Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Teori tentang topik: "Pemecahan masalah untuk kepentingan."

Tipe 1: Ubah persen ke desimal. persentase pecahan A% A dibagi 100 Tugas: 20%; 75%; 125%; 50%; 40%; 1%; 70%; 35%; 80%.... Isi tabel 1% 5% 10% 20% 25% 50% 75% 100%

Tipe 2: Mengonversi pecahan menjadi persentase. angka persentase A A kali 100% Ubah pecahan menjadi persentase: 3/4; 0,07; 2.4. (GIA, tugas tematik) Cocokkan pecahan yang menyatakan bagian dari nilai tertentu, dan persentase yang sesuai dengannya. A.1/4; B) 3/5; C) 0,5; D) 0,05 1) 5%; 2) 25%; 3) 50%; 4) 60% Jawaban: A B C D

Tipe 3: Menemukan persentase angka. X% dari A 1) X% direpresentasikan sebagai pecahan desimal 2) Angka A dikalikan dengan pecahan desimal. Tugas adalah contoh. Dalam sebulan, perusahaan memproduksi 500 perangkat. 20% dari perangkat yang diproduksi gagal melewati kontrol kualitas. Berapa banyak perangkat yang gagal dalam kontrol kualitas? Keputusan. Anda perlu menemukan 20% dari total jumlah perangkat yang diproduksi (500). 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 dari jumlah total perangkat yang diproduksi tidak lulus kontrol kualitas.

Tipe 4: Temukan angka berdasarkan persentasenya. Dan ini adalah X%: 1) X% direpresentasikan sebagai pecahan desimal 2) A dibagi dengan pecahan desimal. Tugas adalah contoh. Mempersiapkan ujian, siswa menyelesaikan 38 tugas dari manual untuk belajar sendiri. Yang merupakan 25% dari jumlah semua tugas di manual. Berapa banyak tugas yang dikumpulkan dalam manual belajar mandiri ini? Keputusan. Kami tidak tahu berapa banyak tugas yang ada di manual. Tetapi di sisi lain, kita tahu bahwa 38 tugas adalah 25% dari jumlah totalnya. 25%=0.25 38/0.25 = 152. Ada 152 soal dalam kumpulan ini.

Tipe 5: Temukan persentase dua angka. nomor A dan B. Berapa % B dari A? 1) B / A 2) Kalikan hasil bagi yang dihasilkan dengan 100% Tugas adalah sampel. Ada 30 siswa di kelas. 15 di antaranya adalah perempuan. Berapa persentase anak perempuan di kelas? Keputusan. Untuk mengetahui berapa persentase satu angka dari yang lain, Anda memerlukan angka yang ingin Anda temukan, bagi dengan jumlah total dan kalikan dengan 100%. Jadi, 1) 15 / 30 = 0,5 2) 0,5 * 100% = 50% Tugas adalah sampel. Selama 1 jam, mesin otomatis menghasilkan 240 bagian. Setelah rekonstruksi mesin ini, ia mulai memproduksi 288 suku cadang yang sama per jam. Berapa persen produktivitas mesin meningkat? Keputusan. Produktivitas mesin meningkat 288-240=48 bagian per jam. Anda perlu mencari tahu berapa persen dari 240 bagian adalah 48 bagian. Untuk mengetahui berapa persen angka 48 dari angka 240, Anda harus membagi angka 48 dengan 240 dan mengalikan hasilnya dengan 100%. 48/240 *100% =20% Jawaban: produktivitas mesin meningkat 20%

Ketik 6: Tingkatkan jumlahnya dengan persentase. Kurangi jumlahnya dengan persentase. A adalah angka; meningkat sebesar X%, maka telah meningkat (1 + x / 100) kali. : 1) bilangan A dikalikan 2) (1 + x / 100). Tugas adalah contoh. . Dalam ujian matematika tahun lalu, 140 siswa SMA mendapat nilai A. Tahun ini jumlah siswa berprestasi meningkat 15%. Berapa banyak orang yang mendapat nilai A pada ujian matematika mereka tahun ini? Keputusan. 140 * (1 + 15/100) = 161. A - angka; kita turunkan X%, lalu berkurang (1 - x / 100) kali. : 1) bilangan A dikalikan 2) (1 - x / 100). Tugas adalah contoh. Setahun yang lalu, 100 anak lulus sekolah. Dan tahun ini ada 25% lebih sedikit lulusan. Berapa banyak lulusan tahun ini? Keputusan. 100 * (1 - 25/100) = 75.

Type7: Konsentrasi Solusi. Tugas adalah contoh. Satu kilogram garam dilarutkan dalam 9 liter air. Berapa konsentrasi larutan yang dihasilkan? (Massa 1 liter air adalah 1 kg) (Peterson 6 sel) Solusi 1) Massa zat terlarut adalah 1 kg 2) Massa seluruh larutan 1 + 9 \u003d 10 (kg) 9 kg adalah massa air dalam larutan (jangan bingung dengan massa total larutan ) 3) 1/10 * 100% \u003d 10% 10% - konsentrasi larutan

Tipe 8: Persentase logam dalam paduan. Tugas - sampel 1. Ada sepotong paduan tembaga dan timah dengan massa total 12 kg, mengandung 45% tembaga. Berapa banyak timah murni yang harus ditambahkan ke potongan paduan ini sehingga paduan yang dihasilkan mengandung 40% tembaga? Solusi.1)12 . 0,45= 5,4 (kg) - tembaga murni dalam paduan pertama; 2) 5,4: 0,4= 13,5 (kg) - berat paduan baru; 3) 13,5- 12 = 1,5 (kg) timah. Jawab: Anda membutuhkan 1,5 kg timah.

Tugas - sampel 2. Ada dua paduan, terdiri dari tembaga, seng dan timah. Diketahui bahwa paduan pertama mengandung 40% timah, dan yang kedua - 26% tembaga. Persentase seng pada paduan pertama dan kedua adalah sama. Setelah melelehkan 150 kg paduan pertama dan 250 kg yang kedua, paduan baru diperoleh, di mana 30% seng ternyata. Tentukan berapa kilogram timah yang terkandung dalam paduan baru yang dihasilkan. Karena persentase seng pada paduan pertama dan kedua sama dan pada paduan ketiga ternyata 30%, maka pada paduan pertama dan kedua persentase seng adalah 30%. 250 * 0,3 \u003d 75 (kg) - seng dalam paduan kedua; 250 * 0,26 \u003d 65 (kg) - tembaga dalam paduan kedua; 250-(75+65)= 110 (kg) timah pada paduan kedua; 150 . 0,4= 60 (kg) - timah dalam paduan pertama; 110 + 60 = 170 (kg) - timah di paduan ketiga. Jawab: 170kg. 1 paduan 2 paduan Paduan baru (3) Tembaga 26% Seng 30% 30% 30% Timah 40% ?kg berat 150kg 250kg 150+250=400

Tipe 9: Pada "bahan kering". Hampir semua produk - apel, semangka, jamur, kentang, sereal, roti, dll. terdiri dari air dan bahan kering. Selain itu, makanan segar dan kering mengandung air. Selama proses pengeringan, hanya air yang menguap, dan massa bahan kering tidak berubah. A.G. Mordkovich "Matematika 6" Soal No. 362 Soalnya adalah sampel. Jamur segar mengandung 90% air, dan dikeringkan - 15%. Berapa banyak jamur kering yang akan diperoleh dari 17 kg jamur segar? Berapa banyak jamur segar yang perlu Anda ambil untuk mendapatkan 3,4 kg jamur kering? Keputusan. Buatlah tabel: 1 bagian dari soal: zat Massa zat (kg) Persentase air Persentase bahan kering Massa bahan kering (kg) Jamur segar 17kg 90% 10% 17*0,1=1,7 Jamur kering X kg 15% 85% X * o.85 \u003d 0,85x Karena massa bahan kering dalam jamur kering dan segar tetap tidak berubah, kita mendapatkan persamaan: 0,85x \u003d 1,7, x \u003d 1,7: 0,85, x \u003d 2.

Bagian 2 dari soal: Zat Massa zat (kg) Persentase air Persentase air Massa zat kering (kg) Jamur segar 90% 10% 0,1х Jamur kering 3,4 15% 85% 3,4*0,85=2 ,89 0,1x = 2,89, x = 2,89: 0,1, x = 28,9. Jawaban: dari 17 kg jamur segar Anda mendapatkan 2 kg jamur kering; untuk mendapatkan 3,4 kg jamur kering, Anda perlu mengambil 28,9 kg jamur segar.

Hari ini kita akan menyimpang sedikit dari logaritma standar, integral, trigonometri, dll., dan bersama-sama kita akan mempertimbangkan tugas yang lebih penting dari Unified State Examination dalam matematika, yang secara langsung terkait dengan ekonomi berbasis sumber daya Rusia yang terbelakang. Dan lebih tepatnya, kami akan mempertimbangkan masalah simpanan, bunga dan pinjaman. Karena itu adalah tugas-tugas dengan persentase yang baru-baru ini ditambahkan ke bagian kedua dari ujian negara terpadu dalam matematika. Saya akan segera membuat reservasi bahwa untuk memecahkan masalah ini, sesuai dengan spesifikasi Unified State Examination, tiga poin utama ditawarkan sekaligus, yaitu penguji menganggap tugas ini salah satu yang paling sulit.

Pada saat yang sama, untuk menyelesaikan tugas-tugas ini dari Unified State Examination dalam matematika, Anda hanya perlu mengetahui dua formula, yang masing-masing cukup dapat diakses oleh lulusan sekolah mana pun, namun, untuk alasan yang saya tidak mengerti, formula ini sama sekali diabaikan baik oleh guru sekolah maupun penyusun berbagai tugas untuk persiapan menghadapi ujian. Oleh karena itu, hari ini saya tidak hanya akan memberi tahu Anda apa rumus-rumus ini dan bagaimana menerapkannya, tetapi saya akan menyimpulkan setiap rumus ini secara harfiah di depan mata Anda, mengambil tugas-tugas dasar dari bank USE terbuka dalam matematika.

Karena itu, pelajarannya ternyata cukup banyak, cukup bermakna, jadi buat diri Anda nyaman, dan kita mulai.

Menaruh uang di bank

Pertama-tama, saya ingin membuat penyimpangan liris kecil terkait dengan keuangan, bank, pinjaman, dan deposito, yang dengannya kita akan mendapatkan formula yang akan kita gunakan untuk menyelesaikan masalah ini. Jadi, mari kita menyimpang sedikit dari ujian, dari masalah sekolah yang akan datang, dan melihat ke masa depan.

Katakanlah Anda sudah dewasa dan akan membeli apartemen. Katakanlah Anda tidak akan membeli apartemen buruk di pinggiran kota, tetapi apartemen berkualitas baik seharga 20 juta rubel. Pada saat yang sama, mari kita asumsikan juga bahwa Anda mendapatkan pekerjaan yang kurang lebih normal dan menghasilkan 300 ribu rubel sebulan. Dalam hal ini, untuk tahun ini Anda dapat menghemat sekitar tiga juta rubel. Tentu saja, menghasilkan 300 ribu rubel sebulan, untuk tahun ini Anda akan mendapatkan jumlah yang sedikit lebih besar - 3.600.000 - tetapi biarkan 600.000 ini dihabiskan untuk makanan, pakaian, dan kesenangan rumah tangga sehari-hari lainnya. Total input data adalah sebagai berikut: perlu untuk mendapatkan dua puluh juta rubel, sementara yang kami miliki hanya tiga juta rubel setahun. Sebuah pertanyaan alami muncul: berapa tahun kita perlu menyisihkan tiga juta untuk mendapatkan dua puluh juta yang sama ini. Itu dianggap dasar:

\[\frac(20)(3)=6,....\ke 7\]

Namun, seperti yang telah kami catat, Anda mendapatkan 300 ribu rubel sebulan, yang berarti Anda adalah orang pintar dan tidak akan menyimpan uang "di bawah bantal", tetapi bawa ke bank. Dan, oleh karena itu, setiap tahun pada setoran yang Anda bawa ke bank, bunga akan dikenakan. Katakanlah Anda memilih bank yang andal, tetapi pada saat yang sama kurang lebih menguntungkan, dan karena itu simpanan Anda akan tumbuh sebesar 15% per tahun setiap tahun. Dengan kata lain, kami dapat mengatakan bahwa jumlah di akun Anda akan meningkat 1,15 kali setiap tahun. Mari saya ingatkan rumusnya:

Mari kita hitung berapa banyak uang yang akan ada di akun Anda setelah setiap tahun:

Pada tahun pertama, ketika Anda baru mulai menabung, tidak ada bunga yang terakumulasi, yaitu, pada akhir tahun Anda akan menghemat tiga juta rubel:

Pada akhir tahun kedua, bunga akan diperoleh dari tiga juta rubel yang tersisa dari tahun pertama, mis. kita perlu mengalikannya dengan 1,15. Namun, selama tahun kedua, Anda juga melaporkan tiga juta rubel lagi. Tentu saja, tiga juta ini belum memperoleh bunga, karena pada akhir tahun kedua, tiga juta ini baru muncul di rekening:

Jadi, tahun ketiga. Pada akhir tahun ketiga, bunga akan diperoleh dari jumlah ini, yaitu, perlu untuk mengalikan seluruh jumlah ini dengan 1,15. Dan lagi, sepanjang tahun Anda bekerja keras dan menyisihkan tiga juta rubel:

\[\kiri(3m\cdot 1,15+3m \kanan)\cdot 1,15+3m\]

Mari kita hitung tahun keempat lagi. Sekali lagi, seluruh jumlah yang kami miliki pada akhir tahun ketiga dikalikan dengan 1,15, yaitu. Bunga akan dibebankan pada seluruh jumlah. Ini termasuk bunga atas bunga. Dan tiga juta lebih ditambahkan ke jumlah ini, karena selama tahun keempat Anda juga bekerja dan juga menabung:

\[\kiri(\kiri(3m\cdot 1,15+3m \kanan)\cdot 1,15+3m \kanan)\cdot 1,15+3m\]

Dan sekarang mari kita buka tanda kurung dan lihat berapa jumlah tabungan yang akan kita miliki pada akhir tahun keempat:

\[\begin(align)& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left( 3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m \kanan)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot ((1,15)^(3 ))+3m\cdot ((1,15)^(2))+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\kiri(((1,15)^(3))+((1 ,15)^(2))+1,15+1 \kanan)= \\& =3m\kiri(1+1,15+((1,15)^(2))+((1,15) ^(3)) \kanan) \\\end(sejajarkan)\]

Seperti yang Anda lihat, dalam tanda kurung kita memiliki elemen deret geometri, yaitu kita memiliki jumlah elemen deret geometri.

Izinkan saya mengingatkan Anda bahwa jika barisan geometri diberikan oleh elemen $((b)_(1))$, serta penyebut $q$, maka jumlah elemen akan dihitung menggunakan rumus berikut:

Rumus ini harus diketahui dan diterapkan dengan jelas.

Harap dicatat: rumusnya n elemen th terdengar seperti ini:

\[((b)_(n))=((b)_(1))\cdot ((q)^(n-1))\]

Karena gelar ini, banyak siswa yang bingung. Secara total, kami baru saja n untuk jumlah n- elemen, dan n-elemen memiliki derajat $n-1$. Dengan kata lain, jika sekarang kita mencoba menghitung jumlah barisan geometri, maka kita perlu mempertimbangkan hal berikut:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1 \\& q=1,15 \\\end(align)\]

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(((1,15)^(4))-1)(1,15-1)\]

Mari kita hitung pembilangnya secara terpisah:

\[((1,15)^(4))=((\left((((1,15)^(2)) \kanan))^(2))=((\left(1,3225 \kanan ))^(2))=1,74900625\kira-kira 1,75\]

Secara total, kembali ke jumlah deret geometri, kita mendapatkan:

\[((S)_(4))=1\cdot \frac(1.75-1)(0.15)=\frac(0.75)(0.15)=\frac(75)(15 )=5\]

Hasilnya, kami mendapatkan bahwa dalam empat tahun tabungan, jumlah awal kami tidak akan meningkat empat kali lipat, seolah-olah kami tidak menyimpan uang di bank, tetapi lima kali, yaitu lima belas juta. Mari kita tulis secara terpisah:

4 tahun → 5 kali

Ke depan, saya akan mengatakan bahwa jika kita telah menabung bukan selama empat tahun, tetapi selama lima tahun, maka sebagai hasilnya, jumlah tabungan kita akan meningkat 6,7 kali:

5 tahun → 6,7 kali

Dengan kata lain, pada akhir tahun kelima, kami akan memiliki jumlah berikut di akun:

Artinya, pada akhir tahun kelima tabungan, dengan mempertimbangkan bunga deposito, kami akan menerima lebih dari dua puluh juta rubel. Dengan demikian, total tabungan dari bunga bank akan berkurang dari hampir tujuh tahun menjadi lima tahun, yaitu hampir dua tahun.

Jadi, meskipun fakta bahwa bank membebankan bunga yang cukup rendah pada simpanan kami (15%), setelah lima tahun, 15% yang sama ini memberikan peningkatan yang secara signifikan melebihi pendapatan tahunan kami. Pada saat yang sama, efek pengganda utama terjadi dalam beberapa tahun terakhir dan bahkan, pada tahun terakhir tabungan.

Mengapa saya menulis semua ini? Tentu saja, agar tidak mengganggu Anda untuk membawa uang ke bank. Karena jika Anda benar-benar ingin meningkatkan tabungan Anda, maka Anda perlu menginvestasikannya bukan di bank, tetapi di bisnis nyata, di mana persentase yang sama, yaitu profitabilitas dalam kondisi ekonomi Rusia, jarang turun di bawah 30%, yaitu dua kali. sebanyak deposito bank.

Tetapi yang benar-benar berguna dalam semua alasan ini adalah formula yang memungkinkan kita menemukan jumlah akhir setoran melalui jumlah pembayaran tahunan, serta melalui bunga yang dibebankan bank. Jadi mari kita menulis:

\[\text(Vklad)=\text(platezh)\frac(((\text(%))^(n))-1)(\text(%)-1)\]

Dengan sendirinya, % dihitung menggunakan rumus berikut:

Rumus ini juga perlu diketahui, begitu juga dengan rumus dasar besaran iuran. Dan, pada gilirannya, formula utama dapat secara signifikan mengurangi perhitungan dalam masalah-masalah dengan persentase di mana diperlukan untuk menghitung kontribusi.

Mengapa menggunakan rumus daripada tabel?

Mungkin banyak yang bertanya, mengapa semua kesulitan ini, apakah mungkin untuk menulis setiap tahun di tablet, seperti yang mereka lakukan di banyak buku teks, menghitung setiap tahun secara terpisah, dan kemudian menghitung jumlah total kontribusi? Tentu saja, Anda biasanya dapat melupakan jumlah deret geometri dan menghitung semuanya menggunakan tablet klasik - ini dilakukan di sebagian besar koleksi untuk mempersiapkan ujian. Namun, pertama, volume perhitungan meningkat tajam, dan kedua, sebagai akibatnya, kemungkinan membuat kesalahan meningkat.

Dan secara umum, menggunakan tabel sebagai ganti formula yang luar biasa ini sama dengan menggali parit dengan tangan Anda di lokasi konstruksi daripada menggunakan ekskavator yang berdiri di dekatnya dan bekerja penuh.

Nah, atau sama saja dengan mengalikan lima dengan sepuluh tidak menggunakan tabel perkalian, tetapi menjumlahkan lima dengan dirinya sendiri sepuluh kali berturut-turut. Namun, saya sudah menyimpang, jadi saya akan mengulangi ide yang paling penting sekali lagi: jika ada cara untuk menyederhanakan dan mempersingkat perhitungan, maka ini adalah cara yang digunakan.

Bunga pinjaman

Kami menemukan simpanan, jadi kami beralih ke topik berikutnya, yaitu tentang bunga pinjaman.

Jadi, saat Anda menabung, merencanakan anggaran Anda dengan hati-hati, memikirkan apartemen masa depan Anda, teman sekelas Anda, dan sekarang seorang pengangguran sederhana, memutuskan untuk hidup hari ini dan hanya mengambil pinjaman. Pada saat yang sama, dia masih akan menggoda dan menertawakan Anda, kata mereka, dia memiliki telepon kredit dan mobil bekas, diambil secara kredit, dan Anda masih naik kereta bawah tanah dan menggunakan telepon tombol-tekan lama. Tentu saja, untuk semua "pameran" murahan ini, mantan teman sekelas Anda harus membayar mahal. Betapa mahalnya - inilah yang akan kami hitung sekarang.

Pertama, perkenalan singkat. Katakanlah mantan teman sekelas Anda mengambil dua juta rubel secara kredit. Pada saat yang sama, menurut kontrak, ia harus membayar x rubel per bulan. Katakanlah dia mengambil pinjaman pada tingkat 20% per tahun, yang dalam kondisi saat ini terlihat cukup baik. Juga, asumsikan bahwa jangka waktu pinjaman hanya tiga bulan. Mari kita coba menghubungkan semua besaran ini dalam satu rumus.

Jadi, pada awalnya, begitu mantan teman sekelas Anda meninggalkan bank, dia memiliki dua juta di sakunya, dan ini adalah hutangnya. Pada saat yang sama, bukan satu tahun telah berlalu, dan bukan sebulan, tetapi ini baru permulaan:

Kemudian, setelah satu bulan, bunga akan bertambah dari jumlah yang terutang. Seperti yang sudah kita ketahui, untuk menghitung bunga, cukup dengan mengalikan hutang awal dengan koefisien, yang dihitung menggunakan rumus berikut:

Dalam kasus kami, kami berbicara tentang tarif 20% per tahun, yaitu, kami dapat menulis:

Ini adalah rasio jumlah yang akan dibebankan per tahun. Namun, teman sekelas kami tidak terlalu pintar dan dia tidak membaca kontrak, dan sebenarnya dia diberi pinjaman tidak sebesar 20% per tahun, tetapi sebesar 20% per bulan. Dan pada akhir bulan pertama, bunga akan dikenakan pada jumlah ini, dan itu akan meningkat 1,2 kali lipat. Segera setelah itu, orang tersebut harus membayar jumlah yang disepakati, yaitu x rubel per bulan:

\[\kiri(2m\cdot 1,2-x\kanan)\cdot 1,2-x\]

Dan lagi, anak laki-laki kami melakukan pembayaran dalam jumlah $x$ rubel.

Kemudian, pada akhir bulan ketiga, jumlah utangnya meningkat lagi sebesar 20%:

\[\kiri(\kiri(2m\cdot 1,2- x\kanan)\cdot 1,2- x\kanan)1,2- x\]

Dan menurut syarat selama tiga bulan, ia harus membayar lunas, yaitu setelah melakukan pembayaran sepertiga terakhir, jumlah utangnya harus sama dengan nol. Kita dapat menulis persamaan ini:

\[\kiri(\kiri(2m\cdot 1,2- x\kanan)\cdot 1,2- x\kanan)1,2 - x=0\]

Mari kita putuskan:

\[\begin(align)& \left(2m\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m \cdot ((1,2)^(3))- x\cdot ((1,2)^(2))- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot ((1,2 )^(3))=\cdot ((1,2)^(2))+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot ((1,2)^(3))=\left((( 1,2)^(2))+1,2+1 \kanan) \\\end(align)\]

Di hadapan kita sekali lagi ada deret ukur, atau lebih tepatnya, jumlah dari tiga elemen deret geometri. Mari kita tulis ulang dalam urutan elemen:

Sekarang kita perlu menemukan jumlah dari tiga elemen deret geometri. Mari menulis:

\[\begin(align)& ((b)_(1))=1; \\& q=1,2 \\\end(align)\]

Sekarang mari kita cari jumlah dari deret geometri:

\[((S)_(3))=1\cdot \frac((((1,2)^(3))-1)(1,2-1)\]

Perlu diingat bahwa jumlah barisan geometri dengan parameter seperti itu $\left(((b)_(1));q \right)$ dihitung dengan rumus:

\[((S)_(n))=((b)_(1))\cdot \frac(((q)^(n))-1)(q-1)\]

Ini adalah rumus yang baru saja kita gunakan. Substitusikan rumus ini ke dalam ekspresi kita:

Untuk perhitungan lebih lanjut, kita perlu mencari tahu berapa nilai $((1,2)^(3))$. Sayangnya, dalam hal ini, kita tidak bisa lagi melukis seperti terakhir kali dalam bentuk persegi ganda, tetapi kita dapat menghitung seperti ini:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=((1,2)^(2))\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Kami menulis ulang ekspresi kami:

Ini adalah ekspresi linier klasik. Mari kita kembali ke rumus berikutnya:

Padahal, jika kita menggeneralisasikannya, kita akan mendapatkan formula yang menghubungkan bunga, pinjaman, pembayaran, dan persyaratan. Rumusnya seperti ini:

Ini dia, rumus terpenting dari pelajaran video hari ini, dengan bantuan yang setidaknya 80% dari semua tugas ekonomi dari Ujian Negara Bersatu dalam matematika di bagian kedua dipertimbangkan.

Paling sering, dalam tugas nyata, Anda akan dimintai pembayaran, atau lebih jarang untuk pinjaman, yaitu jumlah total hutang yang dimiliki teman sekelas kami di awal pembayaran. Dalam tugas yang lebih kompleks, Anda akan diminta untuk menemukan persentase, tetapi untuk tugas yang sangat kompleks, yang akan kami analisis dalam pelajaran video terpisah, Anda akan diminta untuk menemukan kerangka waktu di mana, dengan parameter pinjaman dan pembayaran yang diberikan, teman sekelas kami yang menganggur akan dapat melunasi bank sepenuhnya.

Mungkin seseorang sekarang akan berpikir bahwa saya adalah penentang sengit pinjaman, keuangan, dan sistem perbankan pada umumnya. Jadi, tidak ada yang seperti itu! Sebaliknya, saya percaya bahwa instrumen kredit sangat berguna dan penting bagi perekonomian kita, tetapi hanya dengan syarat bahwa pinjaman itu diambil untuk pengembangan bisnis. Dalam kasus ekstrem, Anda dapat mengambil pinjaman untuk membeli rumah, yaitu hipotek atau untuk perawatan medis darurat - itu saja, tidak ada alasan lain untuk mengambil pinjaman. Dan segala macam pengangguran yang mengambil pinjaman untuk membeli "pameran" dan pada saat yang sama tidak berpikir sama sekali tentang konsekuensi pada akhirnya dan menjadi penyebab krisis dan masalah dalam perekonomian kita.

Kembali ke topik pelajaran hari ini, saya ingin mencatat bahwa rumus yang menghubungkan pinjaman, pembayaran dan bunga ini juga perlu diketahui, serta jumlah deret geometri. Dengan bantuan rumus-rumus inilah masalah ekonomi nyata dari Unified State Examination dalam matematika diselesaikan. Nah, sekarang setelah Anda mengetahui semua ini dengan sangat baik, ketika Anda memahami apa itu pinjaman dan mengapa Anda tidak boleh mengambilnya, mari kita beralih ke pemecahan masalah ekonomi nyata dari Unified State Examination dalam matematika.

Kami memecahkan masalah nyata dari ujian matematika

Contoh 1

Jadi tugas pertama adalah:

Pada tanggal 31 Desember 2014, Alexei mengambil pinjaman dari bank sebesar 9.282.000 rubel dengan bunga 10% per tahun. Skema pembayaran pinjaman adalah sebagai berikut: pada tanggal 31 Desember setiap tahun berikutnya, bank memperoleh bunga atas sisa jumlah hutang (yaitu, meningkatkan hutang sebesar 10%), kemudian Alexey mentransfer X rubel ke bank. Berapakah jumlah X bagi Alexey untuk melunasi utang dalam empat pembayaran yang sama (yaitu selama empat tahun)?

Jadi, ini masalah pinjaman, jadi kami segera menuliskan rumus kami:

Kami tahu pinjamannya - 9.282.000 rubel.

Kami akan berurusan dengan persentase sekarang. Kita berbicara tentang 10% dari masalah. Oleh karena itu, kami dapat menerjemahkannya:

Kita dapat membuat persamaan:

Kami telah memperoleh persamaan linier biasa sehubungan dengan $x$, meskipun dengan koefisien yang cukup besar. Mari kita coba untuk menyelesaikannya. Pertama, mari kita cari ekspresi $((1,1)^(4))$:

$\begin(align)& ((1,1)^(4))=((\left(((1,1)^(2)) \kanan))^(2)) \\& 1,1 \cdot 1,1=1,21 \\& ((1,1)^(4))=1,4641 \\\end(align)$

Sekarang mari kita tulis ulang persamaannya:

\[\begin(align)& 928900\cdot 1,4641=x\cdot \frac(1,4641-1)(0,1) \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac(0, 4641)(0,1)|:10000 \\& 9282000\cdot \frac(14641)(10000)=x\cdot \frac(4641)(1000) \\& \frac(9282\cdot 14641)(10) =x\cdot \frac(4641)(1000)|:\frac(4641)(1000) \\& x=\frac(9282\cdot 14641)(10)\cdot \frac(1000)(4641) \\ & x=\frac(2\cdot 14641\cdot 1000)(10) \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end(align)\]\[\]

Itu saja, masalah kita dengan persentase terpecahkan.

Tentu saja, ini hanya tugas paling sederhana dengan persentase dari Unified State Examination dalam matematika. Dalam ujian nyata, kemungkinan besar tidak akan ada tugas seperti itu. Dan jika ya, anggap diri Anda sangat beruntung. Nah, bagi yang suka berhitung dan tidak suka mengambil risiko, mari kita beralih ke tugas selanjutnya yang lebih sulit.

Contoh #2

Pada tanggal 31 Desember 2014, Stepan meminjam 4.004.000 rubel dari bank dengan bunga 20% per tahun. Skema pembayaran pinjaman adalah sebagai berikut: pada tanggal 31 Desember setiap tahun berikutnya, bank dikenakan bunga atas sisa jumlah utang (yaitu, meningkatkan utang sebesar 20%), kemudian Stepan melakukan pembayaran ke bank. Stepan melunasi seluruh hutang dalam 3 pembayaran yang sama. Berapa rubel lebih sedikit yang akan dia berikan kepada bank jika dia dapat melunasi hutangnya dalam 2 pembayaran yang sama.

Sebelum kami adalah masalah tentang pinjaman, jadi kami menuliskan rumus kami:

\[\]\

Apa yang kita ketahui? Pertama, kita tahu total kreditnya. Kami juga tahu persentasenya. Mari kita cari rasionya:

Adapun $n$, Anda perlu hati-hati membaca kondisi masalah. Artinya, pertama-tama kita perlu menghitung berapa yang dia bayar selama tiga tahun, yaitu $n=3$, dan kemudian melakukan langkah yang sama lagi tetapi menghitung pembayaran selama dua tahun. Mari kita tulis persamaan untuk kasus di mana pembayaran dibayarkan selama tiga tahun:

Mari kita selesaikan persamaan ini. Tapi pertama-tama, mari kita cari ekspresi $((1,2)^(3))$:

\[\begin(align)& ((1,2)^(3))=1,2\cdot ((1,2)^(2)) \\& ((1,2)^(3)) =1,44\cdot 1,2 \\& ((1,2)^(3))=1,728 \\\end(align)\]

Kami menulis ulang ekspresi kami:

\[\begin(align)& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac(1,728-1)(0,2) \\& 4004000\cdot \frac(1728)(1000)=x\cdot \frac(728 )(200)|:\frac(728)(200) \\& x=\frac(4004\cdot 1728\cdot 200)(728) \\& x=\frac(4004\cdot 216\cdot 200)( 91) \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end(align)\]

Secara total, pembayaran kami adalah 1900800 rubel. Namun, perhatikan: dalam tugas, kami diminta untuk menemukan bukan pembayaran bulanan, tetapi berapa banyak Stepan akan membayar total untuk tiga pembayaran yang sama, yaitu, untuk seluruh periode penggunaan pinjaman. Oleh karena itu, nilai yang dihasilkan harus dikalikan tiga lagi. Mari berhitung:

Secara total, Stepan akan membayar 5.702.400 rubel untuk tiga pembayaran yang sama. Itu berapa biaya dia untuk menggunakan pinjaman selama tiga tahun.

Sekarang pertimbangkan situasi kedua, ketika Stepan menenangkan diri, bersiap-siap dan melunasi seluruh pinjaman tidak dalam tiga, tetapi dalam dua pembayaran yang sama. Kami menuliskan rumus yang sama:

\[\begin(align)& 4004000\cdot ((1,2)^(2))=x\cdot \frac((((1,2)^(2))-1)(1,2-1) \\& 4004000\cdot \frac(144)(100)=x\cdot \frac(11)(5)|\cdot \frac(5)(11) \\& x=\frac(40040\cdot 144\ cdot 5)(11) \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end(align)\]

Tapi bukan itu saja, karena sekarang kami hanya menghitung satu dari dua pembayaran, jadi total Stepan akan membayar tepat dua kali lipat:

Hebat, sekarang kita sudah dekat dengan jawaban akhir. Tetapi perhatikan: dalam hal apa pun kami belum menerima jawaban akhir, karena selama tiga tahun pembayaran Stepan akan membayar 5.702.400 rubel, dan selama dua tahun pembayaran ia akan membayar 5.241.600 rubel, yaitu, sedikit lebih sedikit. Kurang berapa? Untuk mengetahuinya, Anda perlu mengurangi jumlah pembayaran kedua dari jumlah pembayaran pertama:

Total jawaban akhir adalah 460.800 rubel. Berapa tepatnya Stepan akan menghemat jika dia membayar bukan tiga tahun, tetapi dua.

Seperti yang Anda lihat, rumus yang menghubungkan bunga, persyaratan, dan pembayaran sangat menyederhanakan perhitungan dibandingkan dengan tabel klasik dan, sayangnya, untuk alasan yang tidak diketahui, sebagian besar kumpulan masalah, bagaimanapun, masih menggunakan tabel.

Secara terpisah, saya ingin menarik perhatian Anda pada jangka waktu pinjaman diambil, dan jumlah pembayaran bulanan. Faktanya, hubungan ini tidak langsung terlihat dari rumus yang kami tulis, tetapi pemahamannya diperlukan untuk solusi cepat dan efektif dari masalah nyata dalam ujian. Sebenarnya, hubungan ini sangat sederhana: semakin lama pinjaman diambil, semakin kecil jumlah pembayaran bulanan, tetapi semakin besar jumlah yang akan terakumulasi selama seluruh periode penggunaan pinjaman. Dan sebaliknya: semakin pendek jangka waktunya, semakin tinggi pembayaran bulanan, tetapi semakin rendah kelebihan pembayaran akhir dan semakin rendah total biaya pinjaman.

Tentu saja, semua pernyataan ini akan sama hanya dengan syarat bahwa jumlah pinjaman dan tingkat bunga dalam kedua kasus adalah sama. Secara umum, untuk saat ini, ingat saja fakta ini - ini akan digunakan untuk menyelesaikan masalah paling sulit tentang topik ini, tetapi untuk saat ini kami akan menganalisis masalah yang lebih sederhana, di mana Anda hanya perlu menemukan jumlah total pinjaman asli.

Contoh #3

Jadi, satu tugas lagi untuk pinjaman dan, dalam kombinasi, tugas terakhir dalam tutorial video hari ini.

Pada tanggal 31 Desember 2014, Vasily mengambil sejumlah tertentu dari bank secara kredit sebesar 13% per tahun. Skema pembayaran pinjaman adalah sebagai berikut: pada tanggal 31 Desember setiap tahun berikutnya, bank memperoleh bunga atas sisa jumlah hutang (yaitu, meningkatkan hutang sebesar 13%), kemudian Vasily mentransfer 5.107.600 rubel ke bank. Berapa jumlah yang Vasily pinjam dari bank jika dia melunasi hutangnya dalam dua kali angsuran yang sama (selama dua tahun)?

Jadi, pertama-tama, masalah ini lagi-lagi tentang pinjaman, jadi kami menuliskan rumus luar biasa kami:

Mari kita lihat apa yang kita ketahui dari kondisi masalahnya. Pertama, pembayaran - sama dengan 5.107.600 rubel setahun. Kedua, persentase, sehingga kita dapat menemukan rasionya:

Selain itu, sesuai dengan kondisi masalahnya, Vasily mengambil pinjaman dari bank selama dua tahun, yaitu. dibayar dalam dua kali angsuran yang sama, maka $n=2$. Mari kita ganti semuanya dan juga perhatikan bahwa pinjaman itu tidak kita ketahui, mis. jumlah yang dia ambil, dan mari kita nyatakan sebagai $x$. Kita mendapatkan:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Mari kita tulis ulang persamaan kita dengan mengingat fakta ini:

\[\begin(align)& x\cdot \frac(12769)(10000)=5107600\cdot \frac(1,2769-1)(0,13) \\& x\cdot \frac(12769)(10000 )=\frac(5107600\cdot 2769)(1300)|:\frac(12769)(10000) \\& x=\frac(51076\cdot 2769)(13)\cdot \frac(10000)(12769) \ \& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end(align)\]

Itu saja, ini adalah jawaban terakhir. Jumlah inilah yang diambil oleh Vasily sejak awal.

Sekarang jelas mengapa dalam masalah ini kami diminta untuk mengambil pinjaman hanya untuk dua tahun, karena suku bunga dua digit muncul di sini, yaitu 13%, yang, dikuadratkan, sudah memberikan angka yang agak "brutal". Tetapi ini bukan batasnya - dalam pelajaran terpisah berikutnya, kami akan mempertimbangkan tugas-tugas yang lebih kompleks di mana akan diperlukan untuk menemukan jangka waktu pinjaman, dan tarifnya akan menjadi satu, dua atau tiga persen.

Secara umum, belajar memecahkan masalah untuk simpanan dan pinjaman, mempersiapkan ujian dan lulus dengan "sangat baik". Dan jika ada sesuatu yang tidak jelas dalam materi pelajaran video hari ini, maka jangan ragu - tulis, telepon, dan saya akan mencoba membantu Anda.

Memecahkan masalah dalam matematika pada penerapan konsep dasar minat.

Masalah dengan persentase diajarkan untuk dipecahkan sejak kelas 5 SD.

Memecahkan masalah jenis ini terkait erat dengan tiga algoritma:

1. menemukan persentase suatu bilangan
2. menemukan angka dengan persentasenya,
3. menemukan persentase.

Dalam pelajaran dengan siswa, mereka memahami bahwa seperseratus meter adalah satu sentimeter, seperseratus rubel adalah satu sen, seperseratus sen adalah satu kilogram. Orang-orang telah lama memperhatikan bahwa seperseratus nilai nyaman dalam praktik. Oleh karena itu, nama khusus diciptakan untuk mereka - persentase.

Jadi satu sen adalah satu persen dari satu rubel, dan satu sentimeter adalah satu persen dari satu meter.

Satu persen adalah seperseratus dari sebuah angka. Secara matematis, satu persen ditulis sebagai berikut: 1%.

Definisi satu persen dapat ditulis sebagai: 1% \u003d 0,01. sebuah

5%=0,05, 23%=0,23, 130%=1,3 dst.

Bagaimana menemukan 1% dari angka?

Karena 1% adalah seperseratus, Anda harus membagi angka tersebut dengan 100. Membagi dengan 100 dapat diganti dengan mengalikan dengan 0,01. Oleh karena itu, untuk menemukan 1% dari angka tertentu, Anda perlu mengalikannya dengan 0,01. Dan jika Anda perlu menemukan 5% dari angka tersebut, kalikan angka ini dengan 0,05, dst.

Contoh. Temukan: 25% dari 120.

1. 25% = 0,25;
2. 120 . 0,25 = 30.

Aturan 1. Untuk menemukan jumlah persen tertentu dari suatu bilangan, Anda perlu menulis persentase sebagai pecahan desimal, lalu mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan desimal ini.

Contoh. Turner memutar 40 bagian dalam satu jam. Dengan menggunakan pemotong yang terbuat dari baja yang lebih kuat, ia mulai memutar 10 bagian lagi per jam. Berapa persen produktivitas tenaga kerja meningkat?

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu mencari tahu berapa persen 10 bagian dari 40. Untuk melakukannya, pertama-tama kita cari bagian apa yang merupakan angka 10 dari angka 40. Kita tahu bahwa kita perlu membagi 10 dengan 40. Ini akan ternyata 0,25. Sekarang mari kita tuliskan sebagai persentase - 25%.

Jawaban: Produktivitas turner meningkat 25%.

Aturan 2. Untuk menemukan berapa persen satu angka dari angka lain, Anda perlu membagi angka pertama dengan angka kedua dan menulis pecahan yang dihasilkan sebagai persentase.

Contoh. Dengan target yang direncanakan 60 kendaraan per hari, pabrik memproduksi 66 kendaraan. Dengan persentase berapa pabrik memenuhi rencana?

66: 60 \u003d 1.1 - bagian ini terdiri dari mobil yang diproduksi dari jumlah mobil sesuai dengan rencana. Mari kita tulis dalam persentase = 110%.

Jawaban: 110%.

Contoh. Perunggu adalah paduan timah dan tembaga. Berapa persentase paduan tembaga dalam sepotong perunggu, yang terdiri dari 6 kg timah dan 34 kg tembaga?

1. 6+ 34 \u003d 40 (kg) - massa seluruh paduan.
2. 34: 40 = 0,85 = 85 (%) - paduannya adalah tembaga.

Jawaban: 85%.

Contoh. Bayi gajah kehilangan 20% di musim semi, lalu naik 30% di musim panas, lagi-lagi kehilangan 20% di musim gugur, dan naik 10% di musim dingin. Apakah berat badannya tetap sama tahun ini? Jika diubah, berapa persentasenya dan ke arah mana?

1. 100 - 20 = 80 (%) - setelah musim semi.
2. 80 + 80. 0,3 = 104 (%) - setelah musim panas.
3. 104-104. 0,2 = 83,2 (%) - setelah musim gugur.
4. 83.2 + 83.2. 0,1 = 91,52 (%) - setelah musim dingin.

Jawaban: berat badan turun 8,48%.

Contoh. Kami meninggalkan untuk penyimpanan 20 kg gooseberry, buah beri yang mengandung 99% air. Kandungan air dalam buah telah menurun hingga 98%. Berapa banyak gooseberry yang akan dihasilkan?

1. 100 - 99 \u003d 1 (%) \u003d 0,01 - proporsi bahan kering dalam gooseberry terlebih dahulu.
2. 20 . 0,01 \u003d 0,2 (kg) - bahan kering.
3. 100 - 98 \u003d 2 (%) \u003d 0,02 - proporsi bahan kering dalam gooseberry setelah penyimpanan.
4. 0,2: 0,02 \u003d 10 (kg) - gooseberry menjadi.

Jawab: 10kg.

Contoh. Apa yang terjadi dengan harga suatu produk jika pertama kali dinaikkan 25% dan kemudian diturunkan 25%?

Biarkan harga produk menjadi x rubel, kemudian setelah kenaikan biaya produk 125% dari harga sebelumnya, mis. 1,25x, dan setelah turun 25% nilainya menjadi 75% atau 0,75 dari kenaikan harga, yaitu

0,75 ,1,25x = 0,9375x,

maka harga barang tersebut turun sebesar 6,25%.

x - 0,9375x = 0,0625x;
0,0625 . 100% = 6,25%

Jawaban: Harga asli produk mengalami penurunan sebesar 6,25%.

Aturan 3. Untuk menemukan persentase dua angka A dan B, Anda perlu mengalikan rasio angka-angka ini dengan 100%, yaitu, hitung (A:B). 100%.

Contoh. Carilah sebuah bilangan jika 15% darinya adalah 30.

1. 15% = 0,15;
2. 30: 0,15 = 200.

x adalah angka yang diberikan;
0,15 . x = 300;
x = 200.

Jawaban: 200.

Contoh. Kapas mentah menghasilkan 24% serat. Berapa banyak kapas mentah yang harus diambil untuk mendapatkan 480 kg serat?

Mari kita tulis 24% sebagai pecahan desimal dari 0,24 dan dapatkan masalah menemukan bilangan dari bagiannya yang diketahui (pecahan).
480: 0,24= 2000 kg = 2 t

Jawaban: 2 t.

Contoh. Berapa kg jamur porcini yang harus dipanen untuk mendapatkan 1 kg jamur kering, jika 50% massanya tersisa selama pemrosesan jamur segar, dan 10% dari massa jamur olahan tetap selama pengeringan?

1 kg jamur kering adalah 10% atau 0,01 bagian dari olahan, yaitu.
1 kg: 0,1=10 kg jamur olahan, yaitu 50% atau 0,5 jamur yang dipanen, mis.
10 kg: 0,05 = 20 kg.

Jawab: 20kg.

Contoh. Jamur segar mengandung 90% air menurut beratnya, dan kering 12%. Berapa banyak jamur kering yang akan diperoleh dari 22 kg jamur segar?

1. 22. 0,1 = 2,2 (kg) - jamur menurut beratnya dalam jamur segar; (0,1 adalah 10% bahan kering);
2. 2.2: 0,88 \u003d 2,5 (kg) - jamur kering diperoleh dari segar (jumlah bahan kering tidak berubah, tetapi persentasenya dalam jamur telah berubah dan sekarang 2,2 kg adalah 88% atau 0,88 jamur kering ).

Jawab: 2,5kg.

Aturan 4. Untuk menemukan angka berdasarkan persentasenya, Anda perlu menyatakan persentase sebagai pecahan, lalu membagi nilai persentase dengan pecahan ini.

Dalam masalah perhitungan bank, biasanya ditemukan bunga sederhana dan bunga majemuk. Apa perbedaan antara pertumbuhan bunga sederhana dan majemuk? Dengan pertumbuhan sederhana, persentase dihitung setiap kali berdasarkan nilai awal, dan dengan pertumbuhan kompleks, dihitung dari nilai sebelumnya. Dengan pertumbuhan sederhana, 100% adalah jumlah awal, dan dengan pertumbuhan kompleks, 100% baru setiap kali dan sama dengan nilai sebelumnya.

Contoh. Bank membayar pendapatan 4% per bulan dari jumlah setoran. 300 ribu rubel dimasukkan ke dalam akun, pendapatan diperoleh setiap bulan. Hitung nilai iuran setelah 3 bulan.

1. 100 + 4 = 104 (%) = 1,04 - bagian kenaikan deposit dibandingkan bulan sebelumnya.
2. 300 . 1,04 \u003d 312 (seribu rubel) - jumlah kontribusi setelah 1 bulan.
3. 312 . 1,04 \u003d 324,48 (ribuan rubel) - jumlah kontribusi setelah 2 bulan.
4. 324.48. 1,04 = 337,4592 (seribu r) = 337 459,2 (r) - nilai iuran setelah 3 bulan.

Atau Anda dapat mengganti paragraf 2-4 dengan satu, mengulangi konsep derajat dengan anak-anak: 300.1.043 \u003d 337.4592 (ribu rubel) \u003d 337.459.2 (r) - jumlah kontribusi setelah 3 bulan.

Jawaban: 337.459,2 rubel

Contoh. Vasya membaca di surat kabar bahwa selama 3 bulan terakhir, harga pangan telah meningkat rata-rata 10% per bulan. Berapa persen kenaikan harga dalam 3 bulan?

Contoh. Uang yang diinvestasikan dalam saham perusahaan terkenal menghasilkan 20% pendapatan setiap tahun. Dalam berapa tahun investasi akan berlipat ganda?

Mari kita pertimbangkan rencana tugas serupa menggunakan contoh spesifik.

Contoh. (Opsi 1 No. 16. OGE-2016. Matematika. Tugas tes khas_ed. Yashchenko_2016 -80-an)

Toko olahraga sedang mengadakan promosi. Setiap jumper berharga 400 rubel. Saat membeli dua jumper - diskon 75% untuk jumper kedua. Berapa rubel yang harus saya bayar untuk pembelian dua jumper selama periode promosi?

Sesuai dengan kondisi masalahnya, ternyata jumper pertama dibeli dengan 100% dari biaya aslinya, dan yang kedua untuk 100 - 75 = 25 (%), mis. total, pembeli harus membayar 100 + 25 = 125 (%) dari biaya awal. Solusinya kemudian dapat dipertimbangkan dalam tiga cara.

1 cara.

Kami menerima 400 rubel sebagai 100%. Kemudian 1% berisi 400: 100 = 4 (rubel), dan 125%
4 . 125 = 500 (rubel)

2 jalan.

Persentase suatu bilangan diperoleh dengan mengalikan bilangan tersebut dengan pecahan yang sesuai dengan persentase tersebut, atau dengan mengalikan bilangan tersebut dengan persentase yang diberikan dan membaginya dengan 100.
400 . 1,25 = 500 atau 400. 125/100 = 500.

3 cara.

Menerapkan properti proporsi:
400 gosok. - 100%
x gosok. - 125%, kami mendapatkan x \u003d 125. 400/100 = 500 (rubel)

Jawaban: 500 rubel.

Contoh. (Opsi 4 No. 16. OGE-2016. Matematika. Tugas tes khas_ed. Yashchenko_2016 -80-an)

Berat rata-rata anak laki-laki seusia dengan Gosha adalah 57 kg. Berat Gosha adalah 150% dari berat rata-rata. Berapa kilogram berat Gosha?

Sama halnya dengan contoh yang dibahas di atas, Anda dapat membuat proporsi:

57 kg - 100%
x kg - 150%, kami mendapatkan x \u003d 57. 150/100 = 85,5 (kg)

Jawaban: 85,5 kg.

Contoh. (Opsi 7 No. 16. OGE-2016. Matematika. Tugas tes khas_ed. Yashchenko_2016 - 80-an)

Setelah penurunan harga TV, harga barunya adalah 0,52 dari yang lama. Berapa persen penurunan harga sebagai akibat dari penurunan harga?

1 cara.

Mari kita cari dulu bagian dari pengurangan harga. Jika harga asli diambil sebagai 1, maka 1 - 0,52 = 0,48 adalah bagian dari pengurangan harga. Maka kita dapatkan, 0,48. 100% = 48%. Itu. harga turun 48% sebagai akibat dari penurunan harga.

2 jalan.

Jika biaya awal diambil sebagai A, maka setelah penurunan harga, harga baru TV adalah 0,52A, mis. itu akan berkurang A - 0,52A = 0,48A.

Mari kita membuat proporsi:
A - 100%
0.48A - x%, kita mendapatkan x = 0.48A. 100 / A = 48 (%).

Jawaban: harga turun 48% sebagai akibat dari penurunan harga.

Contoh. (Opsi 9 No. 16. OGE-2016. Matematika. Tugas tes khas_ed. Yashchenko_2016 - 80-an)

Produk yang dijual berkurang 15%, sementara harganya mulai 680 rubel. Berapa harga barang tersebut sebelum dijual?

Sebelum harga turun, produk itu bernilai 100%. Harga produk setelah penjualan turun 15%, mis. menjadi 100 - 15 = 85 (%), dalam rubel nilai ini sama dengan 680 rubel.

1 cara.

680: 85 = 8 (rubel) - dalam 1%
delapan . 100 \u003d 800 (rubel) - biaya barang sebelum penjualan.

2 jalan.

Ini adalah masalah menemukan angka dengan persentasenya, ini diselesaikan dengan membagi angka dengan persentase yang sesuai dan dengan mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi persentase, mengalikannya dengan 100, atau dengan membagi dengan pecahan yang diperoleh dengan mengubah dari persentase.
680:85. 100 \u003d 800 (rubel) atau 680: 0,85 \u003d 800 (rubel)

3 cara.

Dengan proporsi:
680 gosok. - 85%
x gosok. - 100%, kita mendapatkan x = 680. 100/85 = 800 (rubel)

Jawaban: 800 rubel biaya barang sebelum penjualan.

Memecahkan masalah untuk campuran dan paduan, menggunakan konsep "persentase", "konsentrasi", "% solusi".

Tugas paling sederhana dari jenis ini tercantum di bawah ini.

Contoh. Berapa kg garam dalam 10 kg air garam jika persentase garam adalah 15%.

sepuluh. 0,15 = 1,5 (kg) garam.

Jawab: 1,5kg.

Persentase zat dalam larutan (misalnya 15%), kadang-kadang disebut sebagai larutan% (misalnya larutan garam 15%).

Contoh. Paduan tersebut mengandung 10 kg timah dan 15 kg seng. Berapa persentase timah dan seng dalam paduan?

Persentase suatu zat dalam paduan adalah bagian dari berat zat tertentu yang dibuat dari berat keseluruhan paduan.

1. 10 + 15 = 25 (kg) - paduan;
2. 10:25 100% = 40% - persentase timah dalam paduan;
3. 15:25. 100% = 60% - persentase seng dalam paduan.

Jawaban: 40%, 60%.

Dalam tugas-tugas jenis ini, konsep "konsentrasi" adalah yang utama. Apa itu?

Perhatikan, misalnya, larutan asam dalam air.

Biarkan bejana berisi 10 liter larutan, yang terdiri dari 3 liter asam dan 7 liter air. Maka kandungan asam relatif (dalam kaitannya dengan seluruh volume) dalam larutan adalah sama. Angka ini menentukan konsentrasi asam dalam larutan. Terkadang mereka berbicara tentang persentase asam dalam larutan. Dalam contoh yang diberikan, persentasenya adalah sebagai berikut: . Seperti yang Anda lihat, transisi dari konsentrasi ke persentase dan sebaliknya sangat sederhana.

Jadi, misalkan campuran bermassa M mengandung beberapa zat bermassa m.

• konsentrasi zat tertentu dalam campuran (paduan) adalah kuantitas;
• persentase zat tertentu disebut c × 100%;

Ini mengikuti dari rumus terakhir bahwa pada konsentrasi zat yang diketahui dan massa total campuran (paduan), massa zat tertentu ditentukan oleh rumus m=c×M.

Masalah pada campuran (paduan) dapat dibagi menjadi dua jenis:

1. Misalnya, dua campuran (paduan) dengan massa m1 dan m2 dan konsentrasi beberapa zat di dalamnya masing-masing sama dengan c1 dan c2. Campuran (paduan) dikeringkan (menyatu). Diperlukan untuk menentukan massa zat ini dalam campuran baru (paduan) dan konsentrasi barunya. Jelas bahwa dalam campuran baru (paduan) massa zat yang diberikan sama dengan c1m1+c2m2, dan konsentrasinya.
2. Volume tertentu dari campuran (paduan) diatur, dan dari volume ini mereka mulai membuang (menghapus) sejumlah campuran (paduan), dan kemudian menambahkan (menambahkan) jumlah yang sama atau berbeda dari campuran (paduan ) dengan konsentrasi yang sama dari zat ini atau dengan konsentrasi yang berbeda. Operasi ini dilakukan beberapa kali.

Ketika memecahkan masalah seperti itu, perlu untuk menetapkan kontrol atas jumlah zat yang diberikan dan konsentrasinya pada setiap pasang surut, serta pada setiap penambahan campuran. Sebagai hasil dari kontrol tersebut, kami memperoleh persamaan penyelesaian. Mari kita pertimbangkan tugas-tugas tertentu.

Jika konsentrasi suatu zat dalam suatu senyawa berdasarkan massanya adalah P%, maka ini berarti massa zat tersebut adalah P% dari massa seluruh senyawa.

Contoh. Konsentrasi perak dalam paduan 300 g adalah 87%. Ini berarti perak murni dalam paduan adalah 261 g.

300 . 0,87 = 261 (g).

Dalam contoh ini, konsentrasi suatu zat dinyatakan sebagai persentase.

Rasio volume komponen murni dalam larutan dengan volume total campuran disebut konsentrasi volumetrik komponen ini.

Jumlah konsentrasi semua komponen yang membentuk campuran adalah 1.

Jika persentase suatu zat diketahui, maka konsentrasinya ditemukan dengan rumus:
K \u003d P / 100%,
di mana K adalah konsentrasi zat;
P adalah persentase zat (dalam persen).

Contoh. (Opsi 8 No. 22. OGE-2016. Matematika. Tugas tes khas_ed. Yashchenko_2016 - 80-an)

Buah segar mengandung 75% air, sedangkan buah kering mengandung 25%. Berapa banyak buah segar yang diperlukan untuk menyiapkan 45 kg buah kering?

Jika buah segar mengandung 75% air, maka bahan keringnya adalah 100 - 75 = 25 (%), dan kering - 25%, maka bahan kering di dalamnya adalah 100 - 25 = 75 (%).

Saat memecahkan masalah, Anda dapat menggunakan tabel:

Buah segar x 25% = 0.25 0.25. X

Buah kering 45 75% = 0,75 0,75. 45 = 33,75

Karena massa bahan kering untuk buah segar dan kering tidak berubah, kita mendapatkan persamaan:

0,25 . x = 33,75;
x = 33,75: 0,25;
x = 135 (kg) - buah segar diperlukan.

Jawab: 135kg.

Contoh. (Opsi 8 No. 11. Unified State Examination-2016. Matematika. Khas. Tes. Tugas. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Dengan mencampurkan larutan asam 70% dan 60% dan menambahkan 2 kg air murni, diperoleh larutan asam 50%. Jika, bukannya 2 kg air, 2 kg larutan 90% asam yang sama ditambahkan, maka larutan asam 70% akan diperoleh. Berapa kilogram larutan 70% yang digunakan untuk membuat campuran tersebut?

Berat total, kg | Konsentrasi bahan kering | Massa bahan kering
I x 70% \u003d 0,7 0,7. X
II dalam 60% = 0,6 0,6. pada
air 2 - -
I + II + air x + y + 2 50% \u003d 0,5 0,5. (x + y + 2)
III 2 90% = 0,9 0,9. 2 = 1,8
I + II + III x + y + 2 70% \u003d 0,7 0,7. (x + y + 2)

Menggunakan kolom terakhir dari tabel, kita akan membuat 2 persamaan:

0.7. x + 0,6. y = 0,5. (x + y + 2) dan 0,7. x + 0,6. y + 1,8 = 0,7. (x + y + 2).

Menggabungkannya menjadi sebuah sistem, dan menyelesaikannya, kita mendapatkan bahwa x = 3 kg.

Jawaban: 3 kilogram larutan 70% digunakan untuk mendapatkan campuran.

Contoh. (Opsi 2 No. 11. Ujian Negara Bersatu-2016. Matematika. Tipikal. Tes. Tugas. Ed. Yashchenko 2016 -56s)

Tiga kilogram ceri harganya sama dengan lima kilogram ceri, dan tiga kilogram ceri harganya sama dengan dua kilogram stroberi. Berapa persen satu kilogram stroberi lebih murah daripada satu kilogram ceri?

Dari kalimat pertama masalah, kami memperoleh persamaan berikut:

3 jam = 5v,
3v = 2k.
Dari mana kita dapat mengungkapkan: h \u003d 5v / 3, k \u003d 3v / 2.

Dengan demikian, Anda dapat membuat proporsi:
5v/3 - 100%
3v / 2 - x%, kami mendapatkan x \u003d (3. 100. c.3) / (2. 5. c), x \u003d 90% adalah biaya satu kilogram stroberi dari biaya satu kilogram ceri.

Jadi, dengan 100 - 90 = 10 (%) - satu kilogram stroberi lebih murah daripada satu kilogram ceri.

Jawaban: satu kilogram stroberi 10 persen lebih murah daripada satu kilogram ceri.

Memecahkan masalah untuk bunga "majemuk", menggunakan konsep kenaikan (penurunan) koefisien.

Untuk menaikkan bilangan positif A sebesar p persen, kalikan bilangan A dengan faktor kenaikan K = (1 + 0,01p).

Untuk mengurangi bilangan positif A sebesar p persen, kalikan bilangan A dengan faktor reduksi K = (1 - 0,01p).

Contoh. (Opsi 29 No. 22. OGE-2015. Matematika. Opsi ujian umum: 36 opsi / diedit oleh Yashchenko, 2015 - 224c)

Harga suatu komoditi diturunkan dua kali dengan persentase yang sama. Berapa persen harga barang turun setiap kali jika biaya awalnya adalah 5.000 rubel dan biaya akhir adalah 4.050 rubel?

1 cara.

Karena harga suatu komoditi diturunkan dengan jumlah % yang sama, mari kita nyatakan jumlah % sebagai x. Biarkan harga produk diturunkan x% untuk pertama dan kedua kalinya, kemudian setelah penurunan pertama harga produk menjadi (100 - x)%.

Mari kita membuat proporsi
5000 gosok. - 100%
di gosok. - (100 - x)%, kami mendapatkan y \u003d 5000. (100 - x) / 100 = 50 . (100 - x) rubel - biaya barang setelah pengurangan pertama.

Mari kita buat proporsi baru untuk harga baru:
lima puluh. (100 - x) gosok. - 100%
z menggosok. - (100 - x)%, kami mendapatkan z \u003d 50. (100 - x) (100 - x) / 100 = 0,5. (100 - x) 2 rubel - biaya barang setelah pengurangan kedua.

Kami mendapatkan persamaan 0,5. (100 - x) 2 \u003d 4050. Setelah menyelesaikannya, kami mendapatkan x \u003d 10%.

2 jalan.

Karena harga suatu komoditi diturunkan dengan jumlah% yang sama, mari kita nyatakan jumlah% sebagai x, x% = 0,01 x.

Dengan menggunakan konsep faktor reduksi, kita langsung memperoleh persamaan:
5000 . (1 - 0,01x) 2 = 4050.

Jawaban: harga barang turun 10% setiap kali.

Contoh. (Opsi 30 No. 22. OGE-2015. Matematika. Opsi ujian umum: 36 opsi / diedit oleh Yashchenko, 2015 - 224c)

Harga suatu barang naik dua kali dengan persentase yang sama. Berapa persen harga barang naik setiap kali jika biaya awalnya adalah 3.000 rubel dan biaya akhir adalah 3.630 rubel?

Karena harga suatu barang naik dengan jumlah % yang sama, mari kita nyatakan jumlah % dengan x, x % = 0,01 x.

Dengan menggunakan konsep faktor perbesaran, kita langsung memperoleh persamaan:
3000 . (1 + 0,01x) 2 = 3630.

Memecahkannya, kita mendapatkan bahwa x = 10%.

Jawaban: 10% kenaikan harga barang setiap kali.

Contoh. (Opsi 4 No. 11. Ujian Negara Bersatu-2016. Matematika. Tes Khas. Ass. ed. Yashchenko 2016 -56s)

Pada hari Kamis, harga saham perusahaan naik sebesar persentase tertentu, dan pada hari Jumat harga saham perusahaan tersebut turun dengan jumlah yang sama dalam persentase. Akibatnya, mereka mulai menelan biaya 9% lebih murah daripada pada pembukaan perdagangan pada hari Kamis. Berapa persen kenaikan harga saham perusahaan pada hari Kamis?

Biarkan saham perusahaan naik dan turun harganya sebesar x%, x% = 0,01 x, dan nilai awal sahamnya adalah A. Dengan menggunakan semua kondisi masalah, kita memperoleh persamaan:

(1 + 0,01 x) (1 - 0,01 x) A \u003d (1 - 0,09) A,
1 - (0,01 x) 2 \u003d 0,91,
(0,01 x)2 = (0,3)2,
0,01 x \u003d 0,3,
x = 30%.

Jawaban: Saham perusahaan naik 30 persen pada hari Kamis.

Memecahkan masalah "perbankan" dalam versi baru USE-2016 dalam matematika.

Contoh. (Opsi 2 No. 17. Ujian Negara Bersatu-2016. Matematika. 50 jenis. edisi revisi. Yashchenko 2016)

Pada 15 Januari, rencananya akan mengambil pinjaman dari bank selama 15 bulan. Syarat-syarat pengembaliannya adalah sebagai berikut:

Diketahui bahwa pembayaran kedelapan berjumlah 108 ribu rubel. Berapa banyak yang harus dilunasi ke bank selama seluruh jangka waktu pinjaman?

Dari tanggal 2 hingga 14, A/15 +0,01A dibayarkan.

Setelah itu, jumlah utang akan menjadi 1,01A - A / 15 - 0,01A \u003d 14A / 15.

Setelah 2 bulan kita mendapatkan: 1.01. 14A/15.

Pembayaran kedua A/15 + 0,01. 14A/15.

Maka hutang setelah pembayaran kedua adalah 13A/15.

Demikian pula, kami mendapatkan bahwa pembayaran kedelapan akan terlihat seperti:

J/15 + 0,01. 8A/15 = A/15. (1 + 0,08) = 1,08A / 15.

Dan menurut kondisinya, itu sama dengan 108 ribu rubel. Jadi, kita dapat menulis dan menyelesaikan persamaan:

1.08A / 15 \u003d 108,

A=1500 (ribu rubel) - jumlah awal hutang.

2) Untuk menemukan jumlah yang harus dibayar kembali ke bank selama seluruh periode pinjaman, kita harus menemukan jumlah semua pembayaran pinjaman.

Jumlah semua pembayaran pinjaman akan terlihat seperti:

(A / 15 + 0,01A) + (A / 15 + 0,01. 14A / 15) + (A / 15 + 0,01. 13A / 15) + ... + (A / 15 + 0,01. A /15) \u003d A + 0,01A / 15 (15 + 14 + 13 + 12 + 11 + 10 + 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1) \u003d A + (0,01. 120A)/15 = 1,08 A.

Jadi 1.08. 1500 \u003d 1620 (ribuan rubel) \u003d 1620000 rubel harus dikembalikan ke bank selama seluruh periode pinjaman.

Jawaban: 1620000 rubel.

Contoh. (Opsi 6 No. 17. Ujian Negara Bersatu-2016. Matematika. 50 jenis. edisi revisi. Yashchenko 2016)

Pada 15 Januari, rencananya akan mengambil pinjaman dari bank selama 24 bulan. Syarat-syarat pengembaliannya adalah sebagai berikut:

• Pada tanggal 1 setiap bulan, utang meningkat sebesar 1% dibandingkan dengan akhir bulan sebelumnya;
• dari tanggal 2 sampai tanggal 14 setiap bulan, sebagian dari hutang harus dibayar;
• Pada tanggal 15 setiap bulan, jumlah hutang harus sama lebih sedikit dari hutang pada tanggal 15 bulan sebelumnya.

Diketahui bahwa selama 12 bulan pertama perlu membayar 177,75 ribu rubel ke bank. Berapa banyak yang Anda rencanakan untuk dipinjam?

1) Biarkan A menjadi jumlah pinjaman, 1% = 0,01.

Kemudian utang 1,01A setelah bulan pertama.

Dari tanggal 2 hingga 14, A/24 +0,01A dibayarkan.

Setelah itu, jumlah utang akan menjadi 1,01A - A / 24 - 0,01A \u003d A - A / 24 \u003d 23A / 24.

Dengan skema ini, jumlah utang menjadi sama dengan jumlah utang pada hari ke-15 bulan sebelumnya.

Setelah 2 bulan kita mendapatkan: 1.01. 23A/24.

Pembayaran kedua A/24 + 0,01. 23A/24.

Maka hutang setelah pembayaran kedua adalah 1,01. 23A/24 - A/24 - 0,01. 23A / 24 \u003d 23A / 24 (1,01 - 0,01) - A / 24 \u003d 23A / 24 - A / 24 \u003d 22A / 24.

Jadi, kami mendapatkan bahwa untuk 12 bulan pertama Anda perlu membayar bank sejumlah berikut:
A/24 +0,01A. 24/24 + A/24 + 0,01. 23A/24 + A/24 + 0,01. 22A/24 + ... + A/24 + 0,01. 13A/24 = 12A/24 + 0,01A/24 (24+23+22+21+20+19+18+17+16+15+14+13) = A/2 + 222A/2400 = 711A/1200 .

Dan menurut kondisinya, itu sama dengan 177,375 ribu rubel. Jadi, kita dapat menulis dan menyelesaikan persamaan:
711A / 1200 \u003d 177,75,
A = 300 (seribu rubel) = 300.000 rubel - direncanakan untuk mengambil pinjaman.

Jawaban: 300.000 rubel.

Untuk dapat memecahkan masalah teks dengan persentase dengan benar dan cepat diperlukan tidak hanya untuk siswa yang akan lulus ujian matematika pada tingkat dasar atau khusus, tetapi juga untuk semua orang dewasa, karena tugas-tugas seperti itu terus-menerus ditemui dalam kehidupan sehari-hari. Menaikkan harga, merencanakan anggaran keluarga, investasi dana yang menguntungkan, dan banyak masalah lainnya tidak dapat diselesaikan tanpa keterampilan ini. Dalam persiapan untuk lulus ujian sertifikasi, sangat penting untuk mengulangi cara memecahkan masalah untuk persentase: dalam USE dalam matematika, mereka ditemukan baik di tingkat dasar maupun di tingkat profil.

Perlu diingat

Persentase adalah \(\frac(1)(100)\) bagian dari suatu bilangan. Menunjukkan proporsi sesuatu dalam hubungannya dengan keseluruhan. Karakter yang ditulis adalah \(\%\) . Saat mempersiapkan Ujian Negara Bersatu dengan topik "Minat", anak sekolah baik di Moskow maupun di bagian lain Federasi Rusia harus mengingat rumus berikut:

\

Bagaimana cara menerapkannya?

Untuk menyelesaikan tugas sederhana dengan persentase dalam ujian matematika, Anda perlu:

1. Bagilah bilangan yang diberikan dengan \(100\) .
2. Kalikan nilai yang dihasilkan dengan jumlah \(\%\) yang akan ditemukan.

Misalnya, untuk menghitung \(10\%\) dari bilangan \(300\) , Anda perlu mencari \(1\) persentase dengan membagi \(300:100=3\) . Dan angka \(3\cdot10=30\) diperoleh dari tindakan sebelumnya. Jawaban: \(30\).

Ini adalah tugas paling sederhana. Siswa kelas 11 dalam ujian dihadapkan pada kebutuhan untuk memecahkan masalah kompleks dengan persentase. Sebagai aturan, mereka berbicara tentang setoran atau pembayaran bank. Anda dapat berkenalan dengan rumus dan aturan penerapannya dengan membuka bagian "Referensi Teoretis". Di sini Anda tidak hanya dapat mengulangi definisi dasar, tetapi juga berkenalan dengan opsi untuk memecahkan masalah kompleks untuk bunga pinjaman bank, serta dengan latihan dari bagian aljabar lain, misalnya,

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Elena melakukan setoran di bank dalam jumlah 5.500 rubel. Bunga deposito dihitung setahun sekali dan ditambahkan ke jumlah deposito saat ini. Setahun kemudian, Natalia menyetor jumlah yang sama di bank yang sama dan dengan persyaratan yang sama. Setahun kemudian, Elena dan Natalya secara bersamaan menutup simpanan mereka dan mengambil uangnya. Akibatnya, Elena menerima 739,2 rubel lebih banyak daripada yang diterima Natalya. Temukan berapa persentase per tahun yang dibebankan bank pada deposito?

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Biarkan persentase per tahun menjadi x, maka setelah satu tahun kontribusi Elena adalah:

5500 + 0,01x \cdot 5500 = 5500(1 + 0,01x) rubel, dan setahun kemudian - 5500(1 + 0,01x)^2 rubel. Setoran Natalia di bank hanya selama satu tahun, jadi itu sama dengan 5500(1 + 0,01x) rubel. Dan perbedaan antara kontribusi yang dihasilkan dari Elena dan Natalia berjumlah 739,2 rubel.

Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:

5500(1+0,01x)^2-5500(1+0,01x)= 739,2,

(1+0,01x)^2-(1+0,01x)=0,1344,

x^2+100x-1344=0,

x_1=-112,\enspace x_2=12.

Bank mengenakan biaya 12% per tahun.

Menjawab

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Pengusaha Petrov mendapat untung 12.000 rubel pada tahun 2005. Setiap tahun berikutnya, keuntungannya meningkat 110% dibandingkan tahun sebelumnya. Berapa rubel yang diperoleh Petrov pada tahun 2008?

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Pada tahun 2005, keuntungannya adalah 1\.000 rubel, setiap tahun berikutnya meningkat 110\%, yaitu menjadi 210\% \u003d 2,1 dari tahun sebelumnya. Dalam tiga tahun itu akan menjadi 12\,000 \cdot 2,1^3 = 111\,132 rubel.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Ada dua paduan. Paduan pertama mengandung 12% besi, yang kedua - 28% besi. Massa paduan kedua lebih besar dari massa yang pertama sebesar 2 kg. Dari kedua paduan tersebut dibuat paduan ketiga dengan kandungan besi sebesar 21% . Temukan massa paduan ketiga. Berikan jawaban Anda dalam kilogram.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Mari kita nyatakan massa paduan pertama sebagai x kg. Maka massa paduan kedua adalah (x + 2) kg. Kandungan besi pada paduan pertama adalah 0,12x kg, pada paduan kedua - 0,28(x + 2) kg. Paduan ketiga memiliki massa x + x + 2 = 2x + 2 (kg), dan kandungan besinya adalah 2(x + 1) \cdot 0,21 = 0,42(x + 1) kg

Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:

0,12x+ 0,28(x + 2) = 0,42(x+1),

6x + 14(x + 2) = 21(x + 1),

X = 7.

Paduan ketiga memiliki massa 2 \cdot 7 + 2 = 16 (kg).

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Harga satu set TV di toko berkurang setiap tiga bulan (dalam seperempat - tiga bulan) dengan jumlah persen yang sama dari harga sebelumnya. Diketahui bahwa TV senilai 50.000 rubel terjual dua perempat kemudian seharga 41.405 rubel. Temukan persentase penurunan biaya TV setiap tiga bulan.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Harga TV awalnya 50.000 rubel. Seperempat kemudian dia menjadi 50\,000-50\,000\cdot0,01x = 50\,000(1-0,01x) rubel, di mana x adalah persentase penurunan harga TV setiap tiga bulan. Setelah dua perempat, harganya menjadi

50\,000(1-0,01x)(1-0,01x)=50\,000(1-0,01x)^2.

Mari kita buat dan selesaikan persamaannya:

50\,000(1-0,01x)^2=41\,405,

(1-0,01x)^2=0,8281,

1-0,01x=0,91,

x=9.

Jadi, harga TV turun 9 persen setiap tiga bulan.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Pada tahun 2005, 55.000 orang tinggal di desa tersebut. Pada tahun 2006, sebagai akibat dari pembangunan rumah baru, jumlah penduduk meningkat sebesar 6%, dan pada tahun 2007 - sebesar 10% dibandingkan dengan tahun 2006. Hitunglah jumlah penduduk desa tersebut pada tahun 2007.

Tunjukkan Solusi

Keputusan

Pada tahun 2006, jumlah penduduk desa meningkat sebesar 6%, yaitu. menjadi 106%, yang sama dengan 55\,000 \cdot 1,06 = 58\,300 (penduduk). Pada tahun 2007, jumlah penduduk desa meningkat 10% (menjadi 110%) dibandingkan tahun 2006, yaitu. jumlah penduduk desa menjadi 58\,300 \cdot 1,1 = 64\,130 jiwa.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Tunjukkan Solusi

Keputusan

3 liter larutan berair 14% mengandung 3 \ cdot0.14 \u003d 0.42 liter. beberapa zat. Ditambahkan 4 liter air, menjadi 7 liter larutan. Dalam 7 liter larutan baru ini - 0,42 liter zat tertentu. Mari kita cari konsentrasi larutan baru: 0.42:7\cdot100=6%.

Menjawab

Sumber: “Matematika. Persiapan ujian-2017. tingkat profil. Ed. F. F. Lysenko, S. Yu. Kulabukhova.

Jenis pekerjaan: 11
Topik: Tugas untuk persentase

Kondisi

Perusahaan konstruksi mendirikan perusahaan dengan modal dasar 150 juta rubel. Perusahaan pertama menyumbang 20% ​​dari modal dasar, perusahaan kedua - 22,5 juta rubel, yang ketiga - 0,3 dari modal dasar, perusahaan keempat menyumbang sisanya.