Eksponen digunakan untuk mempermudah penulisan operasi perkalian bilangan dengan bilangan itu sendiri. Misalnya, alih-alih menulis, Anda dapat menulis 4 5 (\displaystyle 4^(5))(penjelasan tentang transisi semacam itu diberikan di bagian pertama artikel ini). Powers memudahkan untuk menulis ekspresi atau persamaan yang panjang atau kompleks; juga, kekuatan mudah ditambahkan dan dikurangkan, menghasilkan penyederhanaan ekspresi atau persamaan (misalnya, 4 2 4 3 = 4 5 (\displaystyle 4^(2)*4^(3)=4^(5))).

Catatan: jika Anda perlu menyelesaikan persamaan eksponensial (dalam persamaan seperti itu, yang tidak diketahui ada dalam eksponen), baca.

Langkah

Memecahkan masalah sederhana dengan kekuatan

Kalikan basis eksponen dengan dirinya sendiri beberapa kali sama dengan eksponen. Jika Anda perlu menyelesaikan masalah dengan eksponen secara manual, tulis ulang eksponen sebagai operasi perkalian, di mana basis eksponen dikalikan dengan dirinya sendiri. Misalnya, diberikan gelar 3 4 (\gaya tampilan 3^(4)). Dalam hal ini, basis derajat 3 harus dikalikan dengan dirinya sendiri 4 kali: 3 3 3 3 (\displaystyle 3*3*3*3). Berikut adalah contoh lainnya:

Pertama, kalikan dua angka pertama. Sebagai contoh, 4 5 (\displaystyle 4^(5)) = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4*4*4*4*4). Jangan khawatir - proses perhitungannya tidak serumit kelihatannya pada pandangan pertama. Pertama kalikan dua empat kali lipat pertama, lalu ganti dengan hasilnya. Seperti ini:

• 4 5 = 4 4 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4)
  • 4 4 = 16 (\displaystyle 4*4=16)

1. Kalikan hasilnya (16 dalam contoh kita) dengan angka berikutnya. Setiap hasil selanjutnya akan meningkat secara proporsional. Dalam contoh kita, kalikan 16 dengan 4. Seperti ini:

   • 4 5 = 16 4 4 4 (\displaystyle 4^(5)=16*4*4*4)
     • 16 4 = 64 (\displaystyle 16*4=64)
   • 4 5 = 64 4 4 (\displaystyle 4^(5)=64*4*4)
     • 64 4 = 256 (\displaystyle 64*4=256)
   • 4 5 = 256 4 (\displaystyle 4^(5)=256*4)
     • 256 4 = 1024 (\displaystyle 256*4=1024)
   • Teruslah mengalikan hasil perkalian dua angka pertama dengan angka berikutnya sampai Anda mendapatkan jawaban akhir. Untuk melakukan ini, kalikan dua angka pertama, lalu kalikan hasilnya dengan angka berikutnya dalam urutan. Metode ini berlaku untuk tingkat apa pun. Dalam contoh kami, Anda harus mendapatkan: 4 5 = 4 4 4 4 4 = 1024 (\displaystyle 4^(5)=4*4*4*4*4=1024) .

2. Selesaikan masalah berikut. Periksa jawaban Anda dengan kalkulator.

   • 8 2 (\displaystyle 8^(2))
   • 3 4 (\gaya tampilan 3^(4))
   • 10 7 (\gaya tampilan 10^(7))

3. Pada kalkulator, cari kunci berlabel "exp", atau " x n (\gaya tampilan x^(n))", atau "^". Dengan kunci ini Anda akan menaikkan angka menjadi kekuatan. Praktis tidak mungkin menghitung derajat secara manual dengan eksponen besar (misalnya, derajat 9 15 (\displaystyle 9^(15))), tetapi kalkulator dapat dengan mudah mengatasi tugas ini. Di Windows 7, kalkulator standar dapat dialihkan ke mode teknik; untuk melakukan ini, klik "Lihat" -\u003e "Teknik". Untuk beralih ke mode normal, klik "Lihat" -\u003e "Normal".

   • Periksa jawaban yang diterima menggunakan mesin pencari (Google atau Yandex). Dengan menggunakan tombol "^" pada keyboard komputer, masukkan ekspresi ke dalam mesin pencari, yang akan langsung menampilkan jawaban yang benar (dan mungkin menyarankan ekspresi serupa untuk dipelajari).

   Penambahan, pengurangan, perkalian kekuatan

   1. Anda dapat menambah dan mengurangi kekuatan hanya jika mereka memiliki basis yang sama. Jika Anda perlu menambahkan kekuatan dengan basis dan eksponen yang sama, maka Anda dapat mengganti operasi penambahan dengan operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 5 + 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)). Ingatlah bahwa gelar 4 5 (\displaystyle 4^(5)) dapat direpresentasikan sebagai 1 4 5 (\displaystyle 1*4^(5)); dengan demikian, 4 5 + 4 5 = 1 4 5 + 1 4 5 = 2 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)=1*4^(5)+1*4^(5) =2*4^(5))(dimana 1 +1 =2). Artinya, hitung jumlah derajat yang sama, lalu kalikan derajat tersebut dan angka ini. Dalam contoh kita, naikkan 4 pangkat lima, lalu kalikan hasilnya dengan 2. Ingat bahwa operasi penjumlahan dapat diganti dengan operasi perkalian, misalnya, 3 + 3 = 2 3 (\displaystyle 3+3=2*3). Berikut adalah contoh lainnya:

      • 3 2 + 3 2 = 2 3 2 (\displaystyle 3^(2)+3^(2)=2*3^(2))
      • 4 5 + 4 5 + 4 5 = 3 4 5 (\displaystyle 4^(5)+4^(5)+4^(5)=3*4^(5))
      • 4 5 4 5 + 2 = 2 (\displaystyle 4^(5)-4^(5)+2=2)
      • 4 x 2 2 x 2 = 2 x 2 (\displaystyle 4x^(2)-2x^(2)=2x^(2))

   2. Saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama, eksponennya ditambahkan (basis tidak berubah). Misalnya, diberikan ekspresi x 2 x 5 (\displaystyle x^(2)*x^(5)). Dalam hal ini, Anda hanya perlu menambahkan indikator, tanpa mengubah basisnya. Dengan demikian, x 2 x 5 = x 7 (\displaystyle x^(2)*x^(5)=x^(7)). Berikut adalah penjelasan visual dari aturan ini:

      Saat menaikkan pangkat menjadi pangkat, eksponen dikalikan. Misalnya diberikan gelar. Karena eksponen dikalikan, maka (x 2) 5 = x 2 5 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2*5)=x^(10)). Arti dari aturan ini adalah Anda melipatgandakan kekuatan (x 2) (\displaystyle (x^(2))) pada dirinya sendiri lima kali. Seperti ini:

      • (x 2) 5 (\displaystyle (x^(2))^(5))
      • (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)*x^( 2)*x^(2)*x^(2))
      • Karena basisnya sama, eksponennya cukup dijumlahkan: (x 2) 5 = x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = x 10 (\displaystyle (x^(2))^(5)=x^(2)*x^(2)* x^(2)*x^(2)*x^(2)=x^(10))

   3. Eksponen dengan eksponen negatif harus dikonversi ke pecahan (ke pangkat terbalik). Tidak masalah jika Anda tidak tahu apa itu timbal balik. Jika Anda diberi gelar dengan eksponen negatif, misalnya, 3 2 (\displaystyle 3^(-2)), tulis pangkat ini ke dalam penyebut pecahan (masukkan 1 ke pembilangnya), dan buat eksponennya menjadi positif. Dalam contoh kami: 1 3 2 (\displaystyle (\frac (1)(3^(2))))). Berikut adalah contoh lainnya:

      Saat membagi pangkat dengan basis yang sama, eksponennya dikurangi (basis tidak berubah). Operasi pembagian adalah kebalikan dari operasi perkalian. Misalnya, diberikan ekspresi 4 4 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))). Kurangi eksponen di penyebut dari eksponen di pembilang (jangan ubah basisnya). Dengan demikian, 4 4 4 2 = 4 4 2 = 4 2 (\displaystyle (\frac (4^(4))(4^(2)))=4^(4-2)=4^(2)) = 16 .

      • Derajat penyebut dapat ditulis sebagai berikut: 1 4 2 (\displaystyle (\frac (1)(4^(2))))) = 4 2 (\displaystyle 4^(-2)). Ingat bahwa pecahan adalah angka (pangkat, ekspresi) dengan eksponen negatif.

   4. Berikut adalah beberapa ekspresi untuk membantu Anda mempelajari cara menyelesaikan masalah daya. Ungkapan di atas mencakup materi yang disajikan dalam bagian ini. Untuk melihat jawabannya, cukup sorot ruang kosong setelah tanda sama dengan.

      Memecahkan masalah dengan eksponen pecahan

      1. Gelar dengan eksponen pecahan (misalnya, ) diubah menjadi operasi ekstraksi akar. Dalam contoh kami: x 1 2 (\displaystyle x^(\frac (1)(2))) = x(\displaystyle(\sqrt(x))). Tidak masalah bilangan apa yang ada dalam penyebut pangkat pecahan. Sebagai contoh, x 1 4 (\displaystyle x^(\frac (1)(4))) adalah akar keempat dari "x" x 4 (\displaystyle (\sqrt[(4)](x))) .

      2. Jika eksponen adalah pecahan biasa, maka eksponen tersebut dapat didekomposisi menjadi dua pangkat untuk menyederhanakan penyelesaian masalah. Tidak ada yang rumit tentang ini - ingat saja aturan untuk mengalikan kekuatan. Misalnya diberikan gelar. Ubah eksponen tersebut menjadi akar yang eksponennya sama dengan penyebut dari eksponen pecahan, lalu naikkan akar tersebut ke eksponen yang sama dengan pembilang dari eksponen pecahan. Untuk melakukan ini, ingatlah itu 5 3 (\displaystyle (\frac (5)(3))) = (1 3) 5 (\displaystyle ((\frac (1)(3)))*5). Dalam contoh kami:

         • x 5 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3)))
         • x 1 3 = x 3 (\displaystyle x^(\frac (1)(3))=(\sqrt[(3)](x)))
         • x 5 3 = x 5 x 1 3 (\displaystyle x^(\frac (5)(3))=x^(5)*x^(\frac (1)(3))) = (x 3) 5 (\displaystyle ((\sqrt[(3)](x)))^(5))
      3. Beberapa kalkulator memiliki tombol untuk menghitung eksponen (pertama Anda harus memasukkan basis, lalu tekan tombol, lalu masukkan eksponen). Dilambangkan sebagai ^ atau x^y.
      4. Ingat bahwa setiap nomor sama dengan dirinya sendiri dengan kekuatan pertama, misalnya, 4 1 = 4. (\displaystyle 4^(1)=4.) Selain itu, angka apa pun yang dikalikan atau dibagi satu sama dengan dirinya sendiri, misalnya, 5 1 = 5 (\displaystyle 5*1=5) dan 5 / 1 = 5 (\displaystyle 5/1=5).
      5. Ketahuilah bahwa derajat 0 0 tidak ada (derajat seperti itu tidak memiliki solusi). Ketika Anda mencoba menyelesaikan gelar seperti itu di kalkulator atau di komputer, Anda akan mendapatkan kesalahan. Tapi ingat bahwa setiap angka pangkat nol sama dengan 1, misalnya, 4 0 = 1. (\displaystyle 4^(0)=1.)
      6. Dalam matematika tingkat tinggi, yang beroperasi dengan bilangan imajiner: e a i x = c o s a x + i s i n a x (\displaystyle e^(a)ix=cosax+isinax), di mana i = (− 1) (\displaystyle i=(\sqrt (())-1)); e adalah konstanta yang kira-kira sama dengan 2,7; a adalah konstanta arbitrer. Bukti kesetaraan ini dapat ditemukan di semua buku teks tentang matematika tingkat tinggi.

      Peringatan

      • Sebagai eksponen meningkat, nilainya sangat meningkat. Oleh karena itu, jika jawabannya tampak salah bagi Anda, sebenarnya bisa jadi itu benar. Anda dapat memeriksanya dengan memplot fungsi eksponensial apa pun, seperti 2 x .

Mari kita pertimbangkan topik transformasi ekspresi dengan kekuatan, tetapi pertama-tama kita akan membahas sejumlah transformasi yang dapat dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi kekuatan. Kita akan belajar cara membuka tanda kurung, memberi suku-suku sejenis, bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan sifat-sifat pangkat.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Apa itu Ekspresi Daya?

Di kursus sekolah, hanya sedikit orang yang menggunakan frasa "ekspresi kekuatan", tetapi istilah ini terus-menerus ditemukan dalam koleksi untuk mempersiapkan ujian. Dalam kebanyakan kasus, frase menunjukkan ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Inilah yang akan kita refleksikan dalam definisi kita.

Definisi 1

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung derajat.

Kami memberikan beberapa contoh ekspresi kekuatan, dimulai dengan gelar dengan eksponen alami dan diakhiri dengan gelar dengan eksponen nyata.

Ekspresi pangkat paling sederhana dapat dianggap pangkat dari bilangan dengan eksponen alami: 3 2 , 7 5 + 1 , (2 + 1) 5 , (− 0 , 1) 4 , 2 2 3 3 , 3 a 2 a + a 2 , x 3 1 , (a 2) 3 . Serta pangkat dengan nol eksponen: 5 0 , (a + 1) 0 , 3 + 5 2 3 , 2 0 . Dan pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif: (0 , 5) 2 + (0 , 5) - 2 2 .

Sedikit lebih sulit untuk bekerja dengan gelar yang memiliki eksponen rasional dan irasional: 264 1 4 - 3 3 3 1 2 , 2 3 , 5 2 - 2 2 - 1 , 5 , 1 a 1 4 a 1 2 - 2 a - 1 6 · b 1 2 , x · x 1 - , 2 3 3 + 5 .

Indikatornya bisa berupa variabel 3 x - 54 - 7 3 x - 58 atau logaritma x 2 l g x 5 x l g x.

Kami telah membahas pertanyaan tentang apa ekspresi kekuatan itu. Sekarang mari kita lihat transformasi mereka.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Pertama-tama, kita akan mempertimbangkan transformasi identitas dasar dari ekspresi yang dapat dilakukan dengan ekspresi kekuatan.

Contoh 1

Hitung Nilai Ekspresi Daya 2 3 (4 2 12).

Keputusan

Kami akan melakukan semua transformasi sesuai dengan urutan tindakan. Dalam hal ini, kami akan mulai dengan melakukan tindakan dalam tanda kurung: kami akan mengganti derajat dengan nilai digital dan menghitung perbedaan antara dua angka. Kita punya 2 3 (4 2 12) = 2 3 (16 12) = 2 3 4.

Tinggal kita ganti gelar 2 3 artinya 8 dan hitung produknya 8 4 = 32. Inilah jawaban kami.

Menjawab: 2 3 (4 2 12) = 32 .

Contoh 2

Sederhanakan ekspresi dengan kekuatan 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7.

Keputusan

Ungkapan yang diberikan kepada kami dalam kondisi masalah mengandung istilah serupa, yang dapat kami bawa: 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7 = 5 a 4 b 7 1.

Menjawab: 3 a 4 b 7 1 + 2 a 4 b 7 = 5 a 4 b 7 1 .

Contoh 3

Nyatakan ekspresi dengan pangkat 9 - b 3 · - 1 2 sebagai produk.

Keputusan

Mari kita nyatakan angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan terapkan rumus perkalian yang disingkat:

9 - b 3 - 1 2 = 3 2 - b 3 - 1 2 = = 3 - b 3 - 1 3 + b 3 - 1

Menjawab: 9 - b 3 - 1 2 = 3 - b 3 - 1 3 + b 3 - 1 .

Dan sekarang mari kita beralih ke analisis transformasi identik yang dapat diterapkan secara khusus pada ekspresi kekuatan.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Derajat dalam basis atau eksponen dapat memiliki angka, variabel, dan beberapa ekspresi. Sebagai contoh, (2 + 0, 3 7) 5 3 , 7 dan . Sulit untuk bekerja dengan catatan seperti itu. Jauh lebih mudah untuk mengganti ekspresi dalam basis derajat atau ekspresi dalam eksponen dengan ekspresi yang identik sama.

Transformasi derajat dan indikator dilakukan sesuai dengan aturan yang kita ketahui secara terpisah satu sama lain. Yang paling penting adalah bahwa sebagai hasil dari transformasi, diperoleh ekspresi yang identik dengan yang asli.

Tujuan dari transformasi adalah untuk menyederhanakan ekspresi asli atau untuk mendapatkan solusi dari masalah tersebut. Misalnya, dalam contoh yang kami berikan di atas, (2 + 0 , 3 7) 5 3 , 7 Anda dapat melakukan operasi untuk mencapai derajat 4 , 1 1 , 3 . Membuka tanda kurung, kita dapat membawa suku-suku serupa di dasar derajat (a (a + 1) a 2) 2 (x + 1) dan dapatkan ekspresi kekuatan dari bentuk yang lebih sederhana a2 (x + 1).

Menggunakan Properti Daya

Sifat derajat, ditulis sebagai persamaan, adalah salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan derajat. Kami hadir di sini yang utama, mengingat itu sebuah dan b adalah sembarang bilangan positif, dan r dan s- bilangan real arbitrer:

Definisi 2

• a r a s = a r + s ;
• a r: a s = a r s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a: b) r = a r: b r ;
• (a r) s = a r s .

Dalam kasus di mana kita berurusan dengan bilangan asli, bilangan bulat, eksponen positif, pembatasan angka a dan b bisa jauh lebih ketat. Jadi, misalnya, jika kita mempertimbangkan kesetaraan a m a n = a m + n, di mana m dan n adalah bilangan asli, maka akan benar untuk setiap nilai a, baik positif maupun negatif, serta untuk a = 0.

Anda dapat menerapkan properti derajat tanpa batasan dalam kasus di mana basis derajat positif atau mengandung variabel yang rentang nilai yang dapat diterima sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya. Padahal, dalam kerangka kurikulum sekolah dalam matematika, tugas siswa adalah memilih sifat yang sesuai dan menerapkannya dengan benar.

Saat mempersiapkan untuk masuk ke universitas, mungkin ada tugas di mana penerapan properti yang tidak akurat akan menyebabkan penyempitan ODZ dan kesulitan lain dengan solusi. Pada bagian ini, kita hanya akan mempertimbangkan dua kasus seperti itu. Informasi lebih lanjut tentang subjek dapat ditemukan di topik "Mentransformasi ekspresi menggunakan properti eksponen".

Contoh 4

Mewakili ekspresi a 2 , 5 (a 2) - 3: a - 5 , 5 sebagai gelar dengan basis sebuah.

Keputusan

Untuk memulainya, kami menggunakan properti eksponensial dan mengubah faktor kedua menggunakannya (a 2) 3. Kemudian kami menggunakan sifat-sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama:

a 2 , 5 a 6: a 5 , 5 = a 2 , 5 6: a 5 , 5 = a 3 , 5: a 5 , 5 = a 3 , 5 (− 5 , 5 ) = a2 .

Menjawab: a 2 , 5 (a 2) 3: a 5 , 5 = a 2 .

Transformasi ekspresi kekuasaan menurut properti derajat dapat dilakukan baik dari kiri ke kanan dan dalam arah yang berlawanan.

Contoh 5

Tentukan nilai dari ekspresi pangkat 3 1 3 · 7 1 3 · 21 2 3 .

Keputusan

Jika kita menerapkan persamaan (a b) r = a r b r, dari kanan ke kiri, maka kita mendapatkan produk dari bentuk 3 7 1 3 21 2 3 dan kemudian 21 1 3 21 2 3 . Mari kita tambahkan eksponen saat mengalikan pangkat dengan basis yang sama: 21 1 3 21 2 3 \u003d 21 1 3 + 2 3 \u003d 21 1 \u003d 21.

Ada cara lain untuk melakukan transformasi:

3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 3 7 1 3 (3 7) 2 3 = 3 1 3 7 1 3 3 2 3 7 2 3 = = 3 1 3 3 2 3 7 1 3 7 2 3 = 3 1 3 + 2 3 7 1 3 + 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Menjawab: 3 1 3 7 1 3 21 2 3 = 3 1 7 1 = 21

Contoh 6

Diberikan ekspresi kekuatan a 1 , 5 a 0, 5 6, masukkan variabel baru t = a 0, 5.

Keputusan

Bayangkan derajatnya 1 , 5 sebagai a 0, 5 3. Menggunakan properti derajat dalam gelar (a r) s = a r s dari kanan ke kiri dan dapatkan (a 0 , 5) 3: a 1 , 5 - a 0 , 5 - 6 = (a 0 , 5) 3 - a 0 , 5 - 6 . Dalam ekspresi yang dihasilkan, Anda dapat dengan mudah memperkenalkan variabel baru t = a 0, 5: Dapatkan t 3 t 6.

Menjawab: t 3 t 6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Kami biasanya berurusan dengan dua varian ekspresi pangkat dengan pecahan: ekspresi adalah pecahan dengan derajat atau berisi pecahan seperti itu. Semua transformasi pecahan dasar berlaku untuk ekspresi seperti itu tanpa batasan. Mereka dapat direduksi, dibawa ke penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilang dan penyebut. Mari kita ilustrasikan ini dengan contoh.

Contoh 7

Sederhanakan ekspresi pangkat 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 .

Keputusan

Kita berurusan dengan pecahan, jadi kita akan melakukan transformasi pada pembilang dan penyebutnya:

3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = 3 5 2 3 5 1 3 - 3 5 2 3 5 - 2 3 - 2 - x 2 = = 3 5 2 3 + 1 3 - 3 5 2 3 + - 2 3 - 2 - x 2 = 3 5 1 - 3 5 0 - 2 - x 2

Letakkan tanda minus di depan pecahan untuk mengubah tanda penyebut: 12 - 2 - x 2 = - 12 2 + x 2

Menjawab: 3 5 2 3 5 1 3 - 5 - 2 3 1 + 2 x 2 - 3 - 3 x 2 = - 12 2 + x 2

Pecahan yang mengandung pangkat direduksi menjadi penyebut baru dengan cara yang sama seperti pecahan rasional. Untuk melakukan ini, Anda perlu menemukan faktor tambahan dan mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu. Penting untuk memilih faktor tambahan sedemikian rupa sehingga tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh 8

Bawa pecahan ke penyebut baru: a) a + 1 a 0, 7 ke penyebutnya sebuah, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 ke penyebut x + 8 y 1 2 .

Keputusan

a) Kami memilih faktor yang memungkinkan kami untuk mengurangi ke penyebut baru. a 0, 7 a 0, 3 = a 0, 7 + 0, 3 = a , oleh karena itu, sebagai faktor tambahan, kami mengambil 0, 3. Rentang nilai yang dapat diterima dari variabel a mencakup himpunan semua bilangan real positif. Di bidang ini, gelar 0, 3 tidak menuju nol.

Mari kita kalikan pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan 0, 3:

a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a 0, 7 a 0, 3 = a + 1 a 0, 3 a

b) Perhatikan penyebutnya:

x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 2 - x 1 3 2 y 1 6 + 2 y 1 6 2

Kalikan ekspresi ini dengan x 1 3 + 2 · y 1 6 , kita mendapatkan jumlah kubus x 1 3 dan 2 · y 1 6 , mis. x + 8 · y 1 2 . Ini adalah penyebut baru kita, yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan x 1 3 + 2 · y 1 6 . Pada kisaran nilai variabel yang dapat diterima x dan kamu ekspresi x 1 3 + 2 y 1 6 tidak hilang, jadi kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan itu:
1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 + 2 y 1 6 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = = x 1 3 + 2 y 1 6 x 1 3 3 + 2 y 1 6 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2

Menjawab: a) a + 1 a 0, 7 = a + 1 a 0, 3 a, b) 1 x 2 3 - 2 x 1 3 y 1 6 + 4 y 1 3 = x 1 3 + 2 y 1 6 x + 8 y 1 2 .

Contoh 9

Kurangi pecahan: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3, b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2.

Keputusan

a) Gunakan penyebut persekutuan terbesar (PBK) yang dengannya pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi. Untuk angka 30 dan 45, ini adalah 15 . Kita juga bisa mengurangi x 0, 5 + 1 dan pada x + 2 x 1 1 3 - 5 3 .

Kita mendapatkan:

30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 x 3 3 (x 0, 5 + 1)

b) Di sini keberadaan faktor-faktor yang identik tidak jelas. Anda harus melakukan beberapa transformasi untuk mendapatkan faktor yang sama dalam pembilang dan penyebutnya. Untuk melakukan ini, kami memperluas penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat:

a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 2 - b 1 2 2 = = a 1 4 - b 1 4 a 1 4 + b 1 4 a 1 4 - b 1 4 = 1 a 1 4 + b 1 4

Menjawab: a) 30 x 3 (x 0, 5 + 1) x + 2 x 1 1 3 - 5 3 45 x 0, 5 + 1 2 x + 2 x 1 1 3 - 5 3 = 2 · x 3 3 · (x 0 , 5 + 1) , b) a 1 4 - b 1 4 a 1 2 - b 1 2 = 1 a 1 4 + b 1 4 .

Operasi utama dengan pecahan meliputi pengurangan ke penyebut baru dan pengurangan pecahan. Kedua tindakan tersebut dilakukan sesuai dengan sejumlah aturan. Saat menjumlahkan dan mengurangkan pecahan, pecahan terlebih dahulu direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu operasi (penjumlahan atau pengurangan) dilakukan dengan pembilang. Penyebutnya tetap sama. Hasil dari tindakan kita adalah pecahan baru, yang pembilangnya adalah perkalian dari pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian dari penyebutnya.

Contoh 10

Lakukan langkah x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 · 1 x 1 2 .

Keputusan

Mari kita mulai dengan mengurangkan pecahan yang ada di dalam kurung. Mari kita bawa mereka ke penyebut yang sama:

x 1 2 - 1 x 1 2 + 1

Mari kita kurangi pembilangnya:

x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 1 x 1 2 = = x 1 2 + 1 2 - x 1 2 - 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = x 1 2 2 + 2 x 1 2 + 1 - x 1 2 2 - 2 x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1x1 2 + 1 1x1 2

Sekarang kita mengalikan pecahan:

4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = = 4 x 1 2 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 x 1 2

Mari kita kurangi satu derajat x 1 2, kita mendapatkan 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 .

Selain itu, Anda dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut menggunakan rumus selisih kuadrat: kuadrat: 4 x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 = 4 x 1 2 2 - 1 2 = 4 x - 1.

Menjawab: x 1 2 + 1 x 1 2 - 1 - x 1 2 - 1 x 1 2 + 1 1 x 1 2 = 4 x - 1

Contoh 11

Sederhanakan ekspresi pangkat x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 .
Keputusan

Kita dapat mengurangi pecahan dengan (x 2 , 7 + 1) 2. Kami mendapatkan pecahan x 3 4 x - 5 8 x 2, 7 + 1.

Mari kita lanjutkan transformasi dari x pangkat x 3 4 x - 5 8 · 1 x 2 , 7 + 1 . Sekarang Anda dapat menggunakan properti pembagian daya dengan basis yang sama: x 3 4 x - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 3 4 - - 5 8 1 x 2, 7 + 1 = x 1 1 8 1 x 2 , 7 + 1 .

Kami beralih dari produk terakhir ke pecahan x 1 3 8 x 2, 7 + 1.

Menjawab: x 3 4 x 2 , 7 + 1 2 x - 5 8 x 2 , 7 + 1 3 = x 1 3 8 x 2 , 7 + 1 .

Dalam kebanyakan kasus, lebih mudah untuk mentransfer pengali dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut dan sebaliknya dengan mengubah tanda eksponen. Tindakan ini menyederhanakan keputusan selanjutnya. Mari kita beri contoh: ekspresi pangkat (x + 1) - 0 , 2 3 · x - 1 dapat diganti dengan x 3 · (x + 1) 0 , 2 .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Dalam tugas, ada ekspresi pangkat yang tidak hanya berisi derajat dengan eksponen pecahan, tetapi juga akar. Diinginkan untuk mengurangi ekspresi seperti itu hanya menjadi akar atau hanya kekuatan. Transisi ke derajat lebih disukai, karena lebih mudah digunakan. Transisi seperti itu sangat menguntungkan ketika DPV variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda mengganti akar dengan pangkat tanpa harus mengakses modulus atau membagi DPV menjadi beberapa interval.

Contoh 12

Nyatakan ekspresi x 1 9 x x 3 6 sebagai pangkat.

Keputusan

Rentang variabel yang valid x ditentukan oleh dua pertidaksamaan x 0 dan x · x 3 0 , yang mendefinisikan himpunan [ 0 , + ∞) .

Di set ini, kami memiliki hak untuk berpindah dari akar ke pangkat:

x 1 9 x x 3 6 = x 1 9 x x 1 3 1 6

Menggunakan sifat derajat, kami menyederhanakan ekspresi kekuatan yang dihasilkan.

x 1 9 x x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 3 1 6 = x 1 9 x 1 6 x 1 1 3 6 = = x 1 9 x 1 6 x 1 18 = x 1 9 + 1 6 + 1 18 = x 1 3

Menjawab: x 1 9 x x 3 6 = x 1 3 .

Mengonversi pangkat dengan variabel dalam eksponen

Transformasi ini cukup sederhana untuk dilakukan jika Anda menggunakan properti derajat dengan benar. Sebagai contoh, 5 2 x + 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 1 = 0.

Kita dapat mengganti hasil kali derajat, yang dengannya jumlah dari beberapa variabel dan suatu bilangan ditemukan. Di sisi kiri, ini dapat dilakukan dengan suku pertama dan terakhir di sisi kiri ekspresi:

5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 = 0, 5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x = 0 .

Sekarang mari kita bagi kedua ruas persamaan dengan 7 2 x. Ekspresi pada ODZ variabel x ini hanya mengambil nilai positif:

5 5 - 3 5 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0 7 2 x , 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 2 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0, 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x 7 x 7 x - 2 7 2 x 7 2 x = 0

Mari kita kurangi pecahan dengan kekuatan, kita mendapatkan: 5 5 2 x 7 2 x - 3 5 x 7 x - 2 = 0 .

Akhirnya, rasio pangkat dengan pangkat yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan 5 5 7 2 x - 3 5 7 x - 2 = 0 , yang setara dengan 5 5 7 x 2 - 3 5 7 x - 2 = 0 .

Kami memperkenalkan variabel baru t = 5 7 x , yang mereduksi solusi persamaan eksponensial awal menjadi solusi persamaan kuadrat 5 · t 2 3 · t 2 = 0 .

Mengonversi ekspresi dengan kekuatan dan logaritma

Ekspresi yang mengandung kekuatan dan logaritma juga ditemukan dalam masalah. Contoh ekspresi tersebut adalah: 1 4 1 - 5 log 2 3 atau log 3 27 9 + 5 (1 - log 3 5) log 5 3 . Transformasi ekspresi tersebut dilakukan dengan menggunakan pendekatan dan properti logaritma di atas, yang telah kami analisis secara rinci dalam topik "Transformasi ekspresi logaritma".

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Ekspresi, konversi ekspresi

Ekspresi kekuatan (ekspresi dengan kekuatan) dan transformasinya

Pada artikel ini, kita akan berbicara tentang mengubah ekspresi dengan kekuatan. Pertama, kita akan fokus pada transformasi yang dilakukan dengan ekspresi apa pun, termasuk ekspresi pangkat, seperti kurung buka, pengurangan istilah serupa. Dan kemudian kami akan menganalisis transformasi yang melekat secara khusus dalam ekspresi dengan derajat: bekerja dengan basis dan eksponen, menggunakan properti derajat, dll.

Navigasi halaman.

Apa itu Ekspresi Daya?

Istilah "ekspresi kekuatan" praktis tidak ditemukan dalam buku pelajaran matematika sekolah, tetapi sering muncul dalam kumpulan masalah, yang dirancang khusus untuk mempersiapkan Ujian Negara Terpadu dan OGE, misalnya. Setelah menganalisis tugas di mana diperlukan untuk melakukan tindakan apa pun dengan ekspresi kekuatan, menjadi jelas bahwa ekspresi kekuatan dipahami sebagai ekspresi yang mengandung derajat dalam entri mereka. Oleh karena itu, untuk Anda sendiri, Anda dapat mengambil definisi berikut:

Definisi.

Ekspresi kekuatan adalah ekspresi yang mengandung kekuatan.

Ayo bawa contoh ekspresi kekuatan. Selain itu, kami akan merepresentasikan mereka sesuai dengan bagaimana perkembangan pandangan dari derajat dengan indikator alami ke derajat dengan indikator nyata berlangsung.

Seperti yang Anda ketahui, pertama-tama Anda berkenalan dengan derajat suatu bilangan dengan eksponen alami, pada tahap ini ekspresi kekuatan paling sederhana pertama dari tipe 3 2 , 7 5 +1 , (2+1) 5 , (−0,1 ) 4 , 3 a 2 a+a 2 , x 3−1 , (a 2) 3 dst.

Beberapa saat kemudian, pangkat suatu bilangan dengan eksponen bilangan bulat dipelajari, yang mengarah pada munculnya ekspresi pangkat dengan pangkat bilangan bulat negatif, seperti berikut: 3 2, , a 2 +2 b 3 + c 2 .

Di kelas senior, mereka kembali ke gelar lagi. Di sana, gelar dengan eksponen rasional diperkenalkan, yang mengarah pada munculnya ekspresi kekuatan yang sesuai: , , dll. Akhirnya, derajat dengan eksponen irasional dan ekspresi yang mengandungnya dianggap: , .

Masalahnya tidak terbatas pada ekspresi pangkat yang terdaftar: selanjutnya variabel menembus ke dalam eksponen, dan ada, misalnya, ekspresi seperti itu 2 x 2 +1 atau . Dan setelah berkenalan, ekspresi dengan kekuatan dan logaritma mulai muncul, misalnya, x 2 lgx 5 x lgx.

Jadi, kami menemukan pertanyaan tentang apa itu ekspresi kekuatan. Selanjutnya, kita akan belajar bagaimana mengubahnya.

Jenis utama transformasi ekspresi kekuatan

Dengan ekspresi kekuatan, Anda dapat melakukan salah satu transformasi identitas dasar ekspresi. Misalnya, Anda dapat memperluas tanda kurung, mengganti ekspresi numerik dengan nilainya, menambahkan suku sejenis, dan seterusnya. Secara alami, dalam hal ini perlu untuk mengikuti prosedur yang diterima untuk melakukan tindakan. Mari kita beri contoh.

Contoh.

Hitung nilai dari ekspresi pangkat 2 3 ·(4 2 12) .

Keputusan.

Menurut urutan tindakan, pertama-tama kita melakukan tindakan dalam tanda kurung. Di sana, pertama, kami mengganti pangkat 4 2 dengan nilainya 16 (lihat jika perlu), dan kedua, kami menghitung selisihnya 16−12=4 . Kita punya 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4.

Dalam ekspresi yang dihasilkan, kami mengganti pangkat 2 3 dengan nilainya 8 , setelah itu kami menghitung produk 8·4=32 . Ini adalah nilai yang diinginkan.

Jadi, 2 3 (4 2 12)=2 3 (16−12)=2 3 4=8 4=32.

Menjawab:

2 3 (4 2 12)=32 .

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya 3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7.

Keputusan.

Jelas, ekspresi ini mengandung istilah yang mirip 3 · a 4 · b 7 dan 2 · a 4 · b 7 , dan kita dapat menguranginya: .

Menjawab:

3 a 4 b 7 1+2 a 4 b 7 =5 a 4 b 7 1.

Contoh.

Ekspresikan ekspresi dengan kekuatan sebagai produk.

Keputusan.

Untuk mengatasi tugas memungkinkan representasi angka 9 sebagai kekuatan 3 2 dan selanjutnya menggunakan rumus perkalian yang disingkat, perbedaan kuadrat:

Menjawab:

Ada juga sejumlah transformasi identik yang melekat dalam ekspresi kekuasaan. Selanjutnya, kami akan menganalisisnya.

Bekerja dengan basis dan eksponen

Ada derajat, dalam basis dan / atau indikator yang bukan hanya angka atau variabel, tetapi beberapa ekspresi. Sebagai contoh, mari kita tulis (2+0.3 7) 5−3.7 dan (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) .

Saat bekerja dengan ekspresi seperti itu, dimungkinkan untuk mengganti ekspresi di basis derajat dan ekspresi dalam indikator dengan ekspresi yang sama identik pada DPV variabelnya. Dengan kata lain, menurut aturan yang kita ketahui, kita dapat secara terpisah mengonversi basis derajat, dan secara terpisah - indikatornya. Jelas bahwa sebagai hasil dari transformasi ini, diperoleh ekspresi yang identik sama dengan yang asli.

Transformasi tersebut memungkinkan kita untuk menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan atau mencapai tujuan lain yang kita butuhkan. Misalnya, dalam ekspresi pangkat (2+0.3 7) 5−3.7 yang disebutkan di atas, Anda dapat melakukan operasi dengan angka dalam basis dan eksponen, yang memungkinkan Anda untuk beralih ke pangkat 4.1 1.3. Dan setelah membuka tanda kurung dan membawa suku-suku serupa di dasar derajat (a (a+1)−a 2) 2 (x+1) kita mendapatkan ekspresi pangkat dari bentuk yang lebih sederhana a 2 (x+1) .

Menggunakan Properti Daya

Salah satu alat utama untuk mengubah ekspresi dengan kekuatan adalah persamaan yang mencerminkan . Mari kita ingat yang utama. Untuk sembarang bilangan positif a dan b dan bilangan real sembarang r dan s, sifat-sifat daya berikut berlaku:

• a r a s = a r+s ;
• a r:a s =a r−s ;
• (a b) r = a r b r ;
• (a:b) r =a r:b r ;
• (a r) s = a r s .

Perhatikan bahwa untuk eksponen natural, integer, dan positif, pembatasan pada bilangan a dan b mungkin tidak terlalu ketat. Misalnya, untuk bilangan asli m dan n, persamaan a m ·a n =a m+n benar tidak hanya untuk a positif , tetapi juga untuk negatif, dan untuk a=0 .

Di sekolah, perhatian utama dalam transformasi ekspresi kekuatan difokuskan tepat pada kemampuan untuk memilih properti yang sesuai dan menerapkannya dengan benar. Dalam hal ini, basis derajat biasanya positif, yang memungkinkan Anda untuk menggunakan properti derajat tanpa batasan. Hal yang sama berlaku untuk transformasi ekspresi yang mengandung variabel dalam basis derajat - rentang nilai variabel yang dapat diterima biasanya sedemikian rupa sehingga basis hanya mengambil nilai positif di atasnya, yang memungkinkan Anda untuk bebas menggunakan properti derajat. Secara umum, Anda perlu terus-menerus bertanya pada diri sendiri apakah mungkin untuk menerapkan properti derajat apa pun dalam kasus ini, karena penggunaan properti yang tidak akurat dapat menyebabkan penyempitan ODZ dan masalah lainnya. Poin-poin ini dibahas secara rinci dan dengan contoh dalam artikel transformasi ekspresi menggunakan properti derajat. Di sini kita membatasi diri pada beberapa contoh sederhana.

Contoh.

Nyatakan ekspresi a 2.5 ·(a 2) 3:a 5.5 sebagai pangkat dengan basis a .

Keputusan.

Pertama, kita ubah faktor kedua (a 2) 3 dengan sifat menaikkan pangkat menjadi pangkat: (a 2) 3 =a 2 (−3) =a 6. Dalam hal ini, ekspresi pangkat awal akan berbentuk a 2.5 ·a 6:a 5.5 . Jelas, tetap menggunakan sifat perkalian dan pembagian kekuatan dengan basis yang sama, kita punya
a 2,5 a -6:a -5,5 =
a 2.5−6:a−5.5 =a−3.5:a−5.5 =
a 3.5−(−5.5) =a 2 .

Menjawab:

a 2.5 (a 2) -3:a -5.5 \u003d a 2.

Properti daya digunakan saat mengubah ekspresi daya baik dari kiri ke kanan maupun dari kanan ke kiri.

Contoh.

Temukan nilai dari ekspresi kekuatan.

Keputusan.

Persamaan (a·b) r =a r ·b r , diterapkan dari kanan ke kiri, memungkinkan Anda beralih dari ekspresi asli ke produk bentuk dan selanjutnya. Dan ketika mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, indikatornya bertambah: .

Dimungkinkan untuk melakukan transformasi ekspresi asli dengan cara lain:

Menjawab:

.

Contoh.

Diberikan ekspresi pangkat a 1,5 a 0,5 6 , masukkan variabel baru t=a 0,5 .

Keputusan.

Derajat a 1,5 dapat direpresentasikan sebagai 0,5 3 dan selanjutnya berdasarkan sifat derajat dalam derajat (a r) s =a r s diterapkan dari kanan ke kiri, ubahlah menjadi bentuk (a 0,5) 3 . Dengan demikian, a 1,5 -a 0,5 -6=(a 0,5) 3 -a 0,5 -6. Sekarang mudah untuk memperkenalkan variabel baru t=a 0.5 , kita mendapatkan t 3 t−6 .

Menjawab:

t 3 t−6 .

Mengonversi pecahan yang mengandung kekuatan

Ekspresi pangkat dapat berisi pecahan dengan pangkat atau mewakili pecahan tersebut. Transformasi pecahan dasar apa pun yang melekat pada pecahan jenis apa pun sepenuhnya berlaku untuk pecahan tersebut. Artinya, pecahan yang mengandung derajat dapat direduksi, direduksi menjadi penyebut baru, bekerja secara terpisah dengan pembilangnya dan secara terpisah dengan penyebutnya, dll. Untuk mengilustrasikan kata-kata di atas, pertimbangkan solusi dari beberapa contoh.

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Ekspresi kekuatan ini adalah pecahan. Mari kita bekerja dengan pembilang dan penyebutnya. Di pembilang, kami membuka tanda kurung dan menyederhanakan ekspresi yang diperoleh setelah itu menggunakan sifat-sifat pangkat, dan dalam penyebut kami menyajikan istilah yang serupa:

Dan kita juga mengubah tanda penyebut dengan menempatkan minus di depan pecahan: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan yang mengandung pangkat ke penyebut baru dilakukan dengan cara yang sama seperti mereduksi pecahan rasional ke penyebut baru. Pada saat yang sama, faktor tambahan juga ditemukan dan pembilang dan penyebut pecahan dikalikan dengannya. Saat melakukan tindakan ini, perlu diingat bahwa pengurangan ke penyebut baru dapat menyebabkan penyempitan DPV. Untuk mencegah hal ini terjadi, perlu bahwa faktor tambahan tidak hilang untuk nilai variabel apa pun dari variabel ODZ untuk ekspresi asli.

Contoh.

Pindahkan pecahan ke penyebut baru: a) ke penyebut a, b) ke penyebutnya.

Keputusan.

a) Dalam hal ini, cukup mudah untuk mengetahui faktor tambahan apa yang membantu mencapai hasil yang diinginkan. Ini adalah pengali a 0,3, karena 0,7 a 0,3 = a 0,7+0,3 = a . Perhatikan bahwa dalam kisaran nilai yang dapat diterima dari variabel a (ini adalah himpunan semua bilangan real positif), derajat a 0,3 tidak hilang, oleh karena itu, kami memiliki hak untuk mengalikan pembilang dan penyebut dari pecahan yang diberikan oleh faktor tambahan ini:

b) Melihat lebih dekat pada penyebut, kami menemukan bahwa

dan mengalikan ekspresi ini dengan akan memberikan jumlah kubus dan , yaitu . Dan ini adalah penyebut baru yang kita butuhkan untuk membawa pecahan aslinya.

Jadi kami menemukan faktor tambahan. Ekspresi tidak hilang pada rentang nilai yang dapat diterima dari variabel x dan y, oleh karena itu, kita dapat mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengannya:

Menjawab:

sebuah) , b) .

Juga tidak ada yang baru dalam pengurangan pecahan yang mengandung derajat: pembilang dan penyebut direpresentasikan sebagai sejumlah faktor, dan faktor pembilang dan penyebut yang sama dikurangi.

Contoh.

Kurangi pecahan: a) , b).

Keputusan.

a) Pertama, pembilang dan penyebutnya dapat dikurangi dengan angka 30 dan 45, yang sama dengan 15. Juga, jelas, Anda dapat mengurangi x 0,5 +1 dan dengan . Inilah yang kami miliki:

b) Dalam hal ini, faktor pembilang dan penyebut yang sama tidak langsung terlihat. Untuk mendapatkannya, Anda harus melakukan transformasi awal. Dalam hal ini, mereka terdiri dari menguraikan penyebut menjadi faktor-faktor sesuai dengan perbedaan rumus kuadrat:

Menjawab:

sebuah)

b) .

Mengurangi pecahan ke penyebut baru dan mengurangi pecahan terutama digunakan untuk melakukan operasi pada pecahan. Tindakan dilakukan sesuai dengan aturan yang diketahui. Saat menambahkan (mengurangi) pecahan, mereka direduksi menjadi penyebut yang sama, setelah itu pembilangnya ditambahkan (dikurangi), dan penyebutnya tetap sama. Hasilnya adalah pecahan yang pembilangnya adalah hasil kali pembilangnya, dan penyebutnya adalah perkalian penyebutnya. Pembagian dengan pecahan adalah perkalian dengan kebalikannya.

Contoh.

Ikuti langkah-langkahnya .

Keputusan.

Pertama, kita kurangi pecahan dalam kurung. Untuk melakukan ini, kami membawanya ke penyebut yang sama, yaitu , lalu kurangi pembilangnya:

Sekarang kita mengalikan pecahan:

Jelas, pengurangan dengan kekuatan x 1/2 dimungkinkan, setelah itu kita memiliki .

Anda juga dapat menyederhanakan ekspresi pangkat dalam penyebut dengan menggunakan rumus selisih kuadrat: .

Menjawab:

Contoh.

Sederhanakan Ekspresi Daya .

Keputusan.

Jelas, pecahan ini dapat dikurangi dengan (x 2,7 +1) 2, ini memberikan pecahan . Jelas bahwa sesuatu yang lain perlu dilakukan dengan kekuatan x. Untuk melakukan ini, kami mengubah pecahan yang dihasilkan menjadi produk. Ini memberi kita kesempatan untuk menggunakan properti pembagian kekuatan dengan basis yang sama: . Dan di akhir proses, kita beralih dari produk terakhir ke pecahan.

Menjawab:

.

Dan kami menambahkan bahwa adalah mungkin dan dalam banyak kasus diinginkan untuk mentransfer faktor dengan eksponen negatif dari pembilang ke penyebut atau dari penyebut ke pembilang dengan mengubah tanda eksponen. Transformasi seperti itu sering menyederhanakan tindakan lebih lanjut. Misalnya, ekspresi kekuatan dapat diganti dengan .

Mengubah ekspresi dengan akar dan pangkat

Seringkali dalam ekspresi di mana beberapa transformasi diperlukan, bersama dengan derajat dengan eksponen pecahan, ada juga akar. Untuk mengonversi ekspresi seperti itu ke bentuk yang diinginkan, dalam banyak kasus cukup dengan hanya pergi ke akar atau hanya ke kekuatan. Tetapi karena lebih nyaman untuk bekerja dengan derajat, mereka biasanya berpindah dari akar ke derajat. Namun, disarankan untuk melakukan transisi seperti itu ketika ODZ variabel untuk ekspresi asli memungkinkan Anda untuk mengganti akar dengan derajat tanpa perlu mengakses modul atau membagi ODZ menjadi beberapa interval (kami membahas ini secara rinci di bagian artikel, transisi dari akar ke pangkat dan sebaliknya Setelah berkenalan dengan derajat dengan eksponen rasional, gelar dengan indikator irasional diperkenalkan, yang memungkinkan untuk berbicara tentang gelar dengan indikator nyata yang sewenang-wenang.Pada tahap ini, sekolah mulai belajar Fungsi eksponensial, yang secara analitis diberikan oleh derajat, dengan dasar yang ada angka, dan dalam indikator - variabel. Jadi kita dihadapkan dengan ekspresi eksponensial yang berisi angka dalam basis derajat, dan dalam eksponen - ekspresi dengan variabel, dan tentu saja muncul kebutuhan untuk melakukan transformasi ekspresi tersebut.

Harus dikatakan bahwa transformasi ekspresi dari tipe yang ditunjukkan biasanya harus dilakukan saat menyelesaikan persamaan eksponensial dan pertidaksamaan eksponensial, dan transformasi ini cukup sederhana. Dalam sebagian besar kasus, mereka didasarkan pada sifat-sifat derajat dan sebagian besar ditujukan untuk memperkenalkan variabel baru di masa depan. Persamaan akan memungkinkan kita untuk mendemonstrasikannya 5 2 x+1 3 5 x 7 x 14 7 2 x−1 =0.

Pertama, eksponen, di mana eksponen jumlah beberapa variabel (atau ekspresi dengan variabel) dan angka, ditemukan, diganti dengan produk. Ini berlaku untuk istilah pertama dan terakhir dari ekspresi di sisi kiri:
5 2 x 5 1 3 5 x 7 x 14 7 2 x 7 1 =0,
5 5 2 x 3 5 x 7 x 2 7 2 x =0.

Selanjutnya, kedua bagian persamaan dibagi dengan ekspresi 7 2 x , yang hanya mengambil nilai positif pada ODZ variabel x untuk persamaan asli (ini adalah teknik standar untuk menyelesaikan persamaan semacam ini, kami tidak membicarakannya sekarang, jadi fokuslah pada transformasi ekspresi selanjutnya dengan kekuatan ):

Sekarang pecahan dengan kekuatan dibatalkan, yang memberikan .

Akhirnya, rasio pangkat dengan pangkat yang sama diganti dengan pangkat rasio, yang mengarah ke persamaan , yang setara dengan . Transformasi yang dibuat memungkinkan kami untuk memperkenalkan variabel baru , yang mengurangi solusi persamaan eksponensial asli menjadi solusi persamaan kuadrat

I.V. Boikov, L.D. Romanova Kumpulan tugas untuk persiapan ujian. Bagian 1. Penza 2003.

Menyederhanakan ekspresi aljabar adalah salah satu kunci untuk mempelajari aljabar dan keterampilan yang sangat berguna untuk semua matematikawan. Penyederhanaan memungkinkan Anda untuk mengurangi ekspresi kompleks atau panjang menjadi ekspresi sederhana yang mudah digunakan. Keterampilan penyederhanaan dasar baik bahkan bagi mereka yang tidak antusias dengan matematika. Dengan mengikuti beberapa aturan sederhana, banyak jenis ekspresi aljabar yang paling umum dapat disederhanakan tanpa pengetahuan matematika khusus.

Langkah

Definisi penting

1. Anggota serupa. Ini adalah anggota dengan variabel dengan urutan yang sama, anggota dengan variabel yang sama, atau anggota bebas (anggota yang tidak mengandung variabel). Dengan kata lain, suku-suku sejenis mencakup satu variabel pada tingkat yang sama, mencakup beberapa variabel yang identik, atau tidak memasukkan variabel sama sekali. Urutan istilah dalam ekspresi tidak masalah.

   • Misalnya, 3x 2 dan 4x 2 adalah suku sejenis karena mengandung variabel "x" dari orde kedua (dalam pangkat kedua). Namun, x dan x 2 bukanlah anggota yang serupa, karena mengandung variabel "x" dengan ordo yang berbeda (pertama dan kedua). Demikian pula, -3yx dan 5xz bukan anggota yang sama karena mengandung variabel yang berbeda.

2. Faktorisasi. Ini adalah menemukan angka-angka seperti itu, produk yang mengarah ke angka aslinya. Setiap nomor asli dapat memiliki beberapa faktor. Misalnya, bilangan 12 dapat diuraikan menjadi barisan faktor berikut: 1 × 12, 2 × 6 dan 3 × 4, sehingga dapat dikatakan bahwa bilangan 1, 2, 3, 4, 6 dan 12 adalah faktor dari bilangan 12. Faktor-faktornya sama dengan pembagi , yaitu bilangan-bilangan yang habis dibagi bilangan asli.

   • Misalnya, jika Anda ingin memfaktorkan angka 20, tuliskan seperti ini: 4×5.
   • Perhatikan bahwa ketika memfaktorkan, variabel diperhitungkan. Misalnya, 20x = 4(5x).
   • Bilangan prima tidak dapat difaktorkan karena hanya habis dibagi oleh dirinya sendiri dan 1.

3. Ingat dan ikuti urutan operasi untuk menghindari kesalahan.

   • Tanda kurung
   • Derajat
   • Perkalian
   • Divisi
   • Tambahan
   • Pengurangan

   Casting Seperti Anggota

   1. Tuliskan ekspresinya. Ekspresi aljabar paling sederhana (yang tidak mengandung pecahan, akar, dan sebagainya) dapat diselesaikan (disederhanakan) hanya dalam beberapa langkah.

      • Misalnya, sederhanakan ekspresi 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Tentukan anggota serupa (anggota dengan variabel dengan ordo yang sama, anggota dengan variabel yang sama, atau anggota bebas).

      • Temukan istilah serupa dalam ungkapan ini. Suku 2x dan 4x mengandung variabel dengan ordo yang sama (pertama). Juga, 1 dan -3 adalah anggota bebas (tidak mengandung variabel). Jadi, dalam ungkapan ini, istilah 2x dan 4x serupa, dan anggotanya 1 dan -3 juga mirip.

   3. Berikan istilah serupa. Ini berarti menambah atau menguranginya dan menyederhanakan ekspresinya.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Tulis ulang ekspresi dengan mempertimbangkan anggota yang diberikan. Anda akan mendapatkan ekspresi sederhana dengan istilah yang lebih sedikit. Ekspresi baru sama dengan aslinya.

      • Dalam contoh kita: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, yaitu, ekspresi asli disederhanakan dan lebih mudah digunakan.

   5. Amati urutan operasi yang dilakukan saat casting istilah yang sama. Dalam contoh kami, mudah untuk membawa istilah serupa. Namun, dalam kasus ekspresi kompleks di mana anggota diapit dalam tanda kurung dan ada pecahan dan akar, tidak mudah untuk membawa istilah seperti itu. Dalam kasus ini, ikuti urutan operasi.

      • Misalnya, perhatikan ekspresi 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Di sini akan menjadi kesalahan untuk segera mendefinisikan 3x dan 2x sebagai istilah serupa dan mengutipnya, karena pertama-tama Anda perlu memperluas tanda kurung. Oleh karena itu, lakukan operasi sesuai urutannya.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Sekarang, ketika ekspresi hanya berisi operasi penjumlahan dan pengurangan, Anda dapat mentransmisikan suku-suku serupa.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x2 + 12x + 3

   Mengkurung pengali

   1. Temukan pembagi persekutuan terbesar (gcd) dari semua koefisien ekspresi. GCD adalah bilangan terbesar yang semua koefisien ekspresinya habis dibagi.

      • Sebagai contoh, perhatikan persamaan 9x 2 + 27x - 3. Dalam kasus ini, gcd=3, karena setiap koefisien dari ekspresi ini habis dibagi 3.

   2. Bagilah setiap suku ekspresi dengan gcd. Istilah yang dihasilkan akan berisi koefisien yang lebih kecil daripada ekspresi aslinya.

      • Dalam contoh kita, bagi setiap suku ekspresi dengan 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Ternyata ekspresinya 3x2 + 9x-1. Itu tidak sama dengan ekspresi aslinya.

   3. Tulis ekspresi asli sama dengan produk dari gcd kali ekspresi yang dihasilkan. Yaitu, lampirkan ekspresi yang dihasilkan dalam tanda kurung, dan keluarkan GCD dari tanda kurung.

      • Dalam contoh kita: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Menyederhanakan ekspresi pecahan dengan menghilangkan pengali dari tanda kurung. Mengapa hanya mengambil pengali dari tanda kurung, seperti yang dilakukan sebelumnya? Kemudian, untuk mempelajari cara menyederhanakan ekspresi kompleks, seperti ekspresi pecahan. Dalam hal ini, mengeluarkan faktor dari kurung dapat membantu menghilangkan pecahan (dari penyebut).

      • Misalnya, perhatikan ekspresi pecahan (9x 2 + 27x - 3)/3. Gunakan tanda kurung untuk menyederhanakan ekspresi ini.
        • Faktorkan faktor 3 (seperti yang Anda lakukan sebelumnya): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Perhatikan bahwa pembilang dan penyebut sekarang memiliki angka 3. Ini dapat dikurangi, dan Anda mendapatkan ekspresi: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Karena setiap pecahan yang memiliki angka 1 penyebut sama dengan pembilangnya, ekspresi pecahan asli disederhanakan menjadi: 3x2 + 9x-1.

   Teknik Penyederhanaan Tambahan

4. Pertimbangkan contoh sederhana: (90). Angka 90 dapat diuraikan menjadi faktor-faktor berikut: 9 dan 10, dan dari 9, ambil akar kuadrat (3) dan keluarkan 3 dari bawah akar.
   • √(90)
   • (9×10)
   • (9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Menyederhanakan ekspresi dengan kekuatan. Dalam beberapa ekspresi, ada operasi perkalian atau pembagian istilah dengan gelar. Dalam kasus perkalian suku dengan satu basis, derajatnya ditambahkan; dalam hal pembagian suku dengan alas yang sama, derajatnya dikurangi.

   • Misalnya, perhatikan ekspresi 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). Dalam kasus perkalian, tambahkan eksponen, dan dalam kasus pembagian, kurangi.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Berikut ini adalah penjelasan tentang aturan perkalian dan pembagian suku dengan derajat.
     • Mengalikan suku dengan pangkat sama dengan mengalikan suku dengan sendirinya. Misalnya, karena x 3 = x × x × x dan x 5 = x × x × x × x × x, maka x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), atau x8 .
     • Demikian pula, membagi istilah dengan kekuatan sama dengan membagi istilah itu sendiri. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Karena suku-suku serupa yang ada di pembilang dan penyebutnya dapat direduksi, hasil kali dua "x", atau x 2, tetap di pembilangnya.

• Selalu waspadai tanda (plus atau minus) di depan istilah ekspresi, karena banyak orang kesulitan memilih tanda yang tepat.
• Mintalah bantuan jika diperlukan!
• Menyederhanakan ekspresi aljabar tidak mudah, tetapi jika Anda menguasainya, Anda dapat menggunakan keterampilan ini seumur hidup.

Kalkulator pecahan online yang nyaman dan sederhana dengan solusi terperinci mungkin:

• Menambah, mengurangi, mengalikan dan membagi pecahan secara online,
• Dapatkan solusi pecahan yang sudah jadi sebagai gambar dan transfer dengan mudah.



Hasil pemecahan pecahan akan ada di sini ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Tanda pecahan "/" + - * :
_hapus Hapus
Kalkulator pecahan online kami memiliki input cepat. Untuk mendapatkan solusi pecahan, misalnya, tulis saja 1/2+2/7 ke dalam kalkulator dan tekan tombol " menyelesaikan pecahan". Kalkulator akan menulis Anda solusi rinci dari pecahan dan masalah gambar ramah salinan.

Karakter yang digunakan untuk menulis di kalkulator

Anda dapat mengetikkan contoh untuk solusi baik dari keyboard maupun menggunakan tombol.

Fitur kalkulator pecahan online

Kalkulator pecahan hanya dapat melakukan operasi dengan 2 pecahan sederhana. Mereka bisa benar (pembilang lebih kecil dari penyebut) atau salah (pembilang lebih besar dari penyebut). Bilangan dalam pembilang dan penyebut tidak boleh negatif dan lebih besar dari 999.
Kalkulator online kami memecahkan pecahan dan mengonversi jawaban ke bentuk yang benar - kurangi pecahan dan sorot bagian bilangan bulat, jika perlu.

Jika Anda perlu menyelesaikan pecahan negatif, cukup gunakan sifat minus. Saat mengalikan dan membagi pecahan negatif, minus dengan minus memberi plus. Artinya, produk dan pembagian pecahan negatif sama dengan produk dan pembagian pecahan positif yang sama. Jika satu pecahan negatif saat dikalikan atau dibagi, maka cukup hilangkan minusnya, lalu tambahkan ke jawabannya. Saat menambahkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika Anda menambahkan pecahan positif yang sama. Jika Anda menambahkan satu pecahan negatif, maka ini sama dengan mengurangkan pecahan positif yang sama.
Saat mengurangkan pecahan negatif, hasilnya akan sama seperti jika dibalik dan menjadi positif. Artinya, minus dengan minus dalam hal ini memberikan nilai tambah, dan jumlahnya tidak berubah dari penataan ulang istilah. Kami menggunakan aturan yang sama saat mengurangkan pecahan, salah satunya adalah negatif.

Untuk menyelesaikan pecahan campuran (pecahan di mana seluruh bagian disorot), cukup ubah seluruh bagian menjadi pecahan. Untuk melakukan ini, kalikan bagian bilangan bulat dengan penyebut dan tambahkan ke pembilangnya.

Jika Anda perlu menyelesaikan 3 pecahan atau lebih secara online, Anda harus menyelesaikannya satu per satu. Pertama, hitung 2 pecahan pertama, lalu selesaikan pecahan berikutnya dengan jawaban yang diterima, dan seterusnya. Lakukan operasi secara bergantian untuk 2 pecahan, dan pada akhirnya Anda akan mendapatkan jawaban yang benar.