Sudut-sudut segitiga selalu Jumlah sudut segitiga

Bukti

Biarlah ABC" adalah segitiga sembarang. Mari kita pergi ke atas B garis lurus sejajar dengan garis lurus AC (garis lurus seperti itu disebut garis lurus Euclidean). Tandai titik di atasnya D sehingga poin A dan D terletak pada sisi yang berlawanan dari garis lurus SM.Sudut DBC dan ACB sama dengan cross berbohong internal, dibentuk oleh garis potong SM dengan garis sejajar AC dan BD. Jadi, jumlah sudut segitiga pada titik sudutnya B dan Dengan sama dengan sudut ABD.Jumlah ketiga sudut suatu segitiga sama dengan jumlah sudut-sudutnya ABD dan BACA. Karena sudut-sudut ini adalah satu sisi internal untuk paralel AC dan BD di garis potong AB, maka jumlah keduanya adalah 180°. Teorema telah terbukti.

Konsekuensi

Dari teorema berikut bahwa setiap segitiga memiliki dua sudut lancip. Memang, menerapkan bukti dengan kontradiksi, anggaplah bahwa segitiga hanya memiliki satu sudut lancip atau tidak ada sudut lancip sama sekali. Maka segitiga ini memiliki setidaknya dua sudut, yang masing-masing setidaknya 90°. Jumlah sudut-sudut ini tidak kurang dari 180°. Tetapi ini tidak mungkin, karena jumlah semua sudut segitiga adalah 180°. Q.E.D.

Generalisasi ke teori simpleks

Dimana adalah sudut antara wajah i dan j dari simpleks.

Catatan

  • Pada bola, jumlah sudut segitiga selalu melebihi 180°, selisihnya disebut kelebihan bola dan sebanding dengan luas segitiga.
  • Pada bidang Lobachevsky, jumlah sudut segitiga selalu kurang dari 180°. Selisihnya juga sebanding dengan luas segitiga.

Lihat juga


Yayasan Wikimedia. 2010 .

  • Taylor
  • Jembatan Angsa Bawah

Lihat apa "Teorema tentang jumlah sudut segitiga" di kamus lain:

    Teorema jumlah sudut poligon- Sifat poligon dalam geometri Euclidean: Jumlah sudut n poligon adalah 180°(n 2). Daftar Isi 1 Bukti 2 Keterangan ... Wikipedia

    teori Pitagoras- Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Isi 1 ... Wikipedia

    Luas segitiga

    teori Pitagoras- Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. Isi 1 Pernyataan 2 Bukti ... Wikipedia

    teorema kosinus- Teorema kosinus adalah generalisasi dari teorema Pythagoras. Kuadrat suatu sisi suatu segitiga sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisinya yang lain tanpa menggandakan hasil kali sisi-sisi tersebut dengan kosinus sudut di antaranya. Untuk segitiga datar dengan sisi a, b, c dan sudut ... ... Wikipedia

    Segi tiga- Istilah ini memiliki arti lain, lihat Segitiga (arti). Segitiga (dalam ruang Euclidean) adalah sosok geometris yang dibentuk oleh tiga segmen garis yang menghubungkan tiga titik non-linier. Tiga titik, ... ... Wikipedia

    Tanda persamaan segitiga- Notasi standar Segitiga adalah poligon paling sederhana yang memiliki 3 simpul (sudut) dan 3 sisi; bagian dari bidang yang dibatasi oleh tiga titik yang tidak terletak pada garis lurus yang sama, dan tiga ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan. Titik sudut segitiga ... Wikipedia

    Euclid- Ahli matematika Yunani Kuno. Bekerja di Alexandria pada abad III. SM e. Karya utama "Awal" (15 buku), berisi dasar-dasar matematika kuno, geometri dasar, teori bilangan, teori hubungan umum dan metode untuk menentukan luas dan volume, ... ... kamus ensiklopedis

    EUCLID- (meninggal antara 275 dan 270 SM) matematikawan Yunani kuno. Informasi tentang waktu dan tempat kelahirannya belum sampai kepada kita, tetapi diketahui bahwa Euclid tinggal di Alexandria dan masa kejayaan aktivitasnya jatuh pada masa pemerintahan Ptolemy I di Mesir ... ... Kamus Ensiklopedis Besar

    GEOMETRI NON-EUCLIDAN- geometri mirip dengan geometri Euclid dalam hal mendefinisikan pergerakan angka, tetapi berbeda dari geometri Euclidean di salah satu dari lima postulat (kedua atau kelima) diganti dengan negasinya. Penolakan salah satu postulat Euclidean ... ... Ensiklopedia Collier

Tujuan dan sasaran:

Pendidikan:

  • mengulang dan menggeneralisasi pengetahuan tentang segitiga;
  • membuktikan teorema jumlah segitiga;
  • praktis memverifikasi kebenaran perumusan teorema;
  • belajar untuk menerapkan pengetahuan yang diperoleh dalam memecahkan masalah.

Mengembangkan:

  • untuk mengembangkan pemikiran geometris, minat pada subjek, aktivitas kognitif dan kreatif siswa, pidato matematis, kemampuan untuk memperoleh pengetahuan secara mandiri.

Pendidikan:

  • untuk mengembangkan kualitas pribadi siswa, seperti tekad, ketekunan, ketepatan, kemampuan untuk bekerja dalam tim.

Peralatan: proyektor multimedia, segitiga yang terbuat dari kertas berwarna, bahan ajar "Matematika Langsung", komputer, layar.

Tahap persiapan: guru memberikan tugas kepada siswa untuk mempersiapkan latar belakang sejarah teorema "Jumlah sudut segitiga."

Jenis pelajaran: mempelajari materi baru.

Selama kelas

I. Momen organisasi

Salam pembuka. Sikap psikologis siswa untuk bekerja.

II. Pemanasan

Kami bertemu dengan sosok geometris "segitiga" di pelajaran sebelumnya. Mari kita ulangi apa yang kita ketahui tentang segitiga?

Siswa bekerja dalam kelompok. Mereka diberi kesempatan untuk berkomunikasi satu sama lain, masing-masing untuk secara mandiri membangun proses kognisi.

Apa yang terjadi? Setiap kelompok membuat saran mereka dan guru menuliskannya di papan tulis. Hasilnya sedang dibahas:

Gambar 1

AKU AKU AKU. Kami merumuskan tugas pelajaran

Jadi, kita sudah tahu banyak tentang segitiga. Tapi tidak semua. Masing-masing dari Anda memiliki segitiga dan busur derajat di meja Anda. Bagaimana menurut Anda, tugas apa yang bisa kita rumuskan?

Siswa merumuskan tugas pelajaran - untuk menemukan jumlah sudut segitiga.

IV. Penjelasan materi baru

Bagian praktis(berkontribusi pada aktualisasi pengetahuan dan keterampilan pengetahuan diri) Ukur sudut dengan busur derajat dan temukan jumlah mereka. Tuliskan hasilnya di buku catatan (dengarkan jawaban yang diterima). Kami menemukan bahwa jumlah sudut untuk setiap orang ternyata berbeda (ini bisa terjadi karena busur derajat diterapkan secara tidak akurat, perhitungan dilakukan dengan tidak hati-hati, dll.).

Lipat di sepanjang garis putus-putus dan cari tahu apa lagi jumlah sudut segitiga sama dengan:

sebuah)
Gambar 2

b)
Gambar 3

di)
Gambar 4

G)
Gambar 5

e)
Gambar 6

Setelah menyelesaikan kerja praktek, siswa merumuskan jawaban: Jumlah sudut-sudut suatu segitiga sama dengan besar sudut yang diperbesar, yaitu 180°.

Guru: Dalam matematika, kerja praktek hanya memungkinkan untuk membuat semacam pernyataan, tetapi perlu dibuktikan. Suatu pernyataan yang validitasnya ditentukan oleh bukti disebut teorema. Teorema apa yang dapat kita rumuskan dan buktikan?

Siswa: Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180 derajat.

Referensi sejarah: Properti jumlah sudut segitiga didirikan di Mesir kuno. Bukti yang diberikan dalam buku teks modern ditemukan dalam komentar Proclus tentang Elemen Euclid. Proclus mengklaim bahwa bukti ini (Gbr. 8) ditemukan oleh Pythagoras (abad ke-5 SM). Dalam buku pertama Elemen, Euclid memberikan bukti lain dari teorema tentang jumlah sudut segitiga, yang mudah dipahami dengan bantuan gambar (Gbr. 7):


Gambar 7


Angka 8

Gambar ditampilkan di layar melalui proyektor.

Guru menawarkan untuk membuktikan teorema dengan bantuan gambar.

Kemudian dilakukan pembuktian dengan menggunakan CMD “Live Mathematics”. Guru di komputer memproyeksikan bukti teorema.

Teorema jumlah sudut segitiga: "Jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°"


Gambar 9

Bukti:

sebuah)

Gambar 10

b)

Gambar 11

di)

Gambar 12

Para siswa di buku catatan membuat catatan singkat tentang bukti teorema:

Dalil: Jumlah sudut segitiga adalah 180°.


Gambar 13

Diberikan: ABC

Membuktikan: A + B + C = 180 °.

Bukti:

Yang perlu dibuktikan.

V. menit.

VI. Penjelasan materi baru (lanjutan)

Konsekuensi dari teorema tentang jumlah sudut segitiga diturunkan oleh siswa sendiri, ini berkontribusi pada pengembangan kemampuan untuk merumuskan sudut pandang mereka sendiri, mengekspresikan dan membantahnya:

Dalam segitiga apa pun, semua sudutnya lancip, atau dua sudut lancip, dan yang ketiga tumpul atau siku-siku.

Jika semua sudut dalam segitiga lancip, maka disebut sudut lancip.

Jika salah satu sudut segitiga tumpul, maka disebut tumpul.

Jika salah satu sudut segitiga siku-siku, maka disebut persegi panjang.

Teorema jumlah segitiga memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan segitiga tidak hanya berdasarkan sisinya, tetapi juga berdasarkan sudutnya. (Dalam proses pengenalan jenis-jenis segitiga, siswa mengisi tabel)

Tabel 1

Pemandangan segitiga Sama kaki Sama sisi Serbaguna
persegi panjang
tumpul
sudut lancip

VII. Konsolidasi materi yang dipelajari.

  1. Memecahkan masalah secara lisan:

(Gambar ditampilkan di layar melalui proyektor)

(abstrak dasar)

Geometri visual Kelas 7. Referensi abstrak No. 4 Jumlah sudut segitiga.

Ilmuwan besar Prancis abad ke-17 Blaise Pascal sebagai seorang anak, ia suka bermain-main dengan bentuk geometris. Dia akrab dengan busur derajat dan tahu bagaimana mengukur sudut. Peneliti muda memperhatikan bahwa untuk semua segitiga jumlah tiga sudut adalah sama - 180 °. “Bagaimana kamu bisa membuktikannya? pikir Pascal. "Lagi pula, Anda tidak dapat memeriksa jumlah sudut semua segitiga - jumlahnya tak terbatas." Kemudian dia memotong dua sudut segitiga dengan gunting dan menempelkannya ke sudut ketiga. Ternyata sudut yang dikembangkan, yang, seperti yang Anda tahu, sama dengan 180 °. Itu adalah penemuan pertamanya sendiri. Nasib selanjutnya dari bocah itu sudah ditentukan sebelumnya.

Dalam topik ini, Anda akan belajar tentang lima ciri persamaan segitiga siku-siku dan mungkin sifat paling populer dari segitiga siku-siku dengan sudut 30°. Kedengarannya seperti ini: kaki yang terletak di seberang sudut 30 ° sama dengan setengah sisi miring. Membagi segitiga sama sisi dengan tinggi, kami segera mendapatkan bukti dari properti ini.

DALIL. Jumlah sudut segitiga adalah 180°. Untuk membuktikan ini, kami menggambar garis melalui titik yang sejajar dengan alas. Sudut gelap sama besar dan sudut abu-abu sama besar karena terletak pada garis sejajar. Sudut gelap, sudut abu-abu dan sudut di puncak membentuk sudut lurus, jumlah mereka adalah 180°. Dari teorema ini, sudut-sudut suatu segitiga sama sisi adalah masing-masing 60° dan jumlah sudut lancip suatu segitiga siku-siku adalah 90°.

sudut luar segitiga disebut sudut yang berdekatan dengan sudut segitiga. Oleh karena itu, terkadang sudut dari segitiga itu sendiri disebut sudut dalam.

TEOREMA sudut luar segitiga. Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdekatan. Memang, sudut luar dan dua sudut dalam yang tidak berdekatan melengkapi sudut yang terisi hingga 180°. Ini mengikuti dari teorema bahwa sudut luar lebih besar daripada sudut dalam yang tidak berdekatan dengannya.

TEOREMA tentang hubungan antara sisi dan sudut segitiga. Pada segitiga, sisi yang lebih besar berhadapan dengan sudut yang lebih besar, dan sisi yang lebih besar berhadapan dengan sudut yang lebih besar. Ini mengikuti dari ini: 1) Kaki kurang dari sisi miring. 2) Garis tegak lurus lebih kecil dari kemiringan.

Jarak dari titik ke garis . Karena garis tegak lurus lebih kecil dari setiap miring yang ditarik dari titik yang sama, panjangnya diambil sebagai jarak dari titik ke garis.

pertidaksamaan segitiga . Panjang salah satu sisi segitiga kurang dari jumlah dua sisi lainnya, mis. sebuah< b + с , b< а + с , dengan< а + b . Konsekuensi. Panjang polyline lebih besar dari segmen yang menghubungkan ujungnya.

TANDA KESETARAAN
SEGITIGA PERSEGIATAN

Dengan dua kaki. Jika dua kaki dari satu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan dua kaki dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Sepanjang kaki dan sudut lancip yang berdekatan. Jika kaki dan sudut lancip yang berdampingan dengannya dari satu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan kaki dan sudut lancip yang berdekatan dengannya dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Sepanjang kaki dan berlawanan sudut lancip. Jika kaki dan sudut lancip yang berlawanan dari satu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan kaki dan sudut lancip yang berlawanan dari segitiga lain, maka segitiga tersebut kongruen.

Berdasarkan sisi miring dan sudut lancip. Jika sisi miring dan sudut lancip suatu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan sisi miring dan sudut lancip segitiga lain, maka segitiga-segitiga tersebut kongruen.

Bukti kriteria ini segera direduksi menjadi salah satu kriteria persamaan segitiga.

Dengan kaki dan sisi miring. Jika kaki dan sisi miring dari satu segitiga siku-siku masing-masing sama dengan kaki dan sisi miring dari segitiga siku-siku lainnya, maka segitiga tersebut kongruen.

Bukti. Kami menerapkan segitiga dengan kaki yang sama. Kami mendapatkan segitiga sama kaki. Tingginya yang ditarik dari atas juga akan menjadi median. Maka kedua kaki segitiga itu sama besar, dan segitiga-segitiga itu sama panjang pada ketiga sisinya.

DALIL pada properti kaki yang terletak di depan sudut 30°. Kaki yang berhadapan dengan sudut 30° sama dengan setengah sisi miring. Terbukti dengan melengkapi segitiga menjadi segitiga sama sisi.

TEOREMA tentang sifat titik-titik garis bagi sudut. Setiap titik pada garis bagi suatu sudut memiliki jarak yang sama dari sisi-sisinya. Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut, maka titik tersebut terletak pada garis bagi sudut tersebut. Dibuktikan dengan menggambar dua garis tegak lurus pada sisi-sisi sudut dan mempertimbangkan segitiga siku-siku.

Poin bagus kedua . Garis bagi segitiga berpotongan di satu titik.

Jarak antara garis sejajar. DALIL. Semua titik dari masing-masing dua garis sejajar berada pada jarak yang sama dari garis lainnya. Definisi jarak antara garis sejajar mengikuti dari teorema.

Definisi. Jarak antara dua garis sejajar adalah jarak dari suatu titik pada salah satu garis sejajar ke garis lainnya.

Bukti rinci teorema






Ini adalah abstrak referensi no 4 dalam geometri di kelas 7. Pilih langkah selanjutnya:

Segi tiga . Segitiga lancip, tumpul dan siku-siku.

Kaki dan sisi miring. Segitiga sama kaki dan segitiga sama sisi.

Jumlah sudut segitiga.

Sudut luar segitiga. Tanda-tanda persamaan segitiga.

Garis dan titik indah dalam segitiga: ketinggian, median,

garis-bagi, median e tegak lurus, orthocenter,

pusat gravitasi, pusat lingkaran terbatas, pusat lingkaran tertulis.

Teori Pitagoras. Rasio aspek segitiga sewenang-wenang.

Segi tiga adalah poligon dengan tiga sisi (atau tiga sudut). Sisi segitiga sering dilambangkan dengan huruf kecil, yang sesuai dengan huruf kapital yang menunjukkan simpul yang berlawanan.

Jika ketiga sudutnya lancip ( gbr. 20), maka ini segitiga lancip . Jika salah satu sudutnya benar(C, gbr.21), itu adalah segitiga siku-siku; sisia , bmembentuk sudut siku-siku disebut kaki; sampingcberhadapan dengan sudut siku-siku disebut sisi miring. Jika salah satu dari sudut tumpul ( B, gbr.22), itu adalah segitiga tumpul.


Segitiga ABC (Gbr. 23) - sama kaki, jika dua sisinya samasebuah= c); sisi yang sama ini disebut lateral, pihak ketiga disebut dasar segi tiga. Segi tiga ABC (Gbr. 24) - sama sisi, jika semua sisinya samasebuah = b = c). Secara umum ( sebuah ≠ b ≠ c) kita punya sisi tak sama panjang segi tiga .

Sifat dasar segitiga. Dalam segitiga apa pun:

1. Ada sudut yang lebih besar di seberang sisi yang lebih besar, dan sebaliknya.

2. Sudut yang sama terletak berhadapan dengan sisi yang sama, dan sebaliknya.

Secara khusus, semua sudut di sama sisi segitiga adalah sama.

3. Jumlah sudut segitiga adalah 180 º .

Dari dua sifat terakhir dapat disimpulkan bahwa setiap sudut dalam sebuah sama sisi

segitiga adalah 60 º.

4. Melanjutkan salah satu sisi segitiga (AC, gbr. 25), kita mendapatkan luar

sudut BCD . Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah sudut dalam,

tidak berhubungan dengan itu :BCD=A+B.

5. Setiap sisi segitiga lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya dan lebih banyak

perbedaan mereka (sebuah < b + c, sebuah > b – c;b < sebuah + c, b > sebuah – c;c < sebuah + b,c > sebuah – b).

Tanda-tanda persamaan segitiga.

Segitiga kongruen jika masing-masing sama besar:

sebuah ) dua sisi dan sudut di antara mereka;

b ) dua sudut dan sisi yang berdekatan dengannya;

c.tiga sisi.

Tanda-tanda persamaan segitiga siku-siku.

Dua persegi panjang segitiga adalah kongruen jika salah satu dari kondisi berikut ini benar:

1) kaki mereka sama;

2) kaki dan sisi miring dari satu segitiga sama dengan kaki dan sisi miring yang lain;

3) sisi miring dan sudut lancip satu segitiga sama dengan sisi miring dan sudut lancip segitiga lainnya;

4) kaki dan sudut lancip yang berdekatan dari satu segitiga sama dengan kaki dan sudut lancip yang berdekatan dari segitiga lainnya;

5) kaki dan sudut lancip yang berlawanan dari satu segitiga sama dengan kaki dan berlawanan dengan sudut lancip yang lain.

Garis-garis indah dan titik-titik dalam segitiga.

Tinggi segitiga adalahtegak lurus,dijatuhkan dari sembarang titik ke sisi yang berlawanan ( atau lanjutannya). Sisi ini disebutalas segitiga . Tiga ketinggian segitiga selalu berpotongandi satu titikditelepon pusat orto segi tiga. Orthocenter dari segitiga lancip (titik HAI , Gambar 26) terletak di dalam segitiga, danorthocenter dari segitiga tumpul (titik HAI , Gbr.27) – di luar; Orthocenter dari segitiga siku-siku bertepatan dengan titik sudut siku-siku.

median - Ini segmen garis , menghubungkan setiap titik sudut segitiga dengan titik tengah sisi yang berlawanan. Tiga median segitiga (AD , BE , CF , gbr.28) berpotongan di satu titik HAI , yang selalu terletak di dalam segitiga dan menjadi miliknya Pusat gravitasi. Titik ini membagi setiap median 2:1 dari atas.

Bisektris - Ini segmen bagi-bagi sudut dari atas ke titik persimpangan dengan sisi yang berlawanan. Tiga garis bagi segitiga (AD , BE , CF , gbr.29) berpotongan di satu titik Oh, selalu berbaring di dalam segitiga dan makhluk pusat lingkaran tertulis(lihat bagian "Tertulisdan poligon berbatas).

Garis bagi membagi sisi yang berlawanan menjadi bagian-bagian yang sebanding dengan sisi yang berdekatan ; misalnya, pada Gambar.29 AE : CE = AB : SM .

Median tegak lurus adalah tegak lurus yang ditarik dari mean titik segmen (sisi). Tiga garis bagi segitiga ABC(KO , MO , TIDAK , gbr.30 ) berpotongan di satu titik O, yaitu tengah lingkaran berbatas (titik K , M , N titik tengah sisi segitiga ABC).

Dalam segitiga lancip, titik ini terletak di dalam segitiga; di tumpul - di luar; dalam persegi panjang - di tengah-tengah hipotenusa. Orthocenter, pusat gravitasi, pusat berbatas dan pusat lingkaran bertulis berimpit hanya pada segitiga sama sisi.

Teori Pitagoras. Pada segitiga siku-siku, kuadrat panjangnyaSisi miring sama dengan jumlah kuadrat dari panjang kaki.

Bukti teorema Pythagoras jelas mengikuti dari Gbr.31. Perhatikan segitiga siku-siku ABC dengan kaki a , b dan sisi miring c.

Ayo bangun persegi AKMB menggunakan hipotenusa AB sebagai sisi. Kemudianperpanjang sisi segitiga siku-siku ABC jadi untuk mendapatkan persegi CDEF , yang sisinya sama dengana + b.Sekarang jelas bahwa luas persegi CDEF adalah ( a+b) 2 . Di sisi lain, ini luas sama dengan jumlah daerah empat segitiga siku-siku dan kuadrat AKMB , yaitu

c 2 + 4 (ab / 2) = c 2 + 2 ab,

dari sini,

c 2 + 2 ab= (a+b) 2 ,

dan akhirnya kita memiliki:

c 2 =sebuah 2 +b 2 .

Rasio aspek segitiga sewenang-wenang.

Dalam kasus umum (untuk segitiga sembarang) kita memiliki:

c 2 =sebuah 2 +b 2 – 2ab· karena c,

dimana C - sudut antar sisisebuah dan b .

>>Geometri: Jumlah sudut segitiga. Selesaikan Pelajaran

TOPIK PELAJARAN: Jumlah sudut segitiga.

Tujuan Pelajaran:

  • Pemantapan dan pengujian pengetahuan siswa pada topik: "Jumlah sudut segitiga";
  • Bukti sifat-sifat sudut segitiga;
  • Penggunaan properti ini dalam memecahkan masalah paling sederhana;
  • Penggunaan materi sejarah untuk pengembangan aktivitas kognitif siswa;
  • Menanamkan keterampilan akurasi dalam konstruksi gambar.

Tujuan pelajaran:

  • Periksa kemampuan siswa untuk memecahkan masalah.

Rencana belajar:

  1. Segi tiga;
  2. Teorema tentang jumlah sudut segitiga;
  3. Contoh tugas.

Segi tiga.

File: Segitiga O.gif- poligon paling sederhana yang memiliki 3 simpul (sudut) dan 3 sisi; bagian dari bidang yang dibatasi oleh tiga titik dan tiga ruas garis yang menghubungkan titik-titik tersebut secara berpasangan.
Tiga titik dalam ruang yang tidak terletak pada satu garis lurus berhubungan dengan satu dan hanya satu bidang.
Setiap poligon dapat dibagi menjadi segitiga - proses ini disebut triangulasi.
Ada bagian matematika yang sepenuhnya dikhususkan untuk mempelajari pola segitiga - Trigonometri.

Teorema tentang jumlah sudut segitiga.

File:T.gif Teorema jumlah sudut segitiga adalah teorema klasik dalam geometri Euclidean yang menyatakan bahwa jumlah sudut suatu segitiga adalah 180°.

Bukti" :

Misalkan ABC diberikan. Mari kita menggambar garis yang sejajar dengan (AC) melalui titik B dan menandai titik D di atasnya sehingga titik A dan D terletak pada sisi yang berlawanan dari garis BC. Maka sudut (DBC) dan sudut (ACB) sama dengan persilangan internal yang terletak pada garis sejajar BD dan AC dan garis potong (BC). Maka jumlah sudut segitiga di titik B dan C sama dengan besar sudut (ABD). Tetapi sudut (ABD) dan sudut (BAC) pada titik sudut A segitiga ABC adalah bagian dalam satu sisi dengan garis sejajar BD dan AC dan garis potong (AB), dan jumlah mereka adalah 180°. Jadi, jumlah sudut segitiga adalah 180°. Teorema telah terbukti.


Konsekuensi.

Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.

Bukti:

Misalkan ABC diberikan. Titik D terletak pada garis AC sehingga A terletak di antara C dan D. Maka BAD berada di luar sudut segitiga di titik sudut A dan A + BAD = 180°. Tetapi A + B + C = 180°, dan karenanya B + C = 180° – A. Oleh karena itu BURUK = B + C. Akibat wajarnya terbukti.


Konsekuensi.

Besar sudut luar suatu segitiga lebih besar dari setiap sudut segitiga yang tidak berdekatan dengannya.

Tugas.

Sudut luar segitiga adalah sudut yang berdekatan dengan setiap sudut segitiga ini. Buktikan bahwa sudut luar suatu segitiga sama dengan jumlah dua sudut segitiga yang tidak berdekatan.
(Gbr.1)

Keputusan:

Biarkan ABC DAC menjadi eksternal (Gbr.1). Maka DAC=180°-∠BAC (menurut sifat sudut-sudut bersebelahan), sesuai dengan teorema jumlah sudut segitiga B+∠C =180°-∠BAC. Dari persamaan ini kita mendapatkan DAC=∠B+∠C

Fakta yang menarik:

Jumlah sudut segitiga :

Dalam geometri Lobachevsky, jumlah sudut segitiga selalu kurang dari 180. Dalam geometri Euclid, selalu sama dengan 180. Dalam geometri Riemannian, jumlah sudut segitiga selalu lebih besar dari 180.

Dari sejarah matematika:

Euclid (abad III SM) dalam karya "Awal" memberikan definisi berikut: "Paralel adalah garis lurus yang berada di bidang yang sama dan, diperpanjang tanpa batas di kedua arah, tidak bertemu satu sama lain di kedua sisi" .
Posidonius (abad ke-1 SM) "Dua garis lurus terletak pada bidang yang sama, berjarak sama satu sama lain"
Ilmuwan Yunani kuno Pappus (abad III SM) memperkenalkan simbol garis sejajar - tanda =. Selanjutnya, ekonom Inggris Ricardo (1720-1823) menggunakan simbol ini sebagai tanda sama dengan.
Baru pada abad ke-18 mereka mulai menggunakan simbol garis sejajar - tanda ||.
Hubungan langsung antar generasi tidak terputus sesaat, setiap hari kita mempelajari pengalaman yang dikumpulkan oleh nenek moyang kita. Orang Yunani kuno, berdasarkan pengamatan dan pengalaman praktis, menarik kesimpulan, mengungkapkan hipotesis, dan kemudian, pada pertemuan para ilmuwan - simposium (secara harfiah "pesta") - mereka mencoba untuk membuktikan dan membuktikan hipotesis ini. Pada saat itu, pernyataan terbentuk: "Kebenaran lahir dalam perselisihan."

Pertanyaan:

  1. Apa itu segitiga?
  2. Apa yang dikatakan teorema jumlah segitiga?
  3. Berapakah besar sudut luar segitiga tersebut?

ARTIKEL TERKAIT