Grafik fungsi 2 variabel z = f(x,y) adalah permukaan yang diproyeksikan pada bidang XOY ke dalam domain fungsi D.
Pertimbangkan permukaannya σ , diberikan oleh persamaan z = f(x,y) , di mana f(x,y) adalah fungsi terdiferensiasi, dan misalkan M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) menjadi titik tetap pada permukaan , yaitu. z0 = f(x0,y0). Janji temu. Kalkulator online dirancang untuk menemukan bidang singgung dan persamaan normal permukaan. Keputusan dibuat dalam format Word. Jika Anda perlu mencari persamaan garis singgung kurva (y = f(x)), maka Anda perlu menggunakan layanan ini.

Aturan entri fungsi:

Aturan entri fungsi:

1. Semua variabel dinyatakan dalam x,y,z

Bidang singgung ke permukaan σ pada titiknya M 0 adalah bidang di mana garis singgung semua kurva yang ditarik pada permukaan terletak σ melalui satu titik M 0 .
Persamaan bidang singgung permukaan yang diberikan oleh persamaan z = f(x,y) di titik M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) memiliki bentuk:

z - z 0 \u003d f 'x (x 0, y 0) (x - x 0) + f ' y (x 0, y 0) (y - y 0)

Vektor tersebut disebut vektor normal permukaan σ di titik M0. Vektor normal tegak lurus terhadap bidang singgung.
Normal ke permukaan σ pada intinya M 0 adalah garis lurus yang melalui titik ini dan memiliki arah vektor N.
Persamaan kanonik normal ke permukaan diberikan oleh persamaan z = f(x,y) di titik M 0 (x 0 ,y 0 ,z 0), di mana z 0 = f(x 0 ,y 0), memiliki bentuk:

Contoh 1. Permukaan diberikan oleh persamaan x 3 +5y . Tentukan persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0 (0;1).
Keputusan. Mari kita tulis persamaan tangen dalam bentuk umum: z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0 )
Dengan kondisi soal x 0 = 0, y 0 = 1, maka z 0 = 5
Temukan turunan parsial dari fungsi z = x^3+5*y:
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" x = 3 x 2
f" x (x, y) = (x 3 +5 y)" y = 5
Pada titik M 0 (0,1), nilai turunan parsial:
f"x(0;1) = 0
f" y (0; 1) = 5
Menggunakan rumus, kita memperoleh persamaan bidang singgung ke permukaan di titik M 0: z - 5 = 0(x - 0) + 5(y - 1) atau -5 y + z = 0

Contoh #2. Permukaan diberikan secara implisit y 2 -1/2*x 3 -8z. Tentukan persamaan bidang singgung permukaan di titik M 0 (1;0;1).
Keputusan. Kami menemukan turunan parsial dari fungsi. Karena fungsi diberikan dalam bentuk implisit, kami mencari turunan dengan rumus:

Untuk fungsi kami:

Kemudian:

Pada titik M 0 (1,0,1) nilai turunan parsial:
f "x (1; 0; 1) \u003d -3 / 16
f"y(1;0;1) = 0
Dengan menggunakan rumus, kami memperoleh persamaan bidang singgung ke permukaan pada titik M 0: z - 1 \u003d -3 / 16 (x - 1) + 0 (y - 0) atau 3 / 16 x + z- 19 / 16 \u003d 0

Contoh. Permukaan σ diberikan oleh persamaan z= y/x + xy – 5x 3 . Tentukan persamaan bidang singgung dan normal permukaan σ pada intinya M 0 (x 0 ,kamu 0 ,z 0) milik itu jika x 0 = –1, kamu 0 = 2.
Mari kita cari turunan parsial dari fungsi z= f(x,kamu) = y/x + xy – 5x 3:
fx'( x,kamu) = (y/x + xy – 5x 3)' x \u003d - y / x 2 + kamu – 15x 2 ;
f y' ( x,kamu) = (y/x + xy – 5x 3)' y = 1/x + x.
Dot M 0 (x 0 ,kamu 0 ,z 0) milik permukaan σ , sehingga kita dapat menghitung z 0, menggantikan yang diberikan x 0 = -1 dan kamu 0 = 2 ke dalam persamaan permukaan:

z= y/x + xy – 5x 3

z 0 = 2/(-1) + (–1) 2 – 5 (–1) 3 = 1.
Pada intinya M 0 (-1, 2, 1) nilai turunan parsial:
fx'( M 0) = -1/(-1) 2 + 2 – 15(-1) 2 = –15; fy'( M 0) = 1/(-1) – 1 = –2.
Menggunakan rumus (5), kita memperoleh persamaan bidang singgung ke permukaan σ pada intinya M 0:
z – 1= –15(x + 1) – 2(kamu – 2) z – 1= –15x – 15 – 2y + 4 15x + 2kamu + z + 10 = 0.
Menggunakan rumus (6), kami memperoleh persamaan kanonik dari normal ke permukaan σ pada intinya M 0: .
Jawaban: persamaan bidang singgung: 15 x + 2kamu + z+ 10 = 0; persamaan normal: .

Contoh 1. Diberikan fungsi z \u003d f (x, y) dan dua titik A (x 0, y 0) dan B (x 1, y 1). Diminta: 1) hitung nilai z 1 dari fungsi di titik B; 2) menghitung nilai perkiraan z 1 dari fungsi di titik B berdasarkan nilai z 0 dari fungsi di titik A, menggantikan kenaikan fungsi selama transisi dari titik A ke titik B dengan diferensial; 3) buat persamaan bidang singgung permukaan z = f(x,y) di titik C(x 0 ,y 0 ,z 0).
Keputusan.
Kami menulis persamaan tangen dalam bentuk umum:
z - z 0 \u003d f "x (x 0, y 0, z 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0, z 0) (y - y 0)
Sesuai dengan kondisi soal x 0 = 1, y 0 = 2, maka z 0 = 25
Temukan turunan parsial dari fungsi z = f(x,y)x^2+3*x*y*+y^2:
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" x \u003d 2 x + 3 y 3
f "x (x, y) \u003d (x 2 +3 x y + y 2)" y \u003d 9 x y 2
Pada titik M 0 (1.2), nilai turunan parsial:
f" x (1; 2) = 26
f" y (1; 2) = 36
Dengan menggunakan rumus, kita memperoleh persamaan bidang singgung ke permukaan di titik M 0:
z - 25 = 26(x - 1) + 36(y - 2)
atau
-26x-36y+z+73 = 0

Contoh #2. Tulis persamaan bidang singgung dan normal paraboloid elips z = 2x 2 + y 2 di titik (1;-1;3).

Permukaan didefinisikan sebagai sekumpulan titik yang koordinatnya memenuhi jenis persamaan tertentu:

F (x , y , z) = 0 (1) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)=0\qquad (1))

Jika fungsi F (x , y , z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) kontinu di beberapa titik dan memiliki turunan parsial kontinu di sana, setidaknya satu di antaranya tidak hilang, maka di sekitar titik ini permukaan yang diberikan oleh persamaan (1) akan menjadi permukaan yang benar.

Selain di atas cara pengaturan implisit, permukaan dapat didefinisikan jelas, jika salah satu variabel, misalnya, z, dapat dinyatakan dalam variabel lain:

z = f (x , y) (1 ) (\displaystyle z=f(x,y)\qquad (1"))

Lebih ketat, permukaan polos adalah gambar pemetaan homeomorfik (yaitu, pemetaan satu-satu dan saling berkesinambungan) dari bagian dalam bujur sangkar. Definisi ini dapat diberikan ekspresi analitis.

Biarkan sebuah persegi diberikan pada bidang dengan sistem koordinat persegi panjang u dan v , koordinat titik-titik interior yang memenuhi pertidaksamaan 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Sebuah contoh permukaan sederhana adalah belahan bumi. Seluruh area tidak permukaan polos. Ini memerlukan generalisasi lebih lanjut dari konsep permukaan.

Suatu himpunan bagian dari ruang di mana setiap titik memiliki lingkungan yang permukaan polos, disebut permukaan yang benar .

Permukaan dalam geometri diferensial

Helikoid

katenoid

Metrik tidak secara unik menentukan bentuk permukaan. Misalnya, metrik helicoid dan catenoid , yang diparameterisasi dengan cara yang tepat, bertepatan, yaitu, ada korespondensi antara daerah mereka yang mempertahankan semua panjang (isometri). Sifat-sifat yang dipertahankan dalam transformasi isometrik disebut geometri internal permukaan. Geometri internal tidak bergantung pada posisi permukaan dalam ruang dan tidak berubah ketika ditekuk tanpa tegangan dan kompresi (misalnya, ketika sebuah silinder dibengkokkan menjadi kerucut).

Koefisien metrik E , F , G (\displaystyle E,\ F,\ G) menentukan tidak hanya panjang semua kurva, tetapi secara umum hasil semua pengukuran di dalam permukaan (sudut, luas, kelengkungan, dll.). Oleh karena itu, segala sesuatu yang hanya bergantung pada metrik mengacu pada geometri internal.

Bagian normal dan normal

Vektor normal pada titik permukaan

Salah satu ciri utama permukaan adalah normal- vektor satuan tegak lurus terhadap bidang singgung pada suatu titik tertentu:

m = [ r u , r v ] | [ r u , r v ] | (\displaystyle \mathbf (m) =(\frac ([\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ])(|[\mathbf (r"_(u)) ,\mathbf (r"_(v)) ]|))).

Tanda normal tergantung pada pilihan koordinat.

Bagian permukaan oleh bidang yang memuat normal permukaan pada suatu titik tertentu membentuk kurva tertentu, yang disebut bagian biasa permukaan. Normal utama untuk bagian normal bertepatan dengan normal ke permukaan (sampai tanda).

Jika kurva pada permukaan bukan merupakan penampang normal, maka normal utamanya membentuk sudut dengan normal permukaan (\displaystyle \theta ). Kemudian kelengkungan k (\gaya tampilan k) kurva berhubungan dengan kelengkungan k n (\gaya tampilan k_(n)) bagian normal (dengan garis singgung yang sama) rumus Meunier:

k n = ± k cos (\displaystyle k_(n)=\pm k\,\cos \,\theta )

Koordinat vektor normal untuk berbagai cara menentukan permukaan diberikan dalam tabel:

	Koordinat normal pada titik permukaan
tugas implisit	(∂ F x ; F y ; F z) (∂ F x) 2 + (∂ F y) 2 + (∂ F z) 2 (\displaystyle (\frac (\left(( \frac (\sebagian F)(\sebagian x));\,(\frac (\sebagian F)(\sebagian y));\,(\frac (\sebagian F)(\sebagian z))\kanan) )(\sqrt (\left((\frac (\partial F)(\partial x))\right)^(2)+\left((\frac (\partial F)(\partial y))\right) ^(2)+\kiri((\frac (\sebagian F)(\sebagian z))\kanan)^(2))))))
tugas eksplisit	(− ∂ f ∂ x ; f y ; 1) (∂ f ∂ x) 2 + (∂ f y) 2 + 1 (\displaystyle (\frac (\left(-(\frac (\partial f )(\sebagian x));\,-(\frac (\sebagian f)(\sebagian y));\,1\kanan))(\sqrt (\left((\frac (\sebagian f)(\ parsial x))\kanan)^(2)+\kiri((\frac (\parsial f)(\parsial y))\kanan)^(2)+1)))))
tugas parametrik	(D (y , z) D (u , v) ; D (z , x) D (u , v) ; D (x , y) D (u , v)) (D (y , z) D (u , v)) 2 + (D (z , x) D (u , v)) 2 + (D (x , y) D (u , v)) 2 (\displaystyle (\frac (\left((\frac) (D(y,z))(D(u,v)));\,(\frac (D(z,x))(D(u,v)));\,(\frac (D(x ,y))(D(u,v)))\kanan))(\sqrt (\left((\frac (D(y,z))(D(u,v)))\kanan)^(2 )+\kiri((\frac (D(z,x))(D(u,v)))\kanan)^(2)+\kiri((\frac (D(x,y))(D( u,v)))\kanan)^(2)))))

Di Sini D (y , z) D (u , v) = | y u y v z u z v | , D (z , x) D (u , v) = | z u z v x u x v | , D (x, y) D (u, v) = | x u x v y u y v | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ mulai(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Semua turunan diambil pada titik (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Lengkungan

Untuk arah yang berbeda pada suatu titik tertentu di permukaan, diperoleh kelengkungan yang berbeda dari bagian normal, yang disebut kelengkungan normal; itu diberi tanda plus jika normal utama kurva searah dengan normal ke permukaan, atau tanda minus jika arah normalnya berlawanan.

Secara umum, di setiap titik di permukaan ada dua arah tegak lurus e 1 (\displaystyle e_(1)) dan e 2 (\displaystyle e_(2)), di mana kelengkungan normal mengambil nilai minimum dan maksimum; arah ini disebut utama. Pengecualian adalah kasus ketika kelengkungan normal adalah sama ke segala arah (misalnya, dekat bola atau di ujung ellipsoid revolusi), maka semua arah pada suatu titik adalah prinsipal.

Permukaan dengan kelengkungan negatif (kiri), nol (tengah), dan positif (kanan).

Kelengkungan normal dalam arah utama disebut kelengkungan utama; mari kita tunjukkan mereka 1 (\displaystyle \kappa _(1)) dan 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Ukuran:

K = 1 2 (\displaystyle K=\kappa _(1)\kappa _(2))

Definisi. Sebuah titik yang terletak pada permukaan orde kedua yang diberikan oleh persamaan umum (1) sehubungan dengan ODSC disebut non-tunggal jika di antara tiga angka: setidaknya ada satu yang tidak sama dengan nol.

Jadi, suatu titik yang terletak pada permukaan orde kedua tidak singular jika dan hanya jika itu adalah pusatnya, jika tidak, jika permukaannya berbentuk kerucut, dan titik tersebut adalah titik puncak dari permukaan ini.

Definisi. Garis singgung permukaan orde kedua pada titik non-tunggal tertentu di atasnya adalah garis lurus yang melewati titik ini, memotong permukaan orde kedua pada titik ganda, atau menjadi generatrix bujursangkar dari permukaan.

Teorema 3. Garis singgung ke permukaan orde kedua pada titik non-tunggal tertentu di atasnya terletak pada bidang yang sama, yang disebut bidang singgung ke permukaan pada titik yang ditinjau. Persamaan bidang singgung memiliki

Bukti. Biarkan , , Menjadi persamaan parametrik dari garis lurus yang melewati titik non-singular dari permukaan orde kedua yang diberikan oleh persamaan (1). Substitusi ke persamaan (1) , , alih-alih , , , kita peroleh:

Karena titik terletak di permukaan (1), kami juga menemukan dari persamaan (3) (nilai ini sesuai dengan titik ). Agar titik perpotongan garis dengan permukaan (1) menjadi dua kali lipat, atau agar garis terletak seluruhnya pada permukaan, persamaan tersebut perlu dan cukup dipenuhi:

Jika pada saat yang sama:

Maka titik potong garis lurus dengan permukaan (1) adalah ganda. Dan jika:

Kemudian garis terletak seluruhnya pada permukaan (1).

Dari hubungan (4) dan , , maka koordinat , , dari setiap titik yang terletak pada sembarang garis singgung permukaan (1) memenuhi persamaan:

Sebaliknya, jika koordinat beberapa titik selain memenuhi persamaan ini, maka koordinat , , dari vektor memenuhi hubungan (4), yang berarti bahwa garis tersebut bersinggungan dengan permukaan yang ditinjau.

Karena titik adalah titik non-tunggal dari permukaan (1), maka di antara angka , , setidaknya ada satu yang tidak sama dengan nol; jadi persamaan (5) adalah persamaan derajat pertama terhadap . Ini adalah persamaan bidang yang bersinggungan dengan permukaan (1) pada titik nonsingular yang diberikan padanya.

Berdasarkan persamaan kanonik permukaan orde kedua, mudah untuk menyusun persamaan bidang singgung ellipsoid, hiperboloid, dll. pada titik tertentu pada mereka.

satu). Bidang singgung ke ellipsoid:

2). Bidang singgung hiperboloid satu dan dua lapis:

3). Bidang singgung paraboloid elips dan hiperbolik:

161. Perpotongan bidang singgung dengan permukaan orde kedua.

Kami mengambil titik non-tunggal dari permukaan orde kedua sebagai asal dari koordinat ODSC, sumbu, dan menempatkannya di bidang yang bersinggungan dengan permukaan di titik . Kemudian dalam persamaan umum permukaan (1) suku bebas sama dengan nol: , dan persamaan bidang yang menyentuh permukaan di titik asal akan terlihat seperti: .

Tetapi persamaan bidang yang melalui titik asal memiliki bentuk: .

Dan, karena persamaan ini harus setara dengan persamaan , maka , , .

Jadi, dalam sistem koordinat yang dipilih, persamaan permukaan (1) akan terlihat seperti:

Sebaliknya, jika , maka persamaan (6) adalah persamaan permukaan yang melalui titik asal koordinat , dan bidang adalah bidang singgung pada permukaan ini di titik . Persamaan garis di mana bidang singgung ke permukaan pada suatu titik memotong permukaan (6) memiliki bentuk:

Jika sebuah . Ini adalah invarian dalam teori invarian untuk garis orde kedua. Persamaan (7)

Ini adalah baris kedua. Dengan bentuk garis ini, invarian adalah , Oleh karena itu:

Untuk , berikut adalah dua garis berpotongan imajiner.

Kapan - dua garis berpotongan nyata.

Jika , tetapi paling sedikit salah satu koefisien , , tidak sama dengan nol, maka garis potong (7) adalah dua garis yang bertepatan.

Akhirnya, jika , maka pesawat

adalah bagian dari permukaan yang diberikan, dan permukaan itu sendiri pecah, oleh karena itu, menjadi sepasang bidang

162. Titik elips, hiperbolik atau parabola dari permukaan orde kedua.

1. Biarkan bidang singgung ke permukaan orde kedua pada suatu titik memotongnya sepanjang dua garis lurus imajiner yang berpotongan. Dalam hal ini, titik tersebut disebut titik elips dari permukaan.

2. Biarkan bidang singgung ke permukaan orde kedua di suatu titik memotongnya sepanjang dua garis nyata yang berpotongan di titik kontak. Dalam hal ini, titik tersebut disebut titik hiperbolik permukaan.

3. Biarkan bidang singgung ke permukaan orde kedua pada suatu titik memotongnya di sepanjang dua garis lurus yang bertepatan. Dalam hal ini, titik tersebut disebut titik parabola permukaan.

Teorema 4. Biarkan permukaan orde kedua terhadap ODSC diberikan oleh persamaan (1) dan persamaan ini (1) menjadi persamaan permukaan non-peluruhan nyata dari orde kedua. Lalu jika ; maka semua titik permukaan berbentuk elips.

Bukti. Mari kita memperkenalkan sistem koordinat baru , memilih titik non-tunggal dari permukaan yang diberikan sebagai asal koordinat dan menempatkan sumbu dan pada bidang yang bersinggungan dengan permukaan pada titik tersebut . Persamaan (1) dalam sistem koordinat baru ditransformasikan ke dalam bentuk:

Di mana . Mari kita hitung invarian untuk persamaan ini.

Karena tanda tidak berubah selama transisi dari satu ODSC ke yang lain, tanda-tanda dan berlawanan, oleh karena itu, jika , maka ; dan, sebagai berikut dari klasifikasi (lihat 161), bidang singgung ke permukaan pada suatu titik memotong permukaan sepanjang dua garis berpotongan imajiner, yaitu. adalah titik elips.

2) Hiperboloid berlembar satu dan paraboloid hiperbolik terdiri dari titik-titik hiperbolik.

3) Kerucut nyata orde kedua (simpul tidak termasuk), silinder elips (nyata), hiperbolik, dan parabola terdiri dari titik-titik parabola.

silinder parabola.

Untuk menentukan letak silinder parabola, cukup diketahui:

1) bidang simetri yang sejajar dengan generator silinder;

2) bidang singgung silinder, tegak lurus terhadap bidang simetri ini;

3) vektor tegak lurus terhadap bidang singgung ini dan diarahkan ke cekungan silinder.

Jika persamaan umum mendefinisikan silinder parabola, dapat ditulis ulang sebagai:

Ayo pilih m sehingga pesawat

akan saling tegak lurus:

Dengan nilai ini m pesawat terbang

akan menjadi bidang simetri yang sejajar dengan generator silinder.

Pesawat terbang

akan menjadi bidang singgung silinder, tegak lurus terhadap bidang simetri yang ditunjukkan, dan vektor

akan tegak lurus terhadap bidang singgung yang ditemukan dan diarahkan ke cekungan silinder.

Persamaan bidang normal

1.

4.

Bidang singgung dan permukaan normal

Biarkan beberapa permukaan diberikan, A adalah titik tetap dari permukaan dan B adalah titik variabel dari permukaan,

(Gbr. 1).

Vektor bukan nol

→

n

ditelepon vektor normal ke permukaan di titik A jika

lim B→A j = π 2 .

Sebuah titik permukaan F (x, y, z) = 0 disebut biasa jika pada titik ini

1. turunan parsial F " x , F " y , F " z kontinu;
2. (F " x )2 + (F " y )2 + (F " z )2 0 .

Jika setidaknya salah satu dari kondisi ini dilanggar, sebuah titik di permukaan disebut titik tunggal permukaan .

Teorema 1. Jika M(x 0 , y 0 , z 0 ) adalah titik biasa dari permukaan F (x , y , z) = 0 , maka vektor

→ n \u003d lulusan F (x 0, y 0, z 0) \u003d F "x (x 0, y 0, z 0) → saya + F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) → j + F "z (x 0 , y 0 , z 0 ) → k

(1)

normal terhadap permukaan ini di titik M (x 0 , y 0 , z 0 ).

Bukti diberikan dalam buku oleh I.M. Petrushko, L.A. Kuznetsova, V.I. Prokhorenko, V.F. Safonova ``Kursus matematika yang lebih tinggi: Kalkulus integral. Fungsi dari beberapa variabel. persamaan diferensial. M.: Rumah Penerbitan MEI, 2002 (hlm. 128).

Normal ke permukaan di suatu titik disebut garis yang vektor arahnya normal terhadap permukaan di titik ini dan yang melalui titik ini.

Resmi persamaan normal dapat direpresentasikan sebagai

x x0 F "x (x 0, y 0, z 0) = y y0 F "y (x 0 , y 0 , z 0 ) = z−z0 F "z (x 0, y 0, z 0) .

(2)

bidang singgung ke permukaan di suatu titik disebut bidang yang melalui titik ini tegak lurus terhadap permukaan di titik tersebut.

Dari definisi ini dapat disimpulkan bahwa persamaan bidang singgung seperti:

(3)

Jika suatu titik pada permukaan adalah singular, maka pada titik ini vektor normal terhadap permukaan mungkin tidak ada, dan akibatnya, permukaan mungkin tidak memiliki bidang normal dan bidang singgung.

Arti geometris dari diferensial total fungsi dua variabel

Biarkan fungsi z = f (x , y) terdiferensialkan di titik a (x 0 , y 0 ) . Grafiknya adalah permukaan

f (x, y) z = 0.

Misalkan z 0 = f (x 0 , y 0 ) . Maka titik A (x 0 , y 0 , z 0 ) milik permukaan.

Turunan parsial dari fungsi F (x , y , z) = f (x , y) z adalah

F " x = f " x , F " y = f " y , F " z = 1

dan di titik A (x 0 , y 0 , z 0 )

1. mereka terus menerus;
2. F "2 x + F "2 y + F "2 z = f "2 x + f "2 y + 1 0 .

Oleh karena itu, A adalah titik biasa dari permukaan F (x, y, z) dan pada titik ini ada bidang singgung ke permukaan. Menurut (3), persamaan bidang singgung memiliki bentuk:

f "x (x 0 , y 0 ) (x x 0 ) + f " y (x 0 , y 0 ) (y y 0 ) (z z 0 ) = 0.

Perpindahan vertikal suatu titik pada bidang singgung selama transisi dari titik a (x 0 , y 0 ) ke titik sembarang p (x , y) adalah B Q (Gbr. 2). Kenaikan applique yang sesuai adalah

(z - z 0 ) \u003d f "x (x 0, y 0) (x - x 0) + f" y (x 0, y 0) (y - y 0)

Di sini di sisi kanan adalah diferensial d z dari fungsi z = f (x, y) di titik a (x 0 , x 0 ). Karena itu,
d f (x 0 , y 0 ). adalah pertambahan penerapan titik singgung bidang terhadap grafik fungsi f (x, y) di titik (x 0, y 0, z 0 = f (x 0, y 0 )).

Dari definisi diferensial, maka jarak antara titik P pada grafik fungsi dan titik Q pada bidang singgung adalah jauh lebih tinggi daripada jarak dari titik p ke titik a.

Pada suatu titik dan memiliki turunan parsial kontinu pada titik tersebut, paling sedikit salah satunya tidak hilang, maka di sekitar titik ini permukaan yang diberikan oleh persamaan (1) akan menjadi permukaan yang benar.

Selain di atas cara pengaturan implisit permukaan dapat ditentukan jelas, jika salah satu variabel, misalnya z, dapat dinyatakan dalam variabel lain:

Juga ada parametrik metode penugasan. Dalam hal ini, permukaan ditentukan oleh sistem persamaan:

Konsep permukaan sederhana

Lebih akurat, permukaan polos adalah gambar pemetaan homeomorfik (yaitu, pemetaan satu-satu dan saling berkesinambungan) dari bagian dalam bujur sangkar. Definisi ini dapat diberikan ekspresi analitis.

Biarkan sebuah persegi diberikan pada bidang dengan sistem koordinat persegi panjang u dan v , koordinat titik-titik interior yang memenuhi pertidaksamaan 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Sebuah contoh permukaan sederhana adalah belahan bumi. Seluruh area tidak permukaan polos. Ini memerlukan generalisasi lebih lanjut dari konsep permukaan.

Suatu himpunan bagian dari ruang di mana setiap titik memiliki lingkungan yang permukaan polos, disebut permukaan yang benar .

Permukaan dalam geometri diferensial

Helikoid

katenoid

Metrik tidak secara unik menentukan bentuk permukaan. Misalnya, metrik helicoid dan catenoid , yang diparameterisasi dengan cara yang tepat, bertepatan, yaitu, ada korespondensi antara daerah mereka yang mempertahankan semua panjang (isometri). Sifat-sifat yang dipertahankan dalam transformasi isometrik disebut geometri internal permukaan. Geometri internal tidak bergantung pada posisi permukaan dalam ruang dan tidak berubah ketika ditekuk tanpa tegangan dan kompresi (misalnya, ketika sebuah silinder dibengkokkan menjadi kerucut).

Koefisien metrik tidak hanya menentukan panjang semua kurva, tetapi secara umum hasil semua pengukuran di dalam permukaan (sudut, luas, kelengkungan, dll.). Oleh karena itu, segala sesuatu yang hanya bergantung pada metrik mengacu pada geometri internal.

Bagian normal dan normal

Vektor normal pada titik permukaan

Salah satu ciri utama permukaan adalah normal- vektor satuan tegak lurus terhadap bidang singgung pada suatu titik tertentu:

.

Tanda normal tergantung pada pilihan koordinat.

Bagian suatu permukaan oleh suatu bidang yang memuat garis normal (pada suatu titik tertentu) membentuk suatu kurva tertentu pada permukaan tersebut, yang disebut bagian biasa permukaan. Normal utama untuk bagian normal bertepatan dengan normal ke permukaan (sampai tanda).

Jika kurva pada permukaan bukan merupakan penampang normal, maka normal utamanya membentuk sudut dengan normal permukaan. Kemudian kelengkungan k kurva berhubungan dengan kelengkungan k n bagian normal (dengan garis singgung yang sama) rumus Meunier:

Koordinat vektor normal untuk berbagai cara menentukan permukaan diberikan dalam tabel:

	Koordinat normal pada titik permukaan
tugas implisit
tugas eksplisit
tugas parametrik

Lengkungan

Untuk arah yang berbeda pada suatu titik tertentu di permukaan, diperoleh kelengkungan yang berbeda dari bagian normal, yang disebut kelengkungan normal; itu diberi tanda plus jika normal utama kurva searah dengan normal ke permukaan, atau tanda minus jika arah normalnya berlawanan.

Secara umum, di setiap titik di permukaan ada dua arah tegak lurus e 1 dan e 2 , di mana kelengkungan normal mengambil nilai minimum dan maksimum; arah ini disebut utama. Pengecualian adalah kasus ketika kelengkungan normal adalah sama ke segala arah (misalnya, dekat bola atau di ujung ellipsoid revolusi), maka semua arah pada suatu titik adalah prinsipal.

Permukaan dengan kelengkungan negatif (kiri), nol (tengah), dan positif (kanan).

Kelengkungan normal dalam arah utama disebut kelengkungan utama; mari kita nyatakan mereka dengan 1 dan 2 . Ukuran:

K= 1 2

ditelepon kelengkungan Gaussian, kelengkungan penuh atau hanya lengkungan permukaan. Ada juga istilah skalar kelengkungan, yang menyiratkan hasil konvolusi dari tensor kelengkungan ; dalam hal ini, skalar kelengkungan dua kali lebih besar dari kelengkungan Gaussian.

Lengkungan Gaussian dapat dihitung dalam metrik, dan oleh karena itu merupakan objek dari geometri intrinsik permukaan (perhatikan bahwa kelengkungan utama tidak termasuk dalam geometri intrinsik). Dengan tanda kelengkungan, Anda dapat mengklasifikasikan titik-titik permukaan (lihat gambar). Kelengkungan bidang adalah nol. Kelengkungan bola berjari-jari R di mana-mana sama dengan . Ada juga permukaan kelengkungan negatif konstan - pseudosphere.

Garis geodesik, kelengkungan geodesik

Kurva pada permukaan disebut garis geodesi, atau sederhananya geodetik, jika pada semua titiknya garis normal utama kurva berimpit dengan garis normal permukaan. Contoh: di pesawat, geodesik akan menjadi garis lurus dan segmen garis, pada bola - lingkaran besar dan segmennya.

Definisi yang setara: untuk garis geodesik, proyeksi normal utamanya ke bidang yang berdekatan adalah vektor nol. Jika kurva bukan geodesik, maka proyeksi yang ditentukan bukan nol; panjangnya disebut kelengkungan geodesik k g kurva di permukaan. Ada rasio:

,

di mana k adalah kelengkungan kurva ini, k n- kelengkungan bagian normalnya dengan garis singgung yang sama.

Garis geodesik mengacu pada geometri internal. Kami mencantumkan properti utama mereka.

• Satu dan hanya satu geodesik melewati titik tertentu di permukaan dalam arah tertentu.
• Pada area permukaan yang cukup kecil, dua titik selalu dapat dihubungkan oleh geodesik, dan terlebih lagi, hanya satu. Penjelasan: pada bola, kutub yang berlawanan dihubungkan oleh jumlah meridian yang tak terbatas, dan dua titik dekat dapat dihubungkan tidak hanya oleh segmen lingkaran besar, tetapi juga dengan penambahannya ke lingkaran penuh, sehingga keunikan diamati hanya dalam satu kecil.
• Geodesik adalah yang terpendek. Lebih tepatnya: pada sepotong kecil permukaan, jalur terpendek antara titik-titik tertentu terletak di sepanjang geodesik.

Kotak

Atribut penting lain dari permukaan adalah kotak, yang dihitung dengan rumus: