Teorema Vieta - konsep ini akrab bagi hampir semua orang sejak masa sekolah. Tapi apakah itu benar-benar "akrab"? Hanya sedikit orang yang menemukannya dalam kehidupan sehari-hari. Tetapi tidak semua orang yang berurusan dengan matematika terkadang sepenuhnya memahami makna yang dalam dan signifikansi yang besar dari teorema ini.

Teorema Vieta sangat memudahkan proses pemecahan sejumlah besar masalah matematika, yang akhirnya berujung pada pemecahan:

Setelah memahami pentingnya alat matematika yang begitu sederhana dan efektif, seseorang tanpa sadar berpikir tentang orang yang pertama kali menemukannya.

Ilmuwan Prancis terkenal yang memulai karirnya sebagai pengacara. Tapi, jelas, matematika adalah panggilannya. Saat berada di dinas kerajaan sebagai penasihat, ia menjadi terkenal karena mampu membaca pesan terenkripsi yang disadap dari Raja Spanyol ke Belanda. Ini memberi raja Prancis Henry III kesempatan untuk mengetahui semua niat lawan-lawannya.

Secara bertahap menjadi akrab dengan pengetahuan matematika, Francois Viet sampai pada kesimpulan bahwa harus ada hubungan erat antara penelitian terbaru dari "aljabar" pada waktu itu dan warisan geometris yang mendalam dari zaman dahulu. Dalam perjalanan penelitian ilmiah, ia mengembangkan dan merumuskan hampir seluruh aljabar dasar. Dia adalah orang pertama yang memperkenalkan penggunaan nilai literal ke dalam peralatan matematika, dengan jelas membedakan antara konsep: bilangan, besaran, dan hubungannya. Viet membuktikan bahwa dengan melakukan operasi dalam bentuk simbolis, adalah mungkin untuk memecahkan masalah untuk kasus umum, untuk hampir semua nilai kuantitas yang diberikan.

Penelitiannya untuk memecahkan persamaan derajat yang lebih besar daripada yang kedua menghasilkan teorema yang sekarang dikenal sebagai teorema Vieta umum. Ini sangat penting secara praktis, dan penerapannya memungkinkan untuk menyelesaikan persamaan dengan orde yang lebih tinggi dengan cepat.

Salah satu sifat dari teorema ini adalah sebagai berikut: hasil kali semua pangkat ke-n sama dengan suku konstannya. Properti ini sering digunakan ketika memecahkan persamaan derajat ketiga atau keempat untuk mengurangi urutan polinomial. Jika polinomial derajat ke-n memiliki akar bilangan bulat, maka polinomial tersebut dapat dengan mudah ditentukan dengan seleksi sederhana. Dan kemudian setelah membagi polinomial dengan ekspresi (x-x1), kita mendapatkan derajat polinomial (n-1)-th.

Pada akhirnya, saya ingin mencatat bahwa teorema Vieta adalah salah satu teorema paling terkenal dari kursus aljabar sekolah. Dan namanya menempati tempat yang layak di antara nama-nama matematikawan hebat.

Dalam matematika, ada trik khusus yang dengannya banyak persamaan kuadrat diselesaikan dengan sangat cepat dan tanpa diskriminan. Selain itu, dengan pelatihan yang tepat, banyak yang mulai memecahkan persamaan kuadrat secara verbal, secara harfiah "sekilas".

Sayangnya, dalam pelajaran matematika sekolah modern, teknologi semacam itu hampir tidak dipelajari. Dan Anda perlu tahu! Dan hari ini kita akan mempertimbangkan salah satu teknik ini - teorema Vieta. Pertama, mari kita perkenalkan definisi baru.

Persamaan kuadrat berbentuk x 2 + bx + c = 0 disebut tereduksi. Harap dicatat bahwa koefisien pada x 2 sama dengan 1. Tidak ada batasan lain pada koefisien.

1. x 2 + 7x + 12 = 0 adalah persamaan kuadrat tereduksi;
2. x 2 5x + 6 = 0 - juga dikurangi;
3. 2x 2 6x + 8 = 0 - tetapi ini tidak berkurang, karena koefisien pada x 2 adalah 2.

Tentu saja, persamaan kuadrat apa pun dalam bentuk ax 2 + bx + c = 0 dapat dikurangi - cukup dengan membagi semua koefisien dengan angka a. Kita selalu dapat melakukan ini, karena dari definisi persamaan kuadrat berikut a 0.

Benar, transformasi ini tidak selalu berguna untuk menemukan akar. Sedikit lebih rendah, kami akan memastikan bahwa ini harus dilakukan hanya jika dalam persamaan kuadrat terakhir semua koefisien adalah bilangan bulat. Untuk saat ini, mari kita lihat beberapa contoh sederhana:

Tugas. Ubah persamaan kuadrat menjadi tereduksi:

1. 3x2 12x + 18 = 0;
2. 4x2 + 32x + 16 = 0;
3. 1,5x2 + 7,5x + 3 = 0;
4. 2x2 + 7x 11 = 0.

Mari kita bagi setiap persamaan dengan koefisien variabel x 2 . Kita mendapatkan:

1. 3x 2 - 12x + 18 = 0 x 2 - 4x + 6 = 0 - dibagi semuanya dengan 3;
2. 4x 2 + 32x + 16 = 0 x 2 8x 4 = 0 - dibagi 4;
3. 1,5x 2 + 7,5x + 3 \u003d 0 x 2 + 5x + 2 \u003d 0 - dibagi dengan 1,5, semua koefisien menjadi bilangan bulat;
4. 2x 2 + 7x - 11 \u003d 0 x 2 + 3,5x - 5,5 \u003d 0 - dibagi dengan 2. Dalam hal ini, koefisien fraksional muncul.

Seperti yang Anda lihat, persamaan kuadrat yang diberikan dapat memiliki koefisien bilangan bulat bahkan jika persamaan aslinya berisi pecahan.

Sekarang kita merumuskan teorema utama, yang sebenarnya, konsep persamaan kuadrat tereduksi diperkenalkan:

teorema Vieta. Pertimbangkan persamaan kuadrat tereduksi dari bentuk x 2 + bx + c \u003d 0. Misalkan persamaan ini memiliki akar real x 1 dan x 2. Dalam hal ini, pernyataan berikut ini benar:

1. x1 + x2 = b. Dengan kata lain, jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien variabel x, diambil dengan tanda yang berlawanan;
2. x 1 x 2 = c. Produk dari akar-akar persamaan kuadrat sama dengan koefisien bebas.

Contoh. Untuk kesederhanaan, kami hanya akan mempertimbangkan persamaan kuadrat yang diberikan yang tidak memerlukan transformasi tambahan:

1. x 2 9x + 20 = 0 x 1 + x 2 = (−9) = 9; x 1 x 2 = 20; akar: x 1 = 4; x 2 \u003d 5;
2. x 2 + 2x 15 = 0 x 1 + x 2 = 2; x 1 x 2 \u003d -15; akar: x 1 = 3; x 2 \u003d -5;
3. x 2 + 5x + 4 = 0 x 1 + x 2 = 5; x 1 x 2 = 4; akar: x 1 \u003d -1; x 2 \u003d -4.

Teorema Vieta memberi kita informasi tambahan tentang akar persamaan kuadrat. Pada pandangan pertama, ini mungkin tampak rumit, tetapi bahkan dengan pelatihan minimal, Anda akan belajar untuk "melihat" akar dan benar-benar menebaknya dalam hitungan detik.

Tugas. Selesaikan persamaan kuadrat:

1. x2 9x + 14 = 0;
2. x 2 - 12x + 27 = 0;
3. 3x2 + 33x + 30 = 0;
4. 7x2 + 77x 210 = 0.

Mari kita coba tuliskan koefisien menurut teorema Vieta dan "tebak" akarnya:

1. x 2 9x + 14 = 0 adalah persamaan kuadrat tereduksi.
   Dengan teorema Vieta, kita memiliki: x 1 + x 2 = (−9) = 9; x 1 x 2 = 14. Sangat mudah untuk melihat bahwa akar-akarnya adalah angka 2 dan 7;
2. x 2 12x + 27 = 0 - juga dikurangi.
   Dengan teorema Vieta: x 1 + x 2 = (−12) = 12; x 1 x 2 = 27. Jadi akar-akarnya: 3 dan 9;
3. 3x 2 + 33x + 30 = 0 - persamaan ini tidak dikurangi. Tetapi kami akan memperbaikinya sekarang dengan membagi kedua sisi persamaan dengan koefisien a \u003d 3. Kami mendapatkan: x 2 + 11x + 10 \u003d 0.
   Kami memecahkan menurut teorema Vieta: x 1 + x 2 = 11; x 1 x 2 = 10 akar: 10 dan 1;
4. 7x 2 + 77x 210 = 0 - lagi-lagi koefisien pada x 2 tidak sama dengan 1, mis. persamaan tidak diberikan. Kami membagi semuanya dengan angka a = 7. Kita peroleh: x 2 - 11x + 30 = 0.
   Dengan teorema Vieta: x 1 + x 2 = (−11) = 11; x 1 x 2 = 30; dari persamaan ini mudah untuk menebak akarnya: 5 dan 6.

Dari alasan di atas, dapat dilihat bagaimana teorema Vieta menyederhanakan penyelesaian persamaan kuadrat. Tidak ada perhitungan yang rumit, tidak ada akar aritmatika dan pecahan. Dan bahkan diskriminan (lihat pelajaran " Memecahkan persamaan kuadrat") Kami tidak membutuhkannya.

Tentu saja, dalam semua refleksi kami, kami berangkat dari dua asumsi penting, yang, secara umum, tidak selalu terpenuhi dalam masalah nyata:

1. Persamaan kuadrat dikurangi, mis. koefisien pada x 2 adalah 1;
2. Persamaan memiliki dua akar yang berbeda. Dari sudut pandang aljabar, dalam hal ini diskriminan D > 0 - sebenarnya, kita awalnya berasumsi bahwa pertidaksamaan ini benar.

Namun, dalam masalah matematika khas kondisi ini terpenuhi. Jika, sebagai hasil dari perhitungan, diperoleh persamaan kuadrat "buruk" (koefisien pada x 2 berbeda dari 1), ini mudah diperbaiki - lihat contoh di awal pelajaran. Saya biasanya diam tentang akarnya: tugas macam apa ini di mana tidak ada jawaban? Tentu saja akan ada akarnya.

Dengan demikian, skema umum penyelesaian persamaan kuadrat menurut teorema Vieta adalah sebagai berikut:

1. Kurangi persamaan kuadrat menjadi persamaan yang diberikan, jika ini belum dilakukan dalam kondisi masalah;
2. Jika koefisien dalam persamaan kuadrat di atas ternyata pecahan, kami menyelesaikannya melalui diskriminan. Anda bahkan dapat kembali ke persamaan awal untuk bekerja dengan angka yang lebih "nyaman";
3. Dalam kasus koefisien bilangan bulat, kami menyelesaikan persamaan menggunakan teorema Vieta;
4. Jika dalam beberapa detik tidak mungkin untuk menebak akarnya, kami memberi skor pada teorema Vieta dan menyelesaikannya melalui diskriminan.

Tugas. Selesaikan persamaan: 5x 2 35x + 50 = 0.

Jadi, kita memiliki persamaan yang tidak tereduksi, karena koefisien a \u003d 5. Bagi semuanya dengan 5, kita mendapatkan: x 2 - 7x + 10 \u003d 0.

Semua koefisien persamaan kuadrat adalah bilangan bulat - mari kita coba selesaikan menggunakan teorema Vieta. Kami memiliki: x 1 + x 2 = (−7) = 7; x 1 x 2 \u003d 10. Dalam hal ini, akarnya mudah ditebak - ini adalah 2 dan 5. Anda tidak perlu menghitung melalui diskriminan.

Tugas. Selesaikan persamaan: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0.

Kami melihat: -5x 2 + 8x - 2,4 = 0 - persamaan ini tidak dikurangi, kami membagi kedua sisi dengan koefisien a = -5. Kami mendapatkan: x 2 - 1,6x + 0,48 = 0 - persamaan dengan koefisien pecahan.

Sebaiknya kembali ke persamaan semula dan hitung melalui diskriminan: 5x 2 + 8x 2.4 = 0 D = 8 2 4 (−5) (−2.4) = 16 ... x 1 = 1.2 ; x 2 \u003d 0.4.

Tugas. Selesaikan persamaan: 2x 2 + 10x 600 = 0.

Untuk memulainya, kami membagi semuanya dengan koefisien a \u003d 2. Kami mendapatkan persamaan x 2 + 5x - 300 \u003d 0.

Ini adalah persamaan tereduksi, menurut teorema Vieta kita memiliki: x 1 + x 2 = 5; x 1 x 2 \u003d -300. Sulit untuk menebak akar persamaan kuadrat dalam kasus ini - secara pribadi, saya benar-benar "membeku" ketika saya memecahkan masalah ini.

Kita harus mencari akar melalui diskriminan: D = 5 2 4 1 (−300) = 1225 = 35 2 . Jika Anda tidak ingat akar dari diskriminan, saya akan mencatat bahwa 1225: 25 = 49. Jadi, 1225 = 25 49 = 5 2 7 2 = 35 2 .

Sekarang akar dari diskriminan diketahui, memecahkan persamaan tidak sulit. Kami mendapatkan: x 1 \u003d 15; x 2 \u003d -20.

Sebelum melanjutkan ke teorema Vieta, kami memperkenalkan definisi. Persamaan kuadrat dari bentuk x² + px + q= 0 disebut tereduksi. Dalam persamaan ini, koefisien utama sama dengan satu. Misalnya persamaan x² - 3 x- 4 = 0 dikurangi. Setiap persamaan kuadrat dalam bentuk kapak² + b x + c= 0 dapat dikurangi, untuk ini kita membagi kedua sisi persamaan dengan sebuah 0. Misalnya, Persamaan 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 dibagi 4 direduksi menjadi bentuk: x² + x- 3/4 = 0. Kami menurunkan rumus untuk akar persamaan kuadrat tereduksi, untuk ini kami menggunakan rumus untuk akar persamaan kuadrat umum: kapak² + bx + c = 0

Persamaan yang direduksi x² + px + q= 0 bertepatan dengan persamaan umum di mana sebuah = 1, b = p, c = q. Oleh karena itu, untuk persamaan kuadrat yang diberikan, rumusnya berbentuk:

ekspresi terakhir disebut rumus akar persamaan kuadrat tereduksi, sangat mudah untuk menggunakan rumus ini ketika R- nomor genap. Sebagai contoh, mari kita selesaikan persamaan x² - 14 x — 15 = 0

Sebagai tanggapan, kami menulis persamaan memiliki dua akar.

Untuk persamaan kuadrat tereduksi dengan positif, teorema berikut berlaku.

teorema Vieta

Jika sebuah x 1 dan x 2 - akar persamaan x² + px + q= 0, maka rumusnya valid:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, yaitu, jumlah akar persamaan kuadrat yang diberikan sama dengan koefisien kedua, diambil dengan tanda yang berlawanan, dan produk dari akar-akarnya sama dengan suku bebas.

Berdasarkan rumus akar-akar persamaan kuadrat di atas, kita peroleh:

Menambahkan persamaan ini, kita mendapatkan: x 1 + x 2 = —R.

Mengalikan persamaan ini, menggunakan rumus selisih kuadrat, kita mendapatkan:

Perhatikan bahwa teorema Vieta juga valid ketika diskriminan adalah nol, jika kita berasumsi bahwa dalam kasus ini persamaan kuadrat memiliki dua akar yang identik: x 1 = x 2 = — R/2.

Tidak menyelesaikan persamaan x² - 13 x+ 30 = 0 tentukan jumlah dan hasil kali akar-akarnya x 1 dan x 2. persamaan ini D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, sehingga Anda dapat menerapkan teorema Vieta: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Pertimbangkan beberapa contoh lagi. Salah satu akar persamaan x² — px- 12 = 0 adalah x 1 = 4. Cari koefisien R dan akar kedua x 2 persamaan ini. Menurut teorema Vieta x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Sebagai x 1 = 4 lalu 4 x 2 = - 12, dari mana x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Sebagai tanggapan, kami menuliskan root kedua x 2 = - 3, koefisien p = - 1.

Tidak menyelesaikan persamaan x² + 2 x- 4 = 0 tentukan jumlah kuadrat akar-akarnya. Biarlah x 1 dan x 2 adalah akar persamaan. Menurut teorema Vieta x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Sebagai x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2 , maka x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Tentukan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Persamaan ini memiliki dua akar yang berbeda, karena diskriminan D= 16 + 4*3*5 > 0. Untuk menyelesaikan persamaan, kita menggunakan teorema Vieta. Teorema ini telah dibuktikan untuk persamaan kuadrat tereduksi. Jadi mari kita bagi persamaan ini dengan 3.

Jadi, jumlah akar-akarnya adalah -4/3, dan hasilnya adalah -5/3.

Secara umum, akar-akar persamaan kapak² + b x + c= 0 dihubungkan oleh persamaan berikut: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Untuk mendapatkan rumus-rumus ini, cukup membagi kedua ruas persamaan kuadrat ini dengan sebuah ≠ 0 dan menerapkan teorema Vieta ke persamaan kuadrat tereduksi yang dihasilkan. Pertimbangkan sebuah contoh, Anda perlu membuat persamaan kuadrat yang diberikan, yang akar-akarnya x 1 = 3, x 2 = 4. Sebagai x 1 = 3, x 2 = 4 adalah akar-akar persamaan kuadrat x² + px + q= 0, maka dengan teorema Vieta R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Sebagai tanggapan, kami menulis x² - 7 x+ 12 = 0. Teorema berikut digunakan untuk menyelesaikan beberapa masalah.

Teorema kebalikan dari teorema Vieta

Jika angka R, q, x 1 , x 2 sedemikian rupa sehingga x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, kemudian x 1 dan x2 adalah akar-akar persamaan x² + px + q= 0. Pengganti di ruas kiri x² + px + q alih-alih R ekspresi - ( x 1 + x 2), tetapi sebaliknya q- kerja x 1 * x 2 . Kita mendapatkan: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Jadi, jika bilangan R, q, x 1 dan x 2 dihubungkan oleh hubungan ini, maka untuk semua X persamaan x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), dari mana berikut ini x 1 dan x 2 - akar persamaan x² + px + q= 0. Dengan menggunakan teorema kebalikan dari teorema Vieta, kadang-kadang mungkin untuk menemukan akar persamaan kuadrat dengan seleksi. Pertimbangkan sebuah contoh, x² - 5 x+ 6 = 0. Di sini R = — 5, q= 6. Pilih dua angka x 1 dan x 2 sehingga x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Perhatikan bahwa 6 = 2 * 3, dan 2 + 3 = 5, dengan teorema yang berlawanan dengan teorema Vieta, kita peroleh bahwa x 1 = 2, x 2 = 3 - akar persamaan x² - 5 x + 6 = 0.

Teorema Vieta sering digunakan untuk menguji akar yang sudah ditemukan. Jika Anda telah menemukan akarnya, Anda dapat menggunakan rumus \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) untuk menghitung nilai \(p\ ) dan \(q\ ). Dan jika ternyata sama dengan persamaan aslinya, maka akarnya ditemukan dengan benar.

Misalnya, mari gunakan , selesaikan persamaan \(x^2+x-56=0\) dan dapatkan akarnya: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Mari kita periksa apakah kita membuat kesalahan dalam proses penyelesaian. Dalam kasus kami, \(p=1\), dan \(q=-56\). Dengan teorema Vieta kita memiliki:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Kedua pernyataan konvergen, yang berarti bahwa kami menyelesaikan persamaan dengan benar.

Tes ini dapat dilakukan secara lisan. Ini akan memakan waktu 5 detik dan menyelamatkan Anda dari kesalahan bodoh.

Teorema Vieta terbalik

Jika \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), maka \(x_1\) dan \(x_2\) adalah akar dari persamaan kuadrat \ (x^ 2+px+q=0\).

Atau secara sederhana: jika Anda memiliki persamaan berbentuk \(x^2+px+q=0\), maka dengan menyelesaikan sistem \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) Anda akan menemukan akarnya.

Berkat teorema ini, Anda dapat dengan cepat menemukan akar persamaan kuadrat, terutama jika akar-akar ini adalah. Keterampilan ini penting karena menghemat banyak waktu.

Contoh . Selesaikan persamaan \(x^2-5x+6=0\).

Keputusan : Dengan menggunakan teorema Vieta terbalik, diperoleh bahwa akar memenuhi kondisi: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Perhatikan persamaan kedua dari sistem \(x_1 \cdot x_2=6\). Bilangan \(6\) dapat diurai menjadi dua apa? Pada \(2\) dan \(3\), \(6\) dan \(1\) atau \(-2\) dan \(-3\), dan \(-6\) dan \(- satu\). Dan pasangan mana yang harus dipilih, persamaan pertama dari sistem akan memberi tahu: \(x_1+x_2=5\). \(2\) dan \(3\) serupa, karena \(2+3=5\).
Menjawab : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Contoh . Menggunakan invers teorema Vieta, cari akar persamaan kuadrat:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Keputusan :
a) \(x^2-15x+14=0\) - menjadi faktor apa \(14\) terurai? \(2\) dan \(7\), \(-2\) dan \(-7\), \(-1\) dan \(-14\), \(1\) dan \(14\ ). Berapa pasangan bilangan yang dijumlahkan dengan \(15\)? Jawaban: \(1\) dan \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - ke dalam faktor apa \(-4\) terurai? \(-2\) dan \(2\), \(4\) dan \(-1\), \(1\) dan \(-4\). Berapa pasangan bilangan yang dijumlahkan dengan \(-3\)? Jawaban: \(1\) dan \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – ke dalam faktor apa \(20\) terurai? \(4\) dan \(5\), \(-4\) dan \(-5\), \(2\) dan \(10\), \(-2\) dan \(-10\ ), \(-20\) dan \(-1\), \(20\) dan \(1\). Berapa pasangan bilangan yang dijumlahkan dengan \(-9\)? Jawaban: \(-4\) dan \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - faktor apa yang \(780\) terurai? \(390\) dan \(2\). Apakah mereka menambahkan hingga \(88\)? Tidak. Apa pengganda lain yang dimiliki \(780\)? \(78\) dan \(10\). Apakah mereka menambahkan hingga \(88\)? Ya. Jawaban: \(78\) dan \(10\).

Tidak perlu menguraikan suku terakhir menjadi semua faktor yang mungkin (seperti pada contoh terakhir). Anda dapat segera memeriksa apakah jumlah mereka memberi \(-p\).

Penting! Teorema Vieta dan teorema kebalikan hanya bekerja dengan , yaitu, yang koefisien di depan \(x^2\) sama dengan satu. Jika pada awalnya kita memiliki persamaan yang tidak tereduksi, maka kita dapat membuatnya diperkecil hanya dengan membaginya dengan koefisien di depan \ (x ^ 2 \).

Misalnya, biarkan persamaan \(2x^2-4x-6=0\) diberikan dan kami ingin menggunakan salah satu teorema Vieta. Tapi kita tidak bisa, karena koefisien sebelum \(x^2\) sama dengan \(2\). Mari kita singkirkan dengan membagi seluruh persamaan dengan \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Siap. Sekarang kita dapat menggunakan kedua teorema.

Jawaban untuk pertanyaan yang sering diajukan

Pertanyaan: Dengan teorema Vieta, Anda dapat menyelesaikan ?
Menjawab: Sayangnya tidak ada. Jika tidak ada bilangan bulat dalam persamaan atau persamaan tidak memiliki akar sama sekali, maka teorema Vieta tidak akan membantu. Dalam hal ini, Anda perlu menggunakan diskriminatif . Untungnya, 80% persamaan dalam kursus matematika sekolah memiliki solusi bilangan bulat.