Jenis pekerjaan: 7

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-4; 10). Temukan interval fungsi menurun f (x). Dalam jawaban Anda , tunjukkan panjang yang terbesar dari mereka.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Seperti yang Anda ketahui, fungsi f (x) berkurang pada interval tersebut, di setiap titik di mana turunan f "(x) kurang dari nol. Mengingat perlu untuk menemukan panjang terbesar dari mereka, tiga interval seperti itu secara alami dibedakan dari gambar: (-4; -2 ;(0;3);(5;9).

Panjang yang terbesar dari mereka - (5; 9) sama dengan 4.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Penerapan turunan untuk studi fungsi dan plot

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-8; 7). Temukan jumlah titik maksimum dari fungsi f (x) milik ke interval [-6; -2].

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Grafik menunjukkan bahwa turunan f "(x) dari fungsi f (x) berubah tanda dari plus ke minus (akan ada maksimum pada titik tersebut) tepat di satu titik (antara -5 dan -4) dari interval [ -6; -2 Oleh karena itu, ada tepat satu titik maksimum pada interval [-6;-2].

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Penerapan turunan untuk studi fungsi dan plot

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan jumlah titik di mana turunan dari fungsi f(x) sama dengan 0 .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Jika turunan di suatu titik sama dengan nol, maka garis singgung grafik fungsi yang digambar di titik ini sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kami menemukan titik-titik di mana garis singgung grafik fungsi sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini, titik-titik tersebut adalah titik ekstrim (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 5 titik ekstrem.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Penerapan turunan untuk studi fungsi dan plot

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan titik bertanda -6, -1, 1, 4 pada sumbu x. Di mana dari titik-titik ini nilai turunannya paling kecil? Tolong tunjukkan poin ini dalam jawaban Anda.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kami menggambar garis singgung pada grafik fungsi di titik-titik dengan absis yang ditunjukkan. Kami menentukan pada sudut apa mereka cenderung ke arah positif sumbu Ox. Seperti yang Anda ketahui, nilai tangen dari sudut yang ditentukan adalah nilai turunan pada titik-titik yang ditentukan.

Pada titik -1 dan 4, garis singgungnya membentuk sudut lancip, sehingga nilai turunannya negatif pada titik-titik tersebut. Mengingat pada titik x=-6 garis singgung miring pada sudut tumpul yang lebih kecil (mendekati garis vertikal), nilai turunan pada titik ini adalah yang terkecil.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Penerapan turunan untuk studi fungsi dan plot

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-9; 4). Temukan interval peningkatan fungsi f (x). Dalam Anda jawaban, tunjukkan panjang yang terbesar dari mereka.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Seperti yang Anda ketahui, fungsi f (x) meningkat pada interval tersebut, di setiap titik di mana turunan f "(x) lebih besar dari nol. Mengingat perlu untuk menemukan panjang terbesar dari mereka, tiga interval seperti itu secara alami dibedakan dari gambar: (-9; -8) ; (-5; -1); (1; 4).

Panjang yang terbesar dari mereka (-5; -1) adalah 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Penerapan turunan untuk studi fungsi dan plot

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik y \u003d f "(x) - turunan dari fungsi f (x), yang ditentukan pada interval (-8; 7). Temukan jumlah titik minimum dari fungsi f (x) milik ke interval [-4; 3].

Jika pada selang tertentu grafik fungsi tersebut berupa garis kontinu, dengan kata lain, suatu garis yang dapat ditarik tanpa pensil dari selembar kertas, maka fungsi tersebut disebut kontinu pada selang ini. Ada juga fungsi yang tidak kontinu. Sebagai contoh, perhatikan grafik fungsi yang, pada interval dan [c; b] kontinu, tetapi pada suatu titik
x = c diskontinu dan karenanya tidak kontinu pada seluruh segmen. Semua fungsi yang kita pelajari dalam kursus matematika sekolah adalah fungsi kontinu pada setiap interval di mana mereka didefinisikan.

Perhatikan bahwa jika suatu fungsi memiliki turunan pada suatu interval, maka fungsi tersebut kontinu pada interval ini.

Kebalikannya tidak benar. Suatu fungsi yang kontinu pada suatu interval mungkin tidak memiliki turunan di beberapa titik pada interval tersebut. Misalnya, fungsi
y = |log 2 x| kontinu pada interval x > 0, tetapi pada titik x = 1 tidak memiliki turunan, karena pada titik ini grafik fungsi tidak memiliki garis singgung.

Pertimbangkan memplot grafik menggunakan turunan.

Gambarkan fungsi f(x) = x 3 - 2x 2 + x.

Keputusan.

1) Fungsi ini didefinisikan untuk semua x R.

2) Temukan interval kemonotonan fungsi yang ditinjau dan titik ekstremnya menggunakan turunan. Turunannya adalah f "(x) = 3x 2 - 4x + 1. Tentukan titik-titik stasionernya:
3x 2 - 4x + 1 \u003d 0, dari mana x 1 \u003d 1/3, x 2 \u003d 1.

Untuk menentukan tanda turunannya, kita dekomposisi trinomial kuadrat 3x 2 - 4x + 1 menjadi faktor-faktor:
f "(x) \u003d 3 (x - 1/3) (x - 1). Oleh karena itu, pada interval x< 1/3 и х >1 turunan positif; sehingga fungsi meningkat pada interval ini.

Turunannya negatif pada 1/3< х < 1; следовательно, функция убывает на этом интервале.

Titik x 1 \u003d 1/3 adalah titik maksimum, karena fungsi menurun ke kanan titik ini, dan meningkat ke kiri. Pada titik ini, nilai fungsinya adalah f (1/3) = (1/3) 3 - 2(1/3) 2 + 1/3 = 4/27.

Titik minimum adalah titik x 2 \u003d 1, karena fungsi menurun ke kiri titik ini, dan meningkat ke kanan; nilainya pada titik minimum ini adalah f(1) = 0.

3) Saat membuat grafik, titik potong grafik dengan sumbu koordinat biasanya ditemukan. Karena f(0) = 0, grafik melewati titik asal. Memecahkan persamaan f(0) = 0, kita menemukan titik potong grafik dengan sumbu x:

x 3 - 2x 2 + x \u003d 0, x (x 2 - 2x + 1) \u003d 0, x (x - 1) 2 \u003d 0, dari mana x \u003d 0, x \u003d 1.

4) Untuk plot yang lebih akurat, mari kita cari nilai fungsi di dua titik lagi: f(-1/2) = -9/8, f(2) = 2.

5) Dengan menggunakan hasil penelitian (poin 1 - 4), kami membuat grafik fungsi y \u003d x 3 - 2x 2 + x.

Untuk memplot suatu fungsi, biasanya pertama-tama kita menyelidiki sifat-sifat fungsi ini menggunakan turunannya menurut skema yang mirip dengan skema dalam menyelesaikan Soal 1.

Jadi, ketika mempelajari sifat-sifat suatu fungsi, perlu untuk menemukan:

1) area definisinya;

2) turunan;

3) titik stasioner;

4) interval kenaikan dan penurunan;

5) titik ekstrem dan nilai fungsi pada titik tersebut.

Hasil penelitian mudah dicatat dalam bentuk tabel. Kemudian, dengan menggunakan tabel, buat grafik fungsi tersebut. Untuk plot yang lebih akurat, titik-titik persimpangannya dengan sumbu koordinat dan, jika perlu, beberapa titik grafik biasanya ditemukan.

Jika kita dihadapkan pada fungsi genap atau ganjil, maka untuk membangun grafiknya, cukup untuk menyelidiki properti dan membangun grafiknya untuk x\u003e 0, dan kemudian mencerminkannya secara simetris tentang sumbu y (asal). Misalnya, menganalisis fungsi f(x) = x + 4/x, kita sampai pada kesimpulan bahwa fungsi ini ganjil: f(-x) = -x + 4/(-x) = -(x + 4/ x ) = -f(x). Setelah menyelesaikan semua titik rencana, kami membuat grafik fungsi untuk x\u003e 0, dan grafik fungsi ini untuk x< 0 получаем посредством симметричного отражения графика при х >0 relatif terhadap asal.

Untuk mempersingkat dalam memecahkan masalah untuk fungsi plot, sebagian besar penalaran dilakukan secara lisan.

Kami juga mencatat bahwa ketika memecahkan beberapa masalah, kami mungkin menghadapi kebutuhan untuk mempelajari fungsi tidak pada seluruh domain definisi, tetapi hanya pada interval tertentu, misalnya, jika Anda perlu memplot, katakanlah, fungsi f(x) = 1 + 2x 2 - x 4 pada ruas [-1; 2].

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Variabel tersebut disebut fungsi variabel , jika setiap nilai valid cocok dengan satu nilai . variabel itu disebut variabel bebas atau argumen fungsi.

Himpunan semua nilai argumen yang fungsinya mengambil nilai nyata tertentu disebut domain definisi fungsi ini. Himpunan semua nilai fungsi disebut jangkauannya.

Ruang lingkup dan ruang lingkup fungsi f dilambangkan
dan
masing-masing. Domain
ditelepon himpunan simetris jika bersama-sama dengan setiap elemen itu juga mengandung elemen yang berlawanan (
).

Selidiki apakah suatu fungsi genap atau ganjil.

Fungsi
ditelepon bahkan

untuk semua
.

Fungsi f ditelepon aneh, jika domainnya adalah
adalah himpunan simetris dan persamaan
untuk semua
.

Grafik fungsi genap simetris terhadap sumbu y HAIkamu, dan grafik fungsi ganjil relatif terhadap asal. Oleh karena itu, jika fungsi yang diteliti genap atau ganjil, maka cukup dipelajari untuk nilai positif argumen dari domain definisinya.

Selidiki apakah fungsi tersebut periodik.

Sekelompok
ditelepon periodik dengan periode T (
), jika untuk apapun
dilakukan
dan
.

Fungsi f ditelepon berkala dengan periode T, jika
- himpunan periodik dengan periode T dan untuk apa saja
persamaan
.

Bagan periodik dengan periode T fungsi masuk ke dirinya sendiri ketika digeser oleh T sepanjang sumbu x.

Lurus
di permukaan
ditelepon asimtot vertikal fungsi
, jika salah satu batas satu sisi
atau
sama dengan
.

Dengan demikian, langsung
adalah asimtot vertikal dari fungsi
jika titik - titik putus jenis kedua untuk fungsi
.

Selidiki perilaku suatu fungsi di tak hingga dan temukan asimtot horizontal dan miringnya.

Lurus
ditelepon asimtot miring grafik fungsi
pada
(
), jika
pada
(
).

Teorema 1. Untuk keberadaan asimtot miring
pada
fungsi
perlu dan cukup untuk
kondisi terpenuhi:

1.
,
,

2.
,
.

Temukan titik ekstrem dan interval kenaikan dan penurunan fungsi.

Fungsi
ditelepon meningkat(memudar) pada
, jika untuk apapun
dari ketidaksetaraan
mengikuti pertidaksamaan
(
).

Fungsi naik dan turun disebut membosankan.

Teorema 2(kondisi yang cukup untuk monotonisitas). Biarkan fungsinya
didefinisikan dan terus menerus pada
dan dapat dibedakan dengan
. Jika sebuah
(
), kemudian
meningkat (menurun)
.

Dot
ditelepon titik maksimum (titik minimum) fungsi
jika di semua titik , cukup dekat dengan titik
(
).

Nilai fungsi pada titik maksimum (minimum) disebut maksimum (minimum) fungsi.

Dot
ditelepon titik maksimum yang ketat (minimum yang ketat) fungsi
jika di semua titik , cukup dekat dengan titik dan berbeda dari itu, ketidaksetaraan
(
).

Nilai fungsi pada titik ditelepon maksimal ketat (minimum yang ketat) fungsi.

Titik maksimum dan minimum disebut titik ekstrim, dan nilai fungsi di dalamnya adalah ekstrim fungsi.

Teorema 3(kondisi ekstrim yang diperlukan). Jika fungsi
memiliki pada intinya ekstrem, maka turunan fungsi pada titik ini sama dengan nol atau tidak ada.

Dot ditelepon titik stasioner fungsi
, jika
. Dot ditelepon titik kritis fungsi
, jika
atau tidak ada.

Ini mengikuti dari Teorema 3 bahwa hanya titik kritis yang dapat menjadi titik ekstrem. Kebalikannya tidak selalu benar.

Teorema 4(Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Aturan pertama). Biarkan pada intinya
turunan fungsi
menghilang dan berubah tanda ketika melewati titik ini, maka titik adalah titik ekstrem dari fungsi, dan jika:

1)
pada
dan
pada
, kemudian
- titik maksimum yang ketat;

2)
pada
dan
pada
, kemudian
adalah titik minimum yang ketat.

Teorema 5(Kondisi yang cukup untuk ekstrem. Aturan kedua). Jika pada titik
turunan pertama dari fungsi
sama dengan nol, dan turunan kedua bukan nol, maka - titik ekstrem, dan:

1) adalah titik maksimum, jika
;

2) adalah titik minimum, jika
.

Algoritme untuk menemukan titik ekstrem untuk fungsi kontinu pada
:

Ayo temukan titik kritis
fungsi
pada
. Mari kita atur mereka dalam urutan menaik: Mereka berbagi
pada interval
,
,…,
. Di masing-masing
, itu adalah tanda konstan (positif atau negatif). Untuk menentukan tanda turunan dalam suatu interval, perlu untuk menentukan tandanya di sembarang titik dalam interval tersebut. Kemudian, dengan mengubah tanda turunan selama transisi dari satu interval ke interval lainnya, kami menentukan titik ekstrem sesuai dengan Teorema 4.

Menentukan arah kecembungan grafik fungsi dan titik belok.

Biarkan fungsinya
dapat dibedakan dengan
. Maka ada garis singgung pada grafik fungsi
kapan saja
,
, dan garis singgung ini tidak sejajar dengan sumbu
.

Fungsi
ditelepon cembung ke atas (turun) pada
jika grafik fungsi berada di dalam
terletak tidak di atas (tidak di bawah) salah satu garis singgungnya.

Teorema 6(kondisi cukup untuk cembung). Biarkan fungsinya
terdiferensiasi ganda pada
. Lalu jika
(
) pada
, maka fungsinya cembung ke bawah (atas) pada
.

Dot ditelepon titik belok fungsi
jika arah kecembungan fungsi berubah ketika melewati titik ini
.

Teorema 7(kondisi infleksi yang diperlukan). Jika pada titik belok fungsi
turunan kedua ada dan kontinu, maka sama dengan nol pada titik ini.

Teorema 8(kondisi yang cukup untuk infleksi). Jika sebuah
dan

1)
berubah tanda saat melewati , kemudian - titik belok fungsi
;

2)
tidak berubah tanda saat melewati , kemudian bukan titik belok fungsi
.

Merencanakan grafik fungsi.

jadwal fungsi
adalah himpunan titik-titik pada bidang yang koordinatnya memenuhi ketergantungan fungsional yang diberikan.

Contoh 7.1. Jelajahi Fungsi

Keputusan.

, karena fungsi ini adalah polinomial.

Kami memeriksa fungsi untuk monotonisitas, menemukan titik ekstrem.

Mari kita cari dulu titik kritis dari fungsi tersebut.

, karena turunannya juga polinomial.


atau
, atau
. Karena itu,
,
,
adalah titik kritis dari fungsi.

H mari kita tempatkan titik-titik kritis fungsi pada garis nyata dan tentukan tanda-tandanya turunan

Diantara
,
fungsi menurun, pada interval
,
fungsinya semakin meningkat.

poin
dan
adalah titik minimum dari fungsi, .

Dot
adalah titik maksimum fungsi,
.

Kami memeriksa fungsi untuk arah cembung, menemukan titik belok.



.

Mari kita beri titik X 1 dan X 2 pada garis bilangan dan tentukan tandanya turunan kedua pada setiap interval yang dihasilkan.

H dan di antara
dan
fungsi cembung ke bawah, pada interval
fungsinya cembung ke atas. poin
dan
adalah titik belok.

Contoh 7.2. Jelajahi Fungsi
pada monotonisitas dan arah cembung, temukan titik ekstrem dan titik belok.

Keputusan.

Temukan domain dari fungsi tersebut.

:

 .

2. Kami menyelidiki fungsi monotonisitas, menemukan titik ekstrem.

, .



. Karena itu,
– titik kritis fungsi.

Kami memplot domain fungsi dan titik kritis pada garis nyata. Mari kita tentukan tanda-tanda turunan pada setiap interval yang dihasilkan.

H dan di antara
,
fungsi menurun, pada interval
fungsinya semakin meningkat. Dot
- titik maksimum,
.

3. Tentukan arah kecembungan grafik fungsi dan temukan titik beloknya.



.

T poin
- titik kemungkinan belok. Mari kita tentukan tanda-tanda turunan kedua dalam interval
,
,
.

Diantara
,
fungsinya cembung ke atas, pada interval
fungsinya cembung ke bawah. Dot
- titik belok.

Contoh 7.3. Lakukan studi fungsi penuh
dan merencanakannya.

Keputusan. 1.
.

2. Fungsi tersebut bukan genap maupun ganjil.

3. Fungsi tidak periodik.

4. Temukan titik potong grafik dengan sumbu koordinat dan interval keteguhan. sumbu O X grafik tidak berpotongan, karena
untuk semua
. sumbu O pada:
,
.

pada
,
pada
.

5. Fungsi kontinu pada domain definisi, karena merupakan dasar,
- titik putus. Mari kita jelajahi sifat kesenjangan:

,
.

Karena itu,
– titik diskontinuitas jenis kedua, garis lurus
adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi.

6. Kami mempelajari perilaku fungsi untuk
dan di
:

,
. Oleh karena itu, garis lurus
adalah asimtot horizontal dari grafik fungsi di
.

Sebagai
, maka asimtot miring lainnya di
tidak.

Cari tahu apakah ada asimtot miring untuk
:

. Oleh karena itu, ketika
tidak ada asimtot miring.

7. Kami menyelidiki fungsi untuk monotonisitas dan ekstrem.

,

- poin minimum
- minimal.

8. Kami memeriksa fungsi untuk arah konveksitas dan infleksi.

=

.

pada
,tidak ada di titik
.Tidak ada titik belok.

9. Mari kita buat grafik fungsi (Gbr. 4).

Gambar 4 - Ilustrasi misalnya 7.3.

Contoh 7.4. Jelajahi Fungsi
dan merencanakannya.

Keputusan. Mari kita jelajahi fitur ini.

,
.

Kami menyelidiki perilaku fungsi di tak hingga dan menemukan asimtot horizontal dan miring:

Sebagai
, maka tidak ada asimtot horizontal.

,

Jadi, ada asimtot miring yang unik

Kami memeriksa fungsi untuk monotonisitas dan menemukan ekstrem:

.

Dari
Sebaiknya
, di mana
,
.

Dalam interval

, oleh karena itu, fungsi meningkat dalam interval ini; di

, yaitu, fungsi menurun. Oleh karena itu, intinya
adalah titik maksimum:
. Dalam interval

, oleh karena itu, fungsi menurun pada interval ini; di

, yaitu, fungsi meningkat. Pada intinya
kami memiliki minimal:
.

Kami memeriksa grafik fungsi untuk arah kecembungan dan menentukan titik belok. Untuk ini kami menemukan

Jelas, dalam interval

, oleh karena itu, dalam interval ini kurvanya cembung ke atas; dalam interval

, yaitu, dalam interval ini, kurva cembung ke bawah. Sejak pada
fungsi tidak terdefinisi, maka tidak ada titik belok.

Grafik fungsinya ditunjukkan pada Gambar. 5.

Gambar 5 - Ilustrasi misalnya 7.3.

Algoritma untuk memecahkan masalah memplot grafik fungsi.

1. Temukan domain dari fungsi tersebut.

2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

3.Temukan titik stasioner.

4. Tentukan tanda turunan pada interval yang diperoleh.

5. Tentukan interval monotonisitas.

6. tentukan titik-titik ekstrem dan tentukan nilai fungsi pada titik-titik tersebut.

7. Buatlah tabel.

8. Temukan poin tambahan.

9. Gambarkan grafik fungsinya.

Sebagai contoh. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan plot grafiknya.

1. OOF:

2.

9. .___+____.___-____.___+_______

9. , maka fungsinya bertambah;

Maka fungsinya menurun;

Fungsi itu meningkat;

6. - poin maksimum, karena turunan berubah tanda dari + menjadi - ;

Poin minimum, karena Turunannya berubah tanda dari - menjadi +.

X
	+		-		+

8. Poin tambahan:

9. Membangun grafik.

2.3 . Varian kontrol bekerja.

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-1

sebuah ) f(x)\u003d 4x 2 + 6x + 3, x 0 \u003d 1;

b) ;

di) f(x)\u003d (3x 2 +1) (3x 2 -1), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x cox,

a) f(x)= 5 3x-4 ;

b) f(x) = sin(4x-7);

d) f (x) \u003d ln (x 3 + 5x).

3. Temukan kemiringan garis singgung ke grafik fungsi f (x) \u003d 4 - x 2 pada titik x 0 \u003d -3.

Pada titik dengan absis x 0 = -1.

f (x) \u003d x 2 - 2x pada titik dengan absis x 0 \u003d -2.

6. Persamaan gerak tubuh berbentuk s(t) = 2.5t 2 + 1.5t. Temukan kecepatan tubuh 4 detik setelah mulai bergerak.

7.

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-2

sebuah ) f(x)\u003d x 4 -3x 2 +5, x 0 \u003d -3;

b) ;

di) f(x)\u003d (2x 2 +1) (4 + x 3), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f (x) \u003d 4 2 x -1;

b) f(x) = cos(4x+5);

d) f(x) = +2x.

3. Temukan kemiringan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d - x 4 + x 3 pada titik x 0 \u003d - 1.

4. Di titik mana garis singgung grafik fungsi tersebut?

f (x) \u003d 3x 2 -12x +11 sejajar dengan sumbu x?

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f (x) \u003d x 3 - 3x 2 + 2x - 1 pada titik dengan absis x 0 \u003d 2.

6. Titik tersebut bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 2.5t 2 -10t + 11. Pada titik waktu berapakah kecepatan benda akan sama dengan 20? (koordinat diukur dalam meter, waktu - dalam detik).

7. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan buat grafik:

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-3

1. Tentukan nilai turunan di titik x 0

sebuah ) f(x)\u003d 7x 2 -56x + 8, x 0 \u003d 4;

b) ;

di) f(x)

G ) f(x)=3x sinx,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f (x) \u003d 2 5 x +3;

b) f(x) = os(0.5x+3);

d) f(x) = +5x.

3. Temukan kemiringan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d 2x 2 + x pada titik x 0 \u003d -2.

4. Di titik mana garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d x 2 + 4x - 12 sejajar dengan sumbu x?

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f (x) \u003d -x 2 -3x + 2 pada titik dengan absis x 0 \u003d -1.

6. Titik tersebut bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 3t 2 + t + 4. Pada titik waktu berapakah kecepatan benda sama dengan 7? (koordinat dalam meter, waktu dalam detik)

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-4

1. Tentukan nilai turunan di titik x 0

sebuah ) f(x)\u003d x 5 -4x + 8, x 0 \u003d 2;

b) ;

di) f(x)\u003d (x 3 +7) (3x 2 -1), x 0 \u003d -1;

G ) f(x)=5x cox+2,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f(x)= 3 4 x- 1 ;

b) f(x) = 2sin (2,5x-2);

d) f(x) = ln (2x 3 + x).

3. Temukan kemiringan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d 0,5x 2 + 1 pada titik x 0 \u003d 3.

4. Tentukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik dengan absis x 0 = 1.

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f(x) = x 2 +2x+1 di c

absis x 0 = - 2.

6. Titik bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 4t + t 2 - . Temukan kecepatannya pada waktu t=2 (koordinat diukur dalam meter, waktu dalam detik.)

7. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan buat grafiknya:

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-5

1. Tentukan nilai turunan di titik x 0

sebuah ) f(x)\u003d 3x 5 -12x 2 + 6x + 2, x 0 \u003d 1;

b) ;

di) f(x)= (2x+1) (x-5), x 0 = 2;

G ) f(x)=2x cos3x,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f(x)= 2 3x-4 ;

b) f (x) \u003d sin (3x 2 - 2);

d) f (x) \u003d ln (x 2 + 5x).

3. Temukan kemiringan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d 3x 2 + 40x -10 pada titik x 0 \u003d -1.

4. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi

f (x) \u003d pada titik dengan absis x 0 \u003d - 1.

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f (x) \u003d x 2 -2x + 3 pada titik dengan absis x 0 \u003d - 2.

6. Titik bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 3t 3 +2t+1. Temukan kecepatannya pada waktu t = 2 (koordinatnya dalam meter, waktu dalam detik.)

7. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan buat grafiknya:

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-6

1. Tentukan nilai turunan di titik x 0

sebuah ) f(x)\u003d 5x 3 -6x 4 + 3x 2 +1, x 0 \u003d 1;

b) ;

di) f(x)\u003d (x 2 +1) (x 3 -2), x 0 \u003d 1;

G ) f(x)=2x sin5x,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f(x)= 2 3 x+ 5 ,

b) f(x) = os(3x-1);

d) f(x) = -2x.

3. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi

f (x) \u003d 3x 3 -35x + 8 pada titik x 0 \u003d 2.

4. Di titik mana garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d x 3 -3x + 1 sejajar dengan sumbu x?

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f (x) \u003d x 2 + 3x-2 pada titik dengan absis x 0 \u003d -1.

6. Titik bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 3t 2 -2t+4. Pada titik waktu berapa kecepatan tubuh menjadi 4? (koordinat dalam meter, waktu dalam detik)

7. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan buat grafiknya:

Ujian No. 3 dengan topik "Turunan" B-7

1. Tentukan nilai turunan di titik x 0

sebuah ) f(x)\u003d x 6 -3x 2 +2, x 0 \u003d 2;

b) ;

di) f(x)\u003d (x 3 -4) (3x 2 +1), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=5x cox+2,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f(x)= 3 4 x + 2 ;

b) f(x) = 2sin (5x+2);

d) f(x) = ln (3x 2 - x).

3. Temukan kemiringan garis singgung ke grafik fungsi f (x) \u003d 0,5x 2 -1 pada titik x 0 \u003d - 3.

4. Tentukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi pada titik dengan absis x 0 = -1.

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f (x) \u003d x 2 + 2x + 1 pada titik dengan absis x 0 \u003d - 2.

6. Titik bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 4t - t 2 + . Temukan kecepatannya pada waktu t = 2 (koordinatnya dalam meter, waktu dalam detik.)

7. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan buat grafiknya:

Ujian No. 1 topik "Turunan" B-8

1. Tentukan nilai turunan di titik x 0

sebuah ) f(x)\u003d x 4 -2x 3 + 5x-1, x 0 \u003d 2;

b) ;

di) f(x)\u003d (2x 2 +1) (1 + x 3), x 0 \u003d 2;

G ) f(x)=2x sinx-1,

2. Cari turunan dari fungsi:

a) f (x) \u003d 5 2 x +3,

b) f(x) = cos(5x 2 +1);

d) f(x) = +5x.

3. Temukan kemiringan garis singgung grafik fungsi f (x) \u003d x 4 -x 2 pada titik x 0 \u003d 1.

4. Temukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi

f (x) \u003d pada titik dengan absis x 0 \u003d 2.

5. Tulis persamaan garis singgung pada grafik fungsi

f (x) \u003d x 3 -3x 2 + 2x pada titik dengan absis x 0 \u003d 2.

6. Titik bergerak menurut hukum bujursangkar x(t) = 2.5t 2 - 10t +6. Temukan kecepatan tubuh pada waktu t = 4 (koordinat diukur dalam meter, waktu dalam detik).

7. Jelajahi fungsi menggunakan turunan dan buat grafiknya:

Informasi penulis

Osiptsova Galina Petrovna

Tempat kerja, posisi:

MBOU "Sekolah menengah No. 12" kota Vyborg, guru matematika.

wilayah Leningrad

Karakteristik pelajaran (kelas)

Tingkat pendidikan:

Pendidikan umum menengah (lengkap)

Target penonton:

Guru (guru)

Kelas:

Barang:

Aljabar

Barang:

Matematika

Tujuan pelajaran:

Untuk membentuk kemampuan menerapkan turunan pada studi fungsi dan plot.

Mengembangkan pemikiran logis, kemampuan menganalisis, kemampuan mengajukan masalah, memecahkannya.

Kembangkan keinginan untuk mengungkapkan pendapat Anda.

Jenis pelajaran:

Pelajaran belajar dan konsolidasi utama dari pengetahuan baru

Siswa di kelas:

Buku teks dan tutorial yang digunakan:

WCU: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin

Literatur metodologi yang digunakan:

MK Potapov, A.V. Shevkin "Aljabar dan permulaan analisis matematika, 10". Buku untuk guru. M: "Pencerahan" 2010.

Peralatan yang digunakan:

Komputer, kamera dokumen, meja dengan algoritma penelitian fungsi, kartu tugas.

Deskripsi Singkat:

1. Pendekatan sistem-aktivitas dalam konstruksi pelajaran aljabar dan analisis dimulai di kelas 11.

Pelajaran aljabar dan memulai analisis di kelas 11

(UMK: S. M. Nikolsky, M. K. Potapov, N. N. Reshetnikov, A. V. Shevkin)

Topik pelajaran: "Penerapan turunan pada konstruksi graf fungsi"

Tujuan utama dari pelajaran:

membentuk kemampuan untuk menerapkan turunan pada studi fungsi dan plot;

mengembangkan kemampuan mengajukan masalah, memecahkannya, berpikir logis, kemampuan menganalisis;

menumbuhkan keinginan untuk mengungkapkan pendapat mereka.

Peralatan dan selebaran: komputer, kamera dokumen, meja dengan algoritma penelitian fungsi, kartu tugas.

Selama kelas

Motivasi kegiatan pendidikan.

Hallo teman-teman.

Apa yang telah Anda pelajari dalam pelajaran sebelumnya? (cara menggunakan turunan untuk mencari titik kritis, interval kenaikan, penurunan fungsi, ekstremnya, nilai terbesar (terkecil)).

Dalam pelajaran ini, kita akan terus mengeksplorasi fungsi menggunakan turunan.

Pembaruan pengetahuan.

Di layar Anda melihat grafik fungsi y=f(x):

Sifat-sifat fungsi apa yang dapat ditentukan dari grafik? Beri nama mereka.

Jawaban: 1) D(f) = R;

2) fungsinya kontinu

3) Fungsi meningkat pada segmen [-2; 0,5] dan pada interval dan pada , dan, oleh karena itu, f "(x)< 0 на (-∞; -2) и на (0,5; 3).

titik maksimum dari fungsi: x poin minimum : x=-2 x=3;

4) nilai terbesar dari fungsi tidak ada, terkecil adalah -2 pada = 3;

E(f) = [-2; +∞).

Bagaimana cara mencari titik ekstrem suatu fungsi? (Jika turunan, ketika melewati titik kritis, berubah tanda dari "+" menjadi "-", maka titik ini adalah titik maksimum, jika turunan, ketika melewati titik kritis, berubah tanda dari

“-” hingga “+”, maka titik ini merupakan titik minimum, jika turunan tidak berubah tanda saat melewati titik kritis, maka titik kritis ini bukan merupakan titik ekstrem.

Merumuskan algoritma untuk menemukan interval kenaikan, penurunan, dan ekstrem dari fungsi pada = f(x) diberikan secara analitis.

Siswa merumuskan, langkah-langkah algoritma dibuka secara berurutan di layar.

Algoritma.

1. Temukan domain dari fungsi tersebut.

2. Temukan turunan dari fungsi tersebut.

3. Temukan titik kritis.

4. Tandai domain definisi dan titik kritis pada garis nyata. Dengan menggunakan metode interval umum, tentukan tanda-tanda turunan pada interval yang diperoleh.

5. Dengan menggunakan tanda cukup, temukan interval kenaikan, penurunan, dan ekstrem dari fungsi tersebut.

Sekarang periksa fungsi f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Guru menulis di papan tulis sesuai perintah siswa. Siswa bekerja di buku catatan.

1. D(f) = R, f(x) kontinu pada D(f).

   Fungsinya bukan genap maupun ganjil, bukan periodik.

Titik persimpangan

dengan sumbu x: (0; 0) dan (-3; 0), karena

f(x) = 0, yaitu x³ + 2x² + 3x = 0

x(x² + 6x + 9) = 0

x (x + 3)² = 0

dengan sumbu y: (0; 0).

Turunan dari fungsi: f "(x) \u003d x² + 4x + 3, D (f "(x)) \u003d R

titik kritis: f "(x) \u003d 0 pada x \u003d -3, x \u003d -1.

Kami menandai titik-titik kritis pada garis bilangan dan menentukan tanda-tanda turunan pada interval yang dihasilkan:

f "(x) > 0 pada (-∞; -3) dan pada (-1; +∞); f "(x)< 0 на (-3; -1), значит, f(x) возрастает на (-∞; -3] и на [-1; +∞), убывает на [-3; -1].

f maksimal= 0 pada x = -3, f min= -4 di x = -1

4) Fungsi tidak memiliki nilai maksimum dan minimum.

Apa yang Anda ulangi?

Menurut Anda apa tugas selanjutnya yang akan saya tawarkan kepada Anda?

Jadi, Anda telah melakukan riset fitur. Dan sekarang Anda perlu, menggunakan hasil penelitian, untuk memplot fungsi f (x) \u003d x³ + 2x² + 3x.

Apakah Anda akan mengalami kesulitan?

3. Identifikasi kesulitan, masalah

Guru mengajak beberapa siswa untuk menyuarakan kesulitannya.

Tugas apa yang harus Anda selesaikan? (Menggunakan data penelitian, buat grafik fungsi).

Mengapa Anda mengalami kesulitan? (Kami tidak tahu bagaimana memplot grafik menurut studi fungsi).

Apa yang Anda gunakan untuk penelitian fitur? (turunan).

4. Membangun proyek untuk keluar dari kesulitan.

Nyatakan tujuan kegiatan Anda. (Pelajari cara menggambar grafik menggunakan studi fungsi dengan bantuan turunan).

Merumuskan topik pelajaran. (Menggunakan turunan untuk memplot grafik fungsi).

Topik pelajaran dipajang di papan tulis.

Jadi, Anda mengalami masalah dalam merencanakan grafik fungsi. Apa yang telah Anda gunakan untuk memplot grafik fungsi sebelumnya? (tabel dengan beberapa titik milik grafik).

Namun seringkali titik-titik tersebut tidak memberikan gambaran yang objektif tentang grafik tersebut. Dan sekarang, mengetahui algoritma penelitian fungsi, data apa yang akan Anda masukkan ke dalam tabel? (Anda perlu memasukkan hasil studi fungsi ke dalam tabel, lalu menggambar grafik dari tabel).

5. Pelaksanaan proyek yang dibangun

Sebuah meja kosong terbuka di papan:

Anda telah memeriksa fungsi f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x.

Buat daftar langkah-langkah yang Anda ambil untuk menjelajahi fungsi (Tabel terisi saat Anda melanjutkan)

Hasil yang diperoleh dalam tabel ditransfer ke bidang koordinat.

Apa lagi yang bisa dilakukan untuk membuat grafik lebih akurat? (Anda dapat menemukan beberapa poin tambahan milik grafik fungsi).

Grafik fungsi f(x) =⅓x³ + 2x² + 3x muncul di papan tulis.

Anda telah merencanakan sebuah fungsi.

Bagaimana Anda melakukannya? (Kami telah membuat algoritma grafik). (Sekali lagi, mari kita bicara tentang tahapan mempelajari fungsi dan membuat grafiknya).

Algoritma untuk memplot grafik menggunakan turunan..

1. D (f), kontinuitas f(x);
2. f "(x);
3. f "(x) =0, f "(x) tidak ada;

poin tambahan;

6. Konsolidasi utama dari pengetahuan yang diperoleh.

Apa yang perlu dilakukan sekarang? (Anda perlu mempelajari cara menggunakan algoritme untuk membuat grafik).

Plot sekarang grafik fungsi. f(x) = X + .

Seorang siswa bekerja di papan tulis, mengomentari tindakannya, sisanya bekerja di buku catatan.

1. D (f) = (-∞; 0) U (0; + ), f(x) kontinu pada D (f).
2. Turunan fungsi: f "(x) \u003d 1 - 4 / x².

   D(f ") = (-∞; 0) U (0; + ).

Poin kritis: \u003d 0 untuk x \u003d 2 dan x \u003d -2, tidak ada titik di mana f "() tidak ada.

5. Poin tambahan:

6. Fungsi grafik:

Cobalah untuk menggambar grafiknya sendiri.

Grafik muncul di layar untuk verifikasi.

7. Bekerja mandiri dengan pemeriksaan diri sesuai sampel

Dan sekarang mari kita periksa bagaimana Anda masing-masing memahami bagaimana menerapkan algoritma yang dibangun.

	Pilihan 1. Jelajahi fungsi dan plot grafiknya Pilihan 2. Menurut studi yang dilakukan sebagian, buatlah grafik fungsi

Siswa menyelesaikan tugas sendiri, setelah menyelesaikan pekerjaan, siswa membandingkan pekerjaan mereka dengan sampel rinci:

Pilihan 1 .

1) D(f)=R, fungsi kontinu.

2) kamu | = 3x 2 - 6x

3) 3x 2 - 6x = 0; D(f | ) = R

X 1 = 0; X 2 = 2

¦ / ( X)

Pilihan 2.

1) D(f)=R, fungsi kontinu.

2) kamu= 6 x 2 - 6

3) 6x 2 - 6 = 0; D(f | ) = R

X 1 = − 1; X 2 = 1

Tugas siapa yang menyebabkan kesulitan?

Pada langkah algoritma apa?

- Apa penyebab masalahnya?

- Siapa yang mengerjakan tugas dengan benar?

8. Inklusi dalam sistem pengetahuan dan pengulangan.

Sekarang mari kita lihat di mana tugas ujian Anda dapat menerapkan pengetahuan yang diperoleh.

Menyelesaikan masalah:

1. Temukan himpunan nilai fungsi.

2. Berapa nilai parameternya? R persamaan = p memiliki 2 akar, 1 akar, tidak ada akar?

1) Jawaban: (− ; 4] U )