Kementerian Pendidikan dan Kebijakan Pemuda Republik Chuvash
Lembaga otonom Republik Chuvash
"Perguruan Tinggi Agraria dan Teknologi Tsivilsky"
Arah - fisik dan matematika dan teknologi informasi
Riset:
Lokasi akar-akar trinomial persegi
Pekerjaan telah selesai:
siswa tahun pertama gr.14 B
khusus "Ekonomi"
Pengawas:
Eshmeykin
Irina Anatolievna,
guru matematika
Tsivilsk 2012
1. Perkenalan.
2. Bagian teoretis
2.1. Lokasi akar-akar trinomial persegi.
2.2. Sepuluh aturan untuk lokasi akar trinomial persegi
3. Bagian praktis
3.1. Contoh pemecahan masalah
3.2. Lokasi akar relatif terhadap satu titik.
3.3. Lokasi akar relatif terhadap dua atau lebih titik.
4. Kesimpulan.
5. Literatur yang digunakan.
6. Aplikasi
pengantar
Relevansi: dalam tugas-tugas GIA (bagian 2) dan USE dalam matematika dengan jawaban terperinci (bagian C), ada tugas-tugas dengan parameter yang sering menyebabkan kesulitan besar bagi siswa. Apalagi siswa sering mengalami masalah psikologis, mereka takut dengan tugas seperti itu, karena di sekolah dan sekolah teknik mereka tidak menyelesaikan masalah yang banyak mengandung parameter.
Kesulitan dalam memecahkan masalah dengan parameter disebabkan oleh fakta bahwa keberadaan parameter memaksa kita untuk memecahkan masalah tidak sesuai dengan templat, tetapi untuk mempertimbangkan kasus yang berbeda, di mana masing-masing metode solusi berbeda secara signifikan satu sama lain.
Banyak masalah dengan parameter direduksi menjadi mempelajari lokasi akar trinomial kuadrat relatif terhadap titik tertentu atau interval tertentu (segmen, interval, sinar).
Tujuan pekerjaan: untuk menyelidiki lokasi akar trinomial persegi relatif terhadap titik tertentu atau interval tertentu.
Kumpulkan materi tentang topik ini Pertimbangkan aturan untuk lokasi akar trinomial persegi. Memecahkan masalah menggunakan aturan untuk lokasi akar trinomial persegi.
Objek studi: trinomial persegi dan lokasi akarnya.
1. Cari - kolektif.
Signifikansi praktis: materi ini akan membantu siswa yang ingin melanjutkan pendidikan di universitas dalam mempersiapkan ujian.
Bagian teoretis
2.1. Lokasi akar-akar trinomial persegi
Banyak masalah dengan parameter direduksi menjadi studi lokasi akar trinomial kuadrat relatif terhadap titik tertentu atau interval tertentu:
Pada nilai parameter berapa akar (atau akar) persamaan kuadrat lebih besar (kurang, tidak lebih, tidak kurang) dari angka yang diberikan; terletak di antara dua angka yang diberikan; tidak termasuk dalam interval yang diberikan, dll., dll.
Grafik fungsi kuadrat y \u003d ax² + di + c memiliki lokasi berikut relatif terhadap sumbu x.
https://pandia.ru/text/78/376/images/image002_6.jpg" align="right hspace=12" width="196" height="202"> Persamaan kuadrat x²+px+q=0 atau tidak memiliki solusi (parabola berbentuk D), atau memiliki satu atau dua akar positif (C), atau memiliki satu atau dua akar negatif (A), atau memiliki akar yang berbeda tanda (B).
Mari kita menganalisis parabola C. Agar persamaan memiliki akar, perlu diskriminan D 0. Karena kedua akar persamaan harus positif dengan konstruksi, absis dari simpul parabola, yang terletak di antara akar-akarnya, positif, xb > 0.
Oordinat dari simpul f(xv) 0 karena fakta bahwa kita membutuhkan keberadaan akar.
Jika kondisi f(0) > 0 diperlukan, maka, karena kontinuitas fungsi yang dipelajari, ada titik x1(0;xb) sedemikian rupa sehingga f(x1) = 0. Jelas, ini adalah akar yang lebih kecil dari persamaan. Jadi, dengan mengumpulkan semua kondisi, kita mendapatkan: Persamaan kuadrat x² + px + q \u003d 0 memiliki dua akar, yang dapat berupa kelipatan x1, x2>
Berdebat dengan cara yang sama, kami memperoleh aturan berikut untuk lokasi akar trinomial persegi.
2.2. Sepuluh aturan untuk lokasi akar trinomial persegi
Aturan 1 Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a tidak memiliki solusi maka
dan hanya ketika D< 0.
Aturan 2.1. Persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar yang berbeda jika dan hanya jika,
ketika D > 0.
Aturan 2.2. Persamaan kuadrat (1) memiliki dua, mungkin banyak akar, maka dan
hanya jika D 0.
Aturan 3.1. Persamaan kuadrat (1) memiliki dua akar x1< М и х2 >M kemudian dan hanya
https://pandia.ru/text/78/376/images/image007_15.gif" align="left" width="74 height=42" height="42"> 
hanya bila
Aturan 4.1. Persamaan kuadrat x2 + px + q = 0 untuk a 0) memiliki dua
akar-akar yang berbeda x1, x2 > M jika dan hanya jika
dimana =
Aturan 4.2. Persamaan kuadrat memiliki dua kemungkinan akar ganda
x1, x2 > M jika dan hanya jika
Aturan 4.3. Persamaan kuadrat memiliki dua akar yang berbeda x1, x2 M maka dan
hanya bila
https://pandia.ru/text/78/376/images/image018_3.gif" width="162" height="74 src=">
Aturan 4.4. Persamaan kuadrat memiliki 2, dapat beberapa akar
x1, x2 M jika dan hanya jika
https://pandia.ru/text/78/376/images/image020_2.gif" width="166" height="74 src=">
Aturan 5.1. Persamaan kuadrat memiliki 2 akar yang berbeda x1, x2< М тогда и
hanya bila
Aturan 6.1. < N < M < х2 тогда и
hanya bila
https://pandia.ru/text/78/376/images/image026_1.gif" width="137 height=48" height="48">
Aturan 6.2. Persamaan kuadrat memiliki akar x1 = N< М < х2
jika dan hanya jika
Aturan 6.3. Persamaan kuadrat memiliki akar x1< N < M = х2
jika dan hanya jika
Aturan 7.1. Persamaan kuadrat memiliki akar x1< m < x2 < M тогда и только
lalu kapan
https://pandia.ru/text/78/376/images/image032_0.gif" width="128 height=48" height="48"> 
Aturan 7.2. Ke persamaan kuadrat memiliki akar N< x1 < M < x2 тогда и только
lalu kapan
Aturan 8.1. N < x1 < x2 < M (может быть
akar ganda dari N< x1 ≤ x2 < M) тогда и только тогда, когда
https://pandia.ru/text/78/376/images/image039_1.gif" width="142" height="98"> 
Aturan 8.3. Persamaan kuadrat (1) memiliki akar yang berbeda N x1< x2 ≤ M (может
menjadi akar ganda dari N< x1 ≤ x2 ≤ M) тогда и только тогда, когда
Aturan 8.4. Persamaan kuadrat (1) memiliki akar yang berbeda N x1< x2 ≤ M (может
akar ganda N x1 x2 M) jika dan hanya jika
https://pandia.ru/text/78/376/images/image044_1.gif" width="144" height="98">
Aturan 9 Persamaan kuadrat memiliki satu akar di dalam interval (N; M),
dan yang lainnya terletak di luar interval ini jika dan hanya jika
f(N)f(M)< 0.
Aturan 10 Persamaan kuadrat (1) memiliki solusi unik x1 = x2 > M
(x1 = x2< М) тогда и только тогда, когда
Bagian praktis
3.1. Contoh pemecahan masalah.
Contoh 1. Untuk berapa nilai dari persamaan x² - 2ax + a² + 2a - 3 = 0
a) tidak memiliki akar; b) memiliki akar tanda yang berbeda;
c) memiliki akar positif; d) memiliki dua akar negatif yang berbeda?
Solusi: a) Menurut aturan 1, tidak ada solusi ketika diskriminan D = - 4(2a-3)< 0, откуда а > 3/2.
b) Menurut aturan 3.1 untuk = 0 kita memiliki f(0)=a² + 2a - 3< 0, откуда а(-3;1).
c) Menurut aturan 4.2 untuk =0
Di mana .
d) Menurut aturan 5.1 untuk =0
Dimana< - 3.
3.2. Lokasi akar relatif terhadap satu titik.
Contoh 2 Untuk berapa nilai parameter a, akar persamaan x² + 2(a + 1) x + a² + a + 1 = 0 terletak pada sinar (-2; + ).
Mari kita membuat analisis grafis dari masalah. Sesuai dengan kondisi masalah, hanya dua kasus berikut dari lokasi grafik fungsi f (x) \u003d x² + 2 (a + 1) x + a² + a + 1 relatif terhadap titik x \u003d -2 adalah mungkin.
xv \u003d - a - 1
Kedua kasus ini secara analitis dijelaskan oleh kondisi
Ini menyiratkan bahwa 0 a< .
Contoh 3 . Temukan semua nilai parameter a yang akar-akar trinomial kuadratnya x² + x + a berbeda dan tidak lebih besar dari a. (Lampiran 1)
3.3. Lokasi akar relatif terhadap dua atau lebih titik.
Contoh 4. Untuk berapa nilai parameter m akar persamaan x² - 2 mx + m² -1= 0 diapit oleh angka -2 dan 4.
Diskriminan dari persamaan D = 4m² - 4m² + 4 = 4 adalah kuadrat sempurna. Mari kita cari akar-akar persamaan: x1 = m + 1, x2 = m - 1. Akar-akar ini memenuhi kondisi yang diberikan jika
Jawaban: untuk m(-1;3).
Contoh 5 Pada nilai parameter a berapa persamaan 2x² + (a-4)x + a + 2 = 0 memiliki akar-akar berbeda yang memenuhi pertidaksamaan x-1│>2. (Lampiran 2)
Penyelesaian persamaan kuadrat dengan parameter dapat ditulis sebagai skema untuk mempelajari masalah yang berkaitan dengan lokasi akar-akar trinomial kuadrat Ax² + Bx + C.
Studi kasus A = 0 (jika tergantung pada parameter).
1. Mencari diskriminan D pada kasus A≠0.
2. Jika D adalah kuadrat penuh dari beberapa ekspresi, maka cari akar x1, x2 dan subordinasikan ke kondisi masalah.
3. Jika akar kuadrat dari D tidak diekstraksi, maka dilakukan analisis grafis masalah.
4. Deskripsi analitis dari kasus yang cocok untuk lokasi parabola, yang diperhitungkan sebagai berikut:
tanda (nilai) koefisien pada x²;
tanda (nilai) dari diskriminan;
tanda (nilai) fungsi kuadrat pada titik-titik yang diteliti;
lokasi puncak parabola relatif terhadap titik-titik yang diteliti.
4. Menggabungkan beberapa ketidaksetaraan (sistem).
5. Solusi dari sistem yang diperoleh.
Saya menemukan 10 aturan untuk lokasi akar trinomial persegi. Memecahkan masalah pada lokasi akar relatif terhadap satu titik; lokasi akar relatif terhadap dua atau lebih titik.
Kepemilikan teknik untuk memecahkan masalah dengan parameter dapat dianggap sebagai kriteria untuk pengetahuan tentang bagian utama matematika, tingkat pemikiran matematis dan logis, dan budaya matematika.
Referensi
1. Mochalov, dan pertidaksamaan dengan parameter / , .-
Cheboksary: Rumah Penerbitan Chuvash. Universitas, 200-an.
2. Kozhukhov, metode untuk memecahkan masalah dengan parameter / // Matematika di sekolah - 1998. - No. 6.
3. Suplemen pendidikan dan metodologis mingguan untuk surat kabar "First of September" "Matematics" No. 18, 2002
Lampiran 1
Contoh 3 . Temukan semua nilai parameter a yang akar-akar trinomial kuadratnya x² + x + a berbeda dan tidak lebih besar dari a.
xv = -1/2
Tentukan diskriminan D = 1 - 4a. mengingat itu tidak diekstraksi, mari kita selesaikan contoh secara grafis.
Mari kita lakukan analisis grafis. Karena akar x1, x2 dari fungsi f(x) = x² + x + a berbeda dan x1 a, x2 a, grafiknya hanya dapat memiliki lokasi berikut.
Mari kita gambarkan grafik-grafik ini secara analitis.
https://pandia.ru/text/78/376/images/image062_1.gif" width="149" height="48">
Kami mencari tahu di mana a akar persamaan berbeda, yaitu diskriminan D = a²-16a positif, dan keduanya kurang dari -1, atau keduanya lebih besar dari 3, atau salah satunya kurang dari -1 , dan yang lainnya lebih besar dari 3. Grafik fungsi f( x) \u003d 2x² + (a-4) x + a + 2 dalam kasus ini memiliki lokasi berikut:
Secara analitis, grafik ini dijelaskan oleh kondisi
Alat yang paling ampuh untuk memecahkan masalah kompleks dengan parameter adalah teorema Vieta. Tetapi di sini Anda harus sangat memperhatikan kata-katanya.
Kedua teorema ini (langsung dan terbalik)
Dalil Vieta
Jika persamaan memiliki akar dan ; maka persamaan terpenuhi.
Ciri-ciri teorema:
Pertama
.
Teorema ini benar hanya untuk persamaan 
dan tidak benar untuk
Dalam kasus terakhir, Anda harus terlebih dahulu membagi kedua bagian persamaan dengan koefisien bukan-nol a pada x 2, dan kemudian menerapkan teorema Vieta.
Kedua. Untuk menggunakan hasil teorema, perlu memiliki fakta keberadaan akar persamaan, yaitu. jangan lupa untuk memaksakan kondisi D>0
Membalik
teorema Vieta
Jika ada bilangan arbitrer dan kemudian mereka adalah akar persamaan
Catatan yang sangat penting, memfasilitasi pemecahan masalah: teorema terbalik jaminan keberadaan akar dalam persamaan, yang memungkinkan Anda untuk tidak main-main dengan diskriminan. Secara otomatis non-negatif dalam kasus ini.
| Syarat akar | Kondisi ekuivalen pada koefisien a, b, c, dan diskriminan D | |
| Akar ada (dan berbeda) | ||
Akar ada dan sama  |  |
|
| Akar ada dan |  |
|
| Akar ada dan |  |
|
| Akar ada dan berbeda |  |
|
| Akar ada, satu akar nol dan yang lainnya >0 |  |
satu). Tetapkan pada nilai parameter persamaan apa
Tidak memiliki akar.
Jika persamaan tidak memiliki akar, maka diskriminan perlu dan cukup
memiliki akar positif yang berbeda.
Karena ada akar, maka jika keduanya positif, maka kita menggunakan rumus Vieta, maka untuk persamaan ini
⟹
Memiliki berbagai akar negatif
Memiliki akar tanda yang berbeda
Memiliki akar yang cocok
2). Berapa nilai parameternya sebuah kedua akar persamaan kuadrat 
akan positif?
Keputusan.
Karena persamaan yang diberikan adalah kuadrat, maka kedua akarnya (sama atau berbeda) akan positif jika diskriminan adalah non-negatif, dan jumlah dan produk akarnya positif, yaitu
Sebagai, 
dan dengan teorema Vieta,
Kemudian kita mendapatkan sistem ketidaksetaraan
3). Temukan semua nilai parameter sebuah 
bersifat non-positif.
Karena persamaan yang diberikan adalah kuadrat, maka . Kedua akarnya (sama atau berbeda) akan negatif atau sama dengan nol jika diskriminannya bukan negatif, jumlah akarnya negatif atau sama dengan nol, dan hasil kali akarnya bukan negatif, yaitu
dan dengan teorema Vieta
maka kita mendapatkan sistem ketidaksetaraan.
di mana
4) Berapa nilai parameternya? sebuah 
sama dengan 22,5?
Pertama, kami akan menawarkan “solusi”, yang harus kami temui lebih dari sekali.
sejauh 
maka kita mendapatkan "Jawaban" Namun, dengan nilai yang ditemukan sebuah Persamaan awal tidak memiliki akar.
Dalam solusi ini, kami menemukan salah satu kesalahan "paling populer" yang terkait dengan penerapan teorema Vieta:
berbicara tentang akar tanpa terlebih dahulu mencari tahu apakah mereka ada atau tidak.
Jadi, dalam contoh ini, pertama-tama, perlu ditetapkan bahwa hanya jika persamaan asli memiliki akar. Hanya dengan begitu seseorang dapat beralih ke perhitungan di atas.
Jawaban: Seperti sebuah tidak ada.
5). Akar-akar persamaan sedemikian rupa sehingga 
Mendefinisikan
Keputusan. Menurut teorema Vieta 
Mari kita kuadratkan kedua bagian dari persamaan pertama Mengingat bahwa a yang kita dapatkan atau Pemeriksaan menunjukkan bahwa nilainya memenuhi persamaan asli.
Menjawab:
6) Berapa nilai parameternya? sebuah jumlah kuadrat akar-akar persamaan 
mengambil nilai terkecil:
Temukan diskriminan dari persamaan ini. Kami memiliki Di sini penting untuk tidak membuat kesimpulan yang salah bahwa persamaan memiliki dua akar untuk setiap sebuah. itu benar-benar memiliki dua akar untuk apa pun kecuali dapat diterima sebuah, yaitu di
Menggunakan teorema Vieta, kami menulis
Jadi, untuk mendapatkan jawaban, tinggal mencari nilai terkecil dari fungsi kuadrat 
di lokasi syuting 
Sejak pada 
dan di 
maka fungsi pada himpunan yang ditentukan mengambil nilai terkecil pada titik
Tugas untuk solusi independen
satu). Temukan semua nilai parameter sebuah, yang akar-akar persamaan kuadratnya
non-negatif
2). Hitung nilai ekspresi , di mana adalah akar persamaan 
3). Temukan semua nilai parameter sebuah, yang jumlah kuadrat dari akar-akar real dari persamaan 
lebih dari 6.
Menjawab: 
4) Berapa nilai parameter a yang dimiliki persamaan ax 2 -4x + a \u003d 0:
a) akar positif
b) akar negatif
Lokasi akar fungsi kuadrat relatif terhadap
poin yang diberikan.
Untuk masalah seperti itu, rumusan berikut adalah tipikal: untuk nilai parameter apa akar (hanya satu akar) lebih besar (kurang, tidak lebih, tidak kurang) dari angka A yang diberikan; akar terletak di antara angka A dan B; akar-akarnya tidak termasuk dalam interval dengan ujung-ujungnya di titik A dan B, dll.
Saat memecahkan masalah yang terkait dengan trinomial persegi
seringkali kita harus menghadapi situasi standar berikut (yang akan kita rumuskan dalam bentuk “tanya jawab”.
pertanyaan 1. Biarkan nomor diberikan (1) kedua akarnya dan lagi itu. ?
Menjawab. Koefisien trinomial persegi (7) harus memenuhi syarat
di mana - absis bagian atas parabola.
Validitas dari apa yang telah dikatakan mengikuti dari Gambar. 1, yang secara terpisah menyajikan kasus dan Perhatikan bahwa dua kondisi dan masih belum cukup untuk akar dan menjadi lebih besar. 1 garis putus-putus menunjukkan parabola yang memenuhi kedua syarat tersebut, tetapi akar-akarnya lebih kecil.Namun, jika kita menjumlahkan dua syarat yang ditunjukkan bahwa absis simpul parabola lebih besar, maka akar-akarnya akan lebih besar dari
Pertanyaan 2. Biarkan nomor diberikan Dalam kondisi apa pada koefisien trinomial persegi? (1) akarnya dan berbaring di sisi yang berlawanan itu. ?
Menjawab. koefisien trinomial kuadrat (1) harus memenuhi syarat
Validitas dari apa yang telah dikatakan mengikuti dari Gambar. 2, di mana kasus dan disajikan secara terpisah Perhatikan bahwa kondisi yang ditunjukkan menjamin keberadaan dua akar yang berbeda dan trinomial kuadrat (1).
pertanyaan 3. Dalam kondisi apa pada koefisien trinomial persegi? (1) akarnya dan berbeda dan hanya salah satunya terletak pada interval yang diberikan
Menjawab. Koefisien trinomial persegi (1) harus memenuhi syarat 
Pertanyaan 4. Dalam kondisi apa pada koefisien trinomial persegi? (1) himpunan akarnya tidak kosong dan semua akarnya dan terletak pada interval yang diberikan itu.
Menjawab. Koefisien trinomial kuadrat (1) harus memenuhi kondisi
Untuk mengatasi masalah seperti itu, akan berguna untuk bekerja dengan tabel di bawah ini.
Akar polinomial
.
MOU "Sekolah Menengah No. 15"
Michurinsk, Wilayah Tambov
Pelajaran aljabar di kelas 9
"Lokasi akar trinomial persegi tergantung pada nilai parameter"
Dikembangkan
guru matematika kategori 1
Bortnikova M.B.
Michurinsk - kota sains 2016 tahun
Pelajarannya selama 2 jam.
Teman-teman! Studi banyak hukum fisika dan geometris sering mengarah pada solusi masalah dengan parameter. Beberapa universitas juga memasukkan persamaan, ketidaksetaraan, dan sistemnya dalam tiket ujian, yang seringkali sangat kompleks dan memerlukan pendekatan penyelesaian yang tidak standar. Di sekolah, salah satu bagian tersulit dari kursus sekolah dalam aljabar ini dianggap hanya dalam beberapa mata pelajaran pilihan atau mata pelajaran.
Menurut pendapat saya, metode fungsional-grafis adalah cara yang mudah dan cepat untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter.
Tujuan Pelajaran: 1. Perluas ide persamaan kuadrat 2. Pelajari cara menemukan semua nilai parameter, untuk masing-masing solusi persamaan yang memenuhi kondisi yang diberikan. 3. Kembangkan minat pada subjek.
Selama kelas:
1. Apa parameternya?
Ekspresi bentuk ah 2
+ bx + cdalam kursus aljabar sekolah disebut trinomial persegi sehubungan denganX, di mana a, b,c diberikan bilangan real, apalagi,sebuah=/= 0. Nilai variabel x, di mana ekspresi hilang, disebut akar dari trinomial kuadrat. Untuk menemukan akar-akar trinomial kuadrat, perlu menyelesaikan persamaan kuadratah 2
+ bx + c =0.
Mari kita ingat persamaan dasar:kapak + b = 0;
ax2 + bx + c = 0.Saat mencari akarnya, nilai variabela, b, c,termasuk dalam persamaan dianggap tetap dan diberikan. Variabel itu sendiri disebut parameter.
Definisi.Parameter adalah variabel bebas, yang nilainya dalam masalah dianggap sebagai bilangan real tetap atau arbitrer tertentu, atau bilangan milik himpunan yang telah ditentukan.
2. Jenis dan metode utama untuk memecahkan masalah dengan parameter
Di antara tugas dengan parameter, jenis tugas utama berikut dapat dibedakan.
Persamaan yang harus diselesaikan baik untuk nilai parameter apa pun atau untuk nilai parameter yang termasuk dalam set yang telah ditentukan. Sebagai contoh. Selesaikan Persamaan:kapak = 1 , (sebuah - 2) x = 2 – 4.
Persamaan yang ingin Anda tentukan jumlah solusi tergantung pada nilai parameter (parameter). Sebagai contoh.
sebuah persamaan 4 X 2 – 4 kapak + 1 = 0memiliki akar tunggal?
Persamaan yang, untuk nilai parameter yang diinginkan, himpunan solusi memenuhi kondisi yang diberikan dalam domain definisi.
Misalnya, temukan nilai parameter yang akar persamaannya (sebuah - 2)
X 2
–
2
kapak + a + 3
=
0
positif.
Cara utama untuk memecahkan masalah dengan parameter: analitis dan grafis.
analitis- ini adalah metode yang disebut solusi langsung, mengulangi prosedur standar untuk menemukan jawaban dalam masalah tanpa parameter. Mari kita pertimbangkan contoh tugas semacam itu.
Tugas 1
Berapa nilai parameter a persamaan?X 2 – 2 kapak + a 2 – 1 = 0 memiliki dua akar berbeda yang termasuk dalam interval (1; 5)?
Keputusan
X 2
–
2
kapak + a 2
–
1 = 0.
Menurut kondisi masalah, persamaan harus memiliki dua akar yang berbeda, dan ini hanya mungkin dalam kondisi: D > 0.
Kami memiliki: D = 4sebuah 2
– 2(sebuah 2
– 1) = 4. Seperti yang Anda lihat, diskriminan tidak bergantung pada a, oleh karena itu, persamaan memiliki dua akar yang berbeda untuk setiap nilai parameter a. Mari kita cari akar persamaan:X 1
=
sebuah + 1,
X 2
=
sebuah – 1
Akar persamaan harus termasuk dalam interval (1; 5), yaitu.
Jadi, pada 2<
sebuah < 4 данное уравнение имеет два различных корня, принадлежащих промежутку (1; 5)
Jawaban: 2<
sebuah < 4.
Pendekatan seperti itu untuk memecahkan masalah dari jenis yang sedang dipertimbangkan dimungkinkan dan rasional dalam kasus di mana diskriminan persamaan kuadrat adalah "baik", mis. adalah kuadrat eksak dari bilangan atau ekspresi apa pun, atau akar persamaan dapat ditemukan dengan teorema Vieta terbalik. Kemudian, dan akarnya bukanlah ekspresi irasional. Jika tidak, solusi masalah jenis ini dikaitkan dengan prosedur yang agak rumit dari sudut pandang teknis. Dan solusi dari ketidaksetaraan irasional akan membutuhkan pengetahuan baru dari Anda.
Grafis- ini adalah metode di mana grafik digunakan dalam bidang koordinat (x; y) atau (x; a). Visibilitas dan keindahan metode solusi ini membantu menemukan cara cepat untuk memecahkan masalah. Mari kita selesaikan masalah nomor 1 secara grafis.
Seperti yang Anda ketahui, akar persamaan kuadrat (trinomial kuadrat) adalah nol dari fungsi kuadrat yang sesuai: y =X 2
– 2
Oh +
sebuah 2
– 1. Grafik fungsinya adalah parabola, cabang-cabangnya mengarah ke atas (koefisien pertama sama dengan 1). Model geometris yang memenuhi semua persyaratan masalah terlihat seperti ini.
Sekarang tinggal "memperbaiki" parabola di posisi yang diinginkan dengan kondisi yang diperlukan.
Karena parabola memiliki dua titik potong dengan sumbuX, maka D > 0.
Titik puncak parabola terletak di antara garis vertikal.X= 1 dan X= 5, maka absis simpul parabola x tentang termasuk dalam interval (1; 5), yaitu
1 < X tentang< 5.Kami memperhatikan bahwa pada(1) > 0, pada(5) > 0.
Jadi, beralih dari model geometris masalah ke model analitik, kami memperoleh sistem pertidaksamaan.
Jawaban: 2< sebuah < 4.
Seperti yang dapat dilihat dari contoh, metode grafis untuk memecahkan masalah dari jenis yang dipertimbangkan dimungkinkan dalam kasus ketika akarnya "buruk", mis. berisi parameter di bawah tanda radikal (dalam hal ini, diskriminan persamaan bukan kuadrat sempurna).
Dalam solusi kedua, kami bekerja dengan koefisien persamaan dan jangkauan fungsipada =
X 2
– 2
Oh +
sebuah 2
– 1.
Metode penyelesaian ini tidak dapat disebut hanya grafis, karena. Di sini kita harus memecahkan sistem ketidaksetaraan. Sebaliknya, metode ini digabungkan: fungsional-grafis. Dari dua metode ini, yang terakhir tidak hanya elegan, tetapi juga yang paling penting, karena menunjukkan hubungan antara semua jenis model matematika: deskripsi verbal masalah, model geometris - grafik trinomial persegi, model analitis - deskripsi model geometris dengan sistem ketidaksetaraan.
Jadi, kami telah mempertimbangkan masalah di mana akar trinomial kuadrat memenuhi kondisi yang diberikan dalam domain definisi untuk nilai parameter yang diinginkan.
Dan kondisi lain apa yang mungkin dapat dipenuhi oleh akar trinomial kuadrat untuk nilai parameter yang diinginkan?
Contoh pemecahan masalah
3. Investigasi lokasi akar trinomial kuadrat tergantung pada nilai parameter yang diinginkan sebuah.
Tugas nomor 2.
Berapa nilai parameternyasebuah akar persamaan kuadrat
x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5) \u003d 0 lebih dari satu?
Keputusan.
Pertimbangkan fungsi: y = x 2 - 4x - (a - 1) (a - 5)
Grafik fungsinya adalah parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.
Mari kita gambarkan secara skematis sebuah parabola (model geometris dari masalah).
Sekarang mari kita beralih dari model geometris yang dibangun ke model analitik, yaitu. Mari kita gambarkan model geometris ini dengan sistem kondisi yang memadai untuk itu.
Ada titik potong (atau titik kontak) parabola dengan sumbu x, oleh karena itu, D≥0, yaitu. 16+4(a-1)(a-5)≥0.
Kita perhatikan bahwa titik puncak parabola terletak di setengah bidang kanan relatif terhadap garis lurus x=1, mis. absisnya lebih besar dari 1, mis. 2>1 (dilakukan untuk semua nilai parameter a).
Perhatikan bahwa y(1)>0, mis. 1 - 4 - (a - 1) (a - 5)>0
Akibatnya, kita sampai pada sistem ketidaksetaraan.
; 
Jawaban: 2<а<4.
Tugas nomor 3.
X 2 + kapak - 2 = 0 lebih besar dari satu?
Keputusan.
Pertimbangkan fungsi: y = -x 2 + ah - 2
Grafik fungsinya adalah parabola. Cabang-cabang parabola mengarah ke bawah. Mari kita gambarkan model geometris dari masalah yang sedang dipertimbangkan.
U(1)
Mari kita membuat sistem ketidaksetaraan.
, tidak ada solusi
Menjawab. Tidak ada nilai parameter seperti itu.
Kondisi masalah No. 2 dan No. 3, di mana akar trinomial kuadrat lebih besar dari angka tertentu untuk nilai yang diinginkan dari parameter a, kami merumuskan sebagai berikut.
Kasus umum #1.
Untuk berapa nilai parameter a akar dari trinomial kuadrat?
f(x) = sumbu 2 + di + c lebih besar dari beberapa angka k, mis. ke<х 1 x 2 .
Mari kita gambarkan model geometris dari masalah ini dan tuliskan sistem pertidaksamaan yang sesuai.
Tabel 1. Model - skema.
Tugas nomor 4.
Berapa nilai parameter a yang merupakan akar dari persamaan kuadrat?
X 2 +(a+1)x–2a(a–1) = 0 kurang dari satu?
Keputusan.
Pertimbangkan fungsi: y = x 2 + (a + 1) x–2a (a–1)
Grafik fungsinya adalah parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Sesuai dengan kondisi soal, akar-akarnya kurang dari 1, oleh karena itu, parabola berpotongan dengan sumbu x (atau menyentuh sumbu x di sebelah kiri garis lurus x=1).
Mari kita gambarkan secara skematis sebuah parabola (model geometris dari masalah).
y(1)
Mari beralih dari model geometris ke model analitik.
Karena terdapat titik potong parabola dengan sumbu x, maka D≥0.
Titik puncak parabola terletak di sebelah kiri garis lurus x=1, mis. absisnya x 0 <1.
Perhatikan bahwa y(1)>0, mis. 1+(a+1)-2a(a-1)>0.
Kita sampai pada sistem ketidaksetaraan.
; 
Jawaban: -0,5<а<2.
Kasus umum #2.
Untuk berapa nilai parameter a kedua akar trinomial?f(x) = sumbu 2 + di + c akan lebih kecil dari beberapa angka k: x 1 x 2<к.
Model geometrik dan sistem pertidaksamaan yang sesuai disajikan dalam tabel. Penting untuk mempertimbangkan fakta bahwa ada masalah di mana koefisien pertama dari trinomial kuadrat tergantung pada parameter a. Dan kemudian cabang-cabang parabola dapat diarahkan ke atas dan ke bawah, tergantung pada nilai parameter a. Kami akan mempertimbangkan fakta ini saat membuat skema umum.
Tabel nomor 2.
f(k)
Model analitis
(sistem kondisi).
Model analitis
(sistem kondisi).
Tugas nomor 5.
Berapa nilai parameter a 2 -2ax+a=0 termasuk dalam interval (0;3)?
Keputusan.
Pertimbangkan trinomial persegi y(x) = x 2 -2x + a.
Grafiknya berbentuk parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas.
Gambar tersebut menunjukkan model geometris dari masalah yang sedang dipertimbangkan.
Pada
Y(0)
U(3)
0 x 1 x 0 x 1 3 x
Dari model geometris yang dibangun, mari beralih ke model analitik, yaitu. kami menggambarkannya dengan sistem ketidaksetaraan.
Ada titik potong parabola dengan sumbu x (atau titik kontak), oleh karena itu, D≥0.
Bagian atas parabola berada di antara garis x=0 dan x=3, mis. absis parabola x 0 termasuk dalam interval (0;3).
Perhatikan bahwa y(0)>0 dan juga y(3)>0.
Kami datang ke sistem.
; 
Jawaban: a 
Kasus umum #3.
Untuk apa nilai parameter a akar trinomial kuadrat milik interval (k; m), yaitu k<х 1 ≤х 2 < m
Tabel No. 3. Model - skema.
f(x)
f(k)
f(m)
k x 1 x 0 x 2 mx
f(x)
0kx 1 x 0 x 2 m
f(k)
f(m)
Model analitis dari masalah
Model analitis dari masalah
TUGAS #6.
Berapa nilai parameter a yang merupakan akar terkecil dari persamaan kuadrat x 2
+2ax+a=0 termasuk dalam interval X 
(0;3).
Keputusan.
2 -2ax + a
Grafiknya berbentuk parabola. Cabang-cabang parabola diarahkan ke atas. Biarkan x 1 akar kecil dari trinomial kuadrat. Sesuai dengan kondisi masalah x 1 termasuk dalam interval (0;3). Mari kita gambarkan model geometris dari masalah yang memenuhi kondisi masalah.
kamu(x)
kamu(0)
0 x 1 3 x 0 x 2 x
kamu(3)
Mari kita beralih ke sistem ketidaksetaraan.
1) Perhatikan bahwa y(0)>0 dan y(3)<0. Так как ветви параболы направлены вверх и у(3)<0, то автоматически Д>0. Oleh karena itu, kondisi ini tidak perlu dituliskan ke dalam sistem pertidaksamaan.
Jadi, kita mendapatkan sistem pertidaksamaan berikut:
Menjawab: sebuah >1,8.
Kasus umum #4.
Untuk nilai parameter a berapa akar yang lebih kecil dari trinomial kuadrat termasuk dalam interval yang diberikan (k; m), yaitu k<х 1 < m<х 2 .
Tabel No. 4 . Model - skema.
f(k)k x 1 0 m x 2
f(m)
F(x)
f(m)
k x 1 mx 2 x
f(k)
Model analitis
Model analitis
TUGAS #7.
Berapa nilai parameter a hanya akar yang lebih besar dari persamaan kuadrat x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0 termasuk dalam interval [-1;0).
Keputusan.
Pertimbangkan trinomial persegi y(x)=x 2+4x-(a+1)(a+5).
Grafiknya berbentuk parabola. Cabang-cabang diarahkan ke atas.
Mari kita menggambarkan model geometris dari masalah. Biarkan x 2 adalah akar persamaan yang lebih besar. Dengan kondisi masalah, hanya akar yang lebih besar yang termasuk dalam interval.
kamu(X)
kamu(0)
x 1 -1 x 2 0 x
kamu(-1)
Perhatikan bahwa y(0)>0 dan y(-1)<0. Кроме этого ветви параболы направлены вверх, значит, при этих условиях Д>0.
Mari kita buat sistem ketidaksetaraan dan selesaikan.
Menjawab: 
Kasus umum #5.
Untuk berapa nilai parameter a, akar yang lebih besar dari trinomial kuadrat termasuk dalam interval yang diberikan (k; m), yaitu x 1< k<х 2 < m.
Tabel No. 5. Model - skema.
f(x)
f(m)
0 x 1 k x 2 mx
f(k)
f(x)
f(k)
x 1 0kx 2 m
f(m)
Model analitis
Model analitis
W ADACHA No.8
Berapa nilai parameter a adalah segmen [-1; 3] seluruhnya terletak di antara akar persamaan kuadrat x 2 -(2a+1)x+a-11=0?
Keputusan.
Pertimbangkan trinomial persegi y(x)=x 2 - (2a + 1) x + a-11
Grafiknya berbentuk parabola.
Model geometris dari masalah ini ditunjukkan pada gambar.
kamu(x)
X 1 -1 0 3 x 2 x
kamu(-1)
kamu(3)
Dalam kondisi ini, D>0, karena cabang parabola mengarah ke atas.
Jawaban: a 
Kasus umum #6.
Untuk berapa nilai parameter a akar trinomial kuadrat berada di luar interval yang diberikan (k; m), yaitu x 1< k < m<х 2 .
x 2 -(2a + 1) x + 4-a \u003d 0 terletak di sisi berlawanan dari angka dari angka 3?
Keputusan.
Pertimbangkan trinomial persegi y(x)=x 2 - (2a + 1) x + 4-a.
Grafiknya parabola, cabang-cabangnya mengarah ke atas (koefisien pertama adalah 1). Mari kita menggambarkan model geometris dari masalah.
X 1 3 x 2 x
kamu(3)
Mari beralih dari model geometris ke model analitik.
Kita perhatikan bahwa y(3)<0, а ветви параболы направлены вверх. При этих условиях Д>0 secara otomatis.+di+c lebih kecil dari beberapa bilangan k: x 1 x 2 <к
3. Untuk berapa nilai parameter a akar-akar sumbu trinomial persegi 2 +in+c termasuk dalam interval (k, t) ke<х 1 x 2 <т
4. Untuk apa nilai parameter a hanya akar yang lebih kecil dari sumbu trinomial kuadrat 2 +in+c termasuk dalam interval yang diberikan (k, t), yaitu k<х 1 <т<х 2
1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.
2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang
1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.
2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang
1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.
2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang
Akar persamaan kuadrat x 2 -4x-(a-1)(a-5)=0, lebih besar dari 1.
Jawaban: 2<а<4
Akar persamaan kuadrat x 2 +(a+1)x-2a(a-1)=0, kurang dari 1.
Menjawab:
-0,5<а<2
Akar persamaan kuadrat x 2 -2ax+a=0, termasuk dalam interval (0;3).
Jawaban: 1≤a< 9 / 5
Hanya akar yang lebih kecil dari persamaan x 2 -2ax+a=0, termasuk dalam interval (0;3).
Jawaban: 1≤a< 9 / 5
1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang
1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.
2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang
1. Gambarkan model geometris dari masalah ini.
2. Tuliskan sistem kondisi yang solusi dari masalah ini berkurang
Hanya akar terbesar dari persamaan x 2 +4x-(a+1)(a+5)=0, termasuk dalam interval [-1;0).
Jawaban:(-5;-4]U[-2;-1)
Ruas [-1; 3] seluruhnya berada di antara akar persamaan kuadrat x 2 -(2a+1)x+a-11=0.
Jawaban 1<а<3
Akar persamaan kuadrat x 2 -2 (a + 1) x + 4-a \u003d 0, terletak di sisi berlawanan dari angka 3.
Menjawab( 10 / 7 ;∞)
Terima kasih atas pelajarannya teman-teman!
Trinomial persegi adalah fungsi utama matematika sekolah - ngomong-ngomong, bukan yang paling primitif. Kemampuan untuk menggunakan sumber daya yang disediakan olehnya untuk memecahkan masalah sebagian besar mencirikan tingkat pemikiran matematis seorang siswa aljabar sekolah. Dalam makalah ini, kami mendukung tesis ini dan memberikan contoh aplikasi spesifik dari sifat-sifat fungsi kuadrat. Faktor pendorong adalah fakta bahwa ketika memecahkan masalah apa pun dengan parameter, cepat atau lambat perlu (dan berhasil) untuk memformulasi ulang masalah dalam bentuk trinomial persegi dan menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat fungsi universal ini.
Studi trinomial persegi
Definisi. Trinomial persegi sehubungan dengan x adalah ekspresi dari bentuk f(x) = ax 2 + bx + c (1), di mana a, b, cR, a0.
Trinomial bujur sangkar adalah polinomial biasa dengan derajat 2. Jangkauan pertanyaan yang dirumuskan dalam trinomial bujur sangkar ternyata sangat luas. Karena tugas-tugas yang terkait dengan studi trinomial persegi secara tradisional menempati tempat terhormat dan menonjol dalam ujian akhir sekolah dan universitas tertulis, sangat penting untuk mengajari siswa (calon pelamar) kepemilikan informal (yaitu, kreatif) dari berbagai teknik dan metode penelitian tersebut. Dalam pengembangan metodis ini, pernyataan utama tentang trinomial kuadrat (teorema Vieta, lokasi akar relatif terhadap titik-titik tertentu dari sumbu numerik, teknik penanganan diskriminan) diperbaiki, masalah dari berbagai jenis dan tingkat kerumitan yang berbeda. diselesaikan. Kesimpulan ideologis utama adalah bahwa dalam matematika sekolah ada fragmen yang kaya akan konten mendalam yang dapat diakses oleh siswa dan tidak memerlukan penggunaan analisis matematis dan bagian lain dari apa yang disebut "matematika yang lebih tinggi".
Grafik trinomial (1) adalah parabola; untuk 0 - ke atas. Letak parabola relatif terhadap sumbu Ox tergantung pada nilai diskriminan D = b 2 - 4ac: untuk D>0 ada dua titik perpotongan parabola dengan sumbu Ox (dua akar real berbeda dari trinomial) ; di D=0 - satu titik (akar real ganda); di D 0 - di atas sumbu Ox). Trik standar adalah representasi berikut dari trinomial (menggunakan ekstraksi kuadrat penuh):
f(x) = ax2 + bx + c = 
=
. Representasi ini memudahkan untuk membangun grafik melalui transformasi linier dari grafik fungsi y=x 2 ; koordinat titik parabola: 
.
Transformasi yang sama memungkinkan untuk segera menyelesaikan masalah ekstrem paling sederhana: untuk menemukan nilai fungsi terbesar (untuk 0) (1); nilai ekstrim dicapai pada titik tersebut dan sama dengan 
.
Salah satu penilaian utama tentang trinomial persegi -
Teorema 1 (Vieta). Jika x 1, x 2 adalah akar-akar trinomial (1), maka
(formula Vieta).
Dengan bantuan teorema Vieta, banyak masalah dapat diselesaikan, khususnya, yang diperlukan untuk merumuskan kondisi yang menentukan tanda-tanda akar. Dua teorema berikut adalah konsekuensi langsung dari teorema Vieta.
Teorema 2. Agar akar-akar trinomial kuadrat (1) nyata dan memiliki tanda yang sama, perlu dan cukup bahwa kondisi berikut dipenuhi:
D \u003d b 2 - 4ac 0, x 1 x 2 \u003d\u003e 0,
kedua akar positif untuk x 1 + x 2 = > 0,
dan kedua akar negatif pada x 1 + x 2 =
Teorema 3. Agar akar-akar trinomial kuadrat (1) nyata dan memiliki tanda yang berbeda, perlu dan cukup bahwa kondisi berikut dipenuhi:
D=b 2 - 4ac > 0, x 1 x 2 =
dalam hal ini, akar positif memiliki modulus yang lebih besar pada x 1 + x 2 \u003d\u003e 0,
dan akar negatif memiliki modulus yang lebih besar pada x 1 + x 2 =
Teorema dan akibat wajar yang dibuktikan di bawah ini dapat (dan karenanya harus) diterapkan secara efektif dalam memecahkan masalah dengan parameter.
Teorema 4. Agar kedua akar trinomial kuadrat (1) lebih kecil dari angka M, yaitu, pada garis nyata, akar-akarnya terletak di sebelah kiri titik M, perlu dan cukup bahwa kondisi berikut dipenuhi :
, atau, dengan menggabungkan kondisi,
(Gbr. 1a dan 1b).
Bukti.
Membutuhkan. Jika trinomial (1) memiliki akar-akar real x 1 dan x 2 (mungkin sama), x 1 x 2 dan x 1, (x 1 - M) (x 2 - M) > 0, x 1 + x 2 0, M > (x 1 + x 2)/2. Menurut formula Vieta 
, oleh karena itu , atau , dll.
Kecukupan
- kontradiksi dengan kondisi. Jika , maka (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, dari mana 
, af(M) 0 - lagi-lagi kontradiksi dengan kondisi; hanya kemungkinan x 1 yang tersisa
Teorema 5. Agar salah satu akar trinomial kuadrat (1) lebih kecil dari angka M, dan yang lainnya lebih besar dari angka M, yaitu titik M terletak pada interval antara akar-akarnya, perlu dan cukup untuk memenuhi kondisi berikut:
, atau, menggabungkan kondisi, af(M)
(Gbr. 2a dan 2b).
Bukti.
Membutuhkan. Jika trinomial (1) memiliki akar real x 1 dan x 2 , x 1 M , maka (x 1 - M)(x 2 - M), maka 
, atau af(M)
Kecukupan. Misalkan af(M) , atau , maka (x 1 - M)(x 2 - M)0,
x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, dari mana 
, af(M)0 - kontradiksi dengan kondisi; satu-satunya kemungkinan yang tersisa, itulah yang perlu dibuktikan. Teorema telah terbukti.
Teorema 6. Agar kedua akar trinomial kuadrat (1) lebih besar dari angka M, yaitu, pada garis nyata, akar-akarnya terletak di sebelah kanan titik M, perlu dan cukup bahwa kondisi berikut dipenuhi :
, atau, dengan menggabungkan kondisi,
(Gbr. 3a dan 3b).
Bukti. Membutuhkan. Jika trinomial (1) memiliki akar-akar real x 1 dan x 2 (mungkin bertepatan), x 1 x 2 dan x 1 > M, x 2 > M, maka, (x 1 -M)(x 2 -M)> 0 , x1 + x2 > 2M; jika tidak x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 > 0, M , oleh karena itu , atau , dll.
Kecukupan. Biarlah. Kami berpendapat sebaliknya. Misalkan , , maka 
- kontradiksi dengan kondisi. Jika , maka (x 1 - M)(x 2 - M)0, x 1 x 2 - (x 1 + x 2)M + M 2 0, dimana , af(M) 0 - lagi kontradiksi dengan kondisi; hanya kemungkinan x 1 > M, x 2 > M yang tersisa, yang harus dibuktikan. Teorema telah terbukti.
Akibat wajar 1. Agar kedua akar trinomial kuadrat (1) lebih besar dari bilangan M, tetapi lebih kecil dari bilangan N (M
, atau, dengan menggabungkan kondisi, 
(Gbr. 4a dan 4b).
Konsekuensi 2. Agar hanya akar terbesar dari trinomial kuadrat (1) yang termasuk dalam interval (M,N), di mana M
, atau, dengan menggabungkan kondisi,
akar yang lebih kecil terletak di luar segmen
(Gbr. 5a dan 5b).
Akibat wajar 3. Agar hanya akar terkecil dari trinomial kuadrat (1) yang termasuk dalam interval (M,N), di mana M
, atau, menggabungkan kondisi, ;
akar yang lebih besar terletak di luar segmen
(Gbr. 6a dan 6b).
Konsekuensi 4. Agar salah satu akar trinomial kuadrat (1) lebih kecil dari M, dan akar lainnya lebih besar dari N (M
, atau, dengan menggabungkan kondisi,
(Gbr. 7, a dan 7, b).
Tentu saja, interpretasi analitis dan geometris dari hasil Teorema 4-6 dan Akibat Akibat 1-4 adalah setara, dan tujuan strategisnya adalah untuk mengembangkan keterampilan penerjemahan yang akurat dari satu bahasa ke bahasa lain. Sangat penting untuk menunjukkan bagaimana "visualisasi" ("tampilan grafis") membantu untuk secara akurat menuliskan kondisi formal yang diperlukan dan cukup untuk memenuhi persyaratan tugas.
Mari kita tunjukkan masalah khas yang dapat diselesaikan dengan bantuan teorema terbukti (lebih umum, yang dapat diselesaikan berdasarkan sifat-sifat trinomial persegi).
Tugas 1. Temukan semua nilai a yang persamaan x 2 +ax+1=0 dan x 2 +x+a=0 memiliki setidaknya satu akar yang sama.
Keputusan. Kedua persamaan memiliki akar-akar yang persis sama jika dan hanya jika koefisien dari trinomial kuadrat yang bersesuaian adalah sama (polinomial derajat dua sepenuhnya ditentukan oleh dua akarnya dan koefisien yang bersesuaian dari polinomial-polinomial ini adalah sama), maka kita mendapatkan a= 1. Namun, jika hanya akar real yang diperhitungkan, maka untuk a=1 tidak ada (diskriminan dari trinomial yang sesuai adalah negatif). Untuk a1, kami berpendapat sebagai berikut: jika x 0 adalah akar dari kedua persamaan f(x)=0 dan g(x)=0, maka x 0 akan menjadi akar dari persamaan f(x)-g(x) =0 (ini hanya diperlukan, tetapi bukan kondisi yang cukup untuk keberadaan akar persekutuan dari dua persamaan f(x)=0 dan g(x)=0, karena persamaan f(x) - g(x) =0 adalah mereka konsekuensi); Kurangi yang kedua dari persamaan pertama dan dapatkan
(x 2 + ax + 1) - (x 2 + x + a) = 0, x(a-1) - (a-1)=0, dari mana, karena a1, x=1. Dengan demikian, jika diberikan persamaan memiliki akar yang sama, maka itu sama dengan 1. Substitusikan x = 1 ke persamaan pertama: 1 + a + 1 = 0, dan a = -2.
Menjawab. a = -2.
Tugas 2. Pada a berapa jumlah kuadrat akar persamaan x 2 - ax + a - 1 = 0 menjadi yang terkecil?
Keputusan. Oleh teorema Vieta, x 1 + x 2 = a, x 1 x 2 = a - 1. Kita memiliki:
x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2x 1 x 2 = a 2 - 2(a-1) = a 2 - 2a + 2 = (a-1) 2 + 1 1 dan = 1 untuk a=1.
Menjawab. a = 1.
Tugas 3. Apakah ada akar-akar polinomial f(x)=x 2 +2x+a real, berbeda, dan keduanya antara -1 dan 1?
Keputusan. Agar kedua akar x 1 dan x 2 dari trinomial f (x) diapit antara -1 dan 1, rata-rata aritmatika dari akar-akar ini harus diapit antara -1 dan 1: 
; tapi pada teorema Vieta,
, Itu sebabnya
Menjawab. Tidak.
Tugas 4. Untuk berapa nilai parameter a kedua akar persamaan kuadrat x 2 + (2a + 6)x + 4a + 12 = 0 nyata dan keduanya lebih besar dari -1?
Keputusan. Teorema 6 memberikan:
,
,
,
.
Menjawab. .
Tugas 5. Untuk berapa nilai parameter a kedua akar persamaan kuadrat x 2 +4ax+ (1-2a+4a 2) = 0 real dan keduanya kurang dari -1?
Keputusan. Teorema 4 memberikan:
,
,
, a>1.
Menjawab. sebuah > 1.
Tugas 6. Untuk berapa nilai parameter a adalah salah satu akar persamaan kuadrat f(x) = (a-2)x 2 - 2(a+3)x + 4a = 0 lebih besar dari 3, dan yang lainnya kurang dari 2 ?
Keputusan. Catat segera bahwa a2 (jika tidak, persamaan hanya akan memiliki satu akar). Berlaku wajar 4(di sini M=2, N=3):
,
,
,
2
. Kedua akarnya positif 
(teorema 6), di mana
dan 
;
(teorema 4) - sistem solusi ini tidak memiliki; akar memiliki tanda yang berbeda pada (a-1)(a+5) teorema 5), yaitu -5 
,
, jika 1-p+q=0. Akar kedua sama dengan x 2 =1-p; maka, jika , maka persamaan sin 2 t +psint+q=0 (4) memiliki, selain yang ditunjukkan, akar (untuk p=2, kedua seri akar bertepatan).
, jika
, kemudian 
, sedangkan untuk p2 tidak ada akar. Jika p=2, maka q=1, x 2 +2x+1=0, x=-1, t=, dan jika p=-2, maka x=1, t=.
.
.
.4. Lokasi akar trinomial persegi tergantung pada parameter
Seringkali ada masalah dengan parameter yang diperlukan untuk menentukan lokasi akar trinomial persegi pada sumbu nyata. Berdasarkan ketentuan pokok dan notasi alinea sebelumnya, perhatikan hal-hal sebagai berikut:
1. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana 
dan titik m pada poros Sapi. Kemudian kedua kuda 
trinomial persegi 
akan sangat kurang m
atau 
Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 3.1 dan 3.2.
2. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana dan sebuah titik m pada poros Sapi. Ketidaksamaan 
berlaku hanya jika dan hanya jika bilangan
sebuah dan 
memiliki tanda yang berbeda, yaitu 
(Gbr. 4.1 dan 4.2.)
3. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana dan titik m pada poros Sapi. Kemudian kedua kuda 
trinomial persegi akan benar-benar lebih besar m jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi:
atau 
Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 5.1 dan 5.2.
4. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana dan intervalnya (m, M) Maka kedua akar trinomial kuadrat termasuk dalam interval yang ditunjukkan jika dan hanya jika kondisi berikut dipenuhi:
atau 
Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 6.1 dan 6.2.
5. Biarkan trinomial persegi diberikan, di mana , adalah akar dan segmennya 
.
Segmen terletak pada interval 
jika dan hanya jika kondisi berikut terpenuhi:
Ilustrasi geometris ditunjukkan pada Gambar 7.1 dan 7.2.
Contoh.Temukan semua nilai parametersebuah, untuk masing-masing akar persamaan 
lebih dari -2.
Keputusan. Ini ditentukan dalam kondisi tugas. Bahwa persamaan memiliki dua akar, jadi . Situasi yang sedang dipertimbangkan dijelaskan oleh kasus 3 dan ditunjukkan pada Gambar 5.1. dan 5.2.
Mari kita temukan, 
,
Mempertimbangkan semua ini, kami menulis himpunan dua sistem:
atau 
Memecahkan dua sistem ini, kita mendapatkan .
Menjawab. Untuk setiap nilai parameter sebuah dari celah, kedua akar persamaan lebih besar dari -2.
Contoh.Berapa nilai parameternyasebuahketidaksamaan 
dilakukan untuk apa saja 
?
Keputusan. Jika himpunan X adalah solusi dari pertidaksamaan ini, maka kondisi masalah berarti bahwa interval 
harus dalam set X, yaitu
.
Pertimbangkan semua kemungkinan nilai parameter sebuah.
1.Jika a=0, maka pertidaksamaan berbentuk 
, dan penyelesaiannya adalah interval 
. Dalam hal ini, kondisi terpenuhi dan a=0 adalah solusi untuk masalah tersebut.
2.Jika 
, maka grafik sisi kanan pertidaksamaan adalah trinomial persegi, yang cabang-cabangnya mengarah ke atas. Penyelesaian pertidaksamaan bergantung pada tanda .
Pertimbangkan kasus ketika 
. Kemudian, agar pertidaksamaan berlaku untuk semua, diperlukan akar-akar trinomial kuadrat lebih kecil dari -1, yaitu:
atau 
Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan 
.
Jika sebuah 
, maka parabola terletak di atas sumbu HAIx, dan solusi pertidaksamaan akan berupa bilangan apa pun dari himpunan bilangan real, termasuk interval . Ayo temukan yang seperti itu sebuah dari kondisi:
atau 
Memecahkan sistem ini, kita mendapatkan 
.
3.Jika 
, lalu di 
solusi pertidaksamaan adalah interval , yang tidak dapat menyertakan interval , dan jika 
ketidaksetaraan ini tidak memiliki solusi.
Menggabungkan semua nilai yang ditemukan sebuah, kita mendapatkan jawabannya.
Menjawab. Untuk setiap nilai parameter dari interval 
ketidaksetaraan berlaku untuk setiap .
Contoh.Untuk nilai parameter apa kumpulan nilai fungsi berisi segmen 
?
Keputusan. 1. Jika 
, kemudian
a) di a = 1 fungsi akan berbentuk kamu = 2, dan himpunan nilainya terdiri dari satu titik 2 dan tidak mengandung segmen ;
b) kapan a =-1 fungsi akan mengambil bentuk kamu = -2
x+2
. Kumpulan maknanya 
berisi segmen, jadi a =-1 adalah solusi untuk masalah tersebut.
2.Jika 
, maka cabang-cabang parabola mengarah ke atas, fungsi mengambil nilai terkecil di titik parabola 
:
, 
.
Himpunan nilai fungsi adalah interval 
, yang berisi segmen 
jika kondisi berikut terpenuhi:
.
3. Jika 
, maka cabang-cabang parabola diarahkan ke bawah, fungsi mengambil nilai terbesar di titik parabola 
. Himpunan nilai fungsi adalah interval 
, yang berisi segmen jika kondisi berikut terpenuhi: 
Memecahkan sistem pertidaksamaan ini, kita peroleh 
.
Menggabungkan solusi, kita mendapatkan 
.
Menjawab. Pada 
himpunan nilai fungsi berisi segmen .
Tugas untuk solusi independen
1. Tanpa menghitung akar persamaan kuadrat 
, mencari
sebuah) 
, b) 
, di) 
2. Temukan himpunan nilai fungsi
sebuah) 
, b) 
, di) 
, G) 
3. Selesaikan persamaan
sebuah) 
, b) 
4. Berapa nilai parameternya? sebuah kedua akar persamaan 
terletak pada interval (-5, 4)?
5. Berapa nilai parameternya? sebuah ketidaksamaan berlaku untuk semua nilai x?
6. Berapa nilai parameternya? sebuah nilai fungsi terkecil
Di segmen 
adalah -1?
7. Berapa nilai parameternya? sebuah persamaan 
memiliki akar?
Karpova Irina Viktorovna
PROGRAM DAN MATERI PENDIDIKAN KURSUS PILIHAN matematika untuk siswa kelas 8-9 "Elemen teori probabilitas dan statistik matematika"
Catatan penjelasan
Saat ini, universalitas hukum probabilistik-statistik menjadi jelas, mereka telah menjadi dasar untuk menggambarkan gambaran ilmiah dunia. Fisika modern, kimia, biologi, demografi, linguistik, filsafat, seluruh kompleks ilmu sosial-ekonomi berkembang atas dasar statistik-probabilistik.
Seorang anak dalam hidupnya sehari-hari menghadapi situasi probabilistik. Rentang masalah yang terkait dengan memahami hubungan antara konsep probabilitas dan keandalan, masalah memilih yang terbaik dari beberapa solusi, menilai tingkat risiko dan peluang keberhasilan - semua ini berada dalam lingkup kepentingan nyata formasi dan pengembangan diri individu.
Semua hal di atas membuat anak perlu dibiasakan dengan pola statistik-probabilistik.
Tujuan kursus: untuk memperkenalkan siswa dengan beberapa keteraturan teoritis dan probabilistik dan metode statistik pengolahan data.
Tujuan kursus
Untuk memperkenalkan siswa dengan peralatan konseptual dasar teori probabilitas.
Belajar menentukan peluang kejadian dalam skema tes klasik.
Untuk memperkenalkan metode pemrosesan utama data statistik.
Persyaratan untuk tingkat penguasaan konten kursus
Sebagai hasil dari menguasai program kursus, siswa harus tahu:
konsep dasar teori probabilitas: tes, hasil tes, ruang peristiwa dasar, peristiwa acak, pasti, tidak mungkin, peristiwa bersama dan tidak kompatibel;
kondisi skema tes klasik dan penentuan probabilitas suatu peristiwa dalam skema tes klasik;
menentukan frekuensi relatif terjadinya peristiwa dan probabilitas statistik;
penentuan deret variasi dan karakteristik numerik utamanya.
Selama kursus, siswa harus memperoleh keterampilan:
menentukan semua kemungkinan hasil tes, kompatibilitas dan ketidakcocokan peristiwa;
memecahkan masalah teoretis dan probabilistik untuk menghitung probabilitas dalam skema uji klasik;
menghitung frekuensi relatif terjadinya suatu peristiwa;
membuat distribusi statistik sampel dan menghitung karakteristik numeriknya.
Program ini melibatkan pengembangan siswa keterampilan:
penggunaan algoritme yang ada dan, jika perlu, pemrosesan kreatifnya dalam kondisi spesifik masalah;
pemecahan masalah secara mandiri;
digunakan dalam memecahkan masalah skema umum yang berisi definisi dan rumus dasar.
Lingkup kursus: kursus yang ditawarkan adalah 20 jam
Perencanaan tematik
Topik Pelajaran | Jumlah jam |
|
Konsep dasar teori probabilitas. | ||
Skema tes klasik. Penentuan probabilitas dalam skema uji klasik. | ||
Frekuensi itu mutlak dan relatif. | ||
Definisi statistik probabilitas. | ||
Populasi umum dan sampel. | ||
Distribusi statistik sampel. | ||
Karakteristik numerik dari distribusi statistik. | ||
Estimasi dan perkiraan statistik. | ||
teks manual
Banyak orang menyukai matematika karena kebenarannya yang abadi: dua kali dua selalu empat, jumlah bilangan genap adalah genap, dan luas persegi panjang sama dengan produk dari sisi-sisi yang berdekatan. Dalam masalah apa pun yang Anda selesaikan di kelas matematika, semua orang mendapat jawaban yang sama - Anda hanya harus tidak membuat kesalahan dalam penyelesaiannya.
Kehidupan nyata tidak begitu sederhana dan tidak ambigu. Tidak mungkin untuk memprediksi hasil dari banyak fenomena sebelumnya, tidak peduli seberapa lengkap informasi yang kita miliki tentang mereka. Tidak mungkin, misalnya, untuk mengatakan dengan pasti sisi mana koin yang dilempar akan mendarat, kapan salju pertama akan turun tahun depan, atau berapa banyak orang di kota yang ingin menelepon dalam satu jam berikutnya. Peristiwa tak terduga seperti itu disebut acak.
Namun, kasus ini juga memiliki hukumnya sendiri, yang mulai memanifestasikan dirinya dengan pengulangan berulang dari fenomena acak. Jika Anda melempar koin 1000 kali, maka "elang" akan jatuh sekitar separuh waktu, yang tidak dapat dikatakan tentang dua atau bahkan sepuluh kali lemparan. Perhatikan kata "kira-kira" - hukum tidak menyatakan bahwa jumlah "elang" akan tepat 500 atau jatuh antara 490 dan 510. Hukum tidak menyatakan apa pun secara pasti, tetapi memberikan tingkat kepastian tertentu bahwa beberapa acak peristiwa yang akan terjadi. . Keteraturan seperti itu dipelajari oleh cabang khusus matematika - teori probabilitas.
Teori probabilitas terkait erat dengan kehidupan kita sehari-hari. Ini memberikan peluang luar biasa untuk menetapkan banyak hukum probabilistik secara empiris, berulang kali mengulangi eksperimen acak. Bahan untuk eksperimen ini paling sering berupa koin biasa, dadu, satu set kartu domino, roda roulette, dan bahkan setumpuk kartu. Masing-masing item ini, dengan satu atau lain cara, terhubung dengan permainan. Faktanya adalah bahwa kasus di sini muncul dalam bentuknya yang paling murni, dan masalah probabilistik pertama dikaitkan dengan penilaian peluang pemain untuk menang.
Teori probabilitas modern telah bergerak jauh dari permainan peluang seperti geometri dari masalah pengelolaan lahan, tetapi alat peraga mereka masih merupakan sumber peluang yang paling sederhana dan paling dapat diandalkan. Dengan berlatih dengan roda roulette dan dadu, Anda akan belajar bagaimana menghitung probabilitas kejadian acak dalam situasi kehidupan nyata, yang akan memungkinkan Anda untuk menilai peluang Anda untuk sukses, menguji hipotesis, dan membuat keputusan tidak hanya dalam permainan dan lotere.
Statistika matematika adalah cabang matematika yang mempelajari metode untuk mengumpulkan, mensistematisasikan, dan mengolah hasil pengamatan fenomena acak massa untuk mengidentifikasi pola yang ada.
Dalam arti tertentu, masalah statistik matematika berbanding terbalik dengan masalah teori probabilitas: hanya berurusan dengan nilai-nilai variabel acak yang diperoleh secara eksperimental, statistik bertujuan untuk mengajukan dan menguji hipotesis tentang distribusi variabel acak ini dan mengevaluasi parameter dari distribusi mereka.
1. Peristiwa acak. Bagaimana cara membandingkan peristiwa?
Seperti cabang matematika lainnya, teori probabilitas memiliki perangkat konseptualnya sendiri, yang digunakan dalam merumuskan definisi, membuktikan teorema, dan menurunkan rumus. Mari kita pertimbangkan konsep-konsep yang akan kita gunakan dalam penjelasan teori selanjutnya.
Uji coba- implementasi serangkaian kondisi.
Hasil tes (acara dasar)– hasil apa pun yang mungkin terjadi selama pengujian.
Contoh.
1) Uji coba:
Hasil tes: 1 - satu titik telah muncul di permukaan atas kubus;
2 – dua titik muncul di permukaan atas kubus;
3 – tiga poin muncul di permukaan atas kubus;
4 – empat titik muncul di permukaan atas kubus;
5 – lima poin muncul di permukaan atas kubus;
6 - enam poin muncul di permukaan atas kubus.
Secara total, 6 hasil tes (atau 6 peristiwa dasar) dimungkinkan.
2) Uji coba: siswa tersebut mengikuti ujian.
Hasil tes: 1 - siswa menerima deuce;
2 - siswa menerima tiga;
3 - siswa menerima empat;
4 - siswa menerima lima.
Secara total, 4 hasil tes (atau 4 peristiwa dasar) dimungkinkan.
Komentar. Notasi adalah notasi standar untuk peristiwa dasar, berikut ini kita akan menggunakan notasi ini.
Kami akan memanggil hasil tes ini sama mungkin jika hasil uji coba memiliki peluang yang sama untuk muncul.
Ruang acara dasar- himpunan semua kejadian dasar (hasil tes) yang mungkin muncul selama tes.
Dalam contoh yang kami pertimbangkan di atas, ruang peristiwa dasar dari tes ini sebenarnya dijelaskan.
Komentar. Jumlah titik dalam ruang kejadian dasar (PES), mis. jumlah peristiwa dasar akan dilambangkan dengan huruf n.
Mari kita pertimbangkan konsep utama, yang akan kita gunakan berikut ini.
Definisi 1.1.Sebuah event adalah kumpulan dari sejumlah poin TEC.
Di masa depan, kami akan menunjukkan peristiwa dalam huruf Latin kapital: A, B, C.
Definisi 1.2.Peristiwa yang mungkin atau mungkin tidak terjadi selama pengujian disebut peristiwa acak.
Dengan membeli tiket lotre, kita mungkin menang atau tidak; dalam pemilihan berikutnya, partai yang berkuasa mungkin menang atau tidak; dalam pelajaran Anda mungkin dipanggil ke dewan, atau mereka mungkin tidak dipanggil, dll. Ini semua adalah contoh kejadian acak yang, dalam kondisi yang sama, mungkin atau mungkin tidak terjadi selama pengujian.
Komentar. Setiap peristiwa dasar juga merupakan peristiwa acak.
Definisi 1.3.Suatu peristiwa yang terjadi untuk setiap hasil percobaan disebut peristiwa tertentu.
Definisi 1.4.Suatu peristiwa yang tidak dapat terjadi di bawah hasil tes apa pun disebut peristiwa yang tidak mungkin.
Contoh.
1) Uji coba: sebuah dadu dilempar.
Acara A: jumlah poin genap jatuh di bagian atas dadu;
Acara B: di sisi atas dadu, sejumlah poin jatuh, kelipatan 3;
Acara C: 7 poin jatuh di bagian atas dadu;
Acara D: jumlah poin kurang dari 7 jatuh di muka atas dadu.
Acara TETAPI dan PADA mungkin atau mungkin tidak terjadi selama pengujian, jadi ini adalah peristiwa acak.
Peristiwa Dengan tidak pernah bisa terjadi, jadi itu adalah peristiwa yang mustahil.
Peristiwa D terjadi dengan hasil tes apa pun, maka ini adalah peristiwa yang dapat diandalkan.
Kami mengatakan bahwa peristiwa acak di bawah kondisi yang sama mungkin atau mungkin tidak terjadi. Pada saat yang sama, beberapa peristiwa acak memiliki lebih banyak peluang untuk terjadi (yang berarti lebih mungkin - lebih dekat ke dapat diandalkan), sementara yang lain memiliki lebih sedikit peluang (lebih kecil kemungkinannya - lebih dekat ke tidak mungkin). Oleh karena itu, sebagai pendekatan pertama, probabilitas dapat didefinisikan sebagai tingkat kemungkinan terjadinya suatu peristiwa.
Jelas bahwa peristiwa yang lebih mungkin akan terjadi lebih sering daripada yang kurang mungkin. Jadi Anda dapat membandingkan probabilitas dengan frekuensi kejadian yang terjadi.
Mari kita coba menempatkan kejadian berikut pada skala probabilitas khusus dalam urutan peningkatan probabilitas kemunculannya.
Acara A: tahun depan salju pertama di Khabarovsk akan turun pada hari Minggu;
Acara B: sandwich yang jatuh dari meja jatuh dengan sisi mentega ke bawah;
Acara C: saat melempar dadu, 6 poin akan rontok;
Acara D: saat melempar dadu, jumlah poin akan jatuh;
Acara E: saat melempar dadu, 7 poin jatuh;
Acara F: Ketika sebuah dadu dilempar, akan muncul sejumlah angka yang kurang dari 7.
Jadi, pada titik awal skala kami, kami akan menempatkan peristiwa yang tidak mungkin, karena tingkat kemungkinan kemunculannya (probabilitas) hampir sama dengan 0. Dengan demikian, ini akan menjadi peristiwa E. Pada titik akhir skala kami, kami menempatkan acara yang andal - F. Semua peristiwa lain adalah acak, mari kita coba mengaturnya dalam skala sesuai dengan peningkatan derajat kemunculannya. Untuk melakukan ini, kita harus mencari tahu mana yang lebih kecil kemungkinannya dan mana yang lebih mungkin. Mari kita mulai dengan acaranya D: Saat kita melempar dadu, masing-masing dari 6 wajah memiliki peluang yang sama untuk menjadi yang teratas. Jumlah poin genap - di tiga sisi kubus, di tiga lainnya - ganjil. Jadi tepat setengah dari kemungkinan (3 dari 6) bahwa peristiwa itu D akan terjadi. Oleh karena itu, kami menempatkan acara D di tengah skala kami.
Pada acara tersebut Dengan hanya satu kesempatan dalam 6 saat acara telah D- tiga peluang dari 6 (seperti yang kami temukan). Jadi Dengan kemungkinan kecil dan akan ditempatkan pada skala di sebelah kiri acara D.
Peristiwa TETAPI bahkan lebih kecil kemungkinannya daripada Dengan, karena ada 7 hari dalam seminggu dan di salah satu hari tersebut salju pertama dapat turun dengan peluang yang sama, jadi kejadiannya adalah TETAPI satu kesempatan dalam 7. Acara TETAPI, dengan demikian, akan ditempatkan lebih ke kiri daripada acara Dengan.
Hal tersulit untuk ditempatkan pada skala adalah sebuah acara PADA. Di sini tidak mungkin untuk menghitung peluang secara akurat, tetapi Anda dapat meminta pengalaman hidup untuk membantu: sandwich jatuh ke lantai dengan mentega lebih sering (bahkan ada "hukum sandwich"), jadi acaranya PADA jauh lebih mungkin daripada D, jadi pada skala kita letakkan di sebelah kanan dari D. Dengan demikian, kita mendapatkan skala:
E A C D B F
tidak mungkin acak pasti
Skala probabilitas yang dibangun tidak cukup nyata - tidak memiliki tanda numerik, divisi. Kita dihadapkan pada tugas belajar bagaimana menghitung derajat kemungkinan terjadinya (probabilitas) suatu kejadian.
