Misalkan T adalah sebuah benda revolusi yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu absis trapesium lengkung yang terletak pada setengah bidang atas dan dibatasi oleh sumbu absis, garis lurus x=a dan x=b dan grafik fungsi kontinu y =f(x) .

Mari kita buktikan bahwa ini tubuh revolusi dapat dikub dan volumenya dinyatakan dengan rumus

V=\pi \int\limits_(a)^(b) f^2(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)y^2\,dx\,.

Pertama, kita buktikan bahwa benda revolusi ini beraturan jika kita menganggap sebagai \Pi bidang Oyz tegak lurus terhadap sumbu revolusi. Perhatikan bahwa bagian yang terletak pada jarak x dari bidang Oyz adalah lingkaran dengan jari-jari f(x) dan luasnya S(x) adalah \pi f^2(x) (Gbr. 46). Oleh karena itu, fungsi S(x) kontinu karena kontinuitas f(x) . Selanjutnya, jika S(x_1)\miring S(x_2), maka ini berarti . Tetapi proyeksi bagian-bagian ke bidang Oyz adalah lingkaran dengan jari-jari f(x_1) dan f(x_2) dengan pusat O , dan dari f(x_1)\leqslant f(x_2) maka lingkaran berjari-jari f(x_1) terdapat dalam lingkaran berjari-jari f(x_2) .

Jadi, rotasi tubuh teratur. Oleh karena itu, ia dapat berbentuk kubus dan volumenya dihitung dengan rumus

V=\pi \int\limits_(a)^(b) S(x)\,dx= \pi \int\limits_(a)^(b)f^2(x)\,dx\,.

Jika trapesium lengkung dibatasi baik dari bawah maupun dari atas oleh kurva y_1=f_1(x), y_2=f_2(x) , maka

V= \pi \int\limits_(a)^(b)y_2^2\,dx- \pi \int\limits_(a)^(b)y_1^2\,dx= \pi\int\limits_(a )^(b)\Bigl(f_2^2(x)-f_1^2(x)\Bigr)dx\,.

Rumus (3) juga dapat digunakan untuk menghitung volume benda revolusi dalam kasus ketika batas dari angka yang berputar diberikan oleh persamaan parametrik. Dalam hal ini, kita harus menggunakan perubahan variabel di bawah tanda integral tertentu.

Dalam beberapa kasus ternyata lebih mudah untuk menguraikan benda-benda revolusi tidak menjadi silinder melingkar lurus, tetapi menjadi bentuk-bentuk dari jenis yang berbeda.

Sebagai contoh, mari kita cari volume tubuh yang diperoleh dengan memutar trapesium lengkung di sekitar sumbu y. Pertama, mari kita cari volume yang diperoleh dengan memutar persegi panjang dengan ketinggian y#, yang alasnya terletak segmen . Volume ini sama dengan selisih volume dua silinder lurus berbentuk lingkaran

\Delta V_k= \pi y_k x_(k+1)^2- \pi y_k x_k^2= \pi y_k \bigl(x_(k+1)+x_k\bigr) \bigl(x_(k+1)- x_k\bigr).

Tapi sekarang jelas bahwa volume yang diinginkan diperkirakan dari atas dan bawah sebagai berikut:

2\pi \sum_(k=0)^(n-1) m_kx_k\Delta x_k \leqslant V\leqslant 2\pi \sum_(k=0)^(n-1) M_kx_k\Delta x_k\,.

Dari sini mudah mengikuti rumus volume benda berputar mengelilingi sumbu y:

V=2\pi \int\limits_(a)^(b) xy\,dx\,.

Contoh 4 Hitunglah volume bola berjari-jari R.

Keputusan. Tanpa kehilangan keumuman, kita akan mempertimbangkan lingkaran berjari-jari R yang berpusat di titik asal. Lingkaran ini, berputar di sekitar sumbu Ox, membentuk bola. Persamaan lingkaran adalah x^2+y^2=R^2 , jadi y^2=R^2-x^2 . Mengingat simetri lingkaran terhadap sumbu y, pertama-tama kita cari setengah dari volume yang diinginkan

\frac(1)(2)V= \pi\int\limits_(0)^(R)y^2\,dx= \pi\int\limits_(0)^(R) (R^2-x^ 2)\,dx= \left.(\pi\!\left(R^2x- \frac(x^3)(3)\right))\right|_(0)^(R)= \pi\ !\left(R^3- \frac(R^3)(3)\right)= \frac(2)(3)\pi R^3.

Jadi, volume seluruh bola adalah \frac(4)(3)\pi R^3.

Contoh 5 Hitung volume kerucut yang tingginya h dan jari-jari alasnya r.

Keputusan. Kami memilih sistem koordinat sehingga sumbu Ox bertepatan dengan ketinggian h (Gbr. 47), dan kami mengambil bagian atas kerucut sebagai titik asal. Maka persamaan garis OA dapat ditulis sebagai y=\frac(r)(h)\,x .

Dengan menggunakan rumus (3), kita peroleh:

V=\pi \int\limits_(0)^(h) y^2\,dx= \pi \int\limits_(0)^(h) \frac(r^2)(h^2)\,x ^2\,dx= \left.(\frac(\pi r^2)(h^2)\cdot \frac(x^3)(3))\right|_(0)^(h)= \ frac(\pi)(3)\,r^2j\,.

Contoh 6 Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan memutar di sekitar sumbu absis asteroid \begin(cases)x=a\cos^3t\,\\ y=a\sin^3t\,.\end(cases)(Gbr. 48).

Keputusan. Mari kita membangun sebuah asteroid. Pertimbangkan setengah dari bagian atas asteroid, yang terletak simetris terhadap sumbu y. Dengan menggunakan rumus (3) dan mengubah variabel di bawah tanda integral tertentu, kita menemukan batas-batas integrasi untuk variabel baru t.

Jika x=a\cos^3t=0 , maka t=\frac(\pi)(2) , dan jika x=a\cos^3t=a , maka t=0 . Diketahui y^2=a^2\sin^6t dan dx=-3a\cos^2t\sin(t)\,dt, kita mendapatkan:

V=\pi \int\limits_(a)^(b) y^2\,dx= \pi \int\limits_(\pi/2)^(0) a^2\sin^6t \bigl(-3a \cos^2t\sin(t)\bigr)\,dt= \ldots= \frac(16\pi)(105)\,a^3.

Volume seluruh tubuh yang dibentuk oleh rotasi asteroid adalah \frac(32\pi)(105)\,a^3.

Contoh 7 Temukan volume tubuh yang diperoleh dengan memutar di sekitar sumbu y dari trapesium lengkung yang dibatasi oleh sumbu absis dan lengkungan pertama cycloid \begin(cases)x=a(t-\sin(t)),\\ y=a(1-\cos(t)).\end(cases).

Keputusan. Kami menggunakan rumus (4): V=2\pi \int\limits_(a)^(b)xy\,dx, dan ganti variabel di bawah tanda integral, dengan mempertimbangkan bahwa busur pertama cycloid terbentuk ketika variabel t berubah dari 0 menjadi 2\pi . Dengan demikian,

\begin(aligned)V&= 2\pi \int\limits_(0)^(2\pi) a(t-\sin(t))a(1-\cos(t))a(1-\cos( t))\,dt= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi) (t-\sin(t))(1-\cos(t))^2\,dt= \\ &= 2\pi a^3 \int\limits_(0)^(2\pi)\bigl(t-\sin(t)- 2t\cos(t)+ 2\sin(t)\cos( t)+ t\cos^2t- \sin(t)\cos^2t\bigr)\,dt=\\ &= \left.(2\pi a^3\!\left(\frac(t^2 )(2)+ \cos(t)- 2t\sin(t)- 2\cos(t)+ \sin^2t+ \frac(t^2)(4)+ \frac(t)(4)\sin2t+ \frac(1)(8)\cos2t+ \frac(1)(3)\cos^3t\right))\right|_(0)^(2\pi)=\\ &= 2\pi a^3 \!\left(2\pi^2+1-2+\pi^2+\frac(1)(8)+ \frac(1)(3)-1+2- \frac(1)(8) - \frac(1)(3)\kanan)= 6\pi^3a^3. \end(selaras)

Javascript dinonaktifkan di browser Anda.
Kontrol ActiveX harus diaktifkan untuk membuat perhitungan!

Menggunakan Integral untuk Menemukan Volume Padatan Revolusi

Kegunaan praktis matematika adalah karena fakta bahwa tanpa

pengetahuan matematika tertentu membuat sulit untuk memahami prinsip-prinsip perangkat dan penggunaan teknologi modern. Setiap orang dalam hidupnya harus melakukan perhitungan yang agak rumit, menggunakan peralatan yang umum digunakan, menemukan formula yang diperlukan dalam buku referensi, dan menyusun algoritma sederhana untuk memecahkan masalah. Dalam masyarakat modern, semakin banyak spesialisasi yang membutuhkan tingkat pendidikan tinggi dikaitkan dengan penerapan langsung matematika. Jadi, untuk anak sekolah, matematika menjadi mata pelajaran yang signifikan secara profesional. Peran utama milik matematika dalam pembentukan pemikiran algoritmik, itu memunculkan kemampuan untuk bertindak sesuai dengan algoritma yang diberikan dan merancang algoritma baru.

Mempelajari topik penggunaan integral untuk menghitung volume benda revolusi, saya menyarankan agar siswa di kelas opsional mempertimbangkan topik: "Volume benda revolusi menggunakan integral." Berikut adalah beberapa panduan untuk menangani topik ini:

1. Luas bangun datar.

Dari kursus aljabar, kita tahu bahwa masalah praktis mengarah pada konsep integral tertentu..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Untuk menemukan volume benda revolusi yang dibentuk oleh rotasi trapesium lengkung di sekitar sumbu Ox, dibatasi oleh garis putus-putus y=f(x), sumbu Ox, garis lurus x=a dan x=b, kita menghitung dengan rumus

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volume silinder.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Kerucut diperoleh dengan memutar segitiga siku-siku ABC(C=90) di sekitar sumbu Kerbau tempat kaki AC berada.

Segmen AB terletak pada garis y=kx+c, di mana https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Misalkan a=0, b=H (H adalah tinggi kerucut), lalu Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= ">.

5. Volume kerucut yang terpotong.

Kerucut terpotong dapat diperoleh dengan memutar trapesium persegi panjang ABCD (CDOx) di sekitar sumbu Ox.

Ruas AB terletak pada garis y=kx+c, dimana , c = r.

Karena garis melewati titik A (0; r).

Dengan demikian, garis lurus terlihat seperti https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Misalkan a=0, b=H (H adalah tinggi kerucut yang terpotong), lalu https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volume bola.

Bola dapat diperoleh dengan memutar lingkaran dengan pusat (0;0) di sekitar sumbu x. Setengah lingkaran yang terletak di atas sumbu x diberikan oleh persamaan

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

I. Volume badan revolusi. Pelajari terlebih dahulu bab XII, p°p° 197, 198, menurut buku teks karya G. M. Fikhtengol'ts* Analisislah secara mendetail contoh-contoh yang diberikan pada p° 198.

508. Hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi elips di sekitar sumbu x.

Dengan demikian,

530. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu Ox dari busur sinusoida y \u003d sin x dari titik X \u003d 0 ke titik X \u003d It.

531. Hitung luas permukaan kerucut dengan tinggi h dan jari-jari r.

532. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh

rotasi astroid x3 -) - y* - a3 mengelilingi sumbu x.

533. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh inversi loop dari kurva 18 y-x(6-x)r di sekitar sumbu x.

534. Temukan permukaan torus yang dihasilkan oleh rotasi lingkaran X2 - j - (y-3)2 = 4 mengelilingi sumbu x.

535. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lingkaran X = a cost, y = asint di sekitar sumbu Ox.

536. Hitung luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi loop dari kurva x = 9t2, y = St - 9t3 di sekitar sumbu Ox.

537. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi busur kurva x = e * sint, y = el cost di sekitar sumbu Ox

dari t = 0 sampai t = -.

538. Tunjukkan bahwa permukaan yang dihasilkan oleh rotasi busur sikloid x = a (q> - sin ), y = a (I - cos ) di sekitar sumbu Oy, sama dengan 16 u2 o2.

539. Temukan permukaan yang diperoleh dengan memutar cardioid di sekitar sumbu kutub.

540. Temukan luas permukaan yang dibentuk oleh rotasi lemniscate sekitar sumbu kutub.

Tugas Tambahan untuk Bab IV

Luas bangun datar

541. Temukan seluruh luas daerah yang dibatasi oleh kurva Dan sumbu Oh.

542. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Oh.

543. Temukan bagian luas daerah yang terletak di kuadran pertama dan dibatasi oleh kurva

l sumbu koordinat.

544. Temukan luas area yang terdapat di dalamnya

loop:

545. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh satu lingkaran kurva:

546. Temukan luas area yang terdapat di dalam lingkaran:

547. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Oh.

548. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh kurva

Dan sumbu Oh.

549. Temukan luas daerah yang dibatasi oleh sumbu Oxr

lurus dan melengkung

Bagaimana cara menghitung volume benda revolusi
menggunakan integral tertentu?

Secara umum, ada banyak aplikasi menarik dalam kalkulus integral, dengan bantuan integral tertentu, Anda dapat menghitung luas gambar, volume benda rotasi, panjang busur, luas permukaan rotasi, dan banyak lagi. Jadi itu akan menyenangkan, harap optimis!

Bayangkan beberapa sosok datar pada bidang koordinat. Diwakili? ... Saya ingin tahu siapa yang menyajikan apa ... =))) Kami telah menemukan areanya. Tapi, selain itu, angka ini juga bisa diputar, dan diputar dengan dua cara:

- di sekitar sumbu x;
- di sekitar sumbu y.

Dalam artikel ini, kedua kasus akan dibahas. Metode rotasi kedua sangat menarik, ini menyebabkan kesulitan terbesar, tetapi sebenarnya solusinya hampir sama dengan rotasi yang lebih umum di sekitar sumbu x. Sebagai bonus, saya akan kembali ke masalah mencari luas bangun, dan memberi tahu Anda cara menemukan luas dengan cara kedua - di sepanjang sumbu. Bahkan tidak terlalu banyak bonus karena bahannya cocok dengan temanya.

Mari kita mulai dengan jenis rotasi yang paling populer.

sosok datar di sekitar sumbu

Hitung volume tubuh yang diperoleh dengan memutar gambar yang dibatasi oleh garis di sekitar sumbu.

Keputusan: Seperti pada masalah daerah, solusinya dimulai dengan menggambar sosok datar. Artinya, di pesawat itu perlu untuk membangun sosok yang dibatasi oleh garis , , sambil tidak lupa bahwa persamaan mendefinisikan sumbu . Cara membuat gambar lebih rasional dan lebih cepat dapat ditemukan di halaman Grafik dan Sifat Fungsi Dasar dan . Ini adalah pengingat Cina dan saya tidak berhenti pada titik ini.

Gambar di sini cukup sederhana:

Sosok datar yang diinginkan diarsir dengan warna biru, dan itulah yang berputar di sekitar sumbu.Sebagai hasil dari rotasi, diperoleh piring terbang yang agak berbentuk telur, yang simetris terhadap sumbu. Sebenarnya, tubuh memiliki nama matematis, tetapi terlalu malas untuk menentukan sesuatu di buku referensi, jadi kami melanjutkan.

Bagaimana cara menghitung volume benda revolusi?

Volume tubuh revolusi dapat dihitung dengan rumus:

Dalam rumus, harus ada angka sebelum integral. Itu terjadi - segala sesuatu yang berputar dalam hidup terhubung dengan konstanta ini.

Cara mengatur batas integrasi "a" dan "menjadi", saya pikir, mudah ditebak dari gambar yang sudah selesai.

Fungsi ... apa fungsi ini? Mari kita lihat gambarnya. Gambar datar dibatasi oleh grafik parabola dari atas. Ini adalah fungsi yang tersirat dalam rumus.

Dalam tugas-tugas praktis, sosok datar terkadang dapat ditempatkan di bawah sumbu. Ini tidak mengubah apa pun - integran dalam rumus dikuadratkan: , jadi integral selalu non-negatif, yang cukup logis.

Hitung volume tubuh revolusi menggunakan rumus ini:

Seperti yang sudah saya catat, integralnya hampir selalu ternyata sederhana, yang utama adalah berhati-hati.

Menjawab:

Dalam jawabannya, perlu untuk menunjukkan dimensi - unit kubik. Artinya, dalam rotasi tubuh kita ada sekitar 3,35 "kubus". Mengapa persis kubik? unit? Karena formulasinya paling universal. Mungkin ada sentimeter kubik, mungkin ada meter kubik, mungkin ada kilometer kubik, dll., itulah berapa banyak pria hijau kecil yang dapat ditampung imajinasi Anda ke dalam piring terbang.

Temukan volume tubuh yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu gambar yang dibatasi oleh garis , ,

Ini adalah contoh do-it-yourself. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.

Mari kita pertimbangkan dua masalah yang lebih kompleks, yang juga sering ditemui dalam praktik.

Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar sumbu absis gambar yang dibatasi oleh garis , , dan

Keputusan: Menggambar sosok datar dalam gambar, dibatasi oleh garis , , , , sambil tidak lupa bahwa persamaan mendefinisikan sumbu:

Angka yang diinginkan diarsir dengan warna biru. Ketika berputar di sekitar sumbu, diperoleh donat surealis dengan empat sudut.

Volume tubuh revolusi dihitung sebagai perbedaan volume tubuh.

Pertama, mari kita lihat gambar yang dilingkari merah. Ketika berputar di sekitar sumbu, kerucut terpotong diperoleh. Mari kita nyatakan volume kerucut terpotong ini sebagai .

Perhatikan gambar yang dilingkari hijau. Jika Anda memutar gambar ini di sekitar sumbu, Anda juga akan mendapatkan kerucut terpotong, hanya sedikit lebih kecil. Mari kita nyatakan volumenya dengan .

Dan, tentu saja, perbedaan volume persis sama dengan volume "donat" kami.

Kami menggunakan rumus standar untuk menemukan volume benda revolusi:

1) Sosok yang dilingkari merah dibatasi dari atas oleh garis lurus, oleh karena itu:

2) Gambar yang dilingkari hijau dibatasi dari atas oleh garis lurus, oleh karena itu:

3) Volume badan revolusi yang diinginkan:

Menjawab:

Sangat mengherankan bahwa dalam kasus ini solusinya dapat diperiksa menggunakan rumus sekolah untuk menghitung volume kerucut terpotong.

Keputusan itu sendiri sering dibuat lebih pendek, kira-kira seperti ini:

Sekarang mari kita istirahat dan berbicara tentang ilusi geometris.

Orang sering memiliki ilusi yang terkait dengan volume, yang Perelman (lainnya) perhatikan dalam buku Geometri yang menarik. Lihat gambar datar pada soal yang telah diselesaikan - tampaknya luasnya kecil, dan volume benda revolusinya hanya lebih dari 50 unit kubik, yang tampaknya terlalu besar. Ngomong-ngomong, rata-rata orang sepanjang hidupnya meminum cairan dengan volume ruangan 18 meter persegi, yang, sebaliknya, tampaknya volumenya terlalu kecil.

Setelah penyimpangan liris, tepat untuk menyelesaikan tugas kreatif:

Hitung volume benda yang dibentuk oleh rotasi terhadap sumbu bangun datar yang dibatasi oleh garis , , di mana .

Ini adalah contoh do-it-yourself. Harap dicatat bahwa semua hal terjadi di band , dengan kata lain, batas integrasi siap pakai sebenarnya diberikan. Menggambar grafik fungsi trigonometri dengan benar, saya akan mengingatkan Anda materi pelajaran tentang transformasi geometri graf: jika argumen habis dibagi dua: , maka grafik diregangkan sepanjang sumbu dua kali. Diinginkan untuk menemukan setidaknya 3-4 poin menurut tabel trigonometri untuk lebih akurat menyelesaikan gambar. Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran. Omong-omong, tugas itu bisa diselesaikan secara rasional dan tidak terlalu rasional.

Perhitungan volume benda yang dibentuk oleh rotasi
sosok datar di sekitar sumbu

Paragraf kedua akan lebih menarik daripada yang pertama. Tugas menghitung volume benda revolusi di sekitar sumbu y juga merupakan pengunjung yang cukup sering dalam pengujian. Secara sepintas akan dipertimbangkan masalah mencari luas bangun cara kedua - integrasi di sepanjang sumbu, ini akan memungkinkan Anda tidak hanya untuk meningkatkan keterampilan Anda, tetapi juga mengajari Anda cara menemukan solusi yang paling menguntungkan. Ini juga memiliki arti praktis! Seperti yang diingat oleh guru metode pengajaran matematika saya sambil tersenyum, banyak lulusan mengucapkan terima kasih dengan kata-kata: “Mata pelajaran Anda sangat membantu kami, sekarang kami adalah manajer yang efektif dan mengelola staf kami secara optimal.” Melalui kesempatan ini, saya juga mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepadanya, terutama karena saya menggunakan ilmu yang diperoleh untuk tujuan yang dimaksudkan =).

Saya merekomendasikannya kepada semua orang untuk membaca, bahkan yang lengkap. Selain itu, materi yang diasimilasi dari paragraf kedua akan sangat membantu dalam menghitung integral ganda.

Diberikan sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis , , .

1) Temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini.
2) Temukan volume benda yang diperoleh dengan memutar sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini di sekitar sumbu.

Perhatian! Bahkan jika Anda hanya ingin membaca paragraf kedua, pastikan untuk membaca yang pertama terlebih dahulu!

Keputusan: Tugas terdiri dari dua bagian. Mari kita mulai dengan persegi.

1) Mari kita jalankan gambarnya:

Sangat mudah untuk melihat bahwa fungsi mendefinisikan cabang atas parabola, dan fungsi mendefinisikan cabang bawah parabola. Di depan kita adalah parabola sepele, yang "terletak pada sisinya."

Sosok yang diinginkan, area yang dapat ditemukan, diarsir dengan warna biru.

Bagaimana cara mencari luas suatu bangun? Itu dapat ditemukan dengan cara "biasa", yang dipertimbangkan dalam pelajaran. integral tertentu. Bagaimana cara menghitung luas suatu bangun?. Selain itu, luas gambar ditemukan sebagai jumlah dari luas:
- di segmen ;
- pada segmen.

Jadi:

Apa yang salah dengan solusi biasa dalam kasus ini? Pertama, ada dua integral. Kedua, akar-akar di bawah integral, dan akar-akar integral bukanlah suatu pemberian, apalagi, orang bisa bingung dalam mensubstitusikan batas-batas integrasi. Faktanya, integral, tentu saja, tidak mematikan, tetapi dalam praktiknya semuanya jauh lebih menyedihkan, saya baru saja mengambil fungsi "lebih baik" untuk tugas itu.

Ada solusi yang lebih rasional: ini terdiri dari transisi ke fungsi terbalik dan integrasi di sepanjang sumbu.

Bagaimana cara meneruskan ke fungsi terbalik? Secara kasar, Anda perlu mengekspresikan "x" melalui "y". Pertama, mari kita berurusan dengan parabola:

Ini sudah cukup, tetapi mari kita pastikan bahwa fungsi yang sama dapat diturunkan dari cabang bawah:

Dengan garis lurus, semuanya lebih mudah:

Sekarang lihat sumbunya: tolong miringkan kepala Anda secara berkala ke kanan 90 derajat saat Anda menjelaskan (ini bukan lelucon!). Angka yang kita butuhkan terletak pada segmen, yang ditunjukkan oleh garis putus-putus merah. Pada saat yang sama, pada segmen, garis lurus terletak di atas parabola, yang berarti bahwa luas gambar harus ditemukan menggunakan rumus yang sudah Anda kenal: . Apa yang berubah dalam formula? Hanya sebuah surat, dan tidak lebih.

! Catatan: Batas integrasi sepanjang sumbu harus ditetapkan ketat dari bawah ke atas!

Menemukan daerah:

Pada segmen , oleh karena itu:

Perhatikan bagaimana saya melakukan integrasi, ini adalah cara yang paling rasional, dan dalam paragraf tugas berikutnya akan menjadi jelas mengapa.

Bagi pembaca yang meragukan kebenaran integrasi, saya akan menemukan turunannya:

Didapatkan integran asli, yang berarti integrasi dilakukan dengan benar.

Menjawab:

2) Hitung volume tubuh yang dibentuk oleh rotasi gambar ini di sekitar sumbu.

Saya akan menggambar ulang gambar dalam desain yang sedikit berbeda:

Jadi, sosok yang diarsir dengan warna biru berputar di sekitar sumbu. Hasilnya adalah "kupu-kupu melayang" yang berputar di sekitar porosnya.

Untuk menemukan volume tubuh revolusi, kita akan berintegrasi sepanjang sumbu. Pertama kita perlu beralih ke fungsi invers. Ini telah dilakukan dan dijelaskan secara rinci dalam paragraf sebelumnya.

Sekarang kita memiringkan kepala kita ke kanan lagi dan mempelajari sosok kita. Jelas, volume tubuh revolusi harus ditemukan sebagai perbedaan antara volume.

Kami memutar gambar yang dilingkari merah di sekitar sumbu, menghasilkan kerucut terpotong. Mari kita nyatakan volume ini dengan .

Kami memutar gambar, dilingkari hijau, di sekitar sumbu dan menunjukkannya melalui volume badan revolusi yang dihasilkan.

Volume kupu-kupu kita sama dengan perbedaan volume.

Kami menggunakan rumus untuk menemukan volume tubuh revolusi:

Apa bedanya dengan rumus paragraf sebelumnya? Hanya dalam huruf.

Dan inilah keuntungan dari integrasi yang saya bicarakan beberapa waktu lalu, lebih mudah ditemukan daripada terlebih dahulu menaikkan integran ke pangkat ke-4.

Menjawab:

Perhatikan bahwa jika sosok datar yang sama diputar di sekitar sumbu, maka tubuh revolusi yang sama sekali berbeda akan menghasilkan volume yang berbeda secara alami.

Diberikan sebuah bangun datar yang dibatasi oleh garis , dan sebuah sumbu .

1) Pergi ke fungsi invers dan temukan luas bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini dengan mengintegralkan variabel .
2) Hitung volume benda yang diperoleh dengan memutar bangun datar yang dibatasi oleh garis-garis ini di sekitar sumbu.

Ini adalah contoh do-it-yourself. Mereka yang ingin juga dapat menemukan luas gambar dengan cara "biasa", sehingga menyelesaikan tes poin 1). Tetapi jika, saya ulangi, Anda memutar sosok datar di sekitar sumbu, maka Anda mendapatkan tubuh rotasi yang sama sekali berbeda dengan volume yang berbeda, omong-omong, jawaban yang benar (juga untuk mereka yang suka memecahkan).

Solusi lengkap dari dua item tugas yang diusulkan di akhir pelajaran.

Oh, dan jangan lupa untuk memiringkan kepala Anda ke kanan untuk memahami badan rotasi dan dalam integrasi!

Saya ingin, sudah, untuk menyelesaikan artikel, tetapi hari ini mereka membawa contoh menarik hanya untuk menemukan volume benda revolusi di sekitar sumbu y. Segar:

Hitung volume tubuh yang dibentuk oleh rotasi di sekitar sumbu gambar yang dibatasi oleh kurva dan .

Keputusan: Mari kita membuat gambar:

Sepanjang jalan, kita berkenalan dengan grafik dari beberapa fungsi lainnya. Grafik yang menarik dari fungsi genap ....