Tugas untuk definisi klasik tentang probabilitas.
Contoh solusi

Dalam pelajaran ketiga, kita akan mempertimbangkan berbagai masalah yang berkaitan dengan penerapan langsung dari definisi klasik tentang probabilitas. Untuk mempelajari materi artikel ini secara efektif, saya sarankan Anda membiasakan diri dengan konsep dasar teori probabilitas dan dasar-dasar kombinatorika. Masalah penentuan klasik probabilitas dengan probabilitas cenderung satu akan hadir dalam pekerjaan independen / kontrol Anda di terver, jadi kami bersiap-siap untuk pekerjaan serius. Apa yang begitu serius, Anda bertanya? ... hanya satu rumus primitif. Saya memperingatkan terhadap kesembronoan - tugas tematik cukup beragam, dan banyak dari mereka dapat dengan mudah membingungkan. Dalam hal ini, selain mengerjakan pelajaran utama, cobalah mempelajari tugas tambahan tentang topik yang ada di celengan. solusi siap pakai dalam matematika yang lebih tinggi. Metode pengambilan keputusan adalah metode pengambilan keputusan, tetapi “teman” tetap “perlu diketahui secara kasat mata”, karena imajinasi yang kaya pun terbatas dan tugas-tugas tipikal juga cukup banyak. Yah, saya akan mencoba membuat jumlah maksimum dari mereka dengan kualitas yang baik.

Mari kita ingat genre klasik:

Probabilitas suatu peristiwa yang terjadi dalam beberapa percobaan sama dengan rasio , di mana:

adalah jumlah seluruhnya sama mungkin, dasar hasil tes ini, yang berupa kumpulan acara lengkap;

- jumlah dasar hasil yang mendukung acara tersebut.

Dan segera pit stop. Apakah Anda memahami istilah yang digarisbawahi? Ini berarti pemahaman yang jelas, bukan intuitif. Jika tidak, maka masih lebih baik untuk kembali ke artikel pertama tentang teori probabilitas dan baru kemudian melanjutkan.

Tolong jangan lewatkan contoh pertama - di dalamnya saya akan mengulangi satu poin penting yang mendasar, dan juga memberi tahu Anda cara memformat solusi dengan benar dan dengan cara apa hal itu dapat dilakukan:

Tugas 1

Sebuah guci berisi 15 bola putih, 5 bola merah, dan 10 bola hitam. Diambil 1 bola secara acak, tentukan peluang terambilnya: a) putih, b) merah, c) hitam.

Keputusan: prasyarat terpenting untuk menggunakan definisi klasik tentang probabilitas adalah kemampuan untuk menghitung jumlah total hasil.

Ada 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci, dan jelas fakta berikut ini benar:

– ekstraksi bola apa pun sama mungkin (kesempatan yang sama hasil), sedangkan hasil dasar dan bentuk kumpulan acara lengkap (yaitu sebagai hasil dari tes, salah satu dari 30 bola pasti akan dikeluarkan).

Jadi, jumlah total hasil:

Perhatikan kejadian berikut: – sebuah bola putih akan diambil dari guci. Acara ini disukai dasar hasil, jadi menurut definisi klasik:
adalah peluang terambilnya bola putih dari guci.

Anehnya, bahkan dalam masalah yang begitu sederhana, seseorang dapat membuat ketidakakuratan yang serius, yang sudah saya fokuskan di artikel pertama tentang teori probabilitas. Di mana jebakan di sini? Tidak benar untuk berargumen di sini bahwa Karena setengah dari bola berwarna putih, maka peluang terambilnya bola putih adalah» . Definisi klasik dari probabilitas adalah DASAR hasilnya, dan pecahannya harus ditulis!

Dengan poin lain yang serupa, pertimbangkan peristiwa berikut:

- bola merah akan diambil dari guci;
- Sebuah bola hitam akan diambil dari guci.

Kejadian disukai oleh 5 hasil dasar, dan acara disukai oleh 10 hasil dasar. Jadi peluang yang sesuai adalah:

Verifikasi tipikal dari banyak masalah terver dilakukan dengan menggunakan teorema tentang jumlah probabilitas peristiwa membentuk kelompok lengkap. Dalam kasus kami, peristiwa membentuk grup lengkap, yang berarti bahwa jumlah probabilitas yang sesuai harus sama dengan satu: .

Mari kita periksa apakah ini benar: , yang ingin saya pastikan.

Menjawab:

Pada prinsipnya, jawabannya dapat ditulis secara lebih rinci, tetapi secara pribadi saya terbiasa meletakkan hanya angka di sana - karena ketika Anda mulai "mencap" tugas dalam ratusan dan ribuan, Anda berusaha untuk meminimalkan entri solusi. Omong-omong, tentang singkatnya: dalam praktiknya, opsi desain "kecepatan tinggi" adalah hal biasa. solusi:

Total: 15 + 5 + 10 = 30 bola di dalam guci. Menurut definisi klasik:
adalah peluang terambilnya bola putih dari guci;
adalah peluang terambilnya bola merah dari guci;
adalah peluang terambilnya bola hitam dari guci.

Menjawab:

Namun, jika ada beberapa poin dalam kondisi tersebut, maka solusinya seringkali lebih mudah dibuat dengan cara pertama, yang membutuhkan sedikit lebih banyak waktu, tetapi kemudian "menempatkan semuanya di rak" dan membuatnya lebih mudah untuk menavigasi tugas.

Pemanasan:

Tugas 2

Toko menerima 30 lemari es, lima di antaranya cacat pabrik. Satu lemari es dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa itu akan bebas cacat?

Pilih opsi desain yang cocok untuk Anda dan periksa template di bagian bawah halaman.

Dalam contoh paling sederhana, jumlah hasil yang sama dan jumlah hasil yang menguntungkan ada di permukaan, tetapi dalam kebanyakan kasus Anda harus menggali sendiri kentangnya. Serangkaian masalah kanonik tentang pelanggan yang pelupa:

Tugas 3

Saat memutar nomor telepon, pelanggan lupa dua digit terakhir, tetapi ingat bahwa salah satunya adalah nol, dan yang lainnya ganjil. Temukan probabilitas bahwa dia akan memanggil nomor yang benar.

Catatan : nol adalah bilangan genap (habis dibagi 2 tanpa sisa)

Keputusan: pertama cari jumlah total hasil. Dengan syarat, pelanggan ingat bahwa salah satu digit adalah nol, dan digit lainnya ganjil. Di sini lebih rasional untuk tidak lebih bijak dengan kombinatorik dan penggunaan pencacahan langsung hasil . Artinya, saat membuat keputusan, kita cukup menuliskan semua kombinasinya:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Dan kami menghitungnya - secara total: 10 hasil.

Hanya ada satu hasil yang menguntungkan: angka yang tepat.

Menurut definisi klasik:
adalah probabilitas bahwa pelanggan akan menekan nomor yang benar

Menjawab: 0,1

Pecahan desimal dalam teori probabilitas terlihat cukup tepat, tetapi Anda juga dapat mengikuti gaya Vyshmatov tradisional, yang hanya beroperasi dengan pecahan biasa.

Tugas lanjutan untuk solusi independen:

Tugas 4

Pelanggan lupa kode pin untuk kartu SIM-nya, tetapi ingat bahwa itu berisi tiga "lima", dan salah satu nomornya adalah "tujuh" atau "delapan". Berapa probabilitas otorisasi yang berhasil pada upaya pertama?

Di sini Anda masih dapat mengembangkan gagasan tentang kemungkinan bahwa pelanggan sedang menunggu hukuman dalam bentuk kode puk, tetapi, sayangnya, alasannya sudah melampaui cakupan pelajaran ini.

Solusi dan jawaban di bawah ini.

Terkadang membuat daftar kombinasi ternyata menjadi tugas yang sangat melelahkan. Khususnya, ini adalah kasus berikutnya, kelompok masalah yang tidak kalah populernya, di mana 2 dadu dilempar (lebih jarang - lebih banyak):

Tugas 5

Tentukan peluang pelemparan dua buah dadu maka jumlah dadunya adalah:

a) lima poin
b) tidak lebih dari empat poin;
c) dari 3 hingga 9 poin inklusif.

Keputusan: temukan jumlah total hasil:

Cara bisa menjatuhkan wajah dadu pertama dan wajah dadu ke-2 bisa rontok; pada aturan perkalian kombinasi, Jumlah: kemungkinan kombinasi. Dengan kata lain, setiap wajah kubus ke-1 dapat menjadi tertib pasangan dengan masing-masing muka kubus ke-2. Kita sepakat untuk menuliskan pasangan tersebut dalam bentuk , dimana bilangan yang jatuh pada dadu pertama adalah bilangan yang jatuh pada dadu kedua. Sebagai contoh:

- 3 poin pada dadu pertama, 5 poin pada dadu kedua, total poin: 3 + 5 = 8;
- pada dadu pertama 6 poin jatuh, pada dadu kedua - 1 poin, jumlah poin: 6 + 1 = 7;
- kedua dadu dilempar 2 poin, jumlah: 2 + 2 = 4.

Jelas, jumlah terkecil diberikan oleh sepasang, dan terbesar oleh dua "enam".

a) Perhatikan kejadian: - ketika melempar dua dadu, 5 poin akan keluar. Mari kita tulis dan hitung jumlah hasil yang mendukung acara ini:

Total: 4 hasil yang menguntungkan. Menurut definisi klasik:
adalah probabilitas yang diinginkan.

b) Pertimbangkan acara: - tidak lebih dari 4 poin akan rontok. Artinya, baik 2, atau 3, atau 4 poin. Sekali lagi, kami mendaftar dan menghitung kombinasi yang menguntungkan, di sebelah kiri saya akan menuliskan jumlah total poin, dan setelah titik dua - pasangan yang cocok:

Total: 6 kombinasi yang menguntungkan. Dengan demikian:
- probabilitas bahwa tidak lebih dari 4 poin akan jatuh.

c) Mari kita pertimbangkan acara: - dari 3 hingga 9 poin akan jatuh inklusif. Di sini Anda dapat menempuh jalan yang lurus, tetapi ... sesuatu tidak terasa seperti itu. Ya, beberapa pasangan sudah terdaftar di paragraf sebelumnya, tetapi masih banyak pekerjaan yang harus dilakukan.

Apa cara terbaik untuk melakukannya? Dalam kasus seperti itu, jalan memutar ternyata rasional. Mempertimbangkan peristiwa yang berlawanan: - 2 atau 10 atau 11 atau 12 poin akan rontok.

Apa gunanya? Acara sebaliknya disukai oleh jumlah pasangan yang jauh lebih sedikit:

Total: 7 hasil yang menguntungkan.

Menurut definisi klasik:
- probabilitas bahwa kurang dari tiga atau lebih dari 9 poin akan hilang.

Selain pencacahan langsung dan perhitungan hasil, berbagai rumus kombinatorial. Dan lagi tugas epik tentang lift:

Tugas 7

3 orang memasuki lift gedung 20 lantai di lantai pertama. Dan mari kita pergi. Carilah peluang bahwa:

a) mereka akan keluar di lantai yang berbeda
b) dua akan keluar di lantai yang sama;
c) semua orang akan keluar di lantai yang sama.

Pelajaran menarik kami telah berakhir, dan akhirnya, sekali lagi, saya sangat menyarankan, jika tidak untuk memecahkan, maka setidaknya untuk memahami tugas tambahan pada definisi klasik probabilitas. Seperti yang saya catat, "mengisi tangan" juga penting!

Lebih jauh ke bawah kursus - Definisi geometris probabilitas dan Teorema penjumlahan dan perkalian peluang dan ... keberuntungan yang utama!

Solusi dan jawaban:

Tugas 2: Keputusan: 30 - 5 = 25 lemari es tidak ada cacat.

adalah probabilitas bahwa lemari es yang dipilih secara acak tidak memiliki cacat.
Menjawab :

Tugas 4: Keputusan: temukan jumlah total hasil:
cara Anda dapat memilih tempat di mana sosok yang meragukan itu berada dan pada masing-masing dari 4 tempat ini, 2 digit dapat ditemukan (tujuh atau delapan). Menurut aturan perkalian kombinasi, jumlah total hasil: .
Atau, dalam solusi, Anda cukup membuat daftar semua hasil (untungnya tidak banyak):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Hanya ada satu hasil yang menguntungkan (kode pin yang benar).
Jadi, menurut definisi klasik:
- probabilitas bahwa pelanggan diotorisasi pada upaya pertama
Menjawab :

Tugas 6: Keputusan: temukan jumlah total hasil:
cara dapat menjatuhkan angka pada 2 dadu.

a) Pertimbangkan kejadiannya: - ketika melempar dua dadu, produk poin akan sama dengan tujuh. Untuk peristiwa ini, tidak ada hasil yang menguntungkan, menurut definisi klasik tentang probabilitas:
, yaitu peristiwa ini tidak mungkin.

b) Mari kita pertimbangkan kejadiannya: - saat melempar dua dadu, hasil kali poinnya adalah paling sedikit 20. Kejadian ini disukai oleh hasil berikut:

Jumlah: 8
Menurut definisi klasik:
adalah probabilitas yang diinginkan.

c) Pertimbangkan peristiwa yang berlawanan:
– hasil kali poin akan genap;
– hasil kali poin akan ganjil.
Mari kita daftar semua hasil yang mendukung acara tersebut:

Total: 9 hasil yang menguntungkan.
Menurut definisi klasik dari probabilitas:
Peristiwa yang berlawanan membentuk grup yang lengkap, jadi:
adalah probabilitas yang diinginkan.

Menjawab :

Tugas 8: Keputusan: hitung jumlah total hasil: 10 koin bisa jatuh dengan cara.
Cara lain: koin pertama bisa jatuh dengan cara dan Koin ke-2 bisa jatuh dengan cara dan … dan cara koin ke-10 bisa jatuh. Menurut aturan mengalikan kombinasi, 10 koin bisa jatuh cara.
a) Pertimbangkan kejadiannya: - semua koin akan jatuh. Peristiwa ini disukai oleh satu hasil, menurut definisi klasik probabilitas: .
b) Perhatikan kejadiannya: - 9 koin akan muncul di kepala, dan satu koin akan muncul di ekor.
Ada koin yang bisa mendaratkan ekor. Menurut definisi klasik dari probabilitas: .
c) Mari kita perhatikan peristiwa berikut: - kepala akan jatuh pada setengah dari koin.
Ada kombinasi unik dari lima koin yang bisa mendaratkan kepala. Menurut definisi klasik dari probabilitas:
Menjawab :

Kemungkinan peristiwa adalah rasio jumlah hasil dasar yang mendukung peristiwa tertentu dengan jumlah semua kemungkinan hasil pengalaman yang sama di mana peristiwa ini dapat terjadi. Probabilitas suatu peristiwa A dilambangkan dengan P(A) (di sini P adalah huruf pertama dari kata Prancis probabilite - probabilitas). Menurut definisi
(1.2.1)
di mana jumlah hasil dasar yang mendukung peristiwa A; - jumlah semua kemungkinan hasil dasar yang sama dari pengalaman, membentuk kelompok peristiwa yang lengkap.
Definisi probabilitas ini disebut klasik. Itu muncul pada tahap awal pengembangan teori probabilitas.

Peluang suatu kejadian memiliki sifat-sifat sebagai berikut:
1. Probabilitas suatu kejadian tertentu sama dengan satu. Mari kita tentukan acara tertentu dengan surat itu. Untuk acara tertentu, oleh karena itu
(1.2.2)
2. Probabilitas suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol. Kami menunjukkan peristiwa yang mustahil dengan surat itu. Untuk peristiwa yang mustahil, oleh karena itu
(1.2.3)
3. Probabilitas suatu kejadian acak dinyatakan sebagai bilangan positif kurang dari satu. Karena pertidaksamaan , atau dipenuhi untuk kejadian acak, maka
(1.2.4)
4. Probabilitas suatu kejadian memenuhi pertidaksamaan
(1.2.5)
Ini mengikuti dari hubungan (1.2.2) -(1.2.4).

Contoh 1 Sebuah guci berisi 10 bola dengan ukuran dan berat yang sama, 4 di antaranya berwarna merah dan 6 berwarna biru. Satu bola diambil dari guci. Berapa peluang terambilnya bola berwarna biru?

Keputusan. Kejadian "bola yang ditarik ternyata berwarna biru" akan dilambangkan dengan huruf A. Tes ini memiliki 10 kemungkinan hasil elementer yang sama, 6 di antaranya mendukung kejadian A. Sesuai dengan rumus (1.2.1), kita peroleh

Contoh 2 Semua bilangan asli dari 1 hingga 30 ditulis pada kartu yang sama dan ditempatkan dalam sebuah guci. Setelah benar-benar mencampur kartu, satu kartu dikeluarkan dari guci. Berapa peluang terambilnya angka pada kartu yang terambil adalah kelipatan 5?

Keputusan. Dilambangkan dengan A kejadian "angka pada kartu yang diambil adalah kelipatan 5". Dalam tes ini, ada 30 kemungkinan hasil dasar yang sama, 6 di antaranya mendukung kejadian A (angka 5, 10, 15, 20, 25, 30). Karena itu,

Contoh 3 Dua dadu dilempar, jumlah poin pada wajah atas dihitung. Temukan peluang kejadian B, yang terdiri dari fakta bahwa permukaan atas kubus akan memiliki total 9 poin.

Keputusan. Ada 6 2 = 36 kemungkinan hasil dasar yang sama dalam percobaan ini. Acara B disukai oleh 4 hasil: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), so

Contoh 4. Sebuah bilangan asli tidak lebih dari 10 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan ini adalah prima?

Keputusan. Dilambangkan dengan huruf C peristiwa "bilangan yang dipilih adalah prima". Dalam hal ini, n = 10, m = 4 (bilangan prima 2, 3, 5, 7). Oleh karena itu, probabilitas yang diinginkan

Contoh 5 Dua koin simetris dilempar. Berapa peluang bahwa kedua koin memiliki angka di sisi atas?

Keputusan. Mari kita tunjukkan dengan huruf D peristiwa "ada angka di sisi atas setiap koin". Ada 4 kemungkinan hasil dasar yang sama dalam tes ini: (G, G), (G, C), (C, G), (C, C). (Notasi (G, C) berarti bahwa pada koin pertama ada lambang, pada yang kedua - angka). Peristiwa D disukai oleh satu hasil dasar (C, C). Karena m = 1, n = 4, maka

Contoh 6 Berapa peluang bahwa angka-angka dalam dua angka yang dipilih secara acak adalah sama?

Keputusan. Angka dua digit adalah angka dari 10 hingga 99; total ada 90 angka seperti itu. 9 angka memiliki angka yang sama (ini adalah angka 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Karena dalam hal ini m = 9, n = 90, maka
,
di mana A adalah peristiwa "angka dengan angka yang sama".

Contoh 7 Dari huruf kata diferensial satu huruf dipilih secara acak. Berapa probabilitas bahwa huruf ini akan menjadi: a) vokal b) konsonan c) huruf h?

Keputusan. Ada 12 huruf dalam kata diferensial, 5 di antaranya adalah vokal dan 7 adalah konsonan. Surat h kata ini tidak. Mari kita tunjukkan peristiwa: A - "vokal", B - "konsonan", C - "huruf h". Jumlah hasil dasar yang menguntungkan: - untuk peristiwa A, - untuk peristiwa B, - untuk peristiwa C. Karena n \u003d 12, maka
, dan .

Contoh 8 Dua buah dadu dilempar, jumlah titik pada sisi atas setiap dadu dicatat. Tentukan peluang munculnya kedua dadu dengan jumlah poin yang sama.

Keputusan. Mari kita nyatakan peristiwa ini dengan huruf A. Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), ( 6;6). Secara total terdapat kemungkinan hasil elementer yang sama yang membentuk kelompok kejadian lengkap, dalam hal ini n=6 2 =36. Jadi peluang yang diinginkan

Contoh 9 Buku itu memiliki 300 halaman. Berapa peluang bahwa halaman yang dibuka secara acak akan memiliki nomor urut yang merupakan kelipatan 5?

Keputusan. Dari kondisi masalah ini, akan ada n = 300 dari semua kemungkinan hasil elementer yang sama yang membentuk kelompok lengkap peristiwa.Dari jumlah tersebut, m = 60 mendukung terjadinya peristiwa yang ditentukan. Memang, suatu bilangan yang merupakan kelipatan 5 memiliki bentuk 5k, di mana k adalah bilangan asli, dan , dari mana . Karena itu,
, di mana A - peristiwa "halaman" memiliki nomor urut yang merupakan kelipatan 5".

Contoh 10. Dua dadu dilempar, jumlah poin pada wajah atas dihitung. Apa yang lebih mungkin untuk mendapatkan total 7 atau 8?

Keputusan. Mari kita tentukan acaranya: A - "7 poin jatuh", B - "8 poin jatuh". Peristiwa A disukai oleh 6 hasil dasar: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), dan peristiwa B - oleh 5 hasil: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Ada n = 6 2 = 36 dari semua kemungkinan hasil elementer yang sama. dan .

Jadi, P(A)>P(B), yaitu, mendapatkan total 7 poin lebih mungkin terjadi daripada mendapatkan total 8 poin.

tugas

1. Sebuah bilangan asli tidak lebih dari 30 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan ini adalah kelipatan 3?
2. Di dalam guci sebuah merah dan b bola biru dengan ukuran dan berat yang sama. Berapa peluang terambilnya bola secara acak dari guci ini berwarna biru?
3. Sebuah bilangan yang tidak lebih dari 30 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan tersebut adalah pembagi dari zo?
4. Di dalam guci sebuah biru dan b bola merah dengan ukuran dan berat yang sama. Satu bola diambil dari guci ini dan disisihkan. Bola ini berwarna merah. Kemudian bola lain diambil dari guci. Tentukan peluang terambilnya bola kedua juga berwarna merah.
5. Sebuah bilangan asli tidak lebih dari 50 dipilih secara acak.Berapa peluang bahwa bilangan ini adalah prima?
6. Tiga dadu dilempar, jumlah poin pada sisi atas dihitung. Apa yang lebih mungkin - untuk mendapatkan total 9 atau 10 poin?
7. Tiga dadu dilempar, jumlah poin yang dijatuhkan dihitung. Apa yang lebih mungkin untuk mendapatkan total 11 (peristiwa A) atau 12 poin (peristiwa B)?

jawaban

1. 1/3. 2 . b/(sebuah+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(sebuah+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 \u003d 25/216 - probabilitas mendapatkan total 9 poin; p 2 \u003d 27/216 - probabilitas mendapatkan total 10 poin; p2 > p1 7 . P(A) = 27/216, P(B) = 25/216, P(A) > P(B).

pertanyaan

1. Apa yang disebut peluang suatu kejadian?
2. Berapa peluang suatu kejadian tertentu?
3. Berapa peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi?
4. Berapakah batas peluang suatu kejadian acak?
5. Berapakah batas peluang suatu kejadian?
6. Apa definisi probabilitas yang disebut klasik?

Dasar-dasar Teori Probabilitas

Rencana:

1. Peristiwa acak

2. Definisi klasik tentang probabilitas

3. Perhitungan peluang kejadian dan kombinatorik

4. Probabilitas geometris

Informasi teoretis

Peristiwa acak.

fenomena acak- sebuah fenomena, yang hasilnya ditentukan dengan jelas. Konsep ini dapat diartikan dalam arti yang cukup luas. Yaitu: segala sesuatu di alam cukup kebetulan, penampilan dan kelahiran setiap individu adalah fenomena acak, pilihan barang di toko juga merupakan fenomena acak, mendapatkan nilai pada ujian adalah fenomena acak, penyakit dan pemulihan adalah acak fenomena, dll.

Contoh fenomena acak:

~ Pemotretan dilakukan dari pistol yang dipasang pada sudut tertentu ke cakrawala. Menekannya pada target adalah kebetulan, tetapi memukul proyektil di "garpu" tertentu adalah sebuah pola. Anda dapat menentukan jarak yang lebih dekat dari dan di luar mana proyektil tidak akan terbang. Dapatkan beberapa "garpu dispersi cangkang"

~ Tubuh yang sama ditimbang beberapa kali. Sebenarnya, hasil yang berbeda akan diperoleh setiap kali, meskipun berbeda dengan jumlah yang sangat kecil, tetapi berbeda.

~ Sebuah pesawat terbang di sepanjang rute yang sama memiliki koridor penerbangan tertentu di mana pesawat dapat bermanuver, tetapi tidak akan pernah memiliki rute yang persis sama

~ Seorang atlet tidak akan pernah bisa berlari dengan jarak yang sama dengan waktu yang sama. Hasilnya juga akan berada dalam kisaran numerik tertentu.

Pengalaman, eksperimen, observasi adalah ujian

Uji coba- pengamatan atau pemenuhan serangkaian kondisi tertentu yang dilakukan berulang kali, dan berulang secara teratur dalam urutan dan durasi ini dan yang sama, sambil mengamati parameter identik lainnya.

Mari kita pertimbangkan kinerja olahragawan dari tembakan tepat sasaran. Agar dapat diproduksi, perlu memenuhi persyaratan seperti persiapan atlet, memuat senjata, membidik, dll. "Hit" dan "miss" adalah peristiwa sebagai hasil dari tembakan.

Peristiwa– hasil tes kualitatif.

Suatu peristiwa mungkin atau mungkin tidak terjadi Peristiwa ditunjukkan dengan huruf Latin kapital. Contoh: D ="Penembak mengenai sasaran". S = "Bola putih ditarik". K="Tiket lotere acak tanpa kemenangan.".

Melempar koin adalah ujian. Jatuhnya "lambang"-nya adalah satu peristiwa, jatuhnya "nomor"-nya adalah peristiwa kedua.

Setiap tes melibatkan terjadinya beberapa peristiwa. Beberapa dari mereka mungkin diperlukan pada waktu tertentu oleh peneliti, sementara yang lain mungkin tidak diperlukan.

Peristiwa itu disebut acak, jika di bawah penerapan serangkaian kondisi tertentu S itu bisa terjadi atau tidak terjadi. Berikut ini, alih-alih mengatakan "kumpulan kondisi S terpenuhi," kami akan mengatakan secara singkat: "pengujian dilakukan." Dengan demikian, acara tersebut akan dianggap sebagai hasil tes.

~ Penembak menembak target yang dibagi menjadi empat area. Tembakan adalah ujian. Menekan area target tertentu adalah sebuah event.

~ Ada bola berwarna di dalam guci. Satu bola diambil secara acak dari guci. Mengeluarkan bola dari guci adalah ujian. Munculnya bola dengan warna tertentu adalah suatu peristiwa.

Jenis peristiwa acak

1. Peristiwa dikatakan tidak sesuai jika terjadinya salah satunya meniadakan terjadinya peristiwa lain dalam sidang yang sama.

~ Sebuah bagian diambil secara acak dari sebuah kotak dengan bagian-bagian. Penampilan bagian standar tidak termasuk penampilan bagian non-standar. Acara € bagian standar muncul" dan dengan bagian non-standar muncul" - tidak kompatibel.

~ Sebuah koin dilempar. Munculnya "lambang" tidak termasuk penampilan prasasti. Peristiwa "lambang muncul" dan "sebuah prasasti muncul" tidak sesuai.

Beberapa acara terbentuk kelompok penuh, jika setidaknya salah satu dari mereka muncul sebagai hasil tes. Dengan kata lain, terjadinya paling sedikit salah satu peristiwa dari kelompok lengkap adalah peristiwa tertentu.

Khususnya, jika peristiwa yang membentuk grup lengkap tidak kompatibel berpasangan, maka satu dan hanya satu dari peristiwa ini yang akan muncul sebagai hasil pengujian. Kasus khusus ini sangat menarik bagi kami, karena digunakan di bawah ini.

~ Dua tiket undian uang dan pakaian dibeli. Satu dan hanya satu dari peristiwa berikut harus terjadi:

1. "kemenangan jatuh pada tiket pertama dan tidak jatuh pada tiket kedua",

2. "kemenangan tidak jatuh pada tiket pertama dan jatuh pada tiket kedua",

3. "kemenangan jatuh pada kedua tiket",

4. "kedua tiket tidak menang."

Peristiwa ini membentuk kelompok lengkap peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel,

~ Penembak melepaskan tembakan ke sasaran. Salah satu dari dua peristiwa berikut pasti akan terjadi: hit, miss. Kedua peristiwa yang terputus-putus ini juga membentuk kelompok yang lengkap.

2. Peristiwa disebut sama mungkin jika ada alasan untuk percaya bahwa tidak ada yang lebih mungkin dari yang lain.

~ Munculnya "lambang" dan munculnya prasasti ketika koin dilempar adalah peristiwa yang sama-sama mungkin terjadi. Memang, diasumsikan bahwa koin terbuat dari bahan yang homogen, memiliki bentuk silinder yang teratur, dan keberadaan koin tidak mempengaruhi hilangnya satu atau lain sisi koin.

~ Munculnya satu atau beberapa titik pada dadu yang dilempar adalah kejadian yang sama kemungkinannya. Memang, diasumsikan bahwa cetakan terbuat dari bahan yang homogen, memiliki bentuk polihedron biasa, dan keberadaan titik tidak mempengaruhi hilangnya wajah apa pun.

3. Peristiwa itu disebut autentik, jika itu tidak bisa terjadi

4. Peristiwa tersebut disebut tidak dapat diandalkan jika itu tidak bisa terjadi.

5. Peristiwa itu disebut di depan untuk beberapa peristiwa jika itu terdiri dari tidak terjadinya peristiwa yang diberikan. Peristiwa yang berlawanan tidak kompatibel, tetapi salah satunya harus terjadi. Peristiwa yang berlawanan biasanya disebut sebagai negasi, yaitu tanda hubung ditulis di atas huruf. Kejadiannya berlawanan: A dan ; U dan , dll. .

Definisi klasik dari probabilitas

Probabilitas adalah salah satu konsep dasar dari teori probabilitas.

Ada beberapa definisi dari konsep ini. Mari kita berikan definisi yang disebut klasik. Selanjutnya, kami menunjukkan kelemahan definisi ini dan memberikan definisi lain yang memungkinkan untuk mengatasi kekurangan definisi klasik.

Pertimbangkan situasinya: Sebuah kotak berisi 6 bola identik, 2 berwarna merah, 3 berwarna biru, dan 1 berwarna putih. Jelas, kemungkinan terambilnya bola berwarna (yaitu, merah atau biru) secara acak dari sebuah guci lebih besar daripada kemungkinan terambilnya bola putih. Kemungkinan ini dapat dicirikan oleh suatu bilangan, yang disebut peluang suatu kejadian (munculnya bola berwarna).

Kemungkinan- angka yang mencirikan tingkat kemungkinan terjadinya peristiwa.

Dalam situasi yang dipertimbangkan, kami menyatakan:

Kejadian A = "Mengeluarkan bola berwarna".

Setiap hasil yang mungkin dari tes (tes terdiri dari mengeluarkan bola dari guci) disebut hasil dan peristiwa dasar (mungkin). Hasil dasar dapat dilambangkan dengan huruf dengan indeks di bawah ini, misalnya: k 1 , k 2 .

Dalam contoh kita, ada 6 bola, jadi ada 6 kemungkinan hasil: bola putih muncul; bola merah muncul; bola biru muncul, dan seterusnya. Sangat mudah untuk melihat bahwa hasil ini membentuk kelompok lengkap dari peristiwa berpasangan yang tidak kompatibel (hanya satu bola yang akan muncul) dan kemungkinannya sama (bola diambil secara acak, bolanya sama dan tercampur rata).

Hasil dasar, di mana peristiwa yang menarik bagi kami terjadi, kami akan menyebutnya hasil yang menguntungkan acara ini. Dalam contoh kita, acara tersebut disukai TETAPI(munculnya bola berwarna) berikut 5 hasil :

Demikian acara TETAPI diamati jika salah satu terjadi dalam tes, tidak peduli yang mana, dari hasil dasar yang mendukung TETAPI. Ini adalah penampakan bola berwarna, yang ada 5 buah di dalam kotak

Dalam contoh yang dipertimbangkan dari hasil dasar 6; di antaranya 5 mendukung acara tersebut TETAPI. Karena itu, P(A)= 5/6. Angka ini memberikan kuantifikasi tingkat kemungkinan munculnya bola berwarna.

Definisi probabilitas:

Peluang kejadian A adalah rasio jumlah hasil yang menguntungkan untuk peristiwa ini dengan jumlah semua kemungkinan hasil elementer yang sama-sama tidak kompatibel yang membentuk kelompok lengkap.

P(A)=m/n atau P(A)=m: n, di mana:

m adalah jumlah hasil dasar yang disukai TETAPI;

P- jumlah semua hasil dasar yang mungkin dari tes.

Diasumsikan di sini bahwa hasil dasar tidak sesuai, sama-sama mungkin dan membentuk kelompok yang lengkap.

Sifat-sifat berikut mengikuti dari definisi probabilitas:

1. Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan satu.

Memang, jika acara tersebut dapat diandalkan, maka setiap hasil tes dasar mendukung acara tersebut. Pada kasus ini m = n maka p=1

2. Peluang suatu kejadian yang tidak mungkin adalah nol.

Memang, jika acara itu tidak mungkin, maka tidak ada hasil dasar dari percobaan yang mendukung acara tersebut. Dalam hal ini m=0, maka p=0.

3.Peluang suatu kejadian acak adalah bilangan positif antara nol dan satu. 0t< n.

Dalam topik berikutnya, teorema akan diberikan yang memungkinkan kita untuk menemukan probabilitas kejadian lain dari probabilitas yang diketahui dari beberapa kejadian.

Pengukuran. Ada 6 anak perempuan dan 4 anak laki-laki dalam kelompok siswa. Berapa peluang bahwa seorang siswa yang dipilih secara acak adalah seorang perempuan? apakah itu akan menjadi seorang pria muda?

p dev = 6 / 10 = 0,6 p jun = 4 / 10 = 0,4

Konsep "probabilitas" dalam kursus teori probabilitas modern yang ketat dibangun di atas dasar teori himpunan. Mari kita lihat beberapa pendekatan ini.

Misalkan sebagai hasil dari pengujian satu dan hanya satu dari peristiwa berikut terjadi: aku(i=1, 2, .... n). Acara aku, disebut peristiwa dasar (hasil dasar). HAI maka peristiwa-peristiwa dasar tidak kompatibel berpasangan. Himpunan semua peristiwa dasar yang dapat muncul dalam percobaan disebut ruang acara dasar(huruf Yunani omega kapital), dan peristiwa dasar itu sendiri - titik di ruang ini..

Peristiwa TETAPI diidentifikasi dengan subset (dari ruang ) yang elemen-elemennya adalah hasil dasar yang disukai TETAPI; peristiwa PADA adalah himpunan bagian yang elemen-elemennya merupakan hasil yang menguntungkan PADA, dst. Jadi, himpunan semua kejadian yang dapat terjadi dalam pengujian adalah himpunan semua himpunan bagian dari . itu sendiri terjadi untuk setiap hasil pengujian, oleh karena itu adalah kejadian tertentu; subset kosong dari ruang adalah kejadian -impossible (tidak terjadi untuk hasil tes apa pun).

Acara dasar dibedakan dari semua acara berdasarkan topik, "masing-masing hanya berisi satu elemen

Untuk setiap hasil dasar aku cocok dengan angka positif p saya adalah probabilitas hasil ini, dan jumlah semuanya p saya sama dengan 1 atau dengan tanda jumlah, fakta ini akan ditulis sebagai ekspresi:

Menurut definisi, probabilitas P(A) acara TETAPI sama dengan jumlah probabilitas hasil elementer yang menguntungkan TETAPI. Oleh karena itu, probabilitas suatu peristiwa tertentu sama dengan satu, tidak mungkin - ke nol, arbitrer - adalah antara nol dan satu.

Mari kita pertimbangkan kasus tertentu yang penting, ketika semua hasil memiliki kemungkinan yang sama.Jumlah hasil sama dengan n, jumlah probabilitas semua hasil sama dengan satu; maka probabilitas setiap hasil adalah 1/n. Biarkan acara TETAPI mendukung m hasil.

Probabilitas Peristiwa TETAPI sama dengan jumlah probabilitas hasil yang menguntungkan TETAPI:

P(A)=1/n + 1/n+…+1/n = n 1/n=1

Definisi klasik dari probabilitas diperoleh.

Masih ada aksiomatis pendekatan dengan konsep "probabilitas". Dalam sistem aksioma yang diusulkan. Kolmogorov A.N., konsep yang tidak terdefinisi adalah peristiwa dan probabilitas dasar. Konstruksi teori probabilitas yang lengkap secara logis didasarkan pada definisi aksiomatik dari peristiwa acak dan probabilitasnya.

Berikut adalah aksioma yang mendefinisikan probabilitas:

1. Setiap acara TETAPI diberi bilangan real non-negatif P(A). Angka ini disebut peluang kejadian. TETAPI.

2. Peluang suatu kejadian tertentu sama dengan satu:

3. Probabilitas terjadinya paling sedikit satu dari kejadian-kejadian yang tidak kompatibel berpasangan sama dengan jumlah dari probabilitas dari kejadian-kejadian tersebut.

Berdasarkan aksioma-aksioma ini, sifat-sifat probabilitas untuk hubungan di antara mereka diturunkan sebagai teorema.

LEMBAGA PENDIDIKAN KOTA

GYMNAS No.6

pada topik "Definisi klasik dari probabilitas".

Diselesaikan oleh siswa kelas "B" ke-8

Klimantova Alexandra.

Guru matematika: Videnkina V. A.

Voronezh, 2008

Banyak permainan menggunakan dadu. Dadu memiliki 6 wajah, pada setiap wajah jumlah poin yang berbeda ditandai - dari 1 hingga 6. Pemain melempar dadu dan melihat berapa banyak poin yang ada di wajah yang dijatuhkan (pada wajah yang terletak di atas). Cukup sering, titik-titik di tepi dadu diganti dengan angka yang sesuai dan kemudian mereka berbicara tentang gulungan 1, 2 atau 6. Melempar dadu dapat dianggap sebagai pengalaman, eksperimen, tes, dan hasil yang diperoleh adalah hasil tes atau peristiwa dasar. Orang-orang tertarik untuk menebak permulaan suatu peristiwa, memprediksi hasilnya. Prediksi apa yang bisa mereka buat ketika sebuah dadu dilempar? Misalnya, ini:

1. acara A - angka 1, 2, 3, 4, 5 atau 6 jatuh;
2. acara B - angka 7, 8 atau 9 jatuh;
3. acara C - nomor 1 jatuh.

Peristiwa A, yang diprediksi dalam kasus pertama, pasti akan datang. Secara umum, suatu peristiwa yang pasti terjadi dalam pengalaman tertentu disebut acara tertentu.

Peristiwa B, yang diprediksi dalam kasus kedua, tidak akan pernah terjadi, itu tidak mungkin. Secara umum, suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi dalam suatu percobaan disebut peristiwa yang tidak mungkin.

Akankah peristiwa C, yang diprediksi pada kasus ketiga, terjadi atau tidak? Kami tidak dapat menjawab pertanyaan ini dengan pasti, karena saya mungkin atau mungkin tidak jatuh. Suatu peristiwa yang dalam pengalaman tertentu mungkin atau mungkin tidak terjadi disebut kejadian acak.

Memikirkan permulaan suatu peristiwa tertentu, kemungkinan besar kita tidak akan menggunakan kata "mungkin". Misal hari ini hari rabu, maka besok hari kamis, ini peristiwa tertentu. Pada hari Rabu kami tidak akan mengatakan: "Mungkin besok adalah Kamis", kami akan mengatakan secara singkat dan jelas: "Besok adalah Kamis." Benar, jika kita cenderung pada frasa yang indah, maka kita dapat mengatakan ini: "Dengan kemungkinan seratus persen saya mengatakan bahwa besok adalah hari Kamis." Sebaliknya, jika hari ini adalah hari Rabu, maka datangnya hari esok adalah hari Jumat—suatu peristiwa yang mustahil. Mengevaluasi acara ini pada hari Rabu, kita dapat mengatakan ini: "Saya yakin besok bukan hari Jumat." Atau seperti ini: "Sulit dipercaya bahwa besok adalah hari Jumat." Nah, jika kita cenderung pada frasa yang indah, maka kita dapat mengatakan ini: "Kemungkinan besok adalah hari Jumat adalah nol." Jadi, peristiwa tertentu adalah peristiwa yang terjadi dalam kondisi tertentu. dengan kepastian 100%(yaitu datang dalam 10 kasus dari 10, dalam 100 kasus dari 100, dll). Peristiwa mustahil adalah peristiwa yang tidak pernah terjadi dalam kondisi tertentu, suatu peristiwa dengan probabilitas nol.

Tapi, sayangnya (dan mungkin untungnya), tidak semua hal dalam hidup ini begitu jelas dan jelas: akan selalu ada (peristiwa tertentu), ini tidak akan pernah terjadi (peristiwa yang mustahil). Paling sering, kita dihadapkan dengan peristiwa acak, beberapa di antaranya lebih mungkin, yang lain lebih kecil kemungkinannya. Biasanya orang menggunakan kata-kata "lebih mungkin" atau "kurang mungkin", seperti yang mereka katakan, sambil lalu, mengandalkan apa yang disebut akal sehat. Tetapi sangat sering perkiraan seperti itu ternyata tidak mencukupi, karena penting untuk diketahui berapa banyak persen kemungkinan peristiwa acak atau berapa kali satu peristiwa acak lebih mungkin daripada yang lain. Dengan kata lain, kita perlu tepat kuantitatif karakteristik, Anda harus dapat mengkarakterisasi probabilitas dengan angka.

Kami telah mengambil langkah pertama ke arah ini. Kami mengatakan bahwa probabilitas suatu peristiwa tertentu terjadi ditandai sebagai seratus persen, dan peluang suatu kejadian yang tidak mungkin terjadi sebagai nol. Mengingat bahwa 100% sama dengan 1, orang-orang telah menyetujui hal berikut:

1. peluang suatu kejadian tertentu dianggap sama dengan 1;
2. peluang suatu kejadian yang tidak mungkin dianggap sama dengan 0.

Bagaimana cara menghitung peluang kejadian acak? Bagaimanapun, itu terjadi kebetulan, yang berarti tidak mematuhi hukum, algoritma, rumus. Ternyata hukum tertentu beroperasi di dunia keacakan, memungkinkan Anda menghitung probabilitas. Ini adalah cabang matematika yang disebut- teori probabilitas.

Matematika berhubungan dengan model beberapa fenomena realitas di sekitar kita. Dari semua model yang digunakan dalam teori probabilitas, kami akan membatasi diri pada yang paling sederhana.

Skema probabilistik klasik

Untuk menemukan peluang kejadian A selama beberapa percobaan, seseorang harus:

1) temukan jumlah N dari semua hasil yang mungkin dari pengalaman ini;

2) menerima asumsi bahwa semua hasil ini sama-sama mungkin (sama mungkin);

3) temukan jumlah N(A) dari hasil pengalaman di mana peristiwa A terjadi;

4) temukan pribadi ; sama dengan peluang kejadian A.

Merupakan kebiasaan untuk menyatakan peluang suatu kejadian A sebagai P(A). Penjelasan untuk penunjukan ini sangat sederhana: kata "probabilitas" dalam bahasa Prancis adalah kemungkinan, dalam Bahasa Inggris- kemungkinan.Penunjukannya menggunakan huruf pertama dari kata tersebut.

Dengan menggunakan notasi ini, peluang suatu kejadian A menurut skema klasik dapat dicari dengan menggunakan rumus

P(A)=.

Seringkali semua poin dari skema probabilistik klasik yang diberikan diungkapkan dalam satu frase yang agak panjang.

Definisi klasik dari probabilitas

Probabilitas kejadian A selama pengujian tertentu adalah rasio jumlah hasil, sebagai akibatnya peristiwa A terjadi, dengan jumlah semua hasil yang mungkin sama dari tes ini.

Contoh 1. Tentukan peluang bahwa dalam satu kali pelemparan sebuah dadu: a) 4; b) 5; c) jumlah poin genap; d) jumlah poin lebih besar dari 4; e) jumlah poin bukan kelipatan tiga.

Keputusan. Secara total, ada N=6 kemungkinan hasil: menjatuhkan wajah kubus dengan jumlah poin sama dengan 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Kami percaya bahwa tidak satupun dari mereka memiliki keunggulan dibandingkan yang lain, yaitu, kami menerima asumsi kesamaan hasil ini.

a) Tepat di salah satu hasil, peristiwa yang menarik bagi kami A akan terjadi - hilangnya angka 4. Oleh karena itu, N (A) \u003d 1 dan

P(A)= =.

b) Solusi dan jawabannya sama seperti pada paragraf sebelumnya.

c) Peristiwa B yang menarik bagi kita akan terjadi tepat dalam tiga kasus ketika jumlah poinnya adalah 2, 4 atau 6. Oleh karena itu,

N(B)=3 danP(B)==.

d) Peristiwa C yang menarik bagi kita akan terjadi tepat dalam dua kasus ketika jumlah poin adalah 5 atau 6. Oleh karena itu,

N(C) =2 dan P(C)=.

e) Dari enam kemungkinan angka yang diambil, empat (1, 2, 4 dan 5) bukan kelipatan tiga, dan dua sisanya (3 dan 6) habis dibagi tiga. Ini berarti bahwa peristiwa yang menarik bagi kami terjadi tepat di empat dari enam kemungkinan dan kemungkinan yang sama di antara mereka sendiri dan kemungkinan yang sama di antara mereka sendiri hasil dari pengalaman. Jadi jawabannya adalah.

Jawaban: a); b) ; di) ; G) ; e).

Sebuah dadu bermain nyata mungkin berbeda dari dadu (model) yang ideal, oleh karena itu, untuk menggambarkan perilakunya, diperlukan model yang lebih akurat dan terperinci, dengan mempertimbangkan keunggulan satu wajah di atas yang lain, kemungkinan adanya magnet, dll. Tetapi "iblis ada dalam detail", dan akurasi yang lebih cenderung mengarah pada lebih banyak kerumitan, dan mendapatkan jawaban menjadi masalah. Kami membatasi diri untuk mempertimbangkan model probabilistik paling sederhana, di mana semua hasil yang mungkin sama-sama mungkin.

Catatan 1. Mari kita pertimbangkan contoh lain. Pertanyaan diajukan: "Berapa peluang terambilnya tiga dalam satu lemparan dadu?" Siswa menjawab seperti ini: "Kemungkinannya adalah 0,5." Dan dia menjelaskan jawabannya: “Ketiganya akan rontok atau tidak. Ini berarti bahwa ada dua hasil secara total, dan tepat dalam satu peristiwa, peristiwa yang menarik bagi kita terjadi. Menurut skema probabilistik klasik, kita mendapatkan jawabannya 0,5. Apakah ada kesalahan dalam penalaran ini? Sekilas, tidak. Namun, itu masih ada, dan dalam momen fundamental. Ya, memang, triple akan jatuh atau tidak, yaitu, dengan definisi hasil lemparan seperti itu, N = 2. Juga benar bahwa N(A)=1 dan, tentu saja, benar bahwa =0, ​​5, yaitu, tiga poin dari skema probabilistik diperhitungkan, tetapi pemenuhan poin 2) diragukan. Tentu saja, dari sudut pandang hukum murni, kami memiliki hak untuk percaya bahwa kehilangan tiga kali lipat kemungkinan besar akan gagal. Tapi bisakah kita berpikir begitu tanpa melanggar asumsi alami kita sendiri tentang "kesamaan" wajah? Tentu saja tidak! Di sini kita berurusan dengan penalaran yang benar dalam beberapa model. Hanya model ini sendiri yang “salah”, tidak sesuai dengan fenomena yang sebenarnya.

Catatan 2. Saat membahas probabilitas, jangan lupakan keadaan penting berikut ini. Jika kita mengatakan bahwa ketika melempar dadu, peluang mendapatkan satu poin sama dengan , ini tidak berarti sama sekali bahwa dengan melempar dadu 6 kali, Anda akan mendapatkan satu poin tepat satu kali, dengan melempar dadu 12 kali, Anda akan mendapatkan satu poin tepat dua kali, dengan melempar dadu 18 kali, Anda mendapatkan satu poin tepat tiga kali, dan seterusnya.Kata itu mungkin spekulatif. Kami berasumsi bahwa itu mungkin terjadi. Mungkin jika kita melempar dadu 600 kali, satu poin akan muncul 100 kali, atau sekitar 100.

Teori probabilitas muncul pada abad ke-17 ketika menganalisis berbagai permainan judi. Oleh karena itu, tidak mengherankan bahwa contoh pertama bersifat main-main. Dari contoh dadu, mari kita beralih ke gambar acak kartu remi dari dek.

Contoh 2. Dari setumpuk 36 kartu, 3 kartu diambil secara acak pada saat yang bersamaan. Berapa probabilitas bahwa tidak ada Ratu Sekop di antara mereka?

Keputusan. Kami memiliki satu set 36 elemen. Kami memilih tiga elemen, urutannya tidak penting. Oleh karena itu, adalah mungkin untuk mendapatkan hasil N=C. Kami akan bertindak sesuai dengan skema probabilistik klasik, yaitu, kami akan mengasumsikan bahwa semua hasil ini memiliki kemungkinan yang sama.

Tetap menghitung probabilitas yang diperlukan sesuai dengan definisi klasik:

Dan berapa peluang bahwa di antara tiga kartu yang dipilih ada Ratu Sekop? Jumlah semua hasil seperti itu tidak sulit untuk dihitung, Anda hanya perlu mengurangi dari semua hasil N semua hasil di mana tidak ada ratu sekop, yaitu, kurangi angka N(A) yang ditemukan pada Contoh 3. Maka selisih N - N (A) ini sesuai dengan skema probabilistik klasik harus dibagi dengan N. Inilah yang kita dapatkan:

Kita melihat bahwa ada hubungan tertentu antara probabilitas dari dua kejadian. Jika kejadian A terdiri dari tidak adanya Ratu Sekop, dan kejadian B terdiri dari kehadirannya di antara tiga kartu yang dipilih, maka

P (B) \u003d 1 - P (A),

P(A)+P(B)=1.

Sayangnya, dalam persamaan P(A)+P(B)=1 tidak ada informasi tentang hubungan antara kejadian A dan B; kita harus menjaga hubungan ini dalam pikiran. Akan lebih mudah untuk memberi nama dan penunjukan acara B terlebih dahulu, dengan jelas menunjukkan hubungannya dengan A.

Definisi 1. Acara B ditelepon berlawanan dengan kejadian A dan menyatakan B=Ā jika peristiwa B terjadi jika dan hanya jika peristiwa A tidak terjadi.

TTeorema 1. Untuk mencari peluang kejadian yang berlawanan, kurangi peluang kejadian itu sendiri dari satu: (Ā)= 1—Р(А). Memang,

Dalam praktiknya, mereka menghitung apa yang lebih mudah ditemukan: P(A) atau P(Ā). Setelah itu, mereka menggunakan rumus dari teorema dan menemukan, masing-masing, P(Ā)= 1-P(A), atau P(A)= 1-P(Ā).

Sering digunakan adalah metode pemecahan masalah tertentu dengan "pencacahan kasus", ketika kondisi masalah dibagi menjadi kasus-kasus yang saling eksklusif, yang masing-masing dianggap terpisah. Misalnya, "jika Anda pergi ke kanan, Anda akan kehilangan kuda Anda, jika Anda lurus, Anda akan memecahkan masalah menurut teori probabilitas, jika Anda pergi ke kiri ...". Atau ketika memplot fungsi y=│x+1│—│2x—5│, perhatikan kasus-kasus x

Contoh 3. Dari 50 titik tersebut, 17 berwarna biru dan 13 berwarna oranye. Tentukan peluang bahwa suatu titik yang dipilih secara acak akan diarsir.

Keputusan. Secara total, 30 poin dari 50 diarsir, jadi peluangnya adalah = 0,6.

Jawaban: 0.6.

Namun, mari kita lihat lebih dekat contoh sederhana ini. Misalkan kejadian A adalah titik yang dipilih berwarna biru, dan kejadian B adalah titik yang dipilih berwarna jingga. Berdasarkan kesepakatan, peristiwa A dan B tidak dapat terjadi secara bersamaan.

Kami menunjukkan dengan huruf C peristiwa yang menarik bagi kami. Peristiwa C terjadi jika dan hanya jika itu terjadi setidaknya satu dari kejadian A atau B. Jelas bahwa N(C)= N(A)+N(B).

Mari kita bagi kedua sisi persamaan ini dengan N, jumlah semua hasil yang mungkin dari percobaan yang diberikan; kita mendapatkan

Kami telah menganalisis situasi penting dan sering terjadi menggunakan contoh sederhana. Ada nama khusus untuknya.

Definisi 2. Peristiwa A dan B disebut tidak cocok jika mereka tidak dapat terjadi pada saat yang bersamaan.

Teorema 2. Probabilitas terjadinya paling sedikit satu dari dua kejadian yang tidak sesuai sama dengan jumlah probabilitasnya.

Ketika menerjemahkan teorema ini ke dalam bahasa matematika, menjadi perlu untuk entah bagaimana memberi nama dan menunjuk suatu peristiwa yang terdiri dari terjadinya setidaknya satu dari dua peristiwa A dan B yang diberikan. Peristiwa semacam itu disebut jumlah peristiwa A dan B dan dilambangkan dengan A+B.

Jika A dan B tidak kompatibel, maka P(A+B)= P(A)+P(B).

Memang,

Ketidaksesuaian peristiwa A dan B dapat dengan mudah diilustrasikan oleh sebuah gambar. Jika semua hasil dari pengalaman tersebut adalah sekumpulan titik pada gambar, maka kejadian A dan B adalah beberapa himpunan bagian dari himpunan tertentu. Ketidakcocokan A dan B berarti kedua himpunan bagian ini tidak berpotongan. Contoh khas dari peristiwa yang tidak kompatibel adalah setiap peristiwa A dan peristiwa yang berlawanan .

Tentu saja, teorema ini benar untuk tiga, empat, dan untuk sejumlah berhingga kejadian tak kompatibel berpasangan. Probabilitas jumlah sejumlah kejadian tidak kompatibel berpasangan sama dengan jumlah probabilitas kejadian ini. Pernyataan penting ini persis sesuai dengan metode pemecahan masalah dengan "pencacahan kasus".

Antara peristiwa yang terjadi sebagai hasil dari beberapa pengalaman, dan antara probabilitas peristiwa ini, mungkin ada beberapa hubungan, ketergantungan, koneksi, dll. Misalnya, peristiwa dapat "ditambahkan", dan kemungkinan jumlah yang tidak kompatibel kejadian sama dengan jumlah peluangnya.

Sebagai kesimpulan, kami membahas pertanyaan mendasar berikut: apakah mungkin untuk membuktikan, bahwa peluang terambilnya "ekor" dalam satu kali pelemparan koin sama dengan

Jawabannya adalah negatif. Secara umum, pertanyaan itu sendiri tidak benar, arti yang tepat dari kata "membuktikan" tidak jelas. Bagaimanapun, kami selalu membuktikan sesuatu dalam kerangka beberapa model, di mana aturan, hukum, aksioma, rumus, teorema, dll sudah diketahui. Jika kita berbicara tentang koin imajiner, "ideal", maka itu dianggap ideal karena, a-prioritas, peluang terambilnya kepala sama dengan peluang terambilnya kepala. Dan, pada prinsipnya, kita dapat mempertimbangkan model di mana probabilitas jatuh "ekor" adalah dua kali probabilitas jatuh "kepala", atau tiga kali lebih sedikit, dll. Kemudian muncul pertanyaan: untuk alasan apa dari berbagai model yang mungkin untuk pelemparan sebuah koin apakah kita memilih salah satu di mana kedua hasil lemparan memiliki peluang yang sama?

Jawaban yang sepenuhnya frontal adalah: "Tapi itu lebih mudah, lebih jelas, dan lebih alami bagi kami!" Tetapi ada juga argumen yang lebih substantif. Mereka datang dari latihan. Sebagian besar buku teks tentang teori probabilitas memberikan contoh naturalis Prancis J. Buffon (abad ke-18) dan matematikawan-statistik Inggris C. Pearson (akhir abad ke-19), yang masing-masing melempar koin 4040 dan 24000 kali, dan menghitung jumlah "kepala" jatuh "atau" ekor". "Ekor" mereka jatuh, masing-masing, 1992 dan 11998 kali. Jika Anda menghitung frekuensi jatuh“ekor”, maka Anda mendapatkan = = 0,493069 ... untuk Buffon dan = 0,4995 untuk Pearson. Muncul secara alami anggapan bahwa dengan bertambahnya jumlah pelemparan sebuah koin yang tidak terbatas, frekuensi jatuhnya "ekor", serta frekuensi jatuhnya "elang", akan semakin mendekati 0,5. Asumsi inilah, berdasarkan data praktis, yang menjadi dasar untuk memilih model dengan hasil yang setara.

Sekarang kita bisa menyimpulkan. Konsep dasarnya adalah peluang kejadian acak, yang dihitung dalam kerangka model paling sederhana— skema probabilistik klasik. Konsep itu penting baik dalam teori maupun dalam praktik. peristiwa yang berlawanan dan rumus (Ā)= 1—Р(А) untuk mencari peluang kejadian seperti itu.

Akhirnya kita bertemu acara yang tidak kompatibel dan dengan rumus.

P (A + B) \u003d P (A) + P (B),

P (A + B + C) \u003d P (A) + P (B) + P (C),

memungkinkan untuk menemukan probabilitas jumlah peristiwa seperti itu.

Bibliografi

1. Acara. Probabilitas. Pengolahan data statistik: Tambah. paragraf ke kursus aljabar 7-9 sel. lembaga pendidikan / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov.—edisi ke-4.—M.: Mnemozina, 2006.—112 hal.: sakit.

2. Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk “Aljabar. Elemen statistik dan teori probabilitas.—Moskow, Pencerahan, 2006.