Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.

Sebagai hasil dari pemecahan masalah untuk menemukan turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai batas rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, tabel turunan dan aturan diferensiasi yang didefinisikan secara tepat muncul . Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan.

Oleh karena itu, saat ini, untuk menemukan turunan dari fungsi apa pun, tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi yang disebutkan di atas terhadap kenaikan argumen, tetapi hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut cocok untuk mencari turunan.

Untuk mencari turunan, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda guratan uraikan fungsi-fungsi sederhana dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling berhubungan. Selanjutnya, kami menemukan turunan dari fungsi dasar dalam tabel turunan, dan rumus untuk turunan produk, jumlah dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel aturan turunan dan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.

Contoh 1 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi, yaitu.

Dari tabel turunan, kita mengetahui bahwa turunan dari "X" sama dengan satu, dan turunan dari sinus adalah cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini dalam jumlah turunan dan menemukan turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 2 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Diferensialkan sebagai turunan dari jumlah, di mana suku kedua dengan faktor konstan, dapat dikeluarkan dari tanda turunan:

Jika masih ada pertanyaan tentang dari mana sesuatu berasal, mereka, sebagai suatu peraturan, menjadi jelas setelah membaca tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami akan pergi ke mereka sekarang.

Tabel turunan fungsi sederhana

1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Setiap angka (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu nol. Ini sangat penting untuk diingat, karena sangat sering diperlukan
2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "x". Selalu sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingat
3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat.
4. Turunan suatu variabel pangkat -1
5. Turunan dari akar kuadrat
6. Turunan sinus
7. Turunan kosinus
8. Turunan tangen
9. Turunan dari kotangen
10. Turunan dari arcsinus
11. Turunan dari arc cosinus
12. Turunan dari tangen busur
13. Turunan dari tangen terbalik
14. Turunan dari logaritma natural
15. Turunan dari fungsi logaritma
16. Turunan dari eksponen
17. Turunan dari fungsi eksponensial

Aturan diferensiasi

1. Turunan dari jumlah atau selisih
2. Turunan dari suatu produk
2a. Turunan dari ekspresi dikalikan dengan faktor konstan
3. Turunan dari hasil bagi
4. Turunan dari fungsi kompleks

Aturan 1Jika fungsi

terdiferensialkan pada suatu titik , maka pada titik yang sama fungsi

dan

itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut.

Konsekuensi. Jika dua fungsi yang dapat diturunkan berbeda satu konstanta, maka turunannya adalah:, yaitu

Aturan 2Jika fungsi

terdiferensiasi pada suatu titik, maka produknya juga terdiferensiasi pada titik yang sama

dan

itu. turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain.

Konsekuensi 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan:

Konsekuensi 2. Turunan produk dari beberapa fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah produk turunan dari masing-masing faktor dan semua faktor lainnya.

Misalnya, untuk tiga pengganda:

Aturan 3Jika fungsi

terdiferensiasi di beberapa titik dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga dapat dibedakan.u/v , dan

itu. turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dengan turunan dari pembilangnya dan pembilangnya dengan turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya .

Di mana mencarinya di halaman lain

Ketika menemukan turunan dari produk dan hasil bagi dalam masalah nyata, selalu perlu untuk menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, jadi lebih banyak contoh tentang turunan ini ada di artikel."Turunan dari produk dan hasil bagi".

Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu, angka) sebagai istilah dalam jumlah dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan tipikal yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi karena rata-rata siswa menyelesaikan beberapa contoh satu-dua komponen, kesalahan ini tidak lagi terjadi.

Dan jika, ketika membedakan produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"v, di mana kamu- angka, misalnya, 2 atau 5, yaitu konstanta, maka turunan dari angka ini akan sama dengan nol dan, oleh karena itu, seluruh istilah akan sama dengan nol (kasus seperti itu dianalisis dalam contoh 10) .

Kesalahan umum lainnya adalah solusi mekanis dari turunan fungsi kompleks sebagai turunan dari fungsi sederhana. Jadi turunan dari fungsi kompleks dikhususkan untuk artikel terpisah. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.

Sepanjang jalan, Anda tidak dapat melakukannya tanpa transformasi ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual windows baru Tindakan dengan kekuatan dan akar dan Tindakan dengan pecahan .

Jika Anda mencari solusi turunan dengan pangkat dan akar, yaitu, ketika fungsinya terlihat seperti , lalu ikuti pelajaran " Turunan jumlah pecahan dengan pangkat dan akar".

Jika Anda memiliki tugas seperti , maka Anda berada dalam pelajaran "Turunan dari fungsi trigonometri sederhana".

Contoh langkah demi langkah - cara menemukan turunannya

Contoh 3 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kami menentukan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, di mana salah satu suku mengandung faktor konstanta. Kami menerapkan aturan diferensiasi produk: turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain:

Selanjutnya, kami menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi ini. Dalam kasus kami, dalam setiap jumlah, istilah kedua dengan tanda minus. Dalam setiap penjumlahan, kita melihat variabel bebas, turunannya sama dengan satu, dan konstanta (angka), turunannya sama dengan nol. Jadi, "x" berubah menjadi satu, dan minus 5 - menjadi nol. Dalam ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita kalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami mendapatkan nilai turunan berikut:

Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan memperoleh turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:

Contoh 4 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Kita diminta untuk mencari turunan dari hasil bagi. Kami menerapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah perbedaan antara produk dari penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilang dan turunan dari penyebut, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:

Kita telah menemukan turunan dari faktor-faktor dalam pembilang pada Contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua dalam pembilang, diambil dengan tanda minus pada contoh saat ini:

Jika Anda mencari solusi untuk masalah seperti itu di mana Anda perlu menemukan turunan dari suatu fungsi, di mana ada tumpukan akar dan derajat yang kontinu, seperti, misalnya, lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan dengan kekuatan dan akar" .

Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, garis singgung, dan fungsi trigonometri lainnya, yaitu ketika fungsi terlihat seperti , maka Anda memiliki pelajaran "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .

Contoh 5 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat produk, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel independen, dengan turunan yang kita kenal dalam tabel turunan. Menurut aturan diferensiasi produk dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kita mendapatkan:

Contoh 6 Tentukan turunan dari suatu fungsi

Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat hasil bagi, yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Menurut aturan diferensiasi hasil bagi, yang kami ulangi dan terapkan dalam contoh 4, dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kami mendapatkan:

Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .

Sangat tidak mungkin untuk memecahkan masalah fisika atau contoh dalam matematika tanpa pengetahuan tentang turunan dan metode untuk menghitungnya. Derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dari analisis matematika. Kami memutuskan untuk mencurahkan artikel hari ini untuk topik mendasar ini. Apa itu turunan, apa arti fisis dan geometrisnya, bagaimana cara menghitung turunan suatu fungsi? Semua pertanyaan ini dapat digabungkan menjadi satu: bagaimana memahami turunan?

Arti geometris dan fisik dari turunan

Biarkan ada fungsi f(x) , diberikan dalam beberapa interval (a,b) . Titik x dan x0 termasuk dalam interval ini. Ketika x berubah, fungsi itu sendiri berubah. Perubahan argumen - perbedaan nilainya x-x0 . Perbedaan ini ditulis sebagai delta x dan disebut kenaikan argumen. Perubahan atau kenaikan suatu fungsi adalah selisih antara nilai fungsi pada dua titik. Definisi turunan:

Turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit rasio kenaikan fungsi pada titik tertentu dengan kenaikan argumen ketika yang terakhir cenderung nol.

Jika tidak, dapat ditulis seperti ini:

Apa gunanya menemukan batas seperti itu? Tapi yang mana:

turunan suatu fungsi di suatu titik sama dengan garis singgung sudut antara sumbu OX dan garis singgung grafik fungsi di titik tertentu.

Arti fisis turunan: turunan waktu dari lintasan sama dengan kecepatan gerak lurus.

Memang, sejak masa sekolah, semua orang tahu bahwa kecepatan adalah jalur pribadi. x=f(t) dan waktu t . Kecepatan rata-rata selama periode waktu tertentu:

Untuk mengetahui kecepatan gerakan pada suatu waktu t0 Anda perlu menghitung batas:

Aturan satu: keluarkan konstanta

Konstanta tersebut dapat dikeluarkan dari tanda turunannya. Apalagi harus dilakukan. Saat memecahkan contoh dalam matematika, ambil sebagai aturan - jika Anda dapat menyederhanakan ekspresi, pastikan untuk menyederhanakan .

Contoh. Mari kita hitung turunannya:

Aturan dua: turunan dari jumlah fungsi

Turunan jumlah dua fungsi sama dengan jumlah turunan fungsi tersebut. Hal yang sama berlaku untuk turunan dari perbedaan fungsi.

Kami tidak akan memberikan bukti teorema ini, melainkan mempertimbangkan contoh praktis.

Cari turunan dari suatu fungsi:

Aturan tiga: turunan dari produk fungsi

Turunan produk dari dua fungsi yang dapat diturunkan dihitung dengan rumus:

Contoh: mencari turunan dari suatu fungsi:

Keputusan:

Di sini penting untuk mengatakan tentang perhitungan turunan dari fungsi kompleks. Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi ini sehubungan dengan argumen antara dengan turunan dari argumen antara sehubungan dengan variabel bebas.

Dalam contoh di atas, kita menemukan ekspresi:

Dalam hal ini, argumen perantara adalah 8x pangkat lima. Untuk menghitung turunan dari ekspresi seperti itu, pertama-tama kita pertimbangkan turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan argumen antara, dan kemudian kalikan dengan turunan dari argumen antara itu sendiri sehubungan dengan variabel independen.

Aturan Empat: Turunan dari hasil bagi dua fungsi

Rumus untuk menentukan turunan dari hasil bagi dua fungsi:

Kami mencoba berbicara tentang turunan untuk boneka dari awal. Topik ini tidak sesederhana kedengarannya, jadi berhati-hatilah: sering ada jebakan dalam contoh, jadi berhati-hatilah saat menghitung turunan.

Jika ada pertanyaan tentang ini dan topik lainnya, Anda dapat menghubungi layanan siswa. Dalam waktu singkat, kami akan membantu Anda memecahkan kontrol yang paling sulit dan menangani tugas-tugas, bahkan jika Anda belum pernah berurusan dengan perhitungan turunan sebelumnya.

Dalam pelajaran ini kita akan belajar bagaimana menerapkan rumus dan aturan diferensiasi.

Contoh. Menemukan turunan dari fungsi.

1. y=x 7 +x 5 -x 4 +x 3 -x 2 +x-9. Menerapkan Aturan Saya, rumus 4, 2 dan 1. Kita mendapatkan:

y'=7x 6 +5x 4 -4x 3 +3x 2 -2x+1.

2. y=3x6 -2x+5. Kami memecahkan dengan cara yang sama, menggunakan rumus dan rumus yang sama 3.

y’=3∙6x 5 -2=18x 5 -2.

Menerapkan Aturan Saya, rumus 3, 5 dan 6 dan 1.

Menerapkan Aturan IV, rumus 5 dan 1 .

Pada contoh kelima, menurut aturan Saya turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, dan kami baru saja menemukan turunan dari suku 1 (contoh 4 ), oleh karena itu, kita akan menemukan turunan ke-2 dan 3 istilah, dan untuk tanggal 1 istilahnya, kita bisa langsung menuliskan hasilnya.

Membedakan ke-2 dan 3 syarat sesuai rumus 4 . Untuk melakukan ini, kita mengubah akar dari derajat ketiga dan keempat dalam penyebut menjadi pangkat dengan eksponen negatif, dan kemudian, menurut 4 rumus, kami menemukan turunan dari kekuatan.

Lihat contoh ini dan hasilnya. Apakah Anda menangkap polanya? Bagus. Ini berarti bahwa kita memiliki formula baru dan dapat menambahkannya ke tabel turunan kita.

Mari selesaikan contoh keenam dan dapatkan satu formula lagi.

Kami menggunakan aturan IV dan rumus 4 . Kami mengurangi pecahan yang dihasilkan.

Kami melihat fungsi ini dan turunannya. Anda, tentu saja, memahami polanya dan siap menyebutkan rumusnya:

Belajar formula baru!

Contoh.

1. Cari kenaikan argumen dan kenaikan fungsi y= x2 jika nilai awal argumen adalah 4 , dan yang baru 4,01 .

Keputusan.

Nilai argumen baru x \u003d x 0 + x. Substitusikan data: 4.01=4+Δx, maka argumen bertambah =4,01-4=0,01. Kenaikan suatu fungsi, menurut definisi, sama dengan perbedaan antara nilai fungsi yang baru dan sebelumnya, mis. y \u003d f (x 0 + x) - f (x 0). Karena kita memiliki fungsi y=x2, kemudian \u003d (x 0 + x) 2 - (x 0) 2 \u003d (x 0) 2 + 2x 0 · x+(Δx) 2 - (x 0) 2 \u003d 2x 0 · x+(∆x) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Menjawab: penambahan argumen =0,01; peningkatan fungsi =0,0801.

Dimungkinkan untuk menemukan peningkatan fungsi dengan cara lain: y\u003d y (x 0 + x) -y (x 0) \u003d y (4.01) -y (4) \u003d 4.01 2 -4 2 \u003d 16.0801-16 \u003d 0,0801.

2. Tentukan sudut kemiringan garis singgung grafik fungsi y=f(x) pada intinya x 0, jika f "(x 0) \u003d 1.

Keputusan.

Nilai turunan pada titik kontak x 0 dan merupakan nilai tangen dari kemiringan tangen (makna geometris turunan). Kita punya: f "(x 0) \u003d tgα \u003d 1 → \u003d 45 °, sebagai tg45°=1.

Menjawab: garis singgung grafik fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif sumbu Ox, sama dengan 45°.

3. Turunkan rumus turunan suatu fungsi y=xn.

Diferensiasi adalah tindakan menemukan turunan dari suatu fungsi.

Saat menemukan turunan, rumus yang digunakan adalah yang diturunkan berdasarkan definisi turunan, dengan cara yang sama seperti kita menurunkan rumus untuk derajat turunan: (x n)" = nx n-1.

Berikut adalah rumusnya.

Tabel turunan akan lebih mudah untuk menghafal dengan mengucapkan rumusan verbal:

1. Turunan dari suatu nilai konstanta adalah nol.

2. X stroke sama dengan satu.

3. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunannya.

4. Turunan dari suatu derajat sama dengan produk dari eksponen derajat ini dengan derajat dengan basis yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.

5. Turunan dari akar sama dengan satu dibagi dua dari akar yang sama.

6. Turunan persatuan dibagi x dikurangi satu dibagi x kuadrat.

7. Turunan sinus sama dengan cosinus.

8. Turunan cosinus sama dengan minus sinus.

9. Turunan dari garis singgung sama dengan satu dibagi dengan kuadrat kosinus.

10. Turunan dari kotangen dikurangi satu dibagi dengan kuadrat sinus.

Kami mengajar aturan diferensiasi.

1. Turunan jumlah aljabar sama dengan jumlah aljabar suku-suku turunan.

2. Turunan produk sama dengan produk turunan faktor pertama dengan faktor kedua ditambah produk faktor pertama dengan turunan faktor kedua.

3. Turunan dari "y" dibagi dengan "ve" sama dengan pecahan, di mana pembilangnya "y adalah guratan dikalikan dengan 've' dikurangi 'y, dikalikan dengan guratan', dan dalam penyebutnya - 've kuadrat ”.

4. Kasus khusus dari formula 3.

Mari belajar bersama!

Halaman 1 dari 1 1

Jika kita mengikuti definisi tersebut, maka turunan suatu fungsi di suatu titik adalah limit dari rasio kenaikan fungsi kamu dengan kenaikan argumen x:

Semuanya tampak jelas. Tapi coba hitung dengan rumus ini, katakanlah, turunan dari fungsi f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x dosa x. Jika Anda melakukan semuanya dengan definisi, maka setelah beberapa halaman perhitungan Anda hanya akan tertidur. Oleh karena itu, ada cara yang lebih sederhana dan efektif.

Untuk memulainya, kita perhatikan bahwa apa yang disebut fungsi dasar dapat dibedakan dari seluruh ragam fungsi. Ini adalah ekspresi yang relatif sederhana, yang turunannya telah lama dihitung dan dimasukkan ke dalam tabel. Fungsi-fungsi tersebut cukup mudah diingat, bersama dengan turunannya.

Turunan dari fungsi dasar

Fungsi dasar adalah semua yang tercantum di bawah ini. Turunan dari fungsi-fungsi tersebut harus hafal. Selain itu, tidak sulit untuk menghafalnya - itu sebabnya mereka masih sekolah dasar.

Jadi, turunan dari fungsi dasar:

Nama	Fungsi	Turunan
Konstan	f(x) = C, C ∈ R	0 (ya, ya, nol!)
Derajat dengan eksponen rasional	f(x) = x n	n · x n − 1
sinus	f(x) = sin x	karena x
Kosinus	f(x) = cos x	dosa x(dikurangi sinus)
Garis singgung	f(x) = tg x	1/co 2 x
Kotangens	f(x) = ctg x	1/sin2 x
logaritma natural	f(x) = log x	1/x
logaritma arbitrer	f(x) = log sebuah x	1/(x ln sebuah)
Fungsi eksponensial	f(x) = e x	e x(Tidak ada yang berubah)

Jika fungsi dasar dikalikan dengan konstanta sembarang, maka turunan dari fungsi baru juga mudah dihitung:

(C · f)’ = C · f ’.

Secara umum, konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan. Sebagai contoh:

(2x 3)' = 2 ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Jelas, fungsi dasar dapat ditambahkan satu sama lain, dikalikan, dibagi, dan banyak lagi. Ini adalah bagaimana fungsi baru akan muncul, tidak lagi sangat mendasar, tetapi juga dapat dibedakan menurut aturan tertentu. Aturan-aturan ini dibahas di bawah ini.

Turunan jumlah dan selisih

Biarkan fungsi f(x) dan g(x), yang turunannya kita ketahui. Misalnya, Anda dapat mengambil fungsi dasar yang dibahas di atas. Kemudian Anda dapat menemukan turunan dari jumlah dan perbedaan dari fungsi-fungsi ini:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Jadi, turunan jumlah (selisih) dua fungsi sama dengan jumlah (selisih) turunannya. Mungkin ada lebih banyak istilah. Sebagai contoh, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Sebenarnya, tidak ada konsep "pengurangan" dalam aljabar. Ada konsep "elemen negatif". Oleh karena itu, perbedaan f − g dapat ditulis ulang sebagai jumlah f+ (−1) g, dan kemudian hanya satu rumus yang tersisa - turunan dari jumlah tersebut.

f(x) = x 2 + sinx; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Fungsi f(x) adalah jumlah dari dua fungsi dasar, jadi:

f ’(x) = (x 2+ dosa x)’ = (x 2)' + (sin x)’ = 2x+ cox;

Kami berpendapat sama untuk fungsi g(x). Hanya saja sudah ada tiga istilah (dari sudut pandang aljabar):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Menjawab:
f ’(x) = 2x+ cox;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Turunan dari suatu produk

Matematika adalah ilmu yang logis, sehingga banyak orang percaya bahwa jika turunan dari jumlah sama dengan jumlah dari turunan, maka turunan dari produk memukul"\u003e sama dengan produk turunan. Tapi ara untuk Anda! Turunan produk dihitung menggunakan rumus yang sama sekali berbeda. Yaitu:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Rumusnya sederhana, tapi sering terlupakan. Dan tidak hanya anak sekolah, tetapi juga siswa. Hasilnya adalah masalah yang salah diselesaikan.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = x 3 kosx; g(x) = (x 2 + 7x 7) · e x .

Fungsi f(x) adalah produk dari dua fungsi dasar, jadi semuanya sederhana:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)' karena x + x 3 (karena x)’ = 3x 2 karena x + x 3 (−sin x) = x 2 (3cos x − x dosa x)

Fungsi g(x) pengganda pertama sedikit lebih rumit, tetapi skema umum tidak berubah dari ini. Jelas, pengali pertama dari fungsi g(x) adalah polinomial, dan turunannya adalah turunan dari jumlah tersebut. Kita punya:

g ’(x) = ((x 2 + 7x 7) · e x)’ = (x 2 + 7x 7)' · e x + (x 2 + 7x 7) ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x 7) · e x = e x(2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Menjawab:
f ’(x) = x 2 (3cos x − x dosa x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Perhatikan bahwa pada langkah terakhir, turunan difaktorkan. Secara formal, ini tidak perlu, tetapi sebagian besar turunan tidak dihitung sendiri, tetapi untuk mengeksplorasi fungsinya. Artinya selanjutnya turunannya akan disamakan dengan nol, akan diketahui tanda-tandanya, dan seterusnya. Untuk kasus seperti itu, lebih baik memiliki ekspresi yang didekomposisi menjadi faktor.

Jika ada dua fungsi f(x) dan g(x), dan g(x) 0 pada himpunan yang menarik bagi kami, kami dapat mendefinisikan fungsi baru h(x) = f(x)/g(x). Untuk fungsi seperti itu, Anda juga dapat menemukan turunannya:

Tidak lemah, kan? Dari mana minusnya? Mengapa g 2? Tapi seperti ini! Ini adalah salah satu formula paling kompleks - Anda tidak dapat mengetahuinya tanpa botol. Karena itu, lebih baik mempelajarinya dengan contoh-contoh spesifik.

Tugas. Cari turunan fungsi:

Ada fungsi dasar dalam pembilang dan penyebut setiap pecahan, jadi yang kita butuhkan hanyalah rumus turunan dari hasil bagi:

Secara tradisi, kami memfaktorkan pembilangnya menjadi beberapa faktor - ini akan sangat menyederhanakan jawabannya:

Fungsi kompleks tidak harus berupa rumus yang panjangnya setengah kilometer. Misalnya, cukup untuk mengambil fungsi f(x) = sin x dan ganti variabel x, katakan, pada x 2+ln x. Ternyata f(x) = dosa ( x 2+ln x) adalah fungsi kompleks. Dia juga memiliki turunan, tetapi tidak akan berhasil menemukannya sesuai dengan aturan yang dibahas di atas.

Bagaimana menjadi? Dalam kasus seperti itu, penggantian variabel dan rumus turunan dari fungsi kompleks membantu:

f ’(x) = f ’(t) · t', jika x digantikan oleh t(x).

Sebagai aturan, situasi dengan pemahaman rumus ini bahkan lebih menyedihkan daripada dengan turunan dari hasil bagi. Oleh karena itu, lebih baik menjelaskannya dengan contoh-contoh spesifik, dengan penjelasan rinci dari setiap langkah.

Tugas. Cari turunan fungsi: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = dosa ( x 2+ln x)

Perhatikan bahwa jika dalam fungsi f(x) alih-alih ekspresi 2 x+ 3 akan mudah x, maka kita mendapatkan fungsi dasar f(x) = e x. Oleh karena itu, kami membuat substitusi: biarkan 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Kami mencari turunan dari fungsi kompleks dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Dan sekarang - perhatian! Melakukan substitusi terbalik: t = 2x+ 3. Kami mendapatkan:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Sekarang mari kita lihat fungsinya g(x). Jelas perlu diganti. x 2+ln x = t. Kita punya:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (sin t)’ · t' = cos t · t ’

Penggantian terbalik: t = x 2+ln x. Kemudian:

g ’(x) = cos( x 2+ln x) · ( x 2+ln x)' = cos ( x 2+ln x) · (2 x + 1/x).

Itu saja! Seperti yang dapat dilihat dari ekspresi terakhir, seluruh masalah telah direduksi menjadi menghitung turunan dari jumlah tersebut.

Menjawab:
f ’(x) = 2 e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) karena( x 2+ln x).

Sangat sering dalam pelajaran saya, alih-alih istilah "turunan", saya menggunakan kata "goresan". Misalnya, jumlah pukulan sama dengan jumlah pukulan. Apakah itu lebih jelas? Itu bagus.

Dengan demikian, perhitungan turunan turun untuk menghilangkan pukulan ini sesuai dengan aturan yang dibahas di atas. Sebagai contoh terakhir, mari kembali ke pangkat turunan dengan eksponen rasional:

(x n)’ = n · x n − 1

Sedikit yang tahu itu dalam peran n mungkin bilangan pecahan. Misalnya, akarnya adalah x 0,5 . Tetapi bagaimana jika ada sesuatu yang rumit di bawah root? Sekali lagi, fungsi yang kompleks akan muncul - mereka suka memberikan konstruksi seperti itu dalam tes dan ujian.

Tugas. Cari turunan dari suatu fungsi:

Pertama, mari kita tulis ulang akarnya sebagai pangkat dengan eksponen rasional:

f(x) = (x 2 + 8x − 7) 0,5 .

Sekarang kita membuat substitusi: mari x 2 + 8x − 7 = t. Kami menemukan turunan dengan rumus:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t 0,5 t ’.

Kami membuat substitusi terbalik: t = x 2 + 8x 7. Kami memiliki:

f ’(x) = 0,5 ( x 2 + 8x 7) 0,5 ( x 2 + 8x 7)' = 0,5 (2 x+ 8) ( x 2 + 8x − 7) −0,5 .

Akhirnya, kembali ke akar:

Lampiran

Solusi turunan ke situs untuk mengkonsolidasikan materi yang dicakup oleh siswa dan anak sekolah. Menghitung turunan suatu fungsi dalam beberapa detik tidaklah sulit jika Anda menggunakan layanan pemecahan masalah online kami. Setiap siswa ketiga akan dapat memberikan analisis rinci untuk studi menyeluruh dalam pelajaran praktis. Seringkali kami didekati oleh departemen departemen terkait untuk mempromosikan matematika di lembaga pendidikan negara. Bagaimana, dalam hal ini, belum lagi solusi turunan online untuk ruang tertutup barisan numerik. Banyak orang kaya diizinkan untuk mengekspresikan kebingungan mereka. Tapi sementara itu, matematikawan tidak duduk diam dan bekerja keras. Perubahan parameter input menurut karakteristik linier akan diterima oleh kalkulator turunan terutama karena suprema posisi menurun kubus. Hasilnya tidak bisa dihindari sebagai permukaan. Sebagai data awal, turunan online menghilangkan kebutuhan untuk mengambil langkah-langkah yang tidak perlu. Kecuali untuk pekerjaan rumah fiktif. Selain fakta bahwa menyelesaikan turunan secara online merupakan aspek penting dan perlu dalam pembelajaran matematika, siswa sering kali tidak mengingat masalah di masa lalu. Siswa, seperti makhluk malas, memahami hal ini. Tapi siswa adalah orang-orang yang lucu! Entah melakukannya sesuai aturan, atau turunan dari fungsi pada bidang miring dapat memberikan percepatan ke titik material. Mari kita arahkan vektor berkas spasial turun ke suatu tempat. Dalam jawaban yang diinginkan, menemukan turunan tampaknya menjadi arah teoritis abstrak karena ketidakstabilan sistem matematika. Pikirkan rasio angka sebagai urutan opsi yang tidak digunakan. Saluran komunikasi diisi ulang dengan baris kelima di sepanjang vektor turun dari titik bifurkasi tertutup kubus. Di bidang ruang melengkung, memecahkan turunan online membawa kita pada kesimpulan yang membuat pemikir terbesar planet ini berpikir di abad terakhir. Dalam perjalanan peristiwa dari bidang matematika, lima faktor fundamental penting yang berkontribusi terhadap peningkatan posisi pilihan variabel yang dibawa untuk diskusi publik. Jadi hukum poin mengatakan bahwa turunan online tidak dihitung secara rinci dalam setiap kasus, pengecualian hanya dapat menjadi momen kemajuan yang setia. Ramalan itu membawa kita ke babak baru perkembangan. Kami membutuhkan hasil. Pada garis kemiringan matematis yang dilewati di bawah permukaan, kalkulator turunan mode berada di daerah perpotongan hasil kali pada himpunan tikungan. Tetap menganalisis diferensiasi fungsi pada titik independennya di dekat lingkungan epsilon. Hal ini dapat dilihat oleh semua orang dalam praktek. Akibatnya, akan ada sesuatu yang harus diputuskan pada tahap pemrograman selanjutnya. Siswa membutuhkan turunan online seperti biasa, terlepas dari studi imajiner yang dipraktikkan. Ternyata solusi online dari fungsi turunan dikalikan dengan konstanta tidak mengubah arah umum gerak titik material, tetapi mencirikan peningkatan kecepatan dalam garis lurus. Dalam hal ini, akan berguna untuk menerapkan kalkulator turunan kami dan menghitung semua nilai fungsi pada seluruh rangkaian definisinya. Tidak perlu mempelajari gelombang gaya medan gravitasi. Dalam kasus apa pun solusi turunan online tidak akan menunjukkan kemiringan berkas keluar, tetapi hanya dalam kasus yang jarang terjadi, ketika benar-benar diperlukan, mahasiswa dapat membayangkan hal ini. Kami menyelidiki kepala sekolah. Nilai rotor terkecil dapat diprediksi. Terapkan ke hasil garis yang melihat ke kanan, di mana bola dijelaskan, tetapi kalkulator turunan online adalah dasar untuk angka kekuatan khusus dan ketergantungan non-linier. Laporan proyek matematika sudah siap. Ciri-ciri pribadi selisih bilangan terkecil dan turunan fungsi sepanjang sumbu y akan membawa kecekungan fungsi yang sama ke ketinggian. Ada arah - ada kesimpulan. Lebih mudah menerapkan teori ke dalam praktik. Ada usulan dari mahasiswa tentang waktu dimulainya studi. Butuh jawaban guru. Sekali lagi, seperti pada posisi sebelumnya, sistem matematika tidak diatur berdasarkan tindakan yang akan membantu menemukan turunan. Seperti versi semi-linier bawah, turunan online akan menunjukkan secara rinci identifikasi solusi sesuai dengan hukum bersyarat yang merosot. Kemukakan saja ide menghitung rumus. Diferensiasi linier suatu fungsi menolak kebenaran solusi dengan hanya meletakkan variasi positif yang tidak relevan. Pentingnya tanda-tanda perbandingan akan dianggap sebagai pemutusan fungsi yang berkelanjutan di sepanjang sumbu. Ini adalah pentingnya kesimpulan yang paling sadar, menurut siswa, di mana turunan online adalah sesuatu selain contoh setia dari analisis matematis. Jari-jari lingkaran melengkung di ruang Euclidean, sebaliknya, memberikan kalkulator turunan representasi alami dari pertukaran masalah yang menentukan untuk stabilitas. Metode terbaik telah ditemukan. Lebih mudah untuk menaikkan level tugas. Biarkan penerapan proporsi perbedaan independen mengarah ke solusi turunan online. Solusinya berputar di sekitar sumbu x, menggambarkan sosok lingkaran. Ada jalan keluar, dan itu didasarkan pada penelitian yang secara teoritis didukung oleh mahasiswa, yang dipelajari semua orang, dan bahkan pada saat itu ada turunan dari fungsi. Kami menemukan cara untuk kemajuan dan para siswa mengkonfirmasinya. Kita dapat menemukan turunannya tanpa melampaui pendekatan yang tidak wajar untuk mengubah sistem matematika. Tanda proporsional kiri tumbuh secara eksponensial sebagai representasi matematis dari kalkulator turunan online karena keadaan pengali linier yang tidak diketahui pada sumbu y tak terhingga. Matematikawan di seluruh dunia telah membuktikan eksklusivitas proses produksi. Ada persegi terkecil di dalam lingkaran sesuai dengan deskripsi teori. Sekali lagi, turunan online akan menguraikan tebakan kami tentang apa yang mungkin telah memengaruhi pendapat yang disempurnakan secara teoritis di tempat pertama. Ada pendapat yang sifatnya berbeda dari laporan yang kami analisis. Perhatian yang terpisah mungkin tidak terjadi pada mahasiswa fakultas kita, tetapi hanya tidak pada matematikawan yang cerdas dan mahir di mana pembedaan suatu fungsi hanyalah sebuah alasan. Arti mekanis dari turunannya sangat sederhana. Gaya angkat dihitung sebagai turunan online untuk ruang tunak yang miring ke bawah dalam waktu. Jelas, kalkulator derivatif adalah proses yang ketat untuk menggambarkan masalah degenerasi transformasi buatan sebagai tubuh amorf. Turunan pertama berbicara tentang perubahan gerakan titik material. Ruang tiga dimensi jelas diamati dalam konteks teknologi yang dilatih khusus untuk menyelesaikan turunan online, pada kenyataannya itu ada di setiap kolokium tentang topik disiplin matematika. Turunan kedua mencirikan perubahan kecepatan titik material dan menentukan percepatan. Pendekatan meridian berdasarkan penggunaan transformasi affine mengambil turunan dari suatu fungsi pada suatu titik dari domain fungsi ini ke tingkat yang baru. Kalkulator derivatif online tidak dapat tanpa angka dan simbol dalam beberapa kasus untuk momen eksekusi yang tepat, kecuali untuk pengaturan yang dapat diubah dari hal-hal tugas. Anehnya, ada percepatan kedua dari titik material, ini mencirikan perubahan percepatan. Dalam waktu singkat, kami akan mulai mempelajari solusi turunan secara online, tetapi segera setelah tonggak pengetahuan tertentu tercapai, siswa kami akan menghentikan proses ini. Cara terbaik untuk berjejaring adalah mengobrol langsung tentang topik matematika. Ada prinsip yang tidak boleh dilanggar dalam keadaan apa pun, sesulit apa pun tugasnya. Sangat berguna untuk menemukan turunan online tepat waktu dan tanpa kesalahan. Ini akan mengarah pada posisi baru ekspresi matematika. Sistemnya stabil. Makna fisik dari turunan tidak sepopuler yang mekanis. Tidak mungkin ada yang ingat bagaimana turunan online memunculkan secara rinci di pesawat garis besar garis fungsi ke normal dari segitiga yang berdekatan dengan sumbu x. Manusia layak mendapat peran besar dalam penelitian abad terakhir. Mari kita lakukan dalam tiga tahap dasar diferensiasi fungsi di titik, baik dari domain definisi maupun di tak hingga. Ini akan ditulis hanya di bidang studi, tetapi dapat menggantikan vektor utama dalam matematika dan teori bilangan, segera setelah apa yang terjadi akan menghubungkan kalkulator turunan online dengan masalah. Akan ada alasan, tetapi akan ada alasan untuk menyusun persamaan. Sangat penting untuk mengingat semua parameter input. Yang terbaik tidak selalu diambil secara langsung, di balik ini ada sejumlah besar tenaga kerja dari para pemikir terbaik yang tahu bagaimana turunan online dihitung di luar angkasa. Sejak itu, konveksitas telah dianggap sebagai properti dari fungsi kontinu. Namun, lebih baik untuk terlebih dahulu mengatur tugas menyelesaikan turunan online dalam waktu sesingkat mungkin. Dengan demikian solusinya akan lengkap. Selain norma-norma yang tidak terpenuhi, hal ini dianggap tidak cukup. Awalnya, hampir setiap siswa mengusulkan untuk mengajukan metode sederhana tentang bagaimana turunan dari suatu fungsi menyebabkan algoritma pertumbuhan yang kontroversial. Ke arah balok naik. Ini masuk akal sebagai posisi umum. Sebelumnya, mereka menandai awal dari penyelesaian tindakan matematika tertentu, tetapi hari ini sebaliknya. Mungkin solusi dari turunan online akan mengangkat masalah lagi dan kami akan menerima pendapat umum tentang pelestariannya pada diskusi pertemuan guru. Kami mengharapkan pengertian dari semua pihak peserta rapat. Makna logisnya terkandung dalam deskripsi kalkulator turunan dalam resonansi angka tentang urutan penyajian pemikiran masalah, yang dijawab pada abad terakhir oleh para ilmuwan besar dunia. Ini akan membantu untuk mengekstrak variabel kompleks dari ekspresi yang dikonversi dan menemukan turunan online untuk melakukan tindakan besar-besaran dari jenis yang sama. Kebenaran jauh lebih baik daripada dugaan. Nilai terkecil dalam tren. Hasilnya tidak akan lama datang ketika menggunakan layanan unik untuk lokasi yang paling akurat, yang ada turunan online secara detail. Secara tidak langsung, tetapi to the point, seperti yang dikatakan seorang bijak, kalkulator derivatif online dibuat atas permintaan banyak siswa dari berbagai kota di serikat pekerja. Jika ada perbedaan, lalu mengapa memutuskan dua kali. Vektor yang diberikan terletak pada sisi yang sama dengan normal. Di pertengahan abad yang lalu, diferensiasi suatu fungsi sama sekali tidak dirasakan seperti sekarang ini. Berkat perkembangan yang sedang berlangsung, matematika online telah muncul. Seiring waktu, siswa lupa untuk memberikan penghargaan pada disiplin matematika. Solusi dari turunan online akan menantang tesis kami, yang seharusnya didasarkan pada penerapan teori, didukung oleh pengetahuan praktis. Akan melampaui nilai faktor presentasi yang ada dan menulis rumus dalam bentuk eksplisit untuk fungsi tersebut. Kebetulan Anda perlu menemukan turunan online sekarang tanpa menggunakan kalkulator apa pun, namun Anda selalu dapat menggunakan trik siswa dan masih menggunakan layanan seperti situs web. Dengan demikian, siswa akan menghemat banyak waktu untuk menyalin contoh dari draft notebook ke dalam bentuk akhir. Jika tidak ada kontradiksi, maka gunakan layanan solusi langkah demi langkah untuk contoh kompleks seperti itu.