Dalam masalah geometri, kesuksesan tidak hanya bergantung pada pengetahuan teori, tetapi juga pada kualitas gambar.
Dengan gambar datar, semuanya kurang lebih jelas. Tetapi dalam stereometri, situasinya lebih rumit. Bagaimanapun, itu perlu untuk menggambarkan tiga dimensi tubuh aktif datar menggambar, dan sedemikian rupa sehingga Anda sendiri dan orang yang melihat gambar Anda akan melihat tubuh tiga dimensi yang sama.

Bagaimana cara melakukannya?
Tentu saja, gambar apa pun dari benda tiga dimensi di pesawat akan bersyarat. Namun, ada seperangkat aturan tertentu. Ada cara yang diterima secara umum untuk membuat cetak biru proyeksi paralel.

Mari kita ambil tubuh yang kokoh.
Ayo pilih bidang proyeksi.
Melalui setiap titik tubuh volumetrik kita menggambar garis lurus, sejajar satu sama lain dan memotong bidang proyeksi di beberapa sudut. Masing-masing garis ini memotong bidang proyeksi di beberapa titik. Bersama-sama, titik-titik ini terbentuk proyeksi benda volumetrik pada bidang, yaitu gambar datarnya.

Bagaimana cara membuat proyeksi benda volumetrik?
Bayangkan Anda memiliki bingkai tubuh tiga dimensi - prisma, piramida, atau silinder. Meneranginya dengan sinar cahaya paralel, kami mendapatkan gambar - bayangan di dinding atau di layar. Perhatikan bahwa gambar yang berbeda diperoleh dari sudut yang berbeda, tetapi beberapa pola masih ada:

Proyeksi segmen akan menjadi segmen.

Tentu saja, jika segmen tegak lurus dengan bidang proyeksi, itu akan ditampilkan pada satu titik.

Dalam kasus umum, proyeksi lingkaran akan menjadi elips.

Proyeksi persegi panjang adalah jajar genjang.

Berikut adalah bagaimana proyeksi kubus ke pesawat terlihat seperti:

Di sini muka depan dan belakang sejajar dengan bidang proyeksi

Anda dapat melakukannya secara berbeda:

Apapun sudut yang kita pilih, proyeksi segmen paralel dalam gambar juga akan segmen paralel. Ini adalah salah satu prinsip proyeksi paralel.

Kami menggambar proyeksi piramida,

silinder:

Sekali lagi, kami mengulangi prinsip dasar proyeksi paralel. Kami memilih bidang proyeksi dan menggambar garis lurus sejajar satu sama lain melalui setiap titik tubuh volumetrik. Garis-garis ini memotong bidang proyeksi di beberapa sudut. Jika sudut tersebut adalah 90°, maka proyeksi persegi panjang. Dengan bantuan proyeksi persegi panjang, gambar bagian tiga dimensi dalam teknik dibangun. Dalam hal ini, kita berbicara tentang tampilan atas, tampilan depan, dan tampilan samping.

Bab IV. Garis dan bidang dalam ruang. Polihedra

55. Area proyeksi poligon.

Ingatlah bahwa sudut antara garis dan bidang adalah sudut antara garis tertentu dan proyeksinya ke bidang (Gbr. 164).

Dalil. Luas proyeksi ortogonal poligon ke bidang sama dengan luas poligon yang diproyeksikan dikalikan dengan kosinus sudut yang dibentuk oleh bidang poligon dan bidang proyeksi.

Setiap poligon dapat dibagi menjadi segitiga, yang jumlah luasnya sama dengan luas poligon. Oleh karena itu, cukup untuk membuktikan teorema segitiga.

Biarlah /\ ABC diproyeksikan ke pesawat R. Pertimbangkan dua kasus:
a) salah satu pihak /\ ABC sejajar dengan bidang R;
b) tidak ada pihak /\ ABC tidak sejajar R.

Mempertimbangkan kasus pertama: biarkan [AB] || R.

Gambarlah melalui bidang (AB) R 1 || R dan proyeksikan secara ortogonal /\ ABC aktif R 1 dan seterusnya R(Gbr. 165); kita mendapatkan /\ ABC 1 dan /\ A"B"S".
Dengan properti proyeksi, kita memiliki /\ ABC1 /\ A"B"C", dan karena itu

S /\ ABC1=S /\ A"B"C

Mari menggambar _|_ dan segmen D 1 C 1 . Maka _|_ , a = adalah sudut antara bidang /\ ABC dan pesawat R satu . Jadi

S /\ ABC1 = 1/2 | AB | | C 1 D 1 | = 1/2 | AB | | CD 1 | cos = S /\ ABC cos

dan karenanya S /\ A"B"C" = S /\ ABC karena .

Mari beralih ke pertimbangan kasus kedua. Menggambar pesawat R 1 || R di atas puncak itu /\ ABC, jarak dari mana ke pesawat R terkecil (biarkan menjadi simpul A).
Kami akan mendesain /\ ABC di pesawat R 1 dan R(Gbr. 166); biarkan proyeksinya masing-masing /\ AB 1 C 1 dan /\ A"B"S".

Biarkan (matahari) p 1 = D. Maka

S /\ A"B"C" = S /\ AB1 C1 = S /\ ADC1-S /\ ADB1 = (S /\ ADC-S /\ ADB) cos = S /\ ABC cos

Tugas. Sebuah bidang ditarik melalui sisi alas prisma segitiga beraturan dengan sudut = 30° terhadap bidang alasnya. Cari luas bagian yang dihasilkan jika sisi alas prisma sebuah= 6cm

Mari kita gambarkan bagian prisma ini (Gbr. 167). Karena prisma beraturan, sisi-sisinya tegak lurus terhadap bidang alasnya. Cara, /\ ABC adalah proyeksi /\ ADC, jadi

Bukti rinci dari teorema proyeksi ortogonal poligon

Jika - proyeksi datar n -gon ke pesawat, maka, di mana adalah sudut antara bidang poligon dan. Dengan kata lain, luas proyeksi poligon datar sama dengan produk luas poligon yang diproyeksikan dan kosinus sudut antara bidang proyeksi dan bidang poligon yang diproyeksikan.

Bukti. Saya panggung. Mari kita lakukan pembuktian terlebih dahulu untuk segitiga tersebut. Mari kita pertimbangkan 5 kasus.

1 kasus. terletak pada bidang proyeksi .

Membiarkan menjadi proyeksi poin ke pesawat, masing-masing. Dalam kasus kami. Mari kita asumsikan itu. Biarkan - tinggi, maka dengan teorema tiga tegak lurus, kita dapat menyimpulkan bahwa - tinggi (- proyeksi miring, - alasnya dan garis lurus melewati alas miring, apalagi).

Mempertimbangkan. Ini adalah persegi panjang. Menurut definisi kosinus:

Di sisi lain, karena dan, maka, menurut definisi, adalah sudut linier dari sudut dihedral yang dibentuk oleh setengah bidang bidang dan dengan garis batas, dan, oleh karena itu, ukurannya juga merupakan ukuran sudut antara bidang proyeksi segitiga dan segitiga itu sendiri, yaitu.

Tentukan perbandingan luasnya dengan:

Perhatikan bahwa rumus tetap benar bahkan ketika . Pada kasus ini

kasus ke-2. Hanya terletak pada bidang proyeksi dan sejajar dengan bidang proyeksi .

Membiarkan menjadi proyeksi poin ke pesawat, masing-masing. Dalam kasus kami.

Mari kita menggambar garis lurus melalui titik. Dalam kasus kami, garis lurus memotong bidang proyeksi, yang berarti, dengan lemma, garis lurus juga memotong bidang proyeksi. Biarkan berada di satu titik Karena, maka titik-titik terletak pada bidang yang sama, dan karena sejajar dengan bidang proyeksi, maka mengikuti dari tanda paralelisme garis lurus dan bidang itu. Oleh karena itu, adalah jajar genjang. Pertimbangkan dan. Mereka sama di tiga sisi (- umum, seperti sisi yang berlawanan dari jajaran genjang). Perhatikan bahwa segi empat adalah persegi panjang dan sama (sepanjang kaki dan sisi miring), oleh karena itu, itu sama di tiga sisi. Itu sebabnya.

Untuk 1 kasus berlaku:, yaitu..

kasus ke-3. Hanya terletak pada bidang proyeksi dan tidak sejajar bidang proyeksi .

Biarkan titik tersebut menjadi titik perpotongan garis dengan bidang proyeksi. Mari kita perhatikan bahwa saya. Pada 1 kesempatan: i. Jadi kita mendapatkan itu

4 kasus. Simpul tidak terletak pada bidang proyeksi . Pertimbangkan tegak lurus. Ambil yang terkecil di antara tegak lurus ini. Biar tegak lurus. Mungkin ternyata itu hanya, atau hanya. Kemudian kita masih mengambilnya.

Mari kita sisihkan titik dari titik pada segmen, sehingga dan dari titik pada segmen, titik, sehingga. Konstruksi seperti itu dimungkinkan, karena - tegak lurus terkecil. Perhatikan bahwa ini adalah proyeksi dan, berdasarkan konstruksi. Mari kita buktikan bahwa dan sama.

Mari kita pertimbangkan segi empat. Dengan syarat - tegak lurus terhadap satu bidang, oleh karena itu, menurut teorema, oleh karena itu. Karena dengan konstruksi, maka, atas dasar jajar genjang (pada sisi yang sejajar dan berhadapan sama besar), kita dapat menyimpulkan bahwa - jajar genjang. Cara, . Hal ini dibuktikan dengan cara yang sama, . Oleh karena itu, dan sama pada tiga sisi. Jadi. Perhatikan bahwa dan, sebagai sisi yang berlawanan dari jajaran genjang, oleh karena itu, berdasarkan paralelisme bidang, . Karena bidang-bidang ini sejajar, mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang proyeksi.

Untuk kasus sebelumnya berlaku:

5 kasus. Bidang proyeksi memotong sisi . Mari kita lihat garis lurus. Mereka tegak lurus terhadap bidang proyeksi, jadi menurut teorema mereka sejajar. Pada sinar co-directed dengan asal-usul di titik, kami menyisihkan segmen yang sama, masing-masing, sehingga simpul terletak di luar bidang proyeksi. Perhatikan bahwa ini adalah proyeksi dan, berdasarkan konstruksi. Mari kita tunjukkan bahwa itu setara.

Sejak dan, dengan konstruksi, maka. Oleh karena itu, berdasarkan jajaran genjang (pada dua sisi yang sama dan sejajar), - jajaran genjang. Hal ini dapat dibuktikan dengan cara yang sama bahwa dan adalah jajaran genjang. Tapi kemudian, dan (sebagai sisi yang berlawanan), oleh karena itu, adalah sama di tiga sisi. Cara, .

Selain itu, dan, oleh karena itu, atas dasar paralelisme bidang. Karena bidang-bidang ini sejajar, mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang proyeksi.

Untuk kasus yang berlaku 4:.

II panggung. Mari kita bagi poligon datar menjadi segitiga menggunakan diagonal yang ditarik dari titik sudut: Kemudian, sesuai dengan kasus sebelumnya untuk segitiga: .

Q.E.D.