Penggunaan persamaan tersebar luas dalam kehidupan kita. Mereka digunakan dalam banyak perhitungan, konstruksi struktur dan bahkan olahraga. Persamaan telah digunakan oleh manusia sejak zaman kuno dan sejak itu penggunaannya semakin meningkat. Agar lebih jelas, mari kita selesaikan masalah berikut:
Hitung \[ (z_1\cdot z_2)^(10),\] jika \
Pertama-tama, mari kita perhatikan fakta bahwa satu angka direpresentasikan dalam bentuk aljabar, yang lain - dalam bentuk trigonometri. Itu perlu disederhanakan dan dibawa ke bentuk berikut:
\[ z_2 = \frac(1)(4) (\cos\frac(\pi)(6)+i\sin\frac(\pi)(6)).\]
Ungkapan \ mengatakan bahwa, pertama-tama, kita melakukan perkalian dan peningkatan ke pangkat 10 menurut rumus Moivre. Rumus ini diformulasikan untuk bentuk trigonometri bilangan kompleks. Kita mendapatkan:
\[\begin(vmatrix) z_1 \end(vmatrix)=\sqrt ((-1)^2+(\sqrt 3)^2)=\sqrt 4=2\]
\[\varphi_1=\pi+\arctan\frac(\sqrt 3)(-1)=\pi\arctan\sqrt 3=\pi-\frac(\pi)(3)=\frac(2\pi)( 3)\]
Mengikuti aturan untuk mengalikan bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kita akan melakukan hal berikut:
Dalam kasus kami:
\[(z_1+z_2)^(10)=(\frac(1)(2))^(10)\cdot(\cos (10\cdot\frac(5\pi)(6))+i\sin \cdot\frac(5\pi)(6)))=\frac(1)(2^(10))\cdot\cos \frac(25\pi)(3)+i\sin\frac(25\ pi)(3).\]
Membuat pecahan \[\frac(25)(3)=8\frac(1)(3)\] benar, kami menyimpulkan bahwa adalah mungkin untuk "memutar" 4 putaran \[(8\pi rad.):\ ]
\[ (z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi)(3 ))\]
Jawaban: \[(z_1+z_2)^(10)=\frac(1)(2^(10))\cdot(\cos \frac(\pi)(3)+i\sin\frac(\pi) (3))\]
Persamaan ini dapat diselesaikan dengan cara lain, yang bermuara pada membawa angka ke-2 ke dalam bentuk aljabar, kemudian melakukan perkalian dalam bentuk aljabar, menerjemahkan hasilnya ke dalam bentuk trigonometri dan menerapkan rumus Moivre:
Di mana saya dapat menyelesaikan sistem persamaan dengan bilangan kompleks secara online?
Anda dapat memecahkan sistem persamaan di situs web kami https: // situs. Pemecah online gratis akan memungkinkan Anda untuk menyelesaikan persamaan online dengan kerumitan apa pun dalam hitungan detik. Yang harus Anda lakukan hanyalah memasukkan data Anda ke dalam solver. Anda juga dapat menonton instruksi video dan mempelajari cara menyelesaikan persamaan di situs web kami. Dan jika Anda memiliki pertanyaan, Anda dapat menanyakannya di grup Vkontakte kami http://vk.com/pocketteacher. Bergabunglah dengan grup kami, kami selalu senang membantu Anda.
BADAN FEDERAL UNTUK PENDIDIKAN
LEMBAGA PENDIDIKAN NEGARA
PENDIDIKAN PROFESIONAL TINGGI
"UNVERSITAS PEDAGOGIS NEGARA VORONEZH"
KETUA AGLEBRA DAN GEOMETRI
Bilangan kompleks
(tugas yang dipilih)
KERJA KUALIFIKASI AKHIR
khusus 050201.65 matematika
(dengan tambahan khusus 050202.65 informatika)
Diselesaikan oleh: siswa tahun ke-5
fisika dan matematika
fakultas
Pengawas:
VORONEZH - 2008
1. Perkenalan……………………………………………………...…………..…
2. Bilangan kompleks (masalah yang dipilih)
2.1. Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar …………………..….
2.2. Interpretasi geometris bilangan kompleks…………..…
2.3. Bentuk trigonometri bilangan kompleks
2.4. Penerapan teori bilangan kompleks pada penyelesaian persamaan derajat ke-3 dan ke-4……………..…………………………………………………………
2.5. Bilangan kompleks dan parameter………………………………………………….
3. Kesimpulan………………………………………………………………..
4. Daftar referensi………………………………………………………………………
1. Perkenalan
Dalam program matematika kursus sekolah, teori bilangan diperkenalkan dengan menggunakan contoh himpunan bilangan asli, bilangan bulat, rasional, irasional, yaitu. pada himpunan bilangan real yang bayangannya memenuhi seluruh garis bilangan. Tetapi sudah di kelas 8 stok bilangan real tidak cukup, menyelesaikan persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif. Oleh karena itu, perlu untuk mengisi kembali stok bilangan real dengan bilangan kompleks, yang masuk akal untuk akar kuadrat dari bilangan negatif.
Pemilihan topik "Bilangan Kompleks", sebagai topik tugas akhir kualifikasi saya, adalah bahwa konsep bilangan kompleks memperluas pengetahuan siswa tentang sistem bilangan, tentang memecahkan berbagai kelas masalah baik konten aljabar dan geometris, tentang memecahkan persamaan aljabar dari setiap derajat dan tentang memecahkan masalah dengan parameter.
Dalam karya tesis ini, solusi dari 82 masalah dipertimbangkan.
Bagian pertama dari bagian utama "Bilangan Kompleks" memberikan solusi untuk masalah dengan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, mendefinisikan operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian, konjugasi untuk bilangan kompleks dalam bentuk aljabar, derajat unit imajiner, modulus bilangan kompleks, dan juga menetapkan aturan ekstraksi akar kuadrat dari bilangan kompleks.
Pada bagian kedua, masalah diselesaikan untuk interpretasi geometris bilangan kompleks dalam bentuk titik atau vektor bidang kompleks.
Bagian ketiga berkaitan dengan operasi pada bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri. Rumus yang digunakan: De Moivre dan ekstraksi akar dari bilangan kompleks.
Bagian keempat dikhususkan untuk menyelesaikan persamaan derajat ke-3 dan ke-4.
Saat memecahkan masalah bagian terakhir "Bilangan dan Parameter Kompleks", informasi yang diberikan di bagian sebelumnya digunakan dan dikonsolidasikan. Serangkaian masalah dalam bab ini dikhususkan untuk penentuan keluarga garis pada bidang kompleks yang diberikan oleh persamaan (pertidaksamaan) dengan parameter. Di bagian latihan, Anda perlu menyelesaikan persamaan dengan parameter (di atas bidang C). Ada tugas di mana variabel kompleks secara bersamaan memenuhi sejumlah kondisi. Fitur pemecahan masalah bagian ini adalah pengurangan banyak dari mereka ke solusi persamaan (pertidaksamaan, sistem) tingkat kedua, irasional, trigonometri dengan parameter.
Keistimewaan penyajian materi setiap bagian adalah pengenalan awal landasan teori, dan selanjutnya penerapan praktisnya dalam pemecahan masalah.
Di akhir tesis adalah daftar literatur yang digunakan. Di sebagian besar dari mereka, materi teoretis disajikan dengan cukup rinci dan dengan cara yang dapat diakses, solusi untuk beberapa masalah dipertimbangkan dan tugas-tugas praktis diberikan untuk solusi independen. Saya ingin memberi perhatian khusus pada sumber-sumber seperti:
1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. Bilangan kompleks dan aplikasinya: Buku teks. . Materi manual disajikan dalam bentuk ceramah dan latihan praktik.
2. Shklyarsky D.O., Chentsov N.N., Yaglom I.M. Masalah dan teorema matematika dasar yang dipilih. Aritmatika dan Aljabar. Buku tersebut berisi 320 soal yang berkaitan dengan aljabar, aritmatika dan teori bilangan. Secara alami, tugas-tugas ini berbeda secara signifikan dari tugas-tugas sekolah standar.
2. Bilangan kompleks (masalah yang dipilih)
2.1. Bilangan kompleks dalam bentuk aljabar
Penyelesaian banyak masalah dalam matematika dan fisika direduksi menjadi penyelesaian persamaan aljabar, mis. persamaan bentuk
,dimana a0 , a1 , …, an adalah bilangan real. Oleh karena itu, studi tentang persamaan aljabar adalah salah satu pertanyaan terpenting dalam matematika. Misalnya, persamaan kuadrat dengan diskriminan negatif tidak memiliki akar real. Persamaan yang paling sederhana adalah persamaan
.Agar persamaan ini memiliki solusi, perlu untuk memperluas himpunan bilangan real dengan menambahkan akar persamaan ke dalamnya
.Mari kita nyatakan akar ini sebagai
. Jadi, menurut definisi, , atau ,karena itu,
. disebut satuan imajiner. Dengan bantuannya dan dengan bantuan sepasang bilangan real, ekspresi bentuk terbentuk.Ekspresi yang dihasilkan disebut bilangan kompleks karena mengandung bagian real dan imajiner.
Jadi, bilangan kompleks disebut ekspresi dari bentuk
, dan merupakan bilangan real, dan merupakan beberapa simbol yang memenuhi kondisi . Bilangan disebut bagian real dari bilangan kompleks, dan bilangan disebut bagian imajinernya. Simbol , digunakan untuk menunjuk mereka.Bilangan kompleks dari bentuk
adalah bilangan real dan, oleh karena itu, himpunan bilangan kompleks berisi himpunan bilangan real. Bilangan kompleks dari bentuk
disebut imajiner murni. Dua bilangan kompleks berbentuk dan disebut sama jika bagian real dan imajinernya sama, mis. jika persamaan , .Notasi aljabar bilangan kompleks memungkinkan untuk melakukan operasi pada mereka sesuai dengan aturan aljabar yang biasa.
Untuk memecahkan masalah dengan bilangan kompleks, Anda perlu memahami definisi dasar. Tujuan utama dari artikel ulasan ini adalah untuk menjelaskan apa itu bilangan kompleks dan menyajikan metode untuk menyelesaikan masalah dasar dengan bilangan kompleks. Jadi, bilangan kompleks adalah bilangan dengan bentuk z = a + bi, di mana a, b- bilangan real, yang masing-masing disebut bagian real dan imajiner dari bilangan kompleks, dan dilambangkan a = Re(z), b=Im(z).
saya disebut satuan imajiner. saya 2 \u003d -1. Secara khusus, bilangan real apa pun dapat dianggap kompleks: a = a + 0i, di mana a adalah nyata. Jika a = 0 dan b 0, maka bilangan tersebut disebut imajiner murni.
Kami sekarang memperkenalkan operasi pada bilangan kompleks.
Pertimbangkan dua bilangan kompleks z 1 = a 1 + b 1 i dan z 2 = a 2 + b 2 i.
Mempertimbangkan z = a + bi.
Himpunan bilangan kompleks memperluas himpunan bilangan real, yang pada gilirannya memperluas himpunan bilangan rasional, dan seterusnya. Rantai penyematan ini dapat dilihat pada gambar: N - bilangan asli, Z - bilangan bulat, Q - rasional, R - nyata, C - kompleks. 
Representasi bilangan kompleks
Notasi aljabar.
Pertimbangkan bilangan kompleks z = a + bi, bentuk penulisan bilangan kompleks ini disebut aljabar. Kami telah membahas bentuk penulisan ini secara rinci di bagian sebelumnya. Cukup sering menggunakan gambar ilustrasi berikut: 
bentuk trigonometri.
Dari gambar tersebut dapat diketahui bahwa bilangan z = a + bi dapat ditulis berbeda. Jelas bahwa a = rcos(φ), b = rsin(φ), r=|z|, karena itu z = rcos(φ) + rsin(φ)i, φ ∈ (-π; π)
disebut argumen bilangan kompleks. Representasi bilangan kompleks ini disebut bentuk trigonometri. Bentuk notasi trigonometri terkadang sangat nyaman. Misalnya, akan lebih mudah untuk menggunakannya untuk menaikkan bilangan kompleks ke pangkat bilangan bulat, yaitu, jika z = rcos(φ) + rsin(φ)i, kemudian z n = r n cos(nφ) + r n sin(nφ)i, rumus ini disebut rumus De Moivre.
Bentuk demonstratif.
Mempertimbangkan z = rcos(φ) + rsin(φ)i adalah bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri, kami menulisnya dalam bentuk yang berbeda z = r(cos(φ) + sin(φ)i) = re iφ, persamaan terakhir mengikuti dari rumus Euler, jadi kita mendapatkan bentuk baru penulisan bilangan kompleks: z = re iφ, yang disebut demonstratif. Bentuk notasi ini juga sangat nyaman untuk menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat: z n = r n e inφ, di sini n belum tentu bilangan bulat, tetapi dapat berupa bilangan real arbitrer. Bentuk tulisan ini cukup sering digunakan untuk memecahkan masalah.
Teorema dasar aljabar tinggi
Bayangkan bahwa kita memiliki persamaan kuadrat x 2 + x + 1 = 0 . Jelas bahwa diskriminan persamaan ini negatif dan tidak memiliki akar real, tetapi ternyata persamaan ini memiliki dua akar kompleks yang berbeda. Jadi, teorema utama aljabar tinggi menyatakan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki setidaknya satu akar kompleks. Dari sini dapat disimpulkan bahwa setiap polinomial berderajat n memiliki tepat n akar kompleks, dengan mempertimbangkan multiplisitasnya. Teorema ini merupakan hasil yang sangat penting dalam matematika dan diterapkan secara luas. Akibat wajar sederhana dari teorema ini adalah bahwa terdapat tepat n akar derajat n yang berbeda.
Jenis tugas utama
Pada bagian ini, jenis utama dari masalah bilangan kompleks sederhana akan dipertimbangkan. Secara konvensional, masalah pada bilangan kompleks dapat dibagi ke dalam kategori berikut.
- Melakukan operasi aritmatika sederhana pada bilangan kompleks.
- Menemukan akar polinomial dalam bilangan kompleks.
- Menaikkan bilangan kompleks menjadi pangkat.
- Ekstraksi akar dari bilangan kompleks.
- Penerapan bilangan kompleks untuk memecahkan masalah lain.
Sekarang pertimbangkan metode umum untuk memecahkan masalah ini.
Operasi aritmatika paling sederhana dengan bilangan kompleks dilakukan sesuai dengan aturan yang dijelaskan di bagian pertama, tetapi jika bilangan kompleks disajikan dalam bentuk trigonometri atau eksponensial, maka dalam hal ini mereka dapat diubah menjadi bentuk aljabar dan melakukan operasi sesuai dengan aturan yang diketahui.
Menemukan akar polinomial biasanya bermuara pada menemukan akar persamaan kuadrat. Misalkan kita memiliki persamaan kuadrat, jika diskriminannya adalah non-negatif, maka akarnya akan nyata dan ditemukan sesuai dengan rumus yang terkenal. Jika diskriminannya negatif, maka D = -1∙a 2, di mana sebuah adalah bilangan tertentu, maka diskriminan dapat kita nyatakan dalam bentuk D = (ia) 2, karena itu D = i|a|, lalu Anda dapat menggunakan rumus yang sudah diketahui untuk akar persamaan kuadrat.
Contoh. Mari kita kembali ke persamaan kuadrat yang disebutkan di atas x 2 + x + 1 = 0.
Diskriminan - D \u003d 1 - 4 1 \u003d -3 \u003d -1 (√3) 2 \u003d (i√3) 2.
Sekarang kita dapat dengan mudah menemukan akarnya: 
Menaikkan bilangan kompleks ke pangkat dapat dilakukan dengan beberapa cara. Jika Anda ingin menaikkan bilangan kompleks dalam bentuk aljabar menjadi pangkat kecil (2 atau 3), maka Anda dapat melakukannya dengan perkalian langsung, tetapi jika derajatnya lebih besar (dalam soal seringkali jauh lebih besar), maka Anda perlu tulis bilangan ini dalam bentuk trigonometri atau eksponensial dan gunakan metode yang sudah diketahui.
Contoh. Pertimbangkan z = 1 + i dan naikkan ke pangkat kesepuluh.
Kami menulis z dalam bentuk eksponensial: z = 2 e iπ/4 .
Kemudian z 10 = (√2 e iπ/4) 10 = 32 e 10iπ/4.
Mari kembali ke bentuk aljabar: z 10 = -32i.
Mengekstraksi akar dari bilangan kompleks adalah operasi kebalikan dari eksponensial, sehingga dilakukan dengan cara yang sama. Untuk mengekstrak akarnya, bentuk eksponensial dari penulisan bilangan sering digunakan.
Contoh. Temukan semua akar derajat 3 persatuan. Untuk melakukan ini, kami menemukan semua akar persamaan z 3 = 1, kami akan mencari akar dalam bentuk eksponensial.
Substitusi ke persamaan: r 3 e 3iφ = 1 atau r 3 e 3iφ = e 0 .
Jadi: r = 1, 3φ = 0 + 2πk, maka = 2πk/3.
Berbagai akar diperoleh pada = 0, 2π/3, 4π/3.
Oleh karena itu 1 , e i2π/3 , e i4π/3 adalah akar-akar.
Atau dalam bentuk aljabar: 
Jenis masalah terakhir mencakup berbagai macam masalah dan tidak ada metode umum untuk menyelesaikannya. Berikut adalah contoh sederhana dari tugas semacam itu:
Temukan jumlahnya sin(x) + sin(2x) + sin(2x) + … + sin(nx).
Meskipun rumusan masalah ini tidak mengacu pada bilangan kompleks, tetapi dengan bantuan mereka dapat diselesaikan dengan mudah. Untuk menyelesaikannya, representasi berikut digunakan: 
Jika sekarang kita mengganti representasi ini ke dalam jumlah, maka masalahnya direduksi menjadi penjumlahan dari deret geometri biasa.
Kesimpulan
Bilangan kompleks banyak digunakan dalam matematika, artikel ulasan ini membahas operasi dasar pada bilangan kompleks, menjelaskan beberapa jenis masalah standar dan secara singkat menjelaskan metode umum untuk menyelesaikannya, untuk studi yang lebih rinci tentang kemungkinan bilangan kompleks, disarankan untuk menggunakan literatur khusus.
