Mari kita lanjutkan pembahasan tentang kelipatan persekutuan terkecil yang kita mulai pada bagian KPK - Kelipatan Persekutuan Terkecil, Definisi, Contoh. Dalam topik ini, kita akan melihat cara mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, kita akan menganalisis pertanyaan bagaimana mencari KPK dari bilangan negatif.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Perhitungan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) melalui gcd

Kami telah menetapkan hubungan antara kelipatan persekutuan terkecil dan pembagi persekutuan terbesar. Sekarang mari kita pelajari cara mendefinisikan KPK melalui GCD. Pertama, mari kita cari tahu bagaimana melakukan ini untuk bilangan positif.

Definisi 1

Anda dapat menemukan kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar menggunakan rumus KPK (a, b) \u003d a b: GCD (a, b) .

Contoh 1

Diketahui KPK dari bilangan 126 dan 70.

Keputusan

Misalkan a = 126 , b = 70 . Substitusikan nilai-nilai dalam rumus untuk menghitung kelipatan persekutuan terkecil melalui pembagi persekutuan terbesar KPK (a, b) = a · b: GCD (a, b) .

Tentukan KPK dari bilangan 70 dan 126. Untuk ini kita memerlukan algoritma Euclid: 126 = 70 1 + 56 , 70 = 56 1 + 14 , 56 = 14 4 , maka gcd (126 , 70) = 14 .

Mari kita hitung KPKnya: KPK (126, 70) = 126 70: FPB (126, 70) = 126 70: 14 = 630.

Menjawab: KPK (126, 70) = 630.

Contoh 2

Tentukan nok dari bilangan 68 dan 34.

Keputusan

GCD dalam hal ini mudah ditemukan, karena 68 habis dibagi 34. Hitung kelipatan persekutuan terkecil dengan menggunakan rumus: KPK (68, 34) = 68 34: KPK (68, 34) = 68 34: 34 = 68.

Menjawab: KPK(68, 34) = 68.

Dalam contoh ini, kami menggunakan aturan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan bulat positif a dan b: jika bilangan pertama habis dibagi bilangan kedua, maka KPK dari bilangan tersebut akan sama dengan bilangan pertama.

Mencari KPK dengan Memfaktorkan Bilangan Menjadi Faktor Prima

Sekarang mari kita lihat cara mencari KPK, yang didasarkan pada penguraian bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 2

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, kita perlu melakukan beberapa langkah sederhana:

• kami membuat produk dari semua faktor prima dari angka yang kami butuhkan untuk mencari KPK;
• kami mengecualikan semua faktor utama dari produk yang mereka peroleh;
• produk yang diperoleh setelah menghilangkan faktor prima yang umum akan sama dengan KPK dari bilangan yang diberikan.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil ini didasarkan pada persamaan KPK (a , b) = a b: GCD (a , b) . Jika Anda melihat rumusnya, itu akan menjadi jelas: produk dari angka a dan b sama dengan produk dari semua faktor yang terlibat dalam ekspansi kedua angka ini. Dalam hal ini, KPK dari dua bilangan sama dengan produk dari semua faktor prima yang secara bersamaan hadir dalam faktorisasi kedua bilangan tersebut.

Contoh 3

Kami memiliki dua angka 75 dan 210 . Kita dapat memfaktorkannya seperti ini: 75 = 3 5 5 dan 210 = 2 3 5 7. Jika Anda membuat produk dari semua faktor dari dua bilangan asli, Anda mendapatkan: 2 3 3 5 5 5 7.

Jika kita mengecualikan faktor-faktor yang umum untuk kedua nomor 3 dan 5, kita mendapatkan produk dari bentuk berikut: 2 3 5 5 7 = 1050. Produk ini akan menjadi KPK kita untuk angka 75 dan 210.

Contoh 4

Cari KPK dari bilangan 441 dan 700 , dekomposisi kedua bilangan menjadi faktor prima.

Keputusan

Mari kita cari semua faktor prima dari bilangan yang diberikan dalam kondisi:

441 147 49 7 1 3 3 7 7

700 350 175 35 7 1 2 2 5 5 7

Kami mendapatkan dua rantai angka: 441 = 3 3 7 7 dan 700 = 2 2 5 5 7 .

Produk dari semua faktor yang berpartisipasi dalam perluasan angka-angka ini akan terlihat seperti: 2 2 3 3 5 5 7 7 7. Mari kita cari faktor umum. Angka ini adalah 7. Kami mengecualikannya dari produk umum: 2 2 3 3 5 5 7 7. Ternyata NOC (441 , 700) = 2 2 3 3 5 5 7 7 = 44 100.

Menjawab: KPK (441 , 700) = 44 100 .

Mari kita berikan satu lagi rumusan metode untuk mencari KPK dengan menguraikan bilangan menjadi faktor prima.

Definisi 3

Sebelumnya, kami mengecualikan dari jumlah total faktor yang umum untuk kedua angka. Sekarang kita akan melakukannya secara berbeda:

• Mari kita uraikan kedua bilangan tersebut menjadi faktor prima:
• tambahkan faktor-faktor prima dari bilangan pertama ke faktor-faktor yang hilang dari bilangan kedua;
• kami mendapatkan produk, yang akan menjadi KPK yang diinginkan dari dua angka.

Contoh 5

Mari kembali ke angka 75 dan 210 , yang sudah kita cari KPKnya di salah satu contoh sebelumnya. Mari kita uraikan menjadi faktor-faktor sederhana: 75 = 3 5 5 dan 210 = 2 3 5 7. Untuk produk faktor 3 , 5 dan 5 nomor 75 tambahkan faktor yang hilang 2 dan 7 nomor 210. Kita mendapatkan: 2 3 5 5 7 . Ini adalah KPK dari angka 75 dan 210.

Contoh 6

Penting untuk menghitung KPK dari angka 84 dan 648.

Keputusan

Mari kita uraikan bilangan dari kondisi tersebut menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 dan 648 = 2 2 2 3 3 3 3. Tambahkan ke produk dari faktor 2 , 2 , 3 dan 7 angka 84 hilang faktor 2 , 3 , 3 dan
3 nomor 648 . Kami mendapatkan produk 2 2 2 3 3 3 3 7 = 4536 . Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari 84 dan 648.

Menjawab: KPK (84, 648) = 4536.

Mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih

Terlepas dari berapa banyak angka yang kita hadapi, algoritme tindakan kita akan selalu sama: kita akan secara konsisten menemukan KPK dari dua angka. Ada teorema untuk kasus ini.

Teorema 1

Misalkan kita memiliki bilangan bulat a 1 , a 2 , … , a k. NOC m k dari bilangan-bilangan tersebut didapatkan dalam perhitungan berurutan m 2 = KPK (a 1 , a 2) , m 3 = KPK (m 2 , a 3) , … , m k = KPK (m k 1 , a k) .

Sekarang mari kita lihat bagaimana teorema dapat diterapkan pada masalah tertentu.

Contoh 7

Anda perlu menghitung kelipatan persekutuan terkecil dari empat angka 140 , 9 , 54 dan 250 .

Keputusan

Mari kita perkenalkan notasi: a 1 \u003d 140, a 2 \u003d 9, a 3 \u003d 54, a 4 \u003d 250.

Mari kita mulai dengan menghitung m 2 = KPK (a 1 , a 2) = KPK (140, 9 ). Mari kita gunakan algoritma Euclidean untuk menghitung KPK dari bilangan 140 dan 9: 140 = 9 15 + 5 , 9 = 5 1 + 4 , 5 = 4 1 + 1 , 4 = 1 4 . Didapatkan: KPK(140, 9) = 1, KPK(140, 9) = 140 9: KPK(140, 9) = 140 9:1 = 1260. Oleh karena itu, m 2 = 1 260 .

Sekarang mari kita hitung menurut algoritma yang sama m 3 = KPK (m 2 , a 3) = KPK (1260 , 54) . Dalam proses perhitungan, kita mendapatkan m 3 = 3 780.

Tetap bagi kita untuk menghitung m 4 \u003d KPK (m 3, a 4) \u003d KPK (3 780, 250) . Kami bertindak sesuai dengan algoritma yang sama. Kami mendapatkan m 4 \u003d 94 500.

KPK dari keempat bilangan dari kondisi contoh adalah 94500 .

Menjawab: KPK (140, 9, 54, 250) = 94.500.

Seperti yang Anda lihat, perhitungannya sederhana, tetapi cukup melelahkan. Untuk menghemat waktu, Anda bisa pergi ke arah lain.

Definisi 4

Kami menawarkan kepada Anda algoritme tindakan berikut:

• menguraikan semua bilangan menjadi faktor prima;
• ke produk dari faktor-faktor dari angka pertama, tambahkan faktor-faktor yang hilang dari produk dari angka kedua;
• tambahkan faktor yang hilang dari angka ketiga ke produk yang diperoleh pada tahap sebelumnya, dll .;
• produk yang dihasilkan akan menjadi kelipatan persekutuan terkecil dari semua bilangan dari kondisi tersebut.

Contoh 8

Tentukan KPK dari lima bilangan 84 , 6 , 48 , 7 , 143 .

Keputusan

Mari kita uraikan kelima bilangan tersebut menjadi faktor prima: 84 = 2 2 3 7 , 6 = 2 3 , 48 = 2 2 2 2 3 , 7 , 143 = 11 13 . Bilangan prima, yaitu bilangan 7, tidak dapat difaktorkan menjadi faktor prima. Angka-angka tersebut bertepatan dengan dekomposisi mereka menjadi faktor prima.

Sekarang mari kita ambil produk dari faktor prima 2, 2, 3 dan 7 dari bilangan 84 dan tambahkan faktor-faktor yang hilang dari bilangan kedua. Kami telah menguraikan angka 6 menjadi 2 dan 3. Faktor-faktor ini sudah dalam produk dari nomor pertama. Oleh karena itu, kami mengabaikan mereka.

Kami terus menambahkan pengganda yang hilang. Kami beralih ke nomor 48, dari produk faktor prima yang kami ambil 2 dan 2. Kemudian kita menjumlahkan faktor sederhana 7 dari bilangan keempat dan faktor 11 dan 13 dari bilangan kelima. Kita peroleh: 2 2 2 2 3 7 11 13 = 48.048. Ini adalah kelipatan persekutuan terkecil dari lima bilangan asli.

Menjawab: KPK (84, 6, 48, 7, 143) = 48.048.

Menemukan Kelipatan Persekutuan Terkecil dari Bilangan Negatif

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan negatif, bilangan-bilangan ini harus terlebih dahulu diganti dengan bilangan dengan tanda yang berlawanan, dan kemudian perhitungan harus dilakukan sesuai dengan algoritma di atas.

Contoh 9

KPK(54, 34) = KPK(54, 34) dan KPK(−622,−46, 54,−888) = KPK(622, 46, 54, 888) .

Perbuatan seperti itu diperbolehkan karena jika diterima bahwa sebuah dan a- bilangan berlawanan
maka himpunan kelipatan sebuah bertepatan dengan himpunan kelipatan suatu bilangan a.

Contoh 10

Penting untuk menghitung KPK dari bilangan negatif − 145 dan − 45 .

Keputusan

Ayo ganti angka − 145 dan − 45 ke bilangan lawannya 145 dan 45 . Sekarang, dengan menggunakan algoritma, kita menghitung KPK (145 , 45) = 145 45: GCD (145 , 45) = 145 45: 5 = 1 305 , setelah sebelumnya ditentukan GCD menggunakan algoritma Euclid.

Kami mendapatkan bahwa KPK dari angka 145 dan − 45 sama dengan 1 305 .

Menjawab: KPK (− 145 , 45) = 1 305 .

Jika Anda melihat kesalahan dalam teks, harap sorot dan tekan Ctrl+Enter

Pertimbangkan tiga cara untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil.

Menemukan dengan Memfaktorkan

Cara pertama adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memfaktorkan bilangan-bilangan yang diberikan menjadi faktor prima.

Misalkan kita perlu mencari KPK dari bilangan: 99, 30 dan 28. Untuk melakukan ini, kita menguraikan setiap bilangan ini menjadi faktor prima:

Agar bilangan yang diinginkan habis dibagi 99, 30 dan 28, perlu dan cukup bahwa bilangan tersebut mencakup semua faktor prima dari pembagi ini. Untuk melakukan ini, kita perlu mengambil semua faktor prima dari bilangan-bilangan ini ke pangkat tertinggi dan mengalikannya:

2 2 3 2 5 7 11 = 13860

Jadi KPK (99, 30, 28) = 13.860. Tidak ada bilangan lain yang kurang dari 13.860 yang habis dibagi 99, 30, atau 28.

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari bilangan-bilangan yang diberikan, Anda perlu menguraikannya menjadi faktor-faktor prima, kemudian mengambil setiap faktor prima dengan eksponen terbesar yang muncul, dan mengalikan faktor-faktor ini bersama-sama.

Karena bilangan koprima tidak memiliki faktor prima yang sama, kelipatan persekutuan terkecilnya sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini. Misalnya, tiga angka: 20, 49 dan 33 adalah koprima. Jadi

KPK (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Hal yang sama harus dilakukan ketika mencari kelipatan persekutuan terkecil dari berbagai bilangan prima. Misalnya KPK (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Menemukan dengan pilihan

Cara kedua adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan memasang.

Contoh 1. Jika bilangan terbesar dari bilangan-bilangan yang diberikan habis dibagi dengan bilangan-bilangan lain yang diberikan, maka KPK dari bilangan-bilangan tersebut adalah sama dengan bilangan yang lebih besar. Misalnya, diberikan empat angka: 60, 30, 10 dan 6. Masing-masing habis dibagi 60, oleh karena itu:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

Dalam kasus lain, untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil, prosedur berikut digunakan:

1. Tentukan bilangan terbesar dari bilangan yang diberikan.
2. Selanjutnya, kami menemukan angka yang merupakan kelipatan dari angka terbesar, mengalikannya dengan bilangan asli dalam urutan menaik dan memeriksa apakah sisa angka yang diberikan dapat dibagi dengan produk yang dihasilkan.

Contoh 2. Diberikan tiga angka 24, 3 dan 18. Tentukan yang terbesar - ini adalah angka 24. Selanjutnya, temukan kelipatan 24, periksa apakah masing-masingnya habis dibagi 18 dan 3:

24 1 = 24 habis dibagi 3 tetapi tidak habis dibagi 18.

24 2 = 48 - habis dibagi 3 tapi tidak habis dibagi 18.

24 3 \u003d 72 - habis dibagi 3 dan 18.

Jadi KPK(24, 3, 18) = 72.

Menemukan dengan Mencari Sekuensial LCM

Cara ketiga adalah mencari kelipatan persekutuan terkecil dengan mencari KPK secara berurutan.

KPK dari dua bilangan yang diberikan sama dengan produk dari bilangan-bilangan ini dibagi dengan pembagi persekutuan terbesarnya.

Contoh 1. Tentukan KPK dari dua bilangan yang diberikan: 12 dan 8. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: FPB (12, 8) = 4. Kalikan bilangan-bilangan ini:

Kami membagi produk ke dalam GCD mereka:

Jadi KPK(12, 8) = 24.

Untuk mencari KPK dari tiga bilangan atau lebih, digunakan prosedur berikut:

1. Pertama, KPK dari dua bilangan yang diberikan ditemukan.
2. Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang ditemukan dan bilangan ketiga yang diberikan.
3. Kemudian, KPK dari kelipatan persekutuan terkecil yang dihasilkan dan bilangan keempat, dan seterusnya.
4. Dengan demikian pencarian KPK terus berlanjut selama ada angka.

Contoh 2. Mari kita cari KPK dari tiga bilangan yang diberikan: 12, 8 dan 9. Kita telah menemukan KPK dari bilangan 12 dan 8 pada contoh sebelumnya (ini adalah bilangan 24). Tetap menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari 24 dan bilangan ketiga yang diberikan - 9. Tentukan pembagi persekutuan terbesarnya: gcd (24, 9) = 3. Kalikan KPK dengan angka 9:

Kami membagi produk ke dalam GCD mereka:

Jadi KPK(12, 8, 9) = 72.

Ketika menjumlahkan dan mengurangkan pecahan aljabar dengan penyebut yang berbeda, pecahan tersebut terlebih dahulu menghasilkan faktor persekutuan. Ini berarti bahwa mereka menemukan penyebut tunggal, yang dibagi dengan penyebut asli dari setiap pecahan aljabar yang merupakan bagian dari ekspresi ini.

Seperti yang Anda ketahui, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan dikalikan (atau dibagi) dengan angka yang sama selain nol, maka nilai pecahan tidak akan berubah. Ini adalah properti utama dari pecahan. Oleh karena itu, ketika pecahan mengarah ke penyebut yang sama, sebenarnya, penyebut asli dari setiap pecahan dikalikan dengan faktor yang hilang ke penyebut yang sama. Dalam hal ini, perlu untuk mengalikan dengan faktor ini dan pembilang pecahan (berbeda untuk setiap pecahan).

Misalnya, diberikan jumlah pecahan aljabar berikut:

Hal ini diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi, yaitu menambahkan dua pecahan aljabar. Untuk melakukan ini, pertama-tama, perlu untuk mengurangi suku-pecahan menjadi penyebut yang sama. Langkah pertama adalah mencari monomial yang habis dibagi 3x dan 2y. Dalam hal ini, diinginkan bahwa itu menjadi yang terkecil, yaitu, mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) untuk 3x dan 2y.

Untuk koefisien numerik dan variabel, KPK dicari secara terpisah. KPK(3, 2) = 6 dan KPK(x, y) = xy. Selanjutnya, nilai yang ditemukan dikalikan: 6xy.

Sekarang kita perlu menentukan dengan faktor apa kita perlu mengalikan 3x untuk mendapatkan 6xy:
6xy 3x = 2y

Ini berarti bahwa ketika mereduksi pecahan aljabar pertama menjadi penyebut yang sama, pembilangnya harus dikalikan dengan 2y (penyebutnya sudah dikalikan saat direduksi menjadi penyebut yang sama). Faktor pembilang pecahan kedua juga dicari. Ini akan sama dengan 3x.

Dengan demikian, kita mendapatkan:

Selanjutnya, sudah dimungkinkan untuk bertindak sebagai pecahan dengan penyebut yang sama: pembilangnya ditambahkan, dan satu persamaan ditulis dalam penyebutnya:

Setelah transformasi, ekspresi yang disederhanakan diperoleh, yang merupakan satu fraksi aljabar, yang merupakan jumlah dari dua yang asli:

Pecahan aljabar dalam ekspresi asli dapat berisi penyebut yang polinomial daripada monomial (seperti dalam contoh di atas). Dalam hal ini, sebelum menemukan penyebut yang sama, faktorkan penyebutnya (jika mungkin). Selanjutnya, penyebut umum dikumpulkan dari faktor yang berbeda. Jika faktornya ada beberapa penyebut awal, maka diambil satu kali. Jika faktor tersebut memiliki derajat yang berbeda pada penyebut aslinya, maka diambil dengan yang lebih besar. Sebagai contoh:

Di sini polinomial a 2 - b 2 dapat direpresentasikan sebagai produk (a - b)(a + b). Faktor 2a – 2b diekspansi menjadi 2(a – b). Jadi, penyebutnya akan sama dengan 2(a - b)(a + b).

Kalkulator online memungkinkan Anda dengan cepat menemukan pembagi persekutuan terbesar dan kelipatan persekutuan terkecil dari dua atau sejumlah angka lainnya.

Kalkulator untuk mencari GCD dan NOC

Temukan GCD dan NOC

GCD dan NOC ditemukan: 5806

Cara menggunakan kalkulator

• Masukkan angka di kolom input
• Jika salah memasukkan karakter, kolom input akan disorot dengan warna merah
• tekan tombol "Temukan GCD dan NOC"

Cara memasukkan angka

• Angka dimasukkan dipisahkan oleh spasi, titik atau koma
• Panjang angka yang dimasukkan tidak dibatasi, jadi mencari gcd dan lcm dari bilangan yang panjang tidak akan sulit

Apa itu NOD dan NOK?

Pembagi Umum Terbesar dari beberapa bilangan adalah bilangan bulat terbesar yang semua bilangan aslinya habis dibagi tanpa sisa. Pembagi persekutuan terbesar disingkat GCD.
Kelipatan persekutuan terkecil beberapa bilangan adalah bilangan terkecil yang habis dibagi setiap bilangan asli tanpa sisa. Kelipatan persekutuan terkecil disingkat NOC.

Bagaimana cara memeriksa apakah suatu bilangan habis dibagi dengan bilangan lain tanpa sisa?

Untuk mengetahui apakah suatu bilangan habis dibagi bilangan lain tanpa sisa, Anda dapat menggunakan beberapa sifat pembagian bilangan. Kemudian, dengan menggabungkannya, seseorang dapat memeriksa pembagian oleh beberapa dari mereka dan kombinasinya.

Beberapa tanda pembagian bilangan

1. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 2
Untuk menentukan suatu bilangan habis dibagi dua (apakah genap), cukup dengan melihat angka terakhir dari bilangan tersebut: jika sama dengan 0, 2, 4, 6 atau 8, maka bilangan tersebut genap, yang artinya habis dibagi 2.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 2.
Keputusan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut habis dibagi dua.

2. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 3
Suatu bilangan habis dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 3. Jadi, untuk menentukan apakah suatu bilangan habis dibagi 3, Anda perlu menghitung jumlah digitnya dan memeriksa apakah bilangan itu habis dibagi 3. Bahkan jika jumlah digitnya ternyata sangat besar, Anda dapat mengulangi proses yang sama lagi.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 3.
Keputusan: kita hitung jumlah angkanya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 3, artinya bilangan itu habis dibagi tiga.

3. Tanda pembagian suatu bilangan dengan 5
Suatu bilangan habis dibagi 5 jika angka terakhirnya nol atau lima.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 5
Keputusan: lihat angka terakhir: 8 berarti bilangan tersebut TIDAK habis dibagi lima.

4. Tanda habis-habisan suatu bilangan dengan 9
Tanda ini sangat mirip dengan tanda habis dibagi tiga: suatu bilangan habis dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya habis dibagi 9.
Contoh: tentukan apakah bilangan 34938 habis dibagi 9.
Keputusan: kita hitung jumlah angkanya: 3+4+9+3+8 = 27. 27 habis dibagi 9, artinya bilangan itu habis dibagi sembilan.

Bagaimana cara mencari KPK dan KPK dari dua bilangan?

Bagaimana cara mencari KPK dari dua bilangan?

Cara paling sederhana untuk menghitung pembagi persekutuan terbesar dari dua bilangan adalah dengan menemukan semua kemungkinan pembagi dari bilangan-bilangan ini dan memilih yang terbesar dari mereka.

Pertimbangkan metode ini menggunakan contoh mencari GCD(28, 36) :

1. Kami memfaktorkan kedua angka: 28 = 1 2 2 7 , 36 = 1 2 2 3 3
2. Kami menemukan faktor persekutuan, yaitu faktor-faktor yang dimiliki kedua angka: 1, 2 dan 2.
3. Kami menghitung produk dari faktor-faktor ini: 1 2 2 \u003d 4 - ini adalah pembagi umum terbesar dari angka 28 dan 36.

Bagaimana cara mencari KPK dari dua bilangan?

Ada dua cara paling umum untuk menemukan kelipatan terkecil dari dua angka. Cara pertama adalah Anda dapat menuliskan kelipatan pertama dari dua angka, dan kemudian memilih di antara mereka angka yang sama untuk kedua angka dan sekaligus yang terkecil. Dan yang kedua adalah mencari KPK dari bilangan-bilangan tersebut. Mari kita pertimbangkan saja.

Untuk menghitung KPK, Anda perlu menghitung produk dari bilangan asli dan kemudian membaginya dengan FPB yang ditemukan sebelumnya. Carilah KPK dari bilangan 28 dan 36 yang sama:

1. Tentukan hasil kali bilangan 28 dan 36: 28 36 = 1008
2. gcd(28, 36) sudah diketahui 4
3. KPK(28, 36) = 1008 / 4 = 252 .

Mencari KPK dan KPK untuk Beberapa Angka

Pembagi persekutuan terbesar dapat ditemukan untuk beberapa bilangan, dan bukan hanya untuk dua. Untuk ini, angka-angka yang akan dicari untuk pembagi persekutuan terbesar didekomposisi menjadi faktor-faktor prima, kemudian produk dari faktor-faktor prima umum dari angka-angka ini ditemukan. Selain itu, untuk mencari KPK dari beberapa bilangan, Anda dapat menggunakan relasi berikut: gcd(a, b, c) = gcd(gcd(a, b), c).

Relasi serupa juga berlaku untuk kelipatan bilangan persekutuan terkecil: KPK(a, b, c) = KPK(KPK(a, b), c)

Contoh: Tentukan KPK dan KPK dari bilangan 12, 32 dan 36.

1. Pertama, faktorkan dulu bilangan-bilangannya: 12 = 1 2 2 3 , 32 = 1 2 2 2 2 2 , 36 = 1 2 2 3 3 .
2. Mari kita cari faktor persekutuan: 1, 2 dan 2 .
3. Produk mereka akan memberikan gcd: 1 2 2 = 4
4. Sekarang mari kita cari KPKnya: untuk ini kita cari KPK dulu (12, 32): 12 32 / 4 = 96 .
5. Untuk mencari KPK dari ketiga bilangan tersebut, Anda perlu mencari KPK(96, 36): 96 = 1 2 2 2 2 2 3 , 36 = 1 2 2 3 3 , KPK = 1 2. 2 3 = 12 .
6. KPK(12, 32, 36) = 96 36 / 12 = 288 .

Perhatikan penyelesaian soal berikut. Langkah anak laki-laki adalah 75 cm, dan langkah anak perempuan adalah 60 cm. Diperlukan untuk menemukan jarak terkecil di mana keduanya akan mengambil jumlah langkah bilangan bulat.

Keputusan. Seluruh jalan yang akan dilalui orang-orang itu harus habis dibagi 60 dan 70 tanpa sisa, karena mereka masing-masing harus mengambil sejumlah langkah bilangan bulat. Dengan kata lain, jawabannya harus kelipatan 75 dan 60.

Pertama, kita akan menulis semua kelipatan, untuk angka 75. Kita mendapatkan:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Sekarang mari kita tuliskan bilangan-bilangan yang merupakan kelipatan 60. Kita peroleh:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Sekarang kita menemukan angka-angka yang ada di kedua baris.

• Kelipatan bilangan yang sama adalah bilangan, 300, 600, dst.

Yang terkecil adalah angka 300. Dalam hal ini, itu akan disebut kelipatan persekutuan terkecil dari angka 75 dan 60.

Kembali ke kondisi soal, jarak terkecil yang ditempuh anak laki-laki dengan jumlah langkah bilangan bulat adalah 300 cm. Anak laki-laki akan menempuh jalan ini dalam 4 langkah, dan anak perempuan perlu menempuh 5 langkah.

Mencari Kelipatan Persekutuan Terkecil

• Kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan asli a dan b adalah bilangan asli terkecil yang merupakan kelipatan dari a dan b.

Untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan, tidak perlu menuliskan semua kelipatan bilangan-bilangan ini secara berurutan.

Anda dapat menggunakan metode berikut.

Cara mencari kelipatan persekutuan terkecil

Pertama, Anda perlu menguraikan angka-angka ini menjadi faktor prima.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Sekarang mari kita tuliskan semua faktor yang ada dalam perluasan bilangan pertama (2,2,3,5) dan tambahkan semua faktor yang hilang dari perluasan bilangan kedua (5).

Hasilnya, kami mendapatkan serangkaian bilangan prima: 2,2,3,5,5. Produk dari angka-angka ini akan menjadi faktor persekutuan terkecil untuk angka-angka ini. 2*2*3*5*5 = 300.

Skema umum untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil

• 1. Uraikan bilangan menjadi faktor prima.
• 2. Tuliskan faktor prima yang merupakan bagian dari salah satunya.
• 3. Tambahkan ke faktor-faktor ini semua yang ada dalam penguraian sisanya, tetapi tidak dalam yang dipilih.
• 4. Temukan produk dari semua faktor yang ditulis.

Metode ini bersifat universal. Ini dapat digunakan untuk menemukan kelipatan persekutuan terkecil dari sejumlah bilangan asli.