Untuk menggunakan pratinjau presentasi, buat akun Google (akun) dan masuk: https://accounts.google.com

Teks slide:

Pratinjau:

Subjek

Deret aritmatika

SASARAN :

• mengajar mengenali deret aritmatika, menggunakan definisi dan tandanya;
• mengajar memecahkan masalah menggunakan definisi, tanda, rumus anggota umum deret.

TUJUAN PELAJARAN:

memberikan definisi barisan aritmatika, membuktikan tanda barisan aritmatika dan mengajarkan bagaimana menerapkannya dalam memecahkan masalah.

METODE PENGAJARAN:

aktualisasi pengetahuan siswa, kerja mandiri, kerja individu, penciptaan situasi masalah.

TEKNOLOGI MODERN:

TIK, pembelajaran berbasis masalah, pembelajaran terdiferensiasi, teknologi hemat kesehatan.

RENCANA BELAJAR

	Tahapan pelajaran.	Waktu pelaksanaan.
	Mengatur waktu.	2 menit
	Pengulangan masa lalu	5 menit
	Mempelajari materi baru	15 menit
	menit pendidikan jasmani	3 menit
	Menyelesaikan tugas pada topik	15 menit
	Pekerjaan rumah	2 menit
	Meringkas	3 menit

SELAMA KELAS:

1. Dalam pelajaran terakhir, kami berkenalan dengan konsep "Urutan".

Hari ini kita akan terus mempelajari urutan angka, menentukan beberapa di antaranya, berkenalan dengan properti dan fiturnya.

1. Jawab pertanyaan: Apa itu barisan?

Apa saja urutannya?

Bagaimana Anda bisa mengatur urutan?

Apa itu barisan bilangan?

Apa cara menentukan urutan numerik yang Anda ketahui? Rumus apa yang disebut rekursif?

1. Urutan nomor diberikan:

1. 1, 2, 3, 4, 5, …
2. 2, 5, 8, 11, 14,…
3. 8, 6, 4, 2, 0, - 2, …
4. 0,5; 1; 1,5; 2; 2,5; …

Temukan pola di setiap urutan dan beri nama tiga anggota berikutnya dari masing-masing.

1. a n = a n -1 +1
2. a n \u003d a n -1 + 3
3. a n = a n -1 + (-2)
4. a n \u003d a n -1 + 0,5

Namakan rumus rekursif untuk setiap barisan.

geser 1

Barisan numerik, yang setiap anggotanya, mulai dari yang kedua, sama dengan anggota sebelumnya, ditambahkan ke nomor yang sama, disebut deret aritmatika.

Bilangan d disebut selisih dari suatu barisan aritmatika.

Deret aritmatika adalah barisan numerik, sehingga dapat meningkat, menurun, konstan. Berikan contoh barisan tersebut, sebutkan perbedaan dari setiap barisan, buatlah kesimpulan.

Kami memperoleh rumus untuk istilah umum dari deret aritmatika.

Di papan tulis: biarkan a 1 adalah anggota pertama dari perkembangan, d adalah selisihnya, maka

a 2 \u003d a 1 + d

a 3 \u003d (a 1 + d) + d \u003d a 1 + 2d

a 4 \u003d (a 1 + 2d) + d \u003d a 1 + 3d

a 5 \u003d (a 1 + 3d) + d \u003d a 1 + 4d

a n \u003d a 1 + d (n-1) - rumus anggota ke-n dari deret aritmatika.

Memecahkan masalah: Dalam deret aritmatika, suku pertamanya adalah 5, dan selisihnya adalah 4.

Tentukan suku ke-22 dari deret ini.

Siswa memutuskan di papan tulis: a n =a 1 +d(n-1)

A 22 \u003d a 1 + 21d \u003d 5 + 21 * 4 \u003d 89

Fizkultminutka.

Kita bangun.

Tangan di sabuk. Miringkan kiri, kanan, (2 kali);

Miringkan ke depan, ke belakang (2 kali);

Angkat tangan ke atas, ambil napas dalam-dalam, turunkan tangan ke bawah, hembuskan. (2 kali)

Mereka berjabat tangan. Terima kasih.

Duduk. Kami melanjutkan pelajaran.

Kami memecahkan masalah pada penerapan rumus suku umum deret aritmatika.

Siswa diberikan tugas-tugas berikut:

1. Dalam barisan aritmatika, suku pertamanya adalah -2, d=3, a n=118.

Temukan n.

1. Dalam barisan aritmatika, suku pertama adalah 7, suku kelima belas adalah -35. Temukan perbedaan.
2. Diketahui bahwa dalam barisan aritmatika d=-2, a39=83. Carilah suku pertama dari progresi tersebut.

Para siswa dibagi menjadi beberapa kelompok. Tugas diberikan selama 5 menit. Kemudian 3 siswa pertama yang memecahkan masalah menyelesaikannya di papan tulis. Solusinya digandakan pada slide.

Pertimbangkan sifat-sifat karakteristik dari deret aritmatika.

Dalam deret aritmatika

a n -d=a (n-1)

n+d=a (n+1)

Kami menambahkan dua persamaan ini istilah demi istilah, kami mendapatkan: 2а n=a(n+1)+a(n-1)

A n =(a (n+1) +a (n-1 ))/2

Ini berarti bahwa setiap anggota deret aritmatika, kecuali yang pertama dan terakhir, sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan berikutnya.

DALIL:

Barisan numerik adalah barisan aritmatika jika dan hanya jika masing-masing anggotanya, kecuali yang pertama (dan terakhir, dalam kasus barisan hingga), sama dengan rata-rata aritmatika dari anggota sebelumnya dan berikutnya (sifat karakteristik dari deret aritmatika).

Memahami banyak topik dalam matematika dan fisika dikaitkan dengan pengetahuan tentang sifat-sifat deret bilangan. Anak-anak sekolah di kelas 9, ketika mempelajari subjek "Aljabar", pertimbangkan salah satu urutan angka yang penting - perkembangan aritmatika. Mari kita berikan rumus dasar deret aritmatika (Kelas 9), serta contoh penggunaannya untuk memecahkan masalah.

Deret aljabar atau aritmatika

Deret bilangan yang akan dibahas dalam artikel ini disebut dengan dua cara yang berbeda, disajikan dalam judul paragraf ini. Jadi, deret aritmatika dalam matematika dipahami sebagai deret bilangan di mana setiap dua angka yang berdiri bersebelahan berbeda dengan jumlah yang sama, yang disebut selisih. Angka-angka dalam deret seperti itu biasanya dilambangkan dengan huruf-huruf dengan indeks bilangan bulat yang lebih rendah, misalnya a1, a2, a3, dan seterusnya, di mana indeks menunjukkan jumlah elemen deret tersebut.

Mengingat definisi deret aritmatika di atas, persamaan berikut dapat ditulis: a2-a1 =...=an-an-1=d, di sini d adalah selisih dari deret aljabar dan n adalah sembarang bilangan bulat. Jika d>0, maka kita dapat mengharapkan bahwa setiap suku berikutnya dari deret tersebut akan lebih besar dari suku sebelumnya, dalam hal ini kita berbicara tentang suatu kemajuan yang meningkat. jika d

Rumus deret aritmatika (kelas 9)

Deret bilangan yang dipertimbangkan, karena teratur dan mematuhi hukum matematika tertentu, memiliki dua sifat yang penting untuk penggunaannya:

Pertama, mengetahui hanya dua angka a1 dan d, Anda dapat menemukan anggota barisan mana pun. Ini dilakukan dengan menggunakan rumus berikut: an = a1+(n-1)*d.

Kedua, untuk menghitung jumlah n suku pertama, tidak perlu menjumlahkannya secara berurutan, karena Anda dapat menggunakan rumus berikut: Sn = n*(an+a1)/2.

Rumus pertama mudah dipahami, karena merupakan konsekuensi langsung dari fakta bahwa setiap anggota deret yang dipertimbangkan berbeda dari tetangganya dengan perbedaan yang sama.

Rumus kedua untuk barisan aritmatika dapat diperoleh dengan memperhatikan bahwa jumlah a1+an sama dengan jumlah a2+an-1, a3+an-2, dan seterusnya. Memang, karena a2 = d+a1, an-2 = -2*d+an, a3 = 2*d+a1, dan an-1 = -d+an, maka substitusikan ekspresi ini ke dalam jumlah yang sesuai, kita dapatkan mereka akan sama. Faktor n/2 dalam rumus ke-2 (untuk Sn) muncul karena fakta bahwa ada tepat n/2 jumlah bertipe ai+1+an-i, di sini i adalah bilangan bulat yang berkisar dari 0 hingga n/2- satu .

Menurut bukti sejarah yang masih ada, rumus jumlah Sn pertama kali diperoleh oleh Karl Gauss (ahli matematika terkenal Jerman) ketika ia diberi tugas oleh seorang guru sekolah untuk menjumlahkan 100 bilangan pertama.

Contoh Soal #1: Temukan Perbedaannya

Tugas yang mengajukan pertanyaan sebagai berikut: mengetahui rumus deret aritmatika, cara mencari q (d), adalah yang paling sederhana yang hanya dapat dilakukan untuk topik ini.

Berikut ini contohnya: diberikan barisan numerik -5, -2, 1, 4, ..., perlu untuk menentukan perbedaannya, yaitu, d.

Untuk melakukan ini semudah mengupas pir: Anda perlu mengambil dua elemen dan mengurangi yang lebih kecil dari yang lebih besar. Dalam hal ini, kita memiliki: d = -2 - (-5) = 3.

Untuk memastikan jawaban yang diterima, disarankan untuk memeriksa perbedaan yang tersisa, karena urutan yang disajikan mungkin tidak memenuhi kondisi perkembangan aljabar. Kami memiliki: 1-(-2)=3 dan 4-1=3. Data ini menunjukkan bahwa kami mendapatkan hasil yang benar (d=3) dan membuktikan bahwa deret angka dalam pernyataan masalah memang merupakan deret aljabar.

Contoh Soal #2: Temukan Perbedaannya Dengan Mengetahui Dua Suku Derajat

Pertimbangkan masalah menarik lainnya, yang diajukan oleh pertanyaan tentang bagaimana menemukan perbedaannya. Rumus deret aritmatika dalam hal ini harus digunakan untuk suku ke-n. Jadi, tugas: diberikan angka pertama dan kelima dari deret yang sesuai dengan semua sifat deret aljabar, misalnya, ini adalah angka a1 = 8 dan a5 = -10. Bagaimana mencari perbedaan d?

Anda harus mulai memecahkan masalah ini dengan menulis bentuk umum rumus untuk elemen ke-n: an = a1+d*(-1+n). Sekarang Anda dapat melakukannya dengan dua cara: gantikan angka-angka itu segera dan kerjakan dengan mereka, atau nyatakan d, lalu lanjutkan ke a1 dan a5 tertentu. Mari kita gunakan metode terakhir, kita mendapatkan: a5 = a1+d*(-1+5) atau a5 = 4*d+a1, yang menyiratkan bahwa d = (a5-a1)/4. Sekarang Anda dapat dengan aman mengganti data yang diketahui dari kondisi dan mendapatkan jawaban akhir: d = (-10-8)/4 = -4.5.

Perhatikan bahwa dalam hal ini perbedaan perkembangan ternyata negatif, yaitu, ada urutan angka yang menurun. Penting untuk memperhatikan fakta ini saat menyelesaikan masalah agar tidak membingungkan tanda "+" dan "-". Semua rumus di atas bersifat universal, jadi harus selalu diikuti terlepas dari tanda angka yang digunakan untuk operasi.

Contoh penyelesaian masalah No. 3: temukan a1, mengetahui perbedaan dan elemennya

Mari kita ubah sedikit kondisi masalahnya. Misalkan ada dua bilangan: selisih d=6 dan unsur ke-9 dari barisan a9 = 10. Bagaimana mencari a1? Rumus deret aritmatika tetap tidak berubah, kami akan menggunakannya. Untuk bilangan a9 kita memiliki ekspresi berikut: a1+d*(9-1) = a9. Dari mana kita dapat dengan mudah mendapatkan elemen pertama dari deret: a1 = a9-8*d = 10 - 8*6 = -38.

Contoh penyelesaian masalah #4: temukan a1, ketahui dua elemen

Versi masalah ini adalah versi rumit dari yang sebelumnya. Esensinya sama, perlu untuk menghitung a1, tetapi sekarang perbedaan d tidak diketahui, dan elemen lain dari perkembangan diberikan sebagai gantinya.

Contoh soal jenis ini adalah sebagai berikut: temukan bilangan pertama dalam barisan yang diketahui sebagai barisan aritmatika dan yang elemen ke-15 dan ke-23nya masing-masing adalah 7 dan 12.

Soal ini perlu diselesaikan dengan menulis ekspresi suku ke-n untuk setiap elemen yang diketahui dari kondisinya, kita mendapatkan: a15 = d*(15-1)+a1 dan a23 = d*(23-1)+a1. Seperti yang Anda lihat, kami telah menerima dua persamaan linier yang perlu diselesaikan sehubungan dengan a1 dan d. Mari kita lakukan ini: kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, maka kita mendapatkan ekspresi berikut: a23-a15 = 22*d - 14*d = 8*d. Dalam menurunkan persamaan terakhir, nilai a1 dihilangkan karena hilang saat dikurangi. Mengganti data yang diketahui, kita menemukan perbedaannya: d = (a23-a15)/8 = (12-7)/8 = 0,625.

Nilai d harus disubstitusikan ke dalam rumus apa pun untuk elemen yang diketahui untuk mendapatkan anggota pertama barisan: a15 = 14*d+a1, dari mana: a1=a15-14*d = 7-14*0.625 = -1.75.

Mari kita periksa hasilnya, untuk ini kita menemukan a1 melalui ekspresi kedua: a23 = d*22+a1 atau a1 = a23-d*22 = 12 - 0,625*22 = -1,75.

Contoh penyelesaian masalah No. 5: temukan jumlah n elemen

Seperti yang Anda lihat, hingga saat ini, hanya satu rumus deret aritmatika (Kelas 9) yang digunakan untuk solusinya. Sekarang kami menyajikan masalah yang solusinya perlu kita ketahui rumus kedua, yaitu untuk jumlah Sn.

Diberikan deret bilangan berurutan berikut -1.1, -2.1, -3.1,..., Anda perlu menghitung jumlah 11 elemen pertamanya.

Dari deret ini terlihat bahwa semakin menurun, dan a1 = -1.1. Selisihnya adalah: d = -2.1 - (-1.1) = -1. Sekarang mari kita definisikan suku ke-11: a11 = 10*d + a1 = -10 + (-1.1) = -11.1. Setelah menyelesaikan perhitungan persiapan, Anda dapat menggunakan rumus di atas untuk jumlah, kami memiliki: S11 \u003d 11 * (-1.1 + (-11.1)) / 2 \u003d -67.1. Karena semua suku adalah bilangan negatif, jumlah mereka juga memiliki tanda yang sesuai.

Contoh penyelesaian soal No. 6: cari jumlah elemen dari n ke m

Mungkin jenis masalah ini adalah yang paling sulit bagi sebagian besar siswa. Mari kita berikan contoh tipikal: mengingat serangkaian angka 2, 4, 6, 8 ..., Anda perlu menemukan jumlah dari suku ke-7 hingga ke-13.

Rumus perkembangan aritmatika (Kelas 9) digunakan persis sama seperti di semua tugas sebelumnya. Tugas ini direkomendasikan untuk diselesaikan secara bertahap:

Pertama, cari jumlah 13 suku menggunakan rumus standar.

Kemudian hitung jumlah ini untuk 6 elemen pertama.

Kemudian kurangi yang ke-2 dari jumlah ke-1.

Mari kita ke solusinya. Seperti pada kasus sebelumnya, kita akan melakukan perhitungan persiapan: a6 = 5*d+a1 = 10+2 = 12, a13 = 12*d+a1 = 24+2 = 26.

Mari kita hitung dua jumlah: S13 = 13*(2+26)/2 = 182, S6 = 6*(2+12)/2 = 42. Ambil selisihnya dan dapatkan jawaban yang diinginkan: S7-13 = S13 - S6 = 182-42 = 140. Perhatikan bahwa ketika memperoleh nilai ini, jumlah 6 elemen dari perkembangan yang digunakan sebagai pengurangan, karena suku ke-7 termasuk dalam jumlah S7-13.

Kelas: 9

Jenis pelajaran: pelajaran belajar materi baru.

Tujuan pelajaran: Pembentukan konsep barisan aritmatika sebagai salah satu jenis barisan, penurunan rumus anggota ke-n, pengenalan sifat-sifat anggota barisan aritmatika. Penyelesaian masalah.

Tujuan pelajaran:

• pendidikan- memperkenalkan konsep deret aritmatika; rumus anggota ke-n; properti karakteristik yang dimiliki anggota deret aritmatika.
• pendidikan- mengembangkan kemampuan membandingkan konsep matematika, menemukan persamaan dan perbedaan, kemampuan mengamati, memperhatikan pola, menalar dengan analogi; untuk membentuk kemampuan membangun dan menginterpretasikan model matematika dari beberapa situasi nyata.
• pendidikan- untuk mempromosikan pengembangan minat dalam matematika dan aplikasinya, aktivitas, kemampuan untuk berkomunikasi, dan mempertahankan pandangan seseorang dengan alasan.

Peralatan: komputer, proyektor multimedia, presentasi (Lampiran 1)

Buku Teks: Aljabar 9, Yu.N.

Rencana belajar:

1. Momen organisasi, pengaturan tugas
2. Aktualisasi pengetahuan, karya lisan
3. Mempelajari materi baru
4. Pengikat utama
5. Menyimpulkan pelajaran
6. Pekerjaan rumah

Untuk meningkatkan visibilitas dan kenyamanan bekerja dengan materi, pelajaran disertai dengan presentasi. Namun, ini bukan prasyarat, dan pelajaran yang sama dapat diadakan di ruang kelas yang tidak dilengkapi dengan peralatan multimedia. Untuk melakukan ini, data yang diperlukan dapat disiapkan di papan tulis atau dalam bentuk tabel dan poster.

Selama kelas

I. Momen organisasi, pengaturan tugas.

Salam pembuka.

Topik pelajaran hari ini adalah deret aritmatika. Dalam pelajaran ini, kita akan mempelajari apa itu barisan aritmatika, apa bentuk umumnya, mencari tahu bagaimana membedakan barisan aritmatika dari barisan lain, dan memecahkan masalah yang menggunakan sifat-sifat barisan aritmatika.

II. Aktualisasi pengetahuan, karya lisan.

Urutan () diberikan oleh rumus: =. Berapa jumlah anggota barisan ini jika sama dengan 144? 225? 100? Apakah bilangan 48 anggota barisan ini? 49? 168?

Diketahui barisan ( ) bahwa , . Apa yang disebut urutan seperti ini? Temukan empat suku pertama dari barisan ini.

Diketahui tentang barisan ( ) bahwa . Apa yang disebut urutan seperti ini? Temukan jika?

AKU AKU AKU. Mempelajari materi baru.

Progresi - urutan nilai, yang masing-masing memiliki kesamaan dengan keseluruhan progresi, tergantung pada yang sebelumnya. Istilah ini sekarang sebagian besar sudah usang dan hanya muncul dalam kombinasi "perkembangan aritmatika" dan "perkembangan geometris".

Istilah "kemajuan" berasal dari bahasa Latin (kemajuan, yang berarti "bergerak maju") dan diperkenalkan oleh penulis Romawi Boethius (abad ke-6). Istilah dalam matematika ini digunakan untuk merujuk pada urutan angka apa pun yang dibangun menurut hukum semacam itu yang memungkinkan urutan ini berlanjut tanpa batas dalam satu arah. Saat ini, istilah "kemajuan" dalam arti luas aslinya tidak digunakan. Dua jenis progresi tertentu yang penting - aritmatika dan geometrik - telah mempertahankan namanya.

Pertimbangkan urutan angka:

• 2, 6, 10, 14, 18, :.
• 11, 8, 5, 2, -1, :.
• 5, 5, 5, 5, 5, :.

Apa suku ketiga dari barisan pertama? Anggota selanjutnya? Anggota sebelumnya? Apa perbedaan antara suku kedua dan pertama? Anggota ketiga dan kedua? Keempat dan ketiga?

Jika barisan dibangun menurut satu hukum, apa perbedaan antara anggota keenam dan kelima dari barisan pertama? Antara ketujuh dan keenam?

Sebutkan dua anggota berikutnya dari setiap barisan. Mengapa Anda berpikir begitu?

(Jawaban siswa)

Properti umum apa yang dimiliki oleh urutan ini? Nyatakan properti ini.

(Jawaban siswa)

Barisan numerik yang memiliki sifat ini disebut barisan aritmatika. Ajaklah siswa untuk mencoba merumuskan definisi itu sendiri.

Definisi barisan aritmatika: barisan aritmatika adalah barisan di mana setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan yang sebelumnya, ditambah dengan angka yang sama:

( adalah barisan aritmatika jika , Dimana adalah suatu bilangan.

Nomor d, menunjukkan berapa banyak anggota berikutnya dari urutan berbeda dari yang sebelumnya, disebut perbedaan perkembangan: .

Mari kita lihat lagi urutannya dan bicarakan perbedaannya. Fitur apa yang dimiliki setiap urutan dan dengan apa mereka terkait?

Jika dalam suatu barisan aritmatika selisihnya positif, maka barisan tersebut bertambah: 2, 6, 10, 14, 18, :. (

Jika pada suatu barisan aritmatika selisihnya negatif ( , maka barisan tersebut menurun: 11, 8, 5, 2, -1, :. (

Jika selisihnya nol () dan semua anggota barisan sama dengan bilangan yang sama, barisan tersebut disebut stasioner: 5, 5, 5, 5, :.

Bagaimana cara mengatur deret aritmatika? Pertimbangkan masalah berikut.

Tugas. Ada 50 ton batubara di gudang pada tanggal 1. Setiap hari selama sebulan, sebuah truk dengan 3 ton batubara tiba di gudang. Berapa banyak batubara yang akan berada di gudang pada tanggal 30, jika batubara dari gudang belum dikonsumsi selama ini.

Jika kita menuliskan jumlah batubara di gudang setiap nomor, kita mendapatkan deret aritmatika. Bagaimana cara mengatasi masalah ini? Apakah benar-benar perlu menghitung jumlah batu bara pada setiap hari dalam sebulan? Apakah mungkin entah bagaimana melakukannya tanpanya? Kami mencatat bahwa sebelum tanggal 30, 29 truk dengan batu bara akan datang ke gudang. Jadi, pada tanggal 30 akan ada stok 50+329=137 ton batu bara.

Jadi, hanya mengetahui anggota pertama dari deret aritmatika dan selisihnya, kita dapat menemukan anggota barisan mana pun. Apakah selalu seperti ini?

Mari kita analisis bagaimana setiap anggota barisan bergantung pada anggota pertama dan perbedaannya:

Dengan demikian, kami telah memperoleh rumus untuk anggota ke-n dari deret aritmatika.

Contoh 1 Barisan () adalah barisan aritmatika. Cari jika dan .

Kami menggunakan rumus untuk suku ke-n ,

Jawaban: 260.

Pertimbangkan masalah berikut:

Dalam deret aritmatika, anggota genap ternyata ditimpa: 3, :, 7, :, 13: Apakah mungkin untuk mengembalikan angka yang hilang?

Siswa cenderung pertama-tama menghitung perbedaan perkembangan dan kemudian menemukan suku-suku yang tidak diketahui dari perkembangan tersebut. Kemudian Anda dapat mengundang mereka untuk menemukan hubungan antara anggota urutan yang tidak diketahui, yang sebelumnya dan yang berikutnya.

Keputusan: Mari kita gunakan fakta bahwa dalam deret aritmatika perbedaan antara suku-suku bertetangga adalah konstan. Membiarkan menjadi anggota yang diinginkan dari urutan. Kemudian

.

Komentar. Sifat deret aritmatika ini adalah sifat karakteristiknya. Ini berarti bahwa dalam setiap deret aritmatika, setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari sebelumnya dan berikutnya ( . Dan, sebaliknya, setiap barisan di mana setiap suku, mulai dari yang kedua, sama dengan rata-rata aritmatika dari sebelumnya dan berikutnya, adalah deret aritmatika.

IV. Pengikatan primer.

• No. 575 ab - secara lisan
• No. 576 awd - secara lisan
• No. 577b - independen dengan verifikasi

Urutan (- deret aritmatika. Temukan jika dan

Mari kita gunakan rumus anggota ke-n,

Jawaban: -24.2.

Temukan anggota ke-23 dan ke-n dari deret aritmatika -8; -6.5; :

Keputusan: Suku pertama barisan aritmatika adalah -8. Mari kita cari perbedaan dari barisan aritmatika, untuk ini perlu untuk mengurangi anggota barisan sebelumnya dari anggota barisan berikutnya: -6.5-(-8)=1.5.

Mari kita gunakan rumus suku ke-n:

Tentukan suku pertama dari barisan aritmatika () jika .

Mari kita ingat awal pelajaran kita, teman-teman. Apakah Anda berhasil mempelajari sesuatu yang baru selama pelajaran hari ini, untuk membuat beberapa penemuan? Apa tujuan pelajaran? Apakah Anda pikir kami telah mencapai tujuan kami?

Pekerjaan rumah.

Rincian 25, No. 578a, No. 580b, No. 582, No. 586a, No. 601a.

Tugas kreatif untuk siswa yang kuat: Buktikan bahwa dalam deret aritmatika untuk bilangan apa pun sehingga k persamaan dan .

Terima kasih atas pelajarannya teman-teman. Anda telah bekerja keras hari ini.

Matematika memiliki keindahannya sendiri, seperti halnya lukisan dan puisi.

Ilmuwan Rusia, mekanik N.E. Zhukovsky

Tugas yang sangat umum dalam tes masuk matematika adalah tugas yang berkaitan dengan konsep deret aritmatika. Untuk berhasil memecahkan masalah seperti itu, perlu mengetahui sifat-sifat deret aritmatika dengan baik dan memiliki keterampilan tertentu dalam penerapannya.

Mari kita ingat dulu sifat-sifat utama dari deret aritmatika dan menyajikan formula yang paling penting, terkait dengan konsep ini.

Definisi. Urutan numerik, di mana setiap istilah berikutnya berbeda dari yang sebelumnya dengan nomor yang sama, disebut barisan aritmatika. Pada saat yang sama, nomordisebut selisih perkembangan.

Untuk deret aritmatika, rumusnya valid

, (1)

di mana . Rumus (1) disebut rumus suku umum dari barisan aritmatika, dan rumus (2) adalah sifat utama dari barisan aritmatika: setiap anggota barisan bertepatan dengan rata-rata aritmatika anggota tetangganya dan .

Perhatikan bahwa justru karena properti inilah perkembangan yang sedang dipertimbangkan disebut "aritmatika".

Rumus (1) dan (2) di atas diringkas sebagai berikut:

(3)

Untuk menghitung jumlah pertama anggota barisan aritmatikarumus yang biasanya digunakan

(5) dimana dan .

Jika kita memperhitungkan rumus (1), maka rumus (5) menyiratkan

Jika kita menunjuk

di mana . Karena , maka rumus (7) dan (8) adalah generalisasi dari rumus (5) dan (6) yang bersesuaian.

Secara khusus , dari rumus (5) berikut ini, Apa

Di antara yang sedikit diketahui oleh sebagian besar siswa adalah sifat deret aritmatika, yang dirumuskan melalui teorema berikut.

Dalil. Jika kemudian

Bukti. Jika kemudian

Teorema telah terbukti.

Sebagai contoh , menggunakan teorema, dapat ditunjukkan bahwa

Mari beralih ke pertimbangan contoh tipikal penyelesaian masalah pada topik "Perkembangan aritmatika".

Contoh 1 Biarkan dan . Mencari .

Keputusan. Menerapkan rumus (6), kami memperoleh . Sejak dan , maka atau .

Contoh 2 Biarkan tiga kali lebih banyak, dan ketika membagi dengan hasil bagi, ternyata 2 dan sisanya adalah 8. Tentukan dan.

Keputusan. Sistem persamaan mengikuti dari kondisi contoh

Karena , , dan , maka dari sistem persamaan (10) diperoleh

Solusi dari sistem persamaan ini adalah dan .

Contoh 3 Cari jika dan .

Keputusan. Menurut rumus (5), kita memiliki atau . Namun, dengan menggunakan properti (9), kami memperoleh .

Sejak dan , maka dari persamaan persamaan berikut atau .

Contoh 4 Temukan jika .

Keputusan.Dengan rumus (5) kita memiliki

Namun, dengan menggunakan teorema, seseorang dapat menulis

Dari sini dan dari rumus (11) kita peroleh .

Contoh 5. Diberikan: . Mencari .

Keputusan. Dari dulu . Namun, oleh karena itu.

Contoh 6 Biarkan , dan . Mencari .

Keputusan. Dengan menggunakan rumus (9), kita peroleh . Oleh karena itu, jika , maka atau .

Sejak dan maka di sini kita memiliki sistem persamaan

Memecahkan yang, kita dapatkan dan .

Akar alami persamaan adalah .

Contoh 7 Cari jika dan .

Keputusan. Karena menurut rumus (3) kita memiliki , maka sistem persamaan mengikuti dari kondisi masalah

Jika kita mengganti ekspresike persamaan kedua sistem, maka diperoleh atau .

Akar persamaan kuadrat adalah dan .

Mari kita pertimbangkan dua kasus.

1. Biarkan , maka . Sejak dan , maka .

Dalam hal ini, menurut rumus (6), kita memiliki

2. Jika , maka , dan

Jawaban: dan.

Contoh 8 Diketahui bahwa dan Mencari .

Keputusan. Dengan mempertimbangkan rumus (5) dan kondisi contoh, kami menulis dan .

Ini menyiratkan sistem persamaan

Jika kita mengalikan persamaan pertama sistem dengan 2, dan kemudian menambahkannya ke persamaan kedua, kita mendapatkan

Menurut rumus (9), kita memiliki. Sehubungan dengan itu, dari (12) berikut ini: atau .

Sejak dan , maka .

Menjawab: .

Contoh 9 Cari jika dan .

Keputusan. Sejak , dan dengan kondisi , maka atau .

Dari rumus (5) diketahui, Apa . Dari dulu .

Karena itu , di sini kita memiliki sistem persamaan linier

Dari sini kita dapatkan dan . Dengan mempertimbangkan rumus (8), kami menulis .

Contoh 10 Memecahkan persamaan.

Keputusan. Ini mengikuti dari persamaan yang diberikan bahwa . Mari kita asumsikan bahwa , , dan . Pada kasus ini .

Menurut rumus (1), kita dapat menulis atau .

Karena , persamaan (13) memiliki akar unik yang cocok .

Contoh 11. Temukan nilai maksimum asalkan dan .

Keputusan. Karena , maka barisan aritmatika yang dianggap turun. Dalam hal ini, ekspresi mengambil nilai maksimum ketika itu adalah jumlah anggota positif minimum dari perkembangan.

Kami menggunakan rumus (1) dan fakta, yang dan . Kemudian kita mendapatkan itu atau .

Karena , maka atau . Namun, dalam ketidaksetaraan inibilangan asli terbesar, Itu sebabnya .

Jika nilai , dan disubstitusikan ke rumus (6), maka kita peroleh .

Menjawab: .

Contoh 12. Temukan jumlah semua bilangan asli dua digit yang, jika dibagi dengan 6, memiliki sisa 5.

Keputusan. Dilambangkan dengan himpunan semua bilangan asli bernilai dua, mis. . Selanjutnya, kita membangun subset yang terdiri dari elemen-elemen (angka) dari himpunan yang, ketika dibagi dengan angka 6, memberikan sisa 5.

Mudah dipasang, Apa . Jelas sekali , bahwa elemen-elemen himpunanmembentuk barisan aritmatika, di mana dan .

Untuk menentukan kardinalitas (jumlah elemen) dari himpunan, kita asumsikan bahwa . Sejak dan , maka rumus (1) menyiratkan atau . Dengan memperhatikan rumus (5), kita peroleh .

Contoh-contoh pemecahan masalah di atas sama sekali tidak dapat diklaim lengkap. Artikel ini ditulis berdasarkan analisis metode modern untuk memecahkan masalah tipikal pada topik tertentu. Untuk studi yang lebih dalam tentang metode untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan deret aritmatika, disarankan untuk merujuk ke daftar literatur yang direkomendasikan.

1. Kumpulan tugas matematika untuk pelamar ke universitas teknik / Ed. M.I. Scanavi. - M.: Dunia dan Pendidikan, 2013. - 608 hal.

2. Suprun V.P. Matematika untuk siswa sekolah menengah: bagian tambahan dari kurikulum sekolah. – M.: Lenand / URSS, 2014. - 216 hal.

3. Medynsky M.M. Kursus lengkap matematika dasar dalam tugas dan latihan. Buku 2: Urutan Angka dan Progresi. – M.: Editus, 2015. - 208 hal.

Apakah Anda memiliki pertanyaan?

Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Subjek: Deret aritmatika dan geometrik

Kelas: 9

Sistem pelatihan: materi persiapan mempelajari suatu topik dalam aljabar dan tahap persiapan untuk lulus ujian OGE

Target: pembentukan konsep deret aritmatika dan geometrik

tugas: mengajar untuk membedakan antara jenis kemajuan, mengajar dengan benar, menggunakan rumus

Deret aritmatika sebutkan urutan angka (anggota perkembangan)

di mana setiap suku berikutnya berbeda dari suku sebelumnya dengan suku baja, yang juga disebut perbedaan langkah atau kemajuan.

Jadi, dengan menetapkan langkah dari perkembangan dan suku pertamanya, Anda dapat menemukan salah satu elemennya menggunakan rumus

1) Setiap anggota barisan aritmatika, mulai dari angka kedua, adalah rata-rata aritmatika dari anggota barisan sebelumnya dan selanjutnya

Kebalikannya juga benar. Jika rata-rata aritmatika anggota ganjil (genap) tetangga dari barisan sama dengan anggota yang berdiri di antara mereka, maka barisan bilangan ini adalah barisan aritmatika. Dengan pernyataan ini, sangat mudah untuk memeriksa urutan apa pun.

Juga oleh properti deret aritmatika, rumus di atas dapat digeneralisasikan sebagai berikut:

Ini mudah untuk memverifikasi jika kita menulis istilah di sebelah kanan tanda sama dengan

Ini sering digunakan dalam praktik untuk menyederhanakan perhitungan dalam masalah.

2) Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dihitung dengan rumus

Ingat dengan baik rumus untuk jumlah deret aritmatika, itu sangat diperlukan dalam perhitungan dan cukup umum dalam situasi kehidupan yang sederhana.

3) Jika Anda tidak perlu menemukan jumlah keseluruhan, tetapi bagian dari urutan mulai dari anggota ke-k, maka rumus jumlah berikut akan berguna bagi Anda

4) Kepentingan praktis adalah menemukan jumlah n anggota deret aritmatika yang dimulai dari bilangan ke-k. Untuk melakukan ini, gunakan rumus

Tentukan suku keempat puluh dari barisan aritmatika 4;7;...

Keputusan:

Sesuai dengan kondisi, kami memiliki

Tentukan langkah kemajuan

Menurut rumus terkenal, kami menemukan suku keempat puluh dari perkembangan

Deret aritmatika diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuh. Tentukan suku pertama dari deret dan jumlah sepuluh.

Keputusan:

Kami menulis elemen perkembangan yang diberikan sesuai dengan rumus

Suatu barisan aritmatika diberikan oleh penyebut dan salah satu anggotanya. Tentukan suku pertama dari deret tersebut, jumlah 50 sukunya dimulai dari 50 dan jumlah dari 100 pertama .

Keputusan:

Mari kita tulis rumus untuk elemen keseratus dari progresi

dan temukan yang pertama

Berdasarkan yang pertama, kami menemukan suku ke-50 dari perkembangan

Menemukan jumlah bagian dari progresi

dan jumlah dari 100 yang pertama

Jumlah barisan tersebut adalah 250. Tentukan jumlah anggota barisan aritmatika jika:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Keputusan:

Kami menulis persamaan dalam hal suku pertama dan langkah dari perkembangan dan mendefinisikannya

Kami mengganti nilai yang diperoleh ke dalam rumus jumlah untuk menentukan jumlah istilah dalam jumlah

Membuat penyederhanaan

dan selesaikan persamaan kuadrat

Dari dua nilai yang ditemukan, hanya angka 8 yang sesuai dengan kondisi soal. Jadi, jumlah delapan suku pertama dari barisan tersebut adalah 111.

selesaikan persamaannya

1+3+5+...+x=307.

Keputusan:

Persamaan ini adalah jumlah dari deret aritmatika. Kami menulis suku pertamanya dan menemukan perbedaan dari perkembangannya

Kami mengganti nilai yang ditemukan ke dalam rumus untuk jumlah perkembangan untuk menemukan jumlah suku

Seperti pada tugas sebelumnya, kami melakukan penyederhanaan dan menyelesaikan persamaan kuadrat

Pilih yang lebih logis dari dua nilai. Kami memiliki bahwa jumlah 18 anggota perkembangan dengan nilai yang diberikan a1=1, d=2 sama dengan Sn=307.

Contoh pemecahan masalah: Deret aritmatika

Tugas 1

Tim mahasiswa mengontrak untuk meletakkan ubin keramik di lantai di aula klub pemuda dengan luas 288m2. Memperoleh pengalaman, siswa setiap hari berikutnya, mulai dari yang kedua, ditata 2 m2 lebih dari yang sebelumnya, dan mereka memiliki cukup ubin untuk tepat 11 hari kerja. Merencanakan produktivitas meningkat dengan cara yang sama, mandor menentukan bahwa dibutuhkan 5 hari lagi untuk menyelesaikan pekerjaan. Berapa banyak kotak ubin yang harus dipesan jika 1 kotak cukup untuk 1,2 m2 lantai, dan 3 kotak diperlukan untuk mengganti ubin berkualitas rendah?

Keputusan

Dengan kondisi masalah, jelas bahwa kita berbicara tentang deret aritmatika di mana

a1=x, Sn=288, n=16

Kemudian kita menggunakan rumus: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0.86=200mm Hg. Seni.

288=(2x+2*15)*16/2

Hitung berapa m2 siswa akan lay out dalam 11 hari: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m 2

288-143=145m2 tersisa setelah 11 hari kerja, mis. selama 5 hari

145/1,2=121 (kurang-lebih) kotak perlu dipesan selama 5 hari.

121+3=124 kotak harus dipesan dengan cacat

Jawaban: 124 kotak

Tugas2

Setelah setiap gerakan piston pompa pengenceran, 20% udara di dalamnya dikeluarkan dari bejana. Mari kita tentukan tekanan udara di dalam bejana setelah enam gerakan piston, jika tekanan awalnya adalah 760 mm Hg. Seni.

Keputusan

Karena 20% dari udara yang tersedia dikeluarkan dari bejana setelah setiap gerakan piston, 80% dari udara tetap ada. Untuk mengetahui tekanan udara di dalam bejana setelah gerakan piston berikutnya, Anda perlu meningkatkan tekanan gerakan piston sebelumnya sebesar 0,8.

Kami memiliki barisan geometri yang suku pertamanya adalah 760 dan penyebutnya adalah 0,8. Angka yang menyatakan tekanan udara di dalam bejana (dalam mm Hg) setelah enam langkah piston adalah anggota ketujuh dari deret ini. Ini sama dengan 760*0,86=200mm Hg. Seni.

Jawab: 200 mmHg

Suatu barisan aritmatika diberikan, di mana suku kelima dan kesepuluh masing-masing sama dengan 38 dan 23. Temukan suku kelima belas dari barisan tersebut dan jumlah dari sepuluh suku pertamanya.

Keputusan:

Tentukan banyaknya suku dari barisan aritmatika 5,14,23,..., jika suku ke-nya sama dengan 239.

Keputusan:

Mencari banyaknya suku suatu barisan aritmatika adalah 9,12,15,..., jika jumlah nya 306.

Keputusan:

Temukan x yang bilangan x-1, 2x-1, x2-5 membentuk barisan aritmatika

Keputusan:

Temukan perbedaan antara 1 dan 2 anggota perkembangan:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Temukan perbedaan antara 2 dan 3 anggota perkembangan:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Karena selisihnya sama, maka syarat perkembangannya dapat disamakan:

Ketika diperiksa dalam kedua kasus, perkembangan aritmatika diperoleh

Jawaban: pada x=-1 dan x=4

Deret aritmatika diberikan oleh anggota ketiga dan ketujuh a3=5; a7 = 13. Tentukan suku pertama dari deret dan jumlah sepuluh.

Keputusan:

Kami mengurangi persamaan pertama dari persamaan kedua, sebagai hasilnya kami menemukan langkah perkembangan

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, jadi d=2

Nilai yang ditemukan diganti ke dalam salah satu persamaan untuk menemukan suku pertama dari deret aritmatika

Hitung jumlah sepuluh suku pertama dari perkembangan

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Jawaban: a1=1; S10 = 100

Dalam barisan aritmatika yang suku pertamanya -3,4 dan selisihnya 3, tentukan suku kelima dan kesebelasnya.

Jadi kita tahu bahwa a1 = -3.4; d = 3. Carilah: a5, a11-.

Keputusan. Untuk mencari anggota ke-n dari deret aritmatika, kita menggunakan rumus: an = a1+ (n – 1)d. Kita punya:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8.6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3,4 + 10 3 \u003d 26.6.

Seperti yang Anda lihat, dalam hal ini, solusinya tidak sulit.

Suku kedua belas dari barisan aritmatika adalah 74, dan selisihnya adalah -4. Temukan suku ke tiga puluh empat dari perkembangan ini.

Kita diberitahu bahwa a12 = 74; d = -4, dan Anda perlu menemukan a34-.

Dalam soal ini, tidak mungkin langsung menerapkan rumus an = a1 + (n – 1)d, karena suku pertama a1 tidak diketahui. Masalah ini dapat diselesaikan dalam beberapa langkah.

1. Menggunakan suku a12 dan rumus suku ke-n, kita menemukan a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, sekarang sederhanakan dan substitusikan d: a12 = a1 + 11 (-4). Dari persamaan ini kita menemukan a1: a1 = a12 - (-44);

Kami mengetahui suku kedua belas dari kondisi soal, jadi kami menghitung a1 tanpa masalah

a1 = 74 + 44 = 118. Mari kita lanjutkan ke langkah kedua - menghitung a34.

2. Sekali lagi, menurut rumus an = a1 + (n - 1)d, karena a1 sudah diketahui, kita akan menentukan a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Jawaban: Suku ke tiga puluh empat suatu barisan aritmatika adalah -14.

Seperti yang Anda lihat, solusi dari contoh kedua lebih rumit. Rumus yang sama digunakan dua kali untuk mendapatkan jawaban. Tapi semuanya begitu rumit. Solusinya dapat dipersingkat dengan menggunakan formula tambahan.

Seperti yang telah dicatat, jika a1 diketahui dalam masalah, maka sangat mudah untuk menerapkan rumus untuk menentukan anggota ke-n dari deret aritmatika. Tetapi, jika bukan anggota pertama yang ditentukan dalam kondisi tersebut, maka formula dapat datang untuk menyelamatkan yang menghubungkan anggota ke-n yang kita butuhkan dan anggota ak yang ditentukan dalam masalah.

an = ak + (n – k)d.

Mari kita selesaikan contoh kedua, tetapi menggunakan rumus baru.

Diketahui: a12 = 74; d=-4. Temukan: a34-.

Kami menggunakan rumus an = ak + (n – k)d. Dalam kasus kami akan menjadi:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Jawaban dalam soal diperoleh lebih cepat, karena tidak perlu melakukan tindakan tambahan dan mencari anggota pertama dari progresi.

Dengan menggunakan rumus di atas, Anda dapat memecahkan masalah untuk menghitung selisih deret aritmatika. Jadi, dengan menggunakan rumus an = a1 + (n - 1)d, kita dapat menyatakan d:

d = (an - a1) / (n - 1). Namun, masalah dengan suku pertama yang diberikan tidak begitu umum, dan dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus kita an = ak + (n – k)d, dari mana dapat dilihat bahwa d = (an – ak) / (n – k). Mari kita pertimbangkan tugas seperti itu.

Tentukan selisih barisan aritmatika jika diketahui a3 = 36; a8 = 106.

Dengan menggunakan rumus yang kami peroleh, solusi dari masalah dapat ditulis dalam satu baris:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Jika formula ini tidak ada di gudang senjata, pemecahan masalah akan memakan waktu lebih lama, karena harus menyelesaikan sistem dua persamaan.

progresi geometris

1. Rumus anggota ke- (anggota umum perkembangan).
2. Rumus untuk jumlah anggota pertama dari perkembangan:. Ketika biasanya berbicara tentang deret geometri konvergen; dalam hal ini, Anda dapat menghitung jumlah seluruh perkembangan menggunakan rumus .
3. Rumus "rata-rata geometrik": jika , , adalah tiga suku berurutan dari suatu deret geometri, maka berdasarkan definisi kita memiliki hubungan: atau atau .