(dari bahasa Yunani - "kata", "hubungan" dan - "angka") angka b dengan alasan sebuah(log b) disebut bilangan seperti itu c, dan b= sebuah c, yaitu, log b=c dan b=ac setara. Logaritma masuk akal jika a > 0, a 1, b > 0.

Dengan kata lain logaritma angka b dengan alasan sebuah dirumuskan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini diperoleh perhitungan x= log b, setara dengan menyelesaikan persamaan a x =b.

Sebagai contoh:

log 2 8 = 3 karena 8=2 3 .

Kami mencatat bahwa formulasi logaritma yang ditunjukkan memungkinkan untuk segera menentukan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah kekuatan basis tertentu. Memang, perumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Juga jelas bahwa topik logaritma terkait erat dengan topik derajat bilangan.

Perhitungan logaritma disebut logaritma. Logaritma adalah operasi matematika untuk mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, produk faktor ditransformasikan menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah istilah ditransformasikan menjadi produk faktor.

Cukup sering, logaritma real dengan basis 2 (biner), bilangan e Euler e 2,718 (logaritma natural) dan 10 (desimal) digunakan.

Pada tahap ini, perlu dipertimbangkan contoh logaritma log 7 2 , ln √ 5, lg0,0001.

Dan entri lg (-3), log -3 3.2, log -1 -4.3 tidak masuk akal, karena yang pertama angka negatif ditempatkan di bawah tanda logaritma, di yang kedua - angka negatif di basis, dan di ketiga - dan angka negatif di bawah tanda logaritma dan unit di pangkalan.

Kondisi untuk menentukan logaritma.

Perlu dipertimbangkan secara terpisah kondisi a > 0, a 1, b > 0. definisi logaritma. Mari kita pertimbangkan mengapa pembatasan ini diambil. Ini akan membantu kita dengan persamaan bentuk x = log b, yang disebut identitas logaritma dasar, yang secara langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Ambil syaratnya a≠1. Karena satu sama dengan satu pangkat apa pun, maka persamaan x=log b hanya bisa ada ketika b=1, tetapi log 1 1 akan berupa bilangan real apa pun. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, kami mengambil a≠1.

Mari kita buktikan perlunya kondisi a>0. Pada a=0 menurut rumusan logaritma, hanya bisa ada bila b=0. Dan kemudian sesuai log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Untuk menghilangkan ambiguitas ini, kondisi a≠0. Dan kapan sebuah<0 kita harus menolak analisis nilai-nilai rasional dan irasional dari logaritma, karena eksponen dengan eksponen rasional dan irasional didefinisikan hanya untuk basis non-negatif. Karena alasan inilah kondisi a>0.

Dan syarat terakhir b>0 mengikuti dari ketidaksetaraan a>0, karena x=log b, dan nilai derajat dengan basis positif sebuah selalu positif.

Fitur logaritma.

logaritma dicirikan oleh khas fitur, yang menyebabkan penggunaannya secara luas untuk sangat memudahkan perhitungan yang melelahkan. Dalam transisi "ke dunia logaritma", perkalian ditransformasikan menjadi penambahan yang jauh lebih mudah, pembagian menjadi pengurangan, dan peningkatan ke pangkat dan akar ditransformasikan masing-masing menjadi perkalian dan pembagian dengan eksponen.

Rumusan logaritma dan tabel nilainya (untuk fungsi trigonometri) pertama kali diterbitkan pada tahun 1614 oleh matematikawan Skotlandia John Napier. Tabel logaritmik, diperbesar dan dirinci oleh ilmuwan lain, banyak digunakan dalam perhitungan ilmiah dan teknik, dan tetap relevan sampai kalkulator elektronik dan komputer mulai digunakan.

Fokus artikel ini adalah logaritma. Di sini kita akan memberikan definisi logaritma, menunjukkan notasi yang diterima, memberikan contoh logaritma, dan berbicara tentang logaritma natural dan desimal. Setelah itu, perhatikan identitas logaritma dasar.

Navigasi halaman.

Definisi logaritma

Konsep logaritma muncul ketika memecahkan masalah dalam arti tertentu terbalik, ketika Anda perlu menemukan eksponen dari nilai derajat yang diketahui dan basis yang diketahui.

Tapi cukup basa-basi, saatnya menjawab pertanyaan “apa itu logaritma”? Mari kita berikan definisi yang tepat.

Definisi.

Logaritma dari b ke basis a, di mana a>0 , a≠1 dan b>0 adalah eksponen yang Anda perlukan untuk menaikkan angka a untuk mendapatkan b sebagai hasilnya.

Pada tahap ini, kami mencatat bahwa kata yang diucapkan "logaritma" harus segera menimbulkan dua pertanyaan berikutnya: "berapa nomor" dan "berdasarkan apa." Dengan kata lain, tidak ada logaritma, tetapi hanya ada logaritma suatu bilangan di suatu basis.

Kami akan segera memperkenalkan notasi logaritma: logaritma dari angka b ke basis a biasanya dilambangkan sebagai log a b . Logaritma dari bilangan b ke basis e dan logaritma ke basis 10 masing-masing memiliki sebutan khusus lnb dan lgb, yaitu, mereka menulis bukan log e b , tetapi lnb , dan bukan log 10 b , tetapi lgb .

Sekarang Anda dapat membawa: .
Dan catatannya tidak masuk akal, karena yang pertama ada angka negatif di bawah tanda logaritma, yang kedua - angka negatif di pangkalan, dan yang ketiga - angka negatif di bawah tanda logaritma dan satu kesatuan di pangkalan.

Sekarang mari kita bicara tentang aturan membaca logaritma. Entri log a b dibaca sebagai "logaritma dari b ke basis a". Misalnya, log 2 3 adalah logaritma dari tiga ke basis 2, dan merupakan logaritma dari dua bilangan bulat dua pertiga basis dari akar kuadrat dari lima. Logaritma ke basis e disebut logaritma natural, dan notasi lnb dibaca sebagai "logaritma natural dari b". Sebagai contoh, ln7 adalah logaritma natural dari tujuh, dan kita akan membacanya sebagai logaritma natural dari pi. Logaritma ke basis 10 juga memiliki nama khusus - logaritma desimal, dan notasi lgb dibaca sebagai "logaritma desimal b". Misalnya, lg1 adalah logaritma desimal dari satu, dan lg2.75 adalah logaritma desimal dari dua koma tujuh puluh lima perseratus.

Penting untuk membahas secara terpisah kondisi a>0, a≠1 dan b>0, di mana definisi logaritma diberikan. Mari kita jelaskan dari mana batasan ini berasal. Untuk melakukan ini, kita akan dibantu oleh persamaan bentuk, yang disebut , yang langsung mengikuti dari definisi logaritma yang diberikan di atas.

Mari kita mulai dengan a≠1 . Karena satu sama dengan satu untuk pangkat apa pun, maka persamaan hanya dapat benar untuk b=1, tetapi log 1 1 dapat berupa bilangan real apa pun. Untuk menghindari ambiguitas ini, a≠1 diterima.

Mari kita buktikan kelayakan kondisi a>0 . Dengan a=0, menurut definisi logaritma, kita akan memiliki persamaan , yang hanya mungkin dengan b=0 . Tetapi kemudian log 0 0 dapat berupa bilangan real apa pun yang bukan nol, karena nol hingga pangkat apa pun yang bukan nol adalah nol. Ambiguitas ini dapat dihindari dengan kondisi a≠0 . Dan untuk<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Akhirnya, kondisi b>0 mengikuti pertidaksamaan a>0 , karena , dan nilai derajat dengan basis positif a selalu positif.

Sebagai kesimpulan dari paragraf ini, kami mengatakan bahwa definisi logaritma yang disuarakan memungkinkan Anda untuk segera menunjukkan nilai logaritma ketika angka di bawah tanda logaritma adalah tingkat basis tertentu. Memang, definisi logaritma memungkinkan kita untuk menyatakan bahwa jika b=a p , maka logaritma dari bilangan b ke basis a sama dengan p . Artinya, persamaan log a a p = p benar. Sebagai contoh, kita mengetahui bahwa 2 3 =8 , maka log 2 8=3 . Kami akan berbicara lebih banyak tentang ini di artikel.

Dengan perkembangan masyarakat, kompleksitas produksi, matematika juga berkembang. Gerakan dari sederhana ke kompleks. Dari metode penghitungan penjumlahan dan pengurangan yang biasa, dengan pengulangan yang berulang-ulang, mereka sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Pengurangan operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama ketergantungan angka pada basis dan jumlah eksponensial disusun kembali pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari mereka, Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.

Garis besar sejarah

Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T membutuhkan sejumlah besar perhitungan berhubungan dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Tabel kuno melakukan layanan hebat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan yang lebih sederhana - penambahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya matematikawan Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana ia mewujudkan gagasan banyak matematikawan. Ini memungkinkan untuk menggunakan tabel tidak hanya untuk derajat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional arbitrer.

Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru "logaritma suatu bilangan". Tabel kompleks baru dikompilasi untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.

Tabel baru mulai muncul, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan selama tiga abad. Banyak waktu berlalu sebelum operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Logaritma didefinisikan dan sifat-sifatnya dipelajari.

Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan meja-meja kuno yang telah berhasil dioperasikan sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b untuk mendasarkan a bilangan x, yang merupakan pangkat dari a, untuk mendapatkan bilangan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).

Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Ini jelas jika Anda mengikuti definisi. Jika kita menaikkan 3 pangkat 2, kita mendapatkan 9.

Dengan demikian, definisi yang dirumuskan hanya menempatkan satu batasan, angka a dan b harus nyata.

Varietas logaritma

Definisi klasik disebut logaritma real dan sebenarnya merupakan solusi dari persamaan a x = b. Opsi a = 1 adalah batas dan tidak menarik. Catatan: 1 pangkat berapa pun adalah 1.

Nilai nyata dari logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumen lebih besar dari 0, dan basis tidak boleh sama dengan 1.

Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan dinamai tergantung pada nilai basisnya:

Aturan dan batasan

Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian dari pernyataan ini, itu akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi sama dengan perbedaan fungsi.

Sangat mudah untuk melihat dari dua aturan sebelumnya bahwa: log a(b p) = p * log a(b).

Properti lainnya termasuk:

Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, operasi menemukan logaritma adalah tugas yang agak memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori ekspansi logaritmik menjadi polinomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.

Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lain dan properti logaritma produk.

Karena metode ini sangat melelahkan dan saat memecahkan masalah praktis sulit untuk diterapkan, mereka menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang sangat mempercepat seluruh pekerjaan.

Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dikompilasi secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi yang lebih rendah, tetapi secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), dibangun di atas beberapa titik, memungkinkan penggunaan penggaris biasa untuk menemukan nilai fungsi di titik lain. Untuk waktu yang lama, para insinyur menggunakan apa yang disebut kertas grafik untuk tujuan ini.

Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama muncul, yang pada abad ke-19 telah memperoleh bentuk yang sudah jadi. Perangkat yang paling sukses disebut aturan slide. Terlepas dari kesederhanaan perangkat, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang akrab dengan perangkat ini.

Munculnya kalkulator dan komputer membuatnya tidak ada gunanya menggunakan perangkat lain.

Persamaan dan pertidaksamaan

Rumus berikut digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan menggunakan logaritma:

• Transisi dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Sebagai konsekuensi dari versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu diketahui:

• Nilai logaritma hanya akan positif jika basis dan argumen keduanya lebih besar atau lebih kecil dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan negatif.
• Jika fungsi logaritma diterapkan ke sisi kanan dan kiri pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak, itu berubah.

Contoh tugas

Pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:

Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam derajat:

• Tugas 3. Hitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, notasinya mirip dengan berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat suatu bilangan sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini adalah 3^2. Jawaban: dari hasil perhitungan kita mendapatkan 9.

Penggunaan praktis

Menjadi alat matematika murni, tampaknya jauh dari kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba menjadi sangat penting dalam menggambarkan objek di dunia nyata. Sulit untuk menemukan ilmu yang tidak digunakan. Ini sepenuhnya berlaku tidak hanya untuk alam, tetapi juga untuk bidang pengetahuan humaniora.

Ketergantungan logaritmik

Berikut adalah beberapa contoh dependensi numerik:

Mekanika dan fisika

Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang dengan menggunakan metode penelitian matematika dan pada saat yang sama menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Kami hanya memberikan dua contoh deskripsi hukum fisika menggunakan logaritma.

Dimungkinkan untuk memecahkan masalah penghitungan jumlah yang kompleks seperti kecepatan roket menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar bagi teori eksplorasi ruang angkasa:

V = I * ln(M1/M2), dimana

• V adalah kecepatan akhir pesawat.
• I adalah impuls spesifik dari mesin.
• M 1 adalah massa awal roket.
• M 2 - massa akhir.

Contoh penting lainnya- ini adalah penggunaan rumus ilmuwan hebat lainnya, Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan setimbang dalam termodinamika.

S = k * ln (Ω), dimana

• S adalah sifat termodinamika.
• k adalah konstanta Boltzmann.
• adalah bobot statistik dari negara bagian yang berbeda.

Kimia

Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus dalam kimia yang mengandung rasio logaritma. Berikut ini hanya dua contoh:

• Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium dalam kaitannya dengan aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
• Perhitungan konstanta seperti indeks autoprolisis dan keasaman larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan sama sekali tidak dapat dipahami apa hubungan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas stimulus dengan nilai intensitas yang lebih rendah.

Setelah contoh-contoh di atas, tidak mengherankan lagi jika tema logaritma juga banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang sesuai dengan spiral logaritmik.

daerah lain

Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin tanpa hubungan dengan fungsi ini, dan itu mengatur semua hukum. Apalagi ketika hukum alam dihubungkan dengan deret geometri. Perlu merujuk ke situs web MatProfi, dan ada banyak contoh seperti itu di bidang aktivitas berikut:

Daftarnya bisa jadi tidak ada habisnya. Setelah menguasai hukum dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.

\(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)

Mari kita jelaskan lebih mudah. Misalnya, \(\log_(2)(8)\) sama dengan pangkat \(2\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(8\). Dari sini jelas bahwa \(\log_(2)(8)=3\).

Contoh:		\(\log_(5)(25)=2\)		karena \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		karena \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		karena \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumen dan basis logaritma

Setiap logaritma memiliki "anatomi" berikut:

Argumen logaritma biasanya ditulis pada levelnya, dan basis ditulis dalam subscript yang lebih dekat dengan tanda logaritma. Dan entri ini dibaca seperti ini: "logaritma dari dua puluh lima ke basis lima."

Bagaimana cara menghitung logaritma?

Untuk menghitung logaritma, Anda perlu menjawab pertanyaan: sejauh mana basis harus dinaikkan untuk mendapatkan argumen?

Misalnya, hitung logaritmanya: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ kuadrat (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Berapa pangkat \(4\) yang harus dinaikkan untuk mendapatkan \(16\)? Jelas yang kedua. Jadi:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Berapakah \(\sqrt(5)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(1\)? Dan derajat apa yang membuat angka menjadi satu unit? Nol, tentu saja!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Berapakah \(\sqrt(7)\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(7)\)? Yang pertama - angka apa pun di tingkat pertama sama dengan dirinya sendiri.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Ke pangkat berapa \(3\) harus dinaikkan untuk mendapatkan \(\sqrt(3)\)? Dari kita tahu bahwa itu adalah pangkat pecahan, dan karena itu akar kuadratnya adalah pangkat dari \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Contoh : Hitung logaritma \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Keputusan :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Kita perlu mencari nilai logaritma, mari kita nyatakan sebagai x. Sekarang mari kita gunakan definisi logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Panah kiri\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Apa tautan \(4\sqrt(2)\) dan \(8\)? Dua, karena kedua angka dapat diwakili oleh dua: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Di sebelah kiri, kita menggunakan properti derajat: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dan \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Basisnya sama, kami melanjutkan ke kesetaraan indikator
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Kalikan kedua ruas persamaan dengan \(\frac(2)(5)\)
		Akar yang dihasilkan adalah nilai logaritma

Menjawab : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Mengapa logaritma ditemukan?

Untuk memahaminya, mari selesaikan persamaan: \(3^(x)=9\). Cukup cocokkan \(x\) untuk membuat persamaan berfungsi. Tentu saja, \(x=2\).

Sekarang selesaikan persamaannya: \(3^(x)=8\).Berapa x sama dengan? Itulah intinya.

Yang paling cerdik akan berkata: "X sedikit kurang dari dua." Bagaimana tepatnya angka ini ditulis? Untuk menjawab pertanyaan ini, mereka datang dengan logaritma. Berkat dia, jawabannya di sini dapat ditulis sebagai \(x=\log_(3)(8)\).

Saya ingin menekankan bahwa \(\log_(3)(8)\), serta logaritma apa pun hanyalah angka. Ya, kelihatannya tidak biasa, tapi pendek. Karena jika kita ingin menuliskannya dalam bentuk desimal, maka akan terlihat seperti ini: \(1.892789260714.....\)

Contoh : Selesaikan persamaan \(4^(5x-4)=10\)

Keputusan :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dan \(10\) tidak dapat direduksi menjadi basis yang sama. Jadi di sini Anda tidak dapat melakukannya tanpa logaritma. Mari kita gunakan definisi logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Panah kanan kiri\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Balikkan persamaan sehingga x di sebelah kiri
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Sebelum kita. Pindahkan \(4\) ke kanan. Dan jangan takut dengan logaritma, perlakukan itu seperti angka biasa.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Bagi persamaan dengan 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Berikut adalah akar kami. Ya, kelihatannya tidak biasa, tetapi jawabannya tidak dipilih.

Menjawab : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritma desimal dan natural

Sebagaimana dinyatakan dalam definisi logaritma, basisnya dapat berupa bilangan positif apa pun kecuali satu \((a>0, a\neq1)\). Dan di antara semua basis yang mungkin, ada dua yang sering muncul sehingga notasi pendek khusus diciptakan untuk logaritma dengan mereka:

Logaritma natural: logaritma yang basisnya adalah bilangan Euler \(e\) (sama dengan kira-kira \(2.7182818…\)), dan logaritmanya ditulis sebagai \(\ln(a)\).

Yaitu, \(\ln(a)\) sama dengan \(\log_(e)(a)\)

Logaritma desimal: Logaritma yang basisnya 10 ditulis \(\lg(a)\).

Yaitu, \(\lg(a)\) sama dengan \(\log_(10)(a)\), di mana \(a\) adalah beberapa angka.

Identitas logaritma dasar

Logaritma memiliki banyak sifat. Salah satunya disebut "Identitas logaritma dasar" dan terlihat seperti ini:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Properti ini mengikuti langsung dari definisi. Mari kita lihat bagaimana formula ini muncul.

Ingat definisi singkat dari logaritma:

jika \(a^(b)=c\), maka \(\log_(a)(c)=b\)

Artinya, \(b\) sama dengan \(\log_(a)(c)\). Kemudian kita dapat menulis \(\log_(a)(c)\) sebagai ganti \(b\) dalam rumus \(a^(b)=c\) . Ternyata \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identitas logaritma utama.

Anda dapat menemukan sisa properti logaritma. Dengan bantuan mereka, Anda dapat menyederhanakan dan menghitung nilai ekspresi dengan logaritma, yang sulit untuk dihitung secara langsung.

Contoh : Cari nilai dari ekspresi \(36^(\log_(6)(5))\)

Keputusan :

Menjawab : \(25\)

Bagaimana cara menulis angka sebagai logaritma?

Seperti disebutkan di atas, logaritma apa pun hanyalah angka. Kebalikannya juga benar: bilangan apa pun dapat ditulis sebagai logaritma. Misalnya, kita tahu bahwa \(\log_(2)(4)\) sama dengan dua. Kemudian Anda dapat menulis \(\log_(2)(4)\) alih-alih dua.

Tetapi \(\log_(3)(9)\) juga sama dengan \(2\), jadi Anda juga dapat menulis \(2=\log_(3)(9)\) . Demikian pula dengan \(\log_(5)(25)\), dan dengan \(\log_(9)(81)\), dll. Artinya, ternyata

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Jadi, jika perlu, kita dapat menulis keduanya sebagai logaritma dengan basis apa pun di mana pun (bahkan dalam persamaan, bahkan dalam ekspresi, bahkan dalam pertidaksamaan) - tulis saja basis kuadrat sebagai argumen.

Ini sama dengan triple - dapat ditulis sebagai \(\log_(2)(8)\), atau sebagai \(\log_(3)(27)\), atau sebagai \(\log_(4)( 64) \) ... Di sini kita menulis basis dalam kubus sebagai argumen:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dan dengan empat:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dan dengan minus satu:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

Dan dengan sepertiga:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Setiap bilangan \(a\) dapat direpresentasikan sebagai logaritma dengan basis \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Contoh : Temukan nilai ekspresi \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Keputusan :

Menjawab : \(1\)

sifat dasar.

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

alasan yang sama

log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x >

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Transisi ke yayasan baru

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Lihat juga:

Sifat dasar logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy.

Sifat dasar logaritma

Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy yang tepat.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.

3.

4. di mana .

Contoh 2 Temukan x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut.

Rumus logaritma. Logaritma adalah contoh solusi.

Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.

Lihat juga:

Logaritma dari angka b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti menemukan pangkat x () yang persamaannya benar

Sifat dasar logaritma

Sifat-sifat di atas harus diketahui, karena, atas dasar mereka, hampir semua masalah dan contoh diselesaikan berdasarkan logaritma. Sifat-sifat eksotik yang tersisa dapat diturunkan dengan manipulasi matematis dengan rumus-rumus ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Saat menghitung rumus untuk jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering ditemui. Sisanya agak rumit, tetapi dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.

Kasus umum logaritma

Beberapa logaritma umum adalah yang basisnya genap sepuluh, eksponensial atau deuce.
Logaritma basis sepuluh biasanya disebut logaritma basis sepuluh dan hanya dilambangkan lg(x).

Hal ini dapat dilihat dari catatan bahwa dasar-dasar tidak tertulis dalam catatan. Sebagai contoh

Logaritma natural adalah logaritma yang basisnya eksponen (dilambangkan ln(x)).

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen adalah 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy yang tepat.

Dan logaritma basis dua penting lainnya adalah

Turunan dari logaritma fungsi sama dengan satu dibagi variabel

Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh ketergantungan

Materi di atas sudah cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai kelas masalah yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Demi memahami materi, saya hanya akan memberikan beberapa contoh umum dari kurikulum sekolah dan universitas.

Contoh untuk logaritma

Ambil logaritma dari ekspresi

Contoh 1
sebuah). x=10ac^2 (a>0, c>0).

Dengan properti 3,5 kami menghitung

2.
Dengan properti perbedaan logaritma, kami memiliki

3.
Menggunakan properti 3.5 kami menemukan

4. di mana .

Ekspresi yang tampaknya kompleks menggunakan serangkaian aturan disederhanakan menjadi bentuk

Mencari Nilai Logaritma

Contoh 2 Temukan x jika

Keputusan. Untuk perhitungan, kami menerapkan properti 5 dan 13 hingga suku terakhir

Pengganti dalam catatan dan berkabung

Karena basisnya sama, kami menyamakan ekspresi

Logaritma. Tingkat pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Solusi: Ambil logaritma dari variabel untuk menulis logaritma melalui jumlah istilah

Ini hanyalah awal dari pengenalan logaritma dan propertinya. Berlatih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang diperoleh untuk menyelesaikan persamaan logaritmik. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan seperti itu, kami akan memperluas pengetahuan Anda untuk topik lain yang sama pentingnya - ketidaksetaraan logaritmik ...

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan apa pun, dapat ditambahkan, dikurangi, dan dikonversi dengan segala cara yang memungkinkan. Tapi karena logaritma bukan bilangan biasa, ada aturan di sini, yang disebut sifat dasar.

Aturan-aturan ini harus diketahui - tidak ada masalah logaritma yang serius yang dapat diselesaikan tanpa aturan tersebut. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - semuanya bisa dipelajari dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat ditambahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = log(x y);
2. logax logay = log(x:y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya adalah logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah - alasan yang sama. Jika basisnya berbeda, aturan ini tidak berfungsi!

Rumus-rumus ini akan membantu menghitung ekspresi logaritma bahkan ketika bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran "Apa itu logaritma"). Lihatlah contoh dan lihat:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log6 4 + log6 9.

Karena basis logaritmanya sama, kami menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log2 48 log2 3.

Basisnya sama, kami menggunakan rumus perbedaan:
log2 48 log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log3 135 log3 5.

Sekali lagi, basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi asli terdiri dari logaritma "buruk", yang tidak dianggap terpisah. Tetapi setelah transformasi, angka-angka yang cukup normal ternyata. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, kontrol - ekspresi serupa dalam semua keseriusan (kadang - hampir tidak ada perubahan) ditawarkan di ujian.

Menghapus eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita sedikit memperumit tugas. Bagaimana jika ada gelar dalam basis atau argumen logaritma? Kemudian eksponen derajat ini dapat diambil dari tanda logaritma sesuai dengan aturan berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua yang pertama. Tetapi lebih baik untuk mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan secara signifikan mengurangi jumlah perhitungan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika logaritma ODZ diamati: a > 0, a 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya, mis. Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Bagaimana menyelesaikan logaritma

Ini yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log7 496.

Mari kita singkirkan derajat dalam argumen sesuai dengan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa penyebutnya adalah logaritma yang basis dan argumennya adalah pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kami memiliki:

Saya pikir contoh terakhir perlu klarifikasi. Ke mana perginya logaritma? Sampai saat terakhir, kami hanya bekerja dengan penyebut. Mereka mempresentasikan basis dan argumen logaritma yang berdiri di sana dalam bentuk derajat dan mengeluarkan indikator - mereka mendapat pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utama. Pembilang dan penyebutnya sama: log2 7. Karena log2 7 0, kita dapat mengurangi pecahan - 2/4 akan tetap menjadi penyebut. Menurut aturan aritmatika, empat dapat ditransfer ke pembilang, yang dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan untuk menambah dan mengurangi logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa mereka hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika basisnya berbeda? Bagaimana jika mereka bukan kekuatan eksak dari angka yang sama?

Formula untuk transisi ke pangkalan baru datang untuk menyelamatkan. Kami merumuskannya dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logaks diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menempatkan c = x, kita mendapatkan:

Ini mengikuti dari rumus kedua bahwa basis dan argumen logaritma dapat dipertukarkan, tetapi seluruh ekspresi "dibalik", mis. logaritma dalam penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Dimungkinkan untuk mengevaluasi seberapa nyaman mereka hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritmik.

Namun, ada tugas yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita pertimbangkan beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen dari kedua logaritma adalah eksponen eksak. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita membalik logaritma kedua:

Karena produk tidak berubah dari permutasi faktor, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, dan kemudian menemukan logaritma.

Tugas. Temukan nilai dari ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen dari logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan dan singkirkan indikatornya:

Sekarang mari kita singkirkan logaritma desimal dengan pindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian diperlukan untuk mewakili angka sebagai logaritma ke basis yang diberikan. Dalam hal ini, rumus akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, angka n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena itu hanya nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Disebut seperti ini:

Memang, apa yang akan terjadi jika angka b dinaikkan sedemikian rupa sehingga angka b dalam derajat ini memberikan angka a? Itu benar: ini adalah nomor yang sama a. Baca paragraf ini dengan cermat lagi - banyak orang "menggantung" di atasnya.

Seperti rumus konversi basis baru, identitas logaritmik dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan nilai ekspresi:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - baru saja mengeluarkan kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Mengingat aturan untuk mengalikan kekuatan dengan basis yang sama, kita mendapatkan:

Jika seseorang tidak tahu, ini adalah tugas nyata dari Ujian Negara Bersatu

Satuan logaritma dan nol logaritmik

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang sulit untuk disebut properti - melainkan, ini adalah konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus ditemukan dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan untuk siswa "mahir".

1. loga = 1 adalah. Ingat sekali dan untuk semua: logaritma ke sembarang basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a bisa apa saja, tetapi jika argumennya satu, logaritmanya adalah nol! Karena a0 = 1 adalah konsekuensi langsung dari definisi.

Itu semua properti. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak dan selesaikan masalahnya.