Apa itu turunan?
Definisi dan arti turunan dari suatu fungsi

Banyak yang akan terkejut dengan lokasi tak terduga dari artikel ini dalam kursus penulis saya tentang turunan dari fungsi satu variabel dan aplikasinya. Lagi pula, seperti dari sekolah: buku teks standar, pertama-tama, memberikan definisi turunan, makna geometris, mekanisnya. Selanjutnya, siswa menemukan turunan fungsi menurut definisi, dan, pada kenyataannya, hanya kemudian teknik diferensiasi disempurnakan menggunakan tabel turunan.

Tapi dari sudut pandang saya, pendekatan berikut ini lebih pragmatis: pertama-tama, disarankan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK batas fungsi, dan terutama sangat kecil. Faktanya adalah bahwa definisi turunan didasarkan pada konsep limit, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebagian besar konsumen muda pengetahuan granit kurang menembus ke dalam esensi turunannya. Jadi, jika Anda tidak berpengalaman dalam kalkulus diferensial, atau otak yang bijaksana telah berhasil melepaskan diri dari beban ini selama bertahun-tahun, silakan mulai dengan batas fungsi. Pada saat yang sama menguasai / mengingat keputusan mereka.

Arti praktis yang sama menunjukkan bahwa itu menguntungkan terlebih dahulu belajar mencari turunan, termasuk turunan dari fungsi kompleks. Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, Anda selalu ingin membedakan. Dalam hal ini, lebih baik untuk mengerjakan pelajaran dasar yang terdaftar, dan mungkin menjadi ahli diferensiasi bahkan tanpa menyadari esensi dari tindakan mereka.

Saya sarankan memulai materi di halaman ini setelah membaca artikel. Masalah paling sederhana dengan turunan, di mana, khususnya, masalah garis singgung grafik suatu fungsi dipertimbangkan. Tapi itu bisa ditunda. Faktanya adalah bahwa banyak aplikasi turunan tidak memerlukan pemahaman, dan tidak mengherankan bahwa pelajaran teoretis muncul cukup terlambat - ketika saya perlu menjelaskannya menemukan interval kenaikan/penurunan dan ekstrem fungsi. Apalagi dia berada di subjek untuk waktu yang cukup lama " Fungsi dan Grafik”, sampai saya memutuskan untuk memasangnya lebih awal.

Karena itu, teko sayang, jangan buru-buru menyerap esensi turunannya, seperti hewan lapar, karena kejenuhannya akan hambar dan tidak lengkap.

Konsep naik, turun, maksimum, minimum dari suatu fungsi

Banyak tutorial mengarah pada konsep turunan dengan bantuan beberapa masalah praktis, dan saya juga memberikan contoh yang menarik. Bayangkan kita harus melakukan perjalanan ke kota yang bisa dijangkau dengan berbagai cara. Kami segera membuang jalur berliku yang melengkung, dan kami hanya akan mempertimbangkan garis lurus. Namun, arah garis lurus juga berbeda: Anda dapat mencapai kota dengan autobahn datar. Atau di jalan raya berbukit - naik turun, naik turun. Jalan lain hanya menanjak, dan jalan lain menurun sepanjang waktu. Pencari sensasi akan memilih rute melalui ngarai dengan tebing terjal dan tanjakan yang terjal.

Tapi apa pun preferensi Anda, diinginkan untuk mengetahui daerah tersebut, atau setidaknya memiliki peta topografinya. Bagaimana jika tidak ada informasi seperti itu? Lagi pula, Anda dapat memilih, misalnya, jalan datar, tetapi sebagai hasilnya, tersandung lereng ski dengan orang Finlandia yang lucu. Bukan fakta bahwa navigator dan bahkan citra satelit akan memberikan data yang andal. Oleh karena itu, alangkah baiknya untuk meresmikan relief jalan dengan cara matematika.

Pertimbangkan beberapa jalan (tampilan samping):

Untuk jaga-jaga, saya mengingatkan Anda tentang fakta dasar: perjalanan itu terjadi dari kiri ke kanan. Untuk mempermudah, kita asumsikan bahwa fungsi kontinu di daerah yang dipertimbangkan.

Apa ciri-ciri grafik ini?

Pada interval fungsi meningkat, yaitu, masing-masing nilai berikutnya lagi yang sebelumnya. Secara kasar, jadwalnya berjalan turun hingga(kami mendaki bukit). Dan pada interval fungsi berkurang- setiap nilai berikutnya lebih kecil yang sebelumnya, dan jadwal kita berjalan Perintahkan ke bawah(menuruni lereng).

Mari kita juga memperhatikan poin-poin khusus. Pada titik kita mencapai maksimum, yaitu ada bagian dari jalur di mana nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama, minimum, dan ada sedemikian rupa tetangganya, yang nilainya paling kecil (terendah).

Terminologi dan definisi yang lebih ketat akan dibahas dalam pelajaran ini. tentang ekstrem dari fungsi, tapi untuk sekarang mari kita pelajari satu fitur penting lagi: pada interval fungsinya meningkat, tetapi meningkat pada kecepatan yang berbeda. Dan hal pertama yang menarik perhatian Anda adalah grafiknya membumbung tinggi pada interval jauh lebih keren daripada pada interval. Apakah mungkin mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematika?

Tingkat perubahan fungsi

Idenya adalah ini: ambil beberapa nilai (baca "delta x"), yang akan kita sebut penambahan argumen, dan mari kita mulai "mencobanya" ke berbagai titik di jalur kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melewati jarak , kita mendaki lereng ke ketinggian (garis hijau). Nilai tersebut disebut peningkatan fungsi, dan dalam hal ini kenaikan ini positif (perbedaan nilai sepanjang sumbu lebih besar dari nol). Mari kita buat rasio , yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas, adalah angka yang sangat spesifik, dan karena kedua kenaikannya positif, maka .

Perhatian! Penunjukan adalah SATU simbol, yaitu, Anda tidak dapat "merobek" "delta" dari "x" dan mempertimbangkan huruf-huruf ini secara terpisah. Tentu saja, komentar juga berlaku untuk simbol kenaikan fungsi.

Mari kita telusuri sifat pecahan yang dihasilkan lebih bermakna. Misalkan awalnya kita berada di ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah melewati jarak meter (kiri garis merah), kita akan berada di ketinggian 60 meter. Maka kenaikan fungsi tersebut adalah meter (garis hijau) dan: . Dengan demikian, pada setiap meter bagian jalan ini tinggi badan bertambah rata-rata sejauh 4 meter…apakah Anda lupa peralatan pendakian Anda? =) Dengan kata lain, rasio yang dibangun mencirikan TINGKAT PERUBAHAN RATA-RATA (dalam hal ini, pertumbuhan) fungsi tersebut.

Catatan : Nilai numerik dari contoh yang dimaksud sesuai dengan proporsi gambar hanya kira-kira.

2) Sekarang mari kita ambil jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih lembut, sehingga kenaikannya (garis merah) relatif kecil, dan rasionya dibandingkan dengan kasus sebelumnya akan cukup sederhana. Secara relatif, meter dan tingkat pertumbuhan fungsi adalah . Artinya, di sini untuk setiap meter jalan ada rata-rata setengah meter ke atas.

3) Sedikit petualangan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak di sumbu y. Mari kita asumsikan bahwa ini adalah tanda 50 meter. Sekali lagi kami mengatasi jarak, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada level 30 meter. Sejak gerakan telah dibuat Perintahkan ke bawah(dalam arah "berlawanan" dari sumbu), maka final kenaikan fungsi (tinggi) akan menjadi negatif: meter (garis coklat pada gambar). Dan dalam hal ini kita berbicara tentang tingkat peluruhan fitur: , yaitu, untuk setiap meter lintasan bagian ini, ketinggiannya berkurang rata-rata sebanyak 2 meter. Jaga pakaian pada poin kelima.

Sekarang mari kita ajukan pertanyaan: apa nilai terbaik dari "standar pengukuran" untuk digunakan? Jelas bahwa 10 meter sangat kasar. Selusin gundukan yang bagus dapat dengan mudah masuk ke dalamnya. Mengapa ada gundukan, mungkin ada ngarai yang dalam di bawah, dan setelah beberapa meter - sisi lainnya dengan pendakian yang lebih curam. Jadi, dengan yang sepuluh meter, kita tidak akan mendapatkan karakteristik yang dapat dipahami dari bagian-bagian jalan yang melalui rasio tersebut.

Dari pembahasan di atas, berikut kesimpulannya: semakin kecil nilainya, semakin akurat kita akan menggambarkan relief jalan. Apalagi fakta-fakta berikut ini benar:

– Untuk apa saja titik angkat Anda dapat memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dengan batas kenaikan satu atau lainnya. Dan ini berarti bahwa kenaikan tinggi yang sesuai akan dijamin positif, dan pertidaksamaan akan dengan tepat menunjukkan pertumbuhan fungsi pada setiap titik interval ini.

- Juga, untuk apa saja titik kemiringan, ada nilai yang akan cocok sepenuhnya pada kemiringan ini. Oleh karena itu, peningkatan tinggi yang sesuai jelas negatif, dan pertidaksamaan akan dengan benar menunjukkan penurunan fungsi pada setiap titik interval yang diberikan.

– Yang menarik adalah kasus ketika tingkat perubahan fungsi adalah nol: . Pertama, kenaikan ketinggian nol () adalah tanda jalur genap. Dan kedua, ada situasi aneh lainnya, contohnya Anda lihat pada gambar. Bayangkan bahwa takdir telah membawa kita ke puncak bukit dengan elang yang menjulang tinggi atau dasar jurang dengan kodok yang berkokok. Jika Anda mengambil langkah kecil ke segala arah, maka perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita dapat mengatakan bahwa laju perubahan fungsi sebenarnya nol. Pola yang sama diamati pada titik-titik.

Dengan demikian, kami telah mendekati peluang luar biasa untuk secara akurat mengkarakterisasi laju perubahan suatu fungsi. Bagaimanapun, analisis matematis memungkinkan kita untuk mengarahkan kenaikan argumen ke nol: yaitu, membuatnya kecil sekali.

Akibatnya, pertanyaan logis lain muncul: apakah mungkin menemukan jalan dan jadwalnya? fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua dataran, menanjak, menurun, puncak, dataran rendah, serta tingkat kenaikan / penurunan di setiap titik jalan?

Apa itu turunan? Definisi turunan.
Arti geometris turunan dan diferensial

Harap baca dengan cermat dan jangan terlalu cepat - materinya sederhana dan dapat diakses oleh semua orang! Tidak apa-apa jika di beberapa tempat ada sesuatu yang tampak tidak terlalu jelas, Anda selalu dapat kembali ke artikel nanti. Saya akan mengatakan lebih banyak, berguna untuk mempelajari teori beberapa kali untuk memahami semua poin secara kualitatif (nasihat ini sangat relevan untuk siswa "teknis", yang matematika tingkat tinggi memainkan peran penting dalam proses pendidikan).

Secara alami, dalam definisi turunan pada suatu titik, kami akan menggantinya dengan:

Apa yang telah kita datangi? Dan kami sampai pada kesimpulan bahwa untuk suatu fungsi menurut hukum sejajar fungsi lainnya, yang disebut fungsi turunan(atau sederhananya turunan).

Sifat turunannya tingkat perubahan fungsi . Bagaimana? Pikiran itu berjalan seperti benang merah dari awal artikel. Pertimbangkan beberapa hal domain fungsi . Biarkan fungsi tersebut terdiferensialkan pada suatu titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsi meningkat pada titik . Dan jelas ada selang(walaupun sangat kecil) yang berisi titik di mana fungsi tumbuh, dan grafiknya bergerak "dari bawah ke atas".

2) Jika , maka fungsi menurun di titik . Dan ada interval yang berisi titik di mana fungsi menurun (grafik berjalan "dari atas ke bawah").

3) Jika , maka sangat dekat dekat titik, fungsi menjaga kecepatannya konstan. Ini terjadi, seperti dicatat, untuk konstanta fungsi dan pada titik kritis fungsi, secara khusus pada poin minimum dan maksimum.

Beberapa semantik. Apa arti kata kerja "membedakan" dalam arti luas? Untuk membedakan berarti memilih fitur. Membedakan fungsi , kami "memilih" laju perubahannya dalam bentuk turunan dari fungsi . Dan omong-omong, apa yang dimaksud dengan kata "turunan"? Fungsi telah terjadi dari fungsi.

Istilah-istilah tersebut sangat berhasil menginterpretasikan makna mekanis dari turunannya :
Mari kita perhatikan hukum perubahan koordinat benda, yang bergantung pada waktu, dan fungsi kecepatan gerak benda tersebut. Fungsi mencirikan laju perubahan koordinat tubuh, oleh karena itu merupakan turunan pertama dari fungsi terhadap waktu: . Jika konsep "gerakan tubuh" tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep "kecepatan".

Percepatan benda adalah laju perubahan kecepatan, oleh karena itu: . Jika konsep asli "gerakan tubuh" dan "kecepatan gerakan tubuh" tidak ada di alam, maka tidak akan ada turunan konsep percepatan benda.

Sinopsis pelajaran terbuka oleh seorang guru di Pedagogical College No. 4 St. Petersburg

Martusevich Tatyana Olegovna

Tanggal: 29/12/2014.

Topik: Makna geometris turunan.

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Metode pengajaran: visual, sebagian eksplorasi.

Tujuan pelajaran.

Perkenalkan konsep garis singgung pada grafik fungsi di suatu titik, cari tahu apa arti geometris turunannya, turunkan persamaan tangennya, dan ajari cara menemukannya.

Tugas pendidikan:

Untuk mencapai pemahaman tentang makna geometris turunan; turunan dari persamaan tangen; belajar bagaimana memecahkan masalah dasar;

memberikan pengulangan materi dengan topik "Pengertian turunan";

menciptakan kondisi untuk mengontrol (self-control) pengetahuan dan keterampilan.

Tugas pengembangan:

untuk mempromosikan pembentukan keterampilan untuk menerapkan metode perbandingan, generalisasi, menyoroti hal utama;

melanjutkan pengembangan cakrawala matematika, berpikir dan berbicara, perhatian dan memori.

Tugas pendidikan:

untuk mempromosikan pendidikan minat dalam matematika;

pendidikan aktivitas, mobilitas, kemampuan berkomunikasi.

Jenis pelajaran - pelajaran gabungan menggunakan TIK.

Peralatan – instalasi multimedia, presentasiMicrosoftkekuatantitik.

Tahap pelajaran

Waktu

Aktivitas guru

Aktivitas siswa

1. Momen organisasi.

Pesan tentang topik dan tujuan pelajaran.

Topik: Makna geometris turunan.

Tujuan pelajaran.

Perkenalkan konsep garis singgung pada grafik fungsi di suatu titik, cari tahu apa arti geometris turunannya, turunkan persamaan tangennya, dan ajari cara menemukannya.

Mempersiapkan siswa untuk bekerja di kelas.

Persiapan untuk bekerja di kelas.

Kesadaran akan topik dan tujuan pelajaran.

Mencatat.

2. Persiapan untuk mempelajari materi baru melalui pengulangan dan pemutakhiran pengetahuan dasar.

Organisasi pengulangan dan pembaruan pengetahuan dasar: definisi turunan dan perumusan makna fisiknya.

Merumuskan definisi turunan dan merumuskan makna fisisnya. Pengulangan, pemutakhiran dan konsolidasi pengetahuan dasar.

Organisasi pengulangan dan pembentukan keterampilan menemukan turunan dari fungsi pangkat dan fungsi dasar.

Menemukan turunan dari fungsi-fungsi ini dengan rumus.

Pengulangan sifat-sifat fungsi linier.

Pengulangan, persepsi gambar dan pernyataan guru

3. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.

Penjelasan tentang arti rasio kenaikan fungsi terhadap kenaikan argumen

Penjelasan arti geometris turunan.

Pengenalan materi baru melalui penjelasan verbal menggunakan gambar dan alat bantu visual: presentasi multimedia dengan animasi.

Persepsi penjelasan, pemahaman, jawaban atas pertanyaan guru.

Rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan.

Persepsi informasi baru, pemahaman dan pemahaman utamanya.

Rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan.

Buat garis besar.

Rumusan makna geometris turunan.

Pertimbangan tiga kasus.

Membuat catatan, membuat gambar.

4. Bekerja dengan materi baru.

Pemahaman utama dan penerapan materi yang dipelajari, konsolidasinya.

Pada titik mana turunannya positif?

Negatif?

Sama dengan nol?

Belajar mencari algoritma untuk jawaban atas pertanyaan yang diajukan oleh jadwal.

Memahami dan memahami serta menerapkan informasi baru untuk memecahkan suatu masalah.

5. Pemahaman utama dan penerapan materi yang dipelajari, konsolidasinya.

Pesan kondisi tugas.

Merekam kondisi tugas.

Rumusan pertanyaan kepada guru jika ada kesulitan

6. Penerapan pengetahuan: karya mandiri yang bersifat mengajar.

Selesaikan sendiri masalahnya:

Aplikasi dari pengetahuan yang diperoleh.

Pekerjaan mandiri dalam memecahkan masalah menemukan turunan dari gambar. Diskusi dan verifikasi jawaban berpasangan, merumuskan pertanyaan kepada guru jika mengalami kesulitan.

7. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.

Turunan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik.

Penjelasan rinci tentang turunan persamaan garis singgung grafik fungsi di suatu titik, dengan menggunakan alat peraga berupa presentasi multimedia, jawaban atas pertanyaan siswa.

Turunan persamaan tangen sama dengan guru. Jawaban atas pertanyaan guru.

Membuat sketsa, menggambar.

8. Bekerja dengan materi baru: penjelasan.

Dalam dialog dengan siswa, derivasi dari algoritma untuk menemukan persamaan garis singgung grafik fungsi yang diberikan pada titik tertentu.

Dalam dialog dengan guru, derivasi dari algoritma untuk menemukan persamaan garis singgung grafik fungsi yang diberikan pada titik tertentu.

Mencatat.

Pesan kondisi tugas.

Pelatihan dalam penerapan pengetahuan yang diperoleh.

Organisasi pencarian cara untuk memecahkan masalah dan implementasinya. analisis rinci dari solusi dengan penjelasan.

Merekam kondisi tugas.

Membuat asumsi tentang kemungkinan cara untuk memecahkan masalah dalam implementasi setiap item rencana aksi. Menyelesaikan masalah bersama-sama dengan guru.

Merekam solusi dari masalah dan jawabannya.

9. Penerapan pengetahuan: karya mandiri yang bersifat mengajar.

Kontrol individu. Saran dan bantuan kepada siswa sesuai kebutuhan.

Verifikasi dan penjelasan solusi menggunakan presentasi.

Aplikasi dari pengetahuan yang diperoleh.

Pekerjaan mandiri dalam memecahkan masalah menemukan turunan dari gambar. Diskusi dan verifikasi jawaban secara berpasangan, merumuskan pertanyaan kepada guru jika mengalami kesulitan

10. Pekerjaan rumah.

48, tugas 1 dan 3, pahami solusinya dan tuliskan di buku catatan dengan gambar.

№ 860 (2,4,6,8),

Pesan pekerjaan rumah dengan komentar.

Merekam pekerjaan rumah.

11. Menyimpulkan.

Kami mengulangi definisi turunan; arti fisik turunan; sifat-sifat fungsi linier.

Kami belajar apa arti geometris dari turunan.

Kami belajar untuk menurunkan persamaan garis singgung ke grafik fungsi yang diberikan pada titik tertentu.

Koreksi dan klarifikasi hasil pelajaran.

Pencacahan hasil pelajaran.

12. Refleksi.

1. Apakah Anda memiliki pelajaran: a) mudah; b) biasanya; c) sulit.

a) belajar (a) sepenuhnya, saya bisa melamar;

b) dipelajari (a), tetapi sulit untuk diterapkan;

c) tidak mendapatkannya.

3. Presentasi multimedia dalam pelajaran:

a) membantu asimilasi materi; b) tidak membantu asimilasi materi;

c) mengganggu asimilasi materi.

Melakukan refleksi.

Jenis pekerjaan: 7

Kondisi

Garis y=3x+2 bersinggungan dengan grafik fungsi y=-12x^2+bx-10. Temukan b , mengingat absis titik sentuh kurang dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Biarkan x_0 menjadi absis titik pada grafik fungsi y=-12x^2+bx-10 yang melaluinya garis singgung grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y"(x_0)=-24x_0+b=3. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu -12x_0^2+bx_0-10= 3x_0 + 2. Kami mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) -24x_0+b=3,\\-12x_0^2+bx_0-10=3x_0+2. \end(kasus)

Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti baik x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh kurang dari nol, oleh karena itu x_0=-1, maka b=3+24x_0=-21.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Garis y=-3x+4 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=-x^2+5x-7. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis ke grafik fungsi y=-x^2+5x-7 pada sembarang titik x_0 adalah y"(x_0). Tapi y"=-2x+5, jadi y"(x_0)=- 2x_0+5 Sudut koefisien garis y=-3x+4 yang ditentukan dalam kondisi adalah -3.Garis sejajar memiliki koefisien kemiringan yang sama.Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 yang =-2x_0 +5=-3.

Kami mendapatkan: x_0 = 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Dari gambar, kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(-6; 2) dan B(-1; 1). Dilambangkan dengan C(-6; 1) titik potong garis x=-6 dan y=1, dan dengan \alpha sudut ABC (dapat dilihat pada gambar lancip). Kemudian garis AB membentuk sudut tumpul \pi -\alpha dengan arah positif sumbu Ox.

Seperti yang Anda ketahui, tg(\pi -\alpha) akan menjadi nilai turunan dari fungsi f(x) pada titik x_0. perhatikan itu tg \alpha =\frac(AC)(CB)=\frac(2-1)(-1-(-6))=\frac15. Dari sini, dengan rumus reduksi, kami memperoleh: tg(\pi -\alpha) =-tg \alpha =-\frac15=-0,2.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Garis y=-2x-4 bersinggungan dengan grafik fungsi y=16x^2+bx+12. Temukan b , mengingat bahwa absis titik sentuh lebih besar dari nol.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Misalkan x_0 adalah absis titik pada grafik fungsi y=16x^2+bx+12 yang melaluinya

bersinggungan dengan grafik ini.

Nilai turunan pada titik x_0 sama dengan kemiringan garis singgung, yaitu y "(x_0)=32x_0+b=-2. Sebaliknya, titik singgung termasuk dalam grafik fungsi dan grafik tangen, yaitu 16x_0^2+bx_0+12=- 2x_0-4 Kita mendapatkan sistem persamaan \begin(cases) 32x_0+b=-2,\\16x_0^2+bx_0+12=-2x_0-4. \end(kasus)

Memecahkan sistem, kita mendapatkan x_0^2=1, yang berarti x_0=-1 atau x_0=1. Menurut kondisi absis, titik sentuh lebih besar dari nol, oleh karena itu x_0=1, maka b=-2-32x_0=-34.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) yang didefinisikan pada interval (-2; 8). Tentukan banyak titik yang garis singgung grafik fungsi tersebut sejajar dengan garis lurus y=6.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Garis y=6 sejajar dengan sumbu Ox. Oleh karena itu, kami menemukan titik-titik di mana garis singgung grafik fungsi sejajar dengan sumbu Ox. Pada grafik ini, titik-titik tersebut adalah titik ekstrim (titik maksimum atau minimum). Seperti yang Anda lihat, ada 4 titik ekstrem.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Garis y=4x-6 sejajar dengan garis singgung grafik fungsi y=x^2-4x+9. Temukan absis titik kontak.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Kemiringan garis singgung grafik fungsi y \u003d x ^ 2-4x + 9 di sembarang titik x_0 adalah y "(x_0). Tapi y" \u003d 2x-4, yang berarti y "(x_0) \ u003d 2x_0-4. Kemiringan garis singgung y \u003d 4x-7 yang ditentukan dalam kondisi sama dengan 4. Garis paralel memiliki kemiringan yang sama. Oleh karena itu, kami menemukan nilai x_0 sehingga 2x_0-4 \u003d 4. Kami mendapatkan : x_0 \u003d 4.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 7
Topik: Makna geometris turunan. Grafik singgung fungsi

Kondisi

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y=f(x) dan garis singgungnya di titik dengan absis x_0. Tentukan nilai turunan fungsi f(x) di titik x_0.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Dari gambar tersebut, kita tentukan bahwa garis singgung melalui titik A(1; 1) dan B(5; 4). Dilambangkan dengan C(5; 1) titik potong garis x=5 dan y=1, dan dengan \alpha sudut BAC (dapat dilihat pada gambar lancip). Kemudian garis AB membentuk sudut \alpha dengan arah positif sumbu Ox.

Untuk mengetahui nilai geometrik turunan, perhatikan grafik fungsi y = f(x). Ambil sembarang titik M dengan koordinat (x, y) dan titik N di dekatnya (x + $\Delta $x, y + $\Delta $y). Mari kita menggambar ordinat $\overline(M_(1) M)$ dan $\overline(N_(1) N)$, dan menggambar garis sejajar dengan sumbu OX dari titik M.

Rasio $\frac(\Delta y)(\Delta x) $ adalah tangen dari sudut $\alpha $1 yang dibentuk oleh garis potong MN dengan arah positif dari sumbu OX. Karena $\Delta $x cenderung ke nol, titik N akan mendekati M, dan garis singgung MT terhadap kurva di titik M akan menjadi posisi pembatas garis potong MN. Dengan demikian, turunan f`(x) sama dengan garis singgung dari sudut $\alpha $ yang dibentuk oleh garis singgung kurva di titik M (x, y) dengan arah positif terhadap sumbu OX - kemiringan garis singgung (Gbr. 1).

Gambar 1. Grafik suatu fungsi

Saat menghitung nilai menggunakan rumus (1), penting untuk tidak membuat kesalahan dalam tanda, karena kenaikan bisa negatif.

Titik N yang terletak pada kurva dapat mendekati M dari sisi mana pun. Jadi, jika pada Gambar 1, garis singgung diberikan arah yang berlawanan, sudut $\alpha $ akan berubah sebesar $\pi $, yang secara signifikan akan mempengaruhi garis singgung sudut dan, dengan demikian, kemiringan.

Kesimpulan

Oleh karena itu keberadaan turunan dihubungkan dengan keberadaan garis singgung kurva y = f(x), dan kemiringan -- tg $\alpha $ = f`(x) berhingga. Oleh karena itu, garis singgung tidak boleh sejajar dengan sumbu OY, jika tidak $\alpha $ = $\pi $/2, dan garis singgung sudut akan menjadi tak hingga.

Di beberapa titik, kurva kontinu mungkin tidak memiliki garis singgung atau memiliki garis singgung yang sejajar dengan sumbu OY (Gbr. 2). Maka fungsi tidak dapat memiliki turunan dalam nilai-nilai ini. Bisa ada sejumlah titik seperti itu pada kurva fungsi.

Gambar 2. Titik luar biasa dari kurva

Perhatikan Gambar 2. Misalkan $\Delta $x cenderung ke nol dari nilai negatif atau positif:

\[\Delta x\ke -0\begin(array)(cc) () & (\Delta x\to +0) \end(array)\]

Jika dalam hal ini hubungan (1) memiliki lorong yang terbatas, itu dilambangkan sebagai:

Dalam kasus pertama, turunan di sebelah kiri, dalam kasus kedua, turunan di sebelah kanan.

Keberadaan limit berbicara tentang kesetaraan dan persamaan turunan kiri dan kanan:

Jika turunan kiri dan kanan tidak sama, maka pada titik ini terdapat garis singgung yang tidak sejajar dengan OY (titik M1, Gambar 2). Pada titik M2, M3, hubungan (1) cenderung tak terhingga.

Untuk N poin di sebelah kiri M2, $\Delta $x $

Di sebelah kanan $M_2$, $\Delta $x $>$ 0, tetapi ekspresinya juga f(x + $\Delta $x) -- f(x) $

Untuk titik $M_3$ di sebelah kiri $\Delta $x $$ 0 dan f(x + $\Delta $x) -- f(x) $>$ 0, mis. ekspresi (1) keduanya positif di kiri dan kanan dan cenderung +$\infty $ keduanya ketika $\Delta $x mendekati -0 dan +0.

Kasus tidak adanya turunan pada titik-titik tertentu dari garis (x = c) ditunjukkan pada Gambar 3.

Gambar 3. Tidak adanya turunan

Contoh 1

Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi dan garis singgung grafik pada titik dengan absis $x_0$. Tentukan nilai turunan fungsi pada absis.

Keputusan. Turunan pada suatu titik sama dengan rasio kenaikan fungsi dengan kenaikan argumen. Mari kita memilih dua titik dengan koordinat bilangan bulat pada garis singgung. Misalkan, ini adalah titik F (-3.2) dan C (-2.4).