Apa persamaan pohon, pantai, awan, atau pembuluh darah di tangan kita? Sepintas, tampaknya semua objek ini tidak memiliki kesamaan. Namun, pada kenyataannya, ada satu properti struktur yang melekat pada semua objek yang terdaftar: mereka serupa. Dari cabang, serta dari batang pohon, proses yang lebih kecil berangkat, dari mereka - bahkan yang lebih kecil, dll., yaitu, cabang mirip dengan seluruh pohon. Sistem peredaran darah diatur dengan cara yang sama: arteriol berangkat dari arteri, dan dari mereka - kapiler terkecil di mana oksigen memasuki organ dan jaringan. Mari kita lihat citra satelit pantai laut: kita akan melihat teluk dan semenanjung; mari kita lihat, tetapi dari pandangan mata burung: kita akan melihat teluk dan tanjung; sekarang bayangkan kita berdiri di pantai dan melihat kaki kita: akan selalu ada kerikil yang menonjol lebih jauh ke dalam air daripada yang lain. Artinya, garis pantai tetap mirip dengan dirinya sendiri saat diperbesar. Ahli matematika Amerika Benoit Mandelbrot (walaupun dibesarkan di Prancis) menyebut properti objek ini fraktal, dan objek semacam itu sendiri - fraktal (dari bahasa Latin fractus - rusak).

Konsep ini tidak memiliki definisi yang ketat. Oleh karena itu, kata "fraktal" bukanlah istilah matematika. Biasanya, fraktal adalah sosok geometris yang memenuhi satu atau lebih dari properti berikut: Ini memiliki struktur kompleks pada tingkat zoom apa pun (tidak seperti, misalnya, garis lurus, bagian mana pun yang merupakan sosok geometris paling sederhana - segmen garis ). Ini (kurang lebih) mirip dengan diri sendiri. Ini memiliki dimensi Hausdorff (fraktal) fraksional, yang lebih besar dari dimensi topologi. Dapat dibangun dengan prosedur rekursif.

Geometri dan Aljabar

Studi tentang fraktal pada pergantian abad ke-19 dan ke-20 lebih bersifat episodik daripada sistematis, karena matematikawan sebelumnya terutama mempelajari objek "baik" yang dapat diselidiki menggunakan metode dan teori umum. Pada tahun 1872, matematikawan Jerman Karl Weierstrass membuat contoh fungsi kontinu yang tidak dapat diturunkan di mana pun. Namun, konstruksinya sepenuhnya abstrak dan sulit dipahami. Oleh karena itu, pada tahun 1904, orang Swedia Helge von Koch datang dengan kurva kontinu yang tidak memiliki garis singgung di mana pun, dan menggambarnya cukup sederhana. Ternyata ia memiliki sifat fraktal. Salah satu variasi kurva ini disebut kepingan salju Koch.

Ide-ide kesamaan diri tokoh diambil oleh orang Prancis Paul Pierre Levy, mentor masa depan Benoit Mandelbrot. Pada tahun 1938, artikelnya "Pesawat dan Kurva Spasial dan Permukaan yang Terdiri dari Bagian yang Mirip dengan Keseluruhan" diterbitkan, di mana fraktal lain dijelaskan - kurva Lévy C. Semua fraktal yang tercantum di atas dapat dikaitkan secara kondisional ke satu kelas fraktal konstruktif (geometris).

Kelas lain adalah fraktal dinamis (aljabar), yang mencakup himpunan Mandelbrot. Penelitian pertama ke arah ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama matematikawan Prancis Gaston Julia dan Pierre Fatou. Pada tahun 1918, hampir dua ratus halaman memoar Julia, yang didedikasikan untuk iterasi fungsi rasional kompleks, diterbitkan, di mana himpunan Julia dijelaskan - seluruh keluarga fraktal yang terkait erat dengan himpunan Mandelbrot. Karya ini dianugerahi penghargaan Akademi Prancis, tetapi tidak mengandung satu ilustrasi pun, sehingga tidak mungkin untuk menghargai keindahan benda-benda yang ditemukan. Terlepas dari kenyataan bahwa karya ini membuat Julia terkenal di kalangan matematikawan saat itu, itu dengan cepat dilupakan. Sekali lagi, perhatian beralih ke hal itu hanya setengah abad kemudian dengan munculnya komputer: merekalah yang membuat terlihat kekayaan dan keindahan dunia fraktal.

Dimensi fraktal

Seperti yang Anda ketahui, dimensi (jumlah pengukuran) dari bangun geometris adalah jumlah koordinat yang diperlukan untuk menentukan posisi suatu titik yang terletak pada gambar ini.
Misalnya, posisi titik pada kurva ditentukan oleh satu koordinat, pada permukaan (tidak harus bidang) oleh dua koordinat, dalam ruang tiga dimensi oleh tiga koordinat.
Dari sudut pandang matematika yang lebih umum, dimensi dapat didefinisikan sebagai berikut: peningkatan dimensi linier, katakanlah, dua kali, untuk objek (segmen) satu dimensi (dari sudut pandang topologi) mengarah ke peningkatan ukuran (panjang ) dengan faktor dua, untuk dua dimensi (persegi ) peningkatan yang sama dalam dimensi linier menyebabkan peningkatan ukuran (luas) sebesar 4 kali, untuk tiga dimensi (kubus) - sebanyak 8 kali. Artinya, dimensi "nyata" (disebut Hausdorff) dapat dihitung sebagai rasio logaritma peningkatan "ukuran" suatu objek dengan logaritma peningkatan ukuran liniernya. Yaitu, untuk segmen D=log (2)/log (2)=1, untuk bidang D=log (4)/log (2)=2, untuk volume D=log (8)/log (2 )=3.
Mari kita sekarang menghitung dimensi kurva Koch, untuk konstruksi yang segmen unitnya dibagi menjadi tiga bagian yang sama dan interval tengahnya diganti dengan segitiga sama sisi tanpa segmen ini. Dengan peningkatan dimensi linier dari segmen minimum tiga kali, panjang kurva Koch meningkat pada log (4) / log (3) ~ 1,26. Artinya, dimensi kurva Koch adalah pecahan!

Sains dan seni

Pada tahun 1982, buku Mandelbrot "The Fractal Geometry of Nature" diterbitkan, di mana penulisnya mengumpulkan dan mensistematisasikan hampir semua informasi tentang fraktal yang tersedia pada waktu itu dan menyajikannya dengan cara yang mudah dan dapat diakses. Mandelbrot membuat penekanan utama dalam presentasinya bukan pada rumus dan konstruksi matematika yang rumit, tetapi pada intuisi geometris pembaca. Berkat ilustrasi yang dihasilkan komputer dan kisah-kisah sejarah, yang dengannya penulisnya dengan terampil mengencerkan komponen ilmiah dari monograf, buku itu menjadi buku terlaris, dan fraktal menjadi dikenal oleh masyarakat umum. Keberhasilan mereka di antara non-ahli matematika sebagian besar disebabkan oleh fakta bahwa dengan bantuan konstruksi dan formula yang sangat sederhana yang bahkan dapat dipahami oleh siswa sekolah menengah, gambar kompleksitas dan keindahan yang luar biasa diperoleh. Ketika komputer pribadi menjadi cukup kuat, bahkan seluruh tren seni muncul - lukisan fraktal, dan hampir semua pemilik komputer dapat melakukannya. Sekarang di Internet Anda dapat dengan mudah menemukan banyak situs yang didedikasikan untuk topik ini.

Skema untuk mendapatkan kurva Koch

Perang dan damai

Seperti disebutkan di atas, salah satu objek alam yang memiliki sifat fraktal adalah garis pantai. Satu cerita menarik terkait dengannya, atau lebih tepatnya, dengan upaya untuk mengukur panjangnya, yang menjadi dasar artikel ilmiah Mandelbrot, dan juga dijelaskan dalam bukunya "Geometri Fraktal Alam". Kita berbicara tentang eksperimen yang dibuat oleh Lewis Richardson, seorang matematikawan, fisikawan, dan ahli meteorologi yang sangat berbakat dan eksentrik. Salah satu arah penelitiannya adalah upaya untuk menemukan deskripsi matematis tentang penyebab dan kemungkinan konflik bersenjata antara dua negara. Di antara parameter yang dia pertimbangkan adalah panjang perbatasan bersama antara kedua negara yang bertikai. Ketika dia mengumpulkan data untuk eksperimen numerik, dia menemukan bahwa dalam sumber yang berbeda, data di perbatasan bersama Spanyol dan Portugal sangat berbeda. Ini membawanya ke penemuan berikut: panjang perbatasan negara tergantung pada penggaris yang kita gunakan untuk mengukurnya. Semakin kecil skalanya, semakin panjang batasnya. Hal ini disebabkan oleh fakta bahwa pada perbesaran yang lebih tinggi menjadi mungkin untuk memperhitungkan semakin banyak tikungan pantai, yang sebelumnya diabaikan karena kekasaran pengukuran. Dan jika, dengan setiap zoom, tikungan garis yang sebelumnya tidak terhitung dibuka, maka ternyata panjang perbatasan tidak terbatas! Benar, sebenarnya ini tidak terjadi - keakuratan pengukuran kami memiliki batas yang terbatas. Paradoks ini disebut efek Richardson.

Fraktal konstruktif (geometris)

Algoritma untuk membangun fraktal konstruktif dalam kasus umum adalah sebagai berikut. Pertama-tama, kita membutuhkan dua bentuk geometris yang cocok, sebut saja alas dan pecahannya. Pada tahap pertama, dasar fraktal masa depan digambarkan. Kemudian beberapa bagiannya diganti dengan fragmen yang diambil dalam skala yang sesuai - ini adalah iterasi pertama dari konstruksi. Kemudian, pada gambar yang dihasilkan, beberapa bagian lagi berubah menjadi gambar yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya.Jika Anda melanjutkan proses ini tanpa batas, maka pada batasnya Anda mendapatkan fraktal.

Pertimbangkan proses ini menggunakan contoh kurva Koch (lihat bilah sisi di halaman sebelumnya). Kurva apa pun dapat diambil sebagai dasar dari kurva Koch (untuk kepingan salju Koch, ini adalah segitiga). Tetapi kami membatasi diri pada kasus yang paling sederhana - sebuah segmen. Fragmen adalah garis putus-putus yang ditunjukkan di bagian atas gambar. Setelah iterasi pertama dari algoritma, dalam hal ini, segmen asli akan bertepatan dengan fragmen, kemudian masing-masing segmen penyusunnya sendiri akan digantikan oleh garis putus-putus yang mirip dengan fragmen, dan seterusnya Gambar menunjukkan empat yang pertama langkah-langkah dari proses ini.

Bahasa matematika: fraktal dinamis (aljabar)

Fraktal jenis ini muncul dalam studi sistem dinamik nonlinier (oleh karena itu namanya). Perilaku sistem tersebut dapat dijelaskan oleh fungsi nonlinier kompleks (polinomial) f(z). Mari kita ambil beberapa titik awal z0 pada bidang kompleks (lihat bilah sisi). Sekarang perhatikan barisan bilangan tak hingga pada bidang kompleks, yang masing-masing diperoleh dari yang sebelumnya: z0, z1=f (z0), z2=f (z1), … zn+1=f (zn). Tergantung pada titik awal z0, urutan seperti itu dapat berperilaku berbeda: cenderung tak terhingga sebagai n -> ; konvergen ke beberapa titik akhir; mengambil sejumlah nilai tetap secara siklis; opsi yang lebih kompleks dimungkinkan.

Bilangan kompleks

Bilangan kompleks adalah bilangan yang terdiri dari dua bagian - nyata dan imajiner, yaitu, jumlah formal x + iy (x dan y di sini adalah bilangan real). saya adalah apa yang disebut. satuan imajiner, yaitu bilangan yang memenuhi persamaan saya ^ 2 = -1. Operasi matematika dasar didefinisikan di atas bilangan kompleks - penambahan, perkalian, pembagian, pengurangan (hanya operasi perbandingan yang tidak ditentukan). Untuk menampilkan bilangan kompleks, representasi geometris sering digunakan - pada bidang (disebut kompleks), bagian nyata diplot sepanjang sumbu absis, dan bagian imajiner di sepanjang sumbu ordinat, sedangkan bilangan kompleks akan sesuai dengan suatu titik dengan koordinat kartesius x dan y.

Jadi, setiap titik z dari bidang kompleks memiliki karakter perilakunya sendiri selama iterasi fungsi f (z), dan seluruh bidang dibagi menjadi beberapa bagian. Selain itu, titik-titik yang terletak di batas bagian-bagian ini memiliki properti berikut: untuk perpindahan kecil yang sewenang-wenang, sifat perilakunya berubah secara dramatis (titik-titik seperti itu disebut titik bifurkasi). Jadi, ternyata himpunan titik yang memiliki satu jenis perilaku tertentu, serta himpunan titik bifurkasi, seringkali memiliki sifat fraktal. Ini adalah himpunan Julia untuk fungsi f(z).

keluarga naga

Dengan memvariasikan dasar dan fragmen, Anda bisa mendapatkan variasi fraktal konstruktif yang menakjubkan.
Selain itu, operasi serupa dapat dilakukan dalam ruang tiga dimensi. Contoh fraktal volumetrik adalah “Spons Menger”, “Piramida Sierpinski” dan lain-lain.
Keluarga naga juga disebut fraktal konstruktif. Mereka kadang-kadang disebut dengan nama penemunya sebagai "naga Heiwei-Harter" (mereka menyerupai naga Cina dalam bentuknya). Ada beberapa cara untuk membangun kurva ini. Yang paling sederhana dan paling jelas di antaranya adalah ini: Anda perlu mengambil selembar kertas yang cukup panjang (semakin tipis kertasnya, semakin baik), dan tekuk menjadi dua. Kemudian tekuk lagi menjadi dua dengan arah yang sama seperti pertama kali. Setelah beberapa kali pengulangan (biasanya setelah lima atau enam kali lipatan, strip menjadi terlalu tebal untuk ditekuk lebih lanjut dengan hati-hati), Anda perlu meluruskan strip ke belakang, dan mencoba membentuk sudut 90˚ pada lipatan. Kemudian kurva naga akan berubah menjadi profil. Tentu saja, ini hanya perkiraan, seperti semua upaya kami untuk menggambarkan objek fraktal. Komputer memungkinkan Anda untuk menggambarkan lebih banyak langkah dalam proses ini, dan hasilnya adalah sosok yang sangat indah.

Himpunan Mandelbrot dibangun agak berbeda. Pertimbangkan fungsi fc (z) = z 2 +c, di mana c adalah bilangan kompleks. Mari kita buat barisan fungsi ini dengan z0=0, bergantung pada parameter c, ia dapat menyimpang hingga tak terhingga atau tetap terbatas. Selain itu, semua nilai c yang dibatasi barisan ini membentuk himpunan Mandelbrot. Itu dipelajari secara rinci oleh Mandelbrot sendiri dan matematikawan lainnya, yang menemukan banyak sifat menarik dari himpunan ini.

Dapat dilihat bahwa definisi himpunan Julia dan Mandelbrot mirip satu sama lain. Sebenarnya, kedua set ini terkait erat. Yaitu, himpunan Mandelbrot adalah semua nilai dari parameter kompleks c di mana himpunan Julia fc (z) terhubung (satu set disebut terhubung jika tidak dapat dibagi menjadi dua bagian yang tidak berpotongan, dengan beberapa kondisi tambahan).

fraktal dan kehidupan

Saat ini, teori fraktal banyak digunakan di berbagai bidang aktivitas manusia. Selain objek ilmiah murni untuk penelitian dan lukisan fraktal yang telah disebutkan, fraktal digunakan dalam teori informasi untuk mengompresi data grafik (di sini, sifat kesamaan diri fraktal terutama digunakan - lagi pula, untuk mengingat fragmen kecil dari gambar dan transformasi yang dengannya Anda bisa mendapatkan sisa bagian, dibutuhkan memori yang jauh lebih sedikit daripada menyimpan seluruh file). Dengan menambahkan gangguan acak ke rumus yang mendefinisikan fraktal, seseorang dapat memperoleh fraktal stokastik yang sangat masuk akal menyampaikan beberapa objek nyata - elemen relief, permukaan badan air, beberapa tanaman, yang berhasil digunakan dalam fisika, geografi, dan grafik komputer untuk mencapai kesamaan yang lebih besar dari objek simulasi dengan nyata. Dalam elektronik radio, dalam satu dekade terakhir, mereka mulai memproduksi antena yang memiliki bentuk fraktal. Mengambil sedikit ruang, mereka memberikan penerimaan sinyal yang cukup berkualitas tinggi. Ekonom menggunakan fraktal untuk menggambarkan kurva fluktuasi mata uang (properti ini ditemukan oleh Mandelbrot lebih dari 30 tahun yang lalu). Ini mengakhiri perjalanan singkat ke dunia fraktal, yang menakjubkan dalam keindahan dan keragamannya.

Penemuan paling cerdik dalam sains dapat secara radikal mengubah kehidupan manusia. Vaksin yang ditemukan dapat menyelamatkan jutaan orang, penciptaan senjata, sebaliknya, merenggut nyawa ini. Baru-baru ini (pada skala evolusi manusia) kita telah belajar untuk "menjinakkan" listrik - dan sekarang kita tidak dapat membayangkan hidup tanpa semua perangkat praktis yang menggunakan listrik ini. Tetapi ada juga penemuan-penemuan yang dianggap penting oleh segelintir orang, meskipun mereka juga sangat mempengaruhi kehidupan kita.

Salah satu penemuan "tak terlihat" ini adalah fraktal. Anda mungkin pernah mendengar kata yang menarik ini, tetapi tahukah Anda apa artinya dan berapa banyak hal menarik yang tersembunyi dalam istilah ini?

Setiap orang memiliki rasa ingin tahu yang alami, keinginan untuk belajar tentang dunia di sekitarnya. Dan dalam aspirasi ini, seseorang mencoba untuk mematuhi logika dalam penilaian. Menganalisis proses yang terjadi di sekitarnya, dia mencoba menemukan logika dari apa yang terjadi dan menyimpulkan beberapa keteraturan. Pikiran terbesar di planet ini sibuk dengan tugas ini. Secara kasar, para ilmuwan sedang mencari pola di mana seharusnya tidak. Namun demikian, bahkan dalam kekacauan, seseorang dapat menemukan hubungan antara peristiwa. Dan koneksi ini adalah fraktal.

Putri kecil kami, empat setengah tahun, sekarang berada di usia yang luar biasa ketika sejumlah pertanyaan "Mengapa?" berkali-kali lebih besar daripada jumlah jawaban yang orang dewasa punya waktu untuk diberikan. Belum lama ini, melihat cabang yang diangkat dari tanah, putri saya tiba-tiba menyadari bahwa cabang ini, dengan simpul dan cabang, sendiri tampak seperti pohon. Dan, tentu saja, pertanyaan “Mengapa?” ​​diikuti, di mana orang tua harus mencari penjelasan sederhana yang dapat dipahami anak.

Kesamaan cabang tunggal dengan seluruh pohon yang ditemukan oleh seorang anak adalah pengamatan yang sangat akurat, yang sekali lagi membuktikan prinsip kesamaan diri rekursif di alam. Sangat banyak bentuk organik dan anorganik di alam yang terbentuk dengan cara yang sama. Awan, kerang laut, "rumah" siput, kulit kayu dan mahkota pohon, sistem peredaran darah, dan sebagainya - bentuk acak dari semua objek ini dapat dijelaskan dengan algoritme fraktal.

Benoit Mandelbrot: bapak geometri fraktal

Kata "fraktal" muncul berkat ilmuwan brilian Benoît B. Mandelbrot.

Dia menciptakan istilah itu sendiri pada 1970-an, meminjam kata fractus dari bahasa Latin, yang secara harfiah berarti "rusak" atau "hancur." Apa itu? Saat ini, kata "fraktal" paling sering digunakan untuk mengartikan representasi grafis dari struktur yang mirip dengan dirinya sendiri dalam skala yang lebih besar.

Dasar matematika untuk munculnya teori fraktal diletakkan bertahun-tahun sebelum kelahiran Benoit Mandelbrot, tetapi itu hanya dapat berkembang dengan munculnya perangkat komputasi. Pada awal karir ilmiahnya, Benoit bekerja di pusat penelitian IBM. Pada saat itu, karyawan pusat sedang mengerjakan transmisi data jarak jauh. Dalam perjalanan penelitian, para ilmuwan dihadapkan pada masalah kerugian besar yang timbul dari gangguan kebisingan. Benoit menghadapi tugas yang sulit dan sangat penting - untuk memahami bagaimana memprediksi terjadinya gangguan kebisingan di sirkuit elektronik ketika metode statistik tidak efektif.

Melihat melalui hasil pengukuran kebisingan, Mandelbrot menarik perhatian pada satu pola aneh - grafik kebisingan pada skala yang berbeda tampak sama. Pola yang sama diamati terlepas dari apakah itu plot kebisingan selama satu hari, seminggu, atau satu jam. Perlu mengubah skala grafik, dan gambar itu diulang setiap saat.

Semasa hidupnya, Benoit Mandelbrot berulang kali mengatakan bahwa dia tidak berurusan dengan rumus, tetapi hanya bermain dengan gambar. Orang ini berpikir sangat kiasan, dan menerjemahkan setiap masalah aljabar ke dalam bidang geometri, di mana, menurutnya, jawaban yang benar selalu jelas.

Tidak mengherankan bahwa itu adalah seorang pria dengan imajinasi spasial yang kaya yang menjadi bapak geometri fraktal. Bagaimanapun, realisasi esensi fraktal datang tepat ketika Anda mulai mempelajari gambar dan memikirkan arti pola pusaran yang aneh.

Pola fraktal tidak memiliki elemen yang identik, tetapi memiliki kesamaan pada skala apa pun. Untuk membuat gambar seperti itu dengan tingkat detail yang tinggi secara manual sebelumnya tidak mungkin, itu membutuhkan banyak perhitungan. Misalnya, matematikawan Prancis Pierre Joseph Louis Fatou menggambarkan himpunan ini lebih dari tujuh puluh tahun sebelum penemuan Benoit Mandelbrot. Jika kita berbicara tentang prinsip-prinsip kesamaan diri, maka mereka disebutkan dalam karya Leibniz dan Georg Cantor.

Salah satu gambar pertama dari fraktal adalah interpretasi grafis dari himpunan Mandelbrot, yang lahir dari penelitian Gaston Maurice Julia.

Gaston Julia (selalu bertopeng - cedera Perang Dunia I)

Matematikawan Prancis ini bertanya-tanya seperti apa bentuk himpunan jika dibangun dari rumus sederhana yang diulang oleh loop umpan balik. Jika dijelaskan "di jari", ini berarti bahwa untuk nomor tertentu kami menemukan nilai baru menggunakan rumus, setelah itu kami menggantinya lagi ke dalam rumus dan mendapatkan nilai lain. Hasilnya adalah urutan angka yang besar.

Untuk mendapatkan gambaran lengkap dari set seperti itu, Anda perlu melakukan banyak perhitungan - ratusan, ribuan, jutaan. Itu tidak mungkin untuk melakukannya secara manual. Tetapi ketika perangkat komputasi yang kuat muncul di tangan ahli matematika, mereka dapat melihat formula dan ekspresi yang telah lama diminati. Mandelbrot adalah orang pertama yang menggunakan komputer untuk menghitung fraktal klasik. Setelah memproses urutan yang terdiri dari sejumlah besar nilai, Benoit mentransfer hasilnya ke grafik. Inilah yang dia dapatkan.

Selanjutnya, gambar ini diwarnai (misalnya, salah satu cara untuk mewarnai adalah dengan jumlah iterasi) dan menjadi salah satu gambar paling populer yang pernah dibuat oleh manusia.

Seperti pepatah kuno yang dikaitkan dengan Heraclitus dari Efesus mengatakan, "Anda tidak dapat memasuki sungai yang sama dua kali." Ini adalah yang paling cocok untuk menafsirkan geometri fraktal. Tidak peduli seberapa detail kita memeriksa gambar fraktal, kita akan selalu melihat pola yang serupa.

Mereka yang ingin melihat bagaimana gambar ruang Mandelbrot akan terlihat ketika diperbesar berkali-kali dapat melakukannya dengan mengunggah GIF animasi.

Lauren Carpenter: seni yang diciptakan oleh alam

Teori fraktal segera menemukan aplikasi praktis. Karena ini terkait erat dengan visualisasi gambar serupa diri, tidak mengherankan bahwa yang pertama mengadopsi algoritma dan prinsip untuk membangun bentuk yang tidak biasa adalah seniman.

Pendiri masa depan studio Pixar yang legendaris, Loren C. Carpenter, mulai bekerja di Boeing Computer Services pada tahun 1967, yang merupakan salah satu divisi dari perusahaan terkenal yang bergerak dalam pengembangan pesawat baru.

Pada tahun 1977, ia membuat presentasi dengan prototipe model terbang. Lauren bertanggung jawab untuk mengembangkan gambar pesawat yang sedang dirancang. Dia harus membuat gambar model baru, menunjukkan pesawat masa depan dari sudut yang berbeda. Pada titik tertentu, calon pendiri Pixar Animation Studios datang dengan ide kreatif untuk menggunakan gambar pegunungan sebagai latar belakang. Saat ini, setiap anak sekolah dapat memecahkan masalah seperti itu, tetapi pada akhir tahun tujuh puluhan abad terakhir, komputer tidak dapat mengatasi perhitungan yang begitu rumit - tidak ada editor grafis, belum lagi aplikasi untuk grafik tiga dimensi. Pada tahun 1978, Lauren secara tidak sengaja melihat buku Benoit Mandelbrot Fractals: Form, Randomness and Dimension di sebuah toko. Dalam buku ini, perhatiannya tertuju pada fakta bahwa Benoit memberikan banyak contoh bentuk fraktal dalam kehidupan nyata dan membuktikan bahwa mereka dapat dijelaskan dengan ekspresi matematika.

Analogi ini dipilih oleh ahli matematika bukan secara kebetulan. Faktanya adalah begitu dia mempublikasikan penelitiannya, dia harus menghadapi banyak kritik. Hal utama yang dicela oleh rekan-rekannya adalah ketidakbergunaan teori yang dikembangkan. "Ya," kata mereka, "ini adalah gambar yang indah, tetapi tidak lebih. Teori fraktal tidak memiliki nilai praktis.” Ada juga orang-orang yang umumnya percaya bahwa pola fraktal hanyalah produk sampingan dari pekerjaan "mesin iblis", yang pada akhir tahun tujuh puluhan tampaknya terlalu rumit dan belum dijelajahi untuk dipercaya sepenuhnya. Mandelbrot mencoba menemukan aplikasi yang jelas dari teori fraktal, tetapi, pada umumnya, dia tidak perlu melakukan ini. Para pengikut Benoit Mandelbrot selama 25 tahun berikutnya terbukti sangat berguna untuk "keingintahuan matematika" seperti itu, dan Lauren Carpenter adalah salah satu yang pertama mempraktikkan metode fraktal.

Setelah mempelajari buku itu, animator masa depan dengan serius mempelajari prinsip-prinsip geometri fraktal dan mulai mencari cara untuk mengimplementasikannya dalam grafik komputer. Hanya dalam tiga hari kerja, Lauren dapat memvisualisasikan gambar realistis sistem pegunungan di komputernya. Dengan kata lain, dengan bantuan formula, ia melukis pemandangan gunung yang benar-benar dapat dikenali.

Prinsip yang digunakan Lauren untuk mencapai tujuannya sangat sederhana. Itu terdiri dari membagi sosok geometris yang lebih besar menjadi elemen-elemen kecil, dan ini, pada gilirannya, dibagi menjadi sosok-sosok kecil yang serupa.

Menggunakan segitiga yang lebih besar, Carpenter memecahnya menjadi empat yang lebih kecil dan kemudian mengulangi prosedur ini berulang-ulang sampai dia mendapatkan pemandangan gunung yang realistis. Dengan demikian, ia berhasil menjadi seniman pertama yang menggunakan algoritme fraktal dalam grafik komputer untuk membangun gambar. Segera setelah diketahui tentang pekerjaan yang dilakukan, penggemar di seluruh dunia mengambil ide ini dan mulai menggunakan algoritme fraktal untuk mensimulasikan bentuk alami yang realistis.

Salah satu rendering 3D pertama yang menggunakan algoritme fraktal

Hanya beberapa tahun kemudian, Lauren Carpenter mampu menerapkan prestasinya dalam proyek yang jauh lebih besar. Animator mendasarkannya pada demo dua menit, Vol Libre, yang ditampilkan di Siggraph pada tahun 1980. Video ini mengejutkan semua orang yang melihatnya, dan Lauren menerima undangan dari Lucasfilm.

Animasi tersebut dirender pada komputer VAX-11/780 dari Digital Equipment Corporation pada kecepatan clock lima megahertz, dan setiap frame membutuhkan waktu sekitar setengah jam untuk menggambar.

Bekerja untuk Lucasfilm Limited, animator menciptakan lanskap 3D yang sama untuk fitur kedua dalam kisah Star Trek. Dalam The Wrath of Khan, Carpenter mampu menciptakan seluruh planet menggunakan prinsip pemodelan permukaan fraktal yang sama.

Saat ini, semua aplikasi populer untuk membuat lanskap 3D menggunakan prinsip yang sama untuk menghasilkan objek alami. Terragen, Bryce, Vue, dan editor 3D lainnya mengandalkan algoritme pemodelan permukaan dan tekstur fraktal.

Antena fraktal: lebih sedikit lebih baik, tetapi lebih baik

Selama setengah abad terakhir, kehidupan telah berubah dengan cepat. Sebagian besar dari kita menerima kemajuan teknologi modern begitu saja. Segala sesuatu yang membuat hidup lebih nyaman, Anda terbiasa dengan sangat cepat. Jarang ada yang bertanya, “Dari mana asalnya?” dan "Bagaimana cara kerjanya?". Oven microwave menghangatkan sarapan - yah, bagus, smartphone memungkinkan Anda berbicara dengan orang lain - bagus. Ini tampak seperti kemungkinan yang jelas bagi kami.

Tetapi hidup bisa sangat berbeda jika seseorang tidak mencari penjelasan atas peristiwa yang terjadi. Ambil, misalnya, telepon seluler. Ingat antena yang dapat ditarik pada model pertama? Mereka mengganggu, menambah ukuran perangkat, pada akhirnya, sering pecah. Kami percaya bahwa mereka telah tenggelam selamanya, dan sebagian karena ini ... fraktal.

Gambar fraktal mempesona dengan polanya. Mereka pasti menyerupai gambar benda luar angkasa - nebula, gugus galaksi, dan sebagainya. Oleh karena itu, sangat wajar ketika Mandelbrot menyuarakan teorinya tentang fraktal, penelitiannya membangkitkan minat yang meningkat di antara mereka yang mempelajari astronomi. Seorang amatir bernama Nathan Cohen, setelah menghadiri kuliah oleh Benoit Mandelbrot di Budapest, terinspirasi oleh gagasan penerapan praktis dari pengetahuan yang diperoleh. Benar, dia melakukannya secara intuitif, dan kebetulan memainkan peran penting dalam penemuannya. Sebagai seorang amatir radio, Nathan berusaha membuat antena dengan sensitivitas setinggi mungkin.

Satu-satunya cara untuk meningkatkan parameter antena, yang dikenal pada waktu itu, adalah dengan meningkatkan dimensi geometrisnya. Namun, pemilik apartemen Nathan di pusat kota Boston dengan tegas menentang pemasangan perangkat atap yang besar. Kemudian Nathan mulai bereksperimen dengan berbagai bentuk antena, berusaha mendapatkan hasil yang maksimal dengan ukuran yang minimal. Terpesona dengan gagasan bentuk fraktal, Cohen, seperti yang mereka katakan, secara acak membuat salah satu fraktal paling terkenal dari kawat - "kepingan salju Koch". Matematikawan Swedia Helge von Koch menemukan kurva ini pada tahun 1904. Itu diperoleh dengan membagi segmen menjadi tiga bagian dan mengganti segmen tengah dengan segitiga sama sisi tanpa sisi yang bertepatan dengan segmen ini. Definisinya agak sulit dipahami, tetapi gambarnya jelas dan sederhana.

Ada juga varietas lain dari "kurva Koch", tetapi perkiraan bentuk kurvanya tetap sama

Ketika Nathan menghubungkan antena ke penerima radio, dia sangat terkejut - sensitivitasnya meningkat secara dramatis. Setelah serangkaian percobaan, calon profesor di Universitas Boston menyadari bahwa antena yang dibuat menurut pola fraktal memiliki efisiensi tinggi dan mencakup rentang frekuensi yang jauh lebih luas dibandingkan dengan solusi klasik. Selain itu, bentuk antena dalam bentuk kurva fraktal dapat secara signifikan mengurangi dimensi geometris. Nathan Cohen bahkan mengembangkan teorema yang membuktikan bahwa untuk membuat antena broadband, cukup dengan memberikan bentuk kurva fraktal yang serupa.

Penulis mematenkan penemuannya dan mendirikan sebuah perusahaan untuk pengembangan dan desain antena fraktal Sistem Antena Fraktal, dengan tepat percaya bahwa di masa depan, berkat penemuannya, ponsel akan dapat menyingkirkan antena besar dan menjadi lebih kompak.

Pada dasarnya, itulah yang terjadi. Benar, hingga hari ini, Nathan berada dalam tuntutan hukum dengan perusahaan besar yang secara ilegal menggunakan penemuannya untuk memproduksi perangkat komunikasi kompak. Beberapa produsen perangkat seluler terkenal, seperti Motorola, telah mencapai kesepakatan damai dengan penemu antena fraktal.

Dimensi fraktal: pikiran tidak mengerti

Benoit meminjam pertanyaan ini dari ilmuwan Amerika terkenal Edward Kasner.

Yang terakhir, seperti banyak matematikawan terkenal lainnya, sangat suka berkomunikasi dengan anak-anak, mengajukan pertanyaan dan mendapatkan jawaban yang tidak terduga. Terkadang hal ini membawa hasil yang mengejutkan. Jadi, misalnya, keponakan Edward Kasner yang berusia sembilan tahun datang dengan kata "googol" yang sekarang terkenal, yang menunjukkan unit dengan seratus nol. Tapi kembali ke fraktal. Matematikawan Amerika itu suka bertanya berapa panjang garis pantai AS. Setelah mendengarkan pendapat lawan bicaranya, Edward sendiri mengucapkan jawaban yang benar. Jika Anda mengukur panjang pada peta dengan segmen yang rusak, maka hasilnya tidak akan akurat, karena garis pantai memiliki banyak penyimpangan. Dan apa yang terjadi jika Anda mengukur seakurat mungkin? Anda harus memperhitungkan panjang setiap ketidakrataan - Anda perlu mengukur setiap tanjung, setiap teluk, batu, panjang langkan berbatu, batu di atasnya, sebutir pasir, atom, dan sebagainya. Karena jumlah ketidakteraturan cenderung tak terhingga, panjang garis pantai yang diukur akan meningkat hingga tak terhingga dengan setiap ketidakteraturan baru.

Semakin kecil ukuran saat mengukur, semakin besar panjang yang diukur

Menariknya, mengikuti petunjuk Edward, anak-anak jauh lebih cepat daripada orang dewasa dalam mengatakan jawaban yang benar, sementara yang terakhir mengalami kesulitan menerima jawaban yang luar biasa seperti itu.

Menggunakan masalah ini sebagai contoh, Mandelbrot menyarankan menggunakan pendekatan baru untuk pengukuran. Karena garis pantai dekat dengan kurva fraktal, itu berarti bahwa parameter karakterisasi, yang disebut dimensi fraktal, dapat diterapkan padanya.

Apa dimensi yang biasa jelas bagi siapa saja. Jika dimensinya sama dengan satu, kita mendapatkan garis lurus, jika dua - angka datar, tiga - volume. Namun, pemahaman dimensi seperti itu dalam matematika tidak bekerja dengan kurva fraktal, di mana parameter ini memiliki nilai pecahan. Dimensi fraktal dalam matematika dapat dianggap sebagai "kekasaran". Semakin tinggi kekasaran kurva, semakin besar dimensi fraktalnya. Kurva yang menurut Mandelbrot memiliki dimensi fraktal lebih tinggi dari dimensi topologinya, memiliki perkiraan panjang yang tidak bergantung pada jumlah dimensi.

Saat ini, para ilmuwan menemukan semakin banyak area untuk penerapan teori fraktal. Dengan bantuan fraktal, Anda dapat menganalisis fluktuasi harga saham, menjelajahi semua jenis proses alam, seperti fluktuasi jumlah spesies, atau mensimulasikan dinamika arus. Algoritma fraktal dapat digunakan untuk kompresi data, misalnya untuk kompresi gambar. Dan omong-omong, untuk mendapatkan fraktal yang indah di layar komputer Anda, Anda tidak harus memiliki gelar doktor.

Fraktal di browser

Mungkin salah satu cara termudah untuk mendapatkan pola fraktal adalah dengan menggunakan editor vektor online dari programmer muda berbakat Toby Schachman. Toolkit editor grafis sederhana ini didasarkan pada prinsip kesamaan diri yang sama.

Hanya ada dua bentuk sederhana yang Anda inginkan - persegi dan lingkaran. Anda dapat menambahkannya ke kanvas, skala (untuk skala di sepanjang salah satu sumbu, tahan tombol Shift) dan putar. Tumpang tindih pada prinsip operasi penjumlahan Boolean, elemen paling sederhana ini membentuk bentuk baru yang tidak terlalu sepele. Selanjutnya, bentuk-bentuk baru ini dapat ditambahkan ke proyek, dan program akan mengulangi pembuatan gambar-gambar ini tanpa batas waktu. Pada setiap tahap pengerjaan fraktal, Anda dapat kembali ke setiap komponen bentuk kompleks dan mengedit posisi dan geometrinya. Ini sangat menyenangkan, terutama jika Anda menganggap bahwa satu-satunya alat yang Anda butuhkan untuk berkreasi adalah browser. Jika Anda tidak memahami prinsip bekerja dengan editor vektor rekursif ini, kami menyarankan Anda untuk menonton video di situs web resmi proyek, yang menunjukkan secara rinci seluruh proses pembuatan fraktal.

XaoS: fraktal untuk setiap selera

Banyak editor grafis memiliki alat bawaan untuk membuat pola fraktal. Namun, alat ini biasanya sekunder dan tidak memungkinkan Anda untuk menyempurnakan pola fraktal yang dihasilkan. Dalam kasus di mana perlu untuk membangun fraktal yang akurat secara matematis, editor lintas platform XaoS akan datang untuk menyelamatkan. Program ini memungkinkan tidak hanya untuk membangun citra diri yang serupa, tetapi juga untuk melakukan berbagai manipulasi dengannya. Misalnya, dalam waktu nyata, Anda dapat "berjalan" melalui fraktal dengan mengubah skalanya. Gerakan animasi di sepanjang fraktal dapat disimpan sebagai file XAF dan kemudian diputar ulang dalam program itu sendiri.

XaoS dapat memuat serangkaian parameter acak, serta menggunakan berbagai filter pasca-pemrosesan gambar - menambahkan efek gerakan kabur, menghaluskan transisi tajam antara titik fraktal, mensimulasikan gambar 3D, dan sebagainya.

Zoomer Fraktal: generator fraktal kompak

Dibandingkan dengan generator gambar fraktal lainnya, ia memiliki beberapa keunggulan. Pertama, ukurannya cukup kecil dan tidak memerlukan instalasi. Kedua, mengimplementasikan kemampuan untuk menentukan palet warna gambar. Anda dapat memilih warna dalam model warna RGB, CMYK, HVS dan HSL.

Juga sangat nyaman untuk menggunakan opsi pemilihan warna secara acak dan fungsi membalikkan semua warna dalam gambar. Untuk menyesuaikan warna, ada fungsi pemilihan warna siklik - ketika mode yang sesuai dihidupkan, program menjiwai gambar, mengubah warna secara siklis di atasnya.

Zoomer Fraktal dapat memvisualisasikan 85 fungsi fraktal yang berbeda, dan rumus ditampilkan dengan jelas di menu program. Ada filter untuk gambar pasca-pemrosesan dalam program, meskipun dalam jumlah kecil. Setiap filter yang ditetapkan dapat dibatalkan kapan saja.

Mandelbulb3D: editor fraktal 3D

Ketika istilah "fraktal" digunakan, itu paling sering berarti gambar dua dimensi datar. Namun, geometri fraktal melampaui dimensi 2D. Di alam, orang dapat menemukan kedua contoh bentuk fraktal datar, katakanlah, geometri petir, dan gambar tiga dimensi tiga dimensi. Permukaan fraktal dapat berbentuk 3D, dan salah satu ilustrasi yang sangat grafis dari fraktal 3D dalam kehidupan sehari-hari adalah kepala kubis. Mungkin cara terbaik untuk melihat fraktal adalah di Romanesco, hibrida kembang kol dan brokoli.

Dan fraktal ini bisa dimakan

Program Mandelbulb3D dapat membuat objek tiga dimensi dengan bentuk yang serupa. Untuk mendapatkan permukaan 3D menggunakan algoritme fraktal, penulis aplikasi ini, Daniel White dan Paul Nylander, mengonversi himpunan Mandelbrot ke koordinat bola. Program Mandelbulb3D yang mereka buat adalah editor tiga dimensi nyata yang memodelkan permukaan fraktal dari berbagai bentuk. Karena kita sering mengamati pola fraktal di alam, objek tiga dimensi fraktal yang dibuat secara artifisial tampak sangat realistis dan bahkan "hidup".

Ini mungkin terlihat seperti tanaman, mungkin menyerupai binatang aneh, planet, atau sesuatu yang lain. Efek ini ditingkatkan dengan algoritme rendering canggih yang memungkinkan untuk memperoleh refleksi realistis, menghitung transparansi dan bayangan, mensimulasikan efek kedalaman bidang, dan sebagainya. Mandelbulb3D memiliki banyak sekali pengaturan dan opsi rendering. Anda dapat mengontrol nuansa sumber cahaya, memilih latar belakang dan tingkat detail objek yang dimodelkan.

Editor fraktal Incendia mendukung penghalusan gambar ganda, berisi perpustakaan lima puluh fraktal tiga dimensi yang berbeda dan memiliki modul terpisah untuk mengedit bentuk dasar.

Aplikasi ini menggunakan skrip fraktal, yang dengannya Anda dapat mendeskripsikan tipe baru struktur fraktal secara mandiri. Incendia memiliki editor tekstur dan material, dan mesin rendering yang memungkinkan Anda menggunakan efek kabut volumetrik dan berbagai shader. Program ini memiliki opsi untuk menyimpan buffer selama rendering jangka panjang, pembuatan animasi didukung.

Incendia memungkinkan Anda untuk mengekspor model fraktal ke format grafik 3D populer - OBJ dan STL. Incendia menyertakan utilitas Geometrica kecil - alat khusus untuk menyiapkan ekspor permukaan fraktal ke model tiga dimensi. Dengan menggunakan utilitas ini, Anda dapat menentukan resolusi permukaan 3D, menentukan jumlah iterasi fraktal. Model yang diekspor dapat digunakan dalam proyek 3D saat bekerja dengan editor 3D seperti Blender, 3ds max, dan lainnya.

Baru-baru ini, pengerjaan proyek Incendia agak melambat. Saat ini, penulis sedang mencari sponsor yang akan membantunya mengembangkan program.

Jika Anda tidak memiliki cukup imajinasi untuk menggambar fraktal tiga dimensi yang indah dalam program ini, itu tidak masalah. Gunakan pustaka parameter, yang terletak di folder INCENDIA_EX\parameters. Dengan bantuan file PAR, Anda dapat dengan cepat menemukan bentuk fraktal yang paling tidak biasa, termasuk yang animasi.

Aural: bagaimana fraktal bernyanyi

Kami biasanya tidak membicarakan proyek yang baru saja dikerjakan, tetapi dalam hal ini kami harus membuat pengecualian, ini adalah aplikasi yang sangat tidak biasa. Sebuah proyek bernama Aural datang dengan orang yang sama dengan Incendia. Benar, kali ini program tidak memvisualisasikan himpunan fraktal, tetapi menyuarakannya, mengubahnya menjadi musik elektronik. Idenya sangat menarik, terutama mengingat sifat fraktal yang tidak biasa. Aural adalah editor audio yang menghasilkan melodi menggunakan algoritme fraktal, yang sebenarnya adalah audio synthesizer-sequencer.

Urutan suara yang diberikan oleh program ini tidak biasa dan ... indah. Ini mungkin berguna untuk menulis ritme modern dan, menurut kami, sangat cocok untuk membuat soundtrack untuk intro program televisi dan radio, serta "loop" musik latar untuk permainan komputer. Ramiro belum memberikan demo programnya, tetapi berjanji bahwa ketika dia melakukannya, untuk bekerja dengan Aural, dia tidak perlu mempelajari teori fraktal - cukup bermain dengan parameter algoritme untuk menghasilkan urutan nada . Dengarkan bagaimana suara fraktal, dan.

Fraktal: jeda musik

Faktanya, fraktal dapat membantu menulis musik bahkan tanpa perangkat lunak. Tetapi ini hanya dapat dilakukan oleh seseorang yang benar-benar diilhami oleh gagasan harmoni alam dan pada saat yang sama tidak berubah menjadi "kutu buku" yang malang. Masuk akal untuk mengambil petunjuk dari seorang musisi bernama Jonathan Coulton, yang, antara lain, menulis komposisi untuk majalah Popular Science. Dan tidak seperti seniman lain, Colton menerbitkan semua karyanya di bawah lisensi Atribusi-Nonkomersial Creative Commons, yang (bila digunakan untuk tujuan non-komersial) menyediakan penyalinan, distribusi, transfer karya kepada orang lain, serta modifikasi (pembuatan) secara gratis. karya turunan) untuk menyesuaikannya dengan kebutuhan Anda.

Jonathan Colton, tentu saja, memiliki lagu tentang fraktal.

Kesimpulan

Dalam segala hal di sekitar kita, kita sering melihat kekacauan, tetapi sebenarnya ini bukan kebetulan, tetapi bentuk ideal, yang membantu kita membedakan fraktal. Alam adalah arsitek terbaik, pembangun dan insinyur yang ideal. Itu diatur dengan sangat logis, dan jika di suatu tempat kita tidak melihat pola, ini berarti kita perlu mencarinya dalam skala yang berbeda. Orang-orang memahami ini dengan lebih baik dan lebih baik, mencoba meniru bentuk-bentuk alami dengan banyak cara. Insinyur merancang sistem speaker dalam bentuk cangkang, membuat antena dengan geometri kepingan salju, dan sebagainya. Kami yakin bahwa fraktal masih menyimpan banyak rahasia, dan banyak di antaranya yang belum ditemukan oleh seseorang.

Sebagaimana menjadi jelas dalam beberapa dekade terakhir (sehubungan dengan perkembangan teori pengorganisasian diri), kesamaan diri terjadi pada berbagai objek dan fenomena. Misalnya, kesamaan diri dapat diamati di cabang-cabang pohon dan semak, dalam pembagian zigot yang dibuahi, kepingan salju, kristal es, dalam pengembangan sistem ekonomi, dalam struktur sistem gunung, awan.

Semua objek yang terdaftar dan objek lain yang serupa dalam strukturnya adalah fraktal. Artinya, mereka memiliki sifat kesamaan diri, atau invarian skala. Dan ini berarti bahwa beberapa fragmen strukturnya diulang secara ketat pada interval spasial tertentu. Jelas, benda-benda ini dapat berupa apa saja, dan penampilan serta bentuknya tetap tidak berubah terlepas dari skalanya. Baik di alam maupun di masyarakat, pengulangan diri terjadi dalam skala yang cukup besar. Jadi, awan mengulangi strukturnya yang kasar dari 10 4 m (10 km) menjadi 10 -4 m (0,1 mm). Percabangan berulang di pohon dari 10 -2 hingga 10 2 m.Bahan runtuh yang menghasilkan retakan juga mengulangi kesamaan diri mereka pada beberapa skala. Kepingan salju yang jatuh di tangan meleleh. Selama periode pencairan, transisi dari satu fase ke fase lainnya, tetesan salju juga merupakan fraktal.

Fraktal adalah objek dengan kompleksitas tak terbatas, memungkinkan Anda untuk melihat detail yang tidak kurang dari dekat daripada dari jauh. Contoh klasiknya adalah Bumi. Dari luar angkasa, itu terlihat seperti bola. Mendekati itu, kita akan menemukan lautan, benua, pantai dan pegunungan. Nanti akan muncul detail yang lebih kecil: sebidang tanah di permukaan gunung, serumit dan tidak rata seperti gunung itu sendiri. Kemudian partikel kecil tanah akan muncul, yang masing-masing merupakan objek fraktal.

Fraktal adalah struktur non-linier yang mempertahankan kesamaan diri saat skalanya naik atau turun tanpa batas. Hanya pada panjang kecil nonlinier berubah menjadi linieritas. Hal ini terutama terlihat dalam prosedur matematis diferensiasi.

Dengan demikian, kita dapat mengatakan bahwa fraktal sebagai model digunakan ketika objek nyata tidak dapat direpresentasikan dalam bentuk model klasik. Dan ini berarti bahwa kita berurusan dengan hubungan non-linier dan sifat data yang tidak deterministik. Nonlinier dalam arti ideologis berarti multivarians jalur pembangunan, ketersediaan pilihan dari jalur alternatif dan kecepatan evolusi tertentu, serta ireversibilitas proses evolusi. Dalam pengertian matematika, non-linier adalah jenis tertentu dari persamaan matematika (persamaan diferensial non-linier) yang mengandung jumlah yang diinginkan dalam pangkat lebih besar dari satu atau koefisien yang bergantung pada sifat-sifat medium. Artinya, ketika kita menerapkan model klasik (misalnya, tren, regresi, dll.), kita mengatakan bahwa masa depan suatu objek ditentukan secara unik. Dan kita bisa memprediksinya, mengetahui masa lalu objek (data awal untuk pemodelan). Dan fraktal digunakan dalam kasus ketika objek memiliki beberapa opsi untuk pengembangan dan keadaan sistem ditentukan oleh posisi di mana ia berada saat ini. Artinya, kami mencoba untuk mensimulasikan perkembangan yang kacau.

Ketika mereka berbicara tentang determinisme sistem tertentu, yang mereka maksud adalah bahwa perilakunya dicirikan oleh hubungan sebab akibat yang tidak ambigu. Artinya, mengetahui kondisi awal dan hukum gerak sistem, adalah mungkin untuk memprediksi masa depannya secara akurat. Gagasan tentang gerak di Alam Semesta inilah yang menjadi ciri klasik, dinamika Newtonian. Kekacauan, sebaliknya, menyiratkan proses acak yang kacau, ketika jalannya peristiwa tidak dapat diprediksi atau direproduksi.

Kekacauan dihasilkan oleh dinamika intrinsik dari sistem nonlinier - propertinya untuk secara eksponensial dengan cepat memisahkan lintasan yang dekat secara sewenang-wenang. Akibatnya, bentuk lintasan sangat bergantung pada kondisi awal. Ketika mempelajari sistem yang, pada pandangan pertama, berkembang secara kacau, mereka sering menggunakan teori fraktal, karena Pendekatan inilah yang memungkinkan untuk melihat keteraturan tertentu dalam terjadinya penyimpangan "acak" dalam pengembangan sistem.

Studi tentang struktur fraktal alami memberi kita kesempatan untuk lebih memahami proses pengaturan diri dan pengembangan sistem nonlinier. Kami telah menemukan bahwa fraktal alami dari garis belitan yang paling beragam ditemukan di sekitar kita. Ini adalah pantai, pohon, awan, pelepasan petir, struktur logam, sistem saraf atau pembuluh darah manusia. Garis-garis rumit dan permukaan kasar ini menjadi perhatian penelitian ilmiah karena alam menunjukkan kepada kita tingkat kerumitan yang sama sekali berbeda dari sistem geometri ideal. Struktur yang diteliti ternyata memiliki kemiripan diri dalam hubungan spatio-temporal. Mereka tanpa henti mereplikasi diri dan mengulangi diri mereka sendiri pada berbagai skala panjang dan waktu. Setiap proses non-linier akhirnya mengarah ke percabangan. Sistem dalam hal ini, pada titik cabang, memilih satu jalur atau jalur lainnya. Lintasan perkembangan sistem akan terlihat seperti fraktal, yaitu garis putus-putus, yang bentuknya dapat digambarkan sebagai percabangan, jalur rumit yang memiliki logika dan polanya sendiri.

Percabangan sistem dapat dibandingkan dengan percabangan pohon, di mana setiap cabang sesuai dengan sepertiga dari keseluruhan sistem. Percabangan memungkinkan struktur linier untuk mengisi ruang tiga dimensi, atau, lebih tepatnya: struktur fraktal mengoordinasikan ruang yang berbeda. Sebuah fraktal dapat tumbuh, mengisi ruang di sekitarnya, seperti kristal yang tumbuh dalam larutan lewat jenuh. Dalam hal ini, sifat percabangan akan diasosiasikan bukan dengan kebetulan, melainkan dengan pola tertentu.

Struktur fraktal berulang dengan cara yang sama di tingkat lain, pada tingkat organisasi kehidupan manusia yang lebih tinggi, misalnya, pada tingkat pengaturan diri kolektif atau tim. Pengorganisasian diri jaringan dan bentuk bergerak dari tingkat mikro ke tingkat makro. Secara kolektif, mereka mewakili kesatuan holistik, di mana seseorang dapat menilai keseluruhan dari bagian. Dalam pekerjaan kursus ini, sebagai contoh, sifat fraktal dari proses sosial dipertimbangkan, yang menunjukkan universalitas teori fraktal dan kesetiaannya pada berbagai bidang ilmu pengetahuan.

Disimpulkan bahwa fraktal adalah cara interaksi terorganisir ruang dimensi dan alam yang berbeda. Perlu ditambahkan di atas bahwa tidak hanya spasial, tetapi juga temporal. Kemudian bahkan otak manusia dan jaringan saraf akan menjadi struktur fraktal.

Alam sangat menyukai bentuk fraktal. Objek fraktal memiliki struktur yang luas dan jarang. Ketika mengamati benda-benda seperti itu dengan pembesaran yang meningkat, orang dapat melihat bahwa mereka menunjukkan pola yang berulang pada tingkat yang berbeda. Kami telah mengatakan bahwa objek fraktal dapat terlihat persis sama terlepas dari apakah kita mengamatinya dalam meter, milimeter atau mikron (1:1.000.000 skala meter). Properti simetri objek fraktal dimanifestasikan dalam invarian sehubungan dengan skala. Fraktal simetris terhadap pusat peregangan atau penskalaan ulang, seperti halnya benda bulat simetris terhadap sumbu rotasi.

Gambar yang dipuja dari dinamika nonlinier adalah struktur fraktal, di mana, dengan perubahan skala, deskripsi dibangun sesuai dengan aturan yang sama. Dalam kehidupan nyata, penerapan prinsip ini dimungkinkan dengan sedikit variasi. Misalnya, dalam fisika, ketika berpindah dari tingkat ke tingkat (dari proses atom ke nuklir, dari nuklir ke partikel dasar), keteraturan, model, dan metode deskripsi berubah. Kita melihat hal yang sama dalam biologi (tingkat populasi suatu organisme, jaringan, sel, dll.) Masa depan sinergi tergantung pada sejauh mana ilmu non-linier akan dapat membantu dalam menggambarkan heterogenitas struktural ini dan berbagai fenomena "interlevel". Saat ini, sebagian besar disiplin ilmu tidak memiliki model konseptual fraktal yang andal.

Saat ini, perkembangan dalam kerangka teori fraktal dilakukan dalam sains tertentu - fisika, sosiologi, psikologi, linguistik, dll. Kemudian masyarakat, dan institusi sosial, dan bahasa, dan bahkan pikiran adalah fraktal.

Dalam diskusi yang telah berlangsung dalam beberapa tahun terakhir di antara para ilmuwan dan filsuf seputar konsep fraktal, pertanyaan paling kontroversial adalah sebagai berikut: apakah mungkin untuk berbicara tentang universalitas fraktal, bahwa setiap objek alam mengandung fraktal atau melewati tahap fraktal? Ada dua kelompok ilmuwan yang menjawab pertanyaan ini dengan cara yang berlawanan. Kelompok pertama ("radikal", inovator) mendukung tesis tentang universalitas fraktal. Kelompok kedua ("konservatif") menyangkal tesis ini, tetapi masih mengklaim bahwa tidak setiap objek Alam memiliki fraktal, tetapi fraktal dapat ditemukan di setiap area Alam.

Ilmu pengetahuan modern telah cukup berhasil mengadaptasi teori fraktal untuk berbagai bidang pengetahuan. Jadi, dalam ilmu ekonomi, teori fraktal digunakan dalam analisis teknis pasar keuangan yang telah ada di negara-negara maju di dunia selama lebih dari seratus tahun. Untuk pertama kalinya kesempatan untuk memprediksi perilaku lebih lanjut dari harga saham, jika arahnya untuk beberapa periode terakhir diketahui, dicatat oleh C. Dow. Pada 1990-an, setelah menerbitkan sejumlah artikel, Dow memperhatikan bahwa harga saham tunduk pada fluktuasi siklus: setelah kenaikan panjang, penurunan panjang mengikuti, kemudian naik dan turun lagi.

Di pertengahan abad ke-20, ketika seluruh dunia ilmiah terpesona oleh teori fraktal yang baru muncul, pemodal Amerika terkenal lainnya, R. Elliot, mengajukan teorinya tentang perilaku harga saham, yang didasarkan pada penggunaan fraktal. teori. Elliot berangkat dari fakta bahwa geometri fraktal terjadi tidak hanya di alam yang hidup, tetapi juga dalam proses sosial. Dia juga menghubungkan perdagangan saham di bursa efek dengan proses sosial.

Dasar teorinya adalah apa yang disebut diagram gelombang. Teori ini memungkinkan untuk memprediksi perilaku tren harga lebih lanjut, berdasarkan pengetahuan tentang sejarah perilakunya dan mengikuti aturan untuk pengembangan perilaku psikologis massal.

Teori fraktal juga telah menemukan aplikasi dalam biologi. Banyak, jika tidak semua, struktur dan sistem biologis tumbuhan, hewan, dan manusia memiliki sifat fraktal, beberapa kesamaan dengannya: sistem saraf, sistem paru-paru, sistem peredaran darah dan limfatik, dll. Bukti telah muncul bahwa perkembangan tumor ganas juga berlangsung menurut prinsip fraktal. Dengan mempertimbangkan prinsip afinitas diri dan keselarasan fraktal, sejumlah masalah rumit dari evolusi dunia organik dapat dijelaskan. Objek fraktal juga dicirikan oleh fitur seperti manifestasi komplementaritas. Komplementaritas dalam biokimia adalah korespondensi timbal balik dalam struktur kimia dua makromolekul, yang memastikan interaksi mereka - pasangan dua untai DNA, koneksi enzim dengan substrat, antigen dengan antibodi. Struktur pelengkap cocok bersama seperti kunci gembok (Encyclopedia of Cyril dan Methodius). Sifat ini dimiliki oleh rantai polinukleotida DNA.

Salah satu aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafik komputer. Pertama, ini adalah kompresi fraktal gambar, dan kedua, konstruksi lanskap, pohon, tanaman, dan generasi tekstur fraktal. Pada saat yang sama, untuk kompresi, perekaman informasi, peningkatan fraktal yang serupa diri diperlukan, dan untuk pembacaannya, masing-masing, peningkatan serupa sendiri.

Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas secara fraktal dapat diskalakan tanpa munculnya pikselasi. Namun proses kompresi memakan waktu lama dan terkadang berlangsung berjam-jam. Algoritme pengepakan fraktal lossy memungkinkan Anda untuk mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritma ini didasarkan pada menemukan bagian besar dari gambar yang mirip dengan beberapa bagian kecil. Dan hanya informasi tentang kesamaan satu bagian dengan bagian lain yang ditulis ke file output. Saat mengompresi, kotak persegi biasanya digunakan (potongan adalah kotak), yang mengarah ke sedikit sudut saat mengembalikan gambar; kotak heksagonal bebas dari kekurangan seperti itu.

Di antara karya sastra tersebut ada yang bersifat tekstual, struktural, atau semantik fraktal. Dalam fraktal tekstual, elemen teks berpotensi berulang tanpa henti. Fraktal tekstual mencakup pohon tak bercabang tak bercabang yang identik dengan dirinya sendiri dari setiap iterasi (“Imam punya anjing…”, “Perumpamaan seorang filsuf yang bermimpi bahwa dia adalah kupu-kupu yang bermimpi bahwa dia adalah seorang filsuf yang bermimpi…”, “Pernyataan itu salah bahwa pernyataan itu benar, bahwa pernyataan itu salah ... "); teks tak berujung non-bercabang dengan variasi ("Peggy memiliki angsa bergembira...") dan teks dengan ekstensi ("Rumah yang dibangun Jack").

Dalam fraktal struktural, skema teks berpotensi fraktal. Teks dengan struktur seperti itu disusun menurut prinsip-prinsip berikut: karangan bunga soneta (15 puisi), karangan bunga soneta (211 puisi), karangan bunga karangan bunga soneta (2455 puisi); "cerita dalam sebuah cerita" ("Kitab Seribu Satu Malam", Ya. Pototsky "Naskah yang Ditemukan di Saragossa"); kata pengantar menyembunyikan kepenulisan (W. Eco "The Name of the Rose").

Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Kata fraktal berasal dari bahasa latin fractus dan dalam terjemahannya berarti terdiri dari pecahan-pecahan. Itu diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak teratur tetapi serupa diri yang dia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan terbitnya buku Mandelbrot `The Fractal Geometry of Nature' pada tahun 1977. Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah dari ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff Tetapi hanya di zaman kita ini dimungkinkan untuk menggabungkan karya-karya mereka menjadi satu sistem.
Peran fraktal dalam grafik komputer saat ini cukup besar. Mereka datang untuk menyelamatkan, misalnya, ketika diperlukan, dengan bantuan beberapa koefisien, untuk menentukan garis dan permukaan dari bentuk yang sangat kompleks. Dari sudut pandang grafik komputer, geometri fraktal sangat diperlukan untuk menghasilkan awan buatan, gunung, dan permukaan laut. Faktanya, telah ditemukan cara untuk merepresentasikan objek non-Euclidean yang kompleks dengan mudah, yang gambarnya sangat mirip dengan yang alami.
Salah satu sifat utama fraktal adalah kesamaan diri. Dalam kasus yang paling sederhana, sebagian kecil dari fraktal berisi informasi tentang keseluruhan fraktal. Definisi fraktal yang diberikan oleh Mandelbrot adalah sebagai berikut: "Fraktal adalah struktur yang terdiri dari bagian-bagian yang dalam beberapa hal mirip dengan keseluruhan."

Ada sejumlah besar objek matematika yang disebut fraktal (segitiga Sierpinski, kepingan salju Koch, kurva Peano, himpunan Mandelbrot, dan penarik Lorentz). Fraktal menggambarkan dengan sangat akurat banyak fenomena fisik dan formasi dunia nyata: gunung, awan, arus turbulen (pusaran), akar, cabang dan daun pohon, pembuluh darah, yang jauh dari bentuk geometris sederhana. Untuk pertama kalinya, Benoit Mandelbrot berbicara tentang sifat fraktal dunia kita dalam karya mani "Geometri Fraktal Alam".
Istilah fraktal diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1977 dalam karya dasarnya "Fraktal, Bentuk, Kekacauan dan Dimensi". Menurut Mandelbrot, kata fraktal berasal dari kata Latin fractus - pecahan dan frangere - untuk memecahkan, yang mencerminkan esensi dari fraktal sebagai "patah", himpunan tidak beraturan.

Klasifikasi fraktal.

Untuk mewakili seluruh variasi fraktal, akan lebih mudah untuk menggunakan klasifikasi yang diterima secara umum. Ada tiga kelas fraktal.

1. Fraktal geometris.

Fraktal dari kelas ini adalah yang paling jelas. Dalam kasus dua dimensi, mereka diperoleh dengan menggunakan polyline (atau permukaan dalam kasus tiga dimensi) yang disebut generator. Dalam satu langkah algoritma, setiap segmen yang membentuk garis putus-putus digantikan oleh generator garis putus-putus dalam skala yang sesuai. Sebagai hasil dari pengulangan prosedur ini tanpa akhir, fraktal geometrik diperoleh.

Pertimbangkan, misalnya, salah satu objek fraktal seperti itu - kurva triadik Koch.

Konstruksi kurva triadik Koch.

Ambil segmen garis lurus dengan panjang 1. Sebut saja benih. Mari kita membagi benih menjadi tiga bagian yang sama panjang 1/3, membuang bagian tengah dan menggantinya dengan garis putus-putus dari dua mata rantai panjang 1/3.

Kami mendapatkan garis putus-putus, terdiri dari 4 tautan dengan panjang total 4/3, - yang disebut generasi pertama.

Untuk beralih ke generasi berikutnya dari kurva Koch, perlu untuk membuang dan mengganti bagian tengah setiap tautan. Dengan demikian, panjang generasi kedua adalah 16/9, yang ketiga - 64/27. jika Anda melanjutkan proses ini hingga tak terhingga, maka hasilnya akan menjadi kurva Koch triadik.

Sekarang mari kita perhatikan kurva triadik Koch yang suci dan cari tahu mengapa fraktal disebut "monster".

Pertama, kurva ini tidak memiliki panjang - seperti yang telah kita lihat, dengan jumlah generasi, panjangnya cenderung tak terhingga.

Kedua, tidak mungkin untuk membuat garis singgung kurva ini - masing-masing titiknya adalah titik belok di mana turunannya tidak ada - kurva ini tidak mulus.

Panjang dan kehalusan adalah sifat dasar dari kurva, yang dipelajari baik oleh geometri Euclidean maupun oleh geometri Lobachevsky dan Riemann. Metode tradisional analisis geometris ternyata tidak dapat diterapkan pada kurva Koch triadik, sehingga kurva Koch ternyata adalah monster - "monster" di antara penghuni mulus geometri tradisional.

Pembangunan "naga" Harter-Hateway.

Untuk mendapatkan objek fraktal lain, Anda perlu mengubah aturan konstruksi. Biarkan elemen pembangkit menjadi dua segmen yang sama terhubung di sudut kanan. Pada generasi nol, kita mengganti segmen unit dengan elemen pembangkit ini sehingga sudutnya berada di atas. Kita dapat mengatakan bahwa dengan penggantian seperti itu, terjadi pergeseran di tengah tautan. Saat membangun generasi berikutnya, aturannya diikuti: tautan pertama di sebelah kiri diganti dengan elemen pembangkit sehingga bagian tengah tautan digeser ke kiri dari arah gerakan, dan ketika mengganti tautan berikutnya, arah perpindahan titik tengah segmen harus bergantian. Gambar tersebut menunjukkan beberapa generasi pertama dan generasi ke-11 dari kurva yang dibangun sesuai dengan prinsip yang dijelaskan di atas. Kurva dengan n yang cenderung tak terhingga disebut naga Harter-Hateway.
Dalam grafik komputer, penggunaan fraktal geometris diperlukan saat memperoleh gambar pohon dan semak-semak. Fraktal geometris dua dimensi digunakan untuk membuat tekstur tiga dimensi (pola pada permukaan suatu objek).

2. Fraktal aljabar

Ini adalah kelompok fraktal terbesar. Mereka diperoleh dengan menggunakan proses non-linier dalam ruang n-dimensi. Proses dua dimensi adalah yang paling banyak dipelajari. Menafsirkan proses iteratif nonlinier sebagai sistem dinamis diskrit, seseorang dapat menggunakan terminologi teori sistem ini: potret fase, proses keadaan tunak, penarik, dll.
Diketahui bahwa sistem dinamik nonlinier memiliki beberapa keadaan stabil. Keadaan di mana sistem dinamis menemukan dirinya setelah sejumlah iterasi tertentu bergantung pada keadaan awalnya. Oleh karena itu, setiap keadaan stabil (atau, seperti yang mereka katakan, penarik) memiliki area tertentu dari keadaan awal, dari mana sistem akan jatuh ke dalam keadaan akhir yang dipertimbangkan. Dengan demikian, ruang fase sistem dibagi menjadi area daya tarik penarik. Jika ruang fase adalah dua dimensi, maka dengan mewarnai daerah tarik-menarik dengan warna yang berbeda, seseorang dapat memperoleh potret fase warna dari sistem ini (proses berulang). Dengan mengubah algoritme pemilihan warna, Anda bisa mendapatkan pola fraktal kompleks dengan pola multiwarna yang mewah. Kejutan untuk matematikawan adalah kemampuan untuk menghasilkan struktur non-sepele yang sangat kompleks menggunakan algoritma primitif.

Himpunan Mandelbrot.

Sebagai contoh, perhatikan himpunan Mandelbrot. Algoritme untuk konstruksinya cukup sederhana dan didasarkan pada ekspresi iteratif sederhana: Z = Z[i] * Z[i] + C, di mana Zi dan C adalah variabel kompleks. Iterasi dilakukan untuk setiap titik awal dari daerah persegi panjang atau persegi - bagian dari bidang kompleks. Proses iterasi berlanjut sampai Z[i] tidak akan melampaui lingkaran berjari-jari 2, yang pusatnya terletak pada titik (0,0), (ini berarti bahwa penarik sistem dinamis berada pada tak terhingga), atau setelah sejumlah iterasi yang cukup besar (misalnya , 200-500) Z[i] konvergen ke suatu titik pada lingkaran. Tergantung pada jumlah iterasi selama Z[i] tetap berada di dalam lingkaran, Anda dapat mengatur warna titik C(jika Z[i] tetap berada di dalam lingkaran untuk jumlah iterasi yang cukup besar, proses iterasi berhenti dan titik raster ini dicat hitam).

3. Fraktal stokastik

Kelas fraktal terkenal lainnya adalah fraktal stokastik, yang diperoleh jika salah satu parameternya diubah secara acak dalam proses berulang. Ini menghasilkan objek yang sangat mirip dengan yang alami - pohon asimetris, garis pantai yang menjorok, dll. Fraktal stokastik dua dimensi digunakan dalam pemodelan medan dan permukaan laut.
Ada klasifikasi lain dari fraktal, misalnya pembagian fraktal menjadi deterministik (aljabar dan geometris) dan non-deterministik (stokastik).

Tentang penggunaan fraktal

Pertama-tama, fraktal adalah bidang seni matematika yang luar biasa, ketika dengan bantuan rumus dan algoritma paling sederhana, gambar keindahan dan kerumitan yang luar biasa diperoleh! Dalam kontur gambar yang dibangun, daun, pohon, dan bunga sering ditebak.

Salah satu aplikasi fraktal yang paling kuat terletak pada grafik komputer. Pertama, ini adalah kompresi fraktal gambar, dan kedua, konstruksi lanskap, pohon, tanaman, dan generasi tekstur fraktal. Fisika dan mekanika modern baru saja mulai mempelajari perilaku objek fraktal. Dan, tentu saja, fraktal diterapkan secara langsung dalam matematika itu sendiri.
Keuntungan dari algoritma kompresi gambar fraktal adalah ukuran file yang dikemas sangat kecil dan waktu pemulihan gambar yang singkat. Gambar yang dikemas secara fraktal dapat diskalakan tanpa munculnya pikselasi. Namun proses kompresi memakan waktu lama dan terkadang berlangsung berjam-jam. Algoritme pengepakan fraktal lossy memungkinkan Anda untuk mengatur tingkat kompresi, mirip dengan format jpeg. Algoritma ini didasarkan pada pencarian potongan besar dari gambar yang mirip dengan beberapa potongan kecil. Dan hanya bagian mana yang mirip dengan yang ditulis ke file output. Saat mengompresi, kotak persegi biasanya digunakan (potongan adalah kotak), yang mengarah ke sedikit sudut saat mengembalikan gambar; kotak heksagonal bebas dari kekurangan seperti itu.
Iterated telah mengembangkan format gambar baru, "Sting", yang menggabungkan kompresi lossless fraktal dan "gelombang" (seperti jpeg). Format baru memungkinkan Anda membuat gambar dengan kemungkinan penskalaan berkualitas tinggi berikutnya, dan volume file grafik adalah 15-20% dari volume gambar yang tidak dikompresi.
Kecenderungan fraktal terlihat seperti gunung, bunga dan pohon dimanfaatkan oleh beberapa editor grafis, misalnya awan fraktal dari 3D studio MAX, pegunungan fraktal di World Builder. Pohon fraktal, gunung, dan seluruh lanskap diberikan dengan rumus sederhana, mudah diprogram, dan tidak berantakan menjadi segitiga dan kubus terpisah saat didekati.
Anda tidak bisa mengabaikan penggunaan fraktal dalam matematika itu sendiri. Dalam teori himpunan, himpunan Cantor membuktikan keberadaan himpunan rapat tak berhingga yang sempurna; dalam teori ukuran, fungsi "tangga Cantor" self-affine adalah contoh yang baik dari fungsi distribusi ukuran tunggal.
Dalam mekanika dan fisika, fraktal digunakan karena sifatnya yang unik untuk mengulang garis besar banyak objek alam. Fraktal memungkinkan Anda untuk memperkirakan pohon, permukaan gunung, dan celah dengan akurasi yang lebih tinggi daripada perkiraan dengan segmen garis atau poligon (dengan jumlah data tersimpan yang sama). Model fraktal, seperti objek alami, memiliki "kekasaran", dan properti ini dipertahankan pada peningkatan besar yang sewenang-wenang dalam model. Kehadiran ukuran yang seragam pada fraktal memungkinkan untuk menerapkan integrasi, teori potensial, untuk menggunakannya sebagai ganti objek standar dalam persamaan yang telah dipelajari.
Dengan pendekatan fraktal, kekacauan berhenti menjadi gangguan biru dan memperoleh struktur yang bagus. Ilmu fraktal masih sangat muda dan memiliki masa depan yang cerah. Keindahan fraktal masih jauh dari kata habis dan masih akan memberi kita banyak mahakarya - yang menyenangkan mata, dan yang membawa kesenangan sejati bagi pikiran.

Tentang membangun fraktal

Metode pendekatan berurutan

Melihat gambar ini, tidak sulit untuk memahami bagaimana fraktal serupa diri (dalam hal ini, piramida Sierpinski) dapat dibangun. Kita perlu mengambil piramida biasa (tetrahedron), lalu memotong bagian tengahnya (oktahedron), sebagai hasilnya kita mendapatkan empat piramida kecil. Dengan masing-masing dari mereka kami melakukan operasi yang sama, dan seterusnya. Ini adalah penjelasan yang agak naif, tetapi ilustratif.

Mari kita pertimbangkan esensi dari metode ini dengan lebih ketat. Biarkan ada beberapa sistem IFS, mis. sistem pemetaan kontraksi S=(S 1 ,...,S m ) S i:R n ->R n (misalnya, untuk piramida kami, pemetaannya terlihat seperti S i (x)=1/2*x+o i , di mana o i berada simpul dari tetrahedron, i=1,..,4). Kemudian kami memilih beberapa himpunan kompak A 1 dalam R n (dalam kasus kami, kami memilih tetrahedron). Dan kita tentukan dengan induksi barisan himpunan A k:A k+1 =S 1 (A k) U...U S m (A k). Diketahui bahwa himpunan A k dengan peningkatan k mendekati penarik yang dibutuhkan sistem S.

Perhatikan bahwa setiap iterasi ini adalah penarik sistem berulang dari fungsi iterasi(istilah bahasa Inggris DigraphIFS, RIFS dan juga IFS berarah grafik) dan oleh karena itu mudah dibuat dengan program kami.

Konstruksi dengan poin atau metode probabilistik

Ini adalah metode termudah untuk diterapkan di komputer. Untuk kesederhanaan, pertimbangkan kasus himpunan self-affine datar. Jadi ayo

) adalah beberapa sistem kontraksi affine. Pemetaan

direpresentasikan sebagai: S

Matriks tetap berukuran 2x2 dan o

Kolom vektor dua dimensi.

• Mari kita ambil titik tetap dari pemetaan pertama S 1 sebagai titik awal:
  x:=o1;
  Di sini kita menggunakan fakta bahwa semua titik kontraksi tetap S 1 ,..,S m milik fraktal. Titik arbitrer dapat dipilih sebagai titik awal dan urutan titik yang dihasilkannya akan menyusut menjadi fraktal, tetapi kemudian beberapa titik tambahan akan muncul di layar.
• Perhatikan titik saat ini x=(x 1 ,x 2) pada layar:
  putpixel(x 1 ,x 2 ,15);
• Kami secara acak memilih nomor j dari 1 hingga m dan menghitung ulang koordinat titik x:
  j:=Acak(m)+1;
  x:=Sj (x);
• Kami pergi ke langkah 2, atau, jika kami telah melakukan sejumlah besar iterasi, maka kami berhenti.

Catatan. Jika koefisien kompresi pemetaan S i berbeda, maka fraktal akan terisi titik-titik secara tidak merata. Jika pemetaan S i adalah kesamaan, hal ini dapat dihindari dengan sedikit memperumit algoritma. Untuk melakukan ini, pada langkah ke-3 algoritma, angka j dari 1 hingga m harus dipilih dengan probabilitas p 1 =r 1 s ,..,p m =r m s , di mana r i menunjukkan koefisien kontraksi pemetaan S i , dan jumlah s (disebut dimensi kesamaan) ditemukan dari persamaan r 1 s +...+r m s =1. Solusi persamaan ini dapat ditemukan, misalnya, dengan metode Newton.

Tentang fraktal dan algoritmanya

Fraktal berasal dari kata sifat Latin "fractus", dan dalam terjemahan berarti terdiri dari fragmen, dan kata kerja Latin yang sesuai "frangere" berarti memecah, yaitu membuat fragmen tidak beraturan. Konsep geometri fraktal dan fraktal, yang muncul pada akhir 70-an, telah menjadi mapan dalam kehidupan sehari-hari matematikawan dan programmer sejak pertengahan 80-an. Istilah ini diusulkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 untuk merujuk pada struktur yang tidak teratur tetapi serupa diri yang ia pelajari. Kelahiran geometri fraktal biasanya dikaitkan dengan publikasi pada tahun 1977 buku Mandelbrot "Geometri Fraktal Alam" - "Geometri Fraktal Alam". Karya-karyanya menggunakan hasil ilmiah ilmuwan lain yang bekerja pada periode 1875-1925 di bidang yang sama (Poincaré, Fatou, Julia, Kantor, Hausdorff).

Penyesuaian

Izinkan saya membuat beberapa penyesuaian pada algoritme yang diusulkan dalam buku oleh H.-O. Paytgen dan P.H. Richter "The Beauty of Fractals" M. 1993, murni untuk menghilangkan kesalahan ketik dan mempermudah memahami prosesnya, karena setelah mempelajarinya, masih banyak yang menjadi misteri bagi saya. Sayangnya, algoritme yang "dapat dimengerti" dan "sederhana" ini memimpin gaya hidup yang goyang.

Konstruksi fraktal didasarkan pada fungsi nonlinier tertentu dari proses kompleks dengan umpan balik z \u003d z 2 + c karena z dan c adalah bilangan kompleks, maka z \u003d x + iy, c \u003d p + iq, perlu untuk menguraikannya menjadi x dan y untuk menjadi lebih nyata untuk pesawat orang biasa:

x(k+1)=x(k) 2 -y(k) 2 + p,
y(k+1)=2*x(k)*y(k) + q.

Bidang yang terdiri dari semua pasangan (x, y) dapat dianggap memiliki nilai tetap p dan q, serta untuk yang dinamis. Dalam kasus pertama, menyortir semua titik (x, y) bidang menurut hukum dan mewarnai mereka tergantung pada jumlah pengulangan fungsi yang diperlukan untuk keluar dari proses iteratif atau tidak mewarnai (hitam) ketika maksimum yang diijinkan pengulangan meningkat, kita mendapatkan pemetaan himpunan Julia. Jika, sebaliknya, kami menentukan pasangan nilai awal (x, y) dan melacak nasib warnanya dengan nilai parameter p dan q yang berubah secara dinamis, maka kami mendapatkan gambar yang disebut himpunan Mandelbrot.

Pada pertanyaan tentang algoritma pewarnaan fraktal.

Biasanya tubuh himpunan direpresentasikan sebagai bidang hitam, meskipun jelas bahwa warna hitam dapat diganti dengan yang lain, tetapi ini juga merupakan hasil yang tidak menarik. Untuk mendapatkan gambar himpunan yang dicat dalam semua warna adalah tugas yang tidak dapat diselesaikan menggunakan operasi siklik, karena jumlah iterasi yang membentuk tubuh himpunan sama dengan jumlah maksimum yang mungkin dan selalu sama. Dimungkinkan untuk mewarnai himpunan dalam warna yang berbeda dengan menggunakan hasil pemeriksaan kondisi keluar dari loop (z_magnitude) sebagai nomor warna atau serupa dengan itu, tetapi dengan operasi matematika lainnya.

Penerapan "mikroskop fraktal"

untuk menunjukkan fenomena perbatasan.

Attractors adalah pusat memimpin perjuangan untuk dominasi di pesawat. Di antara penarik-penarik ada batas yang mewakili pola berputar-putar. Dengan meningkatkan skala pertimbangan dalam batas-batas himpunan, seseorang dapat memperoleh pola non-sepele yang mencerminkan keadaan kekacauan deterministik - fenomena umum di dunia alami.

Objek yang dipelajari oleh ahli geografi membentuk suatu sistem dengan batas-batas yang terorganisir dengan sangat kompleks, sehingga implementasinya menjadi tugas praktis yang sulit. Kompleks alami memiliki inti khas yang bertindak sebagai penarik yang kehilangan kekuatan pengaruhnya di wilayah saat bergerak menjauh.

Menggunakan mikroskop fraktal untuk set Mandelbrot dan Julia, seseorang dapat membentuk gagasan tentang proses batas dan fenomena yang sama kompleksnya terlepas dari skala pertimbangan dan dengan demikian mempersiapkan persepsi spesialis untuk pertemuan dengan dinamika dan tampaknya kacau. dalam ruang dan waktu objek alam, untuk memahami sifat geometri fraktal. Warna-warni warna dan musik fraktal pasti akan meninggalkan bekas yang mendalam di benak siswa.

Ribuan publikasi dan sumber daya Internet yang besar dikhususkan untuk fraktal, namun, bagi banyak spesialis yang jauh dari ilmu komputer, istilah ini tampaknya benar-benar baru. Fraktal, sebagai objek yang menarik bagi spesialis di berbagai bidang pengetahuan, harus mendapatkan tempat yang tepat dalam ilmu komputer.

Contoh

Kisi-kisi SIERPINSKI

Ini adalah salah satu fraktal yang bereksperimen dengan Mandelbrot ketika mengembangkan konsep dimensi dan iterasi fraktal. Segitiga yang dibentuk dengan menggabungkan titik tengah segitiga yang lebih besar dipotong dari segitiga utama untuk membentuk segitiga, dengan lebih banyak lubang. Dalam hal ini, inisiator adalah segitiga besar dan template adalah operasi untuk memotong segitiga serupa dengan yang lebih besar. Anda juga bisa mendapatkan versi 3D segitiga dengan menggunakan tetrahedron biasa dan memotong tetrahedra yang lebih kecil. Dimensi fraktal tersebut adalah ln3/ln2 = 1.584962501. Untuk memperoleh Karpet Sierpinski, ambil persegi, bagi menjadi sembilan kotak, dan gunting bagian tengahnya. Kami akan melakukan hal yang sama dengan sisanya, kotak yang lebih kecil. Pada akhirnya, kisi fraktal datar terbentuk, yang tidak memiliki luas, tetapi dengan koneksi tak terbatas. Dalam bentuk spasialnya, spons Sierpinski ditransformasikan ke dalam sistem bentuk-bentuk, di mana setiap elemen terus-menerus digantikan oleh jenisnya sendiri. Struktur ini sangat mirip dengan bagian jaringan tulang. Suatu hari struktur berulang seperti itu akan menjadi elemen struktur bangunan. Statika dan dinamika mereka, menurut Mandelbrot, patut dipelajari dengan cermat.

KURVA KOCH

Kurva Koch adalah salah satu fraktal deterministik yang paling umum. Itu ditemukan pada abad kesembilan belas oleh seorang ahli matematika Jerman bernama Helge von Koch, yang, ketika mempelajari karya Georg Kontor dan Karl Weierstraße, menemukan deskripsi beberapa kurva aneh dengan perilaku yang tidak biasa. Inisiator - saluran langsung. Generator adalah segitiga sama sisi, sisi-sisinya sama dengan sepertiga dari panjang segmen yang lebih besar. Segitiga ini ditambahkan ke tengah setiap segmen berulang-ulang. Dalam penelitiannya, Mandelbrot banyak bereksperimen dengan kurva Koch, dan memperoleh angka-angka seperti Kepulauan Koch, Koch Crosses, Koch Snowflakes, dan bahkan representasi tiga dimensi dari kurva Koch dengan menggunakan tetrahedron dan menambahkan tetrahedra yang lebih kecil ke setiap wajahnya. Kurva Koch memiliki dimensi ln4/ln3 = 1.261859507.

Mandelbrot Fraktal

Ini BUKAN set Mandelbrot yang sering Anda lihat. Himpunan Mandelbrot didasarkan pada persamaan non-linier dan merupakan fraktal kompleks. Ini juga merupakan varian dari kurva Koch, meskipun faktanya objek ini tidak terlihat seperti itu. Inisiator dan generator juga berbeda dari yang digunakan untuk membuat fraktal berdasarkan prinsip kurva Koch, tetapi idenya tetap sama. Alih-alih melampirkan segitiga sama sisi ke segmen kurva, kotak melekat pada persegi. Karena fakta bahwa fraktal ini menempati tepat setengah dari ruang yang dialokasikan pada setiap iterasi, ia memiliki dimensi fraktal sederhana 3/2 = 1,5.

PENTAGON DARER

Fraktal terlihat seperti sekelompok segi lima yang diperas. Bahkan, itu dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki, rasio sisi terbesar ke terkecil di mana persis sama dengan apa yang disebut rasio emas (1.618033989 atau 1/(2cos72)) sebagai generator . Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah setiap segi lima, menghasilkan bentuk yang tampak seperti 5 segi lima kecil yang direkatkan ke satu segi lima besar. Varian fraktal ini dapat diperoleh dengan menggunakan segi enam sebagai inisiator. Fraktal ini disebut Bintang Daud dan sangat mirip dengan versi heksagonal Kepingan Salju Koch. Dimensi fraktal dari segi lima Darer adalah ln6/ln(1+g), di mana g adalah rasio panjang sisi yang lebih besar dari segitiga dengan panjang sisi yang lebih kecil. Dalam hal ini, g adalah Rasio Emas, jadi dimensi fraktalnya kira-kira 1,86171596. Dimensi fraktal Bintang Daud adalah ln6/ln3 atau 1.630929754.

Fraktal kompleks

Faktanya, jika Anda memperbesar area kecil dari setiap fraktal kompleks dan kemudian melakukan hal yang sama pada area kecil dari area itu, kedua perbesaran akan sangat berbeda satu sama lain. Kedua gambar akan sangat mirip secara detail, tetapi mereka tidak akan sepenuhnya identik.

Gambar 1. Perkiraan himpunan Mandelbrot

Bandingkan, misalnya, gambar himpunan Mandelbrot yang ditampilkan di sini, salah satunya diperoleh dengan meningkatkan beberapa area dari yang lain. Seperti yang Anda lihat, mereka sama sekali tidak identik, meskipun pada keduanya kita melihat lingkaran hitam, dari mana tentakel yang menyala pergi ke arah yang berbeda. Elemen-elemen ini berulang tanpa batas dalam himpunan Mandelbrot dalam proporsi yang menurun.

Fraktal deterministik adalah linier, sedangkan fraktal kompleks tidak. Menjadi non-linear, fraktal ini dihasilkan oleh apa yang disebut Mandelbrot sebagai persamaan aljabar non-linear. Contoh yang baik adalah proses Zn+1=ZnІ + C, yang merupakan persamaan yang digunakan untuk membangun himpunan Mandelbrot dan Julia derajat kedua. Memecahkan persamaan matematika ini melibatkan bilangan kompleks dan imajiner. Ketika persamaan diinterpretasikan secara grafis dalam bidang kompleks, hasilnya adalah sosok aneh di mana garis lurus berubah menjadi kurva, efek kesamaan diri muncul di berbagai tingkat skala, meskipun bukan tanpa deformasi. Pada saat yang sama, seluruh gambar secara keseluruhan tidak dapat diprediksi dan sangat kacau.

Seperti yang Anda lihat dengan melihat gambar, fraktal kompleks memang sangat kompleks dan tidak mungkin dibuat tanpa bantuan komputer. Untuk mendapatkan hasil yang penuh warna, komputer ini harus memiliki koprosesor matematika yang kuat dan monitor resolusi tinggi. Tidak seperti fraktal deterministik, fraktal kompleks tidak dihitung dalam 5-10 iterasi. Hampir setiap titik di layar komputer seperti fraktal terpisah. Selama pemrosesan matematika, setiap titik diperlakukan sebagai pola yang terpisah. Setiap poin sesuai dengan nilai tertentu. Persamaan dibangun untuk setiap titik dan dilakukan, misalnya, 1000 iterasi. Untuk mendapatkan gambar yang relatif tidak terdistorsi dalam periode waktu yang dapat diterima untuk komputer rumahan, dimungkinkan untuk melakukan 250 iterasi untuk satu titik.

Sebagian besar fraktal yang kita lihat hari ini berwarna indah. Mungkin gambar fraktal telah memperoleh nilai estetika yang begitu besar justru karena skema warnanya. Setelah persamaan dihitung, komputer menganalisis hasilnya. Jika hasilnya tetap stabil, atau berfluktuasi di sekitar nilai tertentu, titik biasanya akan berubah menjadi hitam. Jika nilai pada satu atau lain langkah cenderung tak terhingga, titik tersebut dicat dengan warna yang berbeda, mungkin biru atau merah. Selama proses ini, komputer memberikan warna untuk semua kecepatan gerakan.

Biasanya, titik-titik yang bergerak cepat dicat merah, sedangkan yang lebih lambat berwarna kuning, dan seterusnya. Titik-titik gelap mungkin yang paling stabil.

Fraktal kompleks berbeda dari fraktal deterministik karena mereka sangat kompleks, namun dapat dihasilkan dengan rumus yang sangat sederhana. Fraktal deterministik tidak membutuhkan rumus atau persamaan. Ambil saja kertas gambar dan Anda dapat membuat saringan Sierpinski hingga 3 atau 4 iterasi tanpa kesulitan. Cobalah untuk melakukannya dengan banyak Julia! Lebih mudah untuk mengukur panjang garis pantai Inggris!

SET MANDERBROT

Gambar 2. Himpunan Mandelbrot

Himpunan Mandelbrot dan Julia mungkin adalah dua yang paling umum di antara fraktal kompleks. Mereka dapat ditemukan di banyak jurnal ilmiah, sampul buku, kartu pos, dan screen saver komputer. Himpunan Mandelbrot, yang dibuat oleh Benoit Mandelbrot, mungkin merupakan asosiasi pertama yang dimiliki orang ketika mereka mendengar kata fraktal. Fraktal ini, menyerupai kartu dengan pohon bercahaya dan area lingkaran yang melekat padanya, dihasilkan oleh rumus sederhana Zn+1=Zna+C, di mana Z dan C adalah bilangan kompleks dan a adalah bilangan positif.

Himpunan Mandelbrot yang paling sering terlihat adalah himpunan Mandelbrot derajat 2, yaitu a=2. Fakta bahwa himpunan Mandelbrot tidak hanya Zn+1=ZnІ+C, tetapi sebuah fraktal, eksponen dalam rumus yang dapat berupa bilangan positif apa pun, menyesatkan banyak orang. Di halaman ini Anda melihat contoh himpunan Mandelbrot untuk berbagai nilai eksponen a.
Gambar 3. Munculnya gelembung pada a=3.5

Proses Z=Z*tg(Z+C) juga populer. Berkat penyertaan fungsi tangen, himpunan Mandelbrot diperoleh, dikelilingi oleh area yang menyerupai apel. Saat menggunakan fungsi kosinus, efek gelembung udara diperoleh. Singkatnya, ada banyak cara untuk mengubah set Mandelbrot untuk menghasilkan berbagai gambar yang indah.

GANDA JULI

Anehnya, himpunan Julia dibentuk menurut rumus yang sama dengan himpunan Mandelbrot. Himpunan Julia ditemukan oleh ahli matematika Prancis Gaston Julia, yang kemudian dinamai demikian. Pertanyaan pertama yang muncul setelah pengenalan visual dengan himpunan Mandelbrot dan Julia adalah "jika kedua fraktal dihasilkan oleh rumus yang sama, mengapa mereka begitu berbeda?" Pertama melihat gambar set Julia. Anehnya, ada berbagai jenis set Julia. Saat menggambar fraktal menggunakan titik awal yang berbeda (untuk memulai proses iterasi), gambar yang berbeda dihasilkan. Ini hanya berlaku untuk set Julia.

Gambar 4. Julia set

Meskipun tidak dapat dilihat pada gambar, fraktal Mandelbrot sebenarnya adalah sekumpulan fraktal Julia yang terhubung bersama. Setiap titik (atau koordinat) dari himpunan Mandelbrot sesuai dengan fraktal Julia. Himpunan Julia dapat dibangkitkan menggunakan titik-titik ini sebagai nilai awal dalam persamaan Z=ZI+C. Tetapi ini tidak berarti bahwa jika Anda memilih titik pada fraktal Mandelbrot dan meningkatkannya, Anda bisa mendapatkan fraktal Julia. Kedua poin ini identik, tetapi hanya dalam arti matematis. Jika kita mengambil titik ini dan menghitungnya sesuai dengan rumus ini, kita bisa mendapatkan fraktal Julia yang sesuai dengan titik tertentu dari fraktal Mandelbrot.

fraktal

Fraktal (lat. fraktus- hancur, patah, pecah) - sosok geometris yang memiliki sifat kesamaan diri, yaitu, terdiri dari beberapa bagian, yang masing-masing mirip dengan keseluruhan gambar secara keseluruhan. Dalam matematika, fraktal dipahami sebagai himpunan dari titik dalam ruang Euclidean yang memiliki dimensi metrik pecahan (dalam pengertian Minkowski atau Hausdorff), atau dimensi metrik selain topologi. Fraktasme adalah ilmu eksakta independen yang mempelajari dan menyusun fraktal.

Dengan kata lain, fraktal adalah benda-benda geometris dengan dimensi pecahan. Misalnya, dimensi garis adalah 1, luas adalah 2, dan volume adalah 3. Untuk fraktal, nilai dimensi dapat antara 1 dan 2 atau antara 2 dan 3. Misalnya, dimensi fraktal dari kusut bola kertas kira-kira 2,5. Dalam matematika, ada rumus kompleks khusus untuk menghitung dimensi fraktal. Konsekuensi dari tabung trakea, daun di pohon, pembuluh darah di lengan, sungai adalah fraktal. Dalam istilah sederhana, fraktal adalah sosok geometris, bagian tertentu yang berulang-ulang, berubah ukuran - ini adalah prinsip kesamaan diri. Fraktal mirip dengan diri mereka sendiri, mereka mirip dengan diri mereka sendiri di semua tingkatan (yaitu, pada skala apa pun). Ada banyak jenis fraktal. Pada prinsipnya, dapat dikatakan bahwa segala sesuatu yang ada di dunia nyata adalah fraktal, apakah itu awan atau molekul oksigen.

Kata "kekacauan" menunjukkan sesuatu yang tidak dapat diprediksi, tetapi pada kenyataannya, kekacauan cukup teratur dan mematuhi hukum-hukum tertentu. Tujuan mempelajari kekacauan dan fraktal adalah untuk memprediksi pola yang, pada pandangan pertama, mungkin tampak tidak terduga dan benar-benar kacau.

Pelopor dalam bidang pengetahuan ini adalah matematikawan Prancis-Amerika, Profesor Benoit B. Mandelbrot. Pada pertengahan 1960-an, ia mengembangkan geometri fraktal, yang bertujuan untuk menganalisis bentuk yang rusak, berkerut, dan kabur. Himpunan Mandelbrot (ditunjukkan pada gambar) adalah asosiasi pertama yang dimiliki seseorang ketika dia mendengar kata "fraktal". Omong-omong, Mandelbrot menentukan bahwa dimensi fraktal dari garis pantai Inggris adalah 1,25.

Fraktal semakin banyak digunakan dalam sains. Mereka menggambarkan dunia nyata bahkan lebih baik daripada fisika atau matematika tradisional. Gerakan Brown adalah, misalnya, gerakan acak dan kacau dari partikel debu yang tersuspensi dalam air. Jenis gerakan ini mungkin merupakan aspek paling praktis dari geometri fraktal. Gerak Brown acak memiliki respons frekuensi yang dapat digunakan untuk memprediksi fenomena yang melibatkan sejumlah besar data dan statistik. Misalnya, Mandelbrot meramalkan perubahan harga wol menggunakan gerak Brown.

Kata "fraktal" dapat digunakan tidak hanya sebagai istilah matematika. Fraktal dalam pers dan literatur sains populer dapat disebut figur yang memiliki salah satu dari sifat-sifat berikut:

Ini memiliki struktur non-sepele di semua skala. Inilah perbedaan dari bangun biasa (seperti lingkaran, elips, grafik fungsi halus): jika kita perhatikan pecahan kecil dari bangun biasa dalam skala yang sangat besar, itu akan terlihat seperti pecahan garis lurus . Untuk fraktal, memperbesar tidak mengarah pada penyederhanaan struktur, pada semua skala kita akan melihat gambar yang sama kompleksnya.

Ini mirip dengan diri sendiri atau hampir mirip dengan diri sendiri.

Ini memiliki dimensi metrik fraksional atau dimensi metrik yang lebih unggul dari yang topologis.

Penggunaan fraktal yang paling berguna dalam komputasi adalah kompresi data fraktal. Pada saat yang sama, gambar dikompresi jauh lebih baik daripada yang dilakukan dengan metode konvensional - hingga 600:1. Keuntungan lain dari kompresi fraktal adalah ketika Anda memperbesar, tidak ada efek pikselasi yang memperburuk gambar secara drastis. Selain itu, gambar yang dikompresi secara fraktal setelah pembesaran sering kali terlihat lebih baik dari sebelumnya. Ilmuwan komputer juga tahu bahwa fraktal dengan kompleksitas dan keindahan tak terbatas dapat dihasilkan dengan rumus sederhana. Industri film memanfaatkan teknologi grafis fraktal secara ekstensif untuk menciptakan elemen lanskap yang realistis (awan, batu, dan bayangan).

Studi turbulensi dalam aliran beradaptasi dengan sangat baik untuk fraktal. Hal ini memungkinkan pemahaman yang lebih baik tentang dinamika aliran yang kompleks. Api juga dapat dimodelkan menggunakan fraktal. Bahan berpori terwakili dengan baik dalam bentuk fraktal karena fakta bahwa mereka memiliki geometri yang sangat kompleks. Untuk mengirimkan data jarak jauh, antena berbentuk fraktal digunakan, yang sangat mengurangi ukuran dan beratnya. Fraktal digunakan untuk menggambarkan kelengkungan permukaan. Permukaan yang tidak rata dicirikan oleh kombinasi dua fraktal yang berbeda.

Banyak objek di alam yang memiliki sifat fraktal, seperti pantai, awan, tajuk pohon, kepingan salju, sistem peredaran darah, dan sistem alveolus manusia atau hewan.

Fraktal, terutama di pesawat, populer karena kombinasi keindahan dan kemudahan konstruksinya dengan komputer.

Contoh pertama himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa muncul pada abad ke-19 (misalnya, fungsi Bolzano, fungsi Weierstrass, himpunan Cantor). Istilah "fraktal" diperkenalkan oleh Benoit Mandelbrot pada tahun 1975 dan mendapatkan popularitas luas dengan merilis bukunya "The Fraktal Geometri Alam" pada tahun 1977.

Gambar di sebelah kiri menunjukkan fraktal Darer Pentagon sebagai contoh sederhana, yang terlihat seperti sekelompok pentagon yang disatukan. Bahkan, itu dibentuk dengan menggunakan segi lima sebagai inisiator dan segitiga sama kaki, rasio sisi terbesar ke terkecil di mana persis sama dengan apa yang disebut rasio emas (1.618033989 atau 1/(2cos72°)) sebagai generator. Segitiga-segitiga ini dipotong dari tengah setiap segi lima, menghasilkan bentuk yang tampak seperti 5 segi lima kecil yang direkatkan ke satu segi lima besar.

Teori kekacauan mengatakan bahwa sistem nonlinier yang kompleks secara turun-temurun tidak dapat diprediksi, tetapi pada saat yang sama ia mengklaim bahwa cara mengekspresikan sistem yang tidak dapat diprediksi tersebut ternyata benar bukan dalam persamaan yang tepat, tetapi dalam representasi perilaku sistem - dalam grafik penarik aneh yang terlihat seperti fraktal. Jadi teori chaos, yang dianggap oleh banyak orang sebagai ketidakpastian, ternyata menjadi ilmu prediktabilitas bahkan dalam sistem yang paling tidak stabil. Doktrin sistem dinamis menunjukkan bahwa persamaan sederhana dapat menghasilkan perilaku kacau seperti itu di mana sistem tidak pernah kembali ke keadaan stabil dan tidak ada keteraturan yang muncul pada saat yang sama. Seringkali sistem seperti itu berperilaku cukup normal hingga nilai tertentu dari parameter kunci, kemudian mengalami transisi di mana ada dua kemungkinan untuk pengembangan lebih lanjut, kemudian empat, dan akhirnya serangkaian kemungkinan yang kacau.

Skema proses yang terjadi dalam objek teknis memiliki struktur fraktal yang jelas. Struktur sistem teknis minimum (TS) menyiratkan aliran dalam TS dari dua jenis proses - yang utama dan yang mendukung, dan pembagian ini bersyarat dan relatif. Setiap proses dapat menjadi yang utama dalam kaitannya dengan yang mendukung, dan setiap proses pendukung dapat dianggap sebagai yang utama dalam kaitannya dengan proses pendukung "mereka". Lingkaran dalam diagram menunjukkan efek fisik yang memastikan aliran proses tersebut, yang tidak perlu secara khusus membuat TS "milik sendiri". Proses-proses tersebut merupakan hasil interaksi antara zat, medan, zat dan medan. Tepatnya, efek fisik adalah kendaraan, prinsip yang tidak dapat kita pengaruhi, dan kita tidak ingin atau tidak memiliki kesempatan untuk mengganggu strukturnya.

Alur proses utama yang ditunjukkan pada diagram dipastikan dengan adanya tiga proses pendukung yang merupakan proses utama untuk TS yang menghasilkannya. Demi keadilan, kami mencatat bahwa untuk berfungsinya bahkan TS minimal, tiga proses jelas tidak cukup, yaitu. skema ini sangat, sangat dilebih-lebihkan.

Semuanya tidak sesederhana yang ditunjukkan pada diagram. Proses yang berguna (diperlukan untuk seseorang) tidak dapat dilakukan dengan efisiensi 100%. Energi yang hilang dihabiskan untuk menciptakan proses berbahaya - pemanasan, getaran, dll. Akibatnya, sejalan dengan proses yang bermanfaat, yang merugikan muncul. Tidak selalu mungkin untuk mengganti proses "buruk" dengan yang "baik", jadi proses baru harus diatur untuk mengimbangi konsekuensi yang berbahaya bagi sistem. Contoh tipikal adalah kebutuhan untuk memerangi gesekan, yang memaksa seseorang untuk mengatur skema pelumasan yang cerdik, menggunakan bahan anti-gesekan yang mahal, atau menghabiskan waktu untuk melumasi komponen dan suku cadang atau menggantinya secara berkala.

Sehubungan dengan adanya pengaruh yang tak terhindarkan dari Lingkungan yang dapat berubah, proses yang bermanfaat mungkin perlu dikendalikan. Manajemen dapat dilakukan baik dengan bantuan perangkat otomatis, dan langsung oleh seseorang. Diagram proses sebenarnya adalah seperangkat perintah khusus, mis. algoritma. Esensi (deskripsi) dari setiap perintah adalah kombinasi dari satu proses yang berguna, yang menyertai proses berbahaya dan serangkaian proses kontrol yang diperlukan. Dalam algoritma seperti itu, himpunan proses pendukung adalah subrutin biasa - dan di sini kita juga menemukan fraktal. Metode R. Koller, dibuat seperempat abad yang lalu, memungkinkan untuk membuat sistem dengan kumpulan fungsi (proses) yang cukup terbatas hanya 12 pasang.

Himpunan serupa diri dengan sifat yang tidak biasa dalam matematika

Mulai dari akhir abad ke-19, contoh objek serupa diri dengan sifat patologis dari sudut pandang analisis klasik muncul dalam matematika. Ini termasuk yang berikut:

set Cantor adalah set sempurna yang tak terhitung jumlahnya. Dengan memodifikasi prosedur, seseorang juga dapat memperoleh himpunan panjang positif yang tidak padat.

segitiga Sierpinski ("taplak meja") dan karpet Sierpinski adalah analog dari set Cantor di pesawat.

Spons Menger - analog dari Cantor yang diatur dalam ruang tiga dimensi;

contoh oleh Weierstrass dan van der Waerden dari fungsi kontinu yang tidak terdiferensiasi di mana pun.

Kurva Koch - kurva kontinu yang tidak berpotongan dengan panjang tak terhingga yang tidak memiliki garis singgung di titik mana pun;

kurva Peano adalah kurva kontinu yang melalui semua titik bujur sangkar.

lintasan partikel Brown juga tidak terdiferensiasikan dengan probabilitas 1. Dimensi Hausdorff-nya adalah dua

Prosedur rekursif untuk mendapatkan kurva fraktal

Konstruksi kurva Koch

Ada prosedur rekursif sederhana untuk mendapatkan kurva fraktal di pesawat. Kami mendefinisikan garis putus-putus sewenang-wenang dengan jumlah tautan terbatas, yang disebut generator. Selanjutnya, kami mengganti setiap segmen di dalamnya dengan generator (lebih tepatnya, garis putus-putus mirip dengan generator). Pada garis putus-putus yang dihasilkan, kami kembali mengganti setiap segmen dengan generator. Melanjutkan hingga tak terhingga, pada limit kita mendapatkan kurva fraktal. Gambar di sebelah kanan menunjukkan empat langkah pertama dari prosedur ini untuk kurva Koch.

Contoh kurva tersebut adalah:

kurva naga,

Kurva Koch (kepingan salju Koch),

Kurva Retribusi,

kurva minkowski,

Kurva Hilbert,

Naga patah (kurva) (Fractal Harter-Hateway),

Kurva kacang.

Menggunakan prosedur yang sama, pohon Pythagoras diperoleh.

Fraktal sebagai Titik Tetap Pemetaan Kontraksi

Sifat kesamaan diri dapat dinyatakan secara matematis sebagai berikut. Membiarkan peta kontraksi pesawat. Pertimbangkan pemetaan berikut pada himpunan semua himpunan bagian kompak (tertutup dan terbatas) dari pesawat:

Dapat ditunjukkan bahwa pemetaan tersebut merupakan pemetaan kontraksi pada himpunan himpunan kompak dengan metrik Hausdorff. Oleh karena itu, menurut teorema Banach, pemetaan ini memiliki titik tetap yang unik. Titik tetap ini akan menjadi fraktal kita.

Prosedur rekursif untuk mendapatkan kurva fraktal yang dijelaskan di atas adalah kasus khusus dari konstruksi ini. Di dalamnya, semua pemetaan adalah pemetaan kesamaan, dan merupakan jumlah tautan generator.

Untuk segitiga Sierpinski dan pemetaan , , adalah homoteties dengan pusat-pusat di simpul-simpul segitiga beraturan dan koefisien 1/2. Sangat mudah untuk melihat bahwa segitiga Sierpinski berubah menjadi dirinya sendiri di bawah pemetaan.

Dalam kasus ketika pemetaan adalah transformasi kesamaan dengan koefisien , dimensi fraktal (dalam beberapa kondisi teknis tambahan) dapat dihitung sebagai solusi untuk persamaan . Jadi, untuk segitiga Sierpinski kita dapatkan .

Menurut teorema Banach yang sama, mulai dari himpunan kompak apa pun dan menerapkan iterasi pemetaan padanya, kita memperoleh urutan himpunan kompak yang konvergen (dalam pengertian metrik Hausdorff) ke fraktal kita.

Fraktal dalam dinamika kompleks

Julia set

Satu set Julia

Fraktal secara alami muncul dalam studi sistem dinamis nonlinier. Kasus yang paling banyak dipelajari adalah ketika sistem dinamik didefinisikan oleh iterasi fungsi polinomial atau holomorfik dari variabel kompleks pada bidang. Penelitian pertama di bidang ini dimulai pada awal abad ke-20 dan dikaitkan dengan nama Fatou dan Julia.

Biarlah F(z) - polinomial, z 0 adalah bilangan kompleks. Perhatikan urutan berikut: z 0 , z 1 =F(z 0), z 2 =F(F(z 0)) = F(z 1),z 3 =F(F(F(z 0)))=F(z 2), …

Kami tertarik pada perilaku urutan ini karena kami cenderung n hingga tak terbatas. Urutan ini dapat:

berjuang untuk tak terbatas

berjuang untuk yang terakhir

menunjukkan perilaku siklik dalam batas, misalnya: z 1 , z 2 , z 3 , z 1 , z 2 , z 3 , …

untuk berperilaku kacau, yaitu, tidak menunjukkan salah satu dari tiga jenis perilaku yang disebutkan.

Seperangkat nilai z 0 , yang urutannya menunjukkan satu jenis perilaku tertentu, serta kumpulan titik bifurkasi antara jenis yang berbeda, sering kali memiliki sifat fraktal.

Jadi, himpunan Julia adalah himpunan titik bifurkasi untuk polinomial F(z)=z 2 +c(atau fungsi serupa lainnya), yaitu, nilai-nilai itu z 0 , yang perilaku urutannya ( z n) dapat berubah secara dramatis dengan perubahan kecil yang sewenang-wenang z 0 .

Pilihan lain untuk mendapatkan himpunan fraktal adalah dengan memasukkan parameter ke dalam polinomial F(z) dan mempertimbangkan himpunan nilai parameter yang urutannya ( z n) menunjukkan perilaku tertentu untuk tetap z 0 . Jadi, himpunan Mandelbrot adalah himpunan semua yang ( z n) untuk F(z)=z 2 +c dan z 0 tidak menuju tak terhingga.

Contoh lain yang terkenal dari jenis ini adalah kolam Newton.

Sangat populer untuk membuat gambar grafis yang indah berdasarkan dinamika kompleks dengan mewarnai titik bidang tergantung pada perilaku sistem dinamis yang sesuai. Misalnya, untuk melengkapi set Mandelbrot, Anda dapat mewarnai titik tergantung pada kecepatan usaha ( z n) hingga tak terhingga (didefinisikan, katakanlah, sebagai bilangan terkecil n, di mana | z n| melebihi nilai besar tetap A.

Biomorf adalah fraktal yang dibangun atas dasar dinamika kompleks dan menyerupai organisme hidup.

Fraktal stokastik

Fraktal acak berdasarkan himpunan Julia

Benda-benda alam seringkali memiliki bentuk fraktal. Untuk pemodelannya, fraktal stokastik (acak) dapat digunakan. Contoh fraktal stokastik:

lintasan gerak Brown pada bidang dan ruang;

batas lintasan gerak Brown pada bidang. Pada tahun 2001, Lawler, Schramm, dan Werner membuktikan dugaan Mandelbrot bahwa dimensinya adalah 4/3.

Evolusi Schramm-Löwner adalah kurva fraktal invarian konformal yang muncul dalam model mekanika statistik dua dimensi kritis, misalnya, dalam model Ising dan perkolasi.

berbagai jenis fraktal acak, yaitu fraktal yang diperoleh dengan menggunakan prosedur rekursif, di mana parameter acak diperkenalkan pada setiap langkah. Plasma adalah contoh penggunaan fraktal seperti itu dalam grafik komputer.

Di alam

Tampak depan trakea dan bronkus

pohon bronkial

jaringan pembuluh darah

Aplikasi

Ilmu pengetahuan Alam

Dalam fisika, fraktal secara alami muncul ketika memodelkan proses nonlinier, seperti aliran fluida turbulen, proses difusi-adsorpsi kompleks, api, awan, dll. Fraktal digunakan saat memodelkan bahan berpori, misalnya, dalam petrokimia. Dalam biologi, mereka digunakan untuk memodelkan populasi dan untuk menggambarkan sistem organ dalam (sistem pembuluh darah).

Teknik radio

antena fraktal

Penggunaan geometri fraktal dalam desain perangkat antena pertama kali diterapkan oleh insinyur Amerika Nathan Cohen, yang kemudian tinggal di pusat kota Boston, di mana dilarang memasang antena eksternal pada bangunan. Nathan memotong sebuah gambar berbentuk kurva Koch dari aluminium foil dan menempelkannya pada selembar kertas, lalu menempelkannya pada receiver. Cohen mendirikan perusahaannya sendiri dan meluncurkan produksi serial mereka.

Informatika

Kompresi Gambar

Artikel utama: Algoritma Kompresi Fraktal

pohon fraktal

Ada algoritma kompresi gambar menggunakan fraktal. Mereka didasarkan pada gagasan bahwa alih-alih gambar itu sendiri, Anda dapat menyimpan peta kontraksi di mana gambar ini (atau beberapa yang dekat dengannya) adalah titik tetap. Salah satu varian dari algoritma ini digunakan [ sumber tidak ditentukan 895 hari] oleh Microsoft saat menerbitkan ensiklopedianya, tetapi algoritme ini tidak digunakan secara luas.

Grafik komputer

Pohon fraktal lainnya

Fraktal banyak digunakan dalam grafik komputer untuk membangun gambar objek alam seperti pohon, semak, lanskap gunung, permukaan laut, dan sebagainya. Ada banyak program yang digunakan untuk menghasilkan gambar fraktal, lihat Fractal Generator (program).

jaringan terdesentralisasi

Sistem penetapan alamat IP Netsukuku menggunakan prinsip kompresi informasi fraktal untuk menyimpan informasi tentang node jaringan secara kompak. Setiap node di jaringan Netsukuku hanya menyimpan 4 KB informasi tentang status node tetangga, sementara setiap node baru terhubung ke jaringan umum tanpa memerlukan regulasi pusat distribusi alamat IP, yang, misalnya, tipikal untuk Internet. Dengan demikian, prinsip kompresi informasi fraktal menjamin operasi jaringan yang sepenuhnya terdesentralisasi, dan karenanya, paling stabil.