- apotema- ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari atasnya (selain itu, apotema adalah panjang tegak lurus, yang diturunkan dari tengah poligon beraturan ke 1 sisinya);
- wajah samping (ASB, BSC, CSD, DSA) - segitiga yang bertemu di atas;
- rusuk samping ( SEBAGAI , BS , CS , D.S. ) - sisi umum dari sisi samping;
- puncak piramida (v.S) - titik yang menghubungkan tepi samping dan yang tidak terletak pada bidang alas;
- tinggi ( JADI ) - segmen tegak lurus, yang ditarik melalui bagian atas piramida ke bidang alasnya (ujung segmen tersebut akan menjadi bagian atas piramida dan alas tegak lurus);
- bagian diagonal piramida- bagian piramida, yang melewati bagian atas dan diagonal alas;
- basis (ABC) adalah poligon yang bagian atas piramida tidak termasuk.
sifat piramida.
1. Jika semua sisi sisinya berukuran sama, maka:
- dekat dasar piramida mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
- rusuk samping membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar;
- selain itu, kebalikannya juga benar, yaitu ketika tepi sisi membentuk sudut yang sama dengan bidang alas, atau ketika sebuah lingkaran dapat digambarkan di dekat dasar piramida dan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini, maka semua tepi sisi piramida memiliki ukuran yang sama.
2. Jika sisi-sisi menghadap memiliki sudut kemiringan terhadap bidang alas yang nilainya sama, maka:
- dekat dasar piramida, mudah untuk menggambarkan sebuah lingkaran, sedangkan bagian atas piramida akan diproyeksikan ke pusat lingkaran ini;
- ketinggian sisi-sisinya memiliki panjang yang sama;
- luas permukaan samping adalah hasil kali keliling alas dan tinggi permukaan samping.
3. Sebuah bola dapat digambarkan di dekat piramida jika alas piramida adalah poligon di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi perlu dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang yang melewati titik tengah tepi piramida yang tegak lurus terhadapnya. Dari teorema ini kami menyimpulkan bahwa sebuah bola dapat digambarkan baik di sekitar segitiga apa pun dan di sekitar piramida biasa apa pun.
4. Sebuah bola dapat dimasukkan ke dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan di titik pertama (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.
Piramida paling sederhana.
Menurut jumlah sudut dasar piramida, mereka dibagi menjadi segitiga, segi empat, dan sebagainya.
Piramida akan segitiga, berbentuk segi empat, dan seterusnya, ketika alas piramida adalah segitiga, segi empat, dan seterusnya. Piramida segitiga adalah tetrahedron - tetrahedron. Segi empat - pentahedron dan sebagainya.
Piramida segitiga adalah piramida yang didasarkan pada segitiga. Ketinggian piramida ini adalah tegak lurus, yang diturunkan dari puncak piramida ke alasnya.
Menemukan Ketinggian Piramida
Bagaimana cara mencari tinggi piramida? Sangat sederhana! Untuk mencari tinggi piramida segitiga, Anda dapat menggunakan rumus volume: V = (1/3)Sh, di mana S adalah luas alas, V adalah volume piramida, h adalah tingginya. Dari rumus ini, turunkan rumus tinggi: untuk menemukan ketinggian piramida segitiga, Anda perlu mengalikan volume piramida dengan 3, dan kemudian membagi nilai yang dihasilkan dengan luas alas, itu akan menjadi: h \u003d (3V ) / S. Karena alas piramida segitiga adalah segitiga, Anda dapat menggunakan rumus untuk menghitung luas segitiga. Jika diketahui: luas segitiga S dan sisinya z, maka sesuai dengan rumus luas S=(1/2)γh: h = (2S)/γ, di mana h adalah tinggi piramida, adalah tepi segitiga; sudut antara sisi-sisi segitiga dan kedua sisi itu sendiri, maka menggunakan rumus berikut: S = (1/2)γφsinQ, di mana , adalah sisi-sisi segitiga, kita cari luas segitiga. Nilai sinus sudut Q harus dilihat di tabel sinus, yang ada di Internet. Selanjutnya, kita substitusikan nilai luas ke dalam rumus tinggi: h = (2S)/γ. Jika tugas mengharuskan menghitung tinggi piramida segitiga, maka volume piramida sudah diketahui.
Piramida segitiga biasa
Temukan ketinggian piramida segitiga biasa, yaitu piramida di mana semua wajah adalah segitiga sama sisi, mengetahui ukuran tepi . Dalam hal ini, tepi piramida adalah sisi segitiga sama sisi. Tinggi piramida segitiga beraturan adalah: h = (2/3), di mana adalah tepi segitiga sama sisi, h adalah tinggi piramida. Jika luas alas (S) tidak diketahui, dan hanya panjang tepi (γ) dan volume (V) polihedron yang diberikan, maka variabel yang diperlukan dalam rumus dari langkah sebelumnya harus diganti dengan ekuivalennya, yang dinyatakan dalam panjang sisi. Luas segitiga (beraturan) sama dengan 1/4 hasil kali panjang sisi segitiga ini, dikuadratkan dengan akar kuadrat dari 3. Kita substitusikan rumus ini sebagai ganti luas alas pada rumus sebelumnya , dan kami mendapatkan rumus berikut: h \u003d 3V4 / (γ 2 3) = 12V/(γ 2 3). Volume tetrahedron dapat dinyatakan dalam panjang sisinya, maka semua variabel dapat dihilangkan dari rumus untuk menghitung tinggi suatu bangun dan hanya sisi wajah segitiga dari gambar yang dapat dibiarkan. Volume piramida semacam itu dapat dihitung dengan membagi 12 dari produk panjang wajahnya dikuadratkan dengan akar kuadrat dari 2.
Mengganti ekspresi ini ke dalam rumus sebelumnya, kita mendapatkan rumus berikut untuk menghitung: h = 12(γ 3 2/12)/(γ 2 3) = (γ 3 2)/(γ 2 3) = (2/3) = (1/3)γ√6. Juga, prisma segitiga biasa dapat ditulis dalam bola, dan hanya mengetahui jari-jari bola (R), Anda dapat menemukan ketinggian tetrahedron. Panjang tepi tetrahedron adalah: = 4R/√6. Kami mengganti variabel dengan ekspresi ini dalam rumus sebelumnya dan memperoleh rumus: h = (1/3)√6(4R)/6 = (4R)/3. Rumus yang sama dapat diperoleh dengan mengetahui jari-jari (R) lingkaran yang tertulis dalam tetrahedron. Dalam hal ini, panjang tepi segitiga akan sama dengan 12 rasio antara akar kuadrat dari 6 dan jari-jarinya. Kami mengganti ekspresi ini ke dalam rumus sebelumnya dan memiliki: h = (1/3)γ√6 = (1/3)√6(12R)/√6 = 4R.
Cara mencari tinggi piramida segi empat biasa
Untuk menjawab pertanyaan bagaimana mencari panjang tinggi piramida, Anda perlu tahu apa itu piramida biasa. Piramida segi empat adalah piramida yang didasarkan pada segi empat. Jika dalam kondisi masalah kita memiliki: volume (V) dan luas alas (S) piramida, maka rumus untuk menghitung tinggi polihedron (h) adalah sebagai berikut - bagi volume dikalikan 3 dengan luas S: h \u003d (3V) / S. Dengan alas berbentuk persegi lima yang diketahui: diketahui volume (V) dan panjang sisi , ganti luas (S) pada rumus sebelumnya dengan kuadrat panjang sisinya: S = 2 ; H = 3V/γ 2 . Ketinggian piramida beraturan h = SO melewati pusat lingkaran, yang dibatasi di dekat alasnya. Karena alas piramida ini berbentuk bujur sangkar, maka titik O adalah titik potong diagonal AD dan BC. Kami memiliki: OC = (1/2)BC = (1/2)AB√6. Selanjutnya, kita temukan dalam segitiga siku-siku SOC (menurut teorema Pythagoras): SO = (SC 2 -OC 2). Sekarang Anda tahu cara menemukan ketinggian piramida biasa.
Definisi
Piramida adalah polihedron yang terdiri dari poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(n\) segitiga dengan simpul yang sama \(P\) (tidak terletak pada bidang poligon) dan sisi-sisi yang berhadapan berhadapan dengan sisi-sisi poligon.
Penunjukan: \(PA_1A_2...A_n\) .
Contoh: piramida segi lima \(PA_1A_2A_3A_4A_5\) .
Segitiga \(PA_1A_2, \ PA_2A_3\) dll. ditelepon wajah samping piramida, segmen \(PA_1, PA_2\), dll. - rusuk samping, poligon \(A_1A_2A_3A_4A_5\) – dasar, titik \(P\) – puncak.
Tinggi Piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari puncak piramida ke bidang alasnya.
Piramida dengan segitiga di alasnya disebut segi empat.
Piramida disebut benar, jika alasnya adalah poligon beraturan dan salah satu kondisi berikut terpenuhi:
\((a)\) tepi sisi piramida adalah sama;
\((b)\) ketinggian piramida melewati pusat lingkaran berbatas dekat alas;
\((c)\) rusuk sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
\((d)\) permukaan sisi miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
tetrahedron biasa adalah piramida segitiga, semua wajah yang segitiga sama sisi.
Dalil
Kondisi \((a), (b), (c), (d)\) adalah ekuivalen.
Bukti
Gambarlah tinggi piramida \(PH\) . Biarkan \(\alpha\) menjadi bidang dasar piramida.
1) Mari kita buktikan bahwa \((a)\) menyiratkan \((b)\) . Biarkan \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
Karena \(PH\perp \alpha\) , maka \(PH\) tegak lurus terhadap setiap garis yang terletak di bidang ini, sehingga segitiga siku-siku. Jadi segitiga-segitiga ini sama pada kaki yang sama \(PH\) dan sisi miring \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) . Jadi \(A_1H=A_2H=...=A_nH\) . Artinya titik \(A_1, A_2, ..., A_n\) berada pada jarak yang sama dari titik \(H\) , sehingga terletak pada lingkaran yang sama dengan jari-jari \(A_1H\) . Lingkaran ini, menurut definisi, dibatasi di sekitar poligon \(A_1A_2...A_n\) .
2) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((c)\) .
\(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sama dengan dua kaki. Oleh karena itu, sudut mereka juga sama, oleh karena itu, \(\angle PA_1H=\angle PA_2H=...=\angle PA_nH\).
3) Mari kita buktikan bahwa \((c)\) menyiratkan \((a)\) .
Mirip dengan titik pertama, segitiga \(PA_1H, PA_2H, PA_3H,..., PA_nH\) persegi panjang dan sepanjang kaki dan sudut akut. Ini berarti bahwa sisi miringnya juga sama, yaitu \(PA_1=PA_2=PA_3=...=PA_n\) .
4) Mari kita buktikan bahwa \((b)\) menyiratkan \((d)\) .
Karena dalam poligon beraturan, pusat lingkaran berbatas dan bertulisan bertepatan (secara umum, titik ini disebut pusat poligon beraturan), kemudian \(H\) adalah pusat lingkaran bertulisan. Mari menggambar garis tegak lurus dari titik \(H\) ke sisi alas: \(HK_1, HK_2\), dll. Ini adalah jari-jari lingkaran tertulis (menurut definisi). Kemudian, menurut TTP, (\(PH\) adalah tegak lurus bidang, \(HK_1, HK_2\), dll. adalah proyeksi tegak lurus ke sisi) miring \(PK_1, PK_2\), dll. tegak lurus ke sisi \(A_1A_2, A_2A_3\), dll. masing-masing. Jadi, menurut definisi \(\angle PK_1H, \angle PK_2H\) sama dengan sudut antara sisi-sisi dan alasnya. Karena segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) sama besar (sama siku-siku pada dua kaki), maka besar sudut \(\angle PK_1H, \angle PK_2H, ...\) adalah sama.
5) Mari kita buktikan bahwa \((d)\) menyiratkan \((b)\) .
Demikian pula dengan titik keempat, segitiga \(PK_1H, PK_2H, ...\) sama besar (sepanjang kaki dan sudut lancip), yang berarti bahwa segmen \(HK_1=HK_2=...=HK_n\) adalah sama. Oleh karena itu, menurut definisi, \(H\) adalah pusat lingkaran yang tertulis di alasnya. Tapi sejak untuk poligon beraturan, pusat lingkaran bertulis dan berbatas bertepatan, maka \(H\) adalah pusat lingkaran berbatas. Chtd.
Konsekuensi
Sisi-sisi sisi piramida beraturan adalah segitiga sama kaki.
Definisi
Ketinggian sisi sisi piramida biasa, yang ditarik dari puncaknya, disebut pendewaan.
Apotema dari semua sisi lateral piramida beraturan adalah sama satu sama lain dan juga merupakan median dan garis bagi.
Catatan penting
1. Ketinggian piramida segitiga beraturan jatuh ke titik persimpangan ketinggian (atau garis bagi, atau median) alasnya (alasnya adalah segitiga beraturan).
2. Ketinggian piramida segi empat beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya berbentuk bujur sangkar).
3. Ketinggian piramida heksagonal beraturan jatuh ke titik perpotongan diagonal alasnya (alasnya adalah segi enam beraturan).
4. Tinggi piramida tegak lurus terhadap setiap garis lurus yang terletak di dasarnya.
Definisi
Piramida disebut persegi panjang jika salah satu sisi lateralnya tegak lurus terhadap bidang alas.
Catatan penting
1. Untuk piramida segi empat, sisi yang tegak lurus alasnya adalah tinggi piramida. Artinya, \(SR\) adalah tingginya.
2. Karena \(SR\) tegak lurus terhadap sembarang garis dari alas, maka \(\segitiga SRM, \segitiga SRP\) adalah segitiga siku-siku.
3. Segitiga \(\segitiga SRN, \SRK segitiga\) juga berbentuk persegi panjang.
Artinya, segitiga apa pun yang dibentuk oleh tepi ini dan diagonal yang keluar dari titik sudut tepi ini, yang terletak di alasnya, akan siku-siku.
\[(\Large(\text(Volume dan luas permukaan piramida))))\]
Dalil
Volume piramida sama dengan sepertiga dari produk luas alas dan tinggi piramida: \
Konsekuensi
Misalkan \(a\) adalah sisi alasnya, \(h\) adalah tinggi piramida.
1. Volume piramida segitiga beraturan adalah \(V_(\text(segitiga siku-siku pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^2h\),
2. Volume piramida segi empat beraturan adalah \(V_(\text(right.four.pyre.))=\dfrac13a^2h\).
3. Volume piramida segi enam beraturan adalah \(V_(\text(right.hex.pyr.))=\dfrac(\sqrt3)(2)a^2h\).
4. Volume tetrahedron beraturan adalah \(V_(\text(tetra kanan.))=\dfrac(\sqrt3)(12)a^3\).
Dalil
Luas permukaan lateral piramida biasa sama dengan setengah produk keliling alas dan apotema.
\[(\Large(\text(Piramida terpotong))))\]
Definisi
Pertimbangkan piramida arbitrer \(PA_1A_2A_3...A_n\) . Mari kita menggambar bidang yang sejajar dengan dasar piramida melalui titik tertentu yang terletak di tepi samping piramida. Bidang ini akan membagi piramida menjadi dua polihedra, salah satunya adalah piramida (\(PB_1B_2...B_n\) ), dan yang lainnya disebut piramida terpotong(\(A_1A_2...A_nB_1B_2...B_n\) ).
Piramida terpotong memiliki dua alas - poligon \(A_1A_2...A_n\) dan \(B_1B_2...B_n\) , yang mirip satu sama lain.
Ketinggian piramida terpotong adalah tegak lurus yang ditarik dari beberapa titik alas atas ke bidang alas bawah.
Catatan penting
1. Semua sisi sisi piramida terpotong adalah trapesium.
2. Segmen yang menghubungkan pusat-pusat dasar piramida terpotong biasa (yaitu, piramida yang diperoleh dari bagian piramida biasa) adalah tingginya.
Definisi. Sisi wajah- ini adalah segitiga di mana satu sudut terletak di bagian atas piramida, dan sisi yang berlawanan bertepatan dengan sisi alas (poligon).
Definisi. Iga samping adalah sisi umum dari sisi wajah. Piramida memiliki tepi sebanyak sudut dalam poligon.
Definisi. tinggi piramida adalah tegak lurus yang dijatuhkan dari atas ke dasar piramida.
Definisi. Apotema- ini adalah tegak lurus dari sisi sisi piramida, diturunkan dari puncak piramida ke sisi alas.
Definisi. Bagian diagonal- ini adalah bagian piramida dengan bidang yang melewati bagian atas piramida dan diagonal alasnya.
Definisi. Piramida yang benar- Ini adalah piramida di mana alasnya adalah poligon beraturan, dan tingginya turun ke tengah alas.
Volume dan luas permukaan piramida
Rumus. volume piramida melalui luas alas dan tinggi:
sifat piramida
Jika semua sisi sisinya sama, maka sebuah lingkaran dapat dibatasi di sekitar pangkal piramida, dan pusat alasnya berimpit dengan pusat lingkaran. Juga, tegak lurus yang dijatuhkan dari atas melewati pusat alas (lingkaran).
Jika semua rusuk sisinya sama besar, maka mereka miring ke bidang alas dengan sudut yang sama.
Tulang rusuk lateral adalah sama ketika mereka membentuk sudut yang sama dengan bidang dasar, atau jika lingkaran dapat digambarkan di sekitar dasar piramida.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka sebuah lingkaran dapat ditulis di dasar piramida, dan bagian atas piramida diproyeksikan ke pusatnya.
Jika sisi-sisinya miring ke bidang alas pada satu sudut, maka apotema dari sisi-sisinya adalah sama.
Sifat-sifat piramida biasa
1. Bagian atas piramida berjarak sama dari semua sudut alasnya.
2. Semua sisi sisinya sama.
3. Semua rusuk sisi miring pada sudut yang sama ke alas.
4. Apotema semua sisi sisinya sama.
5. Luas semua sisi sisinya sama.
6. Semua wajah memiliki sudut dihedral (datar) yang sama.
7. Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida. Pusat bola yang dijelaskan akan menjadi titik persimpangan tegak lurus yang melewati tengah tepi.
8. Sebuah bola dapat ditulisi dalam sebuah piramida. Pusat bola tertulis akan menjadi titik persimpangan garis-bagi yang berasal dari sudut antara tepi dan alas.
9. Jika pusat bola bertulisan bertepatan dengan pusat bola yang dibatasi, maka jumlah sudut datar di puncak sama dengan atau sebaliknya, satu sudut sama dengan / n, di mana n adalah angka sudut di dasar piramida.
Hubungan piramida dengan bola
Sebuah bola dapat digambarkan di sekitar piramida ketika di dasar piramida terletak polihedron di mana lingkaran dapat digambarkan (kondisi yang diperlukan dan cukup). Pusat bola akan menjadi titik perpotongan bidang-bidang yang lewat secara tegak lurus melalui titik-titik tengah tepi samping piramida.
Sebuah bola selalu dapat digambarkan di sekitar piramida segitiga atau biasa.
Sebuah bola dapat ditulisi dalam piramida jika bidang-bidang bagi dari sudut dihedral internal piramida berpotongan pada satu titik (kondisi yang diperlukan dan cukup). Titik ini akan menjadi pusat bola.
Hubungan piramida dengan kerucut
Sebuah kerucut disebut bertulisan dalam sebuah piramida jika simpul-simpulnya berhimpitan dan alas kerucut tersebut tertulis di dasar piramida.
Sebuah kerucut dapat ditulisi dalam piramida jika apotema piramida sama.
Kerucut dikatakan dibatasi di sekitar piramida jika simpulnya bertepatan dan pangkal kerucut dibatasi di sekitar dasar piramida.
Kerucut dapat digambarkan mengelilingi piramida jika semua sisi sisi piramida sama satu sama lain.
Koneksi piramida dengan silinder
Sebuah piramida dikatakan bertulisan dalam sebuah silinder jika bagian atas piramida terletak di salah satu dasar silinder, dan dasar piramida tertulis di dasar silinder yang lain.
Sebuah silinder dapat dibatasi di sekitar piramida jika lingkaran dapat dibatasi di sekitar dasar piramida.
Sebuah tetrahedron memiliki empat wajah dan empat simpul dan enam tepi, di mana setiap dua tepi tidak memiliki simpul yang sama tetapi tidak bersentuhan.
Setiap simpul terdiri dari tiga sisi dan sisi yang membentuk sudut segitiga.
Ruas yang menghubungkan puncak segi empat dengan pusat sisi yang berhadapan disebut median dari tetrahedron(GM).
bimedian disebut ruas yang menghubungkan titik tengah sisi berlawanan yang tidak bersentuhan (KL).
Semua bimedian dan median tetrahedron berpotongan di satu titik (S). Dalam hal ini, bimedian dibagi dua, dan median dalam perbandingan 3: 1 mulai dari atas.
Definisi. Piramida Miring Akut adalah piramida di mana apotema lebih dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. piramida tumpul adalah piramida di mana apotema kurang dari setengah panjang sisi alasnya.
Definisi. tetrahedron biasa Sebuah tetrahedron yang empat wajahnya adalah segitiga sama sisi. Ini adalah salah satu dari lima poligon beraturan. Dalam tetrahedron beraturan, semua sudut dihedral (antara wajah) dan sudut trihedral (pada titik sudut) adalah sama.
Definisi. Tetrahedron persegi panjang disebut tetrahedron yang memiliki sudut siku-siku antara tiga sisi pada titik tersebut (sisi-sisinya tegak lurus). Bentuk tiga wajah sudut segitiga siku-siku dan wajah-wajahnya adalah segitiga siku-siku, dan alasnya adalah segitiga sembarang. Apotema wajah apa pun sama dengan setengah sisi alas tempat apotema itu jatuh.
Definisi. Tetrahedron isohedral Disebut tetrahedron di mana sisi-sisinya sama satu sama lain, dan alasnya adalah segitiga biasa. Wajah tetrahedron seperti itu adalah segitiga sama kaki.
Definisi. Tetrahedron ortosentrik sebuah tetrahedron disebut di mana semua ketinggian (tegak lurus) yang diturunkan dari atas ke wajah yang berlawanan berpotongan di satu titik.
Definisi. piramida bintang Polihedron yang alasnya berupa bintang disebut.
