Matriks tipe diagonal paling sederhana disusun. Timbul pertanyaan apakah mungkin untuk menemukan basis di mana matriks operator linier akan memiliki bentuk diagonal. Dasar seperti itu ada.
Biarkan ruang linier R n dan operator linier A yang bekerja di dalamnya diberikan; dalam hal ini, operator A mengambil R n ke dalam dirinya sendiri, yaitu, A:R n → R n .

Definisi. Sebuah vektor bukan-nol x disebut vektor eigen dari operator A jika operator A mengubah x menjadi vektor yang kolinear dengannya, yaitu . Bilangan disebut nilai eigen atau nilai eigen dari operator A yang bersesuaian dengan vektor eigen x .
Kami mencatat beberapa sifat nilai eigen dan vektor eigen.
1. Setiap kombinasi linear dari vektor eigen dari operator A yang berkorespondensi dengan nilai eigen yang sama adalah vektor eigen dengan nilai eigen yang sama.
2. Vektor eigen operator A dengan nilai eigen berbeda berpasangan 1 , 2 , …, m bebas linier.
3. Jika nilai eigen λ 1 =λ 2 = m = , maka nilai eigen sesuai dengan tidak lebih dari m vektor eigen bebas linier.

Jadi, jika ada n vektor eigen yang bebas linier sesuai dengan nilai eigen yang berbeda λ 1 , 2 , …, n , maka mereka bebas linier, oleh karena itu, mereka dapat diambil sebagai basis ruang R n . Mari kita cari bentuk matriks dari operator linier A berdasarkan vektor eigennya, di mana kita bertindak dengan operator A berdasarkan vektor dasar: kemudian .
Dengan demikian, matriks operator linier A berdasarkan vektor eigennya memiliki bentuk diagonal, dan nilai eigen operator A berada pada diagonal.
Apakah ada dasar lain di mana matriks memiliki bentuk diagonal? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema berikut.

Dalil. Matriks operator linier A pada basis (i = 1..n) berbentuk diagonal jika dan hanya jika semua vektor basis adalah vektor eigen dari operator A.

Aturan untuk mencari nilai eigen dan vektor eigen

Biarkan vektor , di mana x 1 , x 2 , …, x n - koordinat vektor x relatif terhadap basis dan x adalah vektor eigen dari operator linier A yang sesuai dengan nilai eigen , yaitu . Relasi ini dapat ditulis dalam bentuk matriks

. (*)

Persamaan (*) dapat dianggap sebagai persamaan untuk menemukan x , dan , yaitu, kita tertarik pada solusi non-trivial, karena vektor eigen tidak boleh nol. Diketahui bahwa solusi nontrivial dari sistem persamaan linear homogen ada jika dan hanya jika det(A - E) = 0. Jadi, agar menjadi nilai eigen dari operator A, det(A - E perlu dan cukup bahwa det(A - E) ) = 0.
Jika persamaan (*) ditulis secara rinci dalam bentuk koordinat, maka kita mendapatkan sistem persamaan linier homogen:

(1)
di mana adalah matriks dari operator linier.

Sistem (1) memiliki solusi bukan nol jika determinannya D sama dengan nol

Kami mendapat persamaan untuk menemukan nilai eigen.
Persamaan ini disebut persamaan karakteristik, dan ruas kirinya disebut polinomial karakteristik dari matriks (operator) A. Jika polinomial karakteristik tidak memiliki akar real, maka matriks A tidak memiliki vektor eigen dan tidak dapat direduksi menjadi bentuk diagonal.
Misalkan 1 , 2 , …, n adalah akar-akar real dari persamaan karakteristik, dan mungkin ada kelipatan di antara mereka. Mengganti nilai-nilai ini pada gilirannya menjadi sistem (1), kami menemukan vektor eigen.

Contoh 12. Operator linier A bekerja di R 3 sesuai dengan hukum , dimana x 1 , x 2 , .., x n adalah koordinat vektor di basis , , . Temukan nilai eigen dan vektor eigen dari operator ini.
Keputusan. Kami membangun matriks operator ini:
.
Kami menyusun sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen:

Kami menyusun persamaan karakteristik dan menyelesaikannya:

.
1,2 = -1, 3 = 3.
Mensubstitusikan = -1 ke dalam sistem, kita memperoleh:
atau
Sebagai , maka ada dua variabel terikat dan satu variabel bebas.
Biarkan x 1 menjadi tidak diketahui gratis, maka Kami memecahkan sistem ini dengan cara apa pun dan menemukan solusi umum dari sistem ini: Sistem dasar solusi terdiri dari satu solusi, karena n - r = 3 - 2 = 1.
Himpunan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen = -1 memiliki bentuk: , di mana x 1 adalah bilangan apa pun selain nol. Mari kita pilih satu vektor dari himpunan ini, misalnya dengan menetapkan x 1 = 1: .
Dengan argumen yang sama, kami menemukan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen = 3: .
Dalam ruang R 3 basis terdiri dari tiga vektor bebas linier, tetapi kita hanya memperoleh dua vektor eigen bebas linier, yang darinya basis di R 3 tidak dapat dibentuk. Akibatnya, matriks A dari operator linier tidak dapat direduksi menjadi bentuk diagonal.

Contoh 13 Diberikan matriks .
1. Buktikan bahwa vektor adalah vektor eigen dari matriks A. Temukan nilai eigen yang sesuai dengan vektor eigen ini.
2. Tentukan basis di mana matriks A berbentuk diagonal.
Keputusan.
1. Jika , maka x adalah vektor eigen

.
Vektor (1, 8, -1) adalah vektor eigen. Nilai eigen = -1.
Matriks memiliki bentuk diagonal pada basis yang terdiri dari vektor eigen. Salah satunya terkenal. Mari kita cari sisanya.
Kami mencari vektor eigen dari sistem:

Persamaan karakteristik: ;
(3 + )[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
1 = -3, 2 = 1, 3 = -1.
Temukan vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen = -3:

Pangkat matriks sistem ini sama dengan dua dan sama dengan jumlah yang tidak diketahui, oleh karena itu sistem ini hanya memiliki solusi nol x 1 = x 3 = 0. x 2 di sini dapat berupa apa saja selain nol, misalnya, x 2 = 1. Jadi, vektor (0 ,1,0) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan = -3. Mari kita periksa:
.
Jika = 1, maka diperoleh sistem
Pangkat matriks adalah dua. Coret persamaan terakhir.
Biarkan x 3 menjadi tidak diketahui gratis. Kemudian x 1 \u003d -3x 3, 4x 2 \u003d 10x 1 - 6x 3 \u003d -30x 3 - 6x 3, x 2 \u003d -9x 3.
Dengan asumsi x 3 = 1, kita memiliki (-3,-9,1) - sebuah vektor eigen yang sesuai dengan nilai eigen = 1. Periksa:

.
Karena nilai eigennya nyata dan berbeda, vektor-vektor yang bersesuaian dengannya bebas linier, sehingga dapat diambil sebagai basis dalam R 3 . Jadi, pada dasarnya , , matriks A berbentuk:
.
Tidak setiap matriks dari operator linier A:R n → R n dapat direduksi menjadi bentuk diagonal, karena untuk beberapa operator linier mungkin ada kurang dari n vektor eigen bebas linier. Namun, jika matriksnya simetris, maka tepat m vektor bebas linier berkorespondensi dengan akar persamaan karakteristik multiplisitas m.

Definisi. Matriks simetris adalah matriks persegi di mana elemen-elemen yang simetris terhadap diagonal utama adalah sama, yaitu di mana .
Perkataan. 1. Semua nilai eigen dari matriks simetris adalah nyata.
2. Vektor eigen dari matriks simetris yang bersesuaian dengan nilai eigen yang berbeda berpasangan adalah ortogonal.
Sebagai salah satu dari banyak aplikasi peralatan yang dipelajari, kami mempertimbangkan masalah penentuan bentuk kurva orde kedua.

Definisi 9.3. vektor X ditelepon vektor sendiri matriks TETAPI jika ada nomor seperti itu λ, bahwa persamaan itu berlaku: TETAPI X= λ X, yaitu, hasil penerapan ke X transformasi linier yang diberikan oleh matriks TETAPI, adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ . Nomornya sendiri λ ditelepon nomor sendiri matriks TETAPI.

Mengganti ke dalam rumus (9.3) x` j = x j , kami memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen:

. (9.5)

Sistem homogen linier ini akan memiliki solusi non-trivial hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk:

kita mendapatkan persamaan untuk menentukan nilai eigen λ ditelepon persamaan karakteristik. Secara singkat dapat digambarkan sebagai berikut:

| A-λE | = 0, (9.6)

karena ruas kirinya adalah determinan matriks A-λE. Polinomial terhadap | A-λE| ditelepon polinomial karakteristik matriks a.

Sifat-sifat polinomial karakteristik:

1) Polinomial karakteristik dari transformasi linier tidak bergantung pada pilihan basis. Bukti. (lihat (9.4)), tetapi karena itu, . Dengan demikian, tidak tergantung pada pilihan dasar. Oleh karena itu, dan | A-λE| tidak berubah saat transisi ke basis baru.

2) Jika matriks TETAPI transformasi linier adalah simetris(itu. a ij = a ji), maka semua akar persamaan karakteristik (9.6) adalah bilangan real.

Sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen:

1) Jika kita memilih basis dari vektor eigen x 1, x 2, x 3 sesuai dengan nilai eigen 1 , 2 , 3 matriks TETAPI, maka pada basis ini transformasi linier A memiliki matriks diagonal:

(9.7) Bukti properti ini mengikuti definisi vektor eigen.

2) Jika nilai eigen transformasi TETAPI berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian dengannya bebas linier.

3) Jika polinomial karakteristik dari matriks TETAPI memiliki tiga akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks TETAPI memiliki bentuk diagonal.

Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Mari kita buat persamaan karakteristik: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Temukan koordinat vektor eigen yang sesuai dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut bahwa jika X (1) ={x 1 , x 2 , x 3) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 1 = -2, maka

adalah sistem kolaboratif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis sebagai X (1) ={sebuah,0,-sebuah), di mana a adalah sembarang bilangan. Khususnya, jika Anda memerlukan | x (1) |=1, X (1) =

Substitusi ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kami mendapatkan sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua - x (2) ={y1,y2,y3}:

, di mana X (2) ={b,-b,b) atau, asalkan | x (2) |=1, x (2) =

Untuk λ 3 = 6 tentukan vektor eigennya x (3) ={z1, z2, z3}:

, x (3) ={c,2c,c) atau dalam versi yang dinormalisasi

x (3) = Dapat dilihat bahwa X (1) X (2) = ab-ab= 0, x (1) x (3) = ac-ac= 0, x (2) x (3) = SM- 2bc + bc= 0. Jadi, vektor eigen dari matriks ini adalah ortogonal berpasangan.

Kuliah 10

Bentuk kuadrat dan hubungannya dengan matriks simetris. Sifat-sifat vektor eigen dan nilai eigen dari matriks simetris. Pengurangan bentuk kuadrat menjadi bentuk kanonik.

Definisi 10.1.bentuk kuadrat variabel nyata x 1, x 2,…, x n polinomial derajat kedua sehubungan dengan variabel-variabel ini disebut, yang tidak mengandung istilah bebas dan istilah derajat pertama.

Contoh bentuk kuadrat:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Ingat definisi matriks simetris yang diberikan dalam kuliah terakhir:

Definisi 10.2. Matriks persegi disebut simetris, jika , yaitu, jika elemen matriks simetris terhadap diagonal utama adalah sama.

Sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen dari matriks simetris:

1) Semua nilai eigen dari matriks simetris adalah nyata.

Bukti (untuk n = 2).

Biarkan matriks TETAPI seperti: . Mari kita buat persamaan karakteristiknya:

(10.2) Temukan diskriminannya:

Oleh karena itu, persamaan hanya memiliki akar real.

2) Vektor eigen dari matriks simetris adalah ortogonal.

Bukti (untuk n= 2).

Koordinat vektor eigen dan harus memenuhi persamaan.

Kuliah 9

Transformasi linier koordinat. Vektor eigen dan nilai eigen suatu matriks, sifat-sifatnya. Polinomial karakteristik suatu matriks, sifat-sifatnya.

Kami akan mengatakan bahwa pada himpunan vektorRdiberikan transformasi TETAPI , jika setiap vektor X R menurut beberapa aturan, vektor TETAPI X R.

Definisi 9.1.transformasi TETAPI ditelepon linier, jika untuk sembarang vektor X dan pada dan untuk sembarang bilangan real λ persamaan terpenuhi:

TETAPI( X + pada )=TETAPI X+ A pada ,A(λ X ) = A X. (9.1)

Definisi 9.2.Transformasi linier disebut identik, jika itu mengubah vektor apa pun X ke dalam dirinya sendiri.

Transformasi identitas dilambangkan DIA X= X .

Pertimbangkan ruang tiga dimensi dengan basis e 1 , e 2, e 3 , di mana transformasi linier ditentukan TETAPI. Menerapkannya ke vektor dasar, kita mendapatkan vektor TETAPI e 1, TETAPI e 2, TETAPI e 3 milik ruang tiga dimensi ini. Oleh karena itu, masing-masing dari mereka dapat diperluas dengan cara yang unik dalam hal vektor basis:

TETAPI e 1 = 11 e 1+ 21 e 2+ 31 e 3,

TETAPI e 2 = 12 e 1+ 22 e 2+ 32 e 3 ,(9.2)

TETAPI e 3= 13 e 1+ 23 e 2+ 33 e 3 .

Matriks ditelepon matriks transformasi linier TETAPI pada dasarnya e 1 , e 2, e 3 . Kolom matriks ini terdiri dari koefisien dalam rumus (9.2) dari transformasi basis.

Komentar. Jelas, matriks transformasi identitas adalah matriks identitas E.

Untuk vektor arbitrer X = x 1 e 1+x2 e 2+x3 e 3 hasil penerapan transformasi linier padanya TETAPI akan vektor TETAPI X, yang dapat diperluas dalam vektor dengan dasar yang sama: TETAPI X =x` 1 e 1+ x` 2 e 2+ x` 3 e 3 , dimana koordinatx` sayadapat dicari dengan menggunakan rumus:

X` 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3,(9.3)

x` 3 = sebuah 31 x 1 + sebuah 32 x 2 + sebuah 33 x 3 .

Koefisien dalam rumus transformasi linier ini adalah elemen dari baris matriks TETAPI.

Transformasi matriks transformasi linier

ketika pindah ke dasar baru.

Pertimbangkan transformasi linier A dan dua basis dalam ruang tiga dimensi: e 1 , e 2, e 3 dan e 1 , e 2 , e 3 . Biarkan matriks C mendefinisikan rumus transisi dari basis (e k) ke dasar ( e k). Jika pada basis pertama transformasi linier yang dipilih diberikan oleh matriks A , dan pada basis kedua - oleh matriks TETAPI, maka kita dapat mencari hubungan antara matriks-matriks tersebut, yaitu:

A \u003d C -1 TETAPI C(9.4)

Memang, kemudian TETAPI . Di sisi lain, hasil penerapan transformasi linier yang sama TETAPI pada dasarnya (e k), yaitu , dan dasar (e k ): masing-masing - dihubungkan oleh matriks Dengan: , dari mana jadinya SA = TETAPI Dengan. Mengalikan kedua sisi persamaan ini di sebelah kiri dengan Dengan-1 , kita dapatkan Dengan -1 CA = = C -1 TETAPI Dengan, yang membuktikan validitas rumus (9.4).

Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.

Definisi 9.3.vektor X ditelepon vektor sendiri matriks TETAPI jika ada nomor seperti itu λ, bahwa persamaan itu berlaku: TETAPI X= λ X, yaitu, hasil penerapan ke X transformasi linier yang diberikan oleh matriks TETAPI, adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ . Nomornya sendiri λ ditelepon nomor sendiri matriks TETAPI.

Mengganti ke dalam rumus (9.3)x` j = λ xj, kami memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen:

.

Dari sini

.(9.5)

Ini homogen linier sistem akan memiliki solusi non-trivial hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk:

kita mendapatkan persamaan untuk menentukan nilai eigen λ ditelepon persamaan karakteristik. Secara singkat dapat digambarkan sebagai berikut:

| A -λ E | = 0,(9.6)

karena ruas kirinya adalah determinan matriks TETAPI- E. Polinomial terhadap λ| A -λ E| ditelepon polinomial karakteristik matriks a.

Sifat-sifat polinomial karakteristik:

1) Polinomial karakteristik dari transformasi linier tidak bergantung pada pilihan basis. (dengan lihat (9.4)), tetapi karena itu, . Dengan demikian, tidak tergantung pada pilihan dasar. Oleh karena itu, dan |A-λ E| tidak berubah saat transisi ke basis baru.

2) Jika matriks TETAPI transformasi linier adalah simetris(itu. sebuah aku j= sebuah ji), maka semua akar persamaan karakteristik (9.6) adalah bilangan real.

Sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen:

1) Jika kita memilih basis dari vektor eigen x 1, x 2, x 3 sesuai dengan nilai eigen 1 , 2 , 3 matriks TETAPI, maka pada basis ini transformasi linier A memiliki matriks diagonal:

(9.7) Bukti properti ini mengikuti definisi vektor eigen.

2) Jika nilai eigen transformasi TETAPI berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian dengannya bebas linier.

3) Jika polinomial karakteristik dari matriks TETAPI memiliki tiga akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks TETAPI memiliki bentuk diagonal.

Contoh.

Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks C, tinggalkan persamaan karakteristik: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Temukan koordinat vektor eigen yang sesuai dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut bahwa jika X (1) ={ x 1 , x 2 , x 3 ) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 1 = -2, maka

adalah sistem kolaboratif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis sebagai X (1) ={ sebuah,0,- sebuah), di mana a adalah sembarang bilangan. Khususnya, jika Anda memerlukan |x (1) |=1, X (1) =

Substitusi ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kita mendapatkan sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua-x (2) ={ kamu 1 , kamu 2 , kamu 3

Transformasi linier koordinat. Vektor eigen dan nilai eigen suatu matriks, sifat-sifatnya. Polinomial karakteristik suatu matriks, sifat-sifatnya.

Kami akan mengatakan bahwa pada himpunan vektor R diberikan transformasiTETAPI , jika setiap vektor X R menurut beberapa aturan, vektor TETAPIX R.

Definisi 9.1. transformasi TETAPI ditelepon linier, jika untuk sembarang vektor X dan pada dan untuk sembarang bilangan real λ persamaan terpenuhi:

TETAPI(X + pada )=TETAPIX + Apada ,A(λX ) =AX . (9.1)

Definisi 9.2. Transformasi linier disebut identik, jika itu mengubah vektor apa pun X ke dalam dirinya sendiri.

Transformasi identitas dilambangkan DIAX = X .

Pertimbangkan ruang tiga dimensi dengan basis e 1 , e 2 , e 3 , di mana transformasi linier ditentukan TETAPI. Menerapkannya ke vektor dasar, kita mendapatkan vektor TETAPIe 1 , TETAPIe 2 , TETAPIe 3 milik ruang tiga dimensi ini. Oleh karena itu, masing-masing dari mereka dapat diperluas dengan cara yang unik dalam hal vektor basis:

TETAPIe 1 = 11 e 1 + a 21 e 2 +a 31 e 3 ,

TETAPIe 2 = 12 e 1 + a 22 e 2 + a 32 e 3 , (9.2)

TETAPIe 3 = 13 e 1 + a 23 e 2 + a 33 e 3 .

Matriks
ditelepon matriks transformasi linierTETAPI pada dasarnya e 1 , e 2 , e 3 . Kolom matriks ini terdiri dari koefisien dalam rumus (9.2) dari transformasi basis.

Komentar. Jelas, matriks transformasi identitas adalah matriks identitas E.

Untuk vektor arbitrer X =x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 hasil penerapan transformasi linier padanya TETAPI akan vektor TETAPIX , yang dapat diperluas dalam vektor dengan dasar yang sama: TETAPIX =x` 1 e 1 + x` 2 e 2 + x` 3 e 3 , dimana koordinat x` saya dapat dicari dengan menggunakan rumus:

X` 1 = 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 ,

x` 2 = 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 , (9.3)

x` 3 = sebuah 31 x 1 + sebuah 32 x 2 + sebuah 33 x 3 .

Koefisien dalam rumus transformasi linier ini adalah elemen dari baris matriks TETAPI.

Transformasi matriks transformasi linier

ketika pindah ke dasar baru.

Pertimbangkan transformasi linier A dan dua basis dalam ruang tiga dimensi: e 1 , e 2 , e 3 dan e 1 , e 2 , e 3 . Biarkan matriks C mendefinisikan rumus transisi dari basis ( e k) ke dasar ( e k). Jika di basis pertama ini, transformasi linier yang dipilih diberikan oleh matriks A, dan di basis kedua - oleh matriks TETAPI, maka kita dapat mencari hubungan antara matriks-matriks tersebut, yaitu:

A \u003d C -1 TETAPI C (9.4)

Betulkah,
, kemudian TETAPI
. Di sisi lain, hasil penerapan transformasi linier yang sama TETAPI pada dasarnya ( e k), yaitu , dan dasar ( e k ): masing-masing - dihubungkan oleh matriks Dengan:
, dari mana jadinya SA =TETAPI Dengan. Mengalikan kedua sisi persamaan ini di sebelah kiri dengan Dengan-1 , kita dapatkan Dengan - 1 CA = = C -1 TETAPI Dengan, yang membuktikan validitas rumus (9.4).

Nilai eigen dan vektor eigen suatu matriks.

Definisi 9.3. vektor X ditelepon vektor sendiri matriks TETAPI jika ada nomor seperti itu λ, bahwa persamaan itu berlaku: TETAPIX = λ X , yaitu, hasil penerapan ke X transformasi linier yang diberikan oleh matriks TETAPI, adalah perkalian vektor ini dengan bilangan λ . Nomornya sendiri λ ditelepon nomor sendiri matriks TETAPI.

Mengganti ke dalam rumus (9.3) x` j = λ x j , kami memperoleh sistem persamaan untuk menentukan koordinat vektor eigen:

.

. (9.5)

Sistem homogen linier ini akan memiliki solusi non-trivial hanya jika determinan utamanya adalah 0 (aturan Cramer). Dengan menuliskan kondisi ini dalam bentuk:

kita mendapatkan persamaan untuk menentukan nilai eigen λ ditelepon persamaan karakteristik. Secara singkat dapat digambarkan sebagai berikut:

| A - λ E| = 0, (9.6)

karena ruas kirinya adalah determinan matriks A-λE. Polinomial terhadap λ | A - λ E| ditelepon polinomial karakteristik matriks a.

Sifat-sifat polinomial karakteristik:

Sifat-sifat nilai eigen dan vektor eigen:

Jika kita memilih basis dari vektor eigen X 1 , X 2 , X 3 sesuai dengan nilai eigen λ 1 , λ 2 , λ 3 matriks TETAPI, maka pada basis ini transformasi linier A memiliki matriks diagonal:

(9.7) Bukti properti ini mengikuti definisi vektor eigen.

Jika nilai eigen transformasi TETAPI berbeda, maka vektor eigen yang bersesuaian dengannya bebas linier.

Jika polinomial karakteristik dari matriks TETAPI memiliki tiga akar yang berbeda, maka dalam beberapa basis matriks TETAPI memiliki bentuk diagonal.

Mari kita cari nilai eigen dan vektor eigen dari matriks Mari kita buat persamaan karakteristiknya:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Temukan koordinat vektor eigen yang sesuai dengan setiap nilai yang ditemukan λ. Dari (9.5) berikut bahwa jika X (1) ={x 1 , x 2 , x 3 ) adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan λ 1 = -2, maka

adalah sistem kolaboratif tetapi tidak pasti. Solusinya dapat ditulis sebagai X (1) ={sebuah,0,-sebuah), di mana a adalah sembarang bilangan. Khususnya, jika Anda memerlukan | x (1) |=1,X (1) =

Substitusi ke dalam sistem (9.5) λ 2 =3, kami mendapatkan sistem untuk menentukan koordinat vektor eigen kedua - x (2) ={kamu 1 , kamu 2 , kamu 3 }:

, di mana X (2) ={b,- b, b) atau, asalkan | x (2) |=1,x (2) =

Untuk λ 3 = 6 tentukan vektor eigennya x (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,x (3) ={c,2 c, c) atau dalam versi yang dinormalisasi

X (3) =
Dapat dilihat bahwa X (1) X (2) =ab – ab = 0,x (1) x (3) =ac – ac = 0,x (2) x (3) =SM - 2SM + SM = 0. Jadi, vektor eigen dari matriks ini adalah ortogonal berpasangan.