Catatan! Sebelum menulis jawaban akhir, lihat apakah Anda dapat mengurangi pecahan yang Anda terima.

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama contoh:

,

,

Pengurangan pecahan biasa dari satu.

Jika perlu untuk mengurangkan dari unit pecahan yang benar, unit diubah menjadi bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan penyebut dari pecahan yang dikurangi.

Contoh pengurangan pecahan biasa dari satu:

Penyebut pecahan yang akan dikurangi = 7 , yaitu, kami menyatakan satuan sebagai pecahan tak wajar 7/7 dan mengurangkan menurut aturan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama.

Pengurangan pecahan biasa dari bilangan bulat.

Aturan pengurangan pecahan - benar dari bilangan bulat (bilangan asli):

• Kami menerjemahkan pecahan yang diberikan, yang berisi bagian bilangan bulat, menjadi pecahan yang tidak tepat. Kami mendapatkan istilah normal (tidak masalah jika mereka memiliki penyebut yang berbeda), yang kami anggap sesuai dengan aturan yang diberikan di atas;
• Selanjutnya, kita menghitung selisih pecahan yang kita terima. Akibatnya, kita hampir akan menemukan jawabannya;
• Kami melakukan transformasi terbalik, yaitu, kami menyingkirkan pecahan yang tidak tepat - kami memilih bagian bilangan bulat dalam pecahan.

Kurangi pecahan biasa dari bilangan bulat: kami mewakili bilangan asli sebagai bilangan campuran. Itu. kita mengambil satuan dalam bilangan asli dan menerjemahkannya ke dalam bentuk pecahan biasa, penyebutnya sama dengan pecahan yang dikurangi.

Contoh pengurangan pecahan:

Dalam contoh, kami mengganti unit dengan pecahan biasa 7/7 dan alih-alih 3 kami menuliskan angka campuran dan mengurangi pecahan dari bagian pecahan.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Atau, dengan kata lain, pengurangan pecahan yang berbeda.

Aturan pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda. Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, pertama-tama perlu untuk membawa pecahan ini ke penyebut bersama (LCD) terendah, dan hanya setelah itu untuk mengurangi seperti dengan pecahan dengan penyebut yang sama.

Penyebut dari beberapa pecahan adalah KPK (kelipatan persekutuan terkecil) bilangan asli yang merupakan penyebut dari pecahan yang diberikan.

Perhatian! Jika pada pecahan terakhir pembilang dan penyebutnya mempunyai faktor persekutuan, maka pecahan tersebut harus direduksi. Pecahan tak wajar paling baik direpresentasikan sebagai pecahan campuran. Membiarkan hasil pengurangan tanpa mengurangi pecahan jika memungkinkan adalah solusi yang belum selesai untuk contoh!

Prosedur pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

• cari KPK untuk semua penyebutnya;
• menempatkan pengganda tambahan untuk semua pecahan;
• kalikan semua pembilang dengan faktor tambahan;
• kami menulis produk yang dihasilkan di pembilang, menandatangani penyebut yang sama di bawah semua pecahan;
• mengurangkan pembilang pecahan, menandatangani penyebut yang sama di bawah perbedaan.

Dengan cara yang sama, penjumlahan dan pengurangan pecahan dilakukan dengan adanya huruf pada pembilangnya.

Pengurangan pecahan, contoh:

Pengurangan pecahan campuran.

Pada pengurangan pecahan campuran (angka) secara terpisah, bagian bilangan bulat dikurangi dari bagian bilangan bulat, dan bagian pecahan dikurangi dari bagian pecahan.

Opsi pertama adalah mengurangkan pecahan campuran.

Jika bagian pecahan sama penyebut dan pembilang bagian pecahan dari minuend (kita kurangi) pembilang bagian pecahan dari subtrahend (kita kurangi).

Sebagai contoh:

Pilihan kedua adalah mengurangkan pecahan campuran.

Ketika bagian pecahan berbagai penyebut. Untuk memulainya, kami mengurangi bagian pecahan menjadi penyebut yang sama, dan setelah itu kami mengurangi bagian bilangan bulat dari bilangan bulat, dan pecahan dari pecahan.

Sebagai contoh:

Pilihan ketiga adalah mengurangkan pecahan campuran.

Bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari bagian pecahan dari subtrahend.

Contoh:

Karena bagian pecahan memiliki penyebut yang berbeda, yang berarti, seperti pada opsi kedua, pertama-tama kita membawa pecahan biasa ke penyebut yang sama.

Pembilang bagian pecahan dari minuend lebih kecil dari pembilang bagian pecahan dari subtrahend.3 < 14. Jadi, kami mengambil unit dari bagian bilangan bulat dan membawa unit ini ke bentuk pecahan biasa dengan penyebut dan pembilang yang sama = 18.

Di pembilang dari sisi kanan kami menulis jumlah pembilang, lalu kami membuka tanda kurung di pembilang dari sisi kanan, yaitu, kami mengalikan semuanya dan memberikan yang serupa. Kami tidak membuka tanda kurung di penyebut. Merupakan kebiasaan untuk meninggalkan produk dalam penyebut. Kita mendapatkan:

Disini kita akan mengerti caranya pengurangan pecahan biasa. Pertama, kita mendapatkan aturan untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama. Selanjutnya, pertimbangkan pengurangan pecahan dengan penyebut yang berbeda dan berikan contoh pengurangan dengan solusi terperinci. Setelah itu, kita akan fokus pada pengurangan pecahan dari bilangan asli dan pengurangan bilangan dari pecahan. Sebagai kesimpulan, kami akan menunjukkan bagaimana pengurangan pecahan biasa dilakukan menggunakan sifat-sifat tindakan ini.

Segera, kami perhatikan bahwa dalam artikel ini kami hanya akan berbicara tentang pengurangan pecahan yang lebih kecil dari pecahan yang lebih besar. Kasus lain dibahas dalam artikel pengurangan bilangan rasional.

Navigasi halaman.

Pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama

Untuk memulainya, mari kita berikan contoh yang memungkinkan kita memahami bagaimana pengurangan pecahan yang penyebutnya sama.

Misalkan ada lima perdelapan apel di piring, yaitu 5/8 dari apel, setelah itu dua perdelapan diambil. Menurut arti pengurangan (lihat gagasan umum pengurangan), tindakan yang ditentukan dijelaskan sebagai berikut: . Jelas bahwa dalam kasus ini 5−2=3 perdelapan dari sebuah apel tetap berada di piring. yaitu, .

Contoh yang dipertimbangkan menggambarkan aturan pengurangan pecahan berpenyebut sama: saat mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama, pembilangnya dikurangi dengan pembilangnya, dan penyebutnya tetap sama.

Aturan bersuara dengan bantuan huruf ditulis sebagai berikut: . Kami akan menggunakan rumus ini saat mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama.

Mempertimbangkan contoh pengurangan pecahan berpenyebut sama.

Contoh.

Kurangi pecahan biasa 17/15 dari pecahan biasa 24/15.

Keputusan.

Penyebut dari pecahan yang dikurangkan adalah sama. Pembilang dari minuend adalah 24 , dan pembilang dari subtrahend adalah 17 , selisihnya adalah 7 (24−17=7 jika perlu, lihat pengurangan bilangan asli). Oleh karena itu, mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama 24/15 dan 17/15 menghasilkan pecahan 7/15.

Versi singkat dari solusi terlihat seperti ini: .

Menjawab:

.

Jika memungkinkan, perlu untuk mengurangi pecahan dan (atau) memilih seluruh bagian dari pecahan yang tidak tepat, yang diperoleh dengan mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama.

Contoh.

Hitung selisihnya.

Keputusan.

Kami menggunakan rumus untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama: .

Jelas, pembilang dan penyebut pecahan yang dihasilkan habis dibagi 2 (lihat), yaitu, 22/12 adalah pecahan tereduksi. Dengan mengurangi pecahan ini dengan 2, kita sampai pada pecahan 11/6.

Pecahan 11/6 salah (lihat pecahan wajar dan pecahan tak wajar). Oleh karena itu, perlu untuk memilih seluruh bagian darinya: .

Jadi, selisih pecahan berpenyebut sama yang dihitung adalah .

Inilah solusi lengkapnya: .

Menjawab:

.

Pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda

Pengurangan pecahan berpenyebut berbeda direduksi menjadi pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama. Untuk melakukan ini, pecahan dengan penyebut yang berbeda perlu direduksi menjadi penyebut yang sama.

Jadi untuk dibelanjakan pengurangan pecahan dengan penyebut yang berbeda, diperlukan:

• mengurangi pecahan menjadi penyebut yang sama (biasanya pecahan mengarah ke penyebut yang paling rendah);
• Kurangi pecahan yang dihasilkan dengan penyebut yang sama.

Mempertimbangkan contoh pengurangan pecahan dengan penyebut berbeda.

Contoh.

Kurangi dari pecahan biasa 2/9 pecahan biasa 1/15.

Keputusan.

Karena penyebut pecahan yang akan dikurangkan berbeda, pertama kita lakukan pengurangan pecahan ke penyebut terkecil: karena KPK(9, 15)=45, maka faktor tambahan dari pecahan 2/9 adalah bilangan 45: 9=5, dan faktor tambahan dari pecahan adalah 1/15 adalah angka 45:15=3 , maka dan .

Tinggal kurangi pecahan 3/45 dari pecahan 10/45, kita dapatkan , yang memberi kita perbedaan yang diperlukan dari pecahan dengan penyebut yang berbeda.

Secara singkat, solusinya ditulis sebagai berikut: .

Menjawab:

Kita tidak boleh melupakan pengurangan pecahan yang diperoleh setelah pengurangan, serta pemilihan seluruh bagian.

Contoh.

Kurangi pecahan 7/36 dari pecahan 19/9.

Keputusan.

Setelah mengurangi pecahan dengan penyebut berbeda ke penyebut umum terendah 36, kami memiliki pecahan 76/9 dan 7/36. Kami menghitung perbedaannya: .

Pecahan yang dihasilkan dapat direduksi, setelah dikurangi 3, kita mendapatkan 23/12. Dan pecahan ini salah, setelah memisahkan bagian bilangan bulat darinya, kami memiliki .

Mari kita kumpulkan semua tindakan yang dilakukan saat mengurangkan pecahan asli dengan penyebut yang berbeda :.

Menjawab:

.

Pengurangan bilangan asli dari pecahan biasa

Pengurangan bilangan asli dari pecahan dapat direduksi menjadi pengurangan pecahan biasa. Untuk melakukan ini, cukup mewakili bilangan asli sebagai pecahan dengan penyebut 1. Mari kita lihat contoh solusi.

Contoh.

Kurangi angka 3 dari pecahan 83/21.

Keputusan.

Karena angka 3 sama dengan pecahan 3/1, maka.

Menjawab:

Namun, lebih mudah untuk mengurangkan bilangan asli dari pecahan biasa dengan menyatakan pecahan sebagai bilangan campuran. Mari kita tunjukkan solusi dari contoh sebelumnya dengan cara ini.

Pengurangan pecahan dari bilangan asli

Pengurangan pecahan dari bilangan asli dapat direduksi menjadi pengurangan pecahan biasa dengan menyatakan bilangan asli sebagai pecahan. Mari kita menganalisis solusi dari contoh yang menggambarkan pendekatan ini.

Contoh.

Kurangi pecahan biasa 5/3 dari bilangan asli 7.

Keputusan.

Kami mewakili angka 7 sebagai pecahan 7/1, setelah itu kami melakukan pengurangan: .

Setelah memilih bagian bilangan bulat dari pecahan yang dihasilkan, kami mendapatkan jawaban akhir.

Menjawab:

Namun, ada cara yang lebih rasional untuk mengurangkan pecahan dari bilangan asli. Keuntungannya terutama terlihat ketika bilangan asli yang akan dikurangi dan penyebut pecahan yang akan dikurangi adalah bilangan besar. Semua ini akan terlihat dari contoh di bawah ini.

Jika pecahan yang dikurangi benar, maka bilangan asli yang dikurangi dapat diganti dengan jumlah dua bilangan, salah satunya sama dengan satu, kurangi pecahan yang benar dari satu, lalu selesaikan perhitungannya.

Contoh.

Kurangi pecahan biasa 13/62 dari bilangan asli 1065.

Keputusan.

Pecahan biasa yang dikurangkan benar. Mari kita ganti angka 1065 dengan jumlah 1064+1 dan dapatkan . Tetap menghitung nilai ekspresi yang dihasilkan (kita akan berbicara lebih banyak tentang perhitungan ekspresi tersebut di).

Karena sifat pengurangan, ekspresi yang dihasilkan dapat ditulis ulang sebagai . Hitung nilai selisih dalam tanda kurung, ganti satuannya dengan pecahan 1/1 , kita peroleh . Dengan demikian, . Ini melengkapi pengurangan pecahan 13/62 dari bilangan asli 1065.

Inilah solusi lengkapnya:

Dan sekarang, sebagai perbandingan, mari kita tunjukkan bilangan apa yang harus kita kerjakan jika kita memutuskan untuk mengurangi pengurangan bilangan asli menjadi pengurangan pecahan:

Menjawab:

.

Jika pecahan yang akan dikurangkan salah, maka dapat diganti dengan bilangan campuran, dan kemudian dikurangi dengan bilangan asli.

Salah satu ilmu yang paling penting, penerapannya dapat dilihat dalam disiplin ilmu seperti kimia, fisika dan bahkan biologi, adalah matematika. Mempelajari ilmu ini memungkinkan Anda untuk mengembangkan beberapa kualitas mental, meningkatkan kemampuan untuk berkonsentrasi. Salah satu topik yang perlu mendapat perhatian khusus dalam mata kuliah “Matematika” adalah penjumlahan dan pengurangan pecahan. Banyak siswa yang merasa kesulitan untuk belajar. Mungkin artikel kami akan membantu untuk lebih memahami topik ini.

Cara mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama

Pecahan adalah angka yang sama yang dapat digunakan untuk melakukan berbagai tindakan. Perbedaan mereka dari bilangan bulat terletak pada adanya penyebut. Itulah sebabnya saat melakukan tindakan dengan pecahan, Anda perlu mempelajari beberapa fitur dan aturannya. Kasus paling sederhana adalah pengurangan pecahan biasa, penyebutnya direpresentasikan sebagai angka yang sama. Tidak akan sulit untuk melakukan tindakan ini jika Anda mengetahui aturan sederhana:

• Untuk mengurangkan pecahan kedua dari satu pecahan, pembilangnya harus dikurangi dari pecahan yang dikurangi pembilangnya. Kami menulis angka ini ke dalam pembilang selisihnya, dan membiarkan penyebutnya sama: k / m - b / m = (k-b) / m.

Contoh pengurangan pecahan yang penyebutnya sama

7/19 - 3/19 = (7 - 3)/19 = 4/19.

Dari pembilang dari pecahan yang dikurangi "7" kurangi pembilang dari pecahan yang dikurangi "3", kita mendapatkan "4". Kami menulis angka ini di pembilang jawaban, dan memasukkan penyebut angka yang sama dengan penyebut pecahan pertama dan kedua - "19".

Gambar di bawah ini menunjukkan beberapa contoh lagi.

Pertimbangkan contoh yang lebih kompleks di mana pecahan dengan penyebut yang sama dikurangi:

29/47 - 3/47 - 8/47 - 2/47 - 7/47 = (29 - 3 - 8 - 2 - 7)/47 = 9/47.

Dari pembilang dari pecahan tereduksi "29" dengan mengurangkan secara bergantian pembilang semua pecahan berikutnya - "3", "8", "2", "7". Akibatnya, kami mendapatkan hasil "9", yang kami tulis di pembilang jawaban, dan di penyebut kami menulis angka yang ada di penyebut semua pecahan ini - "47".

Penjumlahan pecahan dengan penyebut yang sama

Penjumlahan dan pengurangan pecahan biasa dilakukan dengan prinsip yang sama.

• Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, Anda harus menjumlahkan pembilangnya. Angka yang dihasilkan adalah pembilang dari jumlah tersebut, dan penyebutnya tetap sama: k/m + b/m = (k + b)/m.

Mari kita lihat bagaimana tampilannya dalam contoh:

1/4 + 2/4 = 3/4.

Untuk pembilang suku pertama pecahan - "1" - kami menambahkan pembilang suku kedua pecahan - "2". Hasilnya - "3" - ditulis dalam pembilang jumlahnya, dan penyebutnya dibiarkan sama dengan yang ada pada pecahan - "4".

Pecahan yang berbeda penyebut dan pengurangannya

Kami telah mempertimbangkan tindakan dengan pecahan yang memiliki penyebut yang sama. Seperti yang Anda lihat, mengetahui aturan sederhana, memecahkan contoh seperti itu cukup mudah. Tetapi bagaimana jika Anda perlu melakukan aksi dengan pecahan yang penyebutnya berbeda? Banyak siswa sekolah menengah bingung dengan contoh seperti itu. Tetapi bahkan di sini, jika Anda mengetahui prinsip penyelesaiannya, contoh-contoh itu tidak akan lagi sulit bagi Anda. Ada juga aturan di sini, yang tanpanya solusi pecahan seperti itu tidak mungkin.

Untuk mengurangkan pecahan-pecahan yang penyebutnya berbeda, harus dikurangi menjadi penyebut terkecil yang sama.



Kami akan berbicara lebih detail tentang bagaimana melakukan ini.

Sifat pecahan

Untuk mengurangi beberapa pecahan menjadi penyebut yang sama, Anda perlu menggunakan properti utama pecahan dalam solusi: setelah membagi atau mengalikan pembilang dan penyebut dengan angka yang sama, Anda mendapatkan pecahan yang sama dengan yang diberikan.

Jadi, misalnya, pecahan 2/3 dapat memiliki penyebut seperti "6", "9", "12", dll., yaitu, dapat terlihat seperti bilangan apa pun yang merupakan kelipatan dari "3". Setelah kita kalikan pembilang dan penyebutnya dengan "2", kita mendapatkan pecahan 4/6. Setelah kita mengalikan pembilang dan penyebut pecahan asli dengan "3", kita mendapatkan 6/9, dan jika kita melakukan tindakan serupa dengan angka "4", kita mendapatkan 8/12. Dalam satu persamaan, ini dapat ditulis sebagai:

2/3 = 4/6 = 6/9 = 8/12…

Bagaimana cara membawa beberapa pecahan ke penyebut yang sama

Pertimbangkan cara mengurangi beberapa pecahan menjadi penyebut yang sama. Misalnya, ambil pecahan yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini. Pertama, Anda perlu menentukan angka apa yang bisa menjadi penyebut untuk semuanya. Untuk mempermudah, mari kita uraikan penyebut yang ada menjadi faktor.

Penyebut pecahan 1/2 dan pecahan 2/3 tidak dapat difaktorkan. Penyebut 7/9 memiliki dua faktor 7/9 = 7/(3 x 3), penyebut pecahan 5/6 = 5/(2 x 3). Sekarang Anda perlu menentukan faktor mana yang terkecil untuk keempat pecahan ini. Karena pecahan pertama memiliki angka “2” pada penyebut, itu berarti bahwa itu harus ada di semua penyebut, di pecahan 7/9 ada dua kali lipat, yang berarti bahwa mereka juga harus ada di penyebut. Mengingat hal di atas, kami menentukan bahwa penyebut terdiri dari tiga faktor: 3, 2, 3 dan sama dengan 3 x 2 x 3 = 18.



Pertimbangkan pecahan pertama - 1/2. Penyebutnya berisi "2", tetapi tidak ada satu "3", tetapi harus ada dua. Untuk melakukan ini, kita mengalikan penyebutnya dengan dua kali lipat, tetapi, menurut sifat pecahan, kita harus mengalikan pembilangnya dengan dua kali lipat:
1/2 = (1 x 3 x 3)/(2 x 3 x 3) = 9/18.

Demikian pula, kami melakukan tindakan dengan pecahan yang tersisa.

• 2/3 - satu tiga dan satu dua tidak ada penyebutnya:
  2/3 = (2 x 3 x 2)/(3 x 3 x 2) = 12/18.
• 7/9 atau 7/(3 x 3) - penyebutnya hilang dua:
  7/9 = (7 x 2)/(9 x 2) = 14/18.
• 5/6 atau 5/(2 x 3) - penyebutnya hilang tiga kali lipat:
  5/6 = (5 x 3)/(6 x 3) = 15/18.

Semua bersama-sama terlihat seperti ini:



Cara mengurangi dan menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda

Seperti disebutkan di atas, untuk menjumlahkan atau mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda, mereka harus direduksi menjadi penyebut yang sama, dan kemudian menggunakan aturan untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, yang telah dijelaskan.

Pertimbangkan ini dengan sebuah contoh: 18/4 - 15/3.

Mencari kelipatan 18 dan 15:

• Bilangan 18 terdiri dari 3 x 2 x 3.
• Bilangan 15 terdiri dari 5 x 3.
• Kelipatan persekutuan akan terdiri dari faktor-faktor berikut 5 x 3 x 3 x 2 = 90.

Setelah penyebut ditemukan, perlu untuk menghitung faktor yang akan berbeda untuk setiap pecahan, yaitu angka yang diperlukan untuk mengalikan tidak hanya penyebut, tetapi juga pembilangnya. Untuk melakukan ini, kami membagi angka yang kami temukan (kelipatan persekutuan) dengan penyebut pecahan yang faktor tambahannya perlu ditentukan.

• 90 dibagi 15. Angka yang dihasilkan "6" akan menjadi pengali untuk 3/15.
• 90 dibagi 18. Angka yang dihasilkan "5" akan menjadi pengali untuk 4/18.

Langkah selanjutnya dalam solusi kami adalah membawa setiap pecahan ke penyebut "90".

Kami telah membahas bagaimana ini dilakukan. Mari kita lihat bagaimana ini ditulis dalam contoh:

(4 x 5) / (18 x 5) - (3 x 6) / (15 x 6) = 20/90 - 18/90 = 2/90 = 1/45.

Jika pecahan dengan angka kecil, maka Anda dapat menentukan penyebut yang sama, seperti pada contoh yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini.



Demikian pula diproduksi dan memiliki penyebut yang berbeda.

Pengurangan dan memiliki bagian bilangan bulat

Pengurangan pecahan dan penambahannya, kami telah menganalisis secara rinci. Tetapi bagaimana cara mengurangi jika pecahan memiliki bagian bilangan bulat? Sekali lagi, mari gunakan beberapa aturan:

• Ubah semua pecahan yang memiliki bagian bilangan bulat menjadi pecahan biasa. Dengan kata sederhana, hapus seluruh bagian. Untuk melakukan ini, jumlah bagian bilangan bulat dikalikan dengan penyebut pecahan, produk yang dihasilkan ditambahkan ke pembilangnya. Angka yang akan diperoleh setelah tindakan ini adalah pembilang dari pecahan biasa. Penyebutnya tetap tidak berubah.
• Jika pecahan memiliki penyebut yang berbeda, mereka harus dikurangi menjadi sama.
• Melakukan penjumlahan atau pengurangan dengan penyebut yang sama.
• Saat menerima pecahan tak wajar, pilih seluruh bagian.



Ada cara lain untuk menjumlahkan dan mengurangi pecahan dengan bagian bilangan bulat. Untuk ini, tindakan dilakukan secara terpisah dengan bagian bilangan bulat, dan secara terpisah dengan pecahan, dan hasilnya dicatat bersama.



Contoh di atas terdiri dari pecahan-pecahan yang penyebutnya sama. Jika penyebutnya berbeda, mereka harus direduksi menjadi sama, dan kemudian ikuti langkah-langkah seperti yang ditunjukkan pada contoh.

Pengurangan pecahan dari bilangan bulat

Jenis lain dari tindakan dengan pecahan adalah kasus ketika pecahan harus dikurangi. Sekilas, contoh seperti itu tampaknya sulit untuk dipecahkan. Namun, semuanya cukup sederhana di sini. Untuk menyelesaikannya, perlu untuk mengubah bilangan bulat menjadi pecahan, dan dengan penyebut seperti itu, yang ada dalam pecahan yang akan dikurangkan. Selanjutnya, kami melakukan pengurangan yang mirip dengan pengurangan dengan penyebut yang sama. Misalnya, terlihat seperti ini:

7 - 4/9 = (7 x 9)/9 - 4/9 = 53/9 - 4/9 = 49/9.

Pengurangan pecahan yang diberikan dalam artikel ini (Kelas 6) adalah dasar untuk menyelesaikan contoh yang lebih kompleks, yang dipertimbangkan di kelas berikutnya. Pengetahuan tentang topik ini digunakan selanjutnya untuk menyelesaikan fungsi, turunan, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat penting untuk memahami dan memahami tindakan dengan pecahan yang dibahas di atas.

Pecahan adalah bilangan biasa, bisa juga dijumlahkan dan dikurang. Tetapi karena fakta bahwa mereka memiliki penyebut, aturan yang lebih kompleks diperlukan di sini daripada untuk bilangan bulat.

Pertimbangkan kasus paling sederhana, ketika ada dua pecahan dengan penyebut yang sama. Kemudian:

Untuk menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang sama, tambahkan pembilangnya dan biarkan penyebutnya tidak berubah.

Untuk mengurangkan pecahan dengan penyebut yang sama, pembilang kedua dari pecahan pertama harus dikurangi, dan penyebutnya tidak diubah lagi.

Dalam setiap ekspresi, penyebut pecahan adalah sama. Dengan definisi penjumlahan dan pengurangan pecahan, kita peroleh:

Seperti yang Anda lihat, tidak ada yang rumit: cukup tambahkan atau kurangi pembilangnya - dan hanya itu.

Tetapi bahkan dalam tindakan sederhana seperti itu, orang bisa membuat kesalahan. Paling sering mereka lupa bahwa penyebutnya tidak berubah. Misalnya, ketika menambahkannya, mereka juga mulai bertambah, dan ini pada dasarnya salah.

Menghilangkan kebiasaan buruk menambahkan penyebut cukup sederhana. Coba lakukan hal yang sama saat mengurangkan. Akibatnya, penyebutnya menjadi nol, dan pecahannya (tiba-tiba!) akan kehilangan artinya.

Karena itu, ingat sekali dan untuk semua: saat menambah dan mengurangi, penyebutnya tidak berubah!

Juga, banyak orang membuat kesalahan saat menambahkan beberapa pecahan negatif. Ada kebingungan dengan tanda-tanda: di mana harus meletakkan minus, dan di mana - plus.

Masalah ini juga sangat mudah untuk dipecahkan. Cukup untuk diingat bahwa tanda minus sebelum pecahan selalu dapat dipindahkan ke pembilangnya - dan sebaliknya. Dan tentu saja, jangan lupa dua aturan sederhana:

1. Plus kali minus memberi minus;
2. Dua negatif membuat afirmatif.

Mari kita menganalisis semua ini dengan contoh spesifik:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Dalam kasus pertama, semuanya sederhana, dan dalam kasus kedua, kami akan menambahkan minus ke pembilang pecahan:

Bagaimana jika penyebutnya berbeda?

Anda tidak dapat langsung menjumlahkan pecahan dengan penyebut yang berbeda. Setidaknya, metode ini tidak saya ketahui. Namun, pecahan asli selalu dapat ditulis ulang sehingga penyebutnya menjadi sama.

Ada banyak cara untuk mengubah pecahan. Tiga di antaranya dibahas dalam pelajaran " Membawa pecahan ke penyebut yang sama", jadi kita tidak akan membahasnya di sini. Mari kita lihat beberapa contoh:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Dalam kasus pertama, kami membawa pecahan ke penyebut yang sama menggunakan metode "lintas-bijaksana". Yang kedua, kita akan mencari KPKnya. Perhatikan bahwa 6 = 2 3; 9 = 3 · 3. Faktor terakhir dalam pemuaian ini adalah sama, dan faktor pertama adalah koprima. Jadi KPK(6; 9) = 2 3 3 = 18.

Bagaimana jika pecahan memiliki bagian bilangan bulat?

Saya dapat menyenangkan Anda: penyebut pecahan yang berbeda bukanlah kejahatan terbesar. Lebih banyak kesalahan terjadi ketika seluruh bagian disorot dalam istilah pecahan.

Tentu saja, untuk pecahan seperti itu ada algoritma penjumlahan dan pengurangannya sendiri, tetapi agak rumit dan membutuhkan studi yang lama. Lebih baik gunakan diagram sederhana di bawah ini:

1. Ubah semua pecahan yang mengandung bagian bilangan bulat menjadi tidak wajar. Kami mendapatkan istilah normal (bahkan jika dengan penyebut yang berbeda), yang dihitung menurut aturan yang dibahas di atas;
2. Sebenarnya, menghitung jumlah atau selisih dari pecahan yang dihasilkan. Akibatnya, kita praktis akan menemukan jawabannya;
3. Jika hanya ini yang diperlukan dalam tugas, kami melakukan transformasi terbalik, mis. kami menyingkirkan fraksi yang tidak tepat, menyoroti bagian bilangan bulat di dalamnya.

Aturan untuk beralih ke pecahan yang tidak tepat dan menyoroti bagian bilangan bulat dijelaskan secara rinci dalam pelajaran "Apa itu pecahan numerik". Jika Anda tidak ingat, pastikan untuk mengulanginya. Contoh:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Semuanya sederhana di sini. Penyebut di dalam setiap ekspresi sama, jadi tetap mengubah semua pecahan menjadi pecahan dan menghitung. Kita punya:

Untuk menyederhanakan perhitungan, saya melewatkan beberapa langkah yang jelas dalam contoh terakhir.

Catatan kecil untuk dua contoh terakhir, di mana pecahan dengan bagian bilangan bulat yang disorot dikurangi. Minus sebelum pecahan kedua berarti bahwa itu adalah seluruh pecahan yang dikurangi, dan bukan hanya seluruh bagiannya.

Baca kembali kalimat ini, lihat contohnya, dan pikirkan. Di sinilah pemula membuat banyak kesalahan. Mereka suka memberikan tugas-tugas seperti itu di pekerjaan kontrol. Anda juga akan bertemu mereka berulang kali dalam ujian untuk pelajaran ini, yang akan segera diterbitkan.

Ringkasan: Skema Umum Komputasi

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan algoritma umum yang akan membantu Anda menemukan jumlah atau perbedaan dua atau lebih pecahan:

1. Jika bagian bilangan bulat disorot dalam satu atau lebih pecahan, ubah pecahan ini menjadi pecahan biasa;
2. Bawa semua pecahan ke penyebut yang sama dengan cara apa pun yang nyaman bagi Anda (kecuali, tentu saja, penyusun soal melakukan ini);
3. Menambah atau mengurangi bilangan yang dihasilkan sesuai dengan aturan penjumlahan dan pengurangan pecahan dengan penyebut yang sama;
4. Kurangi hasilnya jika memungkinkan. Jika pecahan ternyata salah, pilih seluruh bagian.

Ingatlah bahwa lebih baik untuk menyorot seluruh bagian di akhir tugas, tepat sebelum menulis jawabannya.

Pada abad kelima SM, filsuf Yunani kuno Zeno dari Elea merumuskan aporiasnya yang terkenal, yang paling terkenal adalah aporia "Achilles dan kura-kura". Begini bunyinya:

Katakanlah Achilles berlari sepuluh kali lebih cepat dari kura-kura dan berada seribu langkah di belakangnya. Selama Achilles berlari sejauh ini, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Ketika Achilles telah berlari seratus langkah, kura-kura akan merangkak sepuluh langkah lagi, dan seterusnya. Prosesnya akan terus berlanjut tanpa batas waktu, Achilles tidak akan pernah bisa mengejar kura-kura.

Alasan ini menjadi kejutan logis bagi semua generasi berikutnya. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Semuanya, dalam satu atau lain cara, dianggap sebagai aporia Zeno. Guncangannya begitu kuat sehingga " ... diskusi berlanjut saat ini, komunitas ilmiah belum berhasil mencapai pendapat umum tentang esensi paradoks ... analisis matematis, teori himpunan, pendekatan fisik dan filosofis baru terlibat dalam studi masalah ; tidak satupun dari mereka menjadi solusi yang diterima secara universal untuk masalah ..."[Wikipedia," Zeno's Aporias "]. Semua orang mengerti bahwa mereka dibodohi, tetapi tidak ada yang mengerti apa tipuan itu.

Dari sudut pandang matematika, Zeno dalam aporianya dengan jelas menunjukkan transisi dari nilai ke. Transisi ini menyiratkan penerapan alih-alih konstanta. Sejauh yang saya pahami, perangkat matematika untuk menerapkan satuan pengukuran variabel belum dikembangkan, atau belum diterapkan pada aporia Zeno. Penerapan logika kita yang biasa membawa kita ke dalam jebakan. Kami, dengan kelembaman berpikir, menerapkan satuan waktu yang konstan untuk kebalikannya. Dari sudut pandang fisik, ini terlihat seperti perlambatan waktu hingga benar-benar berhenti pada saat Achilles mengejar kura-kura. Jika waktu berhenti, Achilles tidak bisa lagi menyusul kura-kura.

Jika kita memutar logika yang biasa kita gunakan, semuanya menjadi pada tempatnya. Achilles berjalan dengan kecepatan konstan. Setiap segmen berikutnya dari jalurnya sepuluh kali lebih pendek dari yang sebelumnya. Dengan demikian, waktu yang dihabiskan untuk mengatasinya sepuluh kali lebih sedikit dari yang sebelumnya. Jika kita menerapkan konsep "tak terhingga" dalam situasi ini, maka akan benar untuk mengatakan "Achilles akan dengan cepat menyalip kura-kura."

Bagaimana cara menghindari jebakan logis ini? Tetap dalam satuan waktu yang konstan dan jangan beralih ke nilai timbal balik. Dalam bahasa Zeno, terlihat seperti ini:

Dalam waktu yang dibutuhkan Achilles untuk berlari seribu langkah, kura-kura merangkak seratus langkah ke arah yang sama. Selama interval waktu berikutnya, sama dengan yang pertama, Achilles akan berlari seribu langkah lagi, dan kura-kura akan merangkak seratus langkah. Sekarang Achilles berada delapan ratus langkah di depan kura-kura.

Pendekatan ini cukup menggambarkan realitas tanpa paradoks logis. Tapi ini bukan solusi lengkap untuk masalah ini. Pernyataan Einstein tentang kecepatan cahaya yang tidak dapat diatasi sangat mirip dengan aporia Zeno "Achilles dan kura-kura". Kami belum mempelajari, memikirkan kembali, dan memecahkan masalah ini. Dan solusinya harus dicari bukan dalam jumlah besar yang tak terhingga, tetapi dalam satuan pengukuran.

Aporia menarik lainnya dari Zeno menceritakan tentang panah terbang:

Sebuah panah terbang tidak bergerak, karena pada setiap saat ia diam, dan karena ia diam pada setiap saat, ia selalu diam.

Dalam aporia ini, paradoks logis diatasi dengan sangat sederhana - cukup untuk memperjelas bahwa pada setiap saat panah terbang diam di berbagai titik di ruang angkasa, yang sebenarnya adalah gerakan. Ada hal lain yang perlu diperhatikan di sini. Dari satu foto mobil di jalan, tidak mungkin untuk menentukan fakta pergerakannya atau jaraknya. Untuk menentukan fakta pergerakan mobil, diperlukan dua foto yang diambil dari titik yang sama pada titik waktu yang berbeda, tetapi foto tersebut tidak dapat digunakan untuk menentukan jarak. Untuk menentukan jarak ke mobil, Anda memerlukan dua foto yang diambil dari titik yang berbeda dalam ruang secara bersamaan, tetapi Anda tidak dapat menentukan fakta pergerakan dari mereka (tentu saja, Anda masih memerlukan data tambahan untuk perhitungan, trigonometri akan membantu Anda). Yang ingin saya tunjukkan secara khusus adalah bahwa dua titik dalam waktu dan dua titik dalam ruang adalah dua hal berbeda yang tidak boleh dikacaukan karena keduanya memberikan peluang yang berbeda untuk eksplorasi.

Rabu, 4 Juli 2018

Sangat baik perbedaan antara set dan multiset dijelaskan di Wikipedia. Kami melihat.

Seperti yang Anda lihat, "kumpulan tidak dapat memiliki dua elemen yang identik", tetapi jika ada elemen yang identik di dalam himpunan, himpunan seperti itu disebut "multiset". Makhluk yang berakal tidak akan pernah mengerti logika absurditas seperti itu. Ini adalah tingkat burung beo yang bisa berbicara dan monyet yang terlatih, di mana pikiran absen dari kata "sepenuhnya". Matematikawan bertindak sebagai pelatih biasa, mengkhotbahkan ide-ide absurd mereka kepada kami.

Sekali waktu, para insinyur yang membangun jembatan berada di sebuah perahu di bawah jembatan selama pengujian jembatan. Jika jembatan runtuh, insinyur biasa-biasa saja mati di bawah puing-puing ciptaannya. Jika jembatan dapat menahan beban, insinyur berbakat membangun jembatan lain.

Tidak peduli bagaimana matematikawan bersembunyi di balik ungkapan "ingat aku, aku di rumah", atau lebih tepatnya "matematika mempelajari konsep abstrak", ada satu tali pusar yang menghubungkan mereka dengan kenyataan. Tali pusar ini adalah uang. Mari kita terapkan teori himpunan matematika untuk matematikawan itu sendiri.

Kami belajar matematika dengan sangat baik dan sekarang kami duduk di meja kas, membayar gaji. Di sini seorang ahli matematika datang kepada kami untuk mendapatkan uangnya. Kami menghitung seluruh jumlah kepadanya dan meletakkannya di meja kami ke dalam tumpukan yang berbeda, di mana kami meletakkan uang kertas dengan denominasi yang sama. Kemudian kami mengambil satu tagihan dari setiap tumpukan dan memberikan "kumpulan gaji matematika" kepada ahli matematika itu. Kami menjelaskan matematika bahwa dia akan menerima sisa tagihan hanya ketika dia membuktikan bahwa himpunan tanpa elemen identik tidak sama dengan himpunan dengan elemen identik. Di sinilah kesenangan dimulai.

Pertama-tama, logika para deputi akan berhasil: "Anda dapat menerapkannya pada orang lain, tetapi tidak pada saya!" Selanjutnya, jaminan akan dimulai bahwa ada nomor uang kertas yang berbeda pada uang kertas dari denominasi yang sama, yang berarti bahwa mereka tidak dapat dianggap sebagai elemen yang identik. Yah, kami menghitung gaji dalam koin - tidak ada angka di koin. Di sini ahli matematika akan dengan panik mengingat fisika: koin yang berbeda memiliki jumlah kotoran yang berbeda, struktur kristal dan susunan atom untuk setiap koin adalah unik ...

Dan sekarang saya memiliki pertanyaan yang paling menarik: di mana batas di luar elemen multiset mana yang berubah menjadi elemen himpunan dan sebaliknya? Garis seperti itu tidak ada - semuanya diputuskan oleh dukun, sains di sini bahkan tidak dekat.

Lihat disini. Kami memilih stadion sepak bola dengan luas lapangan yang sama. Luas bidangnya sama, artinya kita memiliki multiset. Tapi kalau kita mempertimbangkan nama stadion yang sama, kita dapat banyak, karena namanya berbeda. Seperti yang Anda lihat, himpunan elemen yang sama adalah himpunan dan multiset pada waktu yang sama. Bagaimana benar? Dan di sini ahli matematika-dukun-shuller mengeluarkan kartu as dari lengan bajunya dan mulai memberi tahu kita tentang satu set atau multiset. Bagaimanapun, dia akan meyakinkan kita bahwa dia benar.

Untuk memahami bagaimana dukun modern beroperasi dengan teori himpunan, mengikatnya pada kenyataan, cukup menjawab satu pertanyaan: bagaimana elemen satu himpunan berbeda dari elemen himpunan lain? Saya akan menunjukkan kepada Anda, tanpa "dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan" atau "tidak dapat dibayangkan sebagai satu kesatuan".

Minggu, 18 Maret 2018

Jumlah digit angka adalah tarian dukun dengan rebana, yang tidak ada hubungannya dengan matematika. Ya, dalam pelajaran matematika kita diajarkan untuk menemukan jumlah digit angka dan menggunakannya, tetapi mereka adalah dukun untuk itu, untuk mengajari keturunan mereka keterampilan dan kebijaksanaan mereka, jika tidak, dukun akan mati begitu saja.

Apakah Anda perlu bukti? Buka Wikipedia dan coba temukan halaman "Jumlah Digit Angka". Dia tidak ada. Tidak ada rumus dalam matematika yang dengannya Anda dapat menemukan jumlah digit dari bilangan apa pun. Bagaimanapun, angka adalah simbol grafik yang dengannya kita menulis angka, dan dalam bahasa matematika, tugasnya terdengar seperti ini: "Temukan jumlah simbol grafik yang mewakili angka apa pun." Matematikawan tidak dapat memecahkan masalah ini, tetapi dukun dapat melakukannya secara mendasar.

Mari kita cari tahu apa dan bagaimana kita lakukan untuk menemukan jumlah digit dari angka yang diberikan. Jadi, katakanlah kita memiliki bilangan 12345. Apa yang perlu dilakukan untuk menemukan jumlah angka dari bilangan ini? Mari kita pertimbangkan semua langkah secara berurutan.

1. Tulis nomornya di secarik kertas. Apa yang telah kita lakukan? Kami telah mengonversi angka menjadi simbol grafik angka. Ini bukan operasi matematika.

2. Kami memotong satu gambar yang diterima menjadi beberapa gambar yang berisi nomor terpisah. Memotong gambar bukanlah operasi matematika.

3. Ubah karakter grafik individu menjadi angka. Ini bukan operasi matematika.

4. Jumlahkan angka yang dihasilkan. Sekarang itu matematika.

Jumlah angka dari angka 12345 adalah 15. Ini adalah "kursus memotong dan menjahit" dari dukun yang digunakan oleh ahli matematika. Tapi itu tidak semua.

Dari sudut pandang matematika, tidak masalah di sistem bilangan mana kita menulis bilangan. Jadi, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari angka yang sama akan berbeda. Dalam matematika, sistem bilangan ditunjukkan sebagai subskrip di sebelah kanan bilangan. Dengan jumlah besar 12345, saya tidak ingin membodohi kepala saya, perhatikan angka 26 dari artikel tentang. Mari kita tulis bilangan ini dalam sistem bilangan biner, oktal, desimal, dan heksadesimal. Kami tidak akan mempertimbangkan setiap langkah di bawah mikroskop, kami telah melakukannya. Mari kita lihat hasilnya.

Seperti yang Anda lihat, dalam sistem bilangan yang berbeda, jumlah digit dari nomor yang sama berbeda. Hasil ini tidak ada hubungannya dengan matematika. Sama halnya jika Anda akan mendapatkan hasil yang sama sekali berbeda saat menentukan luas persegi panjang dalam meter dan sentimeter.

Nol di semua sistem bilangan terlihat sama dan tidak memiliki jumlah digit. Ini adalah argumen lain yang mendukung fakta bahwa . Sebuah pertanyaan untuk matematikawan: bagaimana itu dilambangkan dalam matematika yang bukan angka? Apa, untuk ahli matematika, tidak ada yang lain selain angka? Untuk dukun, saya bisa mengizinkan ini, tetapi untuk ilmuwan, tidak. Realitas bukan hanya tentang angka.

Hasil yang diperoleh harus dianggap sebagai bukti bahwa sistem bilangan adalah satuan ukuran bilangan. Lagi pula, kita tidak dapat membandingkan angka dengan satuan pengukuran yang berbeda. Jika tindakan yang sama dengan unit pengukuran yang berbeda dari kuantitas yang sama menyebabkan hasil yang berbeda setelah membandingkannya, maka ini tidak ada hubungannya dengan matematika.

Apa itu matematika sebenarnya? Ini terjadi ketika hasil tindakan matematika tidak bergantung pada nilai angka, satuan ukuran yang digunakan, dan siapa yang melakukan tindakan ini.

Tanda di pintu Membuka pintu dan berkata:

Aduh! Bukankah ini toilet wanita?
- Wanita muda! Ini adalah laboratorium untuk mempelajari kekudusan jiwa yang tidak terbatas saat naik ke surga! Nimbus di atas dan panah ke atas. Toilet apa lagi?

Betina... Lingkaran di atas dan panah ke bawah adalah jantan.

Jika Anda memiliki karya seni desain seperti itu yang muncul di depan mata Anda beberapa kali sehari,

Maka tidak mengherankan jika Anda tiba-tiba menemukan ikon aneh di mobil Anda:

Secara pribadi, saya berusaha sendiri untuk melihat minus empat derajat pada orang yang buang air besar (satu gambar) (susunan beberapa gambar: tanda minus, angka empat, penunjukan derajat). Dan saya tidak menganggap gadis ini bodoh yang tidak tahu fisika. Dia hanya memiliki stereotip busur persepsi gambar grafis. Dan matematikawan mengajari kita ini sepanjang waktu. Berikut adalah contoh.

1A bukan "minus empat derajat" atau "satu a". Ini adalah "orang buang air besar" atau angka "dua puluh enam" dalam sistem bilangan heksadesimal. Orang-orang yang terus-menerus bekerja dalam sistem angka ini secara otomatis menganggap angka dan huruf sebagai satu simbol grafis.