Ingat informasi yang diperlukan tentang bilangan kompleks.

Bilangan kompleks adalah ekspresi dari bentuk sebuah + dua, di mana sebuah, b adalah bilangan real, dan saya- disebut satuan imajiner, simbol yang kuadratnya -1, mis. saya 2 = -1. Nomor sebuah ditelepon bagian nyata, dan bilangan b - bagian imajiner bilangan kompleks z = sebuah + dua. Jika sebuah b= 0, maka alih-alih sebuah + 0saya menulis sederhana sebuah. Dapat dilihat bahwa bilangan real adalah kasus khusus dari bilangan kompleks.

Operasi aritmatika pada bilangan kompleks sama dengan operasi aritmatika: dapat ditambahkan, dikurangkan, dikalikan, dan dibagi satu sama lain. Penjumlahan dan pengurangan dilakukan menurut aturan ( sebuah + dua) ± ( c + di) = (sebuah ± c) + (b ± d)saya, dan perkalian - menurut aturan ( sebuah + dua) · ( c + di) = (ac – bd) + (iklan + SM)saya(ini hanya digunakan itu saya 2 = -1). Nomor = sebuah – dua ditelepon konjugasi kompleks ke z = sebuah + dua. Persamaan z · = sebuah 2 + b 2 memungkinkan Anda memahami cara membagi satu bilangan kompleks dengan bilangan kompleks lain (bukan nol):

(Sebagai contoh, .)

Bilangan kompleks memiliki representasi geometris yang nyaman dan visual: bilangan z = sebuah + dua dapat direpresentasikan sebagai vektor dengan koordinat ( sebuah; b) pada bidang Cartesian (atau, yang hampir sama, titik - ujung vektor dengan koordinat ini). Dalam hal ini, jumlah dua bilangan kompleks digambarkan sebagai jumlah dari vektor-vektor yang bersesuaian (yang dapat ditemukan dengan aturan jajaran genjang). Dengan teorema Pythagoras, panjang vektor dengan koordinat ( sebuah; b) adalah sama dengan . Nilai ini disebut modul bilangan kompleks z = sebuah + dua dan dilambangkan dengan | z|. Sudut yang dibuat vektor ini dengan arah positif sumbu x (dihitung berlawanan arah jarum jam) disebut argumen bilangan kompleks z dan dilambangkan dengan Arg z. Argumen tidak didefinisikan secara unik, tetapi hanya hingga penambahan kelipatan 2 π radian (atau 360°, jika Anda menghitung dalam derajat) - setelah semua, jelas bahwa memutar melalui sudut seperti itu di sekitar titik asal tidak akan mengubah vektor. Tetapi jika vektor panjang r membentuk sudut φ dengan arah sumbu x positif, maka koordinatnya adalah ( r karena φ ; r dosa φ ). Oleh karena itu ternyata notasi trigonometri bilangan kompleks: z = |z| (cos(Arg z) + saya dosa (Arg z)). Seringkali lebih mudah untuk menulis bilangan kompleks dalam bentuk ini, karena sangat menyederhanakan perhitungan. Perkalian bilangan kompleks dalam bentuk trigonometri terlihat sangat sederhana: z satu · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (cos(Arg z 1+arg z 2) + saya dosa (Arg z 1+arg z 2)) (ketika mengalikan dua bilangan kompleks, modulusnya dikalikan dan argumennya ditambahkan). Dari sini ikuti Formula De Moivre: z n = |z|n(karena( n(Arg z)) + saya dosa( n(Arg z))). Dengan bantuan rumus ini, mudah untuk mempelajari cara mengekstrak akar tingkat apa pun dari bilangan kompleks. akar ke-n dari z adalah bilangan kompleks w, Apa w n = z. Sudah jelas itu , Dan dimana k dapat mengambil nilai apa pun dari himpunan (0, 1, ..., n- satu). Ini berarti selalu ada tepat n akar n derajat ke-th dari bilangan kompleks (pada bidang mereka terletak di simpul-simpul reguler n-gon).