oleh garis horizontal atau garis miring. Dalam hal ini, yang atas (atau pertama) disebut pembilang, dan yang lebih rendah (kedua) disebut penyebut.

Perlu dicatat bahwa penyebut menunjukkan berapa banyak bagian yang dibagi, dan pembilang menunjukkan jumlah bagian atau bagian yang diambil. Seringkali pecahan, jika benar, kurang dari satu.

Sekarang mari kita lihat properti dari angka-angka ini dan aturan dasar yang digunakan saat bekerja dengannya. Tetapi sebelum kita menganalisis konsep seperti "sifat utama pecahan rasional", mari kita bicara tentang jenis pecahan dan fitur-fiturnya.

Apa itu pecahan?

Ada beberapa jenis angka seperti itu. Pertama-tama, ini biasa dan desimal. Yang pertama adalah jenis record yang sudah kami tunjukkan menggunakan horizontal atau slash. Jenis pecahan kedua ditunjukkan menggunakan apa yang disebut notasi posisi, ketika bagian bilangan bulat dari angka ditunjukkan terlebih dahulu, dan kemudian, setelah titik desimal, bagian pecahan ditunjukkan.

Perlu dicatat di sini bahwa dalam matematika pecahan desimal dan biasa digunakan sama. Properti utama pecahan hanya berlaku untuk opsi kedua. Selain itu, dalam pecahan biasa, angka benar dan salah dibedakan. Untuk yang pertama, pembilangnya selalu lebih kecil dari penyebutnya. Perhatikan juga bahwa pecahan seperti itu kurang dari satu. Dalam pecahan biasa, sebaliknya, pembilangnya lebih besar dari penyebutnya, dan itu sendiri lebih besar dari satu. Dalam hal ini, bilangan bulat dapat diekstraksi darinya. Pada artikel ini, kita hanya akan membahas pecahan biasa.

Sifat pecahan

Setiap fenomena, kimia, fisik atau matematika, memiliki karakteristik dan sifat tersendiri. Tidak terkecuali bilangan pecahan. Mereka memiliki satu fitur penting, yang dengannya dimungkinkan untuk melakukan operasi tertentu pada mereka. Apa sifat utama pecahan? Aturan mengatakan bahwa jika pembilang dan penyebutnya dikalikan atau dibagi dengan bilangan rasional yang sama, kita akan mendapatkan pecahan baru, yang nilainya akan sama dengan nilai aslinya. Artinya, mengalikan dua bagian dari bilangan pecahan 3/6 dengan 2, kita mendapatkan pecahan baru 6/12, sementara mereka akan sama.

Berdasarkan sifat ini, Anda dapat mengurangi pecahan, serta memilih penyebut yang sama untuk pasangan angka tertentu.

Operasi

Meskipun pecahan tampak lebih kompleks bagi kita, pecahan juga dapat melakukan operasi matematika dasar, seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian. Selain itu, ada tindakan khusus seperti pengurangan pecahan. Secara alami, setiap tindakan ini dilakukan sesuai dengan aturan tertentu. Mengetahui hukum-hukum ini memudahkan untuk bekerja dengan pecahan, membuatnya lebih mudah dan lebih menarik. Itulah sebabnya lebih lanjut kami akan mempertimbangkan aturan dasar dan algoritme tindakan saat bekerja dengan angka-angka tersebut.

Tetapi sebelum kita berbicara tentang operasi matematika seperti penambahan dan pengurangan, kita akan menganalisis operasi seperti pengurangan ke penyebut yang sama. Di sinilah pengetahuan tentang sifat dasar pecahan akan berguna.

Faktor persekutuan

Untuk mengurangi suatu bilangan menjadi penyebut yang sama, Anda harus mencari kelipatan persekutuan terkecil dari kedua penyebutnya terlebih dahulu. Yaitu bilangan terkecil yang habis dibagi kedua penyebutnya secara bersamaan tanpa sisa. Cara termudah untuk menemukan KPK (kelipatan persekutuan terkecil) adalah dengan menulis satu baris untuk satu penyebut, kemudian untuk yang kedua dan menemukan nomor yang cocok di antara mereka. Dalam hal KPK tidak ditemukan, yaitu angka-angka ini tidak memiliki kelipatan persekutuan, mereka harus dikalikan, dan nilai yang dihasilkan harus dianggap sebagai KPK.

Jadi, kita telah menemukan KPK, sekarang kita perlu mencari pengali tambahan. Untuk melakukan ini, Anda perlu membagi KPK secara bergantian menjadi penyebut pecahan dan menuliskan angka yang dihasilkan di atas masing-masingnya. Selanjutnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan faktor tambahan yang dihasilkan dan tulis hasilnya sebagai pecahan baru. Jika Anda ragu bahwa nomor yang Anda terima sama dengan yang sebelumnya, ingatlah sifat utama pecahan.

Tambahan

Sekarang mari kita langsung ke operasi matematika pada bilangan pecahan. Mari kita mulai dengan yang paling sederhana. Ada beberapa opsi untuk menjumlahkan pecahan. Dalam kasus pertama, kedua angka memiliki penyebut yang sama. Dalam hal ini, tinggal menjumlahkan pembilangnya saja. Tapi penyebutnya tidak berubah. Misalnya, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Jika pecahan memiliki penyebut yang berbeda, mereka harus direduksi menjadi pecahan biasa dan baru kemudian dilakukan penjumlahan. Bagaimana melakukan ini, kami telah berdiskusi dengan Anda sedikit lebih tinggi. Dalam situasi ini, properti utama pecahan akan berguna. Aturan akan memungkinkan Anda untuk membawa nomor ke penyebut yang sama. Nilai tidak akan berubah dengan cara apa pun.

Atau, mungkin terjadi bahwa fraksi dicampur. Maka pertama-tama Anda harus menjumlahkan seluruh bagian, dan kemudian yang pecahan.

Perkalian

Itu tidak memerlukan trik apa pun, dan untuk melakukan tindakan ini, tidak perlu mengetahui sifat dasar pecahan. Cukup dengan mengalikan dulu pembilang dan penyebutnya. Dalam hal ini, hasil kali pembilangnya akan menjadi pembilang baru, dan hasil kali penyebutnya akan menjadi penyebut baru. Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit.

Satu-satunya hal yang diperlukan dari Anda adalah pengetahuan tentang tabel perkalian, serta perhatian. Selain itu, setelah menerima hasilnya, Anda harus memeriksa apakah jumlah ini dapat dikurangi atau tidak. Kami akan berbicara tentang cara mengurangi pecahan nanti.

Pengurangan

Melakukan harus dipandu oleh aturan yang sama seperti saat menambahkan. Jadi, pada bilangan-bilangan dengan penyebut yang sama, cukup dengan mengurangkan pembilang dari pengurangan dari pembilangnya. Jika pecahan memiliki penyebut yang berbeda, Anda harus membawanya ke penyebut yang sama dan kemudian melakukan operasi ini. Seperti halnya kasus penjumlahan analog, Anda perlu menggunakan sifat dasar pecahan aljabar, serta keterampilan dalam menemukan KPK dan faktor persekutuan untuk pecahan.

Divisi

Dan operasi terakhir yang paling menarik ketika bekerja dengan angka-angka seperti itu adalah pembagian. Ini cukup sederhana dan tidak menimbulkan kesulitan khusus bahkan bagi mereka yang tidak mengerti cara bekerja dengan pecahan, terutama untuk melakukan operasi penjumlahan dan pengurangan. Saat membagi, aturan seperti itu berlaku sebagai perkalian dengan pecahan timbal balik. Properti utama pecahan, seperti dalam kasus perkalian, tidak akan digunakan untuk operasi ini. Mari kita lihat lebih dekat.

Saat membagi angka, dividen tetap tidak berubah. Pembagi dibalik, yaitu pembilang dan penyebut dibalik. Setelah itu, angka-angka tersebut dikalikan satu sama lain.

Pengurangan

Jadi, kami telah memeriksa definisi dan struktur pecahan, jenisnya, aturan operasi pada bilangan yang diberikan, dan menemukan sifat utama pecahan aljabar. Sekarang mari kita bicara tentang operasi seperti pengurangan. Mengurangi pecahan adalah proses mengubahnya - membagi pembilang dan penyebut dengan angka yang sama. Jadi, pecahan direduksi tanpa mengubah sifat-sifatnya.

Biasanya, saat melakukan operasi matematika, Anda harus hati-hati melihat hasil yang diperoleh pada akhirnya dan mencari tahu apakah mungkin untuk mengurangi pecahan yang dihasilkan atau tidak. Ingatlah bahwa hasil akhir selalu ditulis sebagai bilangan pecahan yang tidak memerlukan pengurangan.

Operasi lainnya

Akhirnya, kami mencatat bahwa kami telah mendaftar jauh dari semua operasi pada bilangan pecahan, hanya menyebutkan yang paling terkenal dan perlu. Pecahan juga dapat dibandingkan, dikonversi ke desimal, dan sebaliknya. Tetapi dalam artikel ini kami tidak mempertimbangkan operasi ini, karena dalam matematika mereka dilakukan jauh lebih jarang daripada yang telah kami berikan di atas.

temuan

Kami berbicara tentang bilangan pecahan dan operasi dengan mereka. Kami juga menganalisis properti utama, tetapi kami mencatat bahwa semua masalah ini dipertimbangkan oleh kami secara sepintas. Kami hanya memberikan aturan yang paling terkenal dan digunakan, kami telah memberikan saran yang paling penting, menurut pendapat kami.

Artikel ini dimaksudkan untuk menyegarkan kembali informasi yang Anda lupakan tentang pecahan, daripada memberikan informasi baru dan "mengisi" kepala Anda dengan aturan dan rumus tanpa akhir, yang kemungkinan besar tidak akan berguna bagi Anda.

Kami berharap materi yang disajikan dalam artikel secara sederhana dan ringkas dapat bermanfaat bagi Anda.