geser 2
a2+b2=c2 c a b P
geser 3
Pythagoras tidak menemukan properti segitiga siku-siku ini; dia mungkin orang pertama yang menggeneralisasi dan membuktikannya, dengan demikian memindahkannya dari bidang praktik ke bidang sains. Kami tidak tahu bagaimana dia melakukannya. Diasumsikan bahwa, bagaimanapun, bukti Pythagoras tidak mendasar, tetapi hanya konfirmasi, verifikasi properti ini pada sejumlah jenis segitiga tertentu, dimulai dengan segitiga siku-siku sama kaki, yang jelas-jelas mengikuti dari Gambar. satu.
geser 4
geser 5
Pembuktian berdasarkan penggunaan konsep luas bangun yang sama.
geser 6
Jelas bahwa jika kita mengurangkan luas empat kali lipat dari segitiga siku-siku dengan kaki a, b dari luas persegi, maka luas yang sama tetap, yaitu c2 = a2 + b2. Namun, orang Hindu kuno, yang memiliki alasan ini, biasanya tidak menuliskannya, tetapi menyertai gambar itu hanya dengan satu kata: "lihat!" Sangat mungkin bahwa Pythagoras menawarkan bukti yang sama.
Geser 7
bukti tambahan. Bukti-bukti ini didasarkan pada penguraian bujur sangkar yang dibangun di atas kaki menjadi gambar, dari mana dimungkinkan untuk menambahkan bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring. Pembuktian Einstein (Gbr. 3) didasarkan pada penguraian persegi yang dibangun di atas sisi miring menjadi 8 segitiga.
Geser 8
pada gambar. 4 menunjukkan bukti teorema Pythagoras menggunakan partisi al-Nairiziya, komentator Baghdad abad pertengahan pada "Awal" Euclid. Pada partisi ini, bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring dibagi menjadi 3 segitiga dan 2 segi empat. Di sini: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C; DE = BF. Buktikan teorema menggunakan partisi ini. D E
Geser 9
Bukti dengan metode ekstensi. Inti dari metode ini adalah bahwa angka-angka yang sama dilampirkan ke bujur sangkar yang dibangun di atas kaki dan pada bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sedemikian rupa sehingga diperoleh angka yang sama.
Geser 10
Validitas teorema Pythagoras mengikuti ukuran yang sama dari segi enam AEDFPB dan ACBNMQ. F
geser 11
pada gambar. 13 ABC - persegi panjang, C - sudut siku-siku, CM AB, b1 - proyeksi kaki b pada sisi miring, a1 - proyeksi kaki a pada sisi miring, h - tinggi segitiga yang ditarik ke sisi miring. Karena ABC mirip dengan ACM, maka b2 = c*b1; (1) karena ABC mirip dengan BCM, maka a2 = c*a1. (2) Menjumlahkan persamaan (1) dan (2) suku demi suku, kita memperoleh a2 + b2 = c*b1 + c*a1 = c*(b1 + a1) = c2. b
geser 12
Pada Gambar 15, tiga segitiga siku-siku membentuk trapesium. Oleh karena itu, luas gambar ini dapat ditemukan dengan rumus luas trapesium persegi panjang, atau sebagai jumlah dari luas tiga segitiga. Bukti Garfield.
geser 13
Biografi Pythagoras. Ilmuwan besar Pythagoras lahir sekitar tahun 570 SM. di pulau Samos. Ayah Pythagoras adalah Mnesarchus, seorang pemahat permata. Nama ibu Pythagoras tidak diketahui. Menurut banyak kesaksian kuno, anak laki-laki yang lahir itu sangat tampan, dan segera menunjukkan kemampuannya yang luar biasa. Di antara guru Pythagoras muda adalah Germodamant tua dan Pherekides dari Syros. Pythagoras muda menghabiskan sepanjang hari di kaki Hermo yang lebih tua, mendengarkan melodi cithara dan heksameter Homer. Gairah untuk musik dan puisi Homer yang agung, Pythagoras dipertahankan seumur hidup. Dan, sebagai seorang bijak yang diakui, dikelilingi oleh kerumunan siswa, Pythagoras memulai hari dengan menyanyikan salah satu lagu Homer. Pherecydes adalah seorang filsuf dan dianggap sebagai pendiri sekolah filsafat Italia. Tapi bagaimanapun, imajinasi gelisah dari Pythagoras muda segera menjadi ramai di Samos kecil, dan dia pergi ke Miletus, di mana dia bertemu dengan ilmuwan lain, Thales. Thales menyarankan dia untuk pergi ke Mesir untuk pengetahuan, yang Pythagoras lakukan. Pada 548 SM Pythagoras tiba di Navcratis, sebuah koloni Samian, di mana ada seseorang untuk mencari perlindungan dan makanan.
Geser 14
Setelah mempelajari bahasa dan agama orang Mesir, ia berangkat ke Memphis. Terlepas dari surat rekomendasi firaun, para imam yang licik tidak terburu-buru untuk mengungkapkan rahasia mereka kepada Pythagoras, menawarkannya cobaan yang sulit. Tetapi, didorong oleh rasa haus akan pengetahuan, Pythagoras mengatasi mereka semua, meskipun menurut penggalian, para pendeta Mesir tidak bisa mengajarinya banyak, karena. pada waktu itu, geometri Mesir adalah ilmu murni terapan (memenuhi kebutuhan waktu itu untuk menghitung dan mengukur tanah). Karena itu, setelah mengetahui semua yang diberikan para imam kepadanya, dia, setelah melarikan diri dari mereka, pindah ke tanah kelahirannya di Hellas. Namun, setelah melakukan sebagian perjalanan, Pythagoras memutuskan untuk melakukan perjalanan darat, di mana ia ditangkap oleh Cambyses, raja Babel, yang sedang menuju rumah. Tidak perlu mendramatisir kehidupan Pythagoras di Babel, karena penguasa besar Cyrus toleran terhadap semua tawanan. Matematika Babilonia tidak dapat disangkal lebih maju (contohnya adalah sistem posisi kalkulus) daripada Mesir, dan Pythagoras harus banyak belajar. Tetapi pada tahun 530 SM. Cyrus memulai kampanye melawan suku-suku di Asia Tengah. Dan, memanfaatkan keributan di kota, Pythagoras melarikan diri ke tanah airnya.
geser 15
Dan di Samos pada waktu itu Polycrates tiran memerintah. Tentu saja, Pythagoras tidak puas dengan kehidupan setengah budak istana, dan dia pensiun ke gua-gua di sekitar Samos. Setelah beberapa bulan klaim dari Polycrates, Pythagoras pindah ke Croton. Di Croton, Pythagoras mendirikan sesuatu seperti persaudaraan etis-religius atau ordo monastik rahasia ("Pythagoras"), yang anggotanya diwajibkan untuk menjalani apa yang disebut cara hidup Pythagoras. Itu pada saat yang sama persatuan agama, dan klub politik, dan masyarakat ilmiah. Harus dikatakan bahwa beberapa prinsip yang diajarkan oleh Pythagoras layak untuk ditiru bahkan sampai sekarang. ... Sudah 20 tahun. Ketenaran persaudaraan menyebar ke seluruh dunia. Suatu hari, Cylon, seorang kaya tapi jahat, datang ke Pythagoras, ingin mabuk bergabung dengan persaudaraan. Setelah ditolak, Cylon memulai perkelahian dengan Pythagoras, mengambil keuntungan dari pembakaran rumahnya. Selama kebakaran, Pythagoras menyelamatkan nyawa guru mereka dengan biaya sendiri, setelah itu Pythagoras menjadi rindu rumah dan segera bunuh diri.
Lihat semua slide
"Bukti teorema Pythagoras" Pekerjaan dilakukan oleh seorang siswa dari kelompok 8-1,2 Ekaterina Kuzakova Isi: Pengantar Biografi Pythagoras Teorema Pythagoras Bukti teorema "tiga kali lipat" Pythagoras Daftar referensi Sejarah teorema. Cina Kuno Mari kita mulai tinjauan sejarah kita dengan Cina kuno. Di sini buku matematika Chu-pei menarik perhatian khusus. Esai ini mengatakan tentang segitiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5: "Jika sebuah sudut siku-siku dipecah menjadi bagian-bagiannya, maka garis yang menghubungkan ujung-ujung sisinya adalah 5, ketika alasnya 3, dan tingginya adalah 4." Dalam buku yang sama, sebuah gambar diusulkan yang bertepatan dengan salah satu gambar geometri Hindu Bashara. Mesir Kuno Kantor (sejarawan matematika terbesar Jerman) percaya bahwa persamaan 3² + 4² = 5² sudah dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e., pada masa Raja Amenemhet I (menurut papirus 6619 Museum Berlin) Menurut Cantor, harpedonapts, atau "penegang tali", dibangun sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4 dan 5. Ini adalah sangat mudah untuk mereproduksi metode konstruksi mereka. Ambil seutas tali sepanjang 12 m dan ikat pada tali berwarna pada jarak 3 m. dari satu ujung dan 4 meter dari yang lain. Sebuah sudut siku-siku akan diapit oleh sisi-sisi yang panjangnya 3 dan 4 meter. Babel Kuno Sedikit lebih banyak yang diketahui tentang teorema Pythagoras di antara orang Babilonia. Dalam satu teks yang berasal dari zaman Hammurabi, yaitu 2000 SM. e., perhitungan perkiraan sisi miring dari segitiga siku-siku diberikan. Dari sini kita dapat menyimpulkan bahwa di Mesopotamia mereka dapat melakukan perhitungan dengan segitiga siku-siku, setidaknya dalam beberapa kasus. Geometri India Kuno di antara orang Hindu, serta di antara orang Mesir dan Babilonia, terkait erat dengan kultus. Sangat mungkin bahwa teorema kuadrat sisi miring sudah dikenal di India sekitar abad ke-18 SM. e. Biografi Pythagoras Ilmuwan besar Pythagoras lahir sekitar tahun 570 SM. di pulau Samos. Ayah Pythagoras adalah Mnesarchus, seorang pemahat permata. Nama ibu Pythagoras tidak diketahui. Menurut banyak kesaksian kuno, anak laki-laki yang lahir itu sangat tampan, dan segera menunjukkan kemampuannya yang luar biasa. Gairah untuk musik dan puisi Homer yang agung, Pythagoras dipertahankan seumur hidup. Segera, imajinasi gelisah Pythagoras muda menjadi ramai di Samos kecil, dan dia pergi ke Miletus, di mana dia bertemu dengan ilmuwan lain, Thales. Kemudian dia melakukan perjalanan dan ditangkap oleh raja Babilonia Cyrus. Dalam 530 SM. Cyrus memulai kampanye melawan suku-suku di Asia Tengah. Dan, memanfaatkan keributan di kota, Pythagoras melarikan diri ke tanah airnya. Dan di Samos pada waktu itu Polycrates tiran memerintah. Setelah beberapa bulan klaim dari Polycrates, Pythagoras pindah ke Croton. Di Croton, Pythagoras mendirikan sesuatu seperti persaudaraan etis-religius atau ordo monastik rahasia ("Pythagoras"), yang anggotanya diwajibkan untuk menjalani apa yang disebut cara hidup Pythagoras. ... Sudah 20 tahun. Ketenaran persaudaraan menyebar ke seluruh dunia. Suatu hari, Cylon, seorang kaya tapi jahat, datang ke Pythagoras, ingin mabuk bergabung dengan persaudaraan. Setelah ditolak, Cylon memulai perkelahian dengan Pythagoras, mengambil keuntungan dari pembakaran rumahnya. Selama kebakaran, Pythagoras menyelamatkan nyawa guru mereka dengan biaya sendiri, setelah itu Pythagoras menjadi rindu rumah dan segera bunuh diri. Teorema Pythagoras Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya. Formulasi lain dari teorema. Dalam Euclid, teorema ini berbunyi (terjemahan literal): "Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi yang dibentangkan di atas sudut siku-siku sama dengan kuadrat di sisi-sisi yang melingkari sudut siku-siku." Dalam Geometria Culmonensis (sekitar 1400) dalam terjemahan, teorema berbunyi sebagai berikut: "Jadi, luas persegi, diukur sepanjang sisi panjangnya, sama dengan dua persegi yang diukur pada dua sisinya. berdekatan dengan sudut siku-siku." Bukti teorema Pythagoras Bukti paling sederhana. Bukti paling sederhana dari teorema diperoleh dalam kasus paling sederhana dari segitiga siku-siku sama kaki. Memang, kita hanya perlu melihat ubin segitiga siku-siku sama kaki untuk melihat bahwa teorema itu benar. Misalnya, untuk segitiga ABC: bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring AC berisi 4 segitiga awal, dan bujur sangkar yang dibangun di atas kaki-kakinya berisi dua segitiga. Buktikan dengan metode dekomposisi. Bukti Epstein Kita mulai dengan bukti Epstein; keuntungannya adalah di sini hanya segitiga yang muncul sebagai komponen dekomposisi. Untuk memahami gambar tersebut, perhatikan bahwa garis CD digambar tegak lurus terhadap garis EF. Bukti. 1. 2. 3. 4. Gambarlah sebuah garis EF yang memuat diagonal-diagonal dua buah bujur sangkar yang dibangun di atas kaki-kaki segitiga tersebut dan gambarlah sebuah garis CD yang tegak lurus EF melalui titik sudut siku-siku segitiga tersebut. Dari titik A dan B Perpanjang sisi bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring segitiga ke perpotongan dengan EF. Kami menghubungkan titik-titik yang diperoleh pada garis EF dengan simpul yang berlawanan dari bujur sangkar dan kami mendapatkan segitiga yang sama berpasangan. Perhatikan bahwa garis CD membagi bujur sangkar yang lebih besar menjadi dua trapesium persegi panjang yang sama, yang dapat dibagi menjadi segitiga yang membentuk bujur sangkar pada kakinya.Dan kita mendapatkan bujur sangkar dengan sisi yang sama dengan sisi miring segitiga tersebut. Teorema telah terbukti. Bukti Nielsen. 1. Kami memperpanjang sisi AB dari bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring segitiga. 2. Buatlah garis EF yang sejajar dengan BC. 3. Buatlah garis FH yang sejajar dengan AB. 4. Buatlah garis lurus dari titik D sejajar dengan CH. 5. Buatlah garis lurus dari titik A yang sejajar dengan CG 6. Gambarlah sebuah ruas MN yang sejajar dengan CH 7. Karena semua bangun datar yang diperoleh pada segitiga besar sama dengan bilangan pada bujur sangkar yang dibangun di atas kaki-kakinya, maka luas persegi pada sisi miring sama dengan jumlah luas persegi pada kaki-kakinya. Teorema telah terbukti. F E H C B M N G A D Bukti Betcher. 1. 2. 3. Mari kita menggambar garis lurus di mana diagonal bujur sangkar yang dibangun di atas kaki segitiga terletak dan jatuhkan segmen paralel dari simpul bujur sangkar ke garis lurus ini. Mari kita atur ulang bagian besar dan kecil dari kotak yang terletak di atas sumbu. Mari kita membagi gambar yang dihasilkan seperti yang ditunjukkan pada gambar dan mengaturnya sehingga kita mendapatkan persegi, yang sisinya sama dengan sisi miring segitiga. Teorema telah terbukti. Buktikan dengan metode komplemen. Dari dua luas yang sama, bagian yang sama harus dikurangi sehingga dalam satu kasus ada dua kotak yang dibangun di atas kaki, dan di sisi lain, sebuah persegi dibangun di sisi miring. pada gambar. Segitiga 2 dan 3, sama dengan segitiga asli 1, dilampirkan di atas dan di bawah pada gambar Pythagoras biasa.Garis DG akan melalui C. Sekarang kita perhatikan (kita akan membuktikannya nanti) bahwa segi enam DABGFE dan CAJKHB adalah sama . Jika kita mengurangi segitiga 1 dan 2 dari yang pertama, maka akan tetap ada bujur sangkar yang dibangun di atas kaki, dan jika kita mengurangi segitiga yang sama 1 dan 3 dari segi enam kedua, maka akan tetap ada bujur sangkar yang dibangun di sisi miring. Ini menyiratkan bahwa bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah bujur sangkar yang dibangun di atas kaki-kakinya. Tetap membuktikan bahwa segi enam kita sama. Perhatikan bahwa garis DG membagi segi enam atas menjadi bagian yang sama; hal yang sama dapat dikatakan tentang garis lurus CK dan segi enam bawah. Putar DABG segi empat, yang merupakan setengah dari DABGFE segi enam, di sekitar titik A searah jarum jam dengan sudut 90; maka akan bertepatan dengan CAJK segi empat, yang merupakan setengah dari CAJKHB segi enam. Oleh karena itu, segi enam DABGFE dan CAJKHB adalah sama. Teorema telah terbukti. Buktikan dengan pengurangan. Mari berkenalan dengan bukti lain dengan metode pengurangan. Kami melampirkan gambar teorema Pythagoras yang sudah dikenal dalam bingkai persegi panjang, arah sisi-sisinya bertepatan dengan arah kaki-kaki segitiga. Mari kita lanjutkan beberapa segmen gambar seperti yang ditunjukkan pada gambar, sementara persegi panjang dipecah menjadi beberapa segitiga, persegi panjang dan bujur sangkar. Pertama, mari kita hapus beberapa bagian dari persegi panjang sehingga hanya persegi yang dibangun di atas sisi miring yang tersisa. Bagian-bagian tersebut adalah sebagai berikut: 1. 2. 3. 4. segitiga 1, 2, 3, 4; persegi panjang 5; persegi panjang 6 dan persegi 8; persegi panjang 7 dan persegi 9; 1. 2. 3. 4. 1. 2. 3. 4. Kemudian kami membuang bagian-bagian dari persegi panjang sehingga hanya kotak yang dibangun di atas kaki yang tersisa. Bagian-bagian ini akan menjadi: persegi panjang 6 dan 7; persegi panjang 5; persegi panjang 1 (diarsir); persegi panjang 2 (diarsir); Tinggal kita tunjukkan bahwa bagian yang dikurangkan adalah sama. Ini mudah dilihat karena pengaturan angka-angkanya. Jelas dari gambar bahwa: persegi panjang 5 sama besarnya dengan dirinya sendiri; empat segitiga 1,2,3,4 sama luas dengan dua persegi panjang 6 dan 7; persegi panjang 6 dan persegi 8, jika digabungkan, sama besar dengan persegi panjang 1 (diarsir);; persegi panjang 7 dan persegi 9 sama luas dengan persegi panjang 2 (diarsir); Teorema terbukti "tiga kali lipat" Pythagoras Di sekolah Pythagoras, apa yang disebut tiga kali lipat Pythagoras dari bilangan asli juga dipelajari secara rinci. Ini adalah angka di mana kuadrat dari satu angka sama dengan jumlah kuadrat dari dua lainnya. Artinya, di mana persamaan a 2 + b 2 \u003d c 2 benar (a, b, c adalah bilangan asli) Ini adalah, misalnya, angka 3, 4, 5. Semua tiga kali lipat bilangan Pythagoras coprime dapat menjadi diperoleh dengan rumus: +1 b=2n (n+1) c=2n 2 +2n , di mana n adalah bilangan asli Daftar literatur yang digunakan. Situs di Internet: http://th-pif.narod.ru/dopoln.htm http://ega-math.narod.ru/Books/Pythagor.htm
geser 1
teori Pitagoras
Kebenaran akan tetap abadi, segera setelah orang yang lemah mengenalinya! Dan sekarang teorema Pythagoras Vern, seperti di usianya yang jauh.
geser 2
Pernyataan teorema Bukti teorema Arti teorema Pythagoras
geser 3
Pernyataan teorema
“Buktikan bahwa bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kaki-kakinya” “Luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring suatu segitiga siku-siku sama dengan jumlah luasnya dari kotak yang dibangun di atas kakinya.”
Pada zaman Pythagoras, teorema terdengar seperti ini:
geser 4
Kata-kata modern
"Dalam segitiga siku-siku, kuadrat sisi miring sama dengan jumlah kuadrat kaki-kakinya."
geser 5
Bukti teorema
Ada sekitar 500 bukti berbeda dari teorema ini (geometris, aljabar, mekanik, dll.).
geser 6
Bukti paling sederhana
Perhatikan persegi yang ditunjukkan pada gambar. Sisi persegi adalah a + c.
Geser 7
Dalam satu kasus (kiri), persegi dibagi menjadi persegi dengan sisi b dan empat segitiga siku-siku dengan kaki a dan c.
Dalam kasus lain (di sebelah kanan), persegi dibagi menjadi dua persegi dengan sisi a dan c dan empat segitiga siku-siku dengan kaki a dan c.
Dengan demikian, kita mendapatkan bahwa luas persegi dengan sisi b sama dengan jumlah luas persegi dengan sisi a dan c.
Geser 8
bukti Euclid
Diketahui: segitiga siku-siku ABC Buktikan: SABDE=SACFG+SBCHI
Geser 9
Bukti:
Biarkan ABDE menjadi bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring segitiga siku-siku ABC, dan ACFG dan BCHI adalah bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya. Mari kita turunkan CP tegak lurus dari titik C sudut siku-siku ke sisi miring dan teruskan sampai berpotongan dengan sisi DE bujur sangkar ABDE di titik Q; Hubungkan titik C dan E, B dan G.
Geser 10
Jelas, sudut CAE=GAB(=A+90°); maka segitiga ACE dan AGB (diarsir pada gambar) adalah sama satu sama lain (di dua sisi dan sudut tertutup di antara mereka). Selanjutnya, bandingkan segitiga ACE dan persegi panjang PQEA; mereka memiliki basis umum AE dan ketinggian AP turun ke basis itu, maka SPQEA=2SACE Demikian pula, FCAG bujur sangkar dan segitiga BAG memiliki basis umum GA dan ketinggian AC; jadi SFCAG=2SGAB
Dari sini dan dari persamaan segitiga ACE dan GBA mengikuti luas yang sama dari persegi panjang QPBD dan persegi CFGA; sama, luas persegi panjang QPAE dan persegi CHIB terbukti. Dan dari sini, didapat bahwa kuadrat ABDE sama dengan jumlah kuadrat ACFG dan BCHI, yaitu. Teori Pitagoras.
geser 11
Bukti aljabar
Diketahui: segitiga siku-siku ABC Buktikan: AB2=AC2+BC2
Bukti: 1) Gambarkan tinggi CD dari titik sudut siku-siku C. 2) Berdasarkan definisi kosinus sudut cosA=AD/AC=AC/AB, ini menyiratkan AB*AD=AC2. 3) Sama halnya dengan cosB=BD/BC=BC/AB, jadi AB*BD=BC2. 4) Menambahkan hasil persamaan suku demi suku, kita mendapatkan: AC2+BC2=AB*(AD + DB) AB2=AC2+BC2. Q.E.D.
geser 12
bukti geometris
Diketahui: segitiga siku-siku ABC Buktikan: BC2=AB2+AC2
Bukti: 1) Buatlah sebuah segmen CD sama dengan segmen AB pada perpanjangan kaki AC segitiga siku-siku ABC. Kemudian kita turunkan tegak lurus ED ke ruas AD, sama dengan ruas AC, hubungkan titik B dan E. 2) Luas bangun ABED dapat dicari jika kita menganggapnya sebagai jumlah dari luas tiga segitiga :
SABED=2*AB*AC/2+BC2/2 3) Gambar ABED adalah trapesium, jadi luasnya adalah: SABED= (DE+AB)*AD/2. 4) Jika kita menyamakan bagian kiri dari ekspresi yang ditemukan, kita mendapatkan: AB*AC+BC2/2=(DE+AB)(CD+AC)/2 AB*AC+BC2/2= (AC+AB)2 /2 AB* AC+BC2/2= AC2/2+AB2/2+AB*AC BC2=AB2+AC2. Bukti ini diterbitkan pada tahun 1882 oleh Garfield.
geser 13
Arti dari teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema terpenting dalam geometri. Signifikansinya terletak pada kenyataan bahwa sebagian besar teorema geometri dapat disimpulkan darinya atau dengan bantuannya.
Geser 14
Para siswa Abad Pertengahan menganggap bukti teorema Pythagoras sangat sulit dan menyebutnya Dons asinorum - jembatan keledai, atau elefuga - pelarian "celaka", karena beberapa siswa "celaka" yang tidak memiliki pelatihan matematika serius melarikan diri dari geometri. Siswa lemah yang menghafal teorema tanpa pemahaman, dan karena itu disebut "keledai", tidak dapat mengatasi teorema Pythagoras, yang berfungsi bagi mereka seperti jembatan yang tidak dapat diatasi. Karena gambar yang menyertai teorema Pythagoras, siswa juga menyebutnya "kincir angin", menyusun puisi seperti "Celana Pythagoras sama di semua sisi", dan menggambar karikatur.
geser 2
Luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring segitiga siku-siku sama dengan jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya ... Ini adalah salah satu teorema geometri kuno yang paling terkenal, yang disebut teorema Pythagoras. Hal ini masih diketahui hampir semua orang yang pernah mempelajari planimetri. Tampaknya bagi kita bahwa jika kita ingin memberi tahu peradaban luar bumi tentang keberadaan kehidupan cerdas di Bumi, maka kita harus mengirim gambar sosok Pythagoras ke luar angkasa. Tampaknya jika makhluk berpikir dapat menerima informasi ini, mereka akan mengerti tanpa kode sinyal yang rumit bahwa ada peradaban yang cukup berkembang di Bumi.
geser 3
Pythagoras dari Samos
(c. 580 - c. 500 SM)
geser 4
Hari ini secara umum diterima bahwa Pythagoras memberikan bukti pertama dari teorema yang menyandang namanya. Sayangnya, tidak ada jejak bukti ini yang bertahan. Oleh karena itu, kita tidak punya pilihan selain mempertimbangkan beberapa bukti klasik teorema Pythagoras, yang diketahui dari risalah kuno. Hal ini juga berguna untuk melakukan ini karena buku pelajaran sekolah modern memberikan bukti aljabar teorema. Pada saat yang sama, aura geometris primordial dari teorema menghilang tanpa jejak, utas Ariadne yang menuntun orang bijak kuno menuju kebenaran hilang, dan jalan ini hampir selalu menjadi yang terpendek dan selalu indah. Teorema Pythagoras menyatakan: "Bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sebuah segitiga siku-siku sama dengan jumlah kuadrat yang dibangun di atas kakinya." Bukti paling sederhana dari teorema diperoleh dalam kasus paling sederhana dari segitiga siku-siku sama kaki. Mungkin, teorema dimulai dengan dia. Memang, kita hanya perlu melihat ubin segitiga siku-siku sama kaki untuk melihat bahwa teorema itu benar.
geser 5
Buktikan dengan dekomposisi
Ada sejumlah bukti teorema Pythagoras, di mana kotak yang dibangun di atas kaki dan di sisi miring dipotong sehingga setiap bagian dari kotak yang dibangun di sisi miring sesuai dengan bagian dari salah satu kotak yang dibangun di atas kaki. Dalam semua kasus ini, satu pandangan pada gambar sudah cukup untuk memahami buktinya; argumen di sini mungkin terbatas pada satu kata: "Lihat!", seperti yang dilakukan dalam tulisan-tulisan matematikawan Hindu kuno. Akan tetapi, perlu dicatat bahwa faktanya pembuktian tidak dapat dianggap lengkap sampai kita telah membuktikan kesetaraan semua bagian yang bersesuaian satu sama lain. Ini hampir selalu cukup mudah dilakukan, tetapi dapat (terutama dengan jumlah suku cadang yang banyak) membutuhkan cukup banyak pekerjaan.
geser 6
Bukti Epstein
Mari kita mulai dengan bukti Epstein (Gbr. 1); keuntungannya adalah di sini hanya segitiga yang muncul sebagai komponen dekomposisi. Untuk memahami gambar tersebut, perhatikan bahwa garis CD digambar tegak lurus terhadap garis EF. Penguraian menjadi segitiga juga dapat dibuat lebih visual dari pada gambar.
Geser 7
Bukti Nielsen.
Pada gambar, garis bantu telah diubah atas saran Nielsen.
Geser 8
Bukti Betcher.
Angka tersebut menunjukkan ekspansi Boether yang sangat ilustratif.
Geser 9
Bukti Perigal.
Buku teks sering berisi dekomposisi yang ditunjukkan pada gambar (yang disebut "roda dengan bilah"; bukti ini ditemukan oleh Perigal). Melalui pusat O dari bujur sangkar yang dibangun di atas kaki yang lebih besar, kami menggambar garis lurus, sejajar dan tegak lurus dengan sisi miring. Korespondensi bagian-bagian gambar terlihat jelas dari gambar.
Geser 10
Bukti Gutheil.
Dekomposisi yang ditunjukkan pada gambar disebabkan oleh Gutheil; itu ditandai dengan pengaturan visual dari bagian-bagian individu, yang memungkinkan Anda untuk segera melihat apa penyederhanaan kasus segitiga siku-siku sama kaki.
geser 11
Bukti abad ke-9 M
Sebelumnya, hanya bukti seperti itu yang disajikan di mana kotak yang dibangun di atas sisi miring, di satu sisi, dan kotak yang dibangun di atas kaki, di sisi lain, terdiri dari bagian yang sama. Bukti semacam itu disebut bukti tambahan ("bukti tambahan") atau, lebih umum, bukti dekomposisi. Sampai sekarang, kami telah melanjutkan dari pengaturan kotak yang biasa dibangun di sisi segitiga yang sesuai, yaitu di luar segitiga. Namun, dalam banyak kasus, susunan kotak yang berbeda lebih menguntungkan. Pada gambar, bujur sangkar yang dibangun di atas kaki ditempatkan dalam langkah-langkah satu di samping yang lain. Angka ini, yang muncul dalam bukti yang tertanggal tidak lebih dari abad ke-9 M, e., orang Hindu menyebut "kursi pengantin wanita". Metode membangun persegi dengan sisi yang sama dengan sisi miring jelas dari gambar. Bagian umum dari dua bujur sangkar yang dibangun di atas kaki dan persegi yang dibangun di atas sisi miring adalah segi lima berarsir tidak beraturan.
geser 12
Melampirkan segitiga 1 dan 2 ke sana, kami mendapatkan kedua kotak yang dibangun di atas kaki; jika kita mengganti segitiga 1 dan 2 dengan segitiga 3 dan 4 yang sama dengan mereka, maka kita mendapatkan persegi yang dibangun di sisi miring. Gambar di bawah menunjukkan dua pengaturan yang berbeda dekat dengan yang diberikan pada gambar pertama.
geser 13
Buktikan dengan metode komplemen
Selain pembuktian dengan metode penambahan, dapat diberikan contoh pembuktian dengan pengurangan, juga disebut pembuktian dengan metode penambahan. Gagasan umum dari bukti-bukti tersebut adalah sebagai berikut. Dari dua luas yang sama, bagian yang sama harus dikurangi sehingga dalam satu kasus ada dua kotak yang dibangun di atas kaki, dan di sisi lain, sebuah persegi dibangun di sisi miring. Memang, jika dalam persamaan B-A \u003d C dan B1-A1 \u003d C1, bagian A sama dengan bagian A1, dan bagian B sama dengan B1, maka bagian C dan C1 juga sama.
Geser 14
Mari kita jelaskan metode ini dengan sebuah contoh. pada gambar. Segitiga 2 dan 3, sama dengan segitiga asli 1, dilampirkan di atas dan di bawah pada gambar Pythagoras biasa.Garis DG akan melalui C. Sekarang kita perhatikan (kita akan membuktikannya nanti) bahwa segi enam DABGFE dan CAJKHB adalah sama . Jika kita mengurangi segitiga 1 dan 2 dari yang pertama, maka kotak yang dibangun di atas kaki akan tetap ada, dan jika kita mengurangi segitiga yang sama 1 dan 3 dari segi enam kedua, maka kotak yang dibangun di sisi miring akan tetap ada. Ini menyiratkan bahwa bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah bujur sangkar yang dibangun di atas kaki-kakinya. Tetap membuktikan bahwa segi enam kita sama. Perhatikan bahwa garis DG membagi segi enam atas menjadi bagian yang sama; hal yang sama dapat dikatakan tentang garis lurus CK dan segi enam bawah. Putar DABG segi empat, yang merupakan setengah dari DABGFE segi enam, di sekitar titik A searah jarum jam dengan sudut 90; maka akan bertepatan dengan CAJK segi empat, yang merupakan setengah dari CAJKHB segi enam. Oleh karena itu, segi enam DABGFE dan CAJKHB adalah sama
geser 15
Bukti lain dengan pengurangan
Mari berkenalan dengan bukti lain dengan metode pengurangan. Kami melampirkan gambar teorema Pythagoras yang sudah dikenal dalam bingkai persegi panjang, arah sisi-sisinya bertepatan dengan arah kaki-kaki segitiga. Mari kita lanjutkan beberapa segmen gambar seperti yang ditunjukkan pada gambar, sementara persegi panjang dipecah menjadi beberapa segitiga, persegi panjang dan bujur sangkar. Pertama, mari kita hapus beberapa bagian dari persegi panjang sehingga hanya persegi yang dibangun di atas sisi miring yang tersisa. Bagian-bagian tersebut adalah sebagai berikut:
geser 16
segitiga 1, 2, 3, 4; persegi panjang 5; persegi panjang 6 dan persegi 8; persegi panjang 7 dan persegi 9; Kemudian kami membuang bagian-bagian dari persegi panjang sehingga hanya kotak yang dibangun di atas kaki yang tersisa. Bagian-bagian ini akan menjadi: persegi panjang 6 dan 7; persegi panjang 5; persegi panjang 1 (diarsir); persegi panjang 2 (diarsir); Tinggal kita tunjukkan bahwa bagian yang dikurangkan adalah sama. Ini mudah dilihat karena pengaturan angka-angkanya. Jelas dari gambar bahwa: persegi panjang 5 sama besarnya dengan dirinya sendiri; empat segitiga 1,2,3,4 sama luas dengan dua persegi panjang 6 dan 7; persegi panjang 6 dan persegi 8, jika digabungkan, sama besar dengan persegi panjang 1 (diarsir);; persegi panjang 7 dan persegi 9 sama luas dengan persegi panjang 2 (diarsir); Bukti Lengkap
Geser 17
Bukti Euclid yang disederhanakan
Baik dalam pembuktian dekomposisi maupun dalam pembuktian tipe Euclidean, seseorang dapat memulai dari sembarang susunan persegi. Terkadang adalah mungkin untuk mencapai penyederhanaan. Biarkan bujur sangkar yang dibangun di atas salah satu kaki (pada gambar itu adalah bujur sangkar yang dibangun di atas kaki yang lebih besar) terletak di sisi kaki yang sama dengan segitiga itu sendiri. Kemudian kelanjutan sisi bujur sangkar ini yang berlawanan dengan kaki melewati titik sudut bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring. Pembuktian dalam hal ini ternyata cukup sederhana, karena di sini cukup membandingkan luas bangun-bangun yang kita minati dengan luas satu segitiga (diarsir) - luas segitiga ini sama dengan setengah luas persegi dan pada saat yang sama setengah luas persegi panjang
Geser 18
Bukti Hawkins.
Mari kita berikan satu bukti lagi, yang bersifat komputasional, tetapi sangat berbeda dari semua yang sebelumnya. Itu diterbitkan oleh orang Inggris Hawkins pada tahun 1909; apakah itu diketahui sebelumnya sulit untuk dikatakan. Putar segitiga siku-siku ABC dengan sudut siku-siku C sebesar 90° sehingga mengambil posisi A"CB". Kami melanjutkan sisi miring A "B" di luar titik A "ke perpotongan dengan garis AB di titik D. Ruas B" D akan menjadi tinggi segitiga B "AB. Perhatikan sekarang segi empat yang diarsir A "AB" B. Dapat diuraikan menjadi dua segitiga sama kaki CAA "dan SVV" (atau dua segitiga A"B"A dan A"B"B). SCAA"=b²/2 SCBB"=a²/2 SA"AB"B=(a² +b²)/2 Segitiga A"B" A dan A "B" B memiliki alas yang sama c dan tinggi DA dan DB, oleh karena itu: SA "AB" B \u003d c * DA / 2 + c * DB / 2 \u003d c (DA + DB) / 2 \u003d c² / 2 Membandingkan dua ekspresi yang diperoleh untuk luas, kita mendapatkan: a²+b²=c² Teorema terbukti.
Geser 19
Pembuktiannya didasarkan pada teori kesamaan.
Dalam segitiga siku-siku ABC, gambarlah CD tinggi dari titik sudut siku-siku; maka segitiga tersebut akan dibagi menjadi dua segitiga yang juga siku-siku. Segitiga yang dihasilkan akan mirip satu sama lain dan segitiga aslinya. Ini mudah dibuktikan dengan menggunakan uji kesamaan pertama (pada dua sudut). Memang, segera jelas bahwa, selain sudut siku-siku, segitiga ABC dan ACD memiliki sudut yang sama a, segitiga CBD dan ABC memiliki sudut yang sama b. Fakta bahwa segitiga kecil juga mirip satu sama lain mengikuti fakta bahwa masing-masing mirip dengan segitiga besar. Namun, itu juga dapat diatur secara langsung.
Geser 20
Bukti lain dari teorema Pythagoras
Pembuktian berdasarkan penggunaan konsep luas bangun yang sama. bukti tambahan. Pembuktian dengan metode ekstensi Metode pembuktian aljabar. Bukti Waldheim.
geser 21
Ada banyak pembuktian teorema Pythagoras, yang dilakukan dengan masing-masing metode yang dijelaskan, dan dengan menggunakan kombinasi metode yang berbeda. Menyelesaikan tinjauan contoh berbagai bukti, kami akan memberikan lebih banyak gambar yang menggambarkan delapan cara yang ada referensi dalam "Elemen" Euclid (Gbr. 16 - 23). Dalam gambar-gambar ini, sosok Pythagoras ditunjukkan dengan garis padat, dan konstruksi tambahan ditunjukkan dengan garis putus-putus.
geser 22
Dengan menggunakan angka-angka ini, coba buktikan sendiri teorema Pythagoras.
geser 23
Kesimpulan
Sebagai kesimpulan, kami mencatat bahwa ada banyak literatur tentang teorema Pythagoras, sejarahnya, dan banyak fakta geometris lainnya yang terkait dengannya.
geser 24
Bibliografi:
1. Van der Waerden B.L. Ilmu Kebangkitan. Matematika Mesir Kuno, Babel dan Yunani. M., 1959.2. Glazer G.I. Sejarah matematika di sekolah. M., 1982.3. Yelensky Sh. Mengikuti jejak Pythagoras. M., 1961.4. Litzman V. Teorema Pythagoras. M., 1960.5. Skopet Z.A. Miniatur geometris. M., 1990.
Lihat semua slide
Berbagai cara untuk membuktikan teorema Pythagoras. Diselesaikan oleh: seorang siswa kelas "A" ke-8 MBOU "OSH No. 26" di kota Engels, Lyusina Alena. Guru: Eremeeva Elena Borisovna
Sejarah teorema. Chu-pei 500-200 SM. Di sebelah kiri adalah tulisan: jumlah kuadrat dari panjang tinggi dan alas adalah kuadrat dari panjang sisi miring. Buku Cina kuno Chu-pei (Inggris) (Cina ) berbicara tentang segitiga Pythagoras dengan sisi 3, 4 dan 5. Dalam buku yang sama, sebuah gambar diusulkan yang bertepatan dengan salah satu gambar geometri Hindu dari Bashara.
Sejarah teorema. Moritz Cantor (sejarawan matematika terbesar Jerman) percaya bahwa persamaan 3 ² + 4 ² = 5² sudah dikenal orang Mesir sekitar 2300 SM. e., pada masa Raja Amenemhet I (menurut papirus 6619 Museum Berlin). Menurut Cantor, harpedonapts, atau "penegang senar", membangun sudut siku-siku menggunakan segitiga siku-siku dengan sisi 3, 4, dan 5.
Sejarah teorema. Menurut komentar Proclus tentang Euclid, Pythagoras (yang umumnya diyakini hidup antara 570 dan 490 SM) menggunakan metode aljabar untuk menemukan tripel Pythagoras. Namun, Proclus percaya bahwa tidak ada penyebutan eksplisit bahwa Pythagoras adalah penulis teorema. Namun, ketika penulis seperti Plutarch dan Cicero menulis tentang teorema Pythagoras, mereka menulis seolah-olah kepenulisan Pythagoras diketahui secara luas dan pasti periode matematika Pythagoras. Menurut legenda, Pythagoras merayakan penemuan teoremanya dengan pesta raksasa, menyembelih seratus lembu jantan untuk merayakannya. Sekitar 400 SM. e., menurut Proclus, Plato memberikan metode untuk menemukan tripel Pythagoras, menggabungkan aljabar dan geometri. Sekitar 300 SM. e. Elemen Euclid berisi bukti aksiomatik tertua dari teorema Pythagoras.
Pernyataan teorema. Teorema Pythagoras: Jumlah luas persegi berdasarkan kaki (a dan b) sama dengan luas persegi yang dibangun di atas sisi miring (c). Rumusan geometri: Awalnya, teorema dirumuskan sebagai berikut: Pada segitiga siku-siku, luas bujur sangkar yang dibangun di atas sisi miring sama dengan jumlah luas bujur sangkar yang dibangun di atas kakinya.
Pernyataan teorema. Rumusan aljabar: Dalam segitiga siku-siku, kuadrat panjang sisi miringnya sama dengan jumlah kuadrat panjang kakinya.
Bukti dari. Saat ini, 367 bukti teorema ini telah dicatat dalam literatur ilmiah. Mungkin, teorema Pythagoras adalah satu-satunya teorema dengan jumlah bukti yang begitu mengesankan. Variasi seperti itu hanya dapat dijelaskan oleh signifikansi mendasar dari teorema geometri.
Buktikan dengan persamaan pelengkap Perhatikan sebuah segitiga siku-siku dengan kaki a, b dan sisi miring c. Mari kita lengkapi segitiga menjadi persegi dengan sisi a + b seperti yang ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan. Luas S persegi tersebut adalah (a+b) 2 . Di sisi lain, persegi ini terdiri dari empat segitiga siku-siku yang sama, masing-masing memiliki luas ab, dan persegi dengan sisi c, jadi S=4 · ab+c 2 =2ab+c 2 . Jadi, (a+b) 2 =2ab+c 2 , dari mana a 2 +b 2 =c 2 . Teorema telah terbukti.
Bukti Leonardo da Vinci Elemen utama bukti adalah simetri dan gerakan. Perhatikan gambar, seperti dapat dilihat dari simetrinya, ruas CI memotong persegi ABHJ menjadi dua bagian yang identik (karena segitiga ABC dan JHI sama konstruksinya). Menggunakan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam di sekitar titik A , kita melihat persamaan angka yang diarsir CAJI dan DABG . Sekarang jelas bahwa luas gambar yang diarsir oleh kita sama dengan jumlah setengah luas persegi kecil (dibangun di atas kaki) dan luas segitiga asli. Di sisi lain, itu sama dengan setengah luas persegi besar (dibangun di atas sisi miring) ditambah luas segitiga aslinya. Jadi, setengah jumlah luas persegi kecil sama dengan setengah luas persegi besar, dan oleh karena itu jumlah luas persegi yang dibangun di atas kaki sama dengan luas persegi yang dibangun pada sisi miring.
Berikut adalah gambar Pythagoras yang biasa - segitiga siku-siku ABC dengan bujur sangkar yang dibangun di sisi-sisinya. Terlampir pada gambar ini adalah segitiga 1 dan 2, sama dengan segitiga siku-siku asli. Buktikan dengan metode penyelesaian
"Roda dengan bilah" Di sini: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C; O - bagian tengah bujur sangkar yang dibangun di atas kaki besar; garis putus-putus yang melalui titik O tegak lurus atau sejajar dengan sisi miring. Dekomposisi bujur sangkar ini menarik karena segi empat yang sama dan berpasangan dapat dipetakan satu sama lain dengan translasi paralel.
Pembuktian An-Nairiziya Pada partisi ini, bujur sangkar yang dibangun pada sisi miring dibagi menjadi 3 segitiga dan 2 segiempat Berikut: ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku C.
Bukti Bhaskari Sosok itu hanya disertai satu kata: LIHAT!
Bukti Garfield Di sini, tiga segitiga siku-siku membentuk trapesium. Oleh karena itu, luas gambar ini dapat ditemukan dengan rumus luas trapesium persegi panjang, atau sebagai jumlah dari luas tiga segitiga. Dalam kasus pertama, area ini sama dengan yang kedua. Menyamakan ekspresi ini, kita memperoleh teorema Pythagoras.
Teorema Pythagoras adalah salah satu teorema dasar geometri Euclidean, yang menetapkan hubungan antara sisi-sisi segitiga siku-siku. "Roda Dayung" Bukti An-Nairiziya Bukti Garfield
Atanasyan L.S. , Geometri: buku teks. untuk 7-9 sel. med.school/stat-otomatis. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov dkk.//.-M.: Pencerahan, 1994. Pogorelov A.V., Geometri: buku teks. untuk 7-11 sel. pendidikan umum lembaga.-6th ed.-M.: Pencerahan, 1996. Ensiklopedia untuk anak-anak. T.11. Matematika / bab. ed. M.D. Aksenova. m: Avanta +, 2002. Encyclopedic Dictionary of a Young Matthematician / comp. A.P. Savin. -M.: Pedagogi, 1989. http://bankreferatov.ru/ http://kvant.ru/ http://th p if.narod.ru/formul.html
