Pada artikel ini, kami akan menunjukkan caranya definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut dan bilangan dalam trigonometri. Di sini kita akan berbicara tentang notasi, memberikan contoh catatan, memberikan ilustrasi grafis. Sebagai kesimpulan, kami menggambar paralel antara definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dalam trigonometri dan geometri.

Navigasi halaman.

Pengertian sinus, cosinus, tangen, dan kotangen

Mari kita ikuti bagaimana konsep sinus, cosinus, tangen dan kotangen terbentuk dalam mata kuliah matematika sekolah. Dalam pelajaran geometri, definisi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku diberikan. Dan kemudian trigonometri dipelajari, yang mengacu pada sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi dan bilangan. Kami memberikan semua definisi ini, memberikan contoh dan memberikan komentar yang diperlukan.

Sudut lancip pada segitiga siku-siku

Dari mata kuliah geometri, definisi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dalam segitiga siku-siku telah diketahui. Mereka diberikan sebagai rasio sisi-sisi segitiga siku-siku. Kami menyajikan formulasi mereka.

Definisi.

Sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring.

Definisi.

Cosinus sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.

Definisi.

Garis singgung sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.

Definisi.

Kotangen sudut lancip pada segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.

Notasi sinus, cosinus, tangen dan kotangen juga diperkenalkan di sana - masing-masing sin, cos, tg dan ctg.

Misalnya, jika ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C, maka sinus sudut lancip A sama dengan perbandingan kaki depan BC dengan sisi miring AB, yaitu sin∠A=BC/AB.

Definisi ini memungkinkan Anda untuk menghitung nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip dari panjang sisi segitiga siku-siku yang diketahui, serta dari nilai sinus, cosinus, garis singgung, kotangen dan panjang salah satu sisinya, tentukan panjang sisi yang lain. Misalnya, jika kita mengetahui bahwa pada segitiga siku-siku kaki AC adalah 3 dan sisi miring AB adalah 7 , maka kita dapat menghitung kosinus sudut lancip A dengan definisi: cos∠A=AC/AB=3/7 .

Sudut rotasi

Dalam trigonometri, mereka mulai melihat sudut lebih luas - mereka memperkenalkan konsep sudut rotasi. Sudut rotasi, tidak seperti sudut lancip, tidak dibatasi oleh bingkai dari 0 hingga 90 derajat, sudut rotasi dalam derajat (dan dalam radian) dapat dinyatakan dengan bilangan real apa pun dari hingga +∞.

Dalam hal ini, definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen bukan lagi sudut lancip, tetapi sudut yang besarnya berubah-ubah - sudut rotasi. Mereka diberikan melalui koordinat x dan y dari titik A 1 , di mana titik awal yang disebut A(1, 0) lewat setelah berputar melalui sudut di sekitar titik O - awal dari sistem koordinat Cartesian persegi panjang dan pusat lingkaran satuan.

Definisi.

Sinus sudut rotasi adalah ordinat titik A 1 , yaitu sinα=y .

Definisi.

cosinus sudut rotasi disebut absis titik A 1 , yaitu cosα=x .

Definisi.

Tangen sudut rotasi adalah rasio ordinat titik A 1 dengan absisnya, yaitu tgα=y/x .

Definisi.

Kotangen dari sudut rotasi adalah rasio absis titik A 1 dengan ordinatnya, yaitu ctgα=x/y .

Sinus dan kosinus didefinisikan untuk sembarang sudut , karena kita selalu dapat menentukan absis dan ordinat titik, yang diperoleh dengan memutar titik awal dengan sudut . Dan tangen dan kotangen tidak didefinisikan untuk setiap sudut. Garis singgung tidak didefinisikan untuk sudut seperti itu di mana titik awal menuju ke titik dengan nol absis (0, 1) atau (0, 1) , dan ini terjadi pada sudut 90°+180° k , k∈Z (π /2+π k rad). Memang, pada sudut rotasi seperti itu, ekspresi tgα=y/x tidak masuk akal, karena mengandung pembagian dengan nol. Untuk kotangen, tidak ditentukan untuk sudut di mana titik awal menuju ke titik dengan ordinat nol (1, 0) atau (−1, 0) , dan ini adalah kasus sudut 180° k , k Z (π k rad).

Jadi, sinus dan kosinus didefinisikan untuk setiap sudut rotasi, garis singgung didefinisikan untuk semua sudut kecuali 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad), dan kotangen adalah untuk semua sudut kecuali 180 ° ·k , k∈Z (π·k rad).

Notasi yang sudah kita ketahui muncul dalam definisi sin, cos, tg dan ctg, mereka juga digunakan untuk menunjukkan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi (kadang-kadang Anda dapat menemukan notasi tan dan cot yang sesuai dengan tangen dan kotangens). Jadi sinus sudut rotasi 30 derajat dapat ditulis sebagai sin30°, catatan tg(−24°17′) dan ctgα sesuai dengan tangen sudut rotasi 24 derajat 17 menit dan kotangen sudut rotasi . Ingatlah bahwa ketika menulis ukuran radian suatu sudut, notasi "rad" sering dihilangkan. Misalnya, cosinus dari sudut rotasi tiga pi rad biasanya dilambangkan cos3 .

Sebagai penutup paragraf ini, perlu diperhatikan bahwa dalam membicarakan sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi, frasa “sudut rotasi” atau kata “rotasi” sering dihilangkan. Artinya, alih-alih frasa "sinus sudut rotasi alfa", mereka biasanya menggunakan frasa "sinus sudut alfa" atau bahkan lebih pendek - "sinus alfa". Hal yang sama berlaku untuk cosinus, dan tangen, dan kotangen.

Katakan juga bahwa definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut lancip pada segitiga siku-siku konsisten dengan definisi yang diberikan untuk sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut rotasi yang berkisar dari 0 hingga 90 derajat. Ini akan kami buktikan.

angka

Definisi.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen suatu bilangan t adalah angka yang sama dengan sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi masing-masing dalam t radian.

Misalnya, kosinus 8 , menurut definisi, adalah bilangan yang sama dengan kosinus sudut 8 rad. Dan cosinus sudut pada 8 rad sama dengan satu, oleh karena itu cosinus dari angka 8 sama dengan 1.

Ada pendekatan lain untuk definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari suatu bilangan. Ini terdiri dari fakta bahwa setiap bilangan real t diberi titik lingkaran satuan yang berpusat di titik asal sistem koordinat persegi panjang, dan sinus, kosinus, tangen, dan kotangen ditentukan melalui koordinat titik ini. Mari kita membahas ini secara lebih rinci.

Mari kita tunjukkan bagaimana korespondensi antara bilangan real dan titik-titik lingkaran ditetapkan:

• angka 0 ditetapkan sebagai titik awal A(1, 0);
• angka positif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak mengelilingi lingkaran dari titik awal dalam arah berlawanan arah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang t;
• angka negatif t dikaitkan dengan titik pada lingkaran satuan, yang akan kita dapatkan jika kita bergerak di sekitar lingkaran dari titik awal searah jarum jam dan melalui jalur dengan panjang |t| .

Sekarang mari kita beralih ke definisi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari bilangan t. Mari kita asumsikan bahwa angka t sesuai dengan titik lingkaran A 1 (x, y) (misalnya, angka &pi/2; sesuai dengan titik A 1 (0, 1) ).

Definisi.

Sinus suatu bilangan t adalah ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan bilangan t , yaitu sint=y .

Definisi.

Kosinus suatu bilangan t disebut absis dari titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t , yaitu, biaya=x .

Definisi.

Tangen suatu bilangan t adalah rasio ordinat dengan absis titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, tgt=y/x. Dalam formulasi lain yang setara, garis singgung dari angka t adalah rasio sinus dari angka ini dengan kosinus, yaitu, tgt=sint/biaya .

Definisi.

Kotangen suatu bilangan t adalah rasio absis terhadap ordinat titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t, yaitu, ctgt=x/y. Rumusan lain adalah sebagai berikut: tangen bilangan t adalah perbandingan kosinus bilangan t dengan sinus bilangan t : ctgt=biaya/sint .

Di sini kami mencatat bahwa definisi yang baru saja diberikan setuju dengan definisi yang diberikan di awal subbagian ini. Memang, titik lingkaran satuan yang sesuai dengan angka t bertepatan dengan titik yang diperoleh dengan memutar titik awal melalui sudut t radian.

Penting juga untuk mengklarifikasi poin ini. Katakanlah kita memiliki entri sin3. Bagaimana memahami apakah sinus angka 3 atau sinus sudut rotasi 3 radian yang dimaksud? Ini biasanya jelas dari konteksnya, jika tidak, mungkin tidak masalah.

Fungsi trigonometri argumen sudut dan numerik

Menurut definisi yang diberikan dalam paragraf sebelumnya, setiap sudut rotasi sesuai dengan nilai sinα yang terdefinisi dengan baik, serta nilai cosα. Selain itu, semua sudut rotasi selain 90°+180° k , k∈Z (π/2+π k rad) sesuai dengan nilai tgα , dan selain 180° k , k∈Z (π k rad ) adalah nilai dari ctgα . Oleh karena itu sinα, cosα, tgα dan ctgα adalah fungsi dari sudut . Dengan kata lain, ini adalah fungsi dari argumen sudut.

Demikian pula, kita dapat berbicara tentang fungsi sinus, kosinus, tangen dan kotangen dari argumen numerik. Memang, setiap bilangan real t sesuai dengan nilai sint , serta biaya yang terdefinisi dengan baik . Selain itu, semua angka selain /2+π·k , k∈Z sesuai dengan nilai tgt , dan angka ·k , k∈Z sesuai dengan nilai ctgt .

Fungsi sinus, cosinus, tangen, dan kotangen disebut fungsi trigonometri dasar.

Biasanya jelas dari konteksnya bahwa kita berurusan dengan fungsi trigonometri dari argumen sudut atau argumen numerik. Jika tidak, kita dapat menganggap variabel independen sebagai ukuran sudut (argumen sudut) dan argumen numerik.

Namun, sekolah terutama mempelajari fungsi numerik, yaitu fungsi yang argumennya, serta nilai fungsi yang sesuai, adalah angka. Oleh karena itu, jika kita berbicara tentang fungsi, maka disarankan untuk mempertimbangkan fungsi trigonometri sebagai fungsi argumen numerik.

Koneksi definisi dari geometri dan trigonometri

Jika kita mempertimbangkan sudut rotasi dari 0 hingga 90 derajat, maka data dalam konteks trigonometri definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut rotasi sepenuhnya konsisten dengan definisi sinus, cosinus , tangen dan kotangen dari sudut akut dalam segitiga siku-siku, yang diberikan dalam kursus geometri. Mari kita buktikan ini.

Gambarlah sebuah lingkaran satuan pada sistem koordinat kartesius persegi panjang Oxy. Perhatikan titik awal A(1, 0) . Mari kita putar dengan sudut mulai dari 0 hingga 90 derajat, kita mendapatkan titik A 1 (x, y) . Mari kita jatuhkan tegak lurus A 1 H dari titik A 1 ke sumbu Ox.

Sangat mudah untuk melihat bahwa dalam segitiga siku-siku sudut A 1 OH sama dengan sudut rotasi , panjang kaki OH yang berdekatan dengan sudut ini sama dengan absis titik A 1, yaitu |OH |=x, panjang kaki A 1 H yang berhadapan dengan sudut sama dengan ordinat titik A 1 , yaitu |A 1 H|=y , dan panjang sisi miring OA 1 sama dengan satu , karena itu adalah jari-jari lingkaran satuan. Kemudian, menurut definisi dari geometri, sinus sudut lancip dalam segitiga siku-siku A 1 OH sama dengan rasio sisi yang berlawanan dengan sisi miring, yaitu, sinα=|A 1 H|/|OA 1 |= y/1=y . Dan menurut definisi dari trigonometri, sinus sudut rotasi sama dengan ordinat titik A 1, yaitu sinα=y. Hal ini menunjukkan bahwa definisi sinus sudut lancip pada segitiga siku-siku sama dengan definisi sinus sudut putar untuk dari 0 hingga 90 derajat.

Demikian pula, dapat ditunjukkan bahwa definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut lancip konsisten dengan definisi kosinus, tangen, dan kotangen dari sudut rotasi .

Bibliografi.

1. Geometri. nilai 7-9: studi. untuk pendidikan umum institusi / [L. S. Atanasyan, V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev dan lainnya]. - edisi ke-20. M.: Pendidikan, 2010. - 384 hal.: sakit. - ISBN 978-5-09-023915-8.
2. Pogorelov A.V. Geometri: Prok. untuk 7-9 sel. pendidikan umum institusi / A. V. Pogorelov. - Edisi ke-2 - M.: Pencerahan, 2001. - 224 hal.: sakit. - ISBN 5-09-010803-X.
3. Aljabar dan fungsi dasar: Buku teks untuk siswa kelas 9 sekolah menengah / E. S. Kochetkov, E. S. Kochetkova; Diedit oleh Doktor Ilmu Fisika dan Matematika O.N. Golovin - edisi ke-4. Moskow: Pendidikan, 1969.
4. Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
5. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14th ed.- M .: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: Ill.- ISBN 5-09-013651-3.
6. Mordkovich A.G. Aljabar dan awal dari analisis. Kelas 10. Pukul 2 siang Bagian 1: buku teks untuk lembaga pendidikan (tingkat profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Edisi ke-4, tambahkan. - M.: Mnemosyne, 2007. - 424 hal.: sakit. ISBN 978-5-346-00792-0.
7. Aljabar dan awal dari analisis matematis. Kelas 10: buku pelajaran. untuk pendidikan umum institusi: dasar dan profil. level /[Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; ed. A.B.Zhizhchenko. - edisi ke-3. - I.: Pendidikan, 2010. - 368 hal.: Sakit - ISBN 978-5-09-022771-1.
8. Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
9. Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

sinus sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah rasio di depan kateter ke hipotenusa.
Ini dilambangkan sebagai berikut: sin .

Kosinus sudut lancip dari segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring.
Dilambangkan sebagai berikut: cos .

Garis singgung sudut lancip adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan.
Dinotasikan sebagai berikut: tg .

Kotangens sudut lancip adalah rasio kaki yang berdekatan dengan kaki yang berlawanan.
Ini ditunjuk sebagai berikut: ctg .

Sinus, cosinus, tangen, dan kotangen suatu sudut hanya bergantung pada besar sudut.

Aturan:

Identitas trigonometri dasar dalam segitiga siku-siku:

(α - sudut lancip di depan kaki b dan berdekatan dengan kaki sebuah . Samping dengan - sisi miring. β - sudut lancip kedua).

b sin = - c	sin 2 + cos 2 = 1
sebuah cos = - c	1 1 + tg 2 = -- cos 2
b tg = - sebuah	1 1 + ctg 2 = -- dosa2α
sebuah ctgα = - b	1 1 1 + -- = -- tg 2 dosa 2
dosa tg = -- karena

Saat sudut lancip bertambahsinα dantg meningkat, dancos berkurang.

Untuk setiap sudut lancip :

sin (90° - ) = cos

cos (90° - ) = sin

Contoh penjelasan:

Biarkan dalam segitiga siku-siku ABC
AB = 6,
SM = 3,
sudut A = 30º.

Tentukan sinus sudut A dan cosinus sudut B.

Keputusan .

1) Pertama, kami menemukan nilai sudut B. Semuanya sederhana di sini: karena dalam segitiga siku-siku jumlah sudut lancip adalah 90º, maka sudut B \u003d 60º:

B \u003d 90º - 30º \u003d 60.

2) Hitung sin A. Kita tahu bahwa sinus sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring. Untuk sudut A, kaki yang berhadapan adalah sisi BC. Jadi:

SM 3 1
sin A = -- = - = -
AB 6 2

3) Sekarang kita hitung cos B. Kita tahu bahwa cosinus sama dengan rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring. Untuk sudut B, kaki yang berdekatan adalah sisi yang sama BC. Ini berarti bahwa kita perlu membagi lagi BC menjadi AB - yaitu, melakukan tindakan yang sama seperti saat menghitung sinus sudut A:

SM 3 1
cos B = -- = - = -
AB 6 2

Hasilnya adalah:
sin A = cos B = 1/2.

sin 30º = cos 60º = 1/2.

Dari sini dapat disimpulkan bahwa dalam segitiga siku-siku sinus dari satu sudut lancip sama dengan kosinus dari sudut lancip lainnya - dan sebaliknya. Inilah yang dimaksud dengan dua rumus kami:
sin (90° - ) = cos
cos (90° - ) = sin

Mari kita periksa lagi:

1) Misalkan = 60º. Mengganti nilai ke dalam rumus sinus, kita mendapatkan:
sin (90º - 60) = cos 60º.
sin 30º = cos 60º.

2) Misalkan = 30º. Substitusikan nilai ke dalam rumus kosinus, kita peroleh:
cos (90° - 30º) = sin 30º.
cos 60° = sin 30º.

(Untuk informasi lebih lanjut tentang trigonometri, lihat bagian Aljabar)

Identitas trigonometri adalah persamaan yang membentuk hubungan antara sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari satu sudut, yang memungkinkan Anda menemukan salah satu fungsi ini, asalkan fungsi lainnya diketahui.

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)

tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1

Identitas ini mengatakan bahwa jumlah kuadrat sinus satu sudut dan kuadrat kosinus satu sudut sama dengan satu, yang dalam praktiknya memungkinkan untuk menghitung sinus satu sudut ketika cosinusnya diketahui dan sebaliknya. .

Saat mengonversi ekspresi trigonometri, identitas ini sangat sering digunakan, yang memungkinkan Anda untuk mengganti jumlah kuadrat dari kosinus dan sinus satu sudut dengan satu dan juga melakukan operasi penggantian dalam urutan terbalik.

Menemukan tangen dan kotangen melalui sinus dan cosinus

tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace

Identitas ini terbentuk dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen. Lagi pula, jika Anda perhatikan, maka menurut definisi, ordinat y adalah sinus, dan absis x adalah kosinus. Maka tangen akan sama dengan rasio \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha), dan rasio \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- akan menjadi kotangen.

Kami menambahkan bahwa hanya untuk sudut \alpha yang fungsi trigonometrinya masuk akal, identitas akan terjadi , ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).

Sebagai contoh: tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha) berlaku untuk \sudut alfa yang berbeda dari \frac(\pi)(2)+\pi z, sebuah ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- untuk sudut \alpha selain \pi z , z adalah bilangan bulat.

Hubungan antara tangen dan kotangen

tg \alpha \cdot ctg \alpha=1

Identitas ini hanya berlaku untuk sudut \alpha yang berbeda dari \frac(\pi)(2) z. Jika tidak, baik kotangen atau tangen tidak akan ditentukan.

Berdasarkan poin di atas, kita mendapatkan bahwa tg \alpha = \frac(y)(x), sebuah ctg\alpha=\frac(x)(y). Oleh karena itu berikut ini tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. Dengan demikian, tangen dan kotangen dari satu sudut di mana mereka masuk akal adalah angka yang saling timbal balik.

Hubungan antara tangen dan kosinus, kotangen dan sinus

tg^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- jumlah kuadrat garis singgung sudut \alpha dan 1 sama dengan kuadrat kebalikan dari kosinus sudut ini. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \frac(\pi)(2)+ \pi z.

1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- jumlah 1 dan kuadrat kotangen dari sudut \alpha , sama dengan kuadrat terbalik dari sinus sudut yang diberikan. Identitas ini berlaku untuk semua \alpha selain \pi z .

Contoh dengan solusi untuk masalah menggunakan identitas trigonometri

Contoh 1

Cari \sin \alpha dan tg \alpha if \cos \alpha=-\frac12 dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Fungsi \sin \alpha dan \cos \alpha dihubungkan oleh rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. Substitusi ke rumus ini \cos \alpha = -\frac12, kita mendapatkan:

\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1

Persamaan ini memiliki 2 solusi:

\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuarter kedua, sinusnya positif, jadi \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).

Untuk mencari tg \alpha , kita menggunakan rumus tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)

tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3

Contoh 2

Temukan \cos \alpha dan ctg \alpha jika dan \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Substitusi ke rumus \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 nomor bersyarat \sin \alpha=\frac(\sqrt3)(2), kita mendapatkan \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. Persamaan ini memiliki dua solusi \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.

Dengan kondisi \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . Pada kuartal kedua, kosinusnya negatif, jadi \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.

Untuk mencari ctg \alpha , kita menggunakan rumus ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). Kami tahu nilai yang sesuai.

ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).

Konsep sinus, kosinus, tangen dan kotangen adalah kategori utama trigonometri - cabang matematika, dan terkait erat dengan definisi sudut. Kepemilikan ilmu matematika ini membutuhkan hafalan dan pemahaman rumus dan teorema, serta pemikiran spasial yang dikembangkan. Itulah sebabnya perhitungan trigonometri sering kali menimbulkan kesulitan bagi anak sekolah dan siswa. Untuk mengatasinya, Anda harus lebih mengenal fungsi dan rumus trigonometri.

Konsep dalam trigonometri

Untuk memahami konsep dasar trigonometri, Anda harus terlebih dahulu memutuskan apa itu segitiga siku-siku dan sudut dalam lingkaran, dan mengapa semua perhitungan trigonometri dasar dikaitkan dengannya. Segitiga yang salah satu sudutnya 90 derajat adalah segitiga siku-siku. Secara historis, angka ini sering digunakan oleh orang-orang dalam arsitektur, navigasi, seni, astronomi. Dengan demikian, mempelajari dan menganalisis sifat-sifat gambar ini, orang-orang sampai pada perhitungan rasio yang sesuai dari parameternya.

Kategori utama yang terkait dengan segitiga siku-siku adalah sisi miring dan kaki. Hipotenusa adalah sisi segitiga yang berhadapan dengan sudut siku-siku. Kaki, masing-masing, adalah dua sisi lainnya. Jumlah sudut setiap segitiga selalu 180 derajat.

Trigonometri bola adalah bagian dari trigonometri yang tidak dipelajari di sekolah, tetapi dalam ilmu terapan seperti astronomi dan geodesi, para ilmuwan menggunakannya. Sebuah fitur dari segitiga dalam trigonometri bola adalah bahwa ia selalu memiliki jumlah sudut lebih besar dari 180 derajat.

Sudut segitiga

Dalam segitiga siku-siku, sinus suatu sudut adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sudut yang diinginkan dengan sisi miring segitiga. Dengan demikian, kosinus adalah rasio kaki yang berdekatan dan sisi miring. Kedua nilai ini selalu memiliki nilai kurang dari satu, karena sisi miring selalu lebih panjang dari kaki.

Garis singgung suatu sudut adalah nilai yang sama dengan rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan dari sudut yang diinginkan, atau sinus terhadap kosinus. Kotangen, pada gilirannya, adalah rasio kaki yang berdekatan dari sudut yang diinginkan dengan kakte yang berlawanan. Kotangen suatu sudut juga dapat diperoleh dengan membagi satuan dengan nilai tangen.

lingkaran satuan

Lingkaran satuan dalam geometri adalah lingkaran yang jari-jarinya sama dengan satu. Lingkaran seperti itu dibangun dalam sistem koordinat Cartesian, dengan pusat lingkaran bertepatan dengan titik asal, dan posisi awal vektor jari-jari ditentukan oleh arah positif sumbu X (sumbu absis). Setiap titik lingkaran memiliki dua koordinat: XX dan YY, yaitu koordinat absis dan ordinat. Memilih titik mana pun pada lingkaran di bidang XX, dan menjatuhkan tegak lurus dari itu ke sumbu absis, kita mendapatkan segitiga siku-siku yang dibentuk oleh jari-jari ke titik yang dipilih (mari kita tunjukkan dengan huruf C), tegak lurus yang ditarik ke sumbu X (titik potong dilambangkan dengan huruf G), dan ruas sumbu absis antara titik asal (titik dilambangkan dengan huruf A) dan titik potong G. Hasil segitiga ACG adalah segitiga siku-siku bertulisan sebuah lingkaran, di mana AG adalah sisi miring, dan AC dan GC adalah kaki-kakinya. Sudut antara jari-jari lingkaran AC dan ruas sumbu absis dengan sebutan AG, kita definisikan sebagai (alfa). Jadi, cos = AG/AC. Mengingat AC adalah jari-jari lingkaran satuan, dan sama dengan satu, ternyata cos =AG. Demikian pula, sin = CG.

Selain itu, dengan mengetahui data ini, dimungkinkan untuk menentukan koordinat titik C pada lingkaran, karena cos =AG, dan sin =CG, yang berarti titik C memiliki koordinat yang diberikan (cos ; sin ). Mengetahui bahwa garis singgung sama dengan rasio sinus terhadap kosinus, kita dapat menentukan bahwa tg \u003d y / x, dan ctg \u003d x / y. Mempertimbangkan sudut dalam sistem koordinat negatif, dapat dihitung bahwa nilai sinus dan kosinus dari beberapa sudut dapat negatif.

Perhitungan dan rumus dasar

Nilai fungsi trigonometri

Setelah mempertimbangkan esensi fungsi trigonometri melalui lingkaran satuan, kita dapat memperoleh nilai fungsi ini untuk beberapa sudut. Nilainya tercantum dalam tabel di bawah ini.

Identitas trigonometri paling sederhana

Persamaan di mana ada nilai yang tidak diketahui di bawah tanda fungsi trigonometri disebut trigonometri. Identitas dengan nilai sin x = , k adalah sembarang bilangan bulat:

1. sin x = 0, x = k.
2. 2. sin x \u003d 1, x \u003d / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
5. sin x = a, |a| 1, x = (-1)^k * arcsin + k.

Identitas dengan nilai cos x = a, di mana k adalah sembarang bilangan bulat:

1. cos x = 0, x = /2 + k.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, tidak ada solusi.
5. cos x = a, |a| 1, = ±arccos + 2πk.

Identitas dengan nilai tg x = a, di mana k adalah sembarang bilangan bulat:

1. tg x = 0, x = /2 + k.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg + k.

Identitas dengan nilai ctg x = a, di mana k adalah sembarang bilangan bulat:

1. ctg x = 0, x = /2 + k.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg + k.

Cast formula

Kategori rumus konstan ini menunjukkan metode yang dengannya Anda dapat beralih dari fungsi trigonometri bentuk ke fungsi argumen, yaitu, mengonversi sinus, kosinus, tangen, dan kotangen dari suatu sudut dengan nilai apa pun ke indikator sudut yang sesuai. interval dari 0 hingga 90 derajat untuk kenyamanan perhitungan yang lebih baik.

Rumus untuk mengurangi fungsi untuk sinus sudut terlihat seperti ini:

• sin(900 - ) = ;
• sin(900 + ) = cos ;
• sin(1800 - ) = dosa ;
• sin(1800 + ) = -sin ;
• sin(2700 - ) = -cos ;
• sin(2700 + ) = -cos ;
• sin(3600 - ) = -sin ;
• sin(3600 + ) = dosa .

Untuk kosinus suatu sudut:

• cos(900 - ) = sin ;
• cos(900 + ) = -sin ;
• cos(1800 - ) = -cos ;
• cos(1800 + ) = -cos ;
• cos(2700 - ) = -sin ;
• cos(2700 + ) = sin ;
• cos(3600 - ) = cos ;
• cos(3600 + ) = cos .

Penggunaan rumus di atas dimungkinkan tunduk pada dua aturan. Pertama, jika sudut dapat direpresentasikan sebagai nilai (π/2 ± a) atau (3π/2 ± a), nilai fungsi berubah:

• dari dosa ke cos;
• dari cos ke dosa;
• dari tg ke ctg;
• dari ctg ke tg.

Nilai fungsi tetap tidak berubah jika sudut dapat direpresentasikan sebagai (π ± a) atau (2π ± a).

Kedua, tanda fungsi tereduksi tidak berubah: jika awalnya positif, tetap demikian. Hal yang sama berlaku untuk fungsi negatif.

Rumus Tambahan

Rumus ini menyatakan nilai sinus, cosinus, tangen, dan kotangen dari jumlah dan selisih dua sudut rotasi dalam hal fungsi trigonometrinya. Sudut biasanya dilambangkan dengan dan .

Rumusnya terlihat seperti ini:

1. sin(α ± β) = sin * cos ± cos * sin.
2. cos(α ± β) = cos * cos sin * sin.
3. tan(α ± β) = (tan ± tan ) / (1 tan * tan ).
4. ctg(α ± ) = (-1 ± ctg * ctg ) / (ctg ± ctg ).

Rumus ini berlaku untuk setiap sudut dan .

Rumus sudut ganda dan rangkap tiga

Rumus trigonometri sudut rangkap dua dan rangkap tiga adalah rumus yang masing-masing menghubungkan fungsi sudut 2α dan 3α dengan fungsi trigonometri sudut . Berasal dari rumus penjumlahan:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 ).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 ) / (1-tg^2 ).

Transisi dari jumlah ke produk

Dengan mempertimbangkan bahwa 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), dengan menyederhanakan rumus ini, kita memperoleh identitas sinα + sinβ = 2sin(α + )/2 * cos(α )/2. Demikian pula, sinα - sinβ = 2sin(α - )/2 * cos(α + )/2; cosα + cosβ = 2cos(α + )/2 * cos(α )/2; cosα - cosβ = 2sin(α + )/2 * sin(α )/2; tgα + tgβ = sin(α + ) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - ) / cosα * cosβ; cosα + sinα = 2sin(π/4 ) = 2cos(π/4 ± ).

Transisi dari produk ke jumlah

Rumus ini mengikuti dari identitas untuk transisi jumlah ke produk:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Rumus Pengurangan

Dalam identitas ini, pangkat dua dan tiga dari sinus dan cosinus dapat dinyatakan dalam bentuk sinus dan cosinus pangkat pertama dari beberapa sudut:

• sin^2 = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Substitusi universal

Rumus substitusi trigonometri universal menyatakan fungsi trigonometri dalam istilah tangen setengah sudut.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), sedangkan x \u003d + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), di mana x = + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), di mana x \u003d + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), sedangkan x \u003d + 2πn.

Kasus khusus

Kasus khusus dari persamaan trigonometri paling sederhana diberikan di bawah ini (k adalah bilangan bulat apa pun).

Pribadi untuk sinus:

nilai dosa x	nilai x
0	pk
1	/2 + 2πk
-1	-π/2 + 2πk
1/2	/6 + 2πk atau 5π/6 + 2πk
-1/2	-π/6 + 2πk atau -5π/6 + 2πk
√2/2	/4 + 2πk atau 3π/4 + 2πk
-√2/2	-π/4 + 2πk atau -3π/4 + 2πk
√3/2	/3 + 2πk atau 2π/3 + 2πk
-√3/2	-π/3 + 2πk atau -2π/3 + 2πk

Hasil bagi kosinus:

nilai cos x	nilai x
0	/2 + 2πk
1	2k
-1	2 + 2πk
1/2	±π/3 + 2πk
-1/2	±2π/3 + 2πk
√2/2	±π/4 + 2πk
-√2/2	±3π/4 + 2πk
√3/2	±π/6 + 2πk
-√3/2	±5π/6 + 2πk

Pribadi untuk tangen:

nilai tg x	nilai x
0	pk
1	/4 + k
-1	-π/4 + k
√3/3	/6 + k
-√3/3	-π/6 + k
√3	/3 + k
-√3	-π/3 + k

Hasil bagi kotangen:

nilai ctg x	nilai x
0	/2 + k
1	/4 + k
-1	-π/4 + k
√3	/6 + k
-√3	-π/3 + k
√3/3	/3 + k
-√3/3	-π/3 + k

teorema

teorema sinus

Ada dua versi teorema - sederhana dan diperpanjang. Teorema sinus sederhana: a/sin = b/sin = c/sin . Dalam hal ini, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan , , masing-masing adalah sudut yang berhadapan.

Teorema sinus diperluas untuk segitiga sembarang: a/sin = b/sin = c/sin = 2R. Dalam identitas ini, R menunjukkan jari-jari lingkaran di mana segitiga yang diberikan tertulis.

teorema kosinus

Identitas ditampilkan dengan cara ini: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos . Dalam rumus, a, b, c adalah sisi-sisi segitiga, dan adalah sudut yang berhadapan dengan sisi a.

teorema tangen

Rumus menyatakan hubungan antara garis singgung dua sudut, dan panjang sisi yang berhadapan dengannya. Sisi-sisinya diberi label a, b, c, dan sudut-sudut berhadapan yang bersesuaian adalah , , . Rumus teorema tangen: (a - b) / (a+b) = tg((α - )/2) / tg((α + )/2).

Teorema kotangen

Mengaitkan jari-jari lingkaran dalam segitiga dengan panjang sisinya. Jika a, b, c adalah sisi-sisi suatu segitiga, dan A, B, C, masing-masing adalah sudut-sudut yang berhadapan, r adalah jari-jari lingkaran pada alas, dan p adalah setengah keliling segitiga, identitas berikut memegang:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikasi

Trigonometri bukan hanya ilmu teoritis yang berhubungan dengan rumus-rumus matematika. Sifat, teorema, dan aturannya digunakan dalam praktik oleh berbagai cabang aktivitas manusia - astronomi, navigasi udara dan laut, teori musik, geodesi, kimia, akustik, optik, elektronik, arsitektur, ekonomi, teknik mesin, pekerjaan pengukuran, grafik komputer, kartografi, oseanografi, dan lain-lain.

Sinus, kosinus, tangen, dan kotangen adalah konsep dasar trigonometri, yang dengannya Anda dapat menyatakan secara matematis hubungan antara sudut dan panjang sisi dalam segitiga, dan menemukan besaran yang diinginkan melalui identitas, teorema, dan aturan.

Kuliah: Sinus, kosinus, tangen, kotangen dari sudut sembarang

Sinus, cosinus dari sudut sembarang

Untuk memahami apa itu fungsi trigonometri, mari kita beralih ke lingkaran dengan jari-jari satuan. Lingkaran ini berpusat di titik asal pada bidang koordinat. Untuk menentukan fungsi yang diberikan, kita akan menggunakan vektor radius ATAU, yang dimulai dari pusat lingkaran, dan titik R adalah titik pada lingkaran. Vektor radius ini membentuk sudut alfa dengan sumbu OH. Karena lingkaran memiliki jari-jari sama dengan satu, maka ATAU = R = 1.

Jika dari titik R jatuhkan tegak lurus pada sumbu OH, maka kita mendapatkan segitiga siku-siku dengan sisi miring sama dengan satu.

Jika vektor radius bergerak searah jarum jam, maka arah ini disebut negatif, tetapi jika bergerak berlawanan arah jarum jam - positif.

sinus suatu sudut ATAU, adalah ordinat titik R vektor pada lingkaran.

Artinya, untuk mendapatkan nilai sinus dari sudut alfa yang diberikan, perlu ditentukan koordinatnya Pada di permukaan.

Bagaimana nilai ini diperoleh? Karena kita tahu bahwa sinus dari sudut sembarang dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berlawanan dengan sisi miring, kita mendapatkan bahwa

Dan sejak R=1, kemudian dosa(α) = y 0 .

Dalam lingkaran satuan, nilai ordinat tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1, yang berarti

Sinus positif di kuartal pertama dan kedua lingkaran satuan, dan negatif di kuartal ketiga dan keempat.

Cosinus suatu sudut diberikan lingkaran yang dibentuk oleh vektor jari-jari ATAU, adalah absis dari titik R vektor pada lingkaran.

Artinya, untuk mendapatkan nilai cosinus dari suatu sudut alfa yang diberikan, perlu ditentukan koordinatnya X di permukaan.

Kosinus suatu sudut sembarang dalam segitiga siku-siku adalah rasio kaki yang berdekatan dengan sisi miring, kita mendapatkan bahwa

Dan sejak R=1, kemudian cos(α) = x 0 .

Pada lingkaran satuan, nilai absis tidak boleh kurang dari -1 dan lebih besar dari 1, yang berarti

Kosinus positif di kuadran pertama dan keempat lingkaran satuan, dan negatif di kuadran kedua dan ketiga.

garis singgungsudut sewenang-wenang rasio sinus ke cosinus dihitung.

Jika kita mempertimbangkan segitiga siku-siku, maka ini adalah rasio kaki yang berlawanan dengan kaki yang berdekatan. Jika kita berbicara tentang lingkaran satuan, maka ini adalah rasio ordinat terhadap absis.

Dilihat dari hubungan ini, dapat dipahami bahwa garis singgung tidak dapat ada jika nilai absisnya nol, yaitu pada sudut 90 derajat. Garis singgung dapat mengambil semua nilai lainnya.

Garis singgung positif di kuartal pertama dan ketiga lingkaran satuan, dan negatif di kuartal kedua dan keempat.