Pelajaran bisa dimulai dengan cerita guru.

Vashchenko N.M., di pelajaran

Di Yunani kuno, semua orator diajarkan geometri. Di pintu sekolah tertulis: "Dia yang tidak tahu geometri, jangan masuk ke sini." Mengapa? Ya, karena geometri mengajarkan untuk membuktikan. Pidato seseorang meyakinkan hanya ketika dia membuktikan kesimpulannya. Dalam penalarannya, orang sering menggunakan metode pembuktian, yang disebut “dengan kontradiksi”.

Mari kita berikan contoh bukti seperti itu.

Contoh 1 Para pengintai diberi tugas untuk mencari tahu apakah ada kolom tank musuh di desa tersebut. Komandan pengintai melaporkan: jika ada kolom tank di desa, maka akan ada jejak ulat, tetapi kami tidak menemukannya.

Skema penalaran. Diperlukan untuk membuktikan: tidak ada kolom. Misalkan ada kolom. Maka harus ada jejak. Kontradiksi - tidak ada jejak. Kesimpulan: asumsi tersebut salah, artinya kolom tangki tidak ada.

Contoh 2 Dokter setelah memeriksa anak yang sakit berkata:

“Anak itu tidak menderita campak. Jika dia terkena campak, maka akan ada ruam di tubuhnya, tetapi tidak ada ruam.”

Penalaran dokter juga dilakukan sesuai dengan skema di atas.

Pertanyaannya diajukan: "Apa inti dari metode pembuktian dengan kontradiksi?" - dan sebuah tabel diposting (Tabel 5).

Dengan kontradiksi adalah mungkin untuk memecahkan masalah yang diketahui sebelumnya.

1. Diberikan: a||b, garis c dan berpotongan. Membuktikan: garis c dan b berpotongan.

Bukti.

1) Asumsikan bahwa b||c.

2) Kemudian ternyata dua garis yang berbeda a dan b melalui titik O (titik perpotongan garis a dan c) yang sejajar dengan garis b.

3) Ini bertentangan dengan aksioma garis sejajar.

Kesimpulan: itu berarti bahwa asumsi kita salah, tetapi apa yang perlu dibuktikan adalah benar, yaitu bahwa garis-garis bis berpotongan.

2. Diberikan: A, B, C - titik-titik garis a, AB = 5 cm, AC = 2 cm, BC = 7 cm. Membuktikan:

Bukti.

1) Misalkan titik C terletak di antara titik A dan B.

2) Kemudian, menurut aksioma pengukuran segmen AB = AC + CBA

3) Ini bertentangan dengan kondisi: AB \u003d AC + CB, karena AB \u003d 5 cm, AC + C5 \u003d 9 cm.

Kesimpulan: titik C tidak terletak di antara titik A dan B.

3. Diberikan: AB - setengah garis, C AB, AC< АВ. Membuktikan:

Bukti.

1) Misalkan titik B terletak di antara titik A dan C.

2) Kemudian, menurut aksioma pengukuran ruas-ruas AB + BC = AC, yaitu AB

3) Ini bertentangan dengan kondisi masalah: AS<АВ.

Kesimpulan: titik B tidak terletak di antara titik A dan C.

Pemecahan masalah ditulis dalam buku catatan. Agar siswa mempelajari esensi dari metode pembuktian dengan kontradiksi, serta untuk menghemat waktu dalam memecahkan masalah, Anda dapat menggunakan kartu petunjuk yang terbuat dari kertas tebal dan dimasukkan ke dalam kantong plastik. Siswa harus mengisi tempat-tempat yang hilang pada bungkus plastik. Tape record mudah dihapus, dan oleh karena itu kartu dapat digunakan berulang kali.

Kartu terlihat seperti:

Asumsikan kebalikan dari apa yang diperlukan untuk dibuktikan, yaitu.

Ini mengikuti dari asumsi bahwa (berdasarkan ……

Kami mendapatkan kontradiksi.

Ini berarti bahwa asumsi kita salah, tetapi apa yang perlu dibuktikan adalah benar, yaitu.

Pekerjaan rumah:

n "Bukti dengan kontradiksi" 2 kata-kata: "Mari kita jelaskan ini ...".

1. Buktikan jika MN = 8 m, MK = 5 m, NK- 10 m, maka titik-titik M, N dan K tidak terletak pada satu garis lurus.

2. Buktikan jika<(ab) = 100°, <(be) - 120°, то луч с не проходит между сторонами угла (ab).

3. Buktikan Teorema 1.1 dengan kontradiksi.

Seringkali ketika membuktikan teorema, metode pembuktian digunakan. kebalikan. Inti dari metode ini membantu untuk memahami teka-teki. Cobalah untuk mengungkapnya.

Bayangkan sebuah negara di mana seseorang yang dijatuhi hukuman mati diminta untuk memilih salah satu dari dua kertas yang tampak identik: satu mengatakan "kematian", yang lain mengatakan "kehidupan". Musuh memfitnah salah satu penduduk negeri ini. Dan agar dia tidak punya kesempatan untuk melarikan diri, mereka membuatnya sehingga di belakang kedua lembar kertas itu, dari mana dia harus memilih satu, tertulis "kematian". Teman-teman mengetahui hal ini dan memberi tahu terpidana. Dia meminta untuk tidak memberi tahu siapa pun tentang hal itu. Mengeluarkan salah satu kertas. Dan tinggal untuk hidup. Bagaimana dia melakukannya?

Menjawab. Terpidana menelan secarik kertas yang dipilihnya. Untuk menentukan undian mana yang jatuh padanya, para juri melihat ke kertas yang tersisa. Di atasnya tertulis: "kematian." Ini membuktikan bahwa dia beruntung, dia mengeluarkan selembar kertas yang bertuliskan: "kehidupan."

Seperti dalam kasus yang diceritakan oleh teka-teki, hanya dua kasus yang mungkin selama pembuktian: mungkin ... atau tidak mungkin ... Jika Anda dapat memastikan bahwa yang pertama tidak mungkin (pada selembar kertas yang hakim mendapat, ada tertulis: "kematian"), maka kita dapat segera menyimpulkan bahwa kemungkinan kedua adalah sah (pada kertas kedua tertulis: "hidup").

Pembuktian dengan kontradiksi dilakukan sebagai berikut.

1) Tetapkan opsi apa yang pada prinsipnya memungkinkan ketika memecahkan masalah atau membuktikan teorema. Ada dua pilihan (misalnya, apakah garis yang dipertimbangkan tegak lurus atau tidak); Mungkin ada tiga pilihan jawaban atau lebih (misalnya, sudut apa yang diperoleh: lancip, lurus, atau tumpul).

2) Buktikan. Bahwa tidak ada opsi yang perlu kita tolak yang dapat dilakukan. (Misalnya, jika perlu untuk membuktikan bahwa garis tegak lurus, kita melihat apa yang terjadi jika kita mempertimbangkan garis yang tidak tegak lurus. Sebagai aturan, dimungkinkan untuk menetapkan bahwa dalam kasus ini salah satu kesimpulan bertentangan dengan apa yang diberikan dalam kondisi, dan karena itu tidak mungkin.

3) Berdasarkan fakta bahwa semua kesimpulan yang tidak diinginkan dibuang dan hanya satu (yang diinginkan) yang tetap tidak dipertimbangkan, kami menyimpulkan bahwa dialah yang benar.

Mari kita selesaikan masalah menggunakan bukti dengan kontradiksi.

Diketahui: garis a dan b sedemikian rupa sehingga setiap garis yang memotong a juga berpotongan dengan b.

Dengan menggunakan metode pembuktian "dengan kontradiksi", buktikan bahwa a ll b.

Bukti.

Hanya dua kasus yang mungkin:

1) garis a dan b sejajar (hidup);

2) garis a dan b tidak sejajar (mati).

Jika dimungkinkan untuk mengecualikan kasus yang tidak diinginkan, maka tetap dapat disimpulkan bahwa yang kedua dari dua kasus yang mungkin terjadi. Untuk membuang kasus yang tidak diinginkan, mari kita pikirkan apa yang terjadi jika garis a dan b berpotongan:

Dengan asumsi, setiap garis yang memotong a juga memotong b. Oleh karena itu, jika mungkin untuk menemukan setidaknya satu garis yang memotong a tetapi tidak memotong b, kasus ini harus dibuang. Anda dapat menemukan garis sebanyak yang Anda suka: cukup menggambar melalui titik K mana pun dari garis a, kecuali titik M, garis KS yang sejajar dengan b:

Karena salah satu dari dua kemungkinan kasus dibuang, seseorang dapat segera menyimpulkan apa b.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu bagaimana membuktikan teorema?
Untuk mendapatkan bantuan dari tutor -.
Pelajaran pertama gratis!

blog.site, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, diperlukan tautan ke sumbernya.

Pembuktian "dari sebaliknya" (dalam bahasa Latin "reductio ad absurdum") dicirikan oleh fakta bahwa proses pembuktian pendapat dilakukan dengan menyangkal penilaian yang berlawanan. Sebuah antitesis dapat dibuktikan salah dengan menetapkan fakta bahwa itu tidak sesuai dengan proposisi yang benar.

Biasanya metode seperti itu ditunjukkan secara visual menggunakan rumus di mana A adalah antitesis dan B adalah kebenaran. Jika penyelesaian ternyata adanya variabel A menghasilkan hasil yang berbeda dengan B, maka A terbukti salah.

Buktikan "dengan kontradiksi" tanpa menggunakan kebenaran

Ada juga bukti yang lebih mudah dari kepalsuan "lawan" - antitesis. Aturan rumus seperti itu mengatakan: "Jika kontradiksi muncul dalam rumus saat menyelesaikan dengan variabel A, A salah." Tidak peduli apakah antitesis itu negatif atau afirmatif. Selain itu, cara yang lebih sederhana untuk membuktikan dengan kontradiksi hanya berisi dua fakta: tesis dan antitesis, kebenaran B tidak digunakan. Ini sangat menyederhanakan proses pembuktian.

apagogue

Dalam proses pembuktian dengan kontradiksi (yang juga disebut "pengurangan absurditas"), apagogi sering digunakan. Ini adalah perangkat logis, yang tujuannya adalah untuk membuktikan ketidaktepatan penilaian apa pun sehingga kontradiksi terungkap secara langsung di dalamnya atau dalam konsekuensi yang timbul darinya. Kontradiksi dapat dinyatakan dalam identitas objek yang jelas berbeda atau sebagai kesimpulan: konjungsi atau pasangan B dan bukan B (benar dan tidak benar).

Penerimaan bukti "dengan kontradiksi" sering digunakan. Dalam banyak kasus, tidak mungkin membuktikan ketidaktepatan penilaian dengan cara lain. Selain apagogi, ada juga bentuk pembuktian paradoks dengan kontradiksi. Formulir ini digunakan pada awal Elemen Euclid dan mewakili aturan berikut: A dianggap terbukti jika memungkinkan untuk menunjukkan "kepalsuan yang sebenarnya" dari A.

Dengan demikian, proses pembuktian dengan kontradiksi (disebut juga dengan pembuktian tidak langsung dan apogogis) adalah sebagai berikut. Pendapat yang berlawanan diajukan, konsekuensi disimpulkan dari antitesis ini, di antaranya yang salah dicari. Mereka menemukan bukti bahwa di antara akibat itu memang ada yang salah. Dari sini disimpulkan bahwa antitesis salah, dan karena antitesis salah, kesimpulan logisnya adalah bahwa kebenaran terkandung dalam tesis.

Kamus Penjelasan Istilah Matematika mendefinisikan bukti dengan kontradiksi dari teorema yang berlawanan dengan teorema terbalik. “Pembuktian dengan kontradiksi adalah metode pembuktian teorema (kalimat), yang terdiri dari pembuktian bukan teorema itu sendiri, tetapi padanannya (ekuivalen), kebalikan dari teorema (berlawanan). Pembuktian dengan kontradiksi digunakan bila teorema langsung sulit dibuktikan, tetapi kebalikannya lebih mudah. Ketika membuktikan dengan kontradiksi, kesimpulan teorema diganti dengan negasinya, dan dengan penalaran seseorang sampai pada negasi dari kondisi, yaitu. ke kontradiksi, ke kebalikannya (kebalikan dari apa yang diberikan; pengurangan absurditas ini membuktikan teorema.

Pembuktian dengan kontradiksi sangat sering digunakan dalam matematika. Pembuktian dengan kontradiksi didasarkan pada hukum bagian tengah yang dikecualikan, yang terdiri dari fakta bahwa dari dua pernyataan (pernyataan) A dan A (negasi dari A), salah satunya benar dan yang lain salah./ Kamus penjelasan istilah matematika: Panduan untuk guru / O. V. Manturov [dan lainnya]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 hal.: ill.-C.112/.

Tidaklah lebih baik untuk secara terbuka menyatakan bahwa metode pembuktian dengan kontradiksi bukanlah metode matematika, meskipun digunakan dalam matematika, itu adalah metode logis dan termasuk logika. Apakah sah untuk mengatakan bahwa pembuktian dengan kontradiksi "digunakan ketika teorema langsung sulit dibuktikan", padahal sebenarnya itu digunakan jika, dan hanya jika, tidak ada penggantinya.

Karakteristik hubungan antara teorema langsung dan teorema invers juga perlu mendapat perhatian khusus. Teorema invers untuk teorema tertentu (atau teorema tertentu) adalah teorema di mana kondisinya adalah kesimpulannya, dan kesimpulannya adalah kondisi dari teorema yang diberikan. Teorema ini dalam kaitannya dengan teorema kebalikan disebut teorema langsung (awal). Pada saat yang sama, teorema kebalikan dari teorema kebalikan akan menjadi teorema yang diberikan; oleh karena itu, teorema langsung dan teorema invers disebut saling invers. Jika teorema langsung (yang diberikan) benar, maka teorema kebalikannya tidak selalu benar. Misalnya, jika segiempat adalah belah ketupat, maka diagonal-diagonalnya saling tegak lurus (teorema langsung). Jika diagonal dalam segiempat saling tegak lurus, maka segi empat adalah belah ketupat - ini tidak benar, yaitu, teorema kebalikannya tidak benar./ Kamus penjelasan istilah matematika: Panduan untuk guru / O. V. Manturov [dan lainnya]; ed. V. A. Ditkina.- M.: Enlightenment, 1965.- 539 hal.: ill.-C.261 /.

Karakterisasi hubungan antara teorema langsung dan invers ini tidak memperhitungkan fakta bahwa kondisi teorema langsung dianggap sebagai diberikan, tanpa bukti, sehingga kebenarannya tidak dijamin. Kondisi teorema invers tidak diambil seperti yang diberikan, karena ini adalah kesimpulan dari teorema langsung yang terbukti. Kebenarannya dikonfirmasi oleh bukti teorema langsung. Perbedaan logis esensial antara kondisi teorema langsung dan teorema terbalik ini ternyata menentukan dalam pertanyaan teorema mana yang dapat dan mana yang tidak dapat dibuktikan dengan metode logis dari kebalikannya.

Mari kita asumsikan bahwa ada teorema langsung dalam pikiran, yang dapat dibuktikan dengan metode matematika biasa, tetapi itu sulit. Kami merumuskannya dalam bentuk umum dalam bentuk singkat sebagai berikut: dari TETAPI Sebaiknya E . Simbol TETAPI memiliki nilai kondisi teorema yang diberikan, diterima tanpa bukti. Simbol E adalah kesimpulan dari teorema yang akan dibuktikan.

Kami akan membuktikan teorema langsung dengan kontradiksi, logis metode. Metode logis membuktikan teorema yang memiliki bukan matematika kondisi, dan logis kondisi. Hal ini dapat diperoleh jika kondisi matematis dari teorema dari TETAPI Sebaiknya E , melengkapi dengan kondisi sebaliknya dari TETAPI jangan lakukan itu E .

Akibatnya, kondisi kontradiktif logis dari teorema baru diperoleh, yang mencakup dua bagian: dari TETAPI Sebaiknya E dan dari TETAPI jangan lakukan itu E . Kondisi yang dihasilkan dari teorema baru sesuai dengan hukum logis dari bagian tengah yang dikecualikan dan sesuai dengan bukti teorema dengan kontradiksi.

Menurut hukum, satu bagian dari kondisi kontradiktif salah, bagian lain benar, dan yang ketiga dikecualikan. Pembuktian dengan kontradiksi memiliki tugas dan tujuannya sendiri untuk menetapkan dengan tepat bagian mana dari dua bagian kondisi teorema yang salah. Segera setelah bagian yang salah dari kondisi ditentukan, akan ditetapkan bahwa bagian lainnya adalah bagian yang benar, dan yang ketiga dikecualikan.

Menurut kamus penjelasan istilah matematika, "bukti adalah penalaran, di mana kebenaran atau kepalsuan dari setiap pernyataan (penilaian, pernyataan, teorema) ditetapkan". Bukti kebalikan ada diskusi dalam perjalanan yang ditetapkan kepalsuan(absurditas) dari kesimpulan yang mengikuti dari Salah kondisi teorema yang dibuktikan.

Diberikan: dari TETAPI Sebaiknya E dan dari TETAPI jangan lakukan itu E .

Membuktikan: dari TETAPI Sebaiknya E .

Bukti: Kondisi logis teorema mengandung kontradiksi yang membutuhkan penyelesaiannya. Kontradiksi kondisi harus menemukan penyelesaiannya dalam bukti dan hasilnya. Hasilnya ternyata salah jika alasannya sempurna dan sempurna. Alasan untuk kesimpulan yang salah dengan alasan yang benar secara logis hanya dapat menjadi kondisi yang kontradiktif: dari TETAPI Sebaiknya E dan dari TETAPI jangan lakukan itu E .

Tidak ada bayangan keraguan bahwa satu bagian dari kondisi itu salah, dan yang lainnya dalam hal ini benar. Kedua bagian dari kondisi memiliki asal yang sama, diterima seperti yang diberikan, diasumsikan, sama-sama mungkin, sama-sama dapat diterima, dll. Dalam penalaran logis, tidak ada satu pun fitur logis yang ditemukan yang akan membedakan satu bagian dari kondisi dari lainnya. Oleh karena itu, dalam kadar yang sama, dari TETAPI Sebaiknya E dan mungkin dari TETAPI jangan lakukan itu E . Penyataan dari TETAPI Sebaiknya E mungkin Salah, maka pernyataan dari TETAPI jangan lakukan itu E akan benar. Penyataan dari TETAPI jangan lakukan itu E mungkin salah, maka pernyataan tersebut dari TETAPI Sebaiknya E akan benar.

Oleh karena itu, tidak mungkin membuktikan teorema langsung dengan metode kontradiksi.

Sekarang kita akan membuktikan teorema langsung yang sama dengan metode matematika biasa.

Diberikan: TETAPI .

Membuktikan: dari TETAPI Sebaiknya E .

Bukti.

1. Dari TETAPI Sebaiknya B

2. Dari B Sebaiknya PADA (menurut teorema yang telah dibuktikan sebelumnya)).

3. Dari PADA Sebaiknya G (sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).

4. Dari G Sebaiknya D (sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).

5. Dari D Sebaiknya E (sesuai dengan teorema yang telah dibuktikan sebelumnya).

Berdasarkan hukum transitivitas, dari TETAPI Sebaiknya E . Teorema langsung dibuktikan dengan metode biasa.

Biarkan teorema langsung terbukti memiliki teorema kebalikan yang benar: dari E Sebaiknya TETAPI .

Mari kita buktikan dengan biasa matematis metode. Pembuktian teorema invers dapat dinyatakan dalam bentuk simbolik sebagai algoritma operasi matematika.

Diberikan: E

Membuktikan: dari E Sebaiknya TETAPI .

Bukti.

!. Dari E Sebaiknya D

1. Dari D Sebaiknya G (dengan teorema invers yang telah dibuktikan sebelumnya).

2. Dari G Sebaiknya PADA (dengan teorema invers yang telah dibuktikan sebelumnya).

3. Dari PADA jangan lakukan itu B (kebalikannya tidak benar). Itu sebabnya dari B jangan lakukan itu TETAPI .

Dalam situasi ini, tidak masuk akal untuk melanjutkan pembuktian matematis dari teorema invers. Alasan situasinya logis. Tidak mungkin mengganti teorema invers yang salah dengan apa pun. Oleh karena itu, teorema invers ini tidak dapat dibuktikan dengan metode matematika biasa. Semua harapan adalah untuk membuktikan teorema terbalik ini dengan kontradiksi.

Untuk membuktikannya dengan kontradiksi, diperlukan untuk mengganti kondisi matematisnya dengan kondisi kontradiktif logis, yang dalam artinya mengandung dua bagian - salah dan benar.

Teorema terbalik klaim: dari E jangan lakukan itu TETAPI . Kondisinya E , dari mana mengikuti kesimpulan TETAPI , adalah hasil pembuktian teorema langsung dengan metode matematika biasa. Kondisi ini harus dipertahankan dan dilengkapi dengan pernyataan dari E Sebaiknya TETAPI . Sebagai hasil dari penambahan, diperoleh kondisi kontradiktif dari teorema invers baru: dari E Sebaiknya TETAPI dan dari E jangan lakukan itu TETAPI . Berdasarkan ini secara logis kondisi kontradiktif, teorema kebalikan dapat dibuktikan dengan logis penalaran saja, dan hanya, logis metode yang berlawanan. Dalam pembuktian dengan kontradiksi, setiap tindakan dan operasi matematis berada di bawah tindakan logis dan oleh karena itu tidak dihitung.

Di bagian pertama dari pernyataan kontradiktif dari E Sebaiknya TETAPI kondisi E dibuktikan dengan pembuktian teorema langsung. Di bagian kedua dari E jangan lakukan itu TETAPI kondisi E diasumsikan dan diterima tanpa bukti. Salah satunya salah dan yang lainnya benar. Diperlukan untuk membuktikan mana di antara mereka yang salah.

Kita buktikan dengan yang benar logis penalaran dan menemukan bahwa hasilnya adalah kesimpulan yang salah dan tidak masuk akal. Alasan untuk kesimpulan logis yang salah adalah kondisi logis yang kontradiktif dari teorema, yang berisi dua bagian - salah dan benar. Bagian yang salah hanya bisa menjadi pernyataan dari E jangan lakukan itu TETAPI , di mana E diterima tanpa bukti. Ini yang membedakannya dengan E pernyataan dari E Sebaiknya TETAPI , yang dibuktikan dengan bukti teorema langsung.

Oleh karena itu, pernyataan tersebut benar: dari E Sebaiknya TETAPI , yang harus dibuktikan.

Kesimpulan: hanya teorema kebalikan yang dibuktikan dengan metode logis dari kebalikannya, yang memiliki teorema langsung yang dibuktikan dengan metode matematika dan yang tidak dapat dibuktikan dengan metode matematika.

Kesimpulan yang diperoleh memperoleh kepentingan yang luar biasa dalam kaitannya dengan metode pembuktian dengan kontradiksi teorema besar Fermat. Sebagian besar upaya untuk membuktikannya tidak didasarkan pada metode matematika biasa, tetapi pada metode logis untuk membuktikan dengan kontradiksi. Bukti Teorema Besar Fermat Wiles tidak terkecuali.

Dengan kata lain, Gerhard Frey menyarankan bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat x n + y n = z n , di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Solusi yang sama, dengan asumsi Frey, adalah solusi dari persamaannya
y 2 + x (x - a n) (y + b n) = 0 , yang diberikan oleh kurva eliptiknya.

Andrew Wiles menerima penemuan Frey yang luar biasa ini dan, dengan bantuannya, melalui matematis metode membuktikan bahwa temuan ini, yaitu kurva eliptik Frey, tidak ada. Oleh karena itu, tidak ada persamaan dan penyelesaiannya yang diberikan oleh kurva eliptik yang tidak ada.Oleh karena itu, Wiles seharusnya menyimpulkan bahwa tidak ada persamaan Teorema Terakhir Fermat dan Teorema Fermat itu sendiri. Namun, ia mengambil kesimpulan yang lebih sederhana bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Ini mungkin fakta yang tak terbantahkan bahwa Wiles menerima asumsi yang secara langsung berlawanan makna dengan apa yang dinyatakan oleh Teorema Terakhir Fermat. Ini mewajibkan Wiles untuk membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan kontradiksi. Mari kita ikuti teladannya dan lihat apa yang terjadi dari contoh ini.

Teorema Terakhir Fermat menyatakan bahwa persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2

Menurut metode logis pembuktian dengan kontradiksi, pernyataan ini dipertahankan, diterima sebagai diberikan tanpa bukti, dan kemudian dilengkapi dengan pernyataan yang berlawanan artinya: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Pernyataan yang dihipotesiskan juga diterima sebagai diberikan, tanpa bukti. Kedua pernyataan tersebut, dilihat dari sudut pandang hukum dasar logika, sama-sama dapat diterima, sama dalam hak dan sama-sama mungkin. Dengan penalaran yang benar, diperlukan untuk menetapkan mana di antara mereka yang salah, untuk kemudian menetapkan bahwa pernyataan lainnya benar.

Penalaran yang benar berakhir dengan kesimpulan yang salah dan tidak masuk akal, penyebab logisnya hanya dapat menjadi kondisi kontradiktif dari teorema yang dibuktikan, yang mengandung dua bagian dari makna yang berlawanan secara langsung. Mereka adalah penyebab logis dari kesimpulan yang absurd, hasil pembuktian dengan kontradiksi.

Namun, dalam proses penalaran yang benar secara logis, tidak ditemukan satu tanda pun yang memungkinkan untuk menetapkan pernyataan mana yang salah. Ini bisa menjadi pernyataan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Atas dasar yang sama, itu bisa menjadi pernyataan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif.

Sebagai hasil dari penalaran, hanya ada satu kesimpulan: Teorema Terakhir Fermat tidak dapat dibuktikan dengan kontradiksi.

Akan menjadi masalah yang sangat berbeda jika Teorema Terakhir Fermat adalah teorema terbalik yang memiliki teorema langsung yang dibuktikan dengan metode matematika biasa. Dalam hal ini dapat dibuktikan dengan kontradiksi. Dan karena ini adalah teorema langsung, pembuktiannya tidak harus didasarkan pada metode logis dari pembuktian dengan kontradiksi, tetapi pada metode matematika biasa.

Menurut D. Abrarov, Akademisi V. I. Arnold, matematikawan Rusia kontemporer paling terkenal, bereaksi terhadap bukti Wiles "secara aktif skeptis". Akademisi itu berkata: "ini bukan matematika nyata - matematika nyata adalah geometris dan memiliki hubungan yang kuat dengan fisika." Pernyataan akademisi tersebut mengungkapkan esensi dari bukti non-matematis Wiles dari Teorema Terakhir Fermat.

Dengan kontradiksi, tidak mungkin untuk membuktikan bahwa persamaan Teorema Terakhir Fermat tidak memiliki solusi, atau memiliki solusi. Kesalahan Wiles bukanlah matematis, tetapi logis - penggunaan bukti dengan kontradiksi di mana penggunaannya tidak masuk akal dan tidak membuktikan Teorema Terakhir Fermat.

Teorema Terakhir Fermat juga tidak dibuktikan menggunakan metode matematika biasa jika mengandung diberikan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif, dan jika diperlukan untuk membuktikan: persamaan x n + y n = z n , di mana n > 2 , tidak memiliki solusi dalam bilangan bulat positif. Dalam bentuk ini, tidak ada teorema, tetapi tautologi tanpa makna.

Pelajaran ini dirancang untuk 2 akademi. jam.

Target: mempelajari berbagai metode pembuktian (penalaran langsung, metode "dengan kontradiksi" dan penalaran terbalik), menggambarkan metodologi penalaran. Pertimbangkan metode induksi matematika.

Metode pembuktian materi teoritis

Saat membuktikan teorema, penalaran logis digunakan. Bukti dalam ilmu komputer merupakan bagian integral dari memeriksa kebenaran algoritma. Kebutuhan akan bukti muncul ketika kita perlu menetapkan kebenaran pernyataan dalam bentuk (AB). Ada beberapa jenis bukti standar, antara lain sebagai berikut:

Penalaran langsung (bukti).

Kami berasumsi bahwa pernyataan A benar dan menunjukkan validitas B. Metode pembuktian ini mengecualikan situasi ketika A benar dan B salah, karena dalam hal ini dan hanya dalam kasus inilah implikasi (AB) diambil. nilai yang salah (lihat Tabel).

Jadi, pembuktian langsung berangkat dari mempertimbangkan argumen untuk membuktikan tesis, yaitu kebenaran tesis secara langsung didukung oleh argumen. Skema pembuktian ini adalah sebagai berikut: dari argumen-argumen yang diberikan (a,b,c,...) tesis yang dapat dibuktikan harus mengikuti q.

Jenis pembuktian ini dilakukan dalam praktik peradilan, dalam sains, dalam kontroversi, dalam tulisan-tulisan anak sekolah, dalam penyajian materi oleh seorang guru, dll.

Contoh:

1. Guru dalam pelajaran dengan pembuktian langsung tesis “Rakyat adalah pencipta sejarah”, menunjukkan; Pertama-tama bahwa manusia adalah pencipta kekayaan materi, Kedua, memperkuat peran besar massa rakyat dalam politik, menjelaskan bagaimana di era modern rakyat secara aktif memperjuangkan perdamaian dan demokrasi, ketiga, mengungkapkan perannya yang besar dalam penciptaan budaya spiritual.

2. Dalam pelajaran kimia, bukti langsung dari gula yang mudah terbakar dapat disajikan dalam bentuk silogisme kategoris: Semua karbohidrat mudah terbakar. Gula adalah karbohidrat. Gula mudah terbakar.

Di majalah mode modern "Burda", tesis "Kecemburuan adalah akar dari semua kejahatan" dibuktikan dengan bantuan bukti langsung dengan argumen berikut: "Kecemburuan tidak hanya meracuni kehidupan sehari-hari orang, tetapi juga dapat menyebabkan konsekuensi yang lebih serius. , oleh karena itu, bersama dengan kecemburuan, kemarahan dan kebencian, tidak diragukan lagi salah satu sifat karakter terburuk. Merayap tanpa terasa, kecemburuan sangat menyakitkan dan dalam. Seseorang iri pada kesejahteraan orang lain, menderita karena kesadaran bahwa seseorang lebih beruntung.

2. Penalaran terbalik(bukti) . Kami berasumsi bahwa pernyataan B salah dan menunjukkan kekeliruan A. Artinya, sebenarnya, kami langsung memeriksa kebenaran implikasi ((bukan B) (bukan A)), yang, menurut tabel, secara logis setara dengan kebenaran pernyataan awal (A B).

3. Metode "dengan kontradiksi".

Metode ini sering digunakan dalam matematika. Biarlah sebuah- tesis atau teorema yang harus dibuktikan. Kami berasumsi dengan kontradiksi bahwa sebuah salah, yaitu benar tidak(atau ). Dari asumsi kami menyimpulkan konsekuensi yang bertentangan dengan kenyataan atau teorema yang telah terbukti sebelumnya. Kita punya
, di mana - salah, oleh karena itu, negasinya benar, yaitu. , yang menurut hukum logika klasik bernilai dua ( →sebuah) memberikan sebuah. Jadi itu benar sebuah, yang harus dibuktikan.

Ada banyak contoh pembuktian “dengan kontradiksi” dalam pelajaran matematika sekolah. Jadi, misalnya, teorema dibuktikan bahwa dari sebuah titik yang terletak di luar garis lurus, hanya satu tegak lurus yang dapat dijatuhkan ke garis lurus ini. Dengan kontradiksi, teorema berikut juga dibuktikan: "Jika dua garis tegak lurus pada bidang yang sama, maka keduanya sejajar." Bukti teorema ini dimulai langsung dengan kata-kata: “Asumsikan sebaliknya, yaitu, bahwa garis AB dan CD tidak sejajar."