Salah satu bidang penerapan metode 2-spinor yang paling efektif ternyata adalah studi masalah asimtotik dalam teori relativitas. Contoh penting dari masalah tersebut adalah penentuan total energi-momentum yang terkandung dalam ruang-waktu datar asimtotik dan radiasi gravitasi. Dalam hal ini, metode spinor sangat efektif dalam kombinasi dengan metode di mana "tak terhingga dibuat hingga" oleh transformasi konformal metrik. Dengan metode ini, kami mengubah metrik ruang-waktu dengan mengganti metrik fisik asli dengan metrik "non-fisik" baru yang terkait dengan

di mana fungsi positif yang cukup halus dan di mana-mana didefinisikan pada tensor metrik dan tensor terbaliknya ditransformasikan oleh rumus

Jika memiliki struktur asimtotik yang sesuai dan faktor konformal yang sesuai dipilih, maka beberapa permukaan batas 3 dapat "ditempelkan" ke [notasi ini berbunyi "tepi" - singkatan dari "skrip I"]. Permukaan ini diperkenalkan sedemikian rupa sehingga metrik "non-fisik" dapat diperluas ke titik-titik baru yang terletak di batas tanpa degenerasi dan dengan tingkat kehalusan tertentu. Fungsi J juga dapat diperluas dengan tingkat kehalusan yang sesuai, tetapi fungsi tersebut menghilang di permukaan. Ini berarti bahwa metrik fisik harus berada pada batas Y dari yang tak terbatas, dan karena itu tidak dapat diperluas ke sana. Jadi dalam hal metrik fisik, titik baru (yaitu, titik di permukaan sangat jauh dari

titik yang berdekatan dengan mereka. Dalam fisika, ini sesuai dengan "titik tak terhingga".

Melampirkan permukaan ke ruang-waktu semacam ini memberi kita lipatan halus dengan batas, yang akan kita tunjukkan dengan simbol dan

Lambang batas, adalah lambang wilayah interior manifold). Keuntungan dari pendekatan yang diusulkan adalah bahwa sekarang mungkin untuk menerapkan metode lokal yang kuat dari geometri diferensial dan aljabar spinor, yang akan memberikan informasi tentang asimtotik ruang-waktu. dalam ruang-waktu datar asimtotik, tidak perlu untuk bagian yang rumit ke batas. Dan definisi Euclidean asimtotik dalam teori relativitas umum sekarang dapat diberikan dalam bentuk "bebas-koordinat" yang sesuai. Metode konformal sangat cocok untuk teori relativitas karena alasan sederhana yang sebagian besar adalah invarian konformal: persamaan untuk medan bebas tak bermassa, tensor Weyl konformal, geodesik isotropik, hiperpermukaan isotropik, kausalitas relativistik, dan (terutama dalam kasus ruang Minkowski) teori twistor. Metode yang diusulkan mirip dengan yang digunakan dalam analisis kompleks, di mana "titik tak terhingga" ditambahkan ke bidang Argand (Bab 1, 2) untuk mendapatkan bola Riemannian, serta metode yang digunakan dalam geometri proyektif.

Deskripsi dalam bentuk koordinat eksplisit

Pertama, pertimbangkan prosedur untuk membangun infinitas konformal untuk ruang Minkowski M. Dalam hal ini, metrik fisik dalam koordinat bola memiliki bentuk

Untuk kenyamanan, kami memperkenalkan dua parameter waktu: terbelakang dan lanjutan

Kebebasan dalam memilih faktor konformal cukup besar. Namun, dalam hal ruang-waktu yang menarik bagi kami di sini (yaitu, sederhana tanpa gejala) dari pertimbangan umum [lihat. teks setelah rumus (9.7.22)], fungsi harus dipilih sehingga cenderung nol di sepanjang sinar apa pun (baik di masa lalu maupun di masa depan) sebagai kebalikan dari parameter affine dari sinar A, (yaitu, untuk ketika sepanjang sinar). Setiap hypersurface adalah kerucut cahaya masa depan, dibangun dari sinar (garis lurus isotropik), yang nilainya 0 dan juga tetap konstan. Koordinat memainkan peran parameter affine masa depan masing-masing sinar radial ini. Demikian pula, koordinat berfungsi sebagai parameter afin dari masa lalu sinar-sinar ini. Oleh karena itu, kondisi untuk dan pada sinar perlu dipenuhi untuk dan pada sinar Jika kita juga ingin fungsi mulus pada potongan-potongan ruang-waktu yang terbatas, maka pilihan itu muncul dengan sendirinya.

(faktor 2 diperkenalkan untuk memudahkan dalam hal berikut), dan kemudian

Banyak bentuk lain dari fungsi yang mungkin, tetapi yang ini, seperti yang akan segera kita lihat, sangat cocok.

Agar "titik tak terhingga" kami sesuai dengan nilai akhir koordinat, keduanya dan o harus diganti dengan parameter sedemikian rupa sehingga

Batas-batas variasi variabel dan ditunjukkan pada Gambar. 9.1, di mana setiap titik mewakili radius 2 bola. Garis vertikal sesuai dengan asal spasial dan hanya mewakili singularitas koordinat. Ruang-waktu yang sama pada baris ini (dan di mana-mana), tentu saja, tidak tunggal. Garis miring mewakili infinitas (isotropik) (masing-masing dilambangkan dengan simbol) dari ruang Minkowski (karena garis-garis ini sesuai dengan nilai-nilai Tetapi metrik (9.1.5) jelas idealnya teratur pada garis-garis ini. Kita dapat mengharapkan bahwa ruang-waktu

Beras. 9.1. Daerah ruang yang bersesuaian dengan ruang M. Berarti garis lurus, dan merupakan sumbu simetri bola.

dan metriknya tidak akan tunggal bahkan di luar wilayah ini. Garis vertikal juga merupakan singularitas koordinat dengan tipe yang persis sama dengan garis lurus. Seluruh strip vertikal dapat digunakan untuk mendefinisikan ruang-waktu yang struktur globalnya sesuai dengan produk 3 bola mirip ruang angkasa dan garis mirip waktu tak terhingga (" alam semesta statis Einstein"). Untuk memverifikasi ini, kami memilih koordinat baru

Bagian dari metrik ini yang diapit tanda kurung kurawal adalah metrik unit 3-bola.

Bagian dari ruang-waktu yang sesuai dengan ruang Minkowski asli dapat dianggap sebagai ruang tertutup antara kerucut cahaya dari titik Titik memiliki koordinat dan titik memiliki koordinat Bagian ini "membungkus" sekitar

Beras. 9.2. Luas pada silinder Einstein yang sesuai dengan ruang M.

dan menutup di sisi "belakang" pada satu titik dengan koordinat. Perhatikan bahwa pada titik a, ini berarti bahwa titik tersebut harus dianggap sebagai titik tunggal, dan bukan 2 bola. Situasi yang dipertimbangkan ditunjukkan pada Gambar. 9.2, di mana dua dimensi dijatuhkan. Ruang dua-Minkowski sesuai dengan interior alun-alun (digambarkan miring pada 45°). Kotak ini membungkus sebuah silinder, yang merupakan versi dua dimensi dari alam semesta statis Einstein. Akuntansi untuk pengukuran yang hilang tidak mengubah apa pun secara signifikan. Di dekat titik, wilayah yang diinginkan terletak di dalam kerucut cahaya masa depan yang terkait dengan titik. Kerucut cahaya ini (yaitu, titik yang "disapu" oleh sinar yang pergi dari titik ke masa depan) difokuskan di sisi belakang dari alam semesta Einstein pada satu titik (yang dalam ruang dalam hubungan diametris berlawanan dengan titik Dekat titik yang menarik; kami area (ruang Minkowski) meluas ke arah seperti ruang dari kerucut cahaya Masa Depan untuk titik lagi berfokus pada satu titik posisi spasial

Pertama-tama, kita perhatikan bahwa bidang proyektif, tidak seperti bidang Euclidean, tidak memiliki perpanjangan tak terhingga. Mari kita cari tahu apa perbedaan di antara mereka, dan di sisi lain, bagaimana mereka terkait? Untuk melakukan ini, mari kita perjelas posisi bidang Euclidean mana yang digunakan dalam geometri proyektif. Geometri proyektif didasarkan pada sistem aksiomanya sendiri. Dan meskipun konstruksi logis pada landasan aksiomatik adalah ilustrasi yang bagus dari metode matematika, namun, dipisahkan dari geometri Euclidean, presentasi geometri proyektif seperti itu terlalu abstrak. Oleh karena itu, untuk konkrit dan kejelasan yang lebih besar, disarankan untuk melanjutkan dari model bidang Euclidean.

Diketahui bahwa garis lurus pada bidang Euclidean berlanjut di kedua arah tanpa batas dan bahwa antara titik-titik garis lurus dan semua bilangan real seseorang dapat membentuk korespondensi satu-satu, di mana urutan alami titik-titik pada bidang garis lurus sesuai dengan urutan angka dalam besarnya.

Sekarang mari kita melengkapi garis lurus "ke kiri dan ke kanan" dengan titik kondisional yang sama, yang akan kita sebut titik tak terhingga.

Jelas bahwa keraguan muncul - apakah mungkin untuk berbicara tentang realitas poin yang tidak ada? Namun, dalam teori modern ini sering terjadi. Jadi, misalnya, meskipun tidak ada bilangan yang sangat besar di antara bilangan real, dalam analisis matematis, kebenaran simbol tidak digunakan sebagai bilangan, tetapi untuk menunjukkan pertumbuhan yang tidak terbatas. (Dalam pengertian yang sama, simbol digunakan dalam kaitannya dengan fungsi trigonometri.) Setelah menambahkan titik yang jauh tak terhingga ke garis lurus biasa, garis lurus "selesai" menjadi tertutup. Sekarang mari kita tambahkan ke: setiap garis biasa di sepanjang titik tak hingga, dan kami setuju bahwa ketika garis sejajar, maka titik-titik yang ditambahkan padanya bertepatan, ketika garis tidak sejajar, maka titik mereka di tak terhingga berbeda.

Dua garis yang berpotongan di bidang Euclidean berpotongan di satu titik biasa, dan titik-titik di tak hingga dari garis-garis ini tidak berhimpitan. Oleh karena itu, dalam geometri baru ini tidak ada garis sejajar, setiap dua garis harus

berpotongan di satu titik. Sebuah keluarga garis sejajar satu sama lain dalam geometri biasa memiliki satu titik yang sama di tak terhingga, sedangkan garis dalam arah yang berlawanan memiliki titik yang berbeda di tak terhingga. Dalam hal ini, ada banyak titik tak terhingga.

Himpunan titik-titik ini di tak hingga, sekali lagi menurut definisi, merupakan satu yang disebut garis di tak terhingga

Jadi kita memperoleh geometri di mana satu garis di tak terhingga ditambahkan ke bidang Euclidean.

Pada intinya, geometri ini belum jauh berbeda dengan geometri Euclidean. Alih-alih pernyataan tentang paralelisme dua garis, pernyataan tentang persimpangan mereka pada titik yang jauh tak terhingga diperkenalkan.

Aksioma dasar yang diterima dalam geometri proyektif menyatakan bahwa dua titik menentukan satu garis (jika kedua titik berada di tak hingga, maka mereka mendefinisikan sebuah garis di tak hingga dan bahwa dua garis selalu berpotongan pada satu titik. Dan meskipun ketentuan kedua aksioma ini sangat penting , tapi selama kita mengalokasikan

beberapa titik menjadi satu garis di tak terhingga, kami praktis tidak mengubah esensi geometri Euclidean dan tidak memperkenalkan sesuatu yang baru ke dalam geometri.

- (Bahasa Inggris titik berkumpul) salah satu konsep dasar yang digunakan oleh pemikir esoteris dan mistik Carlos Castaneda dalam buku-bukunya. Salah satu fitur paling dramatis dari sifat manusia adalah hubungan yang buruk antara ... Wikipedia

Grafik suatu fungsi, yang limitnya, ketika argumennya cenderung tak hingga, sama dengan L. Limit suatu fungsi adalah salah satu konsep dasar analisis matematika. Fungsi f(x) mempunyai limit A pada titik x0 jika untuk semua nilai x cukup mendekati x0, ... ... Wikipedia

Poin di sini. Lihat juga titik singular (persamaan diferensial). Fitur atau singularitas dalam matematika adalah titik di mana objek matematika (biasanya fungsi) tidak didefinisikan atau memiliki perilaku yang tidak teratur (misalnya, titik di mana ... ... Wikipedia

Poin poin khusus di sini. Lihat juga titik singular (persamaan diferensial). Fitur atau singularitas dalam matematika adalah titik di mana objek matematika (biasanya fungsi) tidak didefinisikan atau memiliki perilaku yang tidak teratur (misalnya, ... ... Wikipedia

- Istilah tak terhingga sesuai dengan beberapa konsep yang berbeda, tergantung pada bidang penerapannya, apakah itu matematika, fisika, filsafat, teologi, atau kehidupan sehari-hari. Finitisme menyangkal konsep Infinity. Tak terbatas dalam mayoritas ... ... Wikipedia

Suhu (sekitar 2,17 K) di bawah mana helium cair (helium I) masuk ke keadaan superfluiditas (helium II). Lebih tepatnya, ada titik lambda bawah (pada 2,172 K dan 0,0497 atm) dan titik lambda atas (pada 1,76 K dan 29,8 atm). ... ... Wikipedia

1) Titik keteraturan kuantum seperti itu adalah titik pada bidang kompleks di mana fungsi f(z) teratur, dan turunannya f(z) memiliki orde nol m, di mana m adalah bilangan asli. Dengan kata lain, K. t. ditentukan oleh kondisi: K. t. jauh tak terhingga ... ... Ensiklopedia Matematika

Fungsi analitik adalah titik di mana kondisi analitik dilanggar. Jika fungsi analitik f(z) didefinisikan di beberapa lingkungan dari titik z0 di mana-mana ... Ensiklopedia Fisik

Dalam teori persamaan diferensial dengan waktu kompleks, suatu titik disebut titik tunggal Fuchsian dari persamaan diferensial linier jika matriks sistem A(t) memiliki kutub orde satu di dalamnya. Ini adalah fitur yang paling sederhana ... ... Wikipedia

Titik pelana tidak tepat, tipe lokasi lintasan dinamis. sistem. Mereka mengatakan itu dinamis. sistem ft (atau, dengan kata lain, f (, p), lihat ) diberikan pada, memiliki S. di b., jika ada titik dan angka sedemikian rupa sehingga barisan tersebut konvergen, dan ... Ensiklopedia Matematika

Tugas Apollonius adalah membuat lingkaran yang bersinggungan dengan tiga lingkaran tertentu menggunakan kompas dan penggaris. Menurut legenda, masalah itu dirumuskan oleh Apollonius dari Perga sekitar 220 SM. e. dalam buku "Sentuh", yang hilang ... Wikipedia

Buku

• , David Deutsch. Kutipan "... Kemajuan tidak harus memiliki akhir, tetapi selalu memiliki titik awal - alasan dimulainya, peristiwa yang berkontribusi padanya, atau yang diperlukan ...
• Awal tak terhingga. Penjelasan yang Mengubah Dunia, David Deutsch. Kutipan `... Kemajuan tidak harus memiliki akhir, tetapi selalu memiliki titik awal - alasan dimulainya, peristiwa yang berkontribusi padanya, atau ...

Jika beberapa barisan konvergen ke bilangan berhingga a , maka kita tulis
.
Sebelumnya, kami memperkenalkan urutan besar tak terhingga ke dalam pertimbangan. Kami menerima bahwa mereka konvergen dan dilambangkan batas mereka dengan simbol dan . Simbol-simbol ini mewakili titik tak terhingga. Mereka bukan milik himpunan bilangan real. Tetapi konsep batas memungkinkan seseorang untuk memperkenalkan titik-titik tersebut dan menyediakan alat untuk mempelajari sifat-sifatnya dengan bantuan bilangan real.

Definisi
titik tak terhingga, atau ketakterhinggaan tak bertanda, adalah batas ke arah mana barisan besar tak terhingga cenderung.
titik tak terhingga ditambah tak terhingga, adalah batas ke arah mana barisan besar tak berhingga dengan suku-suku positif cenderung.
titik tak terhingga dikurangi tak terhingga, adalah batas ke arah mana barisan tak hingga besar dengan suku negatif cenderung.

Untuk setiap bilangan real a, pertidaksamaan berikut berlaku:
;
.

Menggunakan bilangan real, kami memperkenalkan konsep lingkungan suatu titik di tak terhingga.
Tetangga suatu titik adalah himpunan .
Akhirnya, lingkungan dari titik tersebut adalah himpunan .
Di sini M adalah bilangan real besar yang berubah-ubah.

Jadi, kami telah memperluas himpunan bilangan real dengan memasukkan elemen baru ke dalamnya. Dalam hal ini, definisi berikut berlaku:

Garis bilangan diperpanjang atau himpunan bilangan real yang diperluas disebut himpunan bilangan real, dilengkapi dengan elemen dan :
.

Pertama, kita tuliskan properti yang poin dan miliki. Selanjutnya, kami mempertimbangkan pertanyaan tentang definisi operasi matematika yang ketat untuk titik-titik ini dan bukti sifat-sifat ini.

Sifat-sifat titik di tak terhingga

Jumlah dan Selisih.
; ;
; ;

Bekerja dan pribadi.
; ; ;
;
;
; ; .

Koneksi dengan bilangan real.
Biarkan a menjadi bilangan real arbitrer. Kemudian
; ;
; ; ; .
Biarkan > 0 . Kemudian
; ; .
Biarkan < 0 . Kemudian
; .

Operasi Tidak Terdefinisi.
; ; ; ;
; ; ;
; ;
.

Bukti untuk sifat-sifat titik di tak terhingga

Definisi operasi matematika

Kami telah memberikan definisi untuk titik di tak terhingga. Sekarang kita harus mendefinisikan operasi matematika untuk mereka. Karena kita telah mendefinisikan titik-titik ini dalam barisan, operasi pada titik-titik ini juga harus didefinisikan dalam barisan.

Jadi, jumlah dua poin
c = a + b
yang termasuk dalam himpunan bilangan real yang diperluas,
,
kami akan memanggil batasnya
,
di mana dan adalah barisan arbitrer yang memiliki limit
dan .

Operasi pengurangan, perkalian, dan pembagian didefinisikan dengan cara yang sama. Hanya saja, dalam hal pembagian, unsur-unsur penyebut pecahan tidak boleh sama dengan nol.
Maka selisih dua titik :
adalah batasnya: .
Produk titik:
adalah batasnya: .
Pribadi:
adalah batasnya: .
Di sini dan adalah barisan arbitrer yang limitnya masing-masing adalah a dan b . Dalam kasus terakhir, .

Bukti Properti

Untuk membuktikan sifat-sifat titik di tak hingga, kita perlu menggunakan sifat-sifat barisan tak hingga.

Pertimbangkan properti:
.
Untuk membuktikannya, kita harus menunjukkan bahwa
,

Dengan kata lain, kita perlu membuktikan bahwa jumlah dua barisan yang konvergen ke plus tak hingga konvergen ke plus tak hingga.

1 ketidaksetaraan berikut berlaku:
;
.
Kemudian untuk dan kita memiliki:
.
Membiarkan . Kemudian
pada ,
di mana .
Ini berarti bahwa.

Sifat-sifat lain dibuktikan dengan cara yang sama. Sebagai contoh, kami menyajikan satu bukti lagi.

Mari kita buktikan bahwa:
.
Untuk melakukan ini, kita harus menunjukkan bahwa
,
di mana dan adalah urutan arbitrer, dengan batas dan .

Artinya, kita perlu membuktikan bahwa produk dari dua barisan besar tak hingga adalah barisan tak hingga besar.

Mari kita buktikan. Karena dan , Maka ada beberapa fungsi dan , Sehingga untuk sembarang bilangan positif M 1 ketidaksetaraan berikut berlaku:
;
.
Kemudian untuk dan kita memiliki:
.
Membiarkan . Kemudian
pada ,
di mana .
Ini berarti bahwa.

Operasi Tidak Terdefinisi

Beberapa operasi matematika dengan titik tak terhingga tidak terdefinisi. Untuk menunjukkan ketidaktentuan mereka, kita perlu memberikan beberapa kasus khusus ketika hasil operasi tergantung pada pilihan urutan yang termasuk di dalamnya.

Pertimbangkan operasi ini:
.
Sangat mudah untuk menunjukkan bahwa jika dan , maka limit jumlah barisan bergantung pada pilihan barisan dan .

Memang, mari kita ambil. Batas dari barisan ini adalah sama. Batas jumlah

adalah sama dengan tak terhingga.

Sekarang mari kita ambil. Batas dari barisan ini juga sama. Tapi batas jumlah mereka

sama dengan nol.

Yaitu, asalkan dan , nilai limit penjumlahan dapat mengambil nilai yang berbeda. Oleh karena itu, operasi tidak didefinisikan.

Dengan cara yang sama, ketidakpastian operasi yang tersisa yang disajikan di atas dapat ditunjukkan.

Definisi
selanjutnya (βn) disebut barisan tak hingga, jika untuk sembarang bilangan besar M , terdapat bilangan asli N M , bergantung pada M , sehingga untuk semua bilangan asli n > N M , pertidaksamaan
|β n | > M.
Dalam hal ini, tulis
.
Atau di .
Mereka mengatakan bahwa itu cenderung tak terhingga, atau konvergen hingga tak terhingga.

Jika , dimulai dari suatu bilangan N 0 , kemudian
( konvergen ke plus tak terhingga).
Jika kemudian
( konvergen ke minus tak terhingga).

Kami menulis definisi ini menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas:
(1) .
(2) .
(3) .

Barisan dengan limit (2) dan (3) adalah kasus khusus dari barisan besar tak terhingga (1). Dari definisi tersebut dapat disimpulkan bahwa jika limit suatu barisan sama dengan plus atau minus tak hingga, maka ia juga sama dengan tak hingga:
.
Kebalikannya, tentu saja, tidak benar. Anggota urutan mungkin memiliki karakter bergantian. Dalam hal ini, limitnya bisa sama dengan tak hingga, tetapi tanpa tanda yang pasti.

Perhatikan juga bahwa jika properti tertentu berlaku untuk barisan arbitrer dengan batas yang sama dengan tak terhingga, maka properti yang sama berlaku untuk barisan yang limitnya plus atau minus tak hingga.

Dalam banyak buku teks kalkulus, definisi barisan besar tak hingga menyatakan bahwa bilangan M adalah positif: M > 0 . Namun, persyaratan ini berlebihan. Jika dibatalkan, maka tidak ada kontradiksi yang muncul. Nilai kecil atau negatif saja tidak menarik bagi kami. Kami tertarik pada perilaku urutan untuk nilai positif besar yang sewenang-wenang dari M . Oleh karena itu, jika diperlukan, maka M dapat dibatasi dari bawah dengan sembarang angka a, yaitu, asumsikan bahwa M > a.

Ketika kita mendefinisikan - lingkungan dari titik akhir, maka persyaratan > 0 adalah penting. Untuk nilai negatif, pertidaksamaan tidak dapat berlaku sama sekali.

Kedekatan poin di tak terhingga

Ketika kami mempertimbangkan batas hingga, kami memperkenalkan konsep lingkungan suatu titik. Ingat bahwa lingkungan titik akhir adalah interval terbuka yang berisi titik ini. Kami juga dapat memperkenalkan konsep lingkungan titik di tak terhingga.

Biarkan M menjadi bilangan arbitrer.
Lingkungan dari titik "tak terhingga", , disebut himpunan .
Lingkungan dari titik "plus infinity", , disebut himpunan .
Lingkungan dari titik "minus tak terhingga", , disebut himpunan .

Sebenarnya, lingkungan dari titik "tak terhingga" adalah himpunan
(4) ,
dimana M 1 dan M 2 adalah bilangan positif arbitrer. Kami akan menggunakan definisi pertama, , karena lebih sederhana. Meskipun, semua yang dikatakan di bawah ini juga benar ketika menggunakan definisi (4).

Sekarang kita dapat memberikan definisi terpadu dari limit barisan yang berlaku untuk limit hingga dan tak hingga.

Definisi Universal Batas Urutan.
Titik a (hingga atau tak hingga) adalah limit suatu barisan jika untuk sembarang lingkungan dari titik ini terdapat bilangan asli N sedemikian sehingga semua elemen barisan dengan bilangan tersebut termasuk dalam lingkungan ini.

Jadi, jika limit ada, maka di luar lingkungan titik a hanya ada sejumlah anggota barisan, atau himpunan kosong yang berhingga. Kondisi ini perlu dan cukup. Pembuktian sifat ini sama persis dengan pembuktian limit-limit berhingga.

Sifat-sifat tetangga dari barisan konvergen
Agar titik a (berhingga atau di tak hingga) menjadi limit barisan , perlu dan cukup bahwa di luar setiap lingkungan dari titik ini terdapat sejumlah anggota barisan atau himpunan kosong yang berhingga.
Bukti .

Juga, konsep - lingkungan dari titik-titik yang jauh tak terhingga kadang-kadang diperkenalkan.
Ingatlah bahwa - lingkungan dari titik akhir a adalah himpunan .
Mari kita perkenalkan notasi berikut. Membiarkan menunjukkan - lingkungan dari titik a . Kemudian untuk titik akhir,
.
Untuk titik di tak terhingga:
;
;
.
Dengan menggunakan konsep - lingkungan, satu lagi definisi universal dari limit barisan dapat diberikan:

Titik a (berhingga atau di tak hingga) adalah limit suatu barisan jika untuk sembarang bilangan positif > 0 ada bilangan asli N ε tergantung pada sedemikian rupa sehingga untuk semua bilangan n > N suku x n termasuk ke dalam lingkungan dari titik a :
.

Dengan menggunakan simbol logis keberadaan dan universalitas, definisi ini dapat ditulis sebagai berikut:
.

Contoh barisan besar tak terhingga

Kami pertama-tama akan mempertimbangkan tiga contoh sederhana yang serupa, dan kemudian memecahkan yang lebih kompleks.

Contoh 1

.

.
Kami menulis definisi dari barisan besar tak terhingga:
(1) .
Dalam kasus kami
.

Kami memperkenalkan angka dan , menghubungkannya dengan ketidaksetaraan:
.
Berdasarkan sifat-sifat pertidaksamaan , jika dan , maka
.
Perhatikan bahwa ketika ketidaksetaraan ini berlaku untuk setiap n . Jadi Anda bisa memilih seperti ini:
pada ;
pada .

Jadi, untuk setiap orang dapat menemukan bilangan asli yang memenuhi pertidaksamaan . Kemudian untuk semua
.
Ini berarti bahwa. Artinya, urutannya sangat besar.

Contoh 2

Dengan menggunakan definisi barisan besar tak terhingga, tunjukkan bahwa
.

(2) .
Istilah umum dari barisan yang diberikan memiliki bentuk:
.

Masukkan angka dan:
.
.

Maka untuk sembarang orang dapat menemukan bilangan asli yang memenuhi pertidaksamaan , sehingga untuk semua ,
.
Ini berarti bahwa.

.

Contoh 3

Dengan menggunakan definisi barisan besar tak terhingga, tunjukkan bahwa
.

Mari kita tuliskan definisi limit barisan yang sama dengan minus tak hingga:
(3) .
Istilah umum dari barisan yang diberikan memiliki bentuk:
.

Masukkan angka dan:
.
Hal ini menunjukkan bahwa jika dan , maka
.

Karena untuk sembarang orang dapat menemukan bilangan asli yang memenuhi pertidaksamaan , maka
.

Diberikan , sebagai N, Anda dapat mengambil bilangan asli apa pun yang memenuhi pertidaksamaan berikut:
.

Contoh 4

Dengan menggunakan definisi barisan besar tak terhingga, tunjukkan bahwa
.

Mari kita tuliskan istilah umum dari barisan tersebut:
.
Mari kita tuliskan definisi limit barisan yang sama dengan plus tak hingga:
(2) .

Karena n adalah bilangan asli, n = 1, 2, 3, ... , kemudian
;
;
.

Kami memperkenalkan angka dan M , menghubungkannya dengan pertidaksamaan:
.
Hal ini menunjukkan bahwa jika dan , maka
.

Jadi, untuk sembarang bilangan M, Anda dapat menemukan bilangan asli yang memenuhi pertidaksamaan . Kemudian untuk semua
.
Ini berarti bahwa.

Referensi:
L.D. Kudryavtsev. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 2003.
cm. Nikolai. Kursus analisis matematika. Jilid 1. Moskow, 1983.