Energi kinetik benda yang berputar sama dengan jumlah energi kinetik semua partikel benda:

Massa partikel apa pun, kecepatan liniernya (melingkar), sebanding dengan jarak partikel ini dari sumbu rotasi. Mengganti ke dalam ekspresi ini dan mengambil kecepatan sudut o umum untuk semua partikel dari tanda jumlah, kami menemukan:

Rumus energi kinetik benda yang berputar ini dapat direduksi menjadi bentuk yang mirip dengan ekspresi energi kinetik gerak translasi jika kita memasukkan nilai momen inersia benda. Momen inersia suatu titik material adalah produk dari massa titik dan kuadrat jaraknya dari sumbu rotasi. Momen inersia tubuh adalah jumlah momen inersia semua titik material tubuh:

Jadi, energi kinetik benda yang berputar ditentukan oleh rumus berikut:

Rumus (2) berbeda dengan rumus yang menentukan energi kinetik suatu benda yang bergerak translasi bahwa sebagai ganti massa benda, momen inersia I masuk di sini dan alih-alih kecepatan, kecepatan grup

Energi kinetik besar dari roda gila yang berputar digunakan dalam teknologi untuk menjaga keseragaman mesin di bawah beban yang berubah secara tiba-tiba. Mula-mula untuk membawa flywheel dengan momen inersia besar ke dalam putaran, mesin membutuhkan kerja yang cukup besar, tetapi ketika beban besar tiba-tiba dihidupkan, mesin tidak berhenti dan bekerja karena cadangan energi kinetik flywheel.

Roda gila yang sangat besar digunakan dalam rolling mill yang digerakkan oleh motor listrik. Berikut adalah deskripsi dari salah satu roda tersebut: “Roda tersebut memiliki diameter 3,5 m dan berat Pada kecepatan normal 600 rpm, energi kinetik roda sedemikian rupa sehingga pada saat menggelinding roda memberikan daya pada gilingan. sebanyak 20.000 liter. dengan. Gesekan pada bantalan dijaga seminimal mungkin oleh dongeng di bawah tekanan, dan untuk menghindari efek berbahaya dari gaya inersia sentrifugal, roda diseimbangkan sehingga beban yang ditempatkan pada keliling roda membuatnya keluar dari keadaan diam.

Kami menyajikan (tanpa melakukan perhitungan) nilai momen inersia beberapa benda (diasumsikan bahwa masing-masing benda ini memiliki kerapatan yang sama di semua bagiannya).

Momen inersia cincin tipis terhadap sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus bidangnya (Gbr. 55):

Momen inersia piringan bulat (atau silinder) terhadap sumbu yang melalui pusatnya dan tegak lurus terhadap bidangnya (momen inersia kutub piringan; Gbr. 56):

Momen inersia piringan bundar tipis terhadap sumbu yang bertepatan dengan diameternya (momen inersia ekuator piringan; Gbr. 57):

Momen inersia bola terhadap sumbu yang melalui pusat bola:

Momen inersia lapisan bola tipis berjari-jari terhadap sumbu yang melalui pusat:

Momen inersia lapisan bola tebal (bola berongga yang memiliki jari-jari permukaan luar dan jari-jari rongga) terhadap sumbu yang melalui pusat:

Perhitungan momen inersia benda dilakukan dengan menggunakan kalkulus integral. Untuk memberikan gambaran tentang jalannya perhitungan tersebut, kami menemukan momen inersia batang relatif terhadap sumbu yang tegak lurus terhadapnya (Gbr. 58). Biarkan ada bagian batang, kepadatan. Kami memilih bagian kecil dari batang, yang memiliki panjang dan terletak pada jarak x dari sumbu rotasi. Maka massanya Karena berada pada jarak x dari sumbu rotasi, maka momen inersianya Kita integrasikan dari nol ke I:

Momen inersia dari sebuah parallelepiped persegi panjang tentang sumbu simetri (Gbr. 59)

Momen inersia torus annular (Gbr. 60)

Mari kita perhatikan bagaimana energi rotasi benda yang menggelinding (tanpa meluncur) di sepanjang bidang dihubungkan dengan energi gerak translasi benda ini,

Energi gerak translasi benda menggelinding adalah , dimana adalah massa benda dan kecepatan gerak translasi. Membiarkan menunjukkan kecepatan sudut rotasi tubuh bergulir dan jari-jari tubuh. Mudah dipahami bahwa kecepatan gerak translasi dari suatu benda yang menggelinding tanpa meluncur sama dengan kecepatan keliling benda pada titik-titik kontak benda dengan bidang (selama saat benda melakukan satu putaran, pusat gravitasi tubuh bergerak jarak, oleh karena itu,

Dengan demikian,

Energi rotasi

karena itu,

Mengganti di sini nilai momen inersia di atas, kami menemukan bahwa:

a) energi gerak rotasi dari ring yang menggelinding sama dengan energi gerak translasinya;

b) energi rotasi piringan homogen yang menggelinding sama dengan setengah energi gerak translasi;

c) energi rotasi bola homogen yang menggelinding adalah energi gerak translasi.

Ketergantungan momen inersia pada posisi sumbu rotasi. Biarkan batang (Gbr. 61) dengan pusat gravitasi di titik C berputar dengan kecepatan sudut (o di sekitar sumbu O, tegak lurus terhadap bidang gambar. Misalkan selama periode waktu tertentu ia bergerak dari posisi A B ke dan pusat gravitasi menggambarkan busur.Batang gerak ini dapat dianggap seolah-olah batang pertama secara translasi (yaitu, tetap sejajar dengan dirinya sendiri) dipindahkan ke posisi dan kemudian diputar di sekitar C ke posisi Mari kita tunjukkan (jarak pusat gravitasi dari sumbu rotasi) oleh a, dan sudut oleh Ketika batang bergerak dari posisi Dan Dalam posisi, perpindahan masing-masing partikelnya sama dengan perpindahan pusat gravitasi, yaitu sama dengan atau To mendapatkan gerakan batang yang sebenarnya, kita dapat mengasumsikan bahwa kedua gerakan ini dilakukan secara bersamaan.tentang sumbu yang melalui O dapat diuraikan menjadi dua bagian.

Mari kita tentukan energi kinetik benda tegar yang berputar pada sumbu tetap. Mari kita bagi tubuh ini menjadi n titik material. Setiap titik bergerak dengan kecepatan linier i =ωr i , maka energi kinetik titik

atau

Energi kinetik total benda tegar yang berputar sama dengan jumlah energi kinetik semua titik materialnya:

(3.22)

(J - momen inersia benda terhadap sumbu rotasi)

Jika lintasan semua titik terletak pada bidang paralel (seperti silinder yang menggelinding ke bawah pada bidang miring, setiap titik bergerak pada bidangnya masing-masing, gambar). gerakan datar. Sesuai dengan prinsip Euler, gerak bidang selalu dapat diuraikan dalam banyak cara menjadi gerak translasi dan rotasi. Jika bola jatuh atau meluncur di sepanjang bidang miring, itu hanya bergerak maju; ketika bola menggelinding, itu juga berputar.

Jika suatu benda melakukan gerak translasi dan rotasi secara bersamaan, maka energi kinetik totalnya sama dengan

(3.23)

Dari perbandingan rumus energi kinetik untuk gerak translasi dan rotasi dapat diketahui bahwa besaran inersia selama gerak rotasi adalah momen inersia benda.

3.6 Kerja gaya eksternal selama rotasi benda tegar

Ketika benda tegar berputar, energi potensialnya tidak berubah, oleh karena itu, kerja dasar gaya eksternal sama dengan peningkatan energi kinetik benda:

dA = dE atau

Mempertimbangkan bahwa Jβ = M, dr = dφ, kita memiliki benda pada sudut berhingga sama dengan

(3.25)

Ketika sebuah benda tegar berputar di sekitar sumbu tetap, kerja gaya-gaya luar ditentukan oleh aksi momen gaya-gaya ini terhadap sumbu tertentu. Jika momen gaya-gaya terhadap sumbu sama dengan nol, maka gaya-gaya tersebut tidak menghasilkan kerja.

Contoh pemecahan masalah

Contoh 2.1. massa roda gilam= 5 kg dan jari-jarir= 0,2 m berputar pada sumbu mendatar dengan frekuensiν 0 = 720 menit -1 dan berhenti saat pengeremant= 20 detik Temukan torsi pengereman dan jumlah putaran sebelum berhenti.

Untuk menentukan torsi pengereman, kami menerapkan persamaan dasar untuk dinamika gerak rotasi

di mana I=mr 2 adalah momen inersia piringan; \u003d - 0, dan \u003d 0 adalah kecepatan sudut akhir, 0 \u003d 2πν 0 adalah yang awal. M adalah momen pengereman dari gaya-gaya yang bekerja pada piringan.

Mengetahui semua kuantitas, adalah mungkin untuk menentukan torsi pengereman

Tuan 2 2πν 0 = t (1)

(2)

Dari kinematika gerak rotasi, sudut rotasi selama rotasi piringan hingga berhenti dapat ditentukan dengan rumus

(3)

dimana adalah percepatan sudut.

Sesuai dengan kondisi soal: = 0 - t, karena =0, ​​0 = t

Maka ekspresi (2) dapat ditulis sebagai:

Contoh 2.2. Dua buah roda gila berbentuk piringan dengan jari-jari dan massa yang sama diputar hingga kecepatan putarannyan= 480 rpm dan dibiarkan sendiri. Di bawah aksi gaya gesekan poros pada bantalan, yang pertama berhenti setelaht\u003d 80 s, dan yang kedua berhasilN= 240 putaran untuk berhenti. Di roda gila mana momen gaya gesekan poros pada bantalan lebih besar dan berapa kali.

Kita akan mencari momen gaya-gaya duri M 1 dari roda gila pertama menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi

M 1 t \u003d Iω 2 - Iω 1

di mana t adalah waktu aksi momen gaya gesekan, I \u003d mr 2 - momen inersia roda gila, 1 \u003d 2πν dan 2 \u003d 0 adalah kecepatan sudut awal dan akhir roda gila

Kemudian

Momen gaya gesekan M 2 dari roda gila kedua dinyatakan melalui hubungan antara usaha A gaya gesekan dan perubahan energi kinetiknya E k:

di mana = 2πN adalah sudut rotasi, N adalah jumlah putaran roda gila.

Lalu dimana?

HAI rasio akan menjadi

Torsi gesekan roda gila kedua adalah 1,33 kali lebih besar.

Contoh 2.3. Massa piringan padat homogen m, massa beban m 1 dan saya 2 (gbr.15). Tidak ada slip dan gesekan ulir pada sumbu silinder. Temukan percepatan massa dan rasio tegangan benangdalam proses pergerakan.

Tidak ada selip benang, oleh karena itu, ketika m 1 dan m 2 akan melakukan gerak translasi, silinder akan berputar pada sumbu yang melewati titik O. Mari kita asumsikan untuk kepastian bahwa m 2 > m 1.

Kemudian beban m2 diturunkan dan silinder berputar searah jarum jam. Mari kita tuliskan persamaan gerak benda-benda yang termasuk dalam sistem

Dua persamaan pertama ditulis untuk benda dengan massa m 1 dan m 2 yang melakukan gerak translasi, dan persamaan ketiga untuk silinder yang berputar. Dalam persamaan ketiga, di sebelah kiri adalah momen total gaya yang bekerja pada silinder (momen gaya T 1 diambil dengan tanda minus, karena gaya T 1 cenderung memutar silinder berlawanan arah jarum jam). Di sebelah kanan, I adalah momen inersia silinder terhadap sumbu O, yang sama dengan

di mana R adalah jari-jari silinder; adalah percepatan sudut silinder.

Karena tidak ada slip benang,
. Dengan mempertimbangkan ekspresi untuk I dan , kita mendapatkan:

Menambahkan persamaan sistem, kita sampai pada persamaan

Dari sini kita menemukan percepatan sebuah muatan

Dapat dilihat dari persamaan yang dihasilkan bahwa tegangan benang akan sama, yaitu =1 jika massa silinder jauh lebih kecil daripada massa beban.

Contoh 2.4. Sebuah bola berongga dengan massa m = 0,5 kg memiliki jari-jari luar R = 0,08m dan jari-jari dalam r = 0,06m. Bola berputar pada sumbu yang melalui pusatnya. Pada saat tertentu, sebuah gaya mulai bekerja pada bola, akibatnya sudut rotasi bola berubah sesuai dengan hukum
. Tentukan momen gaya yang diberikan.

Kami memecahkan masalah menggunakan persamaan dasar dinamika gerak rotasi
. Kesulitan utama adalah menentukan momen inersia bola berongga, dan percepatan sudut ditemukan sebagai
. Momen inersia I bola berongga sama dengan perbedaan antara momen inersia bola berjari-jari R dan bola berjari-jari r:

di mana adalah massa jenis bahan bola. Kami menemukan kepadatan, mengetahui massa bola berongga

Dari sini kita menentukan massa jenis bahan bola

Untuk momen gaya M kita peroleh ekspresi berikut:

Contoh 2.5. Sebuah batang tipis bermassa 300 g dan panjang 50 cm berputar dengan kecepatan sudut 10 s -1 pada bidang horizontal di sekitar sumbu vertikal yang melewati bagian tengah batang. Temukan kecepatan sudut jika, selama rotasi pada bidang yang sama, batang bergerak sehingga sumbu rotasi melewati ujung batang.

Kami menggunakan hukum kekekalan momentum sudut

(1)

(J i - momen inersia batang relatif terhadap sumbu rotasi).

Untuk sistem benda yang terisolasi, jumlah vektor momentum sudut tetap konstan. Karena distribusi massa batang relatif terhadap sumbu rotasi berubah, momen inersia batang juga berubah sesuai dengan (1):

J 0 1 = J 2 2 . (2)

Diketahui bahwa momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui pusat massa dan tegak lurus batang adalah sama dengan

J 0 \u003d mℓ 2 / 12. (3)

Menurut teorema Steiner

J = J 0 +m sebuah 2

(J adalah momen inersia batang terhadap sumbu rotasi yang berubah-ubah; J0 adalah momen inersia terhadap sumbu paralel yang melalui pusat massa; sebuah- jarak dari pusat massa ke sumbu rotasi yang dipilih).

Mari kita cari momen inersia terhadap sumbu yang melalui ujungnya dan tegak lurus batang:

J 2 \u003d J 0 +m sebuah 2 , J 2 = mℓ 2 /12 +m(ℓ/2) 2 = mℓ 2 /3. (4)

Mari kita substitusikan rumus (3) dan (4) menjadi (2):

mℓ 2 1 /12 = mℓ 2 2 /3

2 \u003d 1 /4 2 \u003d 10s-1/4 \u003d 2.5s -1

Contoh 2.6 . orang massalm= 60 kg, berdiri di tepi platform dengan massa M = 120 kg, berputar dengan inersia di sekitar sumbu vertikal tetap dengan frekuensi 1 = 12 menit -1 , pergi ke pusatnya. Mempertimbangkan platform sebagai piringan homogen bundar, dan orang sebagai massa titik, tentukan dengan frekuensi berapa 2 platform kemudian akan berputar.

Diberikan: m=60kg, M=120kg, 1 =12min -1 = 0.2s -1 .

Mencari: v 1

Keputusan: Menurut kondisi masalah, platform dengan orang tersebut berputar dengan inersia, yaitu. momen yang dihasilkan dari semua gaya yang diterapkan pada sistem yang berputar adalah nol. Oleh karena itu, untuk sistem "platform-man", hukum kekekalan momentum terpenuhi

Saya 1 1 = Saya 2 2

di mana
- momen inersia sistem ketika seseorang berdiri di tepi platform (kami memperhitungkan bahwa momen inersia platform sama dengan (R adalah jari-jari p
platform), momen inersia seseorang di tepi platform adalah mR 2).

- momen inersia sistem ketika seseorang berdiri di tengah platform (kami memperhitungkan bahwa momen seseorang yang berdiri di tengah platform sama dengan nol). Kecepatan sudut 1 = 2π 1 dan 1 = 2π 2 .

Mengganti ekspresi tertulis ke dalam rumus (1), kami memperoleh

dari mana kecepatan rotasi yang diinginkan

Menjawab: v 2 =24 menit -1 .

Mari kita mulai dengan mempertimbangkan rotasi benda di sekitar sumbu tetap, yang akan kita sebut sumbu z (Gbr. 41.1). Kelajuan linier massa dasar adalah di mana adalah jarak massa dari sumbu. Oleh karena itu, untuk energi kinetik massa elementer, persamaan diperoleh

Energi kinetik suatu benda terdiri dari energi kinetik bagian-bagiannya:

Jumlah di ruas kanan perbandingan ini adalah momen inersia benda 1 terhadap sumbu rotasi. Jadi, energi kinetik suatu benda yang berputar pada sumbu tetap adalah

Biarkan gaya internal dan gaya eksternal bekerja pada massa (lihat Gambar 41.1). Menurut (20.5), gaya-gaya ini akan bekerja selama waktu

Melakukan permutasi siklik dari faktor-faktor dalam produk campuran vektor (lihat (2.34)), kami memperoleh:

di mana N adalah momen gaya internal relatif terhadap titik O, N adalah momen analog dari gaya eksternal.

Menjumlahkan ekspresi (41.2) pada semua massa dasar, kami memperoleh pekerjaan dasar yang dilakukan pada tubuh selama waktu dt:

Jumlah momen gaya internal sama dengan nol (lihat (29.12)). Oleh karena itu, menunjukkan momen total gaya eksternal melalui N, kita sampai pada ekspresi

(kami menggunakan rumus (2.21)).

Akhirnya, dengan mempertimbangkan bahwa ada sudut yang melaluinya tubuh berputar dalam waktu, kita mendapatkan:

Tanda usaha bergantung pada tanda, yaitu pada tanda proyeksi vektor N ke arah vektor

Jadi, ketika benda berputar, gaya dalam tidak melakukan kerja, sedangkan kerja gaya luar ditentukan oleh rumus (41,4).

Rumus (41,4) dapat diperoleh dengan menggunakan fakta bahwa usaha yang dilakukan oleh semua gaya yang diterapkan pada benda digunakan untuk meningkatkan energi kinetiknya (lihat (19.11)). Mengambil diferensial dari kedua sisi persamaan (41,1), kita sampai pada relasi

Menurut persamaan (38.8) jadi, mengganti melalui kita akan sampai pada rumus (41,4).

Tabel 41.1

Di meja. 41.1, rumus mekanika gerak rotasi dibandingkan dengan rumus serupa dari mekanika gerak translasi (mekanika titik). Dari perbandingan ini mudah untuk menyimpulkan bahwa dalam semua kasus peran massa dimainkan oleh momen inersia, peran gaya adalah momen gaya, peran momentum dimainkan oleh momen momentum, dll.

Rumus. (41.1) kami peroleh untuk kasus ketika tubuh berputar di sekitar sumbu tetap yang dipasang di tubuh. Sekarang mari kita asumsikan bahwa benda berotasi sewenang-wenang di sekitar titik tetap yang bertepatan dengan pusat massanya.

Mari kita secara kaku menghubungkan sistem koordinat Cartesian dengan tubuh, yang asalnya akan ditempatkan di pusat massa tubuh. Kecepatan massa dasar ke-i Oleh karena itu, untuk energi kinetik tubuh, kita dapat menulis ekspresi

di mana sudut antara vektor Mengganti melalui dan memperhitungkan apa yang kita dapatkan:

Kami menulis produk skalar dalam hal proyeksi vektor pada sumbu sistem koordinat yang terkait dengan tubuh:

Akhirnya, dengan menggabungkan suku-suku dengan produk yang sama dari komponen kecepatan sudut dan mengeluarkan produk-produk ini dari tanda-tanda jumlah, kita mendapatkan: sehingga rumus (41.7) mengambil bentuk (bandingkan dengan (41.1)). Ketika benda sewenang-wenang berputar di sekitar salah satu sumbu utama inersia, katakanlah sumbu dan rumus (41.7) masuk ke (41.10.

Dengan demikian. energi kinetik benda yang berputar sama dengan setengah produk momen inersia dan kuadrat kecepatan sudut dalam tiga kasus: 1) untuk benda yang berputar di sekitar sumbu tetap; 2) untuk benda yang berputar di sekitar salah satu sumbu utama inersia; 3) untuk bagian atas bola. Dalam kasus lain, energi kinetik ditentukan oleh rumus yang lebih kompleks (41,5) atau (41,7).

Pertimbangkan pertama benda tegar yang berputar di sekitar sumbu tetap OZ dengan kecepatan sudut ω (gbr.5.6). Mari kita pecahkan tubuh menjadi massa dasar. Kecepatan linier dari massa elementer adalah , di mana jaraknya dari sumbu rotasi. Energi kinetik saya-massa dasar itu akan sama dengan

.

Energi kinetik seluruh tubuh terdiri dari energi kinetik bagian-bagiannya, oleh karena itu

.

Mempertimbangkan bahwa jumlah di ruas kanan hubungan ini mewakili momen inersia benda terhadap sumbu rotasi, akhirnya kita peroleh

. (5.30)

Rumus energi kinetik benda yang berputar (5.30) mirip dengan rumus yang sesuai untuk energi kinetik gerak translasi benda. Mereka diperoleh dari yang terakhir dengan substitusi formal .

Dalam kasus umum, gerakan benda tegar dapat direpresentasikan sebagai jumlah gerakan - translasi dengan kecepatan yang sama dengan kecepatan pusat massa tubuh, dan rotasi dengan kecepatan sudut di sekitar sumbu sesaat yang melewati Pusat massa. Dalam hal ini, ekspresi energi kinetik tubuh mengambil bentuk

.

Mari kita cari kerja yang dilakukan oleh momen gaya eksternal selama rotasi benda tegar. Kerja dasar gaya eksternal dalam waktu dt akan sama dengan perubahan energi kinetik tubuh

Mengambil diferensial dari energi kinetik gerak rotasi, kami menemukan kenaikannya

.

Sesuai dengan persamaan dasar dinamika untuk gerak rotasi

Dengan mempertimbangkan hubungan ini, kami mengurangi ekspresi untuk pekerjaan dasar menjadi bentuk

di mana proyeksi momen gaya luar yang dihasilkan pada arah sumbu rotasi OZ, adalah sudut rotasi benda untuk periode waktu yang dipertimbangkan.

Mengintegrasikan (5.31), kami memperoleh rumus untuk pekerjaan gaya eksternal yang bekerja pada benda yang berputar

Jika , maka rumus disederhanakan

Jadi, kerja gaya-gaya luar selama rotasi benda tegar terhadap sumbu tetap ditentukan oleh aksi proyeksi momen gaya-gaya ini pada sumbu tertentu.

Giroskop

Giroskop adalah benda simetris yang berputar cepat, sumbu rotasinya dapat mengubah arahnya di ruang angkasa. Agar sumbu giroskop dapat berputar bebas di ruang angkasa, giroskop ditempatkan dalam apa yang disebut suspensi gimbal (Gbr. 5.13). Roda gila giroskop berputar di dalam sangkar melingkar di sekitar sumbu C 1 C 2 yang melewati pusat gravitasinya. Sangkar dalam, pada gilirannya, dapat berputar di sangkar luar di sekitar sumbu B 1 B 2 tegak lurus terhadap C 1 C 2 . Akhirnya, outer race dapat dengan bebas berputar pada bantalan strut di sekitar sumbu A 1 A 2 tegak lurus terhadap sumbu C 1 C 2 dan B 1 B 2 . Ketiga sumbu berpotongan di suatu titik tetap O, yang disebut pusat suspensi atau titik tumpu giroskop. Giroskop di gimbal memiliki tiga derajat kebebasan dan, oleh karena itu, dapat membuat rotasi apa pun di sekitar pusat gimbal. Jika pusat suspensi giroskop bertepatan dengan pusat gravitasinya, maka momen gravitasi yang dihasilkan dari semua bagian giroskop relatif terhadap pusat suspensi sama dengan nol. Giroskop seperti itu disebut seimbang.

Sekarang mari kita pertimbangkan sifat terpenting dari giroskop, yang telah menemukan aplikasi luas untuk itu di berbagai bidang.

1) Keberlanjutan.

Dengan setiap rotasi rak giroskop seimbang, sumbu rotasinya tetap pada arah yang sama sehubungan dengan kerangka acuan laboratorium. Ini disebabkan oleh fakta bahwa momen semua gaya eksternal, sama dengan momen gaya gesekan, sangat kecil dan praktis tidak menyebabkan perubahan momentum sudut giroskop, mis.

Karena momentum sudut diarahkan sepanjang sumbu rotasi giroskop, orientasinya harus tetap tidak berubah.

Jika gaya luar bekerja untuk waktu yang singkat, maka integral yang menentukan kenaikan momentum sudut akan menjadi kecil

. (5.34)

Ini berarti bahwa di bawah pengaruh jangka pendek bahkan kekuatan besar, pergerakan giroskop seimbang berubah sedikit. Giroskop, seolah-olah, menolak semua upaya untuk mengubah besar dan arah momentum sudutnya. Terkait dengan ini adalah stabilitas luar biasa yang diperoleh gerakan giroskop setelah membawanya ke rotasi cepat. Properti giroskop ini banyak digunakan untuk secara otomatis mengontrol pergerakan pesawat, kapal, roket, dan kendaraan lainnya.

Namun, jika giroskop bekerja untuk waktu yang lama oleh momen gaya eksternal yang arahnya konstan, maka sumbu giroskop akhirnya diatur ke arah momen gaya eksternal. Fenomena ini digunakan dalam gyrocompass. Perangkat ini adalah giroskop, yang sumbunya dapat berputar bebas di bidang horizontal. Karena rotasi harian Bumi dan aksi momen gaya sentrifugal, sumbu giroskop berputar sehingga sudut antara dan menjadi minimal (Gbr. 5.14). Ini sesuai dengan posisi sumbu giroskop di bidang meridian.

2). Efek giroskopik.

Jika sepasang gaya dan diterapkan pada giroskop yang berputar, cenderung memutarnya di sekitar sumbu yang tegak lurus terhadap sumbu rotasi, maka ia akan berputar di sekitar sumbu ketiga, tegak lurus terhadap dua yang pertama (Gbr. 5.15). Perilaku giroskop yang tidak biasa ini disebut efek giroskopik. Hal ini dijelaskan oleh fakta bahwa momen sepasang gaya diarahkan sepanjang sumbu O 1 O 1 dan perubahan vektor dengan nilai dari waktu ke waktu akan memiliki arah yang sama. Akibatnya, vektor baru akan berotasi terhadap sumbu O 2 O 2. Dengan demikian, perilaku giroskop yang tampaknya tidak wajar sepenuhnya sesuai dengan hukum dinamika gerak rotasi

3). Presesi giro.

Presesi giroskop adalah gerakan kerucut sumbunya. Itu terjadi ketika momen gaya eksternal, yang besarnya tetap konstan, berputar secara bersamaan dengan sumbu giroskop, membentuk sudut siku-siku dengannya sepanjang waktu. Untuk mendemonstrasikan presesi, roda sepeda dengan poros diperpanjang, dibawa ke rotasi cepat (Gbr. 5.16), dapat berfungsi.

Jika roda digantungkan pada ujung poros yang diperpanjang, maka porosnya akan mulai berpresesi di sekitar sumbu vertikal di bawah pengaruh beratnya sendiri. Bagian atas yang berputar cepat juga dapat berfungsi sebagai demonstrasi presesi.

Cari tahu alasan presesi giroskop. Pertimbangkan giroskop tidak seimbang yang sumbunya dapat berputar bebas di sekitar titik O tertentu (Gbr. 5.16). Momen gravitasi yang diterapkan pada giroskop sama besarnya

di mana massa giroskop, adalah jarak dari titik O ke pusat massa giroskop, adalah sudut yang dibentuk oleh sumbu giroskop dengan vertikal. Vektor diarahkan tegak lurus terhadap bidang vertikal yang melewati sumbu giroskop.

Di bawah pengaruh momen ini, momentum sudut giroskop (awalnya ditempatkan di titik O) akan menerima kenaikan waktu, dan bidang vertikal yang melewati sumbu giroskop akan berputar dengan sudut. Vektor selalu tegak lurus , oleh karena itu, tanpa mengubah besarnya, vektor hanya berubah arah. Dalam hal ini, setelah beberapa saat, posisi relatif dari vektor dan akan sama dengan pada saat awal. Akibatnya, sumbu giroskop akan terus berputar di sekitar vertikal, menggambarkan kerucut. Gerakan ini disebut presesi.

Mari kita tentukan kecepatan sudut presesi. Menurut Gbr.5.16, sudut rotasi bidang yang melalui sumbu kerucut dan sumbu giroskop sama dengan

di mana adalah momentum sudut giroskop, dan kenaikannya dari waktu ke waktu.

Membagi dengan , dengan mempertimbangkan hubungan dan transformasi di atas, kami memperoleh kecepatan sudut presesi

. (5.35)

Untuk giroskop yang digunakan dalam teknologi, kecepatan sudut presesi jutaan kali lebih kecil dari kecepatan rotasi giroskop.

Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa fenomena presesi juga diamati pada atom karena gerakan orbital elektron.

Contoh penerapan hukum dinamika

Saat berputar

1. Pertimbangkan beberapa contoh hukum kekekalan momentum sudut, yang dapat diimplementasikan menggunakan bangku Zhukovsky. Dalam kasus yang paling sederhana, bangku Zhukovsky adalah platform berbentuk cakram (kursi) yang dapat dengan bebas berputar di sekitar sumbu vertikal pada bantalan bola (Gbr. 5.17). Demonstran duduk atau berdiri di bangku, setelah itu dibawa ke dalam gerakan rotasi. Karena kenyataan bahwa gaya gesekan akibat penggunaan bantalan sangat kecil, momentum sudut sistem yang terdiri dari bangku dan alat peraga tentang sumbu rotasi tidak dapat berubah dalam waktu jika sistem dibiarkan sendiri. Jika demonstran memegang dumbel berat di tangannya dan merentangkan tangannya ke samping, maka ia akan meningkatkan momen inersia sistem, dan oleh karena itu kecepatan sudut rotasi harus berkurang sehingga momentum sudut tetap tidak berubah.

Menurut hukum kekekalan momentum sudut, kami membuat persamaan untuk kasus ini

di mana adalah momen inersia orang dan bangku, dan momen inersia halter di posisi pertama dan kedua, dan adalah kecepatan sudut sistem.

Kecepatan sudut rotasi sistem saat membiakkan halter ke samping akan sama dengan

.

Usaha yang dilakukan oleh seseorang saat menggerakkan dumbel dapat ditentukan melalui perubahan energi kinetik sistem

2. Mari kita beri satu percobaan lagi dengan bangku Zhukovsky. Demonstran duduk atau berdiri di bangku dan diberi roda yang berputar cepat dengan sumbu vertikal (Gbr. 5.18). Demonstran kemudian memutar roda 180 0 . Dalam hal ini, perubahan momentum sudut roda sepenuhnya ditransfer ke bangku dan demonstran. Akibatnya, bangku, bersama dengan demonstran, berputar dengan kecepatan sudut yang ditentukan berdasarkan hukum kekekalan momentum sudut.

Momentum sudut sistem pada keadaan awal hanya ditentukan oleh momentum sudut roda dan sama dengan

di mana adalah momen inersia roda, adalah kecepatan sudut rotasinya.

Setelah memutar roda pada sudut 180 0, momen momentum sistem akan ditentukan oleh jumlah momen momentum bangku dengan orang dan momen momentum roda. Mempertimbangkan fakta bahwa vektor momentum roda telah berubah arahnya ke arah yang berlawanan, dan proyeksinya pada sumbu vertikal menjadi negatif, kita peroleh

,

di mana adalah momen inersia sistem "platform manusia", adalah kecepatan sudut rotasi bangku dengan orang tersebut.

Menurut hukum kekekalan momentum sudut

dan .

Akibatnya, kami menemukan kecepatan rotasi bangku

3. Massa batang tipis m dan panjang aku berputar dengan kecepatan sudut =10 s -1 pada bidang horizontal mengelilingi sumbu vertikal yang melalui bagian tengah batang. Terus berputar pada bidang yang sama, batang bergerak sehingga sumbu rotasi sekarang melewati ujung batang. Temukan kecepatan sudut dalam kasus kedua.

Dalam masalah ini, karena distribusi massa batang relatif terhadap sumbu rotasi berubah, momen inersia batang juga berubah. Sesuai dengan hukum kekekalan momentum sudut dari suatu sistem terisolasi, kita memiliki

Di sini - momen inersia batang terhadap sumbu yang melewati bagian tengah batang; - momen inersia batang terhadap sumbu yang melalui ujungnya dan ditemukan oleh teorema Steiner.

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam hukum kekekalan momentum sudut, kita memperoleh

,

.

4. Panjang batang L= 1,5 m dan berat m 1= 10 kg berengsel di ujung atas. Sebuah peluru mengenai pusat batang dengan massa m2=10 g, terbang mendatar dengan kecepatan =500 m/s, dan tersangkut di batang. Melalui sudut berapa batang akan menyimpang setelah tumbukan?

Mari kita bayangkan pada Gambar. 5.19. sistem tubuh berinteraksi "batang-peluru". Momen gaya luar (gravitasi, reaksi sumbu) pada saat tumbukan sama dengan nol, sehingga kita dapat menggunakan hukum kekekalan momentum sudut

Momentum sudut sistem sebelum tumbukan sama dengan momentum sudut peluru relatif terhadap titik suspensi

Momentum sudut sistem setelah tumbukan inelastis ditentukan oleh rumus

,

di mana adalah momen inersia batang relatif terhadap titik suspensi, adalah momen inersia peluru, adalah kecepatan sudut batang dengan peluru segera setelah tumbukan.

Memecahkan persamaan yang dihasilkan setelah substitusi, kami menemukan

.

Mari kita sekarang menggunakan hukum kekekalan energi mekanik. Mari kita samakan energi kinetik batang setelah peluru mengenainya dengan energi potensialnya pada titik pendakian tertinggi:

,

di mana adalah ketinggian pusat massa sistem yang diberikan.

Setelah melakukan transformasi yang diperlukan, kami memperoleh

Sudut defleksi batang terkait dengan nilai dengan rasio

.

Setelah melakukan perhitungan, kami memperoleh =0,1p=18 0 .

5. Tentukan percepatan benda dan tegangan benang pada mesin Atwood, dengan asumsi bahwa (Gbr. 5.20). Momen inersia balok terhadap sumbu rotasi adalah Saya, radius blok r. Abaikan massa benang.

Mari kita susun semua gaya yang bekerja pada beban dan balok, dan buat persamaan dinamikanya

Jika tidak ada selip ulir di sepanjang balok, maka percepatan linier dan sudut dihubungkan oleh hubungan

Memecahkan persamaan ini, kita mendapatkan

Kemudian kami menemukan T 1 dan T 2 .

6. Sebuah ulir dipasang pada katrol salib Oberbeck (Gbr. 5.21), di mana beban massa M= 0,5kg Tentukan waktu yang dibutuhkan sebuah beban untuk jatuh dari ketinggian h=1 m ke posisi terbawah. Jari-jari katrol r\u003d 3 cm Empat bobot massa m=250g masing-masing pada jarak R= 30 cm dari sumbunya. Abaikan momen inersia salib itu sendiri dan katrol dibandingkan dengan momen inersia beban.

Energi kinetik adalah besaran aditif. Oleh karena itu, energi kinetik dari suatu benda yang bergerak secara sembarang sama dengan jumlah energi kinetik dari semua n titik material yang dapat dibagi secara mental ke dalam tubuh ini:

Jika benda berputar pada sumbu tetap z dengan kecepatan sudut , maka kecepatan linier titik ke-i , Ri adalah jarak ke sumbu rotasi. Karena itu,

Membandingkan dan dapat dilihat bahwa momen inersia benda I adalah ukuran inersia selama gerak rotasi, seperti massa m adalah ukuran inersia selama gerak translasi.

Dalam kasus umum, gerakan benda tegar dapat direpresentasikan sebagai jumlah dari dua gerakan - translasi dengan kecepatan vc dan rotasi dengan kecepatan sudut di sekitar sumbu sesaat yang melewati pusat inersia. Maka total energi kinetik benda ini

Di sini Ic adalah momen inersia terhadap sumbu rotasi sesaat yang melalui pusat inersia.

Hukum dasar dinamika gerak rotasi.

Dinamika rotasi

Hukum dasar dinamika gerak rotasi:

atau M=Je, di mana M adalah momen gaya M=[ r F ] , J - momen inersia adalah momen momentum benda.

jika M(eksternal)=0 - hukum kekekalan momentum sudut. - energi kinetik benda yang berputar.

pekerjaan rotasi.

Hukum kekekalan momentum sudut.

Momentum sudut (momentum) dari titik material A relatif terhadap titik tetap O adalah kuantitas fisik yang ditentukan oleh produk vektor:

di mana r adalah vektor radius yang ditarik dari titik O ke titik A, p=mv adalah momentum titik material (Gbr. 1); L adalah vektor semu, arahnya bertepatan dengan arah gerakan translasi sekrup kanan selama rotasi dari r ke p.

Modulus vektor momentum

di mana adalah sudut antara vektor r dan p, l adalah bahu vektor p terhadap titik O.

Momentum sudut relatif terhadap sumbu tetap z adalah nilai skalar Lz, yang sama dengan proyeksi ke sumbu vektor momentum sudut ini, yang ditentukan relatif terhadap titik sembarang O dari sumbu ini. Momentum sudut Lz tidak bergantung pada posisi titik O pada sumbu z.

Ketika sebuah benda yang benar-benar kaku berputar mengelilingi sumbu tetap z, setiap titik benda bergerak sepanjang lingkaran dengan jari-jari konstan ri dengan kecepatan vi. Kecepatan vi dan momentum mivi tegak lurus terhadap jari-jari ini, yaitu jari-jari adalah lengan vektor mivi . Jadi kita dapat menulis bahwa momentum sudut sebuah partikel individu adalah

dan diarahkan sepanjang sumbu ke arah yang ditentukan oleh aturan sekrup kanan.

Momentum benda tegar relatif terhadap sumbu adalah jumlah dari momentum partikel individu:

Dengan menggunakan rumus vi = ri, kita peroleh

Jadi, momentum sudut benda tegar terhadap suatu sumbu sama dengan momen inersia benda terhadap sumbu yang sama, dikalikan dengan kecepatan sudut. Mari kita bedakan persamaan (2) terhadap waktu:

Rumus ini adalah bentuk lain dari persamaan dinamika gerak rotasi benda tegar terhadap sumbu tetap: turunan momentum sudut benda tegar terhadap sumbu sama dengan momen gaya terhadap sumbu yang sama.

Dapat ditunjukkan bahwa persamaan vektor berlaku

Dalam sistem tertutup, momen gaya luar adalah M = 0 dan dari mana

Ekspresi (4) adalah hukum kekekalan momentum sudut: momentum sudut sistem tertutup adalah kekal, yaitu, tidak berubah terhadap waktu.

Hukum kekekalan momentum sudut serta hukum kekekalan energi adalah hukum dasar alam. Ini terkait dengan sifat simetri ruang - isotropinya, yaitu, dengan invarian hukum fisika sehubungan dengan pilihan arah sumbu koordinat sistem referensi (sehubungan dengan rotasi sistem tertutup dalam ruang oleh sudut manapun).

Di sini kita akan mendemonstrasikan hukum kekekalan momentum sudut menggunakan bangku Zhukovsky. Seseorang yang duduk di bangku, berputar di sekitar sumbu vertikal, dan memegang dumbel dengan tangan terentang (Gbr. 2), diputar oleh mekanisme eksternal dengan kecepatan sudut 1. Jika seseorang menekan halter ke tubuh, maka momen inersia sistem akan berkurang. Tetapi momen gaya luar sama dengan nol, momentum sudut sistem dipertahankan dan kecepatan sudut rotasi 2 meningkat. Demikian pula, pesenam, sambil melompati kepalanya, menarik lengan dan kakinya ke dekat tubuh untuk mengurangi momen inersianya dan dengan demikian meningkatkan kecepatan sudut rotasi.

Tekanan dalam zat cair dan gas.

Molekul gas, membuat gerakan kacau, kacau, tidak terikat atau agak lemah terikat oleh gaya interaksi, itulah sebabnya mereka bergerak hampir bebas dan, sebagai akibat dari tumbukan, menyebar ke segala arah, sambil mengisi seluruh volume yang disediakan untuk mereka, yaitu, volume gas ditentukan oleh bejana volume yang ditempati oleh gas.

Dan cairan, yang memiliki volume tertentu, mengambil bentuk wadah di mana ia tertutup. Tetapi tidak seperti gas dalam cairan, jarak rata-rata antar molekul rata-rata tetap konstan, sehingga cairan memiliki volume yang hampir konstan.

Sifat cairan dan gas sangat berbeda dalam banyak hal, tetapi dalam beberapa fenomena mekanik, sifat mereka ditentukan oleh parameter yang sama dan persamaan yang identik. Untuk alasan ini, hidroaeromekanika adalah cabang mekanika yang mempelajari keseimbangan dan pergerakan gas dan cairan, interaksi di antara mereka dan antara benda padat yang mengalir di sekitarnya, mis. pendekatan terpadu untuk mempelajari cairan dan gas diterapkan.

Dalam mekanika, cairan dan gas dianggap dengan tingkat akurasi yang tinggi sebagai kontinu, terdistribusi terus menerus di bagian ruang yang ditempati oleh mereka. Dalam gas, kepadatan tergantung pada tekanan secara signifikan. Didirikan dari pengalaman. bahwa kompresibilitas cairan dan gas sering dapat diabaikan dan disarankan untuk menggunakan konsep tunggal - inkompresibilitas cairan - cairan dengan kerapatan yang sama di mana-mana, yang tidak berubah seiring waktu.

Kami menempatkannya di piring tipis dalam keadaan diam, sebagai akibatnya, bagian-bagian cairan yang terletak di sisi yang berlawanan dari pelat akan bekerja pada masing-masing elemennya S dengan gaya F, yang akan sama dalam nilai absolut dan diarahkan tegak lurus ke situs S, terlepas dari orientasi situs, jika tidak, kehadiran gaya tangensial akan membuat partikel cairan bergerak (Gbr. 1)

Besaran fisika yang ditentukan oleh gaya normal yang bekerja dari sisi cairan (atau gas) per satuan luas disebut tekanan p / cairan (atau gas): p=ΔF / S.

Satuan tekanan adalah pascal (Pa): 1 Pa sama dengan tekanan yang diciptakan oleh gaya 1 N, yang didistribusikan secara merata di atas permukaan 1 m2 yang normal terhadapnya (1 Pa = 1 N/m2).

Tekanan pada kesetimbangan cairan (gas) mematuhi hukum Pascal: tekanan di setiap tempat fluida yang diam adalah sama ke segala arah, dan tekanan ditransmisikan secara merata ke seluruh volume yang ditempati oleh fluida yang diam.

Mari kita selidiki pengaruh berat fluida pada distribusi tekanan di dalam fluida tak termampatkan yang diam. Ketika cairan berada dalam kesetimbangan, tekanan sepanjang garis horizontal selalu sama, jika tidak, tidak akan ada kesetimbangan. Ini berarti bahwa permukaan bebas fluida yang diam selalu horizontal (kita tidak memperhitungkan gaya tarik fluida oleh dinding bejana). Jika suatu fluida tidak dapat dimampatkan, maka densitas fluida tidak bergantung pada tekanan. Kemudian, dengan penampang S kolom cairan, tinggi h dan massa jenis , beratnya adalah P=ρgSh, sedangkan tekanan di dasar bawah adalah: p=P/S=ρgSh/S=ρgh, (1)

yaitu tekanan berubah secara linier dengan ketinggian. Tekanan gh disebut tekanan hidrostatik.

Menurut rumus (1), gaya tekanan pada lapisan bawah cairan akan lebih besar daripada pada lapisan atas, oleh karena itu, gaya yang ditentukan oleh hukum Archimedes bekerja pada benda yang direndam dalam cairan (gas): apung ke atas gaya yang sama dengan berat zat cair (gas) yang dipindahkan oleh benda: FA=ρgV, di mana adalah massa jenis zat cair, V adalah volume benda yang dicelupkan ke dalam zat cair.