>>Matematika: Apa arti notasi y = f(x) dalam matematika?

Apa arti entri y \u003d f (x) dalam matematika

Ketika mempelajari proses nyata apa pun, mereka biasanya memperhatikan dua besaran yang terlibat dalam proses (dalam proses yang lebih kompleks, bukan dua besaran yang terlibat, tetapi tiga, empat, dll., tetapi kami belum mempertimbangkan proses seperti itu): salah satunya berubah seolah-olah dengan sendirinya, terlepas dari apa pun (kami menyatakan variabel seperti itu dengan huruf x), dan nilai lainnya mengambil nilai yang bergantung pada nilai yang dipilih dari variabel x (kami menunjukkan variabel dependen seperti itu dengan huruf y). model matematika proses sebenarnya adalah rekaman dalam bahasa matematika dari ketergantungan y pada x, yaitu. hubungan antara x dan y. Ingat sekali lagi bahwa sekarang kita telah mempelajari model matematika berikut: y = b, y = kx, y = kx + m, y = x 2 .

Apakah model matematika ini memiliki kesamaan? Ada! Strukturnya sama: y = f(x).

Entri ini harus dipahami sebagai berikut: ada ekspresi f (x) dengan variabel x, yang dengannya nilai variabel y ditemukan.

Matematikawan lebih menyukai notasi y = f(x) karena suatu alasan. Biarkan, misalnya, f (x) \u003d x 2, mis. kita sedang berbicara tentang fungsi y = x 2. Misalkan kita perlu memilih beberapa nilai argumen dan nilai fungsi yang sesuai. Sejauh ini kami telah menulis seperti ini:

jika x \u003d 1, maka y \u003d I 2 \u003d 1;
jika x \u003d - 3, maka y \u003d (- Z) 2 \u003d 9, dll.

Jika kita menggunakan notasi f (x) \u003d x 2, maka notasi tersebut menjadi lebih ekonomis:

f(1) = 1 2 =1;
f(-3) = (-3) 2 = 9.

Jadi, kami berkenalan dengan satu fragmen lagi bahasa matematika: frasa "nilai fungsi y \u003d x 2 pada titik x \u003d 2 adalah 4" ditulis lebih pendek:

"jika y \u003d f (x), di mana f (x) \u003d x 2, maka f (2) \u003d 4."

Dan berikut adalah contoh terjemahan terbalik:

Jika y \u003d f (x), di mana f (x) \u003d x 2, maka f (- 3) \u003d 9. Dengan cara lain, nilai fungsi y \u003d x 2 pada titik x \u003d - 3 adalah 9.

CONTOH 1. Diberikan fungsi y \u003d f (x), di mana f (x) \u003d x 3. Menghitung:

a) f(1); b) f(- 4); CFO); d) f(2a);
e) f(a-1); f) (3x); g) f(-x).

Keputusan. Dalam semua kasus, rencana tindakannya sama: dalam ekspresi f(x), Anda perlu mengganti nilai argumen yang ditunjukkan dalam tanda kurung, alih-alih x, dan melakukan perhitungan dan transformasi yang sesuai. Kita punya:

Komentar. Tentu saja, alih-alih huruf f, Anda dapat menggunakan huruf lain (kebanyakan dari alfabet Latin): g (x), h (x), s (x), dll.

Contoh 2 Dua fungsi diberikan: y \u003d f (x), di mana f (x) \u003d x 2, dan y \u003d g (x), di mana g (x) \u003d x 3. Buktikan bahwa:

a) f(-x) = f(x); b) g(-x)=-g(x).

Solusi. a) Karena f (x) \u003d x 2, maka f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2. Jadi, f (x) \u003d x 2, f (- x) \u003d x 2, lalu f (- x) \u003d f (x)

b) Karena g (x) \u003d x 3, maka g (- x) \u003d -x 3, mis. g(-x) = -g(x).

Penggunaan model matematika dalam bentuk y = f(x) ternyata nyaman dalam banyak kasus, khususnya, ketika proses nyata dijelaskan oleh rumus yang berbeda pada interval perubahan variabel independen yang berbeda.

Mari kita gambarkan beberapa properti dari fungsi y - f (x) menggunakan grafik yang dibangun pada Gambar 68 - deskripsi properti seperti itu biasanya disebut membaca grafik.

Membaca grafik adalah semacam transisi dari model geometris (dari model grafis) ke model verbal (ke deskripsi sifat-sifat suatu fungsi). TETAPI
plotting adalah transisi dari model analitik (disajikan dalam kondisi contoh 4) ke model geometris.

Jadi, mari kita mulai membaca grafik fungsi y \u003d f (x) (lihat Gambar 68).

1. Variabel bebas x menjalankan semua nilai dari -4 hingga 4. Dengan kata lain, untuk setiap nilai x dari segmen [-4, 4], Anda dapat menghitung nilai fungsi f(x). Mereka mengatakan ini: [-4, 4] - ruang lingkup fungsi.

Mengapa, ketika menyelesaikan contoh 4, kami mengatakan bahwa tidak mungkin menemukan f(5)? Ya, karena nilai x = 5 tidak termasuk dalam ruang lingkup fungsi.

2. y naim = -2 (fungsi mencapai nilai ini pada x = -4); Di nanb. = 2 (fungsi mencapai nilai ini pada setiap titik dari setengah interval (0, 4].

3. y = 0 jika 1 = -2 dan jika x = 0; pada titik-titik ini, grafik fungsi y = f(x) berpotongan dengan sumbu x.

4. y > 0 jika x (-2, 0) atau jika x (0, 4]; pada interval ini, grafik fungsi y \u003d f (x) terletak di atas sumbu x.

5. kamu< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Fungsi meningkat pada interval [-4, -1], menurun pada interval [-1, 0] dan konstan (tidak bertambah atau berkurang) pada setengah interval (0,4).

Saat kita mempelajari sifat baru dari fungsi, proses membaca grafik akan menjadi lebih intens, bermakna dan menarik.

Mari kita bahas salah satu properti baru ini. Grafik fungsi yang dipertimbangkan dalam contoh 4 terdiri dari tiga cabang (dari tiga "potongan"). Cabang pertama dan kedua (segmen garis lurus y \u003d x + 2 dan bagian dari parabola) berhasil "digabungkan": segmen berakhir pada titik (-1; 1), dan bagian parabola dimulai pada titik yang sama . Tetapi cabang kedua dan ketiga kurang berhasil "digabungkan": cabang ketiga ("potongan" dari garis horizontal) tidak dimulai pada titik (0; 0), tetapi pada titik (0; 4). Matematikawan mengatakan ini: "fungsi y = f(x) mengalami pemutusan di x = 0 (atau pada titik x = 0)". Jika fungsi tersebut tidak memiliki titik diskontinuitas, maka fungsi tersebut disebut kontinu. Jadi, semua fungsi yang kita temui di paragraf sebelumnya (y = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) adalah kontinu.

Contoh 5. Diberikan sebuah fungsi. Hal ini diperlukan untuk membangun dan membaca jadwalnya.

Keputusan. Seperti yang Anda lihat, di sini fungsinya diberikan oleh ekspresi yang agak rumit. Tetapi matematika merupakan ilmu yang tunggal dan integral, bagian-bagiannya saling berkaitan erat. Mari kita gunakan apa yang kita pelajari di Bab 5 dan kurangi pecahan aljabar

hanya valid di bawah pembatasan Oleh karena itu, kita dapat merumuskan kembali masalah sebagai berikut: alih-alih fungsi y = x 2
kami akan mempertimbangkan fungsi y \u003d x 2, di mana Kami membuat parabola y \u003d x 2 pada bidang koordinat xOy.
Garis x = 2 memotongnya di titik (2; 4). Tetapi menurut kondisinya, itu berarti bahwa kita harus mengecualikan titik (2; 4) parabola dari pertimbangan, yang untuknya kita menandai titik ini dalam gambar dengan lingkaran cahaya.

Dengan demikian, grafik fungsi dibangun - ini adalah parabola y \u003d x 2 dengan titik "melubangi" (2; 4) (Gbr. 69).

Mari kita beralih ke deskripsi sifat-sifat fungsi y \u003d f (x), mis., membaca grafiknya:

1. Variabel bebas x mengambil nilai apa pun kecuali x = 2. Ini berarti domain fungsi terdiri dari dua sinar terbuka (- 0 o, 2) dan

2. y max = 0 (dicapai pada x = 0), y max _ tidak ada.

3. Fungsi tidak kontinu, mengalami diskontinuitas di x = 2 (di titik x = 2).

4. y = 0 jika x = 0.

5. y\u003e 0 jika x (-oo, 0), jika x (0, 2) dan jika x (B, + oo).
6. Fungsi berkurang pada sinar (- , 0], meningkat pada setengah interval .

Perencanaan tematik kalender dalam matematika, video dalam matematika online, unduhan Matematika di sekolah

A. V. Pogorelov, Geometri untuk kelas 7-11, Buku teks untuk institusi pendidikan

Isi pelajaran ringkasan pelajaran mendukung bingkai pelajaran presentasi metode akselerasi teknologi interaktif Praktik tugas dan latihan ujian mandiri lokakarya, pelatihan, kasus, pencarian pekerjaan rumah pertanyaan diskusi pertanyaan retoris dari siswa Ilustrasi audio, klip video, dan multimedia foto, gambar grafik, tabel, skema humor, anekdot, lelucon, komik, perumpamaan, ucapan, teka-teki silang, kutipan Add-on abstrak chip artikel untuk lembar contekan yang ingin tahu, buku teks dasar dan glosarium tambahan istilah lainnya Memperbaiki buku pelajaran dan pelajaranmengoreksi kesalahan dalam buku teks memperbarui fragmen dalam buku teks elemen inovasi dalam pelajaran menggantikan pengetahuan usang dengan yang baru Hanya untuk guru pelajaran yang sempurna rencana kalender untuk tahun rekomendasi metodologis dari program diskusi Pelajaran Terintegrasi

Fungsi $f(x)=|x|$

$|x|$ - modul. Didefinisikan sebagai berikut: Jika bilangan real non-negatif, maka nilai modulo sama dengan bilangan itu sendiri. Jika negatif, maka nilai modulus bertepatan dengan nilai absolut dari bilangan yang diberikan.

Secara matematis, ini dapat ditulis sebagai berikut:

Contoh 1

Fungsi $f(x)=[x]$

Fungsi $f\left(x\right)=[x]$ adalah fungsi dari bagian bilangan bulat dari suatu bilangan. Itu ditemukan dengan membulatkan angka (jika bukan bilangan bulat itu sendiri) "turun".

Contoh: $=2.$

Contoh 2

Mari kita jelajahi dan plot itu.

1. $D\kiri(f\kanan)=R$.
2. Jelas, fungsi ini hanya mengambil nilai integer, yaitu $\ E\left(f\right)=Z$
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Oleh karena itu, fungsi ini akan berbentuk umum.
4. $(0,0)$ adalah satu-satunya titik perpotongan dengan sumbu koordinat.
5. $f"\kiri(x\kanan)=0$
6. Fungsi memiliki break point (lompatan fungsi) untuk semua $x\di Z$.

Gambar 2.

Fungsi $f\kiri(x\kanan)=\(x\)$

Fungsi $f\left(x\right)=\(x\)$ adalah fungsi bagian pecahan dari suatu bilangan. Itu ditemukan dengan "membuang" bagian bilangan bulat dari nomor ini.

Contoh 3

Menjelajahi dan memplot grafik fungsi

Fungsi $f(x)=tanda(x)$

Fungsi $f\left(x\right)=sign(x)$ adalah fungsi tanda. Fungsi ini menunjukkan tanda apa yang dimiliki bilangan real. Jika angkanya negatif, maka fungsi tersebut bernilai $-1$. Jika bilangan tersebut positif, maka fungsinya sama dengan satu. Jika nilai bilangan adalah nol, nilai fungsi juga akan mengambil nilai nol.

Jika satu set angka diberikan X dan jalannya f, dimana untuk setiap nilai XЄ X hanya cocok dengan satu nomor pada. Kemudian dianggap fungsi yang diberikan kamu = f(X), di mana domain X(biasanya disebut D(f) = X). Sekelompok kamu semua nilai pada, yang setidaknya ada satu nilai XЄ X, seperti yang kamu = f(X), himpunan seperti itu disebut kumpulan nilai fungsi f(paling sering disebut E(f)= kamu).

Atau ketergantungan variabel tunggal pada dari yang lain X, di mana setiap nilai variabel X dari himpunan tertentu D cocok dengan nilai tunggal variabel pada, disebut fungsi.

Ketergantungan fungsional dari variabel y pada x sering ditekankan oleh notasi y(x), yang dibaca oleh y dari x.

Domain fungsi pada(X), yaitu, himpunan nilai argumennya X, dilambangkan dengan simbol D(kamu), yang dibaca de dari y.

Jarak nilai fungsi pada(X), yaitu, himpunan nilai yang digunakan oleh fungsi y dilambangkan dengan simbol E(pada), yang dibaca e dari Y.

Cara utama untuk mendefinisikan suatu fungsi adalah:

sebuah) analitis(menggunakan rumus kamu = f(X)). Metode ini juga mencakup kasus di mana fungsi diberikan oleh sistem persamaan. Jika suatu fungsi diberikan oleh rumus, maka domain definisinya adalah semua nilai argumen yang ekspresinya ditulis di sisi kanan rumus memiliki nilai.

b) datar(menggunakan tabel nilai yang sesuai X dan pada). Dengan cara ini, rezim suhu atau nilai tukar sering ditetapkan, tetapi metode ini tidak sejelas yang berikutnya;

di) grafis(menggunakan grafik). Ini adalah salah satu cara paling visual untuk mengatur suatu fungsi, karena perubahan segera "dibaca" menurut grafik. Jika fungsi pada(X) diberikan oleh grafik, maka domain definisinya D(kamu) adalah proyeksi grafik ke sumbu x, dan rentang nilai E(pada) - proyeksi grafik pada sumbu y (lihat gambar).

G) lisan. Metode ini sering digunakan dalam masalah, atau lebih tepatnya dalam deskripsi kondisi mereka. Biasanya cara ini diganti dengan salah satu cara di atas.

fungsi kamu = f(X), xЄ X, dan kamu = g(X), xЄ X, disebut identik sama pada himpunan bagian M Dengan X jika untuk masing-masing x 0 Є M kesetaraan yang adil f(X 0) = g(X 0).

Grafik Fungsi kamu = f(X) dapat direpresentasikan sebagai himpunan titik-titik tersebut ( X; f(X)) pada bidang koordinat, di mana X adalah variabel arbitrer, dari D(f). Jika sebuah f(X 0) = 0, dimana X 0 maka titik dengan koordinat ( x 0; 0) adalah titik di mana grafik fungsi kamu = f(X) berpotongan dengan sumbu O x. Jika 0Є D(f), maka titik (0; f(0)) adalah titik di mana grafik fungsi pada = f(x) berpotongan dengan sumbu O pada.

Nomor X 0 dari D(f) fungsi kamu = f(X) adalah nol dari fungsi, ketika f(X 0) = 0.

Celah M Dengan D(f) Ini interval konstan fungsi kamu = f(X) jika baik untuk sewenang-wenang xЄ M Baik f(X) > 0, atau untuk sembarang XЄ M Baik f(X) < 0.

Ada peralatan, yang menggambar grafik ketergantungan antara kuantitas. Ini adalah barograf - perangkat untuk memperbaiki ketergantungan tekanan atmosfer pada waktu, termograf - perangkat untuk memperbaiki ketergantungan suhu pada waktu, kardiograf - perangkat untuk merekam grafik aktivitas jantung. Termograf memiliki drum, berputar secara merata. Luka kertas pada drum disentuh oleh perekam, yang, tergantung pada suhu, naik dan turun dan menggambar garis tertentu di atas kertas.

Dari representasi fungsi dengan rumus, Anda dapat beralih ke representasinya dalam tabel dan grafik.

Saat mempelajari matematika, sangat penting untuk memahami apa itu fungsi, domain, dan artinya. Dengan bantuan studi fungsi hingga ekstrem, banyak masalah dalam aljabar dapat diselesaikan. Bahkan masalah dalam geometri kadang-kadang datang ke mempertimbangkan persamaan angka geometris di pesawat.

Biarlahkamu- beberapa fungsi variabelx; selain itu, tidak masalah bagaimana fungsi ini diberikan: dengan rumus, tabel, atau dengan cara lain. Hanya fakta keberadaan ketergantungan fungsional ini yang penting, yang ditulis sebagai berikut:kamu = f(x). Suratf(huruf awal dari kata Latin "fungsi" - fungsi) tidak menunjukkan nilai apa pun, sama seperti hurufnyalog, dosa, tan dalam catatan fungsikamu= logx, kamu= dosax, kamu= tanx. Mereka hanya berbicara tentang ketergantungan fungsional tertentu.kamudarix. Rekamankamu = f (x) adalahsetiapketergantungan fungsional. Jika dua dependensi fungsional:kamudarixdanzdaritberbeda satu sama lain, mereka ditulis menggunakan huruf yang berbeda:kamu = f (x) danz = F (t). Jika beberapa dependensi sama, maka ditulis dengan huruf yang samaf: kamu = f (x) danz = f (t). Jika ekspresi untuk ketergantungan fungsionalkamu = f (x) diketahui, maka dapat ditulis menggunakan kedua notasi fungsi. Sebagai contoh,kamu= dosa x atau f(x) = sin x. Kedua bentuk ini benar-benar setara. Terkadang bentuk tulisan lain juga digunakan: kamu (x). Ini berarti sama dengan kamu = f (x).

Representasi grafis dari fungsi.

Untuk mewakili suatu fungsikamu = f(x) dalam bentuk grafik, Anda membutuhkan:

1) Tulis sejumlah nilai fungsi dan argumennya ke tabel:

2) Pindahkan koordinat titik-titik fungsi dari tabel ke sistem koordinat,

mencatat, sesuai dengan skala yang dipilih, nilai-nilai absis pada

kapakXdan nilai ordinat pada sumbukamu(Gbr. 2). Akibatnya, dalam sistem kami

koordinat, serangkaian titik akan dibangunA, B, C, . . . , F.

3) Menghubungkan titik-titikA, B, C, . . . , Fkurva mulus, kita mendapatkan grafik yang diberikan

ketergantungan fungsional.

Representasi grafis dari suatu fungsi memberikan representasi visual dari sifat perilakunya, tetapi akurasi yang dicapai dalam kasus ini tidak cukup. Ada kemungkinan bahwa titik-titik antara yang tidak diplot pada grafik terletak jauh dari kurva mulus yang digambar. Hasil yang baik juga sangat bergantung pada pilihan timbangan yang baik. Oleh karena itu, harus ditentukan grafik fungsi sebagai tempat kedudukan titik , koordinat yang M (x, y) dihubungkan oleh ketergantungan fungsional yang diberikan .

Ruang lingkup dan jangkauan fungsi. Dalam matematika dasar, fungsi hanya dipelajari pada himpunan bilangan real R. Ini berarti bahwa argumen fungsi hanya dapat mengambil nilai-nilai nyata yang fungsi tersebut didefinisikan, yaitu. itu juga hanya menerima nilai nyata. Sekelompok X semua nilai argumen yang valid dan valid x, yang fungsinya kamu= f(x) didefinisikan, disebut lingkup fungsi. Sekelompok kamu semua nilai nyata kamu yang diterima oleh fungsi disebut rentang fungsi. Sekarang kita dapat memberikan definisi fungsi yang lebih tepat: aturan (hukum) korespondensi antara himpunan X dan Y, dimana untuk setiap elemen dari himpunan X satu dan hanya satu elemen dari himpunan Y dapat ditemukan, disebut fungsi.