Contoh pemecahan masalah pada topik "Variabel acak".

Tugas 1 . Ada 100 tiket yang dikeluarkan dalam lotere. Satu kemenangan sebesar 50 USD dimainkan. dan sepuluh kemenangan masing-masing $10. Temukan hukum distribusi nilai X - biaya perolehan yang mungkin.

Keputusan. Kemungkinan nilai X: x 1 = 0; x 2 = 10 dan x 3 = 50. Karena ada 89 tiket “kosong”, maka p 1 = 0,89, peluang menang adalah 10 c.u. (10 tiket) – p 2 = 0,10 dan untuk kemenangan 50 c.u. -p 3 = 0,01. Dengan demikian:

	0,89	0,10	0,01

Mudah dikendalikan: .

Tugas 2. Probabilitas bahwa pembeli telah membiasakan diri dengan iklan produk sebelumnya adalah 0,6 (p = 0,6). Pengendalian kualitas iklan secara selektif dilakukan dengan polling kepada pembeli sebelum pembeli pertama yang mempelajari iklan tersebut terlebih dahulu. Buatlah rangkaian distribusi jumlah pembeli yang diwawancarai.

Keputusan. Menurut kondisi masalah p = 0,6. Dari: q=1 -p = 0,4. Mengganti nilai-nilai ini, kita mendapatkan: dan buat deret distribusi:

pi		0,24

Tugas 3. Komputer terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen: unit sistem, monitor, dan keyboard. Dengan peningkatan tegangan tunggal yang tajam, kemungkinan kegagalan setiap elemen adalah 0,1. Berdasarkan distribusi Bernoulli, buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal selama lonjakan daya dalam jaringan.

Keputusan. Mempertimbangkan Distribusi Bernoulli(atau binomial): probabilitas bahwa dalam n tes, acara A akan muncul dengan tepat k sekali: , atau:

	q n					p n

PADA mari kembali ke tugas.

Kemungkinan nilai X (jumlah kegagalan):

x 0 =0 - tidak ada elemen yang gagal;

x 1 =1 - kegagalan satu elemen;

x 2 =2 - kegagalan dua elemen;

x 3 =3 - kegagalan semua elemen.

Karena, dengan syarat, p = 0,1, maka q = 1 – p = 0,9. Dengan menggunakan rumus Bernoulli, diperoleh

, ,

, .

Kontrol: .

Oleh karena itu, hukum distribusi yang diinginkan:

	0,729	0,243	0,027	0,001

Tugas 4. Diproduksi 5000 putaran. Probabilitas bahwa satu kartrid rusak . Berapa probabilitas bahwa akan ada tepat 3 kartrid yang rusak di seluruh batch?

Keputusan. Berlaku distribusi racun: distribusi ini digunakan untuk menentukan probabilitas bahwa, diberikan sangat besar

banyaknya percobaan (percobaan masal), dimana peluang kejadian A sangat kecil, kejadian A akan terjadi k kali : , di mana .

Di sini n \u003d 5000, p \u003d 0,0002, k \u003d 3. Kami menemukan , maka probabilitas yang diinginkan: .

Tugas 5. Saat menembak sebelum pukulan pertama dengan kemungkinan mengenai p = 0,6 untuk satu tembakan, Anda perlu mencari probabilitas bahwa pukulan akan terjadi pada tembakan ketiga.

Keputusan. Mari kita terapkan distribusi geometrik: biarkan percobaan independen dibuat, di mana setiap kejadian A memiliki probabilitas kemunculan p (dan non-kejadian q = 1 - p). Percobaan berakhir segera setelah peristiwa A terjadi.

Dalam kondisi seperti itu, peluang kejadian A akan terjadi pada uji ke-k ditentukan oleh rumus: . Di sini p = 0,6; q \u003d 1 - 0,6 \u003d 0,4; k \u003d 3. Oleh karena itu, .

Tugas 6. Biarkan hukum distribusi variabel acak X diberikan:

Temukan harapan matematisnya.

Keputusan. .

Perhatikan bahwa makna probabilistik dari ekspektasi matematis adalah nilai rata-rata dari variabel acak.

Tugas 7. Temukan varians dari variabel acak X dengan hukum distribusi berikut:

Keputusan. Di Sini .

Hukum distribusi kuadrat X 2 :

X 2

Varians yang diperlukan: .

Dispersi mencirikan derajat deviasi (hamburan) variabel acak dari ekspektasi matematisnya.

Tugas 8. Biarkan variabel acak diberikan oleh distribusi:

			10m

Temukan karakteristik numeriknya.

Solusi: m, m 2 ,

M 2 , m.

Tentang variabel acak X, dapat dikatakan salah satu - harapan matematisnya adalah 6,4 m dengan varians 13,04 m 2 , atau - ekspektasi matematisnya adalah 6,4 m dengan deviasi m Formulasi kedua jelas lebih jelas.

Tugas 9. Nilai acak X diberikan oleh fungsi distribusi:
.

Temukan probabilitas bahwa, sebagai hasil dari pengujian, nilai X akan mengambil nilai yang terkandung dalam interval .

Keputusan. Probabilitas bahwa X akan mengambil nilai dari interval yang diberikan sama dengan kenaikan fungsi integral dalam interval ini, yaitu . Dalam kasus kami dan , oleh karena itu

.

Tugas 10. Variabel acak diskrit X diberikan oleh hukum distribusi:

Temukan fungsi distribusi F(x ) dan buat grafiknya.

Keputusan. Karena fungsi distribusi

untuk , kemudian

pada ;

pada ;

pada ;

pada ;

Bagan yang relevan:

Tugas 11. Variabel acak kontinu X diberikan oleh fungsi distribusi diferensial: .

Cari peluang memukul X ke interval

Keputusan. Perhatikan bahwa ini adalah kasus khusus dari hukum distribusi eksponensial.

Mari kita gunakan rumus: .

Tugas 12. Temukan karakteristik numerik dari variabel acak diskrit X yang diberikan oleh hukum distribusi:

	–5
	X2 : x2 . , di mana adalah fungsi Laplace. Nilai fungsi ini ditemukan menggunakan tabel. Dalam kasus kami: . Menurut tabel kami menemukan:, oleh karena itu:

Definisi.Dispersi (hamburan) Variabel acak diskrit disebut ekspektasi matematis dari deviasi kuadrat variabel acak dari ekspektasi matematisnya:

Contoh. Untuk contoh di atas, kami menemukan

Harapan matematis dari variabel acak adalah:

Nilai yang mungkin dari deviasi kuadrat:

; ;

dispersinya adalah:

Namun, dalam praktiknya, metode menghitung varians ini tidak nyaman, karena mengarah ke perhitungan rumit untuk sejumlah besar nilai variabel acak. Oleh karena itu, metode lain digunakan.

Perhitungan Varians

Dalil. Varians sama dengan selisih antara ekspektasi matematis kuadrat variabel acak X dan kuadrat ekspektasi matematisnya:

Bukti. Dengan mempertimbangkan fakta bahwa ekspektasi matematis dan kuadrat dari ekspektasi matematis adalah nilai konstan, kita dapat menulis:

Mari kita terapkan rumus ini pada contoh di atas:

X
x2
p	0,0778	0,2592	0,3456	0,2304	0,0768	0,0102

Sifat Dispersi

1) Dispersi nilai konstanta adalah nol:

2) Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi dengan mengkuadratkannya:

.

3) Varians jumlah dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel berikut:

4) Varians selisih dua variabel acak independen sama dengan jumlah varians dari variabel-variabel berikut:

Validitas persamaan ini mengikuti dari properti 2.

Dalil. Varians banyaknya kemunculan kejadian A dalam n percobaan bebas, yang masing-masing peluang kejadiannya konstan, sama dengan perkalian banyaknya percobaan dengan peluang kejadian dan peluang kejadian tidak terjadi pada setiap percobaan:

Contoh. Pabrik menghasilkan 96% produk kelas satu dan 4% produk kelas dua. 1000 item dipilih secara acak. Biarlah X- jumlah produk kelas satu dalam sampel ini. Temukan hukum distribusi, ekspektasi matematis, dan varians dari variabel acak.

Dengan demikian, hukum distribusi dapat dianggap binomial.

Contoh. Temukan varians dari variabel acak diskrit X– jumlah kemunculan acara TETAPI dalam dua percobaan bebas, jika peluang terjadinya kejadian ini pada setiap percobaan adalah sama dan diketahui bahwa

Karena nilai acak X didistribusikan menurut hukum binomial, maka

Contoh. Tes independen dilakukan dengan probabilitas kejadian yang sama TETAPI dalam setiap ujian. Tentukan peluang terjadinya suatu kejadian TETAPI jika varians banyaknya kejadian dalam tiga percobaan bebas adalah 0,63.

Menurut rumus dispersi dari hukum binomial, kita memperoleh:

;

Contoh. Perangkat yang terdiri dari empat perangkat yang beroperasi secara independen sedang diuji. Probabilitas kegagalan masing-masing perangkat sama, masing-masing ; ; . Temukan ekspektasi matematis dan varians dari jumlah perangkat yang gagal.

Mengambil jumlah perangkat yang gagal sebagai variabel acak, kita melihat bahwa variabel acak ini dapat mengambil nilai 0, 1, 2, 3, atau 4.

Untuk menyusun hukum distribusi untuk variabel acak ini, perlu untuk menentukan probabilitas yang sesuai. Mari kita terima.

1) Tidak ada satu perangkat pun yang gagal:

2) Salah satu perangkat gagal.

Variabel acak Besaran disebut bahwa, sebagai hasil pengujian yang dilakukan dalam kondisi yang sama, mengambil nilai yang berbeda, secara umum, tergantung pada faktor acak yang tidak diperhitungkan. Contoh variabel acak: jumlah poin yang dijatuhkan pada dadu, jumlah produk cacat dalam satu batch, penyimpangan titik tumbukan proyektil dari target, waktu pengoperasian perangkat, dll. Bedakan antara variabel acak diskrit dan kontinu . Diskrit Sebuah variabel acak disebut, nilai-nilai yang mungkin membentuk himpunan yang dapat dihitung, terbatas atau tak terbatas (yaitu, himpunan yang elemen-elemennya dapat diberi nomor).

Kontinu Sebuah variabel acak disebut, nilai-nilai yang mungkin yang terus menerus mengisi beberapa interval terbatas atau tak terbatas dari sumbu numerik. Jumlah nilai variabel acak kontinu selalu tak terbatas.

Variabel acak akan dilambangkan dengan huruf kapital dari akhir alfabet Latin: X, kamu, . ; nilai variabel acak - dalam huruf kecil: X, kamu. . Dengan demikian, X Menunjukkan seluruh rangkaian nilai yang mungkin dari variabel acak, dan X - Beberapa makna tertentu.

hukum distribusi Variabel acak diskrit adalah korespondensi yang diberikan dalam bentuk apa pun antara nilai yang mungkin dari variabel acak dan probabilitasnya.

Biarkan nilai yang mungkin dari variabel acak X Adalah . Sebagai hasil dari pengujian, variabel acak akan mengambil salah satu dari nilai-nilai ini, yaitu. Satu peristiwa dari grup lengkap peristiwa yang tidak kompatibel berpasangan akan terjadi.

Biarkan juga peluang kejadian-kejadian ini diketahui:

Hukum distribusi variabel acak X Itu dapat ditulis dalam bentuk tabel yang disebut Dekat distribusi Variabel acak diskrit:

variabel acak. Variabel acak diskrit.
Nilai yang diharapkan

Bagian kedua tentang teori probabilitas berdedikasi variabel acak , yang tanpa terlihat menemani kami secara harfiah di setiap artikel tentang topik tersebut. Dan waktunya telah tiba untuk mengartikulasikan dengan jelas apa itu:

Acak ditelepon nilai, yang sebagai hasil dari tes akan mengambil satu dan hanya satu nilai numerik yang bergantung pada faktor acak dan tidak dapat diprediksi sebelumnya.

Variabel acak biasanya menunjuk melalui * , dan nilainya dalam huruf kecil yang sesuai dengan subskrip, misalnya, .

* Kadang-kadang digunakan serta huruf Yunani

Kami menemukan contoh di pelajaran pertama dalam teori probabilitas, di mana kami benar-benar mempertimbangkan variabel acak berikut:

- jumlah poin yang akan jatuh setelah melempar dadu.

Tes ini akan menghasilkan satu satunya garis, mana yang tidak dapat diprediksi (trik tidak dianggap); dalam hal ini, variabel acak dapat mengambil salah satu dari nilai berikut:

- jumlah anak laki-laki di antara 10 bayi yang baru lahir.

Cukup jelas bahwa jumlah ini tidak diketahui sebelumnya, dan pada sepuluh anak berikutnya yang lahir mungkin ada:

Atau anak laki-laki - satu dan hanya satu dari opsi yang terdaftar.

Dan, agar tetap bugar, sedikit pendidikan jasmani:

- jarak lompat jauh (di beberapa unit).

Bahkan ahli olahraga tidak dapat memprediksinya

Namun, apa hipotesis Anda?

Sesegera himpunan bilangan real tak hingga, maka variabel acak dapat mengambil banyak tak terhingga nilai dari beberapa interval. Dan inilah perbedaan mendasar dari contoh-contoh sebelumnya.

Dengan demikian, disarankan untuk membagi variabel acak menjadi 2 kelompok besar:

1) Diskrit (berselang) variabel acak - mengambil nilai yang diambil secara terpisah dan terisolasi. Banyaknya nilai ini tentu atau tak terbatas tapi bisa dihitung.

... istilah dimengerti ditarik? Segera ulangi dasar aljabar!

2) Variabel acak kontinu - mengambil semua nilai numerik dari beberapa rentang terbatas atau tak terbatas.

Catatan : singkatan DSV dan NSV populer dalam literatur pendidikan

Pertama, mari kita menganalisis variabel acak diskrit, lalu - kontinu.

Hukum distribusi variabel acak diskrit

- Ini kesesuaian antara nilai yang mungkin dari kuantitas ini dan probabilitasnya. Paling sering, hukum ditulis dalam tabel:

Istilahnya cukup umum baris distribusi, tetapi dalam beberapa situasi kedengarannya ambigu, dan karena itu saya akan mematuhi "hukum".

Dan sekarang poin yang sangat penting: karena variabel acak perlu akan menerima salah satu nilai, maka bentuk kejadian yang sesuai grup penuh dan jumlah probabilitas kemunculannya sama dengan satu:

atau, jika ditulis terlipat:

Jadi, misalnya, hukum distribusi peluang poin pada dadu memiliki bentuk sebagai berikut:

Anda mungkin mendapat kesan bahwa variabel acak diskrit hanya dapat mengambil nilai integer "baik". Mari kita hilangkan ilusi - mereka bisa apa saja:

Beberapa permainan memiliki hukum distribusi hasil sebagai berikut:

…mungkin Anda telah memimpikan tugas-tugas seperti itu sejak lama Saya akan memberi tahu Anda sebuah rahasia - saya juga. Apalagi setelah selesai mengerjakan teori medan.

Keputusan: karena variabel acak hanya dapat mengambil satu dari tiga nilai, kejadian yang sesuai terbentuk grup penuh, yang berarti jumlah peluangnya sama dengan satu:

Kami mengekspos "partisan":

– dengan demikian, probabilitas memenangkan unit konvensional adalah 0,4.

Kontrol: apa yang perlu Anda pastikan.

Menjawab:

Tidak jarang hukum distribusi perlu disusun secara mandiri. Untuk penggunaan ini definisi klasik dari probabilitas, teorema perkalian / penjumlahan untuk peluang kejadian dan chip lainnya tervera:

Ada 50 tiket lotere di dalam kotak, 12 di antaranya menang, dan 2 di antaranya masing-masing memenangkan 1000 rubel, dan sisanya - masing-masing 100 rubel. Buatlah hukum distribusi variabel acak - ukuran kemenangan, jika satu tiket diambil secara acak dari kotak.

Keputusan: seperti yang Anda perhatikan, adalah kebiasaan untuk menempatkan nilai-nilai variabel acak di urutan naik. Karena itu, kita mulai dengan kemenangan terkecil, yaitu rubel.

Secara total, ada 50 - 12 = 38 tiket seperti itu, dan menurut definisi klasik:
adalah peluang bahwa tiket yang diambil secara acak tidak akan menang.

Sisa kasus sederhana. Probabilitas memenangkan rubel adalah:

Dan untuk :

Memeriksa: - dan ini adalah momen yang sangat menyenangkan dari tugas-tugas seperti itu!

Menjawab: hukum distribusi hasil yang disyaratkan:

Tugas berikut untuk keputusan independen:

Peluang tertembaknya tepat mengenai sasaran adalah . Buat hukum distribusi untuk variabel acak - jumlah pukulan setelah 2 tembakan.

... Saya tahu bahwa Anda merindukannya Kami ingat teorema perkalian dan penjumlahan. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Hukum distribusi sepenuhnya menggambarkan variabel acak, tetapi dalam praktiknya berguna (dan kadang-kadang lebih berguna) untuk mengetahui hanya sebagian saja. karakteristik numerik .

Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit

Secara sederhana, ini nilai rata-rata yang diharapkan dengan pengujian berulang. Biarkan variabel acak mengambil nilai dengan probabilitas, masing-masing. Maka ekspektasi matematis dari variabel acak ini sama dengan jumlah karya semua nilainya dengan probabilitas yang sesuai:

atau dalam bentuk terlipat:

Mari kita hitung, misalnya, ekspektasi matematis dari variabel acak - jumlah poin yang dijatuhkan pada dadu:

Apa arti probabilistik dari hasil yang diperoleh? Jika Anda melempar dadu cukup banyak, maka berarti poin yang dijatuhkan akan mendekati 3,5 - dan semakin banyak tes yang Anda lakukan, semakin dekat. Sebenarnya, saya sudah membicarakan efek ini secara rinci dalam pelajaran tentang probabilitas statistik.

Sekarang mari kita ingat permainan hipotetis kita:

Timbul pertanyaan: apakah bermain game ini malah menguntungkan? ... siapa yang punya kesan? Jadi Anda tidak bisa mengatakan "begitu saja"! Tetapi pertanyaan ini dapat dengan mudah dijawab dengan menghitung ekspektasi matematis, pada kenyataannya - rata-rata tertimbang kemungkinan menang:

Jadi, ekspektasi matematis dari game ini kekalahan.

Jangan percaya tayangan - percaya angka!

Ya, di sini Anda bisa menang 10 atau bahkan 20-30 kali berturut-turut, tetapi dalam jangka panjang kita pasti akan hancur. Dan saya tidak akan menyarankan Anda untuk memainkan game seperti itu Yah, mungkin saja untuk kesenangan.

Dari semua hal di atas, dapat disimpulkan bahwa ekspektasi matematis BUKAN nilai RANDOM.

Tugas kreatif untuk penelitian independen:

Tuan X memainkan rolet Eropa menurut sistem berikut: dia terus-menerus bertaruh 100 rubel dengan warna merah. Tulis hukum distribusi variabel acak - hasilnya. Hitung ekspektasi matematis dari kemenangan dan bulatkan menjadi kopek. Berapa banyak rata-rata apakah pemain kalah untuk setiap seratus taruhan?

Referensi : Roulette Eropa berisi 18 sektor merah, 18 hitam dan 1 hijau ("nol"). Jika terjadi "merah", pemain dibayar taruhan ganda, jika tidak maka akan masuk ke pendapatan kasino

Ada banyak sistem roulette lain di mana Anda dapat membuat tabel probabilitas Anda sendiri. Tetapi ini adalah kasus ketika kita tidak memerlukan hukum dan tabel distribusi, karena ditentukan dengan pasti bahwa ekspektasi matematis pemain akan persis sama. Hanya perubahan dari sistem ke sistem penyebaran, yang akan kita pelajari di bagian 2 pelajaran.

Tetapi sebelum itu, akan berguna untuk meregangkan jari-jari Anda pada tombol kalkulator:

Variabel acak diberikan oleh hukum distribusi probabilitasnya sendiri:

Cari jika diketahui bahwa . Jalankan cek.

Lalu kita beralih ke ruang belajar dispersi variabel acak diskrit, dan jika memungkinkan, SEKARANG!!- agar tidak kehilangan utas topik.

Solusi dan jawaban:

Contoh 3 Keputusan: berdasarkan kondisi - kemungkinan mengenai target. Kemudian:
adalah kemungkinan meleset.

Mari kita buat - hukum distribusi pukulan pada dua tembakan:

- tidak ada satu pukulan pun. Oleh teorema perkalian peluang kejadian bebas:

- satu pukulan. Oleh teorema penjumlahan peluang ketidaksesuaian dan perkalian kejadian bebas:

- dua pukulan. Menurut teorema perkalian peluang kejadian bebas:

Periksa: 0,09 + 0,42 + 0,49 = 1

Menjawab :

Catatan : itu mungkin untuk menggunakan sebutan - ini tidak penting.

Contoh 4 Keputusan: pemain memenangkan 100 rubel dalam 18 kasus dari 37, dan oleh karena itu hukum distribusi kemenangannya memiliki bentuk berikut:

Mari kita hitung ekspektasi matematisnya:

Jadi, untuk setiap seratus taruhan, pemain kehilangan rata-rata 2,7 rubel.

Contoh 5 Keputusan: menurut definisi ekspektasi matematis:

Mari kita bertukar bagian dan membuat penyederhanaan:

dengan demikian:

Mari kita periksa:

, yang akan diverifikasi.

Menjawab :

(Pergi ke halaman utama)

Karya berkualitas tanpa plagiarisme - Zaochnik.com

www.mathprofi.ru

Variabel acak diskrit

Variabel acak sebuah variabel disebut yang, sebagai hasil dari setiap pengujian, mengambil satu nilai yang sebelumnya tidak diketahui, tergantung pada penyebab acak. Variabel acak dilambangkan dengan huruf latin kapital: $X,\ Y,\ Z,\ \dots $ Berdasarkan jenisnya, variabel acak dapat diskrit dan kontinu.

Variabel acak diskrit- ini adalah variabel acak, yang nilainya tidak boleh lebih dari dapat dihitung, yaitu terbatas atau dapat dihitung. Hitungan berarti bahwa nilai-nilai variabel acak dapat dihitung.

Contoh 1 . Mari kita berikan contoh variabel acak diskrit:

a) jumlah hit pada target dengan $n$ tembakan, di sini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \dots ,\ n$.

b) banyaknya lambang yang terlepas pada saat pelemparan uang logam, disini nilai yang mungkin adalah $0,\ 1,\ \titik ,\ n$.

c) jumlah kapal yang tiba di kapal (satu set nilai yang dapat dihitung).

d) jumlah panggilan yang tiba di bursa (satu set nilai yang dapat dihitung).

1. Hukum distribusi probabilitas variabel acak diskrit.

Variabel acak diskrit $X$ dapat mengambil nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dengan probabilitas $p\left(x_1\right),\ \dots ,\ p\left(x_n\right)$. Korespondensi antara nilai-nilai ini dan probabilitasnya disebut hukum distribusi variabel acak diskrit. Sebagai aturan, korespondensi ini ditentukan menggunakan tabel, di baris pertama yang menunjukkan nilai $x_1,\dots ,\ x_n$, dan di baris kedua probabilitas yang sesuai dengan nilai-nilai ini adalah $ p_1,\titik ,\ p_n$.

$\mulai
\hline
X_i & x_1 & x_2 & \titik & x_n \\
\hline
p_i & p_1 & p_2 & \titik & p_n \\
\hline
\akhir$

Contoh 2 . Biarkan variabel acak $X$ menjadi jumlah poin yang dilempar ketika sebuah dadu dilempar. Variabel acak $X$ dapat mengambil nilai berikut $1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$. Probabilitas semua nilai ini sama dengan $1/6$. Maka hukum distribusi probabilitas untuk variabel acak $X$:

$\mulai
\hline
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
\hline
\akhir$

Komentar. Karena kejadian $1,\ 2,\ \titik ,\ 6$ membentuk grup lengkap kejadian dalam hukum distribusi variabel acak diskrit $X$, jumlah probabilitas harus sama dengan satu, yaitu $\sum

2. Ekspektasi matematis dari variabel acak diskrit.

Ekspektasi matematis dari variabel acak menentukan nilai "pusat" nya. Untuk variabel acak diskrit, ekspektasi matematis dihitung sebagai jumlah produk dari nilai $x_1,\dots ,\ x_n$ dan probabilitas $p_1,\dots ,\ p_n$ yang sesuai dengan nilai-nilai ini, yaitu: $M\kiri(X\kanan)=\jumlah ^n_ $. Dalam literatur bahasa Inggris, notasi lain $E\left(X\right)$ digunakan.

Properti Harapan$M\kiri(X\kanan)$:

1. $M\left(X\right)$ berada di antara nilai terkecil dan terbesar dari variabel acak $X$.
2. Ekspektasi matematis dari suatu konstanta sama dengan konstanta itu sendiri, yaitu $M\kiri(C\kanan)=C$.
3. Faktor konstanta dapat diambil dari tanda harapan: $M\left(CX\right)=CM\left(X\right)$.
4. Ekspektasi matematis dari jumlah variabel acak sama dengan jumlah ekspektasi matematisnya: $M\left(X+Y\right)=M\left(X\right)+M\left(Y\right)$.
5. Ekspektasi matematis produk variabel acak independen sama dengan produk ekspektasi matematisnya: $M\left(XY\right)=M\left(X\right)M\left(Y\right)$.

Contoh 3 . Mari kita cari ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

Kita dapat melihat bahwa $M\left(X\right)$ berada di antara nilai terkecil ($1$) dan terbesar ($6$) dari variabel acak $X$.

Contoh 4 . Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=2$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $3X+5$.

Menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(3X+5\right)=M\left(3X\right)+M\left(5\right)=3M\left(X\right)+5=3\ cdot 2 +5=11$.

Contoh 5 . Diketahui bahwa ekspektasi matematis dari variabel acak $X$ sama dengan $M\left(X\right)=4$. Temukan ekspektasi matematis dari variabel acak $2X-9$.

Menggunakan properti di atas, kita mendapatkan $M\left(2X-9\right)=M\left(2X\right)-M\left(9\right)=2M\left(X\right)-9=2\ cdot 4 -9=-1$.

3. Dispersi variabel acak diskrit.

Kemungkinan nilai variabel acak dengan ekspektasi matematis yang sama dapat tersebar secara berbeda di sekitar nilai rata-ratanya. Misalnya, dalam dua kelompok siswa, nilai rata-rata untuk ujian teori probabilitas ternyata 4, tetapi dalam satu kelompok semua orang menjadi siswa yang baik, dan di kelompok lain, hanya siswa C dan siswa yang sangat baik. Oleh karena itu, diperlukan karakteristik numerik dari variabel acak, yang akan menunjukkan penyebaran nilai variabel acak di sekitar ekspektasi matematisnya. Karakteristik ini adalah dispersi.

Dispersi variabel acak diskrit$X$ adalah:

Dalam literatur bahasa Inggris, notasi $V\left(X\right),\ Var\left(X\right)$ digunakan. Sangat sering varians $D\left(X\right)$ dihitung dengan rumus $D\left(X\right)=\sum^n_ —^2$.

Sifat Dispersi$D\kiri(X\kanan)$:

1. Dispersi selalu lebih besar dari atau sama dengan nol, yaitu $D\kiri(X\kanan)\ge 0$.
2. Dispersi dari konstanta sama dengan nol, yaitu $D\kiri(C\kanan)=0$.
3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda dispersi, asalkan dikuadratkan, mis. $D\left(CX\right)=C^2D\left(X\right)$.
4. Varians jumlah variabel acak independen sama dengan jumlah variansnya, yaitu $D\kiri(X+Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.
5. Varians dari selisih peubah acak bebas sama dengan jumlah variansnya, yaitu $D\kiri(X-Y\kanan)=D\kiri(X\kanan)+D\kiri(Y\kanan)$.

Contoh 6 . Mari kita hitung varians dari variabel acak $X$ dari contoh $2$.

Contoh 7 . Diketahui bahwa varians dari variabel acak $X$ sama dengan $D\left(X\right)=2$. Temukan varians dari variabel acak $4X+1$.

Menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(4X+1\right)=D\left(4X\right)+D\left(1\right)=4^2D\left(X\right)+0= 16D\ kiri(X\kanan)=16\cdot 2=32$.

Contoh 8 . Diketahui bahwa varians dari $X$ sama dengan $D\left(X\right)=3$. Temukan varians dari variabel acak $3-2X$.

Menggunakan properti di atas, kita menemukan $D\left(3-2X\right)=D\left(3\right)+D\left(2X\right)=0+2^2D\left(X\right)= 4D\ kiri(X\kanan)=4\cdot 3=12$.

4. Fungsi distribusi variabel acak diskrit.

Metode merepresentasikan variabel acak diskrit dalam bentuk deret distribusi bukan satu-satunya, dan yang terpenting, tidak universal, karena variabel acak kontinu tidak dapat ditentukan menggunakan deret distribusi. Ada cara lain untuk mewakili variabel acak - fungsi distribusi.

fungsi distribusi variabel acak $X$ adalah fungsi $F\left(x\right)$, yang menentukan probabilitas bahwa variabel acak $X$ mengambil nilai kurang dari beberapa nilai tetap $x$, yaitu $F\left(x\ kanan)$ )=P\kiri(X 6$, lalu $F\kiri(x\kanan)=P\kiri(X=1\kanan)+P\kiri(X=2\kanan)+P\kiri( X=3 \kanan)+P\kiri(X=4\kanan)+P\kiri(X=5\kanan)+P\kiri(X=6\kanan)=1/6+1/6+1/ 6+1 /6+1/6+1/6=1$.

Grafik fungsi distribusi $F\left(x\right)$:

Hukum dasar distribusi

1. Hukum distribusi binomial.

Hukum distribusi binomial menjelaskan peluang terjadinya kejadian A m kali dalam n percobaan bebas, asalkan p peluang terjadinya kejadian A dalam setiap percobaan adalah konstan.

Misalnya, departemen penjualan toko perangkat keras menerima, rata-rata, satu pesanan untuk pembelian televisi dalam 10 panggilan. Tulislah hukum distribusi peluang untuk pembelian m TV. Buatlah poligon dari distribusi probabilitas.

Pada tabel, m adalah jumlah pesanan yang diterima perusahaan untuk pembelian satu set TV. C n m adalah banyaknya kombinasi m TV sebanyak n, p adalah peluang terjadinya kejadian A, yaitu memesan TV, q adalah probabilitas bahwa peristiwa A tidak akan terjadi, mis. tidak memesan TV, P m,n adalah peluang memesan m TV dari n. Gambar 1 menunjukkan poligon dari distribusi probabilitas.

2. Distribusi geometrik.

Distribusi geometrik variabel acak memiliki bentuk sebagai berikut:

P m adalah peluang terjadinya kejadian A pada percobaan nomor m.
p adalah peluang terjadinya kejadian A dalam satu kali percobaan.
q = 1 - p

Contoh. Sebuah perusahaan perbaikan peralatan rumah tangga menerima 10 unit pengganti mesin cuci. Ada kasus ketika batch berisi 1 blok yang rusak. Pengecekan dilakukan sampai ditemukan blok yang rusak. Penting untuk menyusun undang-undang distribusi untuk jumlah blok yang diperiksa. Probabilitas bahwa sebuah balok mungkin rusak adalah 0,1. Buatlah poligon dari distribusi probabilitas.

Dapat dilihat dari tabel bahwa dengan bertambahnya jumlah m, peluang terdeteksinya balok yang rusak berkurang. Baris terakhir (m=10) menggabungkan dua probabilitas: 1 - bahwa blok kesepuluh ternyata salah - 0,038742049, 2 - bahwa semua blok yang diperiksa ternyata dapat digunakan - 0,34867844. Karena probabilitas kegagalan sebuah blok relatif rendah (p=0,1), probabilitas kejadian terakhir P m (10 blok yang diuji) relatif tinggi. Gbr.2.

3. Distribusi hipergeometrik.

Distribusi hipergeometrik dari variabel acak memiliki bentuk sebagai berikut:

Misalnya, untuk membuat hukum distribusi 7 angka tebakan dari 49. Dalam contoh ini, jumlah total N=49, n=7 angka dihilangkan, M adalah jumlah total yang memiliki properti tertentu, yaitu. angka yang ditebak dengan benar, m adalah jumlah angka yang ditebak dengan benar di antara yang ditarik.

Tabel tersebut menunjukkan bahwa peluang menebak satu angka m=1 lebih tinggi daripada saat m=0. Namun, kemudian probabilitas mulai menurun dengan cepat. Jadi, peluang menebak 4 angka sudah kurang dari 0,005, dan 5 diabaikan.

4. Hukum distribusi Poisson.

Sebuah variabel acak X memiliki distribusi Poisson jika hukum distribusinya berbentuk:

Np = konstanta
n adalah jumlah percobaan yang cenderung tak terhingga
p adalah peluang terjadinya peristiwa, cenderung nol
m adalah banyaknya kejadian A

Misalnya, rata-rata, sebuah perusahaan TV menerima sekitar 100 panggilan per hari. Peluang memesan TV merek A adalah 0,08; B - 0,06 dan C - 0,04. Buatlah hukum distribusi pesanan pembelian TV merk A, B dan C. Buatlah poligon distribusi peluang.

Dari kondisi yang kita peroleh: m=100, ? 1=8, ? 2=6, ? 3 = 4 (?10)

(tabel tidak lengkap)

Jika n cukup besar untuk menuju tak hingga dan p menuju nol sehingga hasil kali np menuju bilangan konstan, maka hukum ini merupakan aproksimasi terhadap hukum distribusi binomial. Dapat dilihat dari grafik bahwa semakin besar peluang p, semakin dekat kurva dengan sumbu m, yaitu. lebih lembut. (Gbr.4)

Perlu dicatat bahwa hukum distribusi binomial, geometris, hipergeometrik dan Poisson menyatakan distribusi probabilitas dari variabel acak diskrit.

5. Hukum distribusi seragam.

Jika rapat peluang? (x) adalah nilai konstan pada selang waktu tertentu, maka hukum distribusi disebut seragam. Gambar 5 menunjukkan grafik fungsi distribusi probabilitas dan kerapatan probabilitas dari hukum distribusi seragam.

6. Hukum distribusi normal (hukum Gauss).

Di antara hukum distribusi variabel acak kontinu, yang paling umum adalah hukum distribusi normal. Suatu peubah acak terdistribusi menurut hukum distribusi normal jika kerapatan peluangnya berbentuk:

di mana
a adalah ekspektasi matematis dari variabel acak
? — simpangan baku

Grafik kerapatan peluang variabel acak dengan hukum distribusi normal adalah simetris terhadap garis lurus x=a, yaitu x sama dengan ekspektasi matematis. Jadi, jika x=a, maka kurva memiliki maksimum sama dengan:

Ketika nilai ekspektasi matematis berubah, kurva akan bergeser sepanjang sumbu Ox. Grafik (Gbr. 6) menunjukkan bahwa pada x=3 kurva memiliki maksimum, karena ekspektasi matematisnya adalah 3. Jika ekspektasi matematis mengambil nilai yang berbeda, misalnya a=6, maka kurva akan memiliki maksimum pada x=6. Berbicara tentang standar deviasi, seperti yang Anda lihat dari grafik, semakin besar standar deviasi, semakin kecil nilai maksimum kepadatan probabilitas dari variabel acak.

Fungsi yang menyatakan distribusi variabel acak pada interval (-?, x), dan memiliki hukum distribusi normal, dinyatakan melalui fungsi Laplace sesuai dengan rumus berikut:

Itu. probabilitas variabel acak X terdiri dari dua bagian: probabilitas di mana x mengambil nilai dari minus tak terhingga ke a, sama dengan 0,5, dan bagian kedua dari a ke x. (Gbr.7)

Belajar Bersama

Bahan yang berguna untuk dipesan oleh siswa, diploma, dan makalah

Pelajaran: hukum distribusi variabel acak diskrit

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah korespondensi antara nilai-nilai yang mungkin dan probabilitasnya. Hal ini dapat ditentukan secara tabular, grafis dan analitis.

Apa yang dimaksud dengan variabel acak dibahas dalam pelajaran ini.

Dengan cara pengaturan tabular, baris pertama tabel berisi nilai yang mungkin, dan yang kedua probabilitasnya, yaitu

Besaran ini disebut deret distribusi. variabel acak diskrit.

X=x1, X=x2, X=xn membentuk grup lengkap, karena dalam satu percobaan variabel acak akan mengambil satu dan hanya satu nilai yang mungkin. Oleh karena itu, jumlah peluangnya sama dengan satu, yaitu p1 + p2 + pn = 1 atau

Jika himpunan nilai X tak hingga, maka Contoh 1. Ada 100 tiket yang dikeluarkan dalam undian tunai. Satu kemenangan 1000 rubel dan 10 dari 100 rubel dimainkan. Temukan hukum distribusi variabel acak X - biaya kemungkinan kemenangan bagi pemilik satu tiket lotre.

Hukum distribusi yang diinginkan memiliki bentuk:

Kontrol; 0,01+0,1+0,89=1.
Dengan metode grafis pengaturan hukum distribusi, titik-titik dibangun pada bidang koordinat (Xi: Pi), dan kemudian dihubungkan oleh segmen garis lurus. Garis putus-putus yang dihasilkan disebut poligon distribusi. Sebagai contoh 1, poligon distribusi ditunjukkan pada Gambar 1.

Dalam metode analitik untuk menetapkan hukum distribusi, sebuah formula ditunjukkan yang menghubungkan probabilitas variabel acak dengan nilai-nilai yang mungkin.

Contoh distribusi diskrit

Distribusi binomial

Biarkan n percobaan dibuat, di mana masing-masing peristiwa A terjadi dengan probabilitas konstan p, oleh karena itu, tidak terjadi dengan probabilitas konstan q = 1- p. Pertimbangkan variabel acak X- banyaknya kejadian A dalam n percobaan ini. Nilai X yang mungkin adalah x1 = 0, x2 = 1,…, xn+1 = n . Probabilitas ini mungkin

Hukum distribusi variabel acak diskrit disebut Windows XP Word 2003 Excel 2003 Hukum distribusi variabel acak diskrit Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah setiap hubungan yang menetapkan hubungan antara nilai-nilai yang mungkin dari variabel acak dan […]

Organization LLC "PERUMAHAN DAN KONSTRUKSI EXPERTIZA" Termasuk dalam daftar usaha kecil dan menengah: mulai 08/01/2016 sebagai usaha mikro Alamat resmi: 150047, WILAYAH YAROSLAVSKAYA, YAROSLAVL G, BELINSKOGO UL, DOM 29, KANTOR 51 OKFS: 16 - Properti pribadi OKOGU: 4210014 - Organisasi didirikan […]

Pensiun untuk orang cacat dari kelompok kedua pada tahun 2018 di Federasi Rusia Penugasan segala bentuk kecacatan di Federasi Rusia hanya terjadi pada indikator medis dan sosial. Cacat kategori kedua diberikan kepada orang-orang yang dianggap cacat, tetapi tidak membutuhkan perawatan terus-menerus. Warga negara tersebut berhak menerima […]

pewarisan sifat monogenik. Warisan autosomal dan terpaut seks Karena fakta bahwa kariotipe suatu organisme adalah set kromosom diploid, sebagian besar gen dalam sel somatik diwakili oleh pasangan alel. Gen alelik yang terletak di daerah yang sesuai dari kromosom homolog, berinteraksi […]

Jenis pembuktian Algoritma Dispute untuk analisis logis argumentasi 1. Sorot tesis dalam teks 2. Sorot argumen, tentukan keandalannya 3. Sorot bentuk argumentasi, tentukan ketegasan koneksi logis argumen dan tesis 4 .Berikan kesimpulan tentang sifat argumentasi, […]

Perintah Kementerian Transportasi Federasi Rusia N 124, Kementerian Kehakiman Federasi Rusia N 315, Kementerian Dalam Negeri Federasi Rusia N 817, Kementerian Kesehatan dan Pembangunan Sosial Federasi Rusia N 714 tanggal 10.10.2006 "Atas persetujuan kondisi dan prosedur untuk sertifikasi profesional ahli-teknik yang melakukan pemeriksaan teknis independen kendaraan, termasuk persyaratan untuk ahli TEKNISI" Terdaftar [...]

Basis legislatif Federasi Rusia Konsultasi gratis Undang-undang federal ...]

Organisasi OJSC "NEFTEL" Alamat: G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 Alamat resmi: 443020, G SAMARA, STR. VENTSEKA, D 81 OKFS: 42 - Kepemilikan campuran Rusia dengan bagian dalam kepemilikan entitas konstituen Rusia Federasi OKOGU: 4210014 - Organisasi yang didirikan oleh badan hukum atau warga negara, atau badan hukum dan [...]

Seperti diketahui, variabel acak disebut variabel yang dapat mengambil nilai tertentu tergantung pada kasusnya. Variabel acak dilambangkan dengan huruf kapital alfabet Latin (X, Y, Z), dan nilainya dilambangkan dengan huruf kecil yang sesuai (x, y, z). Variabel acak dibagi menjadi diskontinyu (diskrit) dan kontinu.

Variabel acak diskrit adalah variabel acak yang hanya mengambil himpunan nilai yang terbatas atau tak terbatas (dapat dihitung) dengan probabilitas tertentu yang bukan nol.

Hukum distribusi variabel acak diskrit adalah fungsi yang menghubungkan nilai-nilai variabel acak dengan probabilitas yang sesuai. Hukum distribusi dapat ditentukan dengan salah satu cara berikut.

1 . Hukum distribusi dapat diberikan oleh tabel:

dimana >0, k = 0, 1, 2, … .

di) melalui fungsi distribusi F(x) , yang menentukan untuk setiap nilai x probabilitas bahwa variabel acak X mengambil nilai kurang dari x, yaitu F(x) = P(X< x).

Sifat-sifat fungsi F(x)

3 . Hukum distribusi dapat diatur secara grafis – poligon distribusi (poligon) (lihat soal 3).

Perhatikan bahwa untuk menyelesaikan beberapa masalah, tidak perlu mengetahui hukum distribusi. Dalam beberapa kasus, cukup mengetahui satu atau lebih angka yang mencerminkan fitur terpenting dari hukum distribusi. Bisa berupa angka yang memiliki arti "nilai rata-rata" dari suatu variabel acak, atau angka yang menunjukkan ukuran rata-rata penyimpangan suatu variabel acak dari nilai rata-ratanya. Bilangan semacam ini disebut karakteristik numerik dari variabel acak.

Karakteristik numerik dasar dari variabel acak diskrit :

• Harapan matematika (nilai rata-rata) dari variabel acak diskrit M(X)=Σ x i p i.
  Untuk distribusi binomial M(X)=np, untuk distribusi Poisson M(X)=λ
• Penyebaran variabel acak diskrit D(X)=M2 atau D(X) = M(X 2) 2. Selisih X–M(X) disebut deviasi variabel acak dari ekspektasi matematisnya.
  Untuk distribusi binomial D(X)=npq, untuk distribusi Poisson D(X)=λ
• Standar deviasi (deviasi standar) (X)=√D(X).

Contoh penyelesaian masalah dengan topik "Hukum distribusi variabel acak diskrit"

Tugas 1.

1000 tiket lotere telah dikeluarkan: 5 di antaranya memenangkan 500 rubel, 10 - 100 rubel, 20 - 50 rubel, 50 - 10 rubel. Tentukan hukum distribusi probabilitas dari variabel acak X - kemenangan per tiket.

Keputusan. Sesuai dengan kondisi soal, nilai variabel acak X berikut ini mungkin: 0, 10, 50, 100 dan 500.

Jumlah tiket tanpa kemenangan adalah 1000 - (5+10+20+50) = 915, maka P(X=0) = 915/1000 = 0,915.

Demikian pula, kami menemukan semua probabilitas lainnya: P(X=0) = 50/1000=0,05, P(X=50) = 20/1000=0,02, P(X=100) = 10/1000=0,01 , P(X =500) = 5/1000=0,005. Kami menyajikan hukum yang dihasilkan dalam bentuk tabel:

Tentukan ekspektasi matematis dari X: M(X) = 1*1/6 + 2*1/6 + 3*1/6 + 4*1/6 + 5*1/6 + 6*1/6 = (1 + 2+3+4+5+6)/6 = 21/6 = 3,5

Tugas 3.

Perangkat ini terdiri dari tiga elemen yang beroperasi secara independen. Probabilitas kegagalan setiap elemen dalam satu percobaan adalah 0,1. Buatlah hukum distribusi untuk jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan, buat poligon distribusi. Temukan fungsi distribusi F(x) dan plotkan. Temukan ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi dari variabel acak diskrit.

Keputusan. 1. Variabel acak diskrit X=(jumlah elemen yang gagal dalam satu percobaan) memiliki kemungkinan nilai berikut: x 1 =0 (tidak ada elemen perangkat yang gagal), x 2 =1 (satu elemen gagal), x 3 =2 ( dua elemen gagal ) dan x 4 \u003d 3 (tiga elemen gagal).

Kegagalan elemen tidak tergantung satu sama lain, probabilitas kegagalan setiap elemen sama satu sama lain, oleh karena itu, ini berlaku rumus Bernoulli . Mengingat bahwa, dengan kondisi, n=3, p=0.1, q=1-p=0.9, kami menentukan probabilitas nilai:
P 3 (0) \u003d C 3 0 p 0 q 3-0 \u003d q 3 \u003d 0,9 3 \u003d 0,729;
P 3 (1) \u003d C 3 1 p 1 q 3-1 \u003d 3 * 0,1 * 0,9 2 \u003d 0,243;
P 3 (2) \u003d C 3 2 p 2 q 3-2 \u003d 3 * 0,1 2 * 0,9 \u003d 0,027;
P 3 (3) \u003d C 3 3 p 3 q 3-3 \u003d p 3 \u003d 0,1 3 \u003d 0,001;
Periksa: p i = 0,729+0,243+0,027+0,001=1.

Dengan demikian, hukum distribusi binomial X yang diinginkan memiliki bentuk:

Pada sumbu absis, kami memplot nilai yang mungkin x i, dan pada sumbu ordinat, probabilitas yang sesuai i . Mari kita buat titik M 1 (0; 0,729), M 2 (1; 0,243), M 3 (2; 0,027), M 4 (3; 0,001). Menghubungkan titik-titik ini dengan segmen garis, kami memperoleh poligon distribusi yang diinginkan.

3. Tentukan fungsi distribusi F(x) = P(X

Untuk x 0 kita memiliki F(x) = P(X<0) = 0;
untuk 0< x ≤1 имеем F(x) = Р(Х<1) = Р(Х = 0) = 0,729;
untuk 1< x ≤ 2 F(x) = Р(Х<2) = Р(Х=0) + Р(Х=1) =0,729+ 0,243 = 0,972;
untuk 2< x ≤ 3 F(x) = Р(Х<3) = Р(Х = 0) + Р(Х = 1) + Р(Х = 2) = 0,972+0,027 = 0,999;
untuk x > 3 menjadi F(x) = 1, karena peristiwa itu pasti.

Grafik fungsi F(x)

4. Untuk distribusi binomial X:
- ekspektasi matematis (X) = np = 3*0.1 = 0.3;
- dispersi D(X) = npq = 3*0.1*0.9 = 0.27;
- simpangan baku (X) = D(X) = 0,27 0,52.