Dalam pelajaran video ini, topiknya “Fungsi y \u003d x 2. Solusi grafis dari persamaan. Selama pelajaran ini, siswa akan dapat berkenalan dengan cara baru menyelesaikan persamaan - grafis, yang didasarkan pada pengetahuan tentang sifat-sifat grafik fungsi. Guru akan menunjukkan cara menyelesaikan secara grafis fungsi y=x 2 .
Subjek:Fungsi
Pelajaran:Fungsi. Solusi grafis dari persamaan
Solusi grafis persamaan didasarkan pada pengetahuan tentang grafik fungsi dan sifat-sifatnya. Kami membuat daftar fungsi yang grafiknya kami ketahui:
1), grafiknya adalah garis lurus yang sejajar dengan sumbu x, melalui sebuah titik pada sumbu y. Perhatikan sebuah contoh: y=1:
Untuk nilai yang berbeda, kami mendapatkan keluarga garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.
2) Fungsi proporsionalitas langsung grafik fungsi ini adalah garis lurus yang melalui titik asal. Pertimbangkan sebuah contoh:
Kami telah membuat grafik ini dalam pelajaran sebelumnya, ingatlah bahwa untuk membangun setiap garis, Anda perlu memilih titik yang memenuhinya, dan mengambil titik asal sebagai titik kedua.
Ingat peran koefisien k: ketika fungsi meningkat, sudut antara garis lurus dan arah positif sumbu x adalah lancip; ketika fungsi menurun, sudut antara garis lurus dan arah positif sumbu x adalah tumpul. Selain itu, ada hubungan berikut antara dua parameter k dengan tanda yang sama: untuk k positif, semakin besar, semakin cepat fungsi meningkat, dan negatif, fungsi menurun lebih cepat untuk nilai k modulo yang besar.
3) Fungsi linier. Ketika - kita mendapatkan titik potong dengan sumbu y dan semua garis semacam ini melewati titik (0; m). Selain itu, dengan bertambahnya fungsi, sudut antara garis dan arah positif sumbu x adalah lancip; ketika fungsi menurun, sudut antara garis lurus dan arah positif sumbu x adalah tumpul. Dan tentunya nilai k mempengaruhi laju perubahan nilai fungsi tersebut.
4). Grafik fungsi ini berbentuk parabola.
Pertimbangkan contoh.
Contoh 1 - selesaikan persamaan secara grafis:
Kami tidak tahu fungsi jenis ini, jadi kami perlu mengubah persamaan yang diberikan untuk bekerja dengan fungsi yang diketahui:
Kami mendapat fungsi yang sudah dikenal di kedua bagian persamaan:
Mari kita membuat grafik fungsi:
Grafik memiliki dua titik potong: (-1; 1); (2; 4)
Mari kita periksa apakah solusinya ditemukan dengan benar, substitusikan koordinat ke dalam persamaan:
Poin pertama ditemukan dengan benar.
, 
, , , , ,
Poin kedua juga ditemukan dengan benar.
Jadi, solusi dari persamaan tersebut adalah dan
Kami bertindak mirip dengan contoh sebelumnya: kami mengubah persamaan yang diberikan ke fungsi yang kami ketahui, memplot grafiknya, menemukan arus persimpangan, dan dari sini kami menunjukkan solusinya.
Kami mendapatkan dua fungsi:
Mari kita membuat grafik:
Grafik ini tidak memiliki titik potong, yang berarti bahwa persamaan yang diberikan tidak memiliki solusi
Kesimpulan: dalam pelajaran ini, kami meninjau fungsi yang kami ketahui dan grafiknya, mengingat propertinya, dan mempertimbangkan cara grafis untuk menyelesaikan persamaan.
1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. dkk Aljabar 7. Edisi ke-6. M.: Pencerahan. 2010
2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Aljabar 7. M.: VENTANA-GRAF
3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. dan lain-lain Aljabar 7 .M.: Pendidikan. 2006
Tugas 1: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dkk.Aljabar 7, no.494, hal.110;
Tugas 2: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dan lain-lain Aljabar 7, No 495, butir 110;
Tugas 3: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I. dkk.Aljabar 7, no.496, hal.110;
Misalkan ada persamaan kuadrat lengkap: A*x2+B*x+C=0, di mana A, B, dan C adalah sembarang bilangan, dan A tidak sama dengan nol. Ini adalah kasus umum dari persamaan kuadrat. Ada juga bentuk tereduksi dimana A=1. Untuk menyelesaikan persamaan apa pun secara grafis, Anda perlu memindahkan suku dengan derajat tertinggi ke bagian lain dan menyamakan kedua bagian dengan beberapa variabel.
Setelah itu, A * x2 akan tetap berada di ruas kiri persamaan, dan B * x-C akan tetap berada di ruas kanan (dapat diasumsikan bahwa B adalah bilangan negatif, hal ini tidak mengubah esensi). Kita mendapatkan persamaan A*x2=B*x-C=y. Agar lebih jelas, dalam hal ini kedua bagian tersebut disamakan dengan variabel y.
Merencanakan dan memproses hasil
Sekarang kita dapat menulis dua persamaan: y=A*x2 dan y=B*x-C. Selanjutnya, Anda perlu memplot masing-masing fungsi ini. Grafik y=A*x2 adalah parabola dengan titik asal di titik asal, yang cabangnya mengarah ke atas atau ke bawah, tergantung pada tanda angka A. Jika negatif, cabangnya mengarah ke bawah, jika positif - ke atas.
Grafik y=B*x-C adalah garis lurus beraturan. Jika C=0, garis melewati titik asal. Dalam kasus umum, ia memotong segmen yang sama dengan C dari sumbu ordinat.Sudut kemiringan garis lurus ini relatif terhadap sumbu absis ditentukan oleh koefisien B. Ini sama dengan kemiringan sudut ini.
Setelah grafik dibangun, akan terlihat bahwa mereka berpotongan di dua titik. Koordinat titik-titik ini di sepanjang absis menentukan akar persamaan kuadrat. Untuk menentukannya secara akurat, Anda perlu membuat grafik dengan jelas dan memilih skala yang tepat.
Solusi grafis lainnya
Ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan kuadrat secara grafis. Tidak perlu memindahkan B*x+C ke sisi lain persamaan. Anda dapat langsung memplot fungsi y=A*x2+B*x+C. Grafik semacam itu adalah parabola dengan titik di titik sembarang. Metode ini lebih rumit dari yang sebelumnya, tetapi Anda hanya dapat membuat satu grafik saja.
Pertama, Anda perlu menentukan titik puncak parabola dengan koordinat x0 dan y0. Absisnya dihitung dengan rumus x0=-B/2*a. Untuk menentukan ordinat, Anda perlu mengganti nilai absis yang diperoleh ke dalam fungsi aslinya. Secara matematis, pernyataan ini ditulis sebagai berikut: y0=y(x0).
Maka Anda perlu menemukan dua titik yang simetris dengan sumbu parabola. Di dalamnya, fungsi aslinya harus lenyap. Setelah itu, Anda bisa membuat parabola. Titik-titik perpotongannya dengan sumbu X akan menghasilkan dua akar persamaan kuadrat.
Dalam pemrograman linier, metode grafis digunakan untuk menentukan himpunan konveks (polihedron solusi). Jika masalah program linier utama memiliki rencana yang optimal, maka fungsi tujuan mengambil nilai pada salah satu simpul dari polihedron keputusan (lihat gambar).
tugas layanan. Dengan menggunakan layanan ini, Anda dapat menyelesaikan masalah pemrograman linier menggunakan metode geometrik online, serta mendapatkan solusi untuk masalah ganda (memperkirakan penggunaan sumber daya yang optimal). Selain itu, templat solusi dibuat di Excel.
Petunjuk. Pilih jumlah baris (jumlah batas).
Jika jumlah variabel lebih dari dua, maka perlu membawa sistem ke SZLP (lihat contoh dan contoh No. 2). Jika kendalanya ganda, misalnya 1 x 1 4 , maka dibagi menjadi dua: x 1 1 , x 1 4 (yaitu, jumlah baris bertambah 1).Anda juga dapat membangun area solusi layak (DDR) menggunakan layanan ini.
Berikut ini juga digunakan dengan kalkulator ini:
Metode simpleks untuk menyelesaikan LLP
Solusi dari masalah transportasi
Solusi permainan matriks
Menggunakan layanan online, Anda dapat menentukan harga permainan matriks (batas bawah dan atas), memeriksa titik pelana, menemukan solusi untuk strategi campuran menggunakan metode berikut: minimax, metode simpleks, metode grafis (geometris), metode Brown.
Ekstrem dari fungsi dua variabel
Batas Perhitungan
Memecahkan masalah pemrograman linier dengan metode grafis mencakup langkah-langkah berikut::
- Garis dibuat pada bidang X 1 0X 2.
- Setengah bidang ditentukan.
- Mendefinisikan poligon keputusan;
- Bangun vektor N(c 1 ,c 2), yang menunjukkan arah fungsi tujuan;
- Pindahkan fungsi tujuan langsung c 1 x 2 + c 2 x 2= 0 dalam arah vektor N ke titik ekstrim dari poligon solusi.
- Hitung koordinat titik dan nilai fungsi tujuan pada titik ini.
Contoh. Perusahaan memproduksi dua jenis produk - P1 dan P2. Untuk produksi produk, dua jenis bahan baku digunakan - C1 dan C2. Harga grosir satu unit produksi sama dengan: Rp 5 untuk P1 dan 4 c.u. untuk P2. Konsumsi bahan baku per unit produksi tipe P1 dan tipe P2 diberikan dalam tabel.
Tabel - Konsumsi bahan baku untuk produksi
Diperlukan untuk menentukan:
Berapa banyak produk dari masing-masing jenis yang harus diproduksi perusahaan untuk memaksimalkan pendapatan dari penjualan produk?
- Merumuskan model matematika dari masalah program linier.
- Memecahkan masalah pemrograman linier secara grafis (untuk dua variabel).
Mari kita merumuskan model matematika dari masalah program linier.
x 1 - produksi P1, unit.
x 2 - produksi produk P2, unit.
x 1 , x 2 0
Batas sumber daya
6x1 + 4x2 24
x1 + 2x2 6
Batas permintaan
x 1 +1 x 2
x2 2
fungsi objektif
5x1 + 4x2 → maks
Kemudian kita mendapatkan LLP berikut:
6x1 + 4x2 24
x1 + 2x2 6
x 2 - x 1 1
x2 2
x 1 , x 2 0
5x1 + 4x2 → maks
Tingkat pertama
Memecahkan persamaan, pertidaksamaan, sistem menggunakan grafik fungsi. Panduan Visual (2019)
Banyak tugas yang biasa kami hitung secara aljabar murni dapat diselesaikan dengan lebih mudah dan lebih cepat, menggunakan grafik fungsi akan membantu kami dalam hal ini. Anda mengatakan "bagaimana bisa?" menggambar sesuatu, dan menggambar apa? Percayalah, terkadang lebih nyaman dan lebih mudah. Haruskah kita mulai? Mari kita mulai dengan persamaan!
Solusi grafis dari persamaan
Solusi grafis dari persamaan linier
Seperti yang sudah Anda ketahui, grafik persamaan linier adalah garis lurus, maka nama jenis ini. Persamaan linier cukup mudah untuk diselesaikan secara aljabar - kami mentransfer semua yang tidak diketahui ke satu sisi persamaan, semua yang kami tahu - ke sisi lain, dan voila! Kami telah menemukan akarnya. Sekarang saya akan menunjukkan cara melakukannya cara grafis.
Jadi, Anda memiliki persamaan:
Bagaimana cara mengatasinya?
Pilihan 1, dan yang paling umum adalah memindahkan yang tidak diketahui ke satu sisi, dan yang diketahui ke sisi lain, kita mendapatkan:
Dan sekarang kami sedang membangun. Apa yang kamu dapatkan?
Menurut Anda apa akar persamaan kita? Benar, koordinat titik potong grafik:
Jawaban kami adalah
Itulah seluruh kebijaksanaan dari solusi grafis. Seperti yang dapat Anda periksa dengan mudah, akar persamaan kami adalah angka!
Seperti yang saya katakan di atas, ini adalah opsi yang paling umum, dekat dengan solusi aljabar, tetapi Anda dapat menyelesaikannya dengan cara lain. Untuk mempertimbangkan solusi alternatif, mari kembali ke persamaan kita:
Kali ini kita tidak akan memindahkan apapun dari sisi ke sisi, tetapi akan membangun grafik secara langsung, seperti sekarang:
Dibuat? Lihat!
Apa solusinya kali ini? Baiklah. Sama dengan koordinat titik potong grafik:
Dan sekali lagi, jawaban kami adalah .
Seperti yang Anda lihat, dengan persamaan linier, semuanya sangat sederhana. Saatnya untuk mempertimbangkan sesuatu yang lebih rumit... Misalnya, solusi grafis persamaan kuadrat.
Solusi grafis dari persamaan kuadrat
Jadi, sekarang mari kita mulai menyelesaikan persamaan kuadrat. Katakanlah Anda perlu menemukan akar persamaan ini:
Tentu saja, Anda sekarang dapat mulai menghitung melalui diskriminan, atau sesuai dengan teorema Vieta, tetapi banyak saraf membuat kesalahan saat mengalikan atau mengkuadratkan, terutama jika contohnya dengan angka besar, dan, seperti yang Anda tahu, Anda tidak akan memiliki kalkulator pada ujian ... Oleh karena itu, mari kita coba bersantai sedikit dan menggambar sambil menyelesaikan persamaan ini.
Secara grafis, solusi untuk persamaan ini dapat ditemukan dengan berbagai cara. Pertimbangkan berbagai opsi, dan Anda sendiri yang akan memilih mana yang paling Anda sukai.
Metode 1. Langsung
Kami hanya membangun parabola menurut persamaan ini:
Untuk membuatnya cepat, saya akan memberi Anda satu petunjuk kecil: akan lebih mudah untuk memulai konstruksi dengan menentukan titik parabola. Rumus berikut akan membantu menentukan koordinat titik parabola:
Anda mengatakan "Berhenti! Rumus untuk sangat mirip dengan rumus untuk menemukan diskriminan "ya, benar, dan ini adalah kerugian besar" langsung "membangun parabola untuk menemukan akarnya. Namun, mari kita hitung sampai akhir, dan kemudian saya akan menunjukkan cara membuatnya (banyak!) lebih mudah!
Apakah Anda menghitung? Berapakah koordinat titik sudut parabola? Mari kita cari tahu bersama:
Jawaban yang sama persis? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Dan sekarang kita sudah mengetahui koordinat titiknya, dan untuk membangun parabola, kita membutuhkan lebih banyak ... poin. Bagaimana menurut Anda, berapa banyak poin minimum yang kita butuhkan? Benar, .
Anda tahu bahwa parabola simetris dengan titik puncaknya, misalnya:
Dengan demikian, kita membutuhkan dua titik lagi di sepanjang cabang kiri atau kanan parabola, dan di masa depan kita akan mencerminkan titik-titik ini secara simetris di sisi yang berlawanan:
Kami kembali ke parabola kami. Untuk kasus kami, intinya. Kami membutuhkan dua poin lagi, masing-masing, dapatkah kami mengambil yang positif, tetapi dapatkah kami mengambil yang negatif? Apa poin terbaik untuk Anda? Lebih nyaman bagi saya untuk bekerja dengan yang positif, jadi saya akan menghitung dengan dan.
Sekarang kita memiliki tiga titik, dan kita dapat dengan mudah membangun parabola kita dengan mencerminkan dua titik terakhir tentang puncaknya:
Menurut Anda apa solusi dari persamaan tersebut? Itu benar, titik-titik di mana, yaitu, dan. Karena.
Dan jika kita mengatakan itu, maka itu berarti juga harus sama, atau.
Hanya? Kami telah menyelesaikan persamaan dengan Anda dalam cara grafis yang kompleks, atau akan ada lebih banyak lagi!
Tentu saja, Anda dapat memeriksa jawaban kami secara aljabar - Anda dapat menghitung akar melalui teorema Vieta atau Diskriminan. Apa yang kamu dapatkan? Sama? Kamu melihat! Sekarang mari kita lihat solusi grafis yang sangat sederhana, saya yakin Anda akan sangat menyukainya!
Metode 2. Bagi menjadi beberapa fungsi
Mari kita ambil semuanya juga, persamaan kita: , tetapi kita menulisnya dengan cara yang sedikit berbeda, yaitu:
Bisakah kita menulisnya seperti ini? Kita bisa, karena transformasinya ekivalen. Mari kita lihat lebih jauh.
Mari kita membangun dua fungsi secara terpisah:
- - grafiknya adalah parabola sederhana, yang dapat Anda buat dengan mudah bahkan tanpa mendefinisikan titiknya menggunakan rumus dan membuat tabel untuk menentukan titik lainnya.
- - grafiknya adalah garis lurus, yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai dan di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.
Dibuat? Bandingkan dengan yang saya dapatkan:
Menurut Anda apa akar persamaan dalam kasus ini? Benar! Koordinat dengan, yang diperoleh dengan melintasi dua grafik dan, yaitu:
Dengan demikian, solusi untuk persamaan ini adalah:
Apa yang kamu katakan? Setuju, cara penyelesaian ini jauh lebih mudah dari cara sebelumnya dan bahkan lebih mudah daripada mencari akar melalui diskriminan! Jika ya, coba metode ini untuk menyelesaikan persamaan berikut:
Apa yang kamu dapatkan? Mari kita bandingkan grafik kita:
Grafik menunjukkan bahwa jawabannya adalah:
Apakah Anda berhasil? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Sekarang mari kita lihat persamaan yang sedikit lebih rumit, yaitu, solusi persamaan campuran, yaitu persamaan yang mengandung fungsi dari jenis yang berbeda.
Solusi grafis dari persamaan campuran
Sekarang mari kita coba selesaikan soal berikut:
Tentu saja, Anda dapat membawa semuanya ke penyebut yang sama, menemukan akar persamaan yang dihasilkan, sambil tidak lupa memperhitungkan ODZ, tetapi sekali lagi, kami akan mencoba menyelesaikannya secara grafis, seperti yang kami lakukan dalam semua kasus sebelumnya.
Kali ini mari kita plot 2 grafik berikut:
- - grafiknya hiperbola
- - grafik adalah garis lurus yang dapat Anda buat dengan mudah dengan memperkirakan nilai dan di kepala Anda bahkan tanpa menggunakan kalkulator.
Menyadari? Sekarang mulai membangun.
Inilah yang terjadi pada saya:
Melihat gambar ini, apa akar persamaan kita?
Itu benar, dan. Berikut konfirmasinya:
Coba masukkan akar kita ke dalam persamaan. Telah terjadi?
Baiklah! Setuju, memecahkan persamaan seperti itu secara grafis adalah suatu kesenangan!
Coba selesaikan sendiri persamaannya secara grafis:
Saya memberi Anda petunjuk: pindahkan bagian dari persamaan ke kanan sehingga kedua sisi memiliki fungsi yang paling sederhana untuk dibangun. Punya petunjuk? Mengambil tindakan!
Sekarang mari kita lihat apa yang Anda dapatkan:
Masing-masing:
- - parabola kubik.
- - garis lurus biasa.
Nah, kami sedang membangun:
Seperti yang Anda tulis untuk waktu yang lama, akar dari persamaan ini adalah -.
Setelah memecahkan ini sejumlah besar contoh, saya yakin Anda menyadari bagaimana Anda dapat dengan mudah dan cepat menyelesaikan persamaan secara grafis. Sudah waktunya untuk mencari tahu bagaimana memecahkan sistem dengan cara ini.
Solusi grafis sistem
Solusi grafis sistem pada dasarnya tidak berbeda dengan solusi grafis persamaan. Kami juga akan membangun dua grafik, dan titik persimpangannya akan menjadi akar dari sistem ini. Satu grafik adalah satu persamaan, grafik kedua adalah persamaan lain. Semuanya sangat sederhana!
Mari kita mulai dengan yang paling sederhana - memecahkan sistem persamaan linier.
Memecahkan sistem persamaan linear
Katakanlah kita memiliki sistem berikut:
Untuk memulainya, kami akan mengubahnya sedemikian rupa sehingga di sebelah kiri ada semua yang terhubung, dan di kanan - apa yang terhubung. Dengan kata lain, kami menulis persamaan ini sebagai fungsi dalam bentuk biasa untuk kami:
Dan sekarang kita hanya membangun dua garis lurus. Apa solusi dalam kasus kami? Benar! Titik persimpangan mereka! Dan di sini Anda harus sangat, sangat berhati-hati! Pikirkan mengapa? Saya akan memberi Anda petunjuk: kita sedang berhadapan dengan sebuah sistem: sistem memiliki keduanya, dan... Mengerti?
Baiklah! Saat memecahkan sistem, kita harus melihat kedua koordinat, dan tidak hanya, seperti saat menyelesaikan persamaan! Poin penting lainnya adalah menuliskannya dengan benar dan tidak bingung di mana kita memiliki nilai dan di mana nilainya! Tercatat? Sekarang mari kita bandingkan semuanya secara berurutan:
Dan jawaban: i. Lakukan pemeriksaan - gantikan akar yang ditemukan ke dalam sistem dan pastikan bahwa kami menyelesaikannya dengan benar secara grafis?
Memecahkan sistem persamaan nonlinier
Tetapi bagaimana jika alih-alih satu garis lurus, kita memiliki persamaan kuadrat? Tidak apa-apa! Anda hanya membangun parabola, bukan garis lurus! Tidak percaya? Coba selesaikan sistem berikut:
Apa langkah kita selanjutnya? Benar, tuliskan agar nyaman bagi kita untuk membuat grafik:
Dan sekarang ini semua tentang hal kecil - saya membuatnya dengan cepat dan inilah solusi untuk Anda! Bangunan:
Apakah grafiknya sama? Sekarang tandai solusi sistem pada gambar dan tulis dengan benar jawaban yang terungkap!
Aku sudah melakukan semuanya? Bandingkan dengan catatan saya:
Baiklah? Sudah selesai dilakukan dengan baik! Anda sudah mengklik tugas-tugas seperti itu seperti kacang! Dan jika demikian, mari beri Anda sistem yang lebih rumit:
Apa yang kita lakukan? Benar! Kami menulis sistem sehingga nyaman untuk membangun:
Saya akan memberi Anda sedikit petunjuk, karena sistemnya terlihat sangat rumit! Saat membangun grafik, buatlah "lebih banyak", dan yang paling penting, jangan kaget dengan jumlah titik persimpangan.
Jadi ayo pergi! dihembuskan? Sekarang mulai membangun!
Nah, bagaimana? Cantik? Berapa banyak titik persimpangan yang Anda dapatkan? Saya punya tiga! Mari kita bandingkan grafik kita:
Cara yang sama? Sekarang dengan hati-hati tuliskan semua solusi dari sistem kami:
Sekarang lihat kembali sistemnya:
Bisakah Anda bayangkan bahwa Anda menyelesaikannya hanya dalam 15 menit? Setuju, matematika masih sederhana, terutama ketika melihat ekspresi, Anda tidak takut membuat kesalahan, tetapi Anda mengambilnya dan memutuskan! Kamu sudah besar!
Solusi grafis dari ketidaksetaraan
Solusi grafis dari pertidaksamaan linier
Setelah contoh terakhir, Anda menyelesaikan tugas! Sekarang buang napas - dibandingkan dengan bagian sebelumnya, yang ini akan sangat, sangat mudah!
Kita mulai, seperti biasa, dengan solusi grafis pertidaksamaan linier. Misalnya, yang ini:
Untuk memulainya, kami akan melakukan transformasi paling sederhana - kami akan membuka tanda kurung kotak sempurna dan memberikan istilah yang serupa:
Pertidaksamaan tidak ketat, oleh karena itu - tidak termasuk dalam interval, dan solusinya adalah semua titik yang ke kanan, karena lebih banyak, dan seterusnya:
Menjawab:
Itu saja! Mudah? Selesaikan pertidaksamaan sederhana dengan dua variabel:
Mari kita menggambar fungsi dalam sistem koordinat.
Apakah Anda memiliki grafik seperti itu? Dan sekarang kita hati-hati melihat apa yang kita miliki dalam ketidaksetaraan? Lebih kecil? Jadi, kami mengecat semua yang ada di sebelah kiri garis lurus kami. Bagaimana jika ada lebih banyak? Itu benar, maka mereka akan melukis semua yang ada di sebelah kanan garis lurus kita. Semuanya sederhana.
Semua solusi untuk ketidaksetaraan ini diarsir dengan warna oranye. Itu saja, pertidaksamaan dua variabel diselesaikan. Ini berarti bahwa koordinat dan setiap titik dari daerah yang diarsir adalah solusinya.
Solusi grafis dari pertidaksamaan kuadrat
Sekarang kita akan membahas bagaimana menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat secara grafis.
Tapi sebelum kita langsung ke intinya, mari kita rekap beberapa hal tentang fungsi kuadrat.
Untuk apa diskriminan bertanggung jawab? Benar sekali, untuk posisi grafik relatif terhadap sumbu (kalau tidak ingat, baca dulu teori tentang fungsi kuadrat).
Bagaimanapun, inilah sedikit pengingat untuk Anda:
Sekarang setelah kita menyegarkan semua materi dalam ingatan kita, mari kita mulai - kita akan menyelesaikan ketidaksetaraan secara grafis.
Saya akan segera memberi tahu Anda bahwa ada dua opsi untuk menyelesaikannya.
Pilihan 1
Kami menulis parabola kami sebagai fungsi:
Dengan menggunakan rumus, kami menentukan koordinat titik parabola (dengan cara yang sama seperti ketika memecahkan persamaan kuadrat):
Apakah Anda menghitung? Apa yang kamu dapatkan?
Sekarang mari kita ambil dua poin berbeda dan menghitungnya:
Kami mulai membangun satu cabang parabola:
Kami secara simetris mencerminkan titik kami pada cabang lain parabola:
Sekarang kembali ke ketidaksetaraan kita.
Kita perlu kurang dari nol, masing-masing:
Karena dalam ketidaksetaraan kami ada tanda yang sangat kurang, kami mengecualikan titik akhir - kami "mencongkel".
Menjawab:
Jauh, kan? Sekarang saya akan menunjukkan versi sederhana dari solusi grafis menggunakan ketidaksetaraan yang sama sebagai contoh:
pilihan 2
Kami kembali ke ketidaksetaraan kami dan menandai interval yang kami butuhkan:
Setuju, ini jauh lebih cepat.
Yuk tulis jawabannya sekarang:
Mari kita pertimbangkan metode solusi lain yang menyederhanakan bagian aljabar, tetapi yang utama adalah jangan bingung.
Kalikan ruas kiri dan kanan dengan:
Coba selesaikan pertidaksamaan kuadrat berikut ini sendiri dengan cara apa pun yang Anda suka: .
Apakah Anda berhasil?
Lihat bagaimana grafik saya berubah:
Menjawab: .
Solusi grafis dari ketidaksetaraan campuran
Sekarang mari kita beralih ke ketidaksetaraan yang lebih kompleks!
Bagaimana Anda menyukai ini:
Mengerikan, bukan? Sejujurnya, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikan ini secara aljabar ... Tapi, itu tidak perlu. Secara grafis, tidak ada yang rumit dalam hal ini! Mata takut, tetapi tangan melakukannya!
Hal pertama yang kita mulai adalah dengan membangun dua grafik:
Saya tidak akan menulis tabel untuk semua orang - saya yakin Anda dapat melakukannya sendiri dengan sempurna (tentu saja, ada begitu banyak contoh untuk dipecahkan!).
Dilukis? Sekarang buat dua grafik.
Mari kita bandingkan gambar kita?
Apakah Anda memiliki hal yang sama? Bagus! Sekarang mari kita tempatkan titik-titik persimpangan dan tentukan dengan warna grafik mana yang seharusnya kita miliki, secara teori, harus lebih besar, yaitu. Lihat apa yang terjadi pada akhirnya:
Dan sekarang kita lihat saja dimana chart yang kita pilih lebih tinggi dari chart? Jangan ragu untuk mengambil pensil dan melukis di atas area ini! Ini akan menjadi solusi untuk ketidaksetaraan kompleks kita!
Pada interval berapa di sepanjang sumbu kita lebih tinggi dari? Benar, . Ini adalah jawabannya!
Nah, sekarang Anda dapat menangani persamaan apa pun, dan sistem apa pun, dan terlebih lagi ketidaksetaraan apa pun!
SINGKAT TENTANG UTAMA
Algoritma untuk menyelesaikan persamaan menggunakan grafik fungsi:
- Ekspresikan melalui
- Tentukan jenis fungsi
- Mari kita buat grafik dari fungsi yang dihasilkan
- Tentukan titik potong grafik
- Tulis jawaban dengan benar (dengan memperhatikan ODZ dan tanda pertidaksamaan)
- Periksa jawabannya (substitusikan akar dalam persamaan atau sistem)
Untuk informasi lebih lanjut tentang merencanakan grafik fungsi, lihat topik "".
Pada pelajaran, siswa menunjukkan pengetahuan dan keterampilan program:
- kenali jenis fungsi, buat grafiknya;
– mempraktekkan keterampilan membangun fungsi kuadrat;
– mengerjakan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat menggunakan metode pemilihan kuadrat penuh.
Saya ingin memberikan perhatian khusus untuk memecahkan masalah dengan parameter, karena USE dalam matematika menawarkan banyak tugas jenis ini.
Kesempatan untuk menerapkan jenis pekerjaan ini di kelas diberikan kepada saya oleh siswa sendiri, karena mereka memiliki basis pengetahuan yang cukup yang dapat diperdalam dan diperluas.
Template yang telah disiapkan sebelumnya oleh siswa memungkinkan untuk menghemat waktu pelajaran. Selama pelajaran, saya berhasil melaksanakan tugas di awal pelajaran dan mendapatkan hasil yang diharapkan.
Penggunaan menit pendidikan jasmani membantu untuk menghindari terlalu banyak pekerjaan siswa, untuk mempertahankan motivasi produktif untuk memperoleh pengetahuan.
Secara umum, saya puas dengan hasil pelajaran, tetapi saya pikir masih ada peluang cadangan: alat teknologi inovatif modern, yang, sayangnya, kami tidak memiliki kesempatan untuk menggunakannya.
Jenis pelajaran: konsolidasi materi yang dipelajari.
Tujuan Pelajaran:
- Pendidikan umum dan didaktik:
- mengembangkan berbagai cara aktivitas mental siswa;
- untuk membentuk kemampuan untuk memecahkan masalah secara mandiri;
- mendidik budaya matematika siswa;
- mengembangkan intuisi siswa dan kemampuan untuk menggunakan pengetahuan yang diperoleh.
- tujuan belajar:
- meringkas informasi yang dipelajari sebelumnya tentang topik "Solusi grafis persamaan kuadrat";
- ulangi ploting fungsi kuadrat;
- untuk membentuk keterampilan menggunakan algoritma untuk memecahkan persamaan kuadrat dengan metode grafis.
- pendidikan:
- menanamkan minat dalam kegiatan pendidikan, dalam mata pelajaran matematika;
- pembentukan toleransi (toleransi), kemampuan bekerja dalam tim.
SELAMA KELAS
I. Momen organisasi
- Hari ini dalam pelajaran kita akan menggeneralisasi dan mengkonsolidasikan solusi grafis dari persamaan kuadrat dalam berbagai cara.
Di masa depan, kita akan membutuhkan keterampilan ini di sekolah menengah dalam pelajaran matematika saat menyelesaikan persamaan trigonometri dan logaritma, menemukan luas trapesium lengkung, serta dalam pelajaran fisika.
II. Memeriksa pekerjaan rumah
Mari kita analisis di papan No. 23.5 (g).
Selesaikan persamaan ini menggunakan parabola dan garis lurus.
Keputusan:
x 2 + x - 6 = 0
Mari kita ubah persamaannya: x 2 \u003d 6 - x
Mari kita perkenalkan fungsi:
y \u003d x 2; fungsi kuadrat y \u003d 6 - x linier,
grafik yavl. parabola, grafik yavl. lurus,
Kami membangun grafik fungsi dalam satu sistem koordinat (sesuai dengan template)
Kami mendapat dua titik persimpangan.
Penyelesaian persamaan kuadrat adalah absis titik-titik tersebut x 1 = - 3, x 2 = 2.
Jawaban: - 3; 2.
AKU AKU AKU. Survei frontal
- Apa grafik fungsi kuadrat?
- Bisakah Anda memberi tahu saya algoritma untuk memplot grafik fungsi kuadrat?
- Apa itu persamaan kuadrat?
- Berikan contoh persamaan kuadrat?
- Tulislah contoh persamaan kuadrat di papan tulis, apa koefisiennya?
- Apa yang dimaksud dengan menyelesaikan persamaan?
- Berapa banyak cara yang Anda ketahui tentang solusi grafis persamaan kuadrat?
- Apa metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat:
IV. Memperbaiki bahan
Di papan tulis, siswa memutuskan dengan cara pertama, kedua, ketiga.
Kelas memutuskan keempat
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Saya akan mengubah persamaan kuadrat, menyoroti kuadrat penuh dari binomial:
- x 2 + 6x - 5 \u003d - (x 2 - 6x + 5) \u003d - (x 2 - 6x + 32 - 9 + 5) \u003d - ((x - 3) 2 - 4) \u003d - ( x - 3) 2+4
Kami mendapat persamaan kuadrat:
- (x - 3) 2 + 4 \u003d 0
Mari kita perkenalkan fungsi:
y \u003d - (x 2 - 3) 2 + 4
Fungsi kuadrat dari bentuk y \u003d a (x + L) 2 + m
Grafik yavl. parabola, cabang-cabang mengarah ke bawah, pergeseran parabola utama sepanjang sumbu Ox ke kanan sebesar 3 unit, ke atas sebesar 4 unit sepanjang sumbu Oy, titik (3; 4).
Kami membangun sesuai dengan template.
Menemukan titik potong parabola dengan sumbu x. Absis dari titik-titik ini yavl. penyelesaian persamaan ini. x=1, x=5.
Mari kita lihat solusi grafis lainnya di papan. Komentari cara Anda menyelesaikan persamaan kuadrat.
1 siswa
Keputusan:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Kami memperkenalkan fungsi y \u003d - x + 6x - 5, fungsi kuadrat, grafiknya adalah parabola, cabang-cabang diarahkan ke bawah, atas
x 0 \u003d - dalam / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9; titik (3; 9)
sumbu simetri x = 3
Kami membangun sesuai dengan template
Kami mendapat titik potong dengan sumbu Ox, absis titik-titik ini adalah solusi dari persamaan kuadrat. Dua akar x 1 = 1, x 2 = 5
2 siswa
Keputusan:
- x 2 + 6x - 5 \u003d 0
Mari kita ubah: - x 2 + 6x \u003d 5
Kami memperkenalkan fungsi: y1 \u003d - x 2 + 6x, y2 \u003d 5, fungsi linier, fungsi kuadrat, grafik grafik yavl. baris y || Oh yavl. parabola, cabang diarahkan ke bawah, simpul x 0 \u003d - di / 2a
x 0 \u003d - 6 / - 2 \u003d 3
y 0 \u003d - 3 2 + 18 \u003d 9;
(3; 9).
sumbu simetri x = 3
Kami membangun sesuai dengan template
Punya titik persimpangan
parabola dan garis lurus, absisnya adalah solusi dari persamaan kuadrat. Dua akar x 1 = 1, x 2 = 5
Jadi, persamaan yang sama dapat diselesaikan dengan cara yang berbeda, dan jawabannya harus sama.
V. Pendidikan Jasmani
VI. Memecahkan masalah dengan parameter
Pada nilai apa? R persamaan x 2 + 6x + 8 = p:
- Tidak memiliki akar?
- Memiliki satu akar?
Apakah itu memiliki dua akar?
Bagaimana persamaan ini berbeda dari yang sebelumnya?
Itu benar, surat!
Kami akan menyebut surat ini sebagai parameter, R.
Selama dia tidak memberitahumu apa-apa. Tetapi kami akan terus menyelesaikan berbagai masalah dengan parameter.
Hari ini kita akan menyelesaikan persamaan kuadrat dengan parameter menggunakan metode grafis menggunakan metode ketiga menggunakan parabola dan garis lurus yang sejajar dengan sumbu x.
Siswa membantu guru menyelesaikannya di papan tulis.
Di mana kita mulai memutuskan?
Mari kita atur fungsinya:
y 1 \u003d x 2 + 6x + 8 y 2 \u003d p fungsi linier,
fungsi kuadrat, grafiknya berupa garis lurus
grafik yavl. parabola,
cabang menunjuk ke bawah
x 0 \u003d - dalam / 2a,
x 0 = - 6/2 = - 3
y 0 \u003d (- 3) 2 + 6 (- 3) + 8 \u003d - 1
(– 3; – 1)
Sumbu simetri x = 3, saya tidak akan membuat tabel, tetapi saya akan mengambil templat y = x 2 dan menempelkannya di bagian atas parabola.
Parabola dibangun! Sekarang kita perlu menggambar garis y = p.
Di mana garis harus ditarik? R untuk mendapatkan dua akar?
Di mana garis harus ditarik? R untuk mendapatkan satu akar?
Di mana garis harus ditarik? R tanpa akar?
– Jadi, berapa banyak akar persamaan kita?
Apakah Anda menyukai tugas itu? Terima kasih untuk bantuannya! Kelas 5.
VII. kerja mandiri berdasarkan opsi (5 mnt.)
y \u003d x 2 - 5x + 6 y \u003d - x 2 + x - 6
Memecahkan persamaan kuadrat dengan cara grafis, memilih cara yang nyaman untuk Anda. Jika seseorang menyelesaikan tugas lebih awal, periksa solusi Anda dengan cara lain. Ini akan dikenakan tanda tambahan.
VIII. Ringkasan pelajaran
- Apa yang Anda pelajari dalam pelajaran hari ini?
- Hari ini dalam pelajaran kami memecahkan persamaan kuadrat menggunakan metode grafis, menggunakan berbagai metode penyelesaian, dan mempertimbangkan metode grafis untuk menyelesaikan persamaan kuadrat dengan parameter!
- Mari kita beralih ke pekerjaan rumah.
IX. Pekerjaan rumah
1. Tes rumah di halaman 147, dari buku soal Mordkovich untuk opsi I dan II.
2. Pada lingkaran, pada hari Rabu, kita akan menyelesaikan metode ke-V, (hiperbola dan garis lurus).
X. Sastra:
1. A.G. Mordkovich. Aljabar-8. Bagian 1. Buku teks untuk siswa lembaga pendidikan. Moskow: Mnemosyne, 2008
2. A.G. Mordkovich, L.A. Aleksandrova, T.N. Mishustin, E.E. Tulchinskaya. Aljabar - 8. Bagian 2. Buku tugas untuk siswa lembaga pendidikan. Moskow: Mnemosyne, 2008
3. A.G. Mordkovich. Aljabar 7-9. Panduan metodologis untuk seorang guru M.: Mnemosyne, 2004
4. LA. Alexandrova. Aljabar-8. Karya mandiri bagi mahasiswa lembaga pendidikan./Ed. A.G. Mordkovich. Moskow: Mnemosyne, 2009
