gerakan berputar tubuh yang kokoh sekitar titik tetap gerakannya disebut, di mana satu titik dari benda kaku atau selalu terhubung dengannya tetap tidak bergerak relatif terhadap kerangka acuan yang dipilih. Disebut juga gerakan bola, karena lintasan setiap titik benda terletak pada permukaan bola yang berpusat pada titik tetap. Contoh gerakan seperti itu adalah bagian atas, yang memiliki titik tumpu tetap.

Jumlah derajat kebebasan benda tegar yang bergerak bebas di ruang angkasa adalah enam. Jika selama pergerakan benda salah satu titiknya tetap, maka jumlah derajat kebebasan benda tersebut ketika berputar di sekitar titik tetap ini akan menjadi tiga, dan untuk memperkirakan posisinya, tiga parameter independen harus ditetapkan. Hal ini dapat dilakukan dengan berbagai cara. Misalnya, A.N. Krylov mengusulkan apa yang disebut sudut kapal sebagai parameter seperti itu, yang menentukan posisi benda tegar (kapal) relatif terhadap sistem koordinat yang terkait dengan asalnya dengan pusat gravitasinya (Gbr. 3.1).

Sumbu sistem koordinat tetap diambil CXYZ, dan untuk as yang terhubung secara kaku dengan kapal - Cxyz(Gbr. 3.1). Sumbu CX diarahkan dari buritan ke haluan kapal, poros cz- ke sisi kanannya, dan porosnya CY membentuk sistem koordinat yang benar dengan mereka (vertikal ke atas). Posisi sistem koordinat bergerak Cxyz, selalu terkait dengan kapal, relatif tidak bergerak CXYZ untuk setiap momen waktu ditentukan oleh tiga sudut Krylov: sudut potong ,sudut tepi ,sudut yaw (Gbr. 3.2).

Seperti yang terlihat pada gambar. 3.2, pesawat CXY melintasi pesawat xy sepanjang beberapa baris membentuk sudut dengan sumbu CX dan sudut dengan poros Cx. Pesawat terbang CYZ melintasi pesawat Cxy polyline Cy 1 membentuk sudut dengan sumbu Cy. Pertimbangkan transisi dari sistem CXYZ ke sistem Cxyz dilakukan dengan tiga putaran.

Untuk mencocokkan sistem CXYZ dengan sistem Cxyz cukup:

1) sistem putar CXYZ sekitar sepertiga sumbu koordinat cz ke sudut trim, sebagai akibatnya kita mendapatkan sistem Cx 1 kamu 1 z 1 , dan cz 1 =cz(Gbr. 3.3);

2) putar sistem di sekitar sumbu koordinat pertama dengan sudut gulungan , sebagai hasilnya kami memperoleh sistem , sementara (Gbr. 3.4);

3) putar sistem di sekitar sumbu koordinat kedua dengan sudut yaw (Gbr. 3.5), sebagai hasilnya kita sampai pada sistem Cxyz.

Rumus transformasi koordinat dihubungkan oleh hubungan berikut:

1) dari CXYZ untuk (Gbr. 3.3)

X = x 1 karena y - kamu 1 sin + 0 ,

kamu =x 1 sin y + y 1 cos y + 0 , (3.1)

Z = 0 + 0 + z1,

atau dalam bentuk matriks:

[X] =( a 3 y ) t [ x 1 ] , atau , (3.2)

di mana matriks ditransposisikan ke matriks yang menggambarkan rotasi sistem CXYZ di sekitar sumbu koordinat ketiga Z ke sudut potong y,

; (3.3)

2) dari sistem ke sistem (Gbr. 3.4)

x 1 = x 2 + 0 + 0 ,

kamu 1 = 0 + kamu 2 - z 2 , (3.4)

z 1 = 0 + kamu 2 +z 2 ,

atau dalam bentuk matriks

[x 1 ] = [x 2] , atau , (3.5)

di mana matriks ditransposisikan ke matriks , yang menentukan transformasi rotasi dari sumbu sistem ke sumbu sistem di sekitar sumbu koordinat pertama dengan sudut roll , dengan = ,

; (3.6)

3) dari sistem koordinat ke sistem Cxyz(Gbr. 3.5)

x 2 = x cos j + 0 + z sinj,

kamu 2 = 0 + kamu + 0 , (3.7)

z 2 = -x sin j + 0 + z karena,

atau dalam bentuk matriks [ x 2 ]= [x], atau

. (3.8)

Selain itu, matriks rotasi (a 2 j ) t adalah matriks yang ditransposisikan ke matriks ( a 2 j ), yang menentukan transformasi rotasi dari sumbu sistem ke sumbu sistem Cxyz oleh sudut yaw j di sekitar sumbu koordinat kedua = , memiliki bentuk

. (3.9)

Untuk titik mana pun M tubuh dengan koordinat x,kamu,z dalam sistem koordinat yang bergerak, terhubung secara kaku dengannya, dan dengan koordinatnya sendiri X,kamu,Z– dalam sistem koordinat tetap, dimungkinkan untuk menetapkan hubungan proyeksi vektor titik pada sumbu dua sistem koordinat,

, (3.10)

atau dalam bentuk matriks

atau , (3.11)

di mana sudut Krylov adalah beberapa fungsi waktu: sudut trim , sudut bank , sudut yaw .

Matriks ditransposisikan ke matriks arah cosinus , yang mendefinisikan transformasi rotasi dari sumbu sistem tetap CXYZ ke sumbu sistem yang bergerak Cxyz, selalu terkait dengan kapal. Jelas, ketika tubuh bergerak, koordinatnya x,kamu,z tetap konstan berbeda dengan koordinat X,kamu,Z.

Mengganti relasi (3.5) dan (3.8) menjadi (3.2), kita memperoleh:

Membandingkan (3.11) dan (3.12), kami menemukan bahwa matriks yang diinginkan adalah produk dari tiga matriks rotasi

=

=

.(3.13)

Dengan mensubstitusi relasi (3.5) ke (3.2), kita memperoleh relasi antara, yang mungkin diperlukan nanti, [ X] = [x 2]. Matriks rotasi antara = ditemukan sebagai produk dari dua matriks rotasi:

=

= (3.13sebuah)

Sudut Euler

Dalam kasus di mana kecepatan sudut rotasi dalam satu arah jauh lebih besar daripada di dua lainnya (generator, motor, turbin, giroskop), tiga sudut Euler dipilih sebagai tiga parameter independen untuk menentukan posisi tubuh: sudut presesi kamu (t),sudut nutasi q (t)dan sudut rotasi (rotasi alami) j (t). Nama mereka dipinjam dari astronomi.

Untuk mengatur sudut-sudut ini, pertimbangkan rotasi benda tegar di sekitar titik tetap HAI. Biarkan beberapa sistem referensi dan sistem koordinat tetap yang terkait dengannya diberikan OKSIZ, relatif terhadap mana benda tegar bergerak, dan sistem koordinat yang terkait dengan benda tegar oxyz, yang bergerak relatif terhadap yang pertama (Gbr. 3.6 ... 3.8). Ini berarti bahwa sistem koordinat pertama dan kedua memiliki asal yang sama HAI, dan sudut yang dibentuk oleh sumbu oxyz dengan kapak OKSIZ, ubah, yaitu sistem oxyz
berputar dengan benda tegar mengelilingi titik tetap HAI(Gbr. 3.5 ... 3.8).

Beras. 3.6

Persamaan kinematik dalam koordinat umum. Euler, sudut Krylov, quaternions.

Dalam perjalanan mekanika teoretis, gerakan bola diberikan oleh sudut Euler (Gbr. 1.2) - sudut presesi y (rotasi di sekitar sumbu tetap Ons), sudut nutasi q (rotasi di sekitar sumbu semi-bergerak Oke- garis perpotongan bidang oxy dan HAI, disebut garis simpul) dan sudut rotasi yang tepat j (rotasi di sekitar sumbu yang terkait dengan tubuh Ons).

Beras. 1.2. Sistem sudut orientasi Euler dari benda tegar

Sudut-sudut Euler dicantumkan di sini dalam urutan belokan yang harus dibuat di atas bingkai tetap. oxyz sehingga kompatibel dengan SC seluler HAI. Penggunaan sudut Euler dalam gerakan bola dilakukan untuk menunjukkan kemungkinan mendasar untuk memecahkan masalah kinematika yang sesuai. Di sini kita memiliki tugas untuk menggambarkan gerakan seperti itu secara lebih optimal. Hubungan kinematik yang menyatakan proyeksi kecepatan sudut benda pada sumbu SC yang digabungkan melalui kecepatan sudut dari sudut yang ditunjukkan diwakili untuk sudut Euler dengan rumus (diverifikasi dengan program KIDIM):

(1.1)

Terlepas dari singkatnya spesifikasi posisi benda selama gerakan bola (3 derajat kebebasan, 3 koordinat), ini jarang digunakan dalam mekanika modern. Ini dijelaskan, khususnya, oleh fakta bahwa rumus untuk menghitung kecepatan umum melalui proyeksi kecepatan sudut benda (hubungan kinematik terbalik) mengandung singularitas dan asimetris, yang memperumit analisis hasil dan mengarah ke komputasi. kesalahan. Untuk sudut Euler, hubungan ini diwakili oleh rumus:

(1.2)

Lebih disukai menggunakan parameter Rodrigues-Hamilton, quaternions, parameter Cayley-Klein.

Ayo buktikan teorema d'Alembert-Euler.

Memindahkan benda yang memiliki titik tetap dari satu posisi ke posisi lain dapat dilakukan dengan memutar beberapa sumbu yang melewati titik tetap.

Pergerakan tubuh sepenuhnya ditentukan oleh pergerakan segitiga apa pun yang termasuk dalam tubuh. Oleh karena itu, untuk gerakan bola, ini setara dengan gerakan dua titik pada beberapa bola yang pusatnya bertepatan dengan titik tetap, atau gerakan busur yang menghubungkan titik-titik ini. Mari kita asumsikan bahwa sebagai akibat dari gerakan tubuh dalam waktu D t beberapa titik TETAPI dipindahkan melintasi bola ke suatu posisi PADA(Gbr. 1.3). Pada saat yang sama, titik yang ada di posisi PADA, mengambil posisi baru Dengan.

Beras. 1.3.

Pesawat terbang ABC memotong bola tetap dalam lingkaran (lingkaran kecil atau besar). Jika sebuah D salah satu kutub lingkaran ini pada bola, maka , karena mereka adalah bola sama kaki dan , karena mereka adalah dua posisi busur bola yang sama AB. dengan konstruksi (berjarak sama dari tiang). Oleh karena itu, dapat disejajarkan dengan rotasi di sekitar sumbu OD di pojok adb. Teorema telah terbukti.

Parameter Rodrigues-Hamilton. Untuk menentukan rotasi seperti itu, yang akan kita sebut akhir putaran tubuh, jelas, Anda perlu mengatur posisi sumbu, arah dan sudut rotasi. Sumbu rotasi dapat diatur oleh vektor satuan yang diarahkan ke arah dari mana rotasi benda akan diamati berlawanan arah jarum jam. Vektor ini ditentukan oleh proyeksinya pada sumbu beberapa SC (cosinus arah sudutnya dengan sumbu SC ini). Dengan demikian, rotasi akhir ditentukan oleh empat besaran skalar - proyeksi vektor satuan sumbu dan nilai sudut rotasi itu sendiri di sekitar sumbu ini.

Untuk menetapkan keempat besaran ini, kami menggunakan parameter Rodrigues-Hamilton, yang kami nyatakan di sini 0 , 1 , 2 , 3 . Tiga parameter terakhir biasanya digabungkan menjadi vektor =(λ 1 , 2 , 3 ) T. Jadi, kita akan mempertimbangkan himpunan besaran skalar dan vektor 0 , . Parameter ini dimasukkan melalui elemen putaran akhir dan dapat didefinisikan sebagai berikut. Membiarkan menjadi vektor pengarah dari sumbu di mana rotasi dibuat, dan adalah nilai sudut rotasi. Kemudian

Program pendidikan quaternions, bagian 7: integrasi kecepatan sudut, sudut Euler-Krylov 27 Februari 2018

Integrasi kecepatan sudut

Jadi kami akhirnya sampai pada tujuan utama dari quaternions - untuk tugas yang mereka lakukan paling layak dan di mana tidak ada alternatif yang diharapkan untuk mereka.

Pertama-tama, kita menendang kuda mati, dalam arti sudut Euler dan Krylov, tetapi kita harus memahami apa yang membuat orang mempelajari dan menerapkan hal esoteris seperti quaternions (tiga unit imajiner, ruang empat dimensi, setengah sudut) - tidak bisakah itu dilakukan dengan course-roll -pitch!?

Tugasnya adalah sebagai berikut: kami mengetahui orientasi produk kami pada saat awal, dan kami memiliki sensor kecepatan sudut (AVS). Ini bisa berupa sensor mekanis kuno berdasarkan giroskop (mereka salah kabel pada Proton yang terkenal), atau sensor mikroelektromekanis (MEMS), atau serat optik yang lebih akurat, atau laser. Dua yang terakhir dengan keras kepala disebut giroskop, dan memang, cahaya berputar di sana, tetapi nama ini masih belum sepenuhnya benar. Dengan menggunakan pembacaan sensor ini, kita harus melacak dengan tepat belokan mana yang telah dibuat produk, dengan kata lain, melacak orientasinya.

Kami berharap pembaca sudah memahami bahwa mengumpulkan sudut secara independen di sepanjang masing-masing sumbu sensor adalah pendekatan yang sepenuhnya salah. Mari kita ambil contoh rotasi pesawat, dipertimbangkan.

Awalnya, pesawat terbang dengan zero roll, pitch, dan heading. Dia kemudian berbelok 90 derajat, lalu berbelok 90 derajat. Seperti yang kita lihat sebelumnya, setelah dua belokan ini, pesawat mulai terbang secara vertikal ke bawah, yaitu, nadanya menjadi sama dengan -90 °, meskipun kami tidak membuat belokan langsung di sepanjang sumbu nada!

Selain itu, orientasi pesawat ini menunjukkan fenomena "bingkai lipat" atau "kunci berengsel". Menurut GOST 20058-80 dan DIN 9300 dan ISO 1151-2: 1985 yang serupa, ketika kita mengatakan bahwa pesawat memiliki heading, pitch and roll tertentu, ini berarti: orientasi yang sesuai dalam ruang akan tercapai jika kita mulai dari horizontal posisi ke utara, lalu kita putar pesawat di sepanjang jalur, setelah itu - dalam nada dan, akhirnya, dalam gulungan (lihat gambar). Ketika pitch ±90° (pesawat "melihat" vertikal ke atas atau ke bawah secara vertikal), heading dan roll mulai bekerja dengan cara yang sama (heading 0° dan bank 90° akan memberikan sikap yang sama seperti heading 90° dan bank 0 °, dan banyak kombinasi lainnya tanpa batas), yang disebut pelipatan bingkai. Jika kita berasumsi bahwa dalam orientasi ini heading adalah 90°, dan roll adalah nol (ini adalah bagaimana disarankan untuk mengatasi ambiguitas), maka belokan kecil yang sewenang-wenang dari pesawat di sepanjang jalur (dalam artian, menuju sayap , yaitu saat bekerja dengan kemudi) akan memaksa lompatan menuju 0°, membelok ke 90°, dan pitch akan berkurang pada belokan terkecil ini. "Jumpy" berarti turunan tak terbatas pada saat itu - dan ini jelas tidak baik ...

Kendala lain yang tak terduga: buku-buku tentang mekanika teoretis berurusan dengan sudut Euler dan sudut Krylov. Sudut Euler memiliki nama: presesi, nutasi, rotasi yang tepat - mereka telah menemukan jalannya ke dalam deskripsi benda yang berputar cepat.

Sudut Krylov: yaw, trim, roll. Yaw sama dengan heading, trim adalah istilah bahari untuk pitch. Tampaknya course-pitch-roll yang kita kenal adalah sudut Krylov.

Itu tidak ada.
Berikut adalah bagaimana sudut Krylov didefinisikan:

(berjuang dengan godaan untuk memotret angsa, udang karang, dan tombak di sini, menarik tiga arah yang saling tegak lurus)

Berikut adalah kutipan dari buku Branz V.N. dan Shmyglevsky I.P. - Penerapan angka empat dalam masalah orientasi benda tegar (1973), hal 79:

Rotasi pertama dilakukan di sekitar sumbu i 3 dengan sudut heading , rotasi kedua terjadi di sepanjang sumbu i` 2 oleh sudut roll , dan rotasi ketiga di sekitar sumbu e 1 dengan sudut pitch .

Kita dapat melihat bahwa rotasi tidak dilakukan dalam urutan yang sama seperti sebelumnya. Sudut yang ditentukan dengan cara ini juga memiliki hak untuk eksis, dan dengan penyimpangan roll dan pitch kecil mereka tidak akan berbeda dari yang diperkenalkan sebelumnya, tetapi sudah pada sudut karakteristik pesawat penerbangan sipil, perbedaannya akan terlihat.

Mari kita ambil contoh "merosot" - pesawat terbang terbalik, sementara agar tidak jatuh, hidungnya sedikit terangkat. Ketika kami menggambarkan posisi pesawat melalui sudut Krylov, ternyata pesawat terbang dengan nada negatif, karena gulungan dilakukan terlebih dahulu, dan baru kemudian - pada pesawat terbalik - nada diputar, itulah sebabnya itu harus berubah tanda - dalam hal ini, hidung akan ditarik ke atas.

Namun, GOST 20058-80 "DINAMIKA PESAWAT DALAM SUASANA" (http://docs.cntd.ru/document/gost-20058-80) memberikan definisi nada yang sedikit berbeda:
26. Sudut pitch - sudut antara sumbu longitudinal OX dan bidang horizontal OXgZg dari sistem koordinat normal.

Artinya, ketika hidung mengarah ke atas, nada harus selalu positif, tidak peduli bagaimana pesawat membelok!

Bahkan dengan belokan yang cukup mulus, saling ketergantungan sudut seperti itu akan memanifestasikan dirinya, yang akan mengarah pada persepsi yang salah tentang orientasi objek di ruang angkasa.

Dan secara umum, persamaan kinematik untuk sudut tidak terlalu senang. Kami menyajikannya untuk sudut Euler dan untuk kecepatan sudut yang diukur secara berpasangan (yaitu, sensor berdiri di atas objek dan berputar dengannya):

Tentu saja, formula ini tidak cocok untuk bekerja dengan sudut pitch, heading, dan roll yang dijelaskan dalam GOST 20058-80 - Anda perlu mendapatkan yang lain. Mari kita tinggalkan itu sebagai latihan untuk pembaca yang paling gigih.

Ada keuntungan tertentu untuk menggambarkan orientasi benda tegar sebagai tiga sudut:
- ini adalah yang paling kompak, hanya membutuhkan 3 angka,
- kurang lebih dapat dimengerti oleh seseorang,
- terkadang memungkinkan Anda untuk menemukan solusi analitik persamaan kinematik - untuk ini, Euler pernah memperkenalkan sudutnya.

Segala sesuatu yang lain adalah kekurangan: formula multi-level dengan banyak fungsi trigonometri, munculnya titik-titik khusus di mana Anda harus meletakkan "kruk" Anda atau menyerah terlebih dahulu, dengan mengatakan - jangan datang ke sini, jika tidak kita akan tersesat di luar angkasa! Kita juga dapat melihat bahwa semua sudut dapat tumbuh tanpa batas, jadi sebaiknya jaga masing-masing sudut dalam batas yang wajar, tambahkan atau kurangi 2π sesuai kebutuhan. Untuk pitch, tidak buruk sama sekali untuk membatasi diri kita pada -π .. , yang membutuhkan koreksi tidak hanya dari pitch itu sendiri, tetapi juga tentu saja. Hampir semua pekerjaan dengan tiga sudut sulit dilakukan - memutar vektor, membandingkan dua posisi, menyusun rotasi, dll. - di mana pun kita menemukan ekspresi dua lantai dan titik tunggal.

Sudut Euler atau Krylov (atau yang lainnya) tidak pernah digunakan dalam praktik dalam sistem kontrol sikap strapdown, tetapi secara implisit berpartisipasi dalam pengoperasian platform gyro. Faktanya, platform gyro adalah sensor yang mengembalikan orientasi perangkat di ruang angkasa segera dalam bentuk sudut, dan sebagai bonus, ini mengintegrasikan percepatan yang diproyeksikan ke sumbu tetap! Poin-poin khusus "matematika" di sini berhubungan dengan poin-poin khusus "dalam besi" - pelipatan bingkai, kecuali jika langkah-langkah khusus diambil, seperti pengenalan bingkai keempat (berlebihan), atau bahkan pengabaian bingkai mendukung bola bersarang.

Dua representasi lain dari rotasi benda tegar - melalui matriks rotasi dan melalui quaternions - bebas dari kerugian tiga sudut. Semua operasi berubah menjadi linier, tidak ada titik tunggal. Bersambung...

Sudut Euler-Krylov

Tiga sudut Euler-Krylov dan dihitung berlawanan arah jarum jam memungkinkan untuk secara unik mengatur posisi sudut benda tegar di ruang angkasa. Gambar tersebut menunjukkan salah satu jenis sudut Krylov - yang disebut sudut pesawat yang digunakan dalam penerbangan.

Sudut Euler-Krylov

Kerangka acuan tetap, di mana posisi sudut benda tegar (pesawat) dipertimbangkan, dibentuk oleh tiga vektor kanan. Sumbu diarahkan sepanjang vertikal lokal dari pusat Bumi, sumbu terletak di bidang cakrawala dan diarahkan ke utara geografis (N, Utara), dan sumbu melengkapi sistem koordinat ke kanan. Dengan objek bergerak - misalnya, pesawat terbang (LA), - sistem koordinat bergerak terhubung secara kaku. Sumbunya diarahkan sepanjang sumbu konstruksi (membujur) pesawat, sumbunya sepanjang garis normal ke arah zenit, dan sumbunya sepanjang sumbu melintang ke arah sisi kanan pesawat. Posisi sudut (orientasi) pesawat dalam sistem koordinat diberikan oleh course (), pitch () dan roll (). Kehadiran tanda minus di depan sudut pesawat disebabkan oleh fakta bahwa nilai positifnya, berbeda dengan sudut Euler-Krylov klasik, dihitung searah jarum jam. Posisi akhir pesawat ditentukan oleh urutan belokan

Pameran sinyal akselerometer MEMS

Prosedur untuk menentukan koordinat sudut awal disebut eksibisi. Untuk pitch and roll menggunakan akselerometer MEMS tiga sumbu yang menghasilkan percepatan, dan sepanjang sumbu X, Y dan Z dari sistem koordinat bergerak OXYZ terkait, sudut yang sesuai dapat ditemukan dari proyeksi vektor percepatan gravitasi g=9,81 m /s2 pada masing-masing sumbu, menggunakan peralatan matematika dari matriks rotasi (3.1)

mewakili nilai dari masing-masing output akselerometer triaksial.

Mari kita nyatakan dari (3.2) vektor percepatan gravitasi, di mana kita mengalikan kedua sisi persamaan di sebelah kiri dengan matriks:

Dari dua persamaan pertama sistem (3.4) kita peroleh

Kalibrasi Akselerometer MEMS

Kesalahan dalam menentukan koordinat sudut suatu objek dari sinyal akselerometer MEMS tiga sumbu sangat tergantung pada keakuratan penentuan faktor koreksi yang dihitung selama kalibrasi.

Kesalahan pembacaan akselerometer triaksial (TOA) disebabkan oleh tiga faktor:

Kehadiran bias konstan;

"kebocoran" sinyal dari satu saluran ke saluran lain, yang disebabkan oleh non-kolinearitas tiga kali lipat vektor yang membentuk dua sistem koordinat: terkait dengan meja putar kalibrasi OXYZ dan terkait dengan TOA (3.4);

Suara berkedip sendiri.

Non-kolinearitas sumbu sistem koordinat objek dan sistem koordinat akselerometer

Dari sini dapat disimpulkan bahwa model matematika dari sinyal akselerometer MEMS tiga sumbu akan terlihat seperti ini:

di mana adalah vektor pembacaan akselerometer, adalah matriks diagonal dari faktor penskalaan, adalah matriks koreksi, adalah proyeksi vektor percepatan gravitasi pada sumbu triple kanan vektor dari sistem koordinat yang terkait dengan akselerometer, adalah vektor perpindahan konstan, adalah vektor kebisingan intrinsik TOA.

Tanpa memperhitungkan noise, sistem persamaan (3.6), setelah melakukan operasi perkalian matriks dan vektor, dapat ditulis sebagai:

Dari (3.7) berikut bahwa untuk menemukan parameter kalibrasi untuk salah satu sumbu, jumlah pengukuran diperlukan sama dengan jumlah parameter yang tidak diketahui dari sumbu ini: untuk sumbu Z - 2, untuk sumbu Y - 3 , untuk sumbu X - 4.

Kalibrasi akselerometer MEMS tiga sumbu melibatkan pengaturan sensor ke posisi apriori yang diketahui dan penyelesaian sistem persamaan yang terlalu ditentukan untuk sinyal keluarannya. Saat melakukan prosedur ini, biasanya mengatur akselerometer ke 12 posisi tetap

12 posisi kalibrasi MEMS accelerometer

B menunjukkan bahwa untuk mengurangi kesalahan estimasi, seseorang harus merata-ratakan koefisien kalibrasi yang ditemukan dari jumlah kombinasi. Namun, untuk mengurangi waktu kalibrasi, hanya enam yang disebut posisi ortogonal yang dapat digunakan: 2), 4), 6), 7), 8) dan 11); dalam hal ini, penurunan jumlah kombinasi menyebabkan peningkatan kesalahan dalam mengukur elemen matriks faktor skala k dan elemen vektor perpindahan b masing-masing tidak lebih dari 0,21% dan 0,02%. Perlu dicatat bahwa kesalahan dalam mengukur elemen matriks koreksi T dapat meningkat hingga ratusan persen, tetapi karena elemen di luar diagonal T biasanya tidak melebihi, pada sudut roll dan pitch kecil (tidak lebih dari 30°), kesalahan pengukuran sudut-sudut ini meningkat tidak lebih dari 0,5 °.

Sudut Euler menggambarkan rotasi suatu benda dalam ruang Euclidean tiga dimensi. Dalam hal ini, dua sistem koordinat persegi panjang dianggap memiliki pusat yang sama: sistem tetap dan sistem bergerak yang terkait dengan objek. Pada Gbr.1, sistem koordinat tetap ditunjuk XYZ (miring), dan sistem koordinat bergerak ditunjuk xyz. Sudut Euler adalah sudut di mana sistem koordinat bergerak yang terkait dengan objek diputar sebelum disejajarkan dengan sistem tetap. Dalam versi klasik, rotasi pertama terjadi melalui sudut di sekitar sumbu z yang terkait dengan objek, hingga sumbu x yang terkait dengan objek bertepatan dengan bidang XY dari sistem tetap. Kebetulan seperti itu akan terjadi di sepanjang garis perpotongan bidang XY dan xy (garis N pada Gambar 1). Rotasi berikutnya dilakukan oleh sudut di sekitar posisi baru sumbu x yang terkait dengan objek, hingga sumbu aplikasi dari kedua sistem persegi panjang bertepatan. Dalam hal ini, sumbu y yang terkait dengan objek akan berada di bidang xy dari sistem koordinat XYZ tetap. Rotasi terakhir dilakukan oleh sudut di sekitar posisi baru dari sumbu aplikasi dari sistem koordinat bergerak (itu akan bertepatan dengan sumbu yang sama dari sistem tetap), setelah itu sumbu koordinat XY dan xy akan bertepatan.

Beras. 1. Sudut Euler

Rotasi tersebut tidak komutatif, dan posisi akhir dari sistem koordinat bergerak tergantung pada urutan rotasi yang dilakukan.

Jika koordinat vektor R(r x , r y , r z) dalam sistem koordinat bergerak XYZ diketahui dan sudut Euler (α, , ) sistem koordinat bergerak xyz relatif terhadap yang tetap diketahui, maka mungkin untuk menghitung koordinat vektor ini dalam sistem koordinat tetap xyz. Untuk melakukannya, buat matriks dari tiga rotasi berturut-turut melalui sudut , , dan :

Mengalikan matriks ini dalam urutan terbalik, kita mendapatkan matriks ortogonal akhir:

T= T 3 ×T2×T1,

yang mengubah koordinat vektor R(r x , r y , r z) dari sistem koordinat bergerak menjadi koordinat vektor N(n x , n y , n z) dengan panjang yang sama dalam sistem koordinat tetap:

N=T×R,

di mana N dan R adalah matriks kolom dari koordinat yang sesuai.

Sudut Euler adalah yang paling alami dan dapat dimengerti saat melakukan berbagai operasi rotasi objek karena sesuai dengan rotasi objek yang terlihat di area pandang sistem grafis 3D. Namun, penggunaannya dalam sistem animasi komputer menghadapi sejumlah kesulitan. Pertama-tama, itu adalah kebutuhan untuk memilih urutan rotasi tertentu dari objek relatif terhadap sumbu sistem koordinat. Jika Anda memutar objek terlebih dahulu di sekitar sumbu X, lalu di sekitar sumbu Y, dan terakhir di sekitar sumbu Z, maka rotasinya tidak akan sama sama sekali jika Anda memutar objek ini melalui sudut yang sama, tetapi dalam urutan yang berbeda.

Mari kita pertimbangkan contoh lain - membuat animasi kubus ketika diputar di sekitar sumbu Z sistem koordinat dunia dengan sudut melebihi 360°, misalnya, dengan sudut 450°. Mari kita coba membuat dua bingkai utama, di antaranya kubus harus diputar dengan sudut ini. Untuk melakukannya, buat kotak standar di program MaxScript:

b = kotak()

Setelah itu pindahkan slider timeline animasi ke frame 10, nyalakan mode Auto Key, lalu jalankan perintah:

b.rotasi.z_rotasi = 450

Mainkan animasinya. Benda hanya akan berotasi 90° karena rotasi 360° akan diabaikan. Sekarang lakukan hal yang sama di jendela program 3ds Max. Animasi objek antara dua bingkai utama akan terjadi pada sudut 450 °. Jadi, penggunaan rotasi Euler dalam program grafik komputer yang mirip dengan MaxScript dibatasi untuk rotasi simultan melalui sudut yang tidak melebihi 360°. Namun, ini tidak mencegah Anda membuat animasi secara manual di belakang layar tampilan.

Masalah lain dengan sudut Euler adalah kunci gimbal. Penampilannya tergantung pada pilihan urutan rotasi objek. Sebagai contoh, mari kita memutar objek terlebih dahulu di sekitar sumbu Z sebesar 140°, kemudian di sekitar sumbu X sebesar 90°, dan kemudian sebesar 130° di sekitar sumbu Y (Gbr. 2).

Beras. 2. Rotasi objek berturut-turut

Jika sekarang kita melakukan urutan rotasi yang sama lagi, misalnya, 10° di sekitar sumbu Z, kemudian 90° di sekitar sumbu X, dan kemudian 0° di sekitar sumbu Y, kita mendapatkan hasil yang sama. Masalahnya adalah ketika rotasi di sekitar sumbu X menjadi 90° atau -90 °, maka sumbu rotasi lokal Y menjadi sejajar dengan sumbu Z tetapi berlawanan arah, dan oleh karena itu rotasi di sekitarnya bertentangan dengan rotasi sebelumnya. sumbu Z.

Kunci engsel tidak ada pada matriks dan angka empat. Quaternions memberikan notasi matematika yang nyaman untuk posisi dan rotasi objek di ruang angkasa. Dibandingkan dengan sudut Euler, quaternions memudahkan untuk menggabungkan rotasi, serta menghindari masalah tidak dapat berputar di sekitar sumbu, terlepas dari rotasi di sumbu lain. Dibandingkan dengan matriks, mereka memiliki stabilitas komputasi yang lebih besar dan dapat lebih efisien. Quaternion digunakan untuk melakukan rotasi dalam grafik komputer, robotika, mesin game, navigasi, dinamika molekul, dan umumnya di mana saja ada masalah dengan sudut atau matriks Euler.

literatur

1. Sudut Euler dan kunci Gimbal [Sumber daya elektronik] / http://habrahabr.ru - Habrahabr, 2006. - Mode akses: http://habrahabr.ru/post/183116/. – Tanggal akses: 10.10.2013.
2. Quaternions dan rotasi ruang [Sumber daya elektronik] / http://ru.wikipedia.org/ - Wikipedia - ensiklopedia gratis, 2001. - Mode akses: http://ru.wikipedia.org/wiki/ Quaternions_and_rotation_of_space. – Tanggal akses: 10/11/2013.