Ketika saya pertama kali belajar tentang prinsip ini, saya memiliki perasaan mistisisme. Tampaknya alam secara misterius memilah-milah semua kemungkinan cara pergerakan sistem dan memilih yang terbaik dari mereka.

Hari ini saya ingin berbicara sedikit tentang salah satu prinsip fisik yang paling luar biasa - prinsip tindakan paling sedikit.

Latar Belakang

Sejak zaman Galileo, telah diketahui bahwa benda-benda yang tidak dikenai gaya apapun bergerak dalam garis lurus, yaitu sepanjang lintasan terpendek. Sinar cahaya juga merambat dalam garis lurus.

Ketika dipantulkan, cahaya juga bergerak sedemikian rupa untuk berpindah dari satu titik ke titik lain dengan cara terpendek. Pada gambar, jalur terpendek adalah jalur hijau, di mana sudut datang sama dengan sudut pantul. Jalur lain, seperti yang merah, akan lebih panjang.

Ini mudah dibuktikan dengan hanya memantulkan jalur sinar ke sisi berlawanan dari cermin. Mereka ditampilkan dalam garis putus-putus dalam gambar.

Terlihat bahwa jalur hijau ACB berubah menjadi garis lurus ACB'. Dan jalur merah berubah menjadi garis putus-putus ADB ', yang tentu saja lebih panjang dari yang hijau.

Pada 1662, Pierre Fermat menyarankan bahwa kecepatan cahaya dalam zat padat, seperti kaca, lebih kecil daripada di udara. Sebelum ini, versi yang diterima secara umum adalah Descartes, yang menyatakan bahwa kecepatan cahaya dalam materi harus lebih besar daripada di udara untuk mendapatkan hukum pembiasan yang benar. Bagi Fermat, asumsi bahwa cahaya dapat bergerak lebih cepat dalam medium yang lebih padat daripada medium yang dijernihkan tampaknya tidak wajar. Oleh karena itu, ia berasumsi bahwa segala sesuatunya justru sebaliknya dan membuktikan hal yang menakjubkan - dengan asumsi ini, cahaya dibiaskan untuk mencapai tujuannya dalam waktu minimum.

Pada gambar lagi, warna hijau menunjukkan jalur yang sebenarnya dilalui berkas cahaya. Jalur yang ditandai dengan warna merah adalah yang terpendek, tetapi bukan yang tercepat, karena cahaya memiliki jalur yang lebih panjang untuk bergerak di kaca, dan kecepatannya lebih lambat di dalamnya. Yang tercepat adalah jalur sebenarnya dari berkas cahaya.

Semua fakta ini menunjukkan bahwa alam bertindak dengan cara yang rasional, cahaya dan benda bergerak dengan cara yang paling optimal, mengeluarkan usaha sesedikit mungkin. Tapi apa upaya ini, dan bagaimana menghitungnya, tetap menjadi misteri.

Pada tahun 1744, Maupertuis memperkenalkan konsep "aksi" dan merumuskan prinsip yang menurutnya lintasan sebenarnya dari suatu partikel berbeda dari yang lain dalam tindakan untuk itu minimal. Namun, Maupertuis sendiri belum bisa memberikan definisi yang jelas tentang apa yang dimaksud dengan tindakan ini. Formulasi matematika yang ketat dari prinsip tindakan terkecil dikembangkan oleh matematikawan lain - Euler, Lagrange, dan akhirnya diberikan oleh William Hamilton:

Dalam bahasa matematika, prinsip tindakan terkecil dirumuskan dengan cukup singkat, tetapi tidak semua pembaca dapat memahami arti dari notasi yang digunakan. Saya ingin mencoba menjelaskan prinsip ini dengan lebih jelas dan lebih sederhana.

tubuh longgar

Jadi, bayangkan Anda sedang duduk di dalam mobil pada suatu titik dan pada suatu titik waktu Anda diberi tugas sederhana: pada titik waktu tersebut Anda perlu mengemudikan mobil ke titik .

Bahan bakar untuk mobil mahal dan, tentu saja, Anda ingin menghabiskannya sesedikit mungkin. Mobil Anda dibuat menggunakan teknologi super terbaru dan dapat dipercepat atau diperlambat secepat yang Anda inginkan. Namun, itu dirancang sedemikian rupa sehingga semakin cepat, semakin banyak bahan bakar yang dikonsumsi. Selain itu, konsumsi bahan bakar sebanding dengan kuadrat kecepatan. Jika Anda mengemudi dua kali lebih cepat, Anda mengkonsumsi bahan bakar 4 kali lebih banyak dalam jumlah waktu yang sama. Selain kecepatan, konsumsi bahan bakar tentu saja dipengaruhi oleh massa mobil. Semakin berat mobil kita, semakin banyak bahan bakar yang dikonsumsi. Konsumsi bahan bakar mobil kami pada setiap saat adalah , mis. persis sama dengan energi kinetik mobil.

Jadi bagaimana Anda perlu mengemudi untuk sampai ke tujuan tepat waktu dan menggunakan bahan bakar sesedikit mungkin? Jelas bahwa Anda harus berjalan lurus. Dengan bertambahnya jarak yang ditempuh, bahan bakar yang akan dikonsumsi justru tidak berkurang. Dan kemudian Anda dapat memilih taktik yang berbeda. Misalnya, Anda dapat dengan cepat tiba di titik terlebih dahulu dan hanya duduk, menunggu waktu yang akan datang. Kecepatan mengemudi, dan karenanya konsumsi bahan bakar pada setiap saat, akan tinggi, tetapi waktu mengemudi juga akan berkurang. Mungkin konsumsi bahan bakar keseluruhan dalam hal ini tidak akan terlalu besar. Atau Anda dapat pergi secara merata, dengan kecepatan yang sama, sehingga, tanpa terburu-buru, tepat tiba pada saat waktu itu. Atau bagian dari jalan untuk pergi cepat, dan bagian lebih lambat. Apa cara terbaik untuk pergi?

Ternyata cara mengemudi yang paling optimal dan paling ekonomis adalah mengemudi dengan kecepatan konstan, seperti berada di titik tepat pada waktu yang ditentukan. Pilihan lain akan menggunakan lebih banyak bahan bakar. Anda dapat memeriksa sendiri dengan beberapa contoh. Alasannya adalah bahwa konsumsi bahan bakar meningkat dengan kuadrat kecepatan. Oleh karena itu, saat kecepatan meningkat, konsumsi bahan bakar meningkat lebih cepat daripada penurunan waktu mengemudi, dan konsumsi bahan bakar secara keseluruhan juga meningkat.

Jadi, kami menemukan bahwa jika sebuah mobil mengkonsumsi bahan bakar pada waktu tertentu sebanding dengan energi kinetiknya, maka cara paling ekonomis untuk pergi dari titik ke titik pada waktu yang ditentukan adalah dengan mengemudi secara merata dan dalam garis lurus, seperti sebuah benda bergerak tanpa adanya gaya yang bekerja padanya. Cara mengemudi lainnya akan menghasilkan konsumsi bahan bakar keseluruhan yang lebih tinggi.

Di medan gravitasi

Sekarang mari kita perbaiki mobil kita sedikit. Mari kita pasang mesin jet agar bisa terbang bebas ke segala arah. Secara umum, desainnya tetap sama, sehingga konsumsi bahan bakar tetap proporsional dengan energi kinetik mobil. Jika tugas sekarang diberikan untuk berangkat dari suatu titik waktu dan tiba di suatu titik pada waktu t, maka cara yang paling ekonomis, seperti sebelumnya, tentu saja, akan terbang secara seragam dan dalam garis lurus untuk tiba di titik tepat di waktu yang ditentukan t. Ini sekali lagi sesuai dengan gerakan bebas tubuh dalam ruang tiga dimensi.

Namun, perangkat yang tidak biasa dipasang di model mobil terbaru. Unit ini mampu menghasilkan bahan bakar secara harfiah dari nol. Tetapi desainnya sedemikian rupa sehingga semakin tinggi mobil, semakin banyak bahan bakar yang dihasilkan perangkat pada waktu tertentu. Output bahan bakar berbanding lurus dengan ketinggian di mana kendaraan saat ini berada. Selain itu, semakin berat mobil, semakin kuat perangkat yang dipasang di atasnya dan semakin banyak bahan bakar yang dihasilkan, dan output berbanding lurus dengan massa mobil. Peralatan ternyata sedemikian rupa sehingga keluaran bahan bakar persis sama dengan (di mana percepatan jatuh bebas), mis. energi potensial mobil.

Konsumsi bahan bakar pada setiap momen waktu sama dengan energi kinetik dikurangi energi potensial mobil (dikurangi energi potensial, karena kendaraan yang dipasang menghasilkan bahan bakar, dan tidak menghabiskan). Sekarang tugas kita adalah pergerakan mobil yang paling ekonomis antar titik dan itu menjadi lebih sulit. Gerak seragam bujursangkar dalam hal ini bukan yang paling efektif. Ternyata lebih optimal untuk mendaki sedikit, berlama-lama di sana, setelah mengembangkan lebih banyak bahan bakar, dan kemudian turun ke intinya. Dengan jalur penerbangan yang benar, konsumsi bahan bakar total karena pendakian akan menutupi biaya bahan bakar tambahan untuk menambah panjang jalur dan meningkatkan kecepatan. Jika dihitung dengan cermat, cara paling ekonomis untuk sebuah mobil adalah terbang dalam parabola, dalam lintasan yang sama persis dan dengan kecepatan yang persis sama dengan batu yang terbang di medan gravitasi bumi.

Di sini ada baiknya membuat penjelasan. Tentu saja, adalah mungkin untuk melempar batu dari suatu titik dengan banyak cara yang berbeda sehingga mengenai titik tersebut . Tetapi Anda harus melemparnya sedemikian rupa sehingga, setelah terbang keluar dari suatu titik pada waktu tertentu, ia mengenai suatu titik tepat pada waktunya. Gerakan inilah yang akan menjadi yang paling ekonomis untuk mobil kita.

Fungsi Lagrange dan prinsip tindakan terkecil

Sekarang kita dapat mentransfer analogi ini ke tubuh fisik yang nyata. Analog dari intensitas konsumsi bahan bakar untuk tubuh disebut fungsi Lagrange atau Lagrangian (untuk menghormati Lagrange) dan dilambangkan dengan huruf . Lagrangian menunjukkan berapa banyak "bahan bakar" yang dikonsumsi tubuh pada waktu tertentu. Untuk benda yang bergerak dalam medan potensial, Lagrangian sama dengan energi kinetiknya dikurangi energi potensialnya.

Analog dari jumlah total bahan bakar yang dikonsumsi untuk seluruh waktu pergerakan, mis. nilai akumulasi Lagrangian selama seluruh waktu gerak disebut "aksi".

Prinsip tindakan terkecil adalah bahwa tubuh bergerak sedemikian rupa sehingga tindakan (yang tergantung pada lintasan gerak) adalah minimal. Dalam hal ini, orang tidak boleh lupa bahwa kondisi awal dan akhir diberikan, mis. di mana tubuh berada pada waktu dan waktu.

Dalam hal ini, tubuh tidak harus bergerak dalam medan gravitasi yang seragam, yang kami pertimbangkan untuk mobil kami. Anda dapat mempertimbangkan situasi yang sama sekali berbeda. Sebuah benda dapat berosilasi pada karet gelang, berayun pada bandul atau terbang mengelilingi Matahari, dalam semua kasus ini ia bergerak sedemikian rupa untuk meminimalkan "konsumsi bahan bakar total" yaitu. tindakan.

Jika sistem terdiri dari beberapa benda, maka Lagrangian sistem tersebut akan sama dengan energi kinetik total semua benda dikurangi energi potensial total semua benda. Dan sekali lagi, semua tubuh akan bergerak bersama sehingga efek dari seluruh sistem selama gerakan tersebut minimal.

Tidak begitu sederhana

Bahkan, saya sedikit curang dengan mengatakan bahwa tubuh selalu bergerak sedemikian rupa untuk meminimalkan tindakan. Meskipun dalam banyak kasus hal ini benar, adalah mungkin untuk memikirkan situasi di mana tindakannya jelas tidak minimal.

Sebagai contoh, mari kita ambil sebuah bola dan letakkan di tempat yang kosong. Agak jauh dari itu, kami memasang dinding elastis. Katakanlah kita ingin bola berakhir di tempat yang sama setelah beberapa waktu. Di bawah kondisi yang diberikan ini, bola dapat bergerak dengan dua cara berbeda. Pertama, dia hanya bisa diam. Kedua, Anda bisa mendorongnya ke arah dinding. Bola akan mencapai dinding, memantul dan kembali. Jelas bahwa Anda dapat mendorongnya dengan kecepatan sedemikian rupa sehingga ia akan kembali pada waktu yang tepat.

Kedua varian gerakan bola itu mungkin, tetapi aksi dalam kasus kedua akan lebih besar, karena selama ini bola akan bergerak dengan energi kinetik yang tidak nol.

Bagaimana prinsip tindakan terkecil dapat diselamatkan sehingga berlaku dalam situasi seperti itu? Kami akan membicarakan ini di.

1. Kinematika titik material. Titik material dipahami sebagai objek fisik, yang secara geometris setara dengan titik matematika, tetapi memiliki massa. Kinematika adalah cabang ilmu fisika yang mempelajari jenis-jenis gerak benda tanpa mempertimbangkan penyebab gerak. Posisi suatu titik dalam ruang dicirikan oleh vektor radius. Jari-jari-vektor suatu titik adalah vektor yang awalnya bertepatan dengan asal sistem koordinat, dan yang ujungnya bertepatan dengan titik yang dipertimbangkan. r = saya x + j y + k z. Kecepatan adalah jarak yang ditempuh oleh suatu benda per satuan waktu. v(t) = d r/dt. v(t) = saya dx/dt + j dy/tt + k dz/dt. Percepatan adalah laju perubahan kecepatan. sebuah=d v/dt = d2 r/dt2= saya d2x/dt2 + j h 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . sebuah = sebuah τ + sebuah n= τ dv/dt + n v2/R.

d r = v dt; d v = sebuah dt, oleh karena itu v = v 0 + sebuah t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + sebuah t2/2.

2. Dinamika titik material. hukum Newton. Konsep dasar dalam dinamika adalah konsep massa dan gaya. Gaya adalah penyebab gerakan, mis. di bawah pengaruh kekuatan tubuh mendapatkan kecepatan. Gaya adalah besaran vektor. Massa adalah ukuran kelembaman suatu benda. Hasil kali massa dan kecepatan disebut momentum. p= m v. Momentum sudut suatu titik material adalah vektor L = r * p. Momen gaya yang bekerja pada suatu titik material disebut vektor M = r * F. Jika kita bedakan ekspresi untuk momentum sudut, kita dapatkan: d L/dt=d r/dt* p + r*d p/dt. Mengingat bahwa d r/dt= v dan v paralel p, kita mengerti L/dt= M.hukum Newton. Hukum pertama Newton menyatakan bahwa suatu benda mempertahankan keadaan diam atau gerak lurus beraturan jika tidak ada gaya lain yang bekerja padanya atau tindakan mereka dikompensasi. Hukum kedua Newton menyatakan bahwa perubahan momentum terhadap waktu adalah nilai konstan dan sama dengan gaya kerja d p/ dt = d / dt (m v) = md v/dt= F.Ini adalah hukum kedua Newton yang ditulis dalam bentuk diferensial. Hukum ketiga Newton mengatakan bahwa dalam interaksi dua benda, masing-masing dari mereka bekerja pada yang lain dengan nilai yang sama, tetapi berlawanan arah, gaya. F 1 = - F 2 .

3. Dinamika sistem poin material. hukum konservasi. Sistem poin material adalah totalitas jumlah terbatas mereka. Setiap titik sistem dipengaruhi oleh kekuatan internal (dari titik lain) dan eksternal. Biarkan m menjadi massa, r adalah vektor jari-jari. x i , y i , z i - kabel. titik ke-i. Impuls dari sistem titik material adalah jumlah impuls dari titik material yang membentuk sistem: p= (i=1,n) p saya = [ p 1 + p 2 +…+ p n]. Momentum sudut sistem titik material adalah jumlah momen momentum yang membentuk sistem titik material: L = Σ [ L saya ] = [ r saya * p saya ]. Gaya yang bekerja pada sistem titik material didefinisikan sebagai jumlah semua gaya yang bekerja pada titik-titik sistem, termasuk gaya interaksi antara titik-titik sistem: F = Σ [ F aku dimana F saya = F i' + (j i) F ji adalah gaya yang bekerja pada titik material sistem, dilambangkan dengan indeks i. Itu terdiri dari kekuatan eksternal F i ' dan gaya dalam (i j) [ F ji ], bertindak pada titik sebagai hasil interaksi dengan titik lain dari sistem. Maka: F = (i=1,n) [ F i ’] + (i=1,n) (j i) [ F Ji]. Menurut hukum ketiga Newton (i=1,n) (j i) [ F ji ] = 0, jadi F = Σ [ F saya']. Momen gaya yang bekerja pada sistem titik material adalah jumlah momen gaya yang diterapkan pada titik-titik sistem M= (i) [ M i ] = (i) [ r saya * F i ] = (i) [ r saya * F saya']. Untuk sistem titik material, persamaan gerak memiliki bentuk d p/ dt = = [ F saya ].

Pusat massa sistem titik material adalah titik imajiner dengan vektor jari-jari R= 1/mΣ . Kecepatan gerakannya V=d R/dt. Maka persamaan gerak m d V/dt= F. Persamaan momen untuk sistem titik material d L/dt= M. hukum konservasi. Sistem terisolasi adalah sistem yang tidak terpengaruh oleh gaya eksternal. Di dalam dia F= 0, jadi d p/dt = 0. Maka p= konstanta Dalam sistem yang terisolasi, momen gaya eksternal M= 0. Oleh karena itu, d L/dt = 0, yang berarti L= konstanta Perubahan energi kinetik suatu titik material ketika bergerak antara dua posisi sama dengan pekerjaan yang dilakukan oleh gaya. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = (1,2) F d aku atau m 0 v 2 /2 + E p \u003d const.

4. Gerak dalam bidang simetris terpusat. hukum Kepler. Medan disebut pusat jika energi potensial benda di dalamnya hanya bergantung pada jarak r ke titik tetap tertentu. Memaksa F= - U(r)/ r= - dU/dr r/r yang bekerja pada partikel, dalam nilai absolut juga hanya bergantung pada r dan diarahkan pada setiap titik sepanjang vektor radius. Ketika bergerak di medan pusat, momen sistem relatif terhadap pusat medan adalah kekal. Untuk satu momen partikel M = [r*R]. Karena vektor M dan r saling tegak lurus, kekonstanan M berarti bahwa ketika partikel bergerak, vektor jari-jarinya selalu berada pada bidang yang sama - bidang yang tegak lurus terhadap M. Dengan demikian, lintasan partikel di medan pusat terletak seluruhnya dalam satu pesawat. Memperkenalkan koordinat kutub r, di dalamnya, kami menulis fungsi Lagrange dalam bentuk L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 2 (∙)) - U(r). Fungsi ini tidak secara eksplisit memuat koordinat . Untuk koordinat seperti itu, momentum umum p i yang bersesuaian dengannya adalah integral gerak. Dalam hal ini, momentum umum p = mr 2 (∙) bertepatan dengan momen M z = M, sehingga M = mr 2 (∙) (1). Perhatikan bahwa untuk gerak bidang satu partikel dalam medan pusat, hukum ini mengakui interpretasi geometris sederhana. Ekspresi 1/2 r r d adalah luas sektor yang dibentuk oleh dua vektor radius dekat tak terhingga dan elemen busur lintasan. Dengan menyatakannya sebagai df, kita tuliskan momentum partikel dalam bentuk M = 2mf, di mana turunan f disebut kecepatan sektoral. Oleh karena itu, kekekalan momentum berarti kekonstanan kecepatan sektoral - untuk periode waktu yang sama, vektor jari-jari dari suatu titik yang bergerak menggambarkan luas yang sama ( hukum kedua Kepler). Mengekspresikan (∙) melalui M dari (1) dan mensubstitusi ke dalam ekspresi energi, kita mendapatkan: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙ )/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Jadi r(∙) = (2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) atau, pisahkan variabel dan integrasikan: t = dr/√(2/m (E – U( r)) - M 2 /m 2 r 2) + konstanta. Selanjutnya, tulis (1) sebagai dφ = M 2 /mr 2 dt, subtitusikan dt di sini dan integralkan, kita temukan: = dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + konstanta. hukum pertama Kepler. Setiap planet berputar dalam elips dengan Matahari di salah satu fokusnya. hukum ketiga Kepler. Kuadrat periode sideris planet-planet berhubungan sebagai pangkat tiga dari sumbu semi-mayor orbitnya T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Fungsi Lagrange dan persamaan Lagrange dari sistem titik material. Integral gerak. Pertimbangkan sistem tertutup poin material. Fungsi Lagrange untuknya memiliki bentuk L = (a) – U(r 1 , r 2 , …), di mana T = (a) adalah energi kinetik dan U adalah energi potensial interaksi partikel. Maka persamaan gerak d/dt (∂L/∂v a) = L/∂r a berbentuk m a dv a /dt = - U/∂r a . Persamaan gerak ini disebut persamaan Newton. vektor F a = - U/∂r a disebut gaya. Jika bukan koordinat titik Cartesian yang digunakan untuk menggambarkan gerakan, tetapi koordinat umum arbitrer q i , maka untuk mendapatkan fungsi Lagrangian, perlu dilakukan transformasi yang sesuai: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s) , x a (∙) = (k ) [∂f a /∂q k (∙)], dll. Substitusi ekspresi ini ke dalam fungsi L= 1 / 2 (a) – U, kita memperoleh fungsi Lagrange yang diinginkan dari bentuk L = 1/2 (i,k) – U(q). Integral gerak. Ada fungsi koordinat umum yang mempertahankan nilai konstan selama pergerakan, hanya bergantung pada kondisi awal. Mereka disebut integral gerak. Karena homogenitas waktu, dL/ dt = (i) [∂L/∂q i q i (∙)] + (i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Mengganti L/∂q i menurut persamaan Lagrange dengan d/dt (∂L/∂q i (∙)), kita mendapatkan dL/dt = (i) atau d/dt (Σ(i) - L) = 0 Hal ini menunjukkan bahwa besaran E = (i) – L, yang disebut energi, tidak berubah, yaitu integral gerak. Karena homogenitas ruang pada transfer yang sangat kecil, ketika semua titik sistem dipindahkan oleh = r, perubahan fungsi Lagrange, sama dengan L = (a) [∂L/∂r a ], harus sama dengan nol, yaitu (a) [∂L/∂r a ] = 0. Dengan menggunakan persamaan Lagrange, kita memperoleh (a) = d/dt (Σ(a)[ L/∂v a ]) = 0. Maka besarannya R= (a)[ L/∂v a ], yang disebut momentum, tetap tidak berubah, mis. integral gerak. Karena isotropi ruang pada rotasi yang sangat kecil melalui sudut , perubahan fungsi Lagrange sama dengan L = (a) [∂L/∂r a r a + L/∂v a v a] harus nol. Membuat perubahan L/∂ v a = p a dan L/∂ r a = p a (∙) mengingat kesewenang-wenangan , kita peroleh d/dt (a) [ r sebuah p a ] = 0. Nilai = (a) [ r sebuah p a], yang disebut momentum sudut, tetap konstan, yaitu integral gerak.

6. Dinamika tubuh yang benar-benar kaku. Tensor inersia. persamaan Euler. Benda tegar adalah sistem titik material, yang jaraknya tetap konstan. Untuk gambaran lengkap tentang gerak benda tegar, selain gerak salah satu titiknya, perlu diketahui gerak benda di dekat titik ini sebagai titik tetap. Biarkan benda ditetapkan pada titik O. Kami menyatakan vektor jari-jari titik m i terhadap O r saya , w adalah kecepatan sudut sesaat benda, maka momentum sudut L= Σ [ r I MI v saya ] = = w- . Persamaan vektor ini dapat ditulis sebagai tiga proyeksi pada sumbu koordinat L x = w x - ; L y = w y - ; L z = w z - . Mengingat bahwa ( w r i) = x i w x + y i w y + z i w z kita mendapatkan L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , di mana J xx = , J xy = , yang lain serupa. Nilai J xx , J yy , J zz disebut momen inersia aksial, dan J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy disebut momen inersia sentrifugal. Himpunan nilai J ij disebut tensor inersia. Unsur-unsur J ii disebut diagonal. Jika semua elemen di luar diagonal sama dengan nol, maka mereka mengatakan bahwa sumbu benda yang bertepatan dengan sumbu koordinat adalah sumbu utama inersia, dan jumlah J ii disebut momen inersia utama. Tensor seperti itu direduksi menjadi bentuk diagonal.

persamaan Euler. Persamaan gerak pusat massa benda berbentuk m d v 0 /dt = md/dt ( w * r 0) = F, di mana r 0 adalah vektor jari-jari pusat massa benda, yang ditarik dari titik perlekatannya. Lebih mudah untuk mengarahkan sumbu sistem koordinat yang terkait dengan tubuh di sepanjang sumbu utama inersia. Dalam hal ini, momentum sudut memperoleh bentuk sederhana L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , dan w i adalah proyeksi kecepatan sudut ke sumbu koordinat yang bergerak bersama dengan tubuh. Menggunakan rumus umum d A/dt = A/∂t + w* A, kita dapat merepresentasikan persamaan momen sebagai berikut: L/∂t + w * L = M. Mempertimbangkan bahwa L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , kami menulis ulang persamaan ini dalam proyeksi ke sumbu sistem koordinat bergerak: J x dw x /dt + (J z - J y )w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Persamaan ini disebut persamaan Euler.

7. Gerak relatif terhadap kerangka acuan non-inersia. NISO adalah sistem di mana benda bergerak dengan percepatan relatif terhadap keadaan diam. sistem koordinat. Di sini konsep homogenitas dan isotropi ruang dan waktu tidak terpenuhi, karena durasi dan panjang di NISO bervariasi. Selain itu, isi dari hukum 3 Newton dan hukum kekekalan hilang. Alasan untuk semuanya adalah gaya inersia yang hanya terkait dengan sistem koordinat, kucing. mempengaruhi pergerakan tubuh. KEMUDIAN. percepatan dapat diubah oleh gaya eksternal atau inersia. F=∑Fi=ma (ISO), F=F(ext.)+Fi=ma′(NISO), di mana Fi adalah gaya inersia, a adalah percepatan. tubuh di IFR, a′-accel. tubuh yang sama di NISO. Di NISO, hukum 1 Newton tidak terpenuhi! Fi=-m(a′-a), mis. gaya inersia tidak mematuhi sumur z ke-3 Newton, karena mereka berumur pendek. Selama transisi dari ISO ke NISO, gaya inersia menghilang. Kelembaman kekuatan selalu diarahkan ke kelopak mata. kekuatan luar. Gaya-gaya inersia dapat ditambahkan secara vektor. Dalam ISO: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/ dt′+dv(t)/dt′=a x ' + a 0 = a x . Konsep kecepatan absolut, relatif dan translasi diperkenalkan di NISO: u 0 - kecepatan absolut, a 0 - akselerasi relatif. terbengkalai sistem koordinat.

u x 0 \u003d v + u x 0 '; a x 0 \u003d a ' + a x; u x ' a x - kecepatan dan percepatan relatif. pergerakan sistem koordinat. (relatif) ; v, kecepatan a. dan dipercepat. k′ merujuk. k, yaitu kecepatan dan akselerasi portabel

8. Prinsip variasi Hamilton. (prinsip tindakan paling sedikit).

Ada -fungsi koordinat umum, kecepatan, waktu. Pertimbangkan ruang berdimensi 2S, maka posisi sistem S = (t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L adalah fungsi Lagrange; S-aksi. Fungsi aksi disebut itnegral S=∫ Ldt=0, dengan kucing. diambil sepanjang lintasan gerak yang sebenarnya, sistem akan memiliki nilai minimum, yaitu S=Smin, S=0. Itu. sistem dari 1 ke 2 bergerak sepanjang lintasan sedemikian rupa sehingga aksinya minimal - prinsip Hamilton tentang aksi terkecil. L = T – U adalah selisih antara energi kinetik dan energi potensial sistem. Menurut Hamilton, lintasan nyata sesuai dengan aksi minimum. Mari kita cari lintasan. Lintasan sebenarnya adalah lintasan minimum. S-fungsional. Mari kita cari min. S = 0 variasi pertama. S = (t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i g i ] + [∂L/∂g i ( ) g i ( )])dt; (t 1 ,t 2) L/∂g i ( ) g i ( ) dt = (t 1 ,t 2) L/∂g i ( ) dδg i = L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - (t 1 ,t 2) g i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

g saya tidak bergantung satu sama lain
=0
pada lintasan yang sebenarnya, persamaan berikut harus dipenuhi:
- Persamaan Lagrange (untuk sembarang i= 1,…S).

9. Osilasi sistem dengan satu dan banyak derajat kebebasan. Getaran bebas dan paksa . Kasus paling sederhana adalah ketika sistem memiliki satu derajat kebebasan. Kesetimbangan yang stabil sesuai dengan posisi sistem seperti itu, pada kucing. potensinya. id. U(q) memiliki minimum. Penyimpangan dari posisi ini menyebabkan munculnya gaya - dU/dq, yang cenderung membawa sistem kembali. q 0 - koordinat umum. Kami memperluas U(q) - U(q0) dalam pangkat dan mendapatkan U(q) - U(q0) k / 2 (q - q 0) 2 di mana k \u003d U ''(q 0) adalah koefisien positif . U(q 0) \u003d 0, kami menyatakan x \u003d q - q 0 - penyimpangan koordinat dari nilai kesetimbangan, maka U (x) \u003d kx 2 / 2 adalah energi potensial. 1/2a(q) q' 2 = 1/2a(q)x' 2 -energi kinetik pada q = q0 dan a(q0) = m kita mendapatkan fungsi Lagrange untuk sistem yang melakukan osilasi satu dimensi: L = mx 2 (∙) /2 – kx 2 /2. Persamaan gerak yang sesuai dengan fungsi ini adalah: mx(∙∙) + kx = 0 atau x(∙∙) + w 2 x = 0, di mana w = (k/m) adalah frekuensi osilasi siklik. Solusi untuk ur-th ini adalah x \u003d a cos (wt + ) di mana a adalah amplitudo osilasi, wt + adalah fase osilasi. kemudian. energi sistem yang berosilasi adalah E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Getaran paksa. Dalam hal ini, bersama dengan energi potensialnya sendiri kx 2, sistem juga memiliki energi potensial U e (x, m) yang terkait dengan aksi medan eksternal. Dengan demikian, fungsi Lagrange dari sistem tersebut adalah: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), di mana F(t) adalah gaya eksternal.

Persamaan gerak yang sesuai adalah mx(∙∙) + kx = F(t), atau x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Jika F(t) adalah fungsi periodik sederhana dari waktu dengan beberapa frekuensi : F(t) = f cos(γt + ) maka solusi persamaan gerak adalah: X = a cos(wt + ) + f cos(γt + )/(m(w 2 – 2)) a dan ditentukan dari kondisi awal. Itu. di bawah aksi gaya penggerak, sistem membuat gerakan yang mewakili kombinasi dua osilasi - dengan frekuensi alami sistem w dan dengan frekuensi gaya penggerak - . Osilasi sistem dengan banyak derajat kebebasan . Pot. id. sistem U(q i) memiliki minimum pada q i =q i 0 . Memperkenalkan perpindahan kecil x i = q i - q i 0 dan memperluas U di dalamnya dengan akurasi suku orde ke-2, kita memperoleh potensial. energi: U = 1/2 (i,k) , k ik =k ki . kin. id. untuk sistem seperti itu adalah 1/2 (i,k) , di mana m ik =m ki . Persamaan Lagrange untuk sistem seperti itu adalah: L = 1/2 (i,k) . Maka dL = (i,k) . Kami mencari x k (t) dalam bentuk x k \u003d A k exp (-iwt), A k adalah konstanta. Mensubstitusikan ini ke dalam persamaan Lagrange, kita memperoleh sistem persamaan homogen linier. (k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - persamaan karakteristik, memiliki s akar yang berbeda w 2 (α=1,2,….,s) w - frekuensi alami dari sistem. Solusi tertentu dari sistem memiliki bentuk: x k = kα C exp(-iw t). Solusi umum adalah jumlah dari semua solusi khusus: x k = (α) [∆ kα Q α ], di mana Q = Re (C exp(-iw t)).

10. Persamaan kanonik Hamilton. Beberapa kelebihan dalam mempelajari soal-soal mekanika adalah deskripsi dengan bantuan koordinat dan momentum umum, transisi dari satu himpunan variabel bebas ke variabel bebas lainnya dapat dilakukan dengan transformasi Legendre. Dalam hal ini, turun ke berikut. Diferensial total fungsi Lagrange sebagai fungsi koordinat dan kecepatan adalah: dL = (i) [∂L/∂q i ] + (i) [[∂L/∂q i (∙)]. Ekspresi ini dapat ditulis sebagai dL = (i) + (i) . Mari kita tulis ulang dalam bentuk: d(Σ(i) – L) = - (i) + (i) . Nilai di bawah tanda diferensial adalah energi sistem yang dinyatakan dalam koordinat dan momentum, dan disebut fungsi Hamilton: H (p, q, t) = (i) - L. Dari dif. persamaan dH = - (i) + (i) ikuti persamaan: q i (∙) = H/∂p i , p i (∙) = - H/∂q i adalah persamaan Hamilton. Mengingat kesederhanaan dan simetri mereka, mereka juga disebut. resmi. kurung Poison. Turunan waktu dari setiap fungsi F dari koordinat umum, momen dan waktu adalah dF/dt = F/∂t + (i) [∂F/∂q i dq i /dt] + (i) [∂F/∂ p saya dpi /dt]. Dengan menggunakan persamaan Hamilton, kita dapat menulis ulang persamaan ini dalam bentuk berikut: dF/dt = F/∂t + , di mana = (i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - H/∂q i ∂F /∂ p i ] - dipanggil. kurung Poisson. Jelas, persamaan Hamilton dapat ditulis menggunakan tanda kurung Poisson.

11. Persamaan Hamilton-Jacobi . Dengan prinsip aksi terkecil, kita memiliki S = (t 1 ,t 2)Ldt. Pertimbangkan aksi (S) sebagai besaran yang mencirikan pergerakan di sepanjang lintasan yang sebenarnya. Berdasarkan persamaan Lagrange untuk mengubah aksi ketika berpindah dari satu lintasan ke lintasan lain yang dekat dengannya (dengan satu derajat kebebasan), kita mendapatkan: S = pδq atau untuk sejumlah derajat kebebasan: S = (i) . Oleh karena itu, turunan parsial dari aksi terhadap koordinat sama dengan momen yang sesuai: S/∂q i = p i (1). Menurut definisi, dS/dt = L, di sisi lain, dengan mempertimbangkan S sebagai fungsi koordinat dan waktu dan menggunakan rumus (1), kita memiliki: dS/dt = S/∂t + (i) [∂S /∂q i q i (∙)] = S/∂t + (i) . Membandingkan kedua ekspresi, kita mendapatkan S/∂t = L - (i) atau S/∂t = - H(p,q,t) (2). Rumus (1), (2) dapat ditulis bersama sebagai dS = (i) – Hdt. Dan aksi (S) itu sendiri adalah S = (Σ(i) – Hdt). Untuk H bebas dari t, S(q,t)=S 0 (q) - Et, di mana S 0 (q) = (i) [∫p i dq i ] adalah aksi yang diperpendek dan t digantikan oleh H(p ,q) . Fungsi S(q,t) memenuhi dif tertentu. persamaan yang kita peroleh dengan mengganti impuls dalam relasi (2) dengan turunan S/∂q: S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, S/∂q s ;q 1 ,… ,q s ,t) = 0 adalah persamaan turunan parsial orde 1 yang disebut. persamaan Hamilton-Jacobi. Jadi, untuk satu partikel dalam medan luar U(x,y,z,t) berbentuk: S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂ y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Deformasi dan tegangan pada benda padat. Modulus Young, geser. rasio Poisson . Deformasi adalah perubahan bentuk dan volume benda di bawah pengaruh kekuatan eksternal. Di bawah aksi kekuatan eksternal, bentuk tubuh berubah. Semua deformasi di alam dapat dikurangi menjadi 3 m deformasi utama: 1) ketegangan, kompresi; 2) geser; 3) torsi. Membedakan deformasi homogen dan tidak homogen. Jika semua bagian dideformasi dengan cara yang sama, maka ini terdeformasi seragam. Jika semua bagian tubuh berubah bentuk secara berbeda, maka ini terdeformasi secara tidak homogen. Hukum Hooke dipenuhi di daerah deformasi elastis saja. = E’. F/S = E l/l 0 ; Kontrol F = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; Kontrol F \u003d ESx / l 0. Hukum Hooke mendefinisikan hubungan antara dan . k adalah koefisien elastisitas, itu tergantung pada dimensi geometris, bahan dari mana tubuh dibuat. E adalah modulus Young. Modulus young sama dengan gaya yang harus diberikan pada benda dengan penampang satuan agar benda tersebut bertambah 2 kali lipat. Jenis deformasi lainnya adalah deformasi geser, yang diamati ketika permukaan diterapkan secara tangensial; itu sejajar dengan permukaan deformasi geser, diamati di bawah aksi gaya tangensial, yaitu, gaya diterapkan secara tangensial. ~F t /S (sudut geser). = nF t /S; n adalah faktor pergeseran. Ft = nS. (E> N, E~ 4N).

Hubungan kuantitatif antara E dan N diberikan melalui rasio Poisson. N = E/(2(1+μ)), di mana adalah rasio Poisson. = |∆d/h 0 |/|∆l/l 0 |. Rasio Poisson menentukan perubahan dimensi transversal selama tarik atau tekan. 0,5.

13. Mekanika zat cair dan gas. Untuk semua cairan dan gas, parameter pemersatu adalah: densitas , tekanan P=F n /S. Dalam cairan dan gas, modulus Young terjadi, tetapi modulus geser |σ|=|P|, - tegangan tidak terjadi. Jika cairan (gas) tidak bergerak, maka kita berhadapan dengan hidrostatika (aerostatika). Hukum karakteristik: Hukum Pascal: tekanan berlebih yang dibuat dalam gas dan cairan ditransmisikan secara merata ke segala arah. Zn Archimedes berlaku untuk cairan dan gas. Gaya Archimedes selalu bekerja melawan gaya gravitasi. Alasan munculnya gaya Archimedes adalah adanya benda bervolume V. Z-n Archimedes: Suatu benda dalam zat cair atau gas selalu dipengaruhi oleh gaya yang besarnya sama dengan berat zat cair atau gas yang dipindahkan oleh bagian yang tercelup tubuh, dan diarahkan vertikal ke atas. Jika F A > F BERAT, maka benda tersebut mengapung, sebaliknya jika tenggelam. Jika cairan (gas) mengalir, maka persamaan kontinuitas jet ditambahkan ke persamaan ini. Lintasan gerak partikel dalam zat cair disebut. baris saat ini. Bagian dari ruang yang dibatasi oleh garis arus disebut. tabung saat ini. Fluida dalam stream tube dapat mengalir stasioner atau non stasioner. Arus disebut stasiun jika melalui bagian tertentu dari tabung arus per unit. waktu melewati jumlah yang sama dari cairan (gas), jika tidak, aliran non-statis. Biarkan kita memiliki tabung arus dengan bentuk berikut: Jika aliran fluida statis. Maka m 1 =m 2 =…=m n per satuan waktu, jika fluida tak termampatkan, maka 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , 1 x 1 = 2 x 2 =…; \u003d n x n, 1 1 tS 1 \u003d ρ 2 υ 2 tS 2 =…= n n tS n, karena zat cair tak termampatkan ρ konstan υ 1 S 1 = υ 2 S 2 =… = n S n , S=konst; =const/S adalah persamaan kontinuitas jet. p d v/dt = g– lulusan P – persamaan. Euler - urutan ke-2. Newton untuk zat cair dan gas. Hukum dipertahankan. Energi dalam zat cair dan gas. Lv. Bernoulli. Indo. naz. Fluida inkompresibel dimana gaya gesekan viskos dapat diabaikan. Energi kinetik tidak dihabiskan untuk melakukan usaha melawan gaya gesekan. 2 /2+ρgh + P = const – eq. Bernoulli, 2 /2 – tekanan dinamis, gh – hidrostat. Tekanan, P - tekanan molekul. Mυ 2 /2 \u003d E K; mυ 2 /2V= E K /V= 2 /2. Gaya gesekan viskos F A = ​​- S/ΔZ 6 r η – Gaya Stokes. - koefisien. viskositas, /ΔZ – tingkat , r – dimensi tubuh. Ini adalah rumus Newton untuk gaya gesekan kental. Jika ada gaya gesekan dalam fluida, maka id. Cairan menjadi kental. v 1 2 /2 + gh 1 + P 1 = v 2 2 /2 + gh 2 + P 2 ; (P 1 - P 2) \u003d (υ 2 2 - 1 2) / 2. Jika P = 0, maka 2 2 - 1 2 = 0, dan tidak akan ada aliran fluida. Di mana P lebih besar, di sana cepat. Kurang arus. Jika penampang S bertambah, maka P bertambah dan berkurang. Jika tabung saat ini tidak terletak secara horizontal, maka 2 2 -υ 1 2 \u003d 2g (h 1 -h 2); \u003d sqrt (2g (h 1 -h 2)) - rumus Torricelli.

1. Prinsip Hamilton-Ostrogradsky

Sekarang telah menjadi salah satu prinsip dasar mekanika. Untuk sistem mekanik holonomik, dapat langsung diperoleh sebagai konsekuensi dari prinsip d'Alembert-Lagrange. Pada gilirannya, semua sifat gerak sistem mekanik holonomik dapat diperoleh dari prinsip Hamilton-Ostrogradsky.

Pertimbangkan gerakan sistem titik material relatif terhadap beberapa kerangka acuan inersia di bawah aksi gaya aktif.Biarkan kemungkinan perpindahan titik-titik sistem dibatasi oleh kendala holonomik ideal. Mari kita nyatakan koordinat Cartesian dari titik sebagai dan koordinat Lagrangian independen sebagai Hubungan antara koordinat Cartesian dan Lagrangian diberikan oleh hubungan

Berikut ini, kita akan mengasumsikan bahwa koordinat diwakili oleh fungsi variabel bernilai tunggal, kontinu, dan terdiferensiasi arbitrer. Selain itu, kita akan mengasumsikan bahwa dari setiap posisi sistem, parameter dapat berubah baik dalam arah positif maupun negatif. . Kami akan mempertimbangkan gerakan sistem mulai dari saat waktu tertentu sampai saat Biarkan posisi awal sistem sesuai dengan nilai

Koordinat Lagrangian dan posisi sistem saat ini - nilai Mari kita mempertimbangkan -dimensi ruang koordinat dan waktu yang diperluas di mana satu titik sesuai dengan setiap posisi spesifik sistem. Dalam ruang dimensi yang diperluas seperti itu, gerakan sistem diwakili oleh kurva tertentu, yang akan disebut lintasan sistem berikut ini. Dua poin akan sesuai dengan posisi awal dan akhir sistem di sini. Dalam gerakan aktual sistem dari posisi ke posisi, koordinat Lagrangian berubah terus menerus, mendefinisikan kurva dalam ruang dimensi, yang akan kita sebut lintasan nyata sistem. Hal ini dimungkinkan untuk membuat sistem bergerak sesuai dengan kendala yang dikenakan pada sistem dari posisi ke posisi dalam interval waktu yang sama, tetapi sepanjang lintasan yang berbeda, dekat dengan yang sebenarnya, tanpa khawatir memenuhi persamaan gerak. Kami menyebut lintasan dalam ruang dimensi seperti itu sebagai lintasan bundaran. Membandingkan gerakan di sepanjang lintasan sebenarnya dan jalan memutar, mari kita tentukan sendiri tujuan untuk menentukan lintasan sebenarnya di antara jalan memutar. Biarkan posisi sistem pada suatu saat pada lintasan sebenarnya ditandai dengan titik P, dan posisi sistem pada saat yang sama pada lintasan bundaran - dengan titik P (Gbr. 252).

Segmen yang menghubungkan dua titik pada lintasan yang berbeda pada saat yang sama akan mewakili kemungkinan pergerakan sistem saat ini. Ini sesuai dengan perubahan koordinat Lagrangian pada saat bergerak dari posisi P ke posisi P dengan jumlah. pergerakan sistem akan sesuai dengan variasi koordinat Cartesian, yang dapat dinyatakan dalam variasi koordinat Lagrange dalam bentuk persamaan

Pertimbangkan keluarga "lintasan" satu parameter yang sewenang-wenang

masing-masing menghubungkan titik-titik yang melewatinya pada waktu, masing-masing, dan membiarkan nilai parameter sesuai dengan lintasan aktual (jalur langsung) yang dilalui sistem dalam waktu dari posisi ke posisi , yaitu, semua lintasan lain yang menghubungkan titik-titik di Pergerakan sistem sepanjang lintasan apa pun akan sesuai dengan perubahan koordinat Lagrangian karena perubahan waktu ketika parameter a tetap tidak berubah. Parameter a hanya akan berubah ketika berpindah dari satu lintasan ke lintasan lainnya. Variasi koordinat sekarang akan didefinisikan sebagai berikut:

dan turunan waktu dari koordinat akan memiliki bentuk

Biarkan koordinat Lagrangian menjadi fungsi terdiferensiasi kontinu bernilai tunggal dari . Kemudian

Hubungan yang diperoleh dalam mekanika disebut "permutable". Operasi diferensiasi hanya dapat diubah jika semua koordinat independen dan tidak terhubung oleh hubungan yang tidak dapat diintegrasikan.

Mari kita tunjukkan bahwa permutabilitas operasi variasi dan diferensiasi juga berlaku untuk koordinat Cartesian. Biarlah

Perhatikan turunan waktu dari

Di sisi lain,

Dengan mengurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama, kita peroleh

dari mana mengikuti

yaitu operasi diferensiasi dan variasi dapat diubah untuk koordinat Cartesian juga, jika hanya kendala ideal holonomik yang dikenakan pada sistem titik material.

Mari kita lanjutkan ke definisi lintasan sebenarnya di antara semua jalan memutar. Gerak sebenarnya dari sistem terjadi sesuai dengan prinsip d'Alembert-Lagrange

yang menentukan “tren” gerakan sebenarnya (actual movement) pada setiap momen waktu. Perhatikan integralnya

diambil sepanjang lintasan sebenarnya dari sistem. Semua lintasan sistem yang dibandingkan dimulai pada waktu yang sama dan dari titik yang sama dalam ruang dimensi. Mereka semua berakhir pada titik yang sama pada saat yang sama dalam waktu. Oleh karena itu, pada ujung lintasan di , kondisi

Kami mengubah persamaan yang dihasilkan dengan mengintegrasikan oleh bagian ekspresi

dan karena variasi menghilang di ujung lintasan, kita memiliki

Karena komutabilitas operasi diferensiasi dan variasi, kami memiliki

setelah itu persamaan mengambil bentuk

Dalam bentuk ini, persamaan yang dihasilkan menyatakan "prinsip aksi terkecil" Hamilton untuk sistem mekanis umum. Pada lintasan sebenarnya dari sistem, integral dari fungsi menghilang

Jika gaya-gaya yang bekerja pada sistem memiliki fungsi gaya , maka hubungan berikut berlaku:

dan persamaan di atas berbentuk

Karena variasi tidak terkait dengan perubahan waktu, operasi variasi dan integrasi dapat ditukar:

yaitu integral pada lintasan nyata memiliki nilai stasioner.

Kami telah menunjukkan perlunya nilai stasioner integral pada lintasan nyata. Mari kita tunjukkan bahwa lenyapnya variasi integral adalah kondisi yang cukup untuk gerak sistem yang sebenarnya. Untuk melakukan ini, cukup diperoleh persamaan gerak sistem dari prinsip Hamilton.

Pertimbangkan sistem mekanis dengan kendala ideal holonomik, yang posisinya ditentukan oleh koordinat Lagrangian dan gaya hidup

tergantung pada kecepatan umum, koordinat dan waktu. Mempertimbangkan hubungan yang terkenal

Mari kita tulis ulang prinsip Hamilton dalam bentuk

Melakukan variasi tenaga kerja

dan kemudian mengintegrasikan dengan bagian

karena pada ujung interval variasi koordinat sama dengan nol, dari prinsip Hamilton kita peroleh

Variasi bersifat arbitrer dan independen dalam interval, dan kemudian, berdasarkan lemma utama kalkulus variasi, persamaan hanya akan mungkin jika semua koefisien di hilang, yaitu, ketika kondisinya

Persamaan yang dihasilkan harus valid dalam gerakan sebenarnya dari sistem mekanik. Kecukupan prinsip Hamilton dibuktikan dengan fakta bahwa persamaan-persamaan ini adalah persamaan Lagrange jenis kedua, yang menggambarkan gerak suatu sistem mekanis di mana kendala ideal holonomik diterapkan.

Prinsip Hamilton untuk sistem mekanis dengan kendala ideal holonomik sekarang dapat dirumuskan sebagai berikut:

Gerak sebenarnya dari suatu sistem dengan hubungan ideal holonomik antara dua posisi yang diberikan berbeda dari kemungkinan gerak kinematis antara posisi-posisi ini yang dilakukan selama interval waktu yang sama, di mana integral menghilang pada gerak nyata

untuk semua nilai yang memenuhi kondisi yang ditentukan.

Penggunaan prinsip d'Alembert memungkinkan untuk tidak memperhitungkan gaya reaksi ikatan dan memungkinkan untuk menerapkan koordinat umum yang sewenang-wenang. Namun, memperoleh persamaan dalam koordinat umum bisa sulit karena adanya produk skalar dalam prinsip d'Alembert (2.13). Dengan bantuan transformasi koordinat, persamaan (2.13) dapat ditransformasikan ke dalam bentuk yang hanya berisi fungsi skalar dari koordinat umum. Kami akan menunjukkan cara lain, ketika pada awalnya seseorang beralih dari prinsip d'Alembert ke prinsip variasi integral. Derivasi persamaan mekanika dari prinsip variasi memungkinkan untuk memperoleh banyak hasil penting. Di masa depan, prinsip-prinsip variasi mulai digunakan di bidang fisika teoretis lainnya.

Pertimbangkan kasus ketika kekuatan memiliki potensi. Maka kerja maya dari gaya akan ditulis dalam bentuk (2.14)

Secara umum, energi potensial dapat bergantung pada waktu. Karena variasi dihitung pada nilai tetap, ini tidak mempengaruhi kesimpulan dengan cara apa pun. Saat menggunakan koordinat umum, energi potensial pada akhirnya merupakan fungsi dari koordinat umum. Maka variasi energi potensial akan berbentuk

(2.15)

Dengan analogi dengan ekspresi (1.12), turunan parsial energi potensial terhadap koordinat umum disebut Kekuatan umum:

Untuk mentransformasikan suku dengan percepatan ke variasi dari fungsi skalar, pertama-tama kita integrasikan persamaan (2.9) dalam waktu: . (2.17)

(2.18)

Kami akan mengasumsikan bahwa awal pada saat waktu DAN posisi akhir pada saat waktu sistem poin material diberikan. Oleh karena itu, untuk momen waktu ini sama dengan nol, dan suku pertama dalam (2.18) hilang. Karena variasi koordinat dianggap untuk waktu tetap, turunan waktu dan variasi dapat dipertukarkan. Suku kedua pada (2.18) diubah menjadi bentuk

(2.19)

Transformasi yang sama dapat dibuat untuk semua koordinat semua titik material. Kami juga memperhitungkan ekspresi (2.14) untuk pekerjaan virtual dalam hal fungsi potensial. Akibatnya, untuk integral (2.17) kita peroleh

. (2.20) Selisih antara energi kinetik dan energi potensial yang termasuk dalam integral terakhir dalam rumus (2.20) disebut Fungsi Lagrange dan ditandai dengan huruf . Fungsi Lagrange tergantung pada koordinat dan kecepatan titik material. Ketika diteruskan ke koordinat umum, itu dinyatakan dalam koordinat umum dan kecepatan umum:

Waktu mungkin tidak disertakan dalam fungsi Lagrange. Integral dari (2.20) dilambangkan dengan huruf dan disebut tindakan; (2.22)

Setelah memperkenalkan notasi ini, kondisi (2.20) mengambil bentuk . (2.23)

Variasi tindakan adalah nol. Ini berarti bahwa aksi memiliki ekstrem, mengambil nilai terbesar atau terkecil, jika fungsi yang menggambarkan pergerakan sistem mekanis disubstitusikan ke integral (2.22) sebagai ketergantungan. Oleh karena itu, kondisi ekstrem aksi dapat digunakan untuk menemukan hukum gerak sistem titik material.

Sekarang kita bisa merumuskan prinsip integral, ditelepon Prinsip Hamilton: Gerak sistem mekanik selama periode waktu yang terbatas dari Sebelum Itu terjadi sedemikian rupa sehingga tindakan itu memiliki ekstrem.

Untuk sistem konservatif, prinsip Hamilton setara dengan hukum Newton. Oleh karena itu, dapat dianggap sebagai prinsip dasar mekanika, yang darinya semua persamaan mekanika diturunkan.Ini adalah prinsip variasi, karena ketergantungan koordinat umum terhadap waktu ditemukan dari kondisi integral aksi minimum. Salah satu keuntungan menerapkan prinsip Hamilton adalah hanya mencakup fungsi skalar yang dapat dihitung ulang ke koordinat umum yang berubah-ubah. Oleh karena itu, persamaan yang mengikuti prinsip variasi segera ditulis dalam koordinat umum. Memperoleh persamaan mekanika dari prinsip variasi juga memungkinkan untuk memecahkan sejumlah pertanyaan mendasar mekanika klasik.

KULIAH 2 ELEKTRON - GELOMBANG DAN PARTIKEL

Mari kita lihat eksperimen ini. Elektron dari energi tertentu, terbang keluar dari sumber, melewati satu per satu melalui lubang kecil di penghalang yang ditempatkan di jalurnya, dan kemudian jatuh di piring fotografi, atau di layar luminescent, di mana mereka meninggalkan jejak. Setelah pengembangan pelat fotografi, orang dapat melihat di atasnya serangkaian garis-garis terang dan gelap bergantian, yaitu. pola difraksi, yang merupakan fenomena fisik yang agak kompleks, termasuk, pada kenyataannya, difraksi (yaitu, pembulatan rintangan oleh gelombang) dan interferensi (superposisi gelombang).

Tanpa memikirkan detailnya, mari kita pertimbangkan fenomena ini. Kami mencatat poin-poin berikut:

− difraksi dan interferensi yang diamati dalam eksperimen semacam itu

dengan elektron, mereka berbicara tentang manifestasi sifat gelombang oleh mereka (dan, secara umum, oleh partikel mikro), karena hanya gelombang yang mampu membelok di sekitar rintangan dan saling tumpang tindih di titik pertemuan;

- bahkan ketika elektron melewati lubang satu per satu (yaitu dengan interval yang besar), pola difraksi yang dihasilkan tetap sama dengan shelling masif, yang berarti

tentang manifestasi sifat gelombang setiap elektron individu;

− untuk menjelaskan difraksi elektron, perlu dibandingkan dengan pergerakannya beberapa fungsi gelombang, yang sifat-sifatnya harus menentukan pola difraksi yang diamati. Tetapi karena ada fungsi gelombang, maka harus ada persamaan gelombang, yang solusinya adalah fungsi ini.

Jadi, kita akan memulai studi bukan tentang persamaan itu sendiri, tetapi tentang fungsinya, yaitu. solusi persamaan gelombang Tapi pertama-tama, kita ingat prinsip Hamilton, yang bekerja sebagai aksioma dalam mekanika kuantum.

PRINSIP HAMILTON

Pada tahun 1833 Sir Hamilton, dalam karyanya "On a General Method of Expressing the Paths of Light and Planets by the Coefficients of a Certain Characteristic Function," menguraikan gagasannya, yaitu sebagai berikut:

Penyajian hukum-hukum mekanika biasanya dimulai dengan hukum-hukum Newton. Tetapi, seseorang dapat memulai dari "ujung yang lain", yaitu, dari perumusan pernyataan yang sangat umum, yang disebut prinsip tindakan paling sedikit. Menurut prinsip ini, gerakan nyata dari sistem mekanis (tidak seperti semua yang dapat dibayangkan lainnya)

gerakan) sesuai dengan ekstrim (dan untuk interval waktu yang cukup kecil t = t 2 t 1 minimum) nilai integral, yang disebut

diberikan oleh "aksi" S = Ldt ,

di mana L adalah beberapa fungsi koordinat, kecepatan dan, secara umum, waktu, yang disebut "fungsi Lagrange".

Seperti yang ditunjukkan Hamilton, kuantitas apa pun dalam mekanika sesuai dengan kuantitas yang analog dengannya dalam optik geometris. Dengan demikian, perambatan gelombang bidang dapat direpresentasikan sebagai perpindahan dalam ruang dari permukaan fase konstan = const . Pada saat yang sama, pergerakan sistem titik material yang identik sepanjang kumpulan lintasan dapat dikaitkan dengan pergerakan dalam ruang dari beberapa permukaan dengan aksi konstan S = const . Analogi "fase" - "aksi" dapat dilanjutkan, maka besaran seperti energi dan frekuensi, serta momentum dan vektor gelombang, akan "mirip" (yaitu, rumusnya serupa, meskipun artinya berbeda).

E = S t ; = t ; p = S; k = .

Operator nabla diperkenalkan oleh Hamilton

= ∂ x i + y j + z k .

Analogi optik-mekanik yang ditemukan oleh Hamilton tidak menarik perhatian selama lebih dari 100 tahun. Dan hanya de Broglie yang memahami signifikansi analogi ini untuk sifat ganda objek mikro (kita akan membahas hubungan de Broglie nanti). Namun, untuk pekerjaan lebih lanjut, kita perlu membandingkan objek dengan massa diam dan gelombang.

FORMULA GELOMBANG BIDANG.

Menurut prinsip Hamilton, gerakan satu dimensi elektron (benda dengan massa diam) dalam arah sumbu "x" dapat dikaitkan dengan gelombang monokromatik bidang:

	= A cos 2π					t
	= A dosa 2π					t

amplitudo (dengan nilai absolut maksimum A ),

- panjang gelombang, - frekuensi, t - waktu.

Mari kita perkenalkan frekuensi melingkar = 2 dan vektor gelombang k = 2 n ,

di mana n adalah vektor satuan yang menunjukkan arah pergerakan gelombang bidang; Kemudian:

= Acos(kx ω t)

= A sin(kx t ) (6)

Ekspresi (kx t ) disebut fase gelombang (ϕ ).

Lebih mudah untuk menulis ekspresi (6) dalam bentuk kompleks yang setara:

= A (cosϕ + i sinϕ ) = Ae i , (7)

di mana A juga bisa kompleks. Ekspresi e i = cos + i sin (8) adalah rumus Euler.

Fungsi (8) periodik dengan periode 2 n (n = 0, ± 1; ± 2;...). PADA

(7) ada karakteristik gelombang dan karakteristik diskrit yang sesuai dengan periode (8). Jadi, kita telah mengambil langkah pertama untuk memperoleh fungsi gelombang yang sebanding dengan gerakan elektron bebas dengan menulis rumus (7).

EKSPERIMEN UNTUK MENCARI SHELL ELEKTRONIK.

Jadi, elektron dapat diasosiasikan dengan partikel tanpa massa diam, yang menunjukkan sifat gelombang. Fakta ini pertama kali diprediksi oleh fisikawan Prancis terkemuka Louis de Broglie pada tahun 1924 berdasarkan prinsip Hamilton, dan kemudian dibuktikan secara eksperimental pada tahun 1927. Amerika J. Davisson dan A. Germer.

Louis de Broglie menyarankan bahwa elektron yang bergerak bebas dengan momentum p dan energi E dapat dikaitkan dengan gelombang dengan vektor gelombang k dan frekuensi , dan:

	p = h					(9) dan E = h (10).

(Ingat bahwa h \u003d 2 h \u003d 1,054 10 - 34 J s)

Hubungan ini telah memainkan peran yang luar biasa dalam sejarah penciptaan fisika kuantum, karena mereka adalah hubungan yang telah terbukti secara eksperimental. Mari kita memahami esensi dari eksperimen Davisson dan Gerrmer. Davisson, mempelajari refleksi elektron dari padatan, berusaha untuk "menyelidiki" konfigurasi medan listrik yang mengelilingi atom individu, yaitu. mencari cangkang elektronik

ki atom. Pada tahun 1923 Bersama dengan muridnya G. Kansman, ia memperoleh kurva untuk distribusi elektron yang tersebar di seluruh sudut tergantung pada kecepatan berkas awal (tidak terhambur).

Skema pemasangannya sangat sederhana, energi pancaran, sudut datang pada target, dan posisi detektor diubah. Menurut fisika klasik, elektron yang tersebar harus terbang ke segala arah. Intensitasnya tidak boleh bergantung pada sudut atau energi. Inilah yang terjadi dalam eksperimen Davisson dan Kansman. Hampir ..., tetapi masih ada maxima kecil pada kurva distribusi dalam sudut dari energi, mereka dijelaskan oleh ketidakhomogenan medan di dekat atom target. Fisikawan Jerman J. Frank dan W. Elsasser menyarankan bahwa ini disebabkan oleh difraksi elektron. Perselisihan membantu menyelesaikan kasus ini. Pada tahun 1927 Davisson, bersama dengan Germer, bereksperimen dengan pelat nikel. Udara secara tidak sengaja masuk ke dalam instalasi, dan permukaan logam teroksidasi. Itu perlu untuk menghilangkan film oksida dengan menganil kristal dalam tungku suhu tinggi di lingkungan pereduksi, setelah itu percobaan dilanjutkan. Tapi hasilnya berbeda. Alih-alih perubahan monoton (atau hampir monoton) dalam intensitas elektron yang tersebar dengan sudut, maxima dan minima yang diucapkan diamati, posisinya tergantung pada energi elektron. Alasan untuk perubahan tajam dalam pola hamburan adalah pembentukan kristal tunggal nikel sebagai hasil dari pembakaran, yang berfungsi sebagai kisi difraksi. Jika de Broglie benar, dan elektron memiliki sifat gelombang, maka pola hamburannya harus menyerupai pola sinar-X, dan perhitungan pola sinar-X dilakukan menurut rumus Bragg yang telah diketahui sebelumnya. Jadi, untuk kasus yang ditunjukkan pada gambar, sudut antara bidang Bragg dan arah hamburan elektron maksimum adalah 650 . Jarak "a" yang diukur dengan metode sinar-X antara bidang dalam kristal tunggal Ni adalah 0,091 nm.

Persamaan Bragg yang menggambarkan posisi maksimum selama difraksi memiliki bentuk: n = 2asin (n adalah bilangan bulat).

Dengan asumsi n = 1 dan menggunakan nilai eksperimen a″

dan , kita peroleh untuk :

= 2 0,091 sin 650 = 0,165 nm.

Rumus De Broglie:

yang sangat sesuai dengan eksperimen. Selanjutnya, hasil serupa diperoleh oleh Tom-

son (1928) dan pada tahun 1930 oleh banyak fisikawan lainnya.

Jadi, baik eksperimen maupun teori telah menunjukkan dualitas perilaku elektron. Terlepas dari sifat revolusioner dari sudut pandang ini, struktur internal elektron masih tetap tidak jelas. Namun, peristiwa sering terjadi dalam sains, berkat itu dimungkinkan untuk melewati bidang pengetahuan yang tidak dapat diatasi dan mengambil langkah-langkah tertentu di jalur kemajuan dalam jalan memutar.

Pada 1920-an, pada awal mekanika kuantum, fisikawan menetapkan tugas lain untuk diri mereka sendiri - untuk membangun mekanika dunia mikro, mis. menemukan hukum yang menentukan gerak elektron dalam berbagai kondisi

kondisi, tanpa menggunakan model yang menggambarkan struktur internalnya.

Jadi: kami memiliki objek mikro dengan muatan negatif dan massa tertentu, yang entah bagaimana menggabungkan sifat gelombang dan partikel. Pertanyaannya adalah: apa saja ciri-ciri deskripsi fisik gerak benda mikro semacam itu? Satu fitur sudah jelas. Gerakan tanpa kehilangan energi hanya dapat dilakukan oleh partikel tanpa massa diam, yang memiliki sifat gelombang eksklusif, yaitu foton. Tetapi fitur lain dari objek ini adalah tanpa istirahat. Menggabungkan dua fitur mikropartikel ini membutuhkan aksioma, atau prinsip khusus. Salah satu prinsip paling penting untuk menggambarkan objek semacam itu, yang pada saat-saat sulit dipahami mengubah esensinya dan mencerminkan sifat gelombang atau sel darah, adalah prinsip ketidakpastian.