Pelajaran terbuka dalam matematika "Skema Bernoulli. Memecahkan masalah menggunakan skema Bernoulli dan Laplace"
Didaktik: perolehan keterampilan dan kemampuan untuk bekerja dengan skema Bernoulli untuk menghitung probabilitas.
Pengembangan: pengembangan keterampilan untuk menerapkan pengetahuan dalam praktik, pembentukan dan pengembangan pemikiran fungsional siswa, pengembangan keterampilan perbandingan, analisis dan sintesis, keterampilan bekerja berpasangan, perluasan kosakata profesional.
Cara memainkan permainan ini:
Pendidikan: menumbuhkan minat pada subjek melalui penerapan teori secara praktis, mencapai asimilasi sadar materi pendidikan siswa, pembentukan kemampuan untuk bekerja dalam tim, penggunaan istilah komputer yang benar, minat pada sains, menghormati profesi masa depan.
Pengetahuan ilmiah: B
Jenis pelajaran: pelajaran gabungan:
- konsolidasi materi yang dibahas di kelas sebelumnya;
- tematik, teknologi masalah informasi;
- generalisasi dan konsolidasi materi yang dipelajari dalam pelajaran ini.
Metode pengajaran: eksplanatori - ilustratif, bermasalah.
Kontrol pengetahuan: survei frontal, pemecahan masalah, presentasi.
Bahan dan peralatan teknis pelajaran. komputer, proyektor multimedia.
Dukungan metodologis: bahan referensi, presentasi tentang topik pelajaran, teka-teki silang.
Selama kelas
1. Momen organisasi: 5 menit.
(salam, kesiapan kelompok untuk pelajaran).
2. Pemeriksaan pengetahuan:
Periksa pertanyaan secara frontal pada slide: 10 menit.
- definisi bagian "Teori Probabilitas"
- konsep utama dari bagian "Teori Probabilitas"
- peristiwa apa yang dipelajari oleh "Teori Probabilitas"
- ciri-ciri kejadian acak
- definisi klasik dari probabilitas
Meringkas. 5 menit.
3. Memecahkan masalah dalam baris: 5 menit.
Tugas 1. Sebuah dadu dilempar. Berapa peluang muncul bilangan genap kurang dari 5?
Tugas 2. Ada sembilan tabung radio identik dalam sebuah kotak, tiga di antaranya sedang digunakan. Selama hari kerja, master harus mengambil dua tabung radio untuk memperbaiki peralatan. Berapa peluang bahwa kedua lampu digunakan?
Tugas 3. Ada tiga film berbeda di tiga gedung bioskop. Probabilitas bahwa ada tiket untuk jam tertentu di box office aula 1 adalah 0,3, di box office aula 2 - 0,2, dan di box office aula 3 - 0,4. Berapa probabilitas bahwa pada jam tertentu dimungkinkan untuk membeli tiket untuk setidaknya satu film?
4. Memeriksa di papan tulis bagaimana menyelesaikan masalah. Aplikasi 1. 5 menit.
Kesimpulan ke-5 tentang pemecahan masalah:
Probabilitas terjadinya suatu peristiwa adalah sama untuk setiap tugas: m dan n - const
6. Penetapan tujuan melalui tugas: 5 menit.
Tugas. Dua pemain catur yang sama bermain catur. Berapa peluang memenangkan dua dari empat pertandingan?
Berapa probabilitas memenangkan tiga dari enam pertandingan (imbang tidak diperhitungkan)?
Pertanyaan. Pikirkan dan sebutkan perbedaan antara pertanyaan dari masalah ini dan pertanyaan dari masalah sebelumnya?
Dengan penalaran, dengan perbandingan, mencapai jawaban: dalam pertanyaan m dan n berbeda.
7. Topik pelajaran:
Perhitungan peluang terjadinya suatu kejadian k kali dari n percobaan dengan p-const.
Jika percobaan dibuat di mana probabilitas terjadinya peristiwa A dalam setiap percobaan tidak bergantung pada hasil dari percobaan lainnya, maka percobaan tersebut disebut independen sehubungan dengan acara A. Percobaan, di mana masing-masing probabilitas terjadinya dari acaranya sama.
rumus Bernoulli. Probabilitas bahwa dalam n percobaan independen, di mana masing-masing probabilitas terjadinya suatu peristiwa sama dengan p (0 atau Lampiran 2 rumus Bernoulli, dimana k,n-bilangan kecil dimana q = 1-p Solusi: Pemain catur yang bermain sama, jadi peluang menangnya adalah p=1/2; maka probabilitas kehilangan q juga 1/2. Karena kemungkinan menang adalah konstan di semua permainan dan tidak masalah dalam urutan apa permainan dimenangkan, rumus Bernoulli dapat diterapkan. 5 menit Temukan probabilitas bahwa dua dari empat pertandingan akan dimenangkan: Temukan probabilitas bahwa tiga dari enam pertandingan akan dimenangkan: Karena P4 (2) > P6 (3), lebih mungkin untuk memenangkan dua pertandingan dari empat daripada tiga dari enam. Tentukan peluang kejadian A terjadi tepat 70 kali dalam 243 percobaan jika peluang kejadian ini terjadi pada setiap percobaan adalah 0,25. k=70, n=243 Ini menyiratkan bahwa k dan n adalah bilangan besar. Ini berarti sulit untuk menghitung menurut rumus Bernoulli. Untuk kasus seperti itu, rumus Laplace lokal diterapkan: Lampiran 3 untuk nilai positif x diberikan dalam Lampiran 4; untuk nilai negatif x gunakan tabel yang sama dan = . Bagian 2. Persamaan logika rumus. Bentuk Normal untuk Rumus Aljabar Proposisional hubungan ekuivalensi Dengan bantuan tabel kebenaran, seseorang dapat menentukan di bawah set nilai kebenaran variabel input apa rumus akan mengambil nilai benar atau salah (serta pernyataan yang memiliki struktur logis yang sesuai), rumus mana yang akan menjadi tautologi atau kontradiksi, dan juga menentukan apakah dua rumus yang diberikan setara. Dalam logika, dua kalimat dikatakan setara jika keduanya benar atau keduanya salah. Kata "serentak" dalam frasa ini ambigu. Jadi, untuk kalimat "Besok akan menjadi Selasa" dan "Kemarin adalah Minggu" kata ini memiliki arti harfiah: pada hari Senin keduanya benar, dan pada sisa minggu keduanya salah. Untuk persamaan " x = 2" dan " 2x = 4» "secara bersamaan" berarti "dengan nilai variabel yang sama". Prediksi “Besok akan hujan” dan “Tidak benar besok tidak akan hujan” secara bersamaan akan dikonfirmasi (ternyata benar) atau tidak dikonfirmasi (ternyata salah). Intinya, ini adalah ramalan yang sama, dinyatakan dalam dua bentuk berbeda, yang dapat diwakili oleh rumus X dan . Rumus-rumus ini secara bersamaan mengambil nilai "benar" atau nilai "salah". Untuk memeriksanya, cukup membuat tabel kebenaran: Kita melihat bahwa nilai kebenaran pada kolom pertama dan terakhir adalah sama. Rumus seperti itu, serta kalimat yang sesuai dengannya, secara alami dianggap setara. Rumus F 1 dan F 2 disebut ekuivalen jika ekuivalennya merupakan tautologi. Persamaan dua rumus ditulis sebagai berikut: (baca: rumus F1 setara dengan rumus F2). Ada tiga cara untuk memeriksa apakah rumusnya ekuivalen: 1) buat persamaannya dan gunakan tabel kebenaran untuk memeriksa apakah itu tautologi; 2) untuk setiap rumus, buat tabel kebenaran dan bandingkan hasil akhirnya; jika dalam kolom total untuk kumpulan nilai variabel yang sama
nilai kebenaran kedua rumus akan sama, maka rumus tersebut setara; 3) dengan bantuan transformasi setara. Contoh 2.1: Cari tahu apakah rumusnya setara: 1) , ; 2) , . 1) Mari kita gunakan metode pertama untuk menentukan kesetaraan, yaitu mencari tahu apakah kesetaraan rumus adalah tautologi. Mari kita buat persamaan persamaan: . Rumus yang dihasilkan berisi dua variabel yang berbeda ( TETAPI dan PADA) dan 6 operasi: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6). Ini berarti bahwa tabel kebenaran yang sesuai akan memiliki 5 baris dan 8 kolom: Dari kolom terakhir tabel kebenaran, dapat dilihat bahwa ekivalensi yang disusun adalah tautologi dan, oleh karena itu, . 2) Untuk mengetahui apakah rumus dan ekuivalen, kita menggunakan cara kedua, yaitu menyusun tabel kebenaran untuk masing-masing rumus dan membandingkan kolom terakhir. ( Komentar. Untuk menggunakan metode kedua secara efektif, semua tabel kebenaran yang dikompilasi harus dimulai dengan cara yang sama, yaitu, set nilai variabel sama di baris masing-masing
.) Rumus memiliki dua variabel berbeda dan 2 operasi, yang berarti bahwa tabel kebenaran yang sesuai memiliki 5 baris dan 4 kolom: Rumus memiliki dua variabel berbeda dan 3 operasi, yang berarti bahwa tabel kebenaran yang sesuai memiliki 5 baris dan 5 kolom: Membandingkan kolom terakhir dari tabel kebenaran yang dikompilasi (karena tabel dimulai dengan cara yang sama, kita dapat mengabaikan kumpulan nilai variabel), kita melihat bahwa mereka tidak cocok dan, oleh karena itu, rumusnya tidak setara (). Ekspresi bukan rumus (karena simbol " " tidak merujuk ke operasi logika apa pun). Ini mengungkapkan sikap antara rumus (serta kesetaraan antara angka, paralelisme antara garis, dll.). Teorema tentang sifat-sifat relasi ekivalensi valid: Teorema 2.1. Hubungan ekuivalensi antara rumus-rumus aljabar proposisional: 1) secara refleks: ; 2) simetris: jika , maka ; 3) secara transitif: jika dan , maka . hukum logika Persamaan rumus logika proposisi sering disebut hukum logika. Kami daftar yang paling penting dari mereka: 1. - hukum identitas. 2. - hukum orang tengah yang dikecualikan 3. - hukum kontradiksi 4. - disjungsi dengan nol 5. - konjungsi dengan nol 6. - disjungsi dengan satuan 7. - konjungsi dengan unit 8. - hukum negasi ganda 9. - komutatifitas dari konjungsi 10. – komutatifitas disjungsi 11. - asosiatifitas konjungsi 12. - asosiatif disjungsi 13. – distribusi konjungsi 14. – disjungsi distributif 15. - hukum idempotensi 16. 17. 18. 19. 20. - hukum yang menyatakan kesetaraan melalui operasi logis lainnya Hukum logika digunakan untuk menyederhanakan rumus kompleks dan untuk membuktikan bahwa rumus identik benar atau salah. Transformasi setara. Menyederhanakan Rumus Jika dalam rumus ekivalen di mana-mana kita mengganti rumus yang sama dan bukan beberapa variabel, maka rumus yang baru diperoleh juga akan menjadi ekivalen sesuai dengan aturan substitusi. Dengan cara ini, sejumlah ekivalensi baru dapat diperoleh dari setiap ekivalensi. Contoh 1: Jika dalam hukum De Morgan alih-alih X pengganti , bukannya kamu pengganti , maka kita mendapatkan kesetaraan baru . Keabsahan ekivalensi yang diperoleh mudah diperiksa dengan menggunakan tabel kebenaran. Jika ada rumus yang merupakan bagian dari rumus F, diganti dengan rumus yang setara dengan rumus , maka rumus yang dihasilkan akan setara dengan rumus F. Kemudian, untuk rumus dari Contoh 2, kita dapat membuat substitusi berikut: - hukum negasi ganda; - hukum De Morgan; - hukum negasi ganda; – hukum asosiatif; Dengan sifat transitivitas dari relasi ekivalensi, kita dapat menyatakan bahwa Penggantian suatu rumus dengan rumus lain yang setara dengannya disebut transformasi setara
rumus. Di bawah penyederhanaan
rumus yang tidak mengandung tanda implikasi dan ekivalensi memahami transformasi ekuivalen yang mengarah ke rumus yang tidak mengandung negasi dari rumus non-dasar (khususnya, negasi ganda) atau mengandung jumlah tanda konjungsi dan disjungsi yang lebih kecil dari aslinya satu. Contoh 2.2: Mari kita sederhanakan rumusnya Pada langkah pertama, kami menerapkan hukum yang mengubah implikasi menjadi disjungsi. Pada langkah kedua, hukum komutatif diterapkan. Pada langkah ketiga, hukum idempotensi diterapkan. Pada keempat - hukum De Morgan. Dan yang kelima - hukum negasi ganda. Catatan 1. Jika suatu rumus tertentu adalah tautologi, maka rumus apa pun yang setara dengannya juga merupakan tautologi. Dengan demikian, transformasi ekuivalen juga dapat digunakan untuk membuktikan kebenaran identik dari rumus-rumus tertentu. Untuk melakukan ini, rumus ini harus direduksi dengan transformasi setara ke salah satu rumus yang tautologi. Catatan 2. Beberapa tautologi dan ekuivalensi digabungkan menjadi pasangan (hukum kontradiksi dan hukum alternatif, komutatif, hukum asosiatif, dll.). Dalam korespondensi ini, yang disebut prinsip dualitas
. Dua rumus yang tidak mengandung tanda implikasi dan ekivalensi disebut ganda
, jika masing-masing dapat diperoleh dari yang lain dengan mengganti tanda masing-masing dengan . Prinsip dualitas menyatakan sebagai berikut: Teorema 2.2: Jika dua rumus yang tidak mengandung tanda implikasi dan ekivalen adalah ekuivalen, maka rumus rangkap keduanya juga ekuivalen. bentuk normal bentuk biasa adalah cara penulisan rumus yang tidak ambigu secara sintaksis yang mengimplementasikan fungsi tertentu. Menggunakan hukum logika yang diketahui, formula apa pun dapat diubah menjadi formula yang setara dengan bentuk Contoh 2.3: Dalam rumus besar atau dengan beberapa transformasi, biasanya menghilangkan tanda konjungsi (dengan analogi dengan tanda perkalian): . Kita melihat bahwa setelah transformasi dilakukan, rumusnya adalah disjungsi tiga konjungsi. Bentuk ini disebut bentuk normal disjungtif
(DNF). Sebuah elemen tunggal dari DNF disebut konjungsi dasar
atau satuan penyusun. Demikian pula, rumus apa pun dapat direduksi menjadi rumus yang setara, yang akan menjadi konjungsi elemen, yang masing-masing akan menjadi disjungsi variabel logis dengan atau tanpa tanda negasi. Artinya, setiap formula dapat direduksi menjadi formula yang setara dengan bentuk Contoh 2.4: Satu elemen CNF disebut disjungsi dasar
atau konstituen nol. Jelas, setiap formula memiliki banyak DNF dan CNF yang tak terhingga. Contoh 2.5: Mari kita temukan beberapa DNF untuk rumusnya Bentuk normal sempurna SDNF (DNF sempurna) adalah DNF yang setiap konjungsi elementernya berisi semua pernyataan elementer, atau negasinya satu kali, konjungsi elementer tidak diulang. SKNF (CNF sempurna) adalah suatu CNF di mana setiap disjungsi elementer mengandung semua proposisi elementer atau negasinya satu kali, disjungsi elementer tidak berulang. Contoh 2.6: 1) - SDNF 2) 1 - SKNF Mari kita merumuskan fitur karakteristik SDNF (SKNF). 1) Semua anggota disjungsi (konjungsi) berbeda; 2) Semua anggota setiap konjungsi (disjungsi) berbeda; 3) Tidak ada konjungsi (disjungsi) yang mengandung variabel dan negasinya; 4) Setiap konjungsi (disjungsi) memuat semua variabel yang termasuk dalam rumus aslinya. Seperti yang dapat kita lihat, karakteristik (tetapi bukan bentuk!) memenuhi definisi dualitas, sehingga cukup memahami satu bentuk untuk mempelajari cara mendapatkan keduanya. Sangat mudah untuk mendapatkan SDNF (SKNF) dari DNF (CNF) dengan bantuan transformasi yang setara. Karena aturan untuk mendapatkan bentuk normal sempurna juga ganda, kami akan menganalisis secara rinci aturan untuk memperoleh SMNF, dan merumuskan aturan untuk mendapatkan SKNF secara independen menggunakan definisi dualitas. Aturan umum untuk mereduksi rumus menjadi SDNF menggunakan transformasi ekuivalen adalah:
Untuk memberikan rumus F, yang tidak identik salah, ke SDNF, itu sudah cukup: 1) bawa ke beberapa DNF; 2) hilangkan anggota disjungsi yang mengandung variabel beserta negasinya (jika ada); 3) dari anggota disjungsi yang sama (jika ada), singkirkan semua kecuali satu; 4) menghapus semua kecuali satu dari anggota yang identik dari setiap konjungsi (jika ada); 5) jika ada konjungsi yang tidak mengandung variabel dari antara variabel-variabel yang termasuk dalam rumus asli, tambahkan istilah pada konjungsi ini dan terapkan hukum distributif yang sesuai; 6) jika disjungsi yang dihasilkan mengandung istilah yang sama, gunakan resep 3. Rumus yang dihasilkan adalah SDNF dari rumus ini. Contoh 2.7: Mari kita cari SDNF dan SKNF untuk rumusnya Karena DNF untuk rumus ini telah ditemukan (lihat Contoh 2.5), kita akan mulai dengan memperoleh SDNF: 2) dalam disjungsi yang dihasilkan tidak ada variabel bersama-sama dengan negasinya; 3) tidak ada anggota yang identik dalam disjungsi; 4) tidak ada variabel identik dalam konjungsi apapun; 5) konjungsi dasar pertama berisi semua variabel yang termasuk dalam rumus asli, dan konjungsi dasar kedua tidak memiliki variabel z, jadi mari kita tambahkan istilah padanya dan terapkan hukum distributif: ; 6) mudah untuk melihat bahwa istilah yang sama muncul di disjungsi, jadi kami menghapus satu (resep 3); 3) hapus salah satu disjungsi yang identik: 4) tidak ada suku-suku yang identik dalam disjungsi-disjungsi yang tersisa; 5) tidak ada disjungsi dasar yang memuat semua variabel yang termasuk dalam rumus aslinya, jadi kami melengkapi masing-masing variabel tersebut dengan konjungsi : ; 6) tidak ada disjungsi yang identik dalam konjungsi yang dihasilkan, sehingga bentuk konjungsi yang ditemukan adalah sempurna. Karena dalam agregat SKNF dan SDNF rumusnya F 8 anggota, maka kemungkinan besar mereka ditemukan dengan benar. Setiap formula satisfiable (refutable) memiliki satu SDNF tunggal dan satu SKNF tunggal. Tautologi tidak memiliki SKNF, dan kontradiksi tidak memiliki SDNF. 1. Dua pemain yang setara memainkan permainan di mana hasil imbang tidak termasuk. Berapa peluang pemain pertama menang: a) satu dari dua pertandingan? b) dua dari empat? c) tiga dari enam? Menjawab: sebuah) ; b) ; di) 3. Potong AB dipisahkan oleh titik Dengan dengan perbandingan 2:1. Empat poin dilemparkan secara acak pada segmen ini. Tentukan peluang bahwa dua dari mereka berada di sebelah kiri titik C, dan dua di sebelah kanan. Menjawab: 4. Tentukan peluang kejadian A terjadi tepat 70 kali dalam 243 percobaan jika peluang kejadian ini terjadi pada setiap percobaan adalah 0,25. Menjawab: . 5. Peluang memiliki anak laki-laki adalah 0,515. Tentukan peluang bahwa di antara 100 bayi laki-laki dan perempuan yang baru lahir akan terbagi sama rata. Menjawab: 0,0782 6. Toko menerima 500 botol dalam wadah kaca. Peluang pecahnya salah satu botol selama pengangkutan adalah 0,003. Temukan probabilitas bahwa toko akan menerima botol pecah: a) tepat dua; b) kurang dari dua; c) setidaknya dua; d) sedikitnya satu. Menjawab: a) 0,22; b) 0,20; c) 0,80; d) 0,95 7. Sebuah pabrik mobil menghasilkan 80% mobil tanpa cacat yang berarti. Berapa peluang bahwa di antara 600 mobil yang datang dari pabrik ke bursa otomotif, akan ada sedikitnya 500 mobil tanpa cacat yang berarti? Menjawab: 0,02. 8. Berapa kali Anda perlu melempar koin sehingga dengan probabilitas 0,95 Anda dapat mengharapkan bahwa frekuensi relatif lambang akan menyimpang dari probabilitas R\u003d 0,5 penampilan lambang dalam satu lemparan koin tidak lebih dari 0,02? Jawaban: n ≥ 2401. 9. Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi di masing-masing dari 100 peristiwa independen adalah konstan dan sama dengan p=0.8. Tentukan peluang terjadinya peristiwa: a) paling sedikit 75 kali dan paling banyak 90 kali; b) paling sedikit 75 kali; c) tidak lebih dari 74 kali. Menjawab: a B C). 10. Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada setiap percobaan bebas adalah 0,2. Temukan penyimpangan frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa dari probabilitasnya yang dapat diharapkan dengan probabilitas 0,9128 dalam 5000 percobaan. Menjawab: 11. Berapa kali sebuah koin harus dilempar sehingga dengan probabilitas 0,6 dapat diharapkan penyimpangan frekuensi relatif munculnya lambang dari probabilitas p=0,5 tidak akan lebih dari 0,01 dalam nilai absolut. Jawaban: n = 1764. 12. Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi di setiap 10.000 percobaan independen adalah 0,75. Temukan probabilitas bahwa frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa menyimpang dari probabilitasnya dalam nilai absolut tidak lebih dari 0,01. Menjawab: . 13. Probabilitas suatu kejadian yang terjadi pada setiap percobaan bebas adalah 0,5. Temukan jumlah percobaan n, di mana dengan probabilitas 0,7698 dapat diharapkan bahwa frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa menyimpang dari probabilitasnya dalam nilai absolut tidak lebih dari 0,02.8. Tugas.
9. Menyusun algoritma untuk memecahkan masalah: 5 menit.
10. Memecahkan masalah dengan analisis di papan tulis. Lampiran 5. 10 menit.
11. Meringkas informasi pelajaran melalui presentasi
X
1
0
1
0
1
0
TETAPI
PADA
1
1
0
0
0
1
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
1
0
1
1
TETAPI
PADA
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
0
TETAPI
PADA
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
1
1
1
; 
- hukum penyerapan
; 
- Hukum De Morgan
adalah hukum yang mengungkapkan implikasi melalui disjungsi
- hukum kontraposisi
adalah hukum idempotensi.
.
.
, di mana dan masing-masing adalah variabel, atau negasi dari variabel, atau konjungsi variabel atau negasinya. Dengan kata lain, rumus apa pun dapat direduksi menjadi rumus ekuivalen dari bentuk standar sederhana, yang akan menjadi disjungsi elemen, yang masing-masing merupakan konjungsi variabel logis yang berbeda, baik dengan atau tanpa tanda negasi.
, di mana dan masing-masing adalah variabel, atau negasi dari variabel, atau disjungsi variabel atau negasinya. Bentuk ini disebut bentuk normal penghubung
(KNF).
.
.
;
