Ketik persamaan f(x; sebuah) = 0 disebut persamaan variabel X dan parameter sebuah.

Memecahkan persamaan dengan parameter sebuah Ini berarti bahwa untuk setiap nilai sebuah temukan nilai X memenuhi persamaan ini.

Contoh 1 Oh= 0

Contoh 2 Oh = sebuah

Contoh 3

x + 2 = kapak
x - kapak \u003d -2
x (1 - a) \u003d -2

Jika 1 - sebuah= 0, yaitu sebuah= 1, maka X 0 = -2 tanpa akar

Jika 1 - sebuah 0, yaitu sebuah 1, maka X =

Contoh 4

(sebuah 2 – 1) X = 2sebuah 2 + sebuah – 3
(sebuah – 1)(sebuah + 1)X = 2(sebuah – 1)(sebuah – 1,5)
(sebuah – 1)(sebuah + 1)X = (1sebuah – 3)(sebuah – 1)

Jika sebuah sebuah= 1, maka 0 X = 0
X- sembarang bilangan asli

Jika sebuah sebuah= -1, maka 0 X = -2
tidak ada akar

Jika sebuah sebuah 1, sebuah-1 lalu X= (satu-satunya solusi).

Ini berarti bahwa untuk setiap nilai yang valid sebuah cocok dengan satu nilai X.

Sebagai contoh:

jika sebuah= 5, maka X = = ;

jika sebuah= 0, maka X= 3 dst.

Materi didaktik

1. Oh = X + 3

2. 4 + Oh = 3X – 1

3. sebuah = +

pada sebuah= 1 tidak ada akar.

pada sebuah= 3 tanpa akar

pada sebuah = 1 X sembarang bilangan real kecuali X = 1

pada sebuah = -1, sebuah= 0 tidak ada solusi.

pada sebuah = 0, sebuah= 2 tidak ada solusi.

pada sebuah = -3, sebuah = 0, 5, sebuah= -2 tidak ada solusi

pada sebuah = -dengan, dengan= 0 tidak ada solusi.

Persamaan kuadrat dengan parameter

Contoh 1 selesaikan persamaannya

(sebuah – 1)X 2 = 2(2sebuah + 1)X + 4sebuah + 3 = 0

Pada sebuah = 1 6X + 7 = 0

Kapan sebuah 1 pilih nilai-nilai parameter yang D pergi ke nol.

D = (2(2 sebuah + 1)) 2 – 4(sebuah – 1)(4sebuah + 30 = 16sebuah 2 + 16sebuah + 4 – 4(4sebuah 2 + 3sebuah – 4sebuah – 3) = 16sebuah 2 + 16sebuah + 4 – 16sebuah 2 + 4sebuah + 12 = 20sebuah + 16

20sebuah + 16 = 0

20sebuah = -16

Jika sebuah sebuah < -4/5, то D < 0, уравнение имеет действительный корень.

Jika sebuah sebuah> -4/5 dan sebuah 1, maka D > 0,

X =

Jika sebuah sebuah= 4/5, maka D = 0,

Contoh 2 Berapa nilai parameter a persamaan?

x2 + 2( sebuah + 1)X + 9sebuah– 5 = 0 memiliki 2 akar negatif yang berbeda?

D = 4( sebuah + 1) 2 – 4(9sebuah – 5) = 4sebuah 2 – 28sebuah + 24 = 4(sebuah – 1)(sebuah – 6)

4(sebuah – 1)(sebuah – 6) > 0

menurut t.Vieta: X 1 + X 2 = -2(sebuah + 1)
X 1 X 2 = 9sebuah – 5

Dengan kondisi X 1 < 0, X 2 < 0 то –2(sebuah + 1) < 0 и 9sebuah – 5 > 0

Pada akhirnya

4(sebuah – 1)(sebuah – 6) > 0 - 2(sebuah + 1) < 0 9sebuah – 5 > 0

sebuah < 1: а > 6 sebuah > - 1 sebuah > 5/9

(Beras. satu) < sebuah < 1, либо sebuah > 6

Contoh 3 Temukan nilai sebuah yang persamaan ini memiliki solusi.

x 2 - 2( sebuah – 1)X + 2sebuah + 1 = 0

D = 4( sebuah – 1) 2 – 4(2sebuah + 10 = 4sebuah 2 – 8sebuah + 4 – 8sebuah – 4 = 4sebuah 2 – 16sebuah

4sebuah 2 – 16 0

4sebuah(sebuah – 4) 0

sebuah( sebuah – 4)) 0

sebuah( sebuah – 4) = 0

a = 0 atau sebuah – 4 = 0
sebuah = 4

(Beras. 2)

Menjawab: sebuah 0 dan sebuah 4

Materi didaktik

1. Berapa nilainya? sebuah persamaan Oh 2 – (sebuah + 1) X + 2sebuah– 1 = 0 memiliki satu akar?

2. Berapa nilainya? sebuah persamaan ( sebuah + 2) X 2 + 2(sebuah + 2)X+ 2 = 0 memiliki satu akar?

3. Untuk berapa nilai a persamaan tersebut ( sebuah 2 – 6sebuah + 8) X 2 + (sebuah 2 – 4) X + (10 – 3sebuah – sebuah 2) = 0 memiliki lebih dari dua akar?

4. Untuk berapa nilai persamaan 2 X 2 + X – sebuah= 0 memiliki setidaknya satu akar yang sama dengan persamaan 2 X 2 – 7X + 6 = 0?

5. Untuk apa nilai a melakukan persamaan X 2 +Oh+ 1 = 0 dan X 2 + X + sebuah= 0 memiliki setidaknya satu akar yang sama?

1. Kapan sebuah = - 1/7, sebuah = 0, sebuah = 1

2. Kapan sebuah = 0

3. Kapan sebuah = 2

4. Kapan sebuah = 10

5. Kapan? sebuah = - 2

Persamaan Eksponensial dengan Parameter

Contoh 1.Temukan semua nilai sebuah, dimana persamaan

9x - ( sebuah+ 2) * 3 x-1 / x +2 sebuah*3 -2/x = 0 (1) memiliki tepat dua akar.

Keputusan. Mengalikan kedua ruas persamaan (1) dengan 3 2/x, kita memperoleh persamaan yang setara

3 2(x+1/x) – ( sebuah+ 2) * 3 x + 1 / x + 2 sebuah = 0 (2)

Misalkan 3 x+1/x = pada, maka persamaan (2) berbentuk pada 2 – (sebuah + 2)pada + 2sebuah= 0, atau

(pada – 2)(pada – sebuah) = 0, dari mana pada 1 =2, pada 2 = sebuah.

Jika sebuah pada= 2, yaitu 3 x + 1/x = 2 maka X + 1/X= log 3 2 , atau X 2 – X log 3 2 + 1 = 0.

Persamaan ini tidak memiliki akar real karena D= log 2 3 2 – 4< 0.

Jika sebuah pada = sebuah, yaitu 3 x+1/x = sebuah kemudian X + 1/X= log 3 sebuah, atau X 2 –X log 3 a + 1 = 0. (3)

Persamaan (3) memiliki tepat dua akar jika dan hanya jika

D = log 2 3 2 – 4 > 0, atau |log 3 a| > 2.

Jika log 3 a > 2, maka sebuah> 9, dan jika log 3 a< -2, то 0 < sebuah < 1/9.

Jawaban: 0< sebuah < 1/9, sebuah > 9.

Contoh 2. Berapa nilai persamaan 2 2x - ( sebuah - 3) 2 x - 3 sebuah= 0 memiliki solusi?

Agar persamaan yang diberikan memiliki solusi, perlu dan cukup bahwa persamaan t 2 – (sebuah - 3) t – 3sebuah= 0 memiliki setidaknya satu akar positif. Mari kita cari akar-akarnya menggunakan teorema Vieta: X 1 = -3, X 2 = sebuah = >

a adalah bilangan positif.

Jawaban: kapan sebuah > 0

Materi didaktik

1. Temukan semua nilai a yang persamaannya

25 x - (2 sebuah+ 5) * 5 x-1 / x + 10 sebuah* 5 -2/x = 0 memiliki tepat 2 solusi.

2. Untuk berapa nilai a persamaan tersebut?

2 (a-1) x? + 2 (a + 3) x + a \u003d 1/4 memiliki akar tunggal?

3. Untuk apa nilai parameter a persamaan

4 x - (5 sebuah-3) 2 x +4 sebuah 2 – 3sebuah= 0 memiliki solusi unik?

Persamaan Logaritma dengan Parameter

Contoh 1 Temukan semua nilai sebuah, dimana persamaan

log 4x (1 + Oh) = 1/2 (1)

memiliki solusi yang unik.

Keputusan. Persamaan (1) setara dengan persamaan

1 + Oh = 2X pada X > 0, X 1/4 (3)

X = pada

au 2 - pada + 1 = 0 (4)

Kondisi (2) dari (3) tidak terpenuhi.

Biarlah sebuah 0, lalu au 2 – 2pada+ 1 = 0 memiliki akar real jika dan hanya jika D = 4 – 4sebuah 0, yaitu pada sebuah 1. Untuk menyelesaikan pertidaksamaan (3), kita buat grafik fungsi Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Studi mendalam tentang kursus aljabar dan analisis matematis. - M.: Pencerahan, 1990

Kramor V.S.. Kami mengulangi dan mensistematisasikan kursus sekolah aljabar dan awal analisis. – M.: Pencerahan, 1990.

Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I.. Kumpulan masalah dalam aljabar. – M.: Pencerahan, 1994.

Zvavich L.I., Hatter L.Ya. Aljabar dan awal dari analisis. Solusi dari masalah pemeriksaan. – M.: Bustard, 1998.

Makarychev Yu.N. dan lain-lain Materi didaktik pada aljabar 7, 8, 9 sel. - M.: Pendidikan, 2001.

Saakyan S.I., Goldman A.M., Denisov D.V. Masalah dalam aljabar dan awal analisis untuk kelas 10-11. – M.: Pencerahan, 1990.

Jurnal "Matematika di sekolah".

L.S. lappo dan lain-lain.GUNAKAN. tutorial. - M.: Ujian, 2001-2008.

Ke tugas dengan parameter termasuk, misalnya, pencarian solusi untuk persamaan linier dan kuadrat dalam bentuk umum, studi persamaan untuk jumlah akar yang tersedia, tergantung pada nilai parameter.

Tanpa memberikan definisi rinci, pertimbangkan persamaan berikut sebagai contoh:

y = kx, di mana x, y adalah variabel, k adalah parameter;

y = kx + b, di mana x, y adalah variabel, k dan b adalah parameter;

ax 2 + bx + c = 0, di mana x adalah variabel, a, b dan c adalah parameter.

Menyelesaikan persamaan (persamaan, sistem) dengan parameter berarti, sebagai suatu peraturan, untuk memecahkan himpunan persamaan tak terbatas (pertidaksamaan, sistem).

Tugas dengan parameter dapat secara kondisional dibagi menjadi dua jenis:

sebuah) kondisinya mengatakan: selesaikan persamaan (ketidaksamaan, sistem) - ini berarti, untuk semua nilai parameter, temukan semua solusi. Jika setidaknya satu kasus masih belum diselidiki, solusi seperti itu tidak dapat dianggap memuaskan.

b) diperlukan untuk menunjukkan nilai yang mungkin dari parameter yang persamaan (ketidaksamaan, sistem) memiliki sifat tertentu. Misalnya, ia memiliki satu solusi, tidak memiliki solusi, memiliki solusi yang termasuk dalam interval, dll. Dalam tugas seperti itu, perlu untuk secara jelas menunjukkan pada nilai parameter apa kondisi yang diperlukan terpenuhi.

Parameter, sebagai nomor tetap yang tidak diketahui, seolah-olah memiliki dualitas khusus. Pertama-tama, harus diperhitungkan bahwa dugaan ketenaran menunjukkan bahwa parameter harus dianggap sebagai angka. Kedua, kebebasan untuk menangani parameter dibatasi oleh yang tidak diketahui. Jadi, misalnya, operasi pembagian dengan ekspresi di mana ada parameter atau mengekstraksi akar derajat genap dari ekspresi serupa memerlukan penelitian pendahuluan. Oleh karena itu, harus berhati-hati dalam menangani parameter.

Misalnya, untuk membandingkan dua angka -6a dan 3a, tiga kasus perlu dipertimbangkan:

1) -6a akan lebih besar dari 3a jika a adalah bilangan negatif;

2) -6a = 3a dalam kasus ketika a = 0;

3) -6a akan lebih kecil dari 3a jika a adalah bilangan positif 0.

Keputusan akan menjadi jawabannya.

Misalkan persamaan kx = b diberikan. Persamaan ini adalah singkatan untuk himpunan persamaan tak hingga dalam satu variabel.

Saat memecahkan persamaan seperti itu, mungkin ada kasus:

1. Misalkan k adalah sembarang bilangan real bukan nol dan b sembarang bilangan dari R, maka x = b/k.

2. Misalkan k = 0 dan b 0, persamaan aslinya akan berbentuk 0 · x = b. Jelas, persamaan ini tidak memiliki solusi.

3. Misalkan k dan b adalah bilangan-bilangan yang sama dengan nol, maka persamaan kita adalah 0 · x = 0. Penyelesaiannya adalah sembarang bilangan real.

Algoritma untuk memecahkan jenis persamaan ini:

1. Tentukan nilai "kontrol" dari parameter.

2. Selesaikan persamaan asli untuk x dengan nilai parameter yang ditentukan pada paragraf pertama.

3. Selesaikan persamaan asli untuk x dengan nilai parameter yang berbeda dari yang dipilih pada paragraf pertama.

4. Anda dapat menuliskan jawabannya pada form berikut:

1) ketika ... (nilai parameter), persamaan memiliki akar ...;

2) ketika ... (nilai parameter), tidak ada akar dalam persamaan.

Contoh 1

Selesaikan persamaan dengan parameter |6 – x| = a.

Keputusan.

Sangat mudah untuk melihat bahwa di sini a 0.

Dengan aturan modulo 6 – x = ±a, kita nyatakan x:

Jawaban: x = 6 ± a, dimana a 0.

Contoh 2

Selesaikan persamaan a(x - 1) + 2(x - 1) = 0 terhadap variabel x.

Keputusan.

Mari kita buka tanda kurung: ax - a + 2x - 2 \u003d 0

Mari kita tulis persamaan dalam bentuk standar: x(a + 2) = a + 2.

Jika ekspresi a + 2 bukan nol, yaitu jika a -2, kami memiliki solusi x = (a + 2) / (a ​​+ 2), yaitu. x = 1.

Jika a + 2 sama dengan nol, mis. a \u003d -2, maka kita memiliki persamaan yang benar 0 x \u003d 0, oleh karena itu x adalah bilangan real apa pun.

Jawaban: x \u003d 1 untuk -2 dan x € R untuk \u003d -2.

Contoh 3

Selesaikan persamaan x/a + 1 = a + x terhadap variabel x.

Keputusan.

Jika a \u003d 0, maka kami mengubah persamaan menjadi bentuk a + x \u003d a 2 + ax atau (a - 1) x \u003d -a (a - 1). Persamaan terakhir untuk a = 1 memiliki bentuk 0 · x = 0, oleh karena itu, x adalah bilangan apa saja.

Jika a 1, maka persamaan terakhir akan berbentuk x = -a.

Solusi ini dapat diilustrasikan pada garis koordinat (Gbr. 1)

Jawaban: tidak ada solusi untuk a = 0; x - angka apa pun di a = 1; x \u003d -a dengan 0 dan a 1.

Metode grafis

Pertimbangkan cara lain untuk menyelesaikan persamaan dengan parameter - grafis. Cara ini cukup sering digunakan.

Contoh 4

Berapa banyak akar, tergantung pada parameter a, persamaan ||x| – 2| = sebuah?

Keputusan.

Untuk menyelesaikan dengan metode grafis, kita membuat grafik fungsi y = ||x| – 2| dan y = a (Gbr. 2).

Gambar dengan jelas menunjukkan kemungkinan kasus lokasi garis y = a dan jumlah akar di masing-masing garis tersebut.

Jawaban: persamaan tidak akan memiliki akar jika a< 0; два корня будет в случае, если a >2 dan a = 0; persamaan akan memiliki tiga akar dalam kasus a = 2; empat akar - pada 0< a < 2.

Contoh 5

Dimana a persamaan 2|x| + |x – 1| = a memiliki akar tunggal?

Keputusan.

Mari menggambar grafik fungsi y = 2|x| + |x – 1| dan y = a. Untuk y = 2|x| + |x - 1|, memperluas modul dengan metode gap, kita mendapatkan:

(-3x + 1, pada x< 0,

y = (x + 1, untuk 0 x 1,

(3x – 1, untuk x > 1.

pada gambar 3 jelas terlihat bahwa persamaan akan memiliki akar unik hanya jika a = 1.

Jawaban: a = 1.

Contoh 6

Tentukan jumlah penyelesaian persamaan |x + 1| + |x + 2| = a tergantung pada parameter a?

Keputusan.

Grafik fungsi y = |x + 1| + |x + 2| akan menjadi garis putus-putus. Simpulnya akan terletak di titik (-2; 1) dan (-1; 1) (gambar 4).

Jawaban: jika parameter a kurang dari satu, maka persamaan tidak memiliki akar; jika a = 1, maka solusi persamaan tersebut adalah himpunan bilangan tak hingga dari interval [-2; -satu]; jika nilai parameter a lebih besar dari satu, maka persamaan akan memiliki dua akar.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyelesaikan persamaan dengan parameter?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Untuk nilai parameter $a$ berapakah pertidaksamaan $()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0$ memiliki setidaknya satu solusi?

Keputusan

Kami mengurangi ketidaksetaraan ini menjadi koefisien positif untuk $x^2$:

$()-x^2 + (a + 2)x - 8a - 1 > 0 \quad \Leftrightarrow \quad x^2 - (a + 2)x + 8a + 1< 0 .$

Hitung diskriminan: $D = (a + 2)^2 - 4(8a + 1) = a^2 + 4a + 4 - 32a - 4 = a^2 - 28a$. Agar pertidaksamaan ini memiliki solusi, perlu setidaknya satu titik parabola terletak di bawah sumbu $x$. Karena cabang-cabang parabola diarahkan ke atas, ini mengharuskan trinomial kuadrat di sisi kiri pertidaksamaan memiliki dua akar, yaitu, diskriminannya positif. Kita sampai pada kebutuhan untuk menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat $a^2 - 28a > 0$. Trinomial kuadrat $a^2 - 28a$ memiliki dua akar: $a_1 = 0$, $a_2 = 28$. Oleh karena itu, pertidaksamaan $a^2 - 28a > 0$ dipenuhi oleh interval $a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

Menjawab.$a \in (-\infty; 0) \cup (28; + \infty)$.

Untuk nilai parameter $a$ berapakah persamaan $(a-2)x^2-2ax+a+3=0$ memiliki setidaknya satu akar, dan semua akarnya positif?

Keputusan

Misalkan $a=2$. Kemudian persamaan mengambil bentuk $() - 4x +5 = 0$ , dari mana kita mendapatkan bahwa $x=\dfrac(5)(4)$ adalah akar positif.

Sekarang biarkan $a\ne 2$. Ternyata persamaan kuadrat. Mari kita tentukan terlebih dahulu untuk nilai parameter $a$ persamaan yang diberikan memiliki akar. Diskriminannya harus non-negatif. Yaitu:

$ D = 4a^2 - 4(a-2)(a+3) =() -4a+24\geqslant 0\Panah kiri kanan a\leqslant 6.$

Akar harus positif dengan kondisi, oleh karena itu, dari teorema Vieta kita mendapatkan sistem:

$ \begin(cases)x_1 + x_2 = \dfrac(2a)(a - 2)>0,\\ x_1x_2 = \dfrac(a + 3)(a - 2)> 0,\\a\leqslant 6\end (kasus) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases)a\in(- \infty;0)\cup(2; +\infty), \\ a\in(- \infty;-3)\cup( 2; +\infty), \\ a\in(-\infty;6] \end(cases)\quad\Leftrightarrow \quad a\in(-\infty;-3)\cup(2;6].$

Kami menggabungkan jawaban, kami mendapatkan set yang diinginkan: $a\in(-\infty;-3)\cup$.

Menjawab.$a\in(-\infty;-3)\cup$.

Untuk nilai parameter $a$ berapakah pertidaksamaan $ax^2 + 4ax + 5 \leqslant 0$ tidak memiliki solusi?

Keputusan

1. Jika $a = 0$, maka pertidaksamaan ini berubah menjadi pertidaksamaan $5 \leqslant 0$ , yang tidak memiliki solusi. Oleh karena itu, nilai $a = 0$ memenuhi kondisi masalah.
2. Jika $a > 0$, maka grafik trinomial persegi di sisi kiri pertidaksamaan adalah parabola dengan cabang ke atas. Kami menghitung $\dfrac(D)(4) = 4a^2 - 5a$. Pertidaksamaan tidak memiliki solusi jika parabola terletak di atas sumbu x, yaitu ketika trinomial kuadrat tidak memiliki akar ($D< 0$). Решим неравенство $4a^2 - 5a < 0$. Корнями квадратного трёхчлена $4a^2 - 5a$ являются числа $a_1 = 0$ и $a_2 = \dfrac{5}{4}$, поэтому $D < 0$ при $0 < a < \dfrac{5}{4}$. Значит, из положительных значений $a$ подходят числа $a \in \left(0; \dfrac{5}{4}\right)$.
3. Jika $a< 0$, то график квадратного трехчлена в левой части неравенства - парабола с ветвями, направленными вниз. Значит, обязательно найдутся значения $х$, для которых трёхчлен отрицателен. Следовательно, все значения $a < 0$ не подходят.

Menjawab.$a \in \left$ terletak di antara akar, jadi harus ada dua akar (karenanya $a\ne 0$). Jika cabang-cabang parabola $y = ax^2 + (a + 3)x - 3a$ menunjuk ke atas, maka $y(-1)< 0$ и $y(1) < 0$; если же они направлены вниз, то $y(-1) >0$ dan $y(1) > 0$.

Kasus I. Misalkan $a > 0$. Kemudian

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3<0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a=-a+3<0 \\ a>0 \end(array) \kanan. \quad \Leftrightarrow \quad \left\( \begin(array)(l) a>-1 \\ a>3 \\ a>0 \end(array) \right.\quad \Leftrightarrow \quad a>3. $

Artinya, dalam hal ini ternyata semua $a > 3$ cocok.

Kasus II. Biarkan $a< 0$. Тогда

$\left\( \begin(array)(l) y(-1)=a-(a+3)-3a=-3a-3>0 \\ y(1)=a+(a+3)-3a =-a+3>0 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad \left\{ \begin{array}{l} a<-1 \\ a<3 \\ a<0 \end{array} \right.\quad \Leftrightarrow \quad a<-1.$

Artinya, dalam hal ini, ternyata semua $a< -1$.

Menjawab.$a\in (-\infty ;-1)\cup (3;+\infty)$

Temukan semua nilai parameter $a$, untuk masing-masing sistem persamaan

$ \begin(cases) x^2+y^2 = 2a, \\ 2xy=2a-1 \end(cases) $

memiliki tepat dua solusi.

Keputusan

Kurangi yang kedua dari yang pertama: $(x-y)^2 = 1$. Kemudian

$ \kiri[\begin(array)(l) x-y = 1, \\ x-y = -1 \end(array)\kanan. \quad \Leftrightarrow \quad \left[\begin(array)(l) x = y+1, \\ x = y-1. \end(array)\kanan. $

Mengganti persamaan yang diperoleh ke dalam persamaan kedua sistem, kita memperoleh dua persamaan kuadrat: $2y^2 + 2y - 2a + 1 = 0$ dan $2y^2 - 2y - 2a + 1 =0$. Diskriminan masing-masing sama dengan $D = 16a-4$.

Perhatikan bahwa tidak mungkin terjadi bahwa pasangan akar persamaan kuadrat pertama bertepatan dengan pasangan akar persamaan kuadrat kedua, karena jumlah akar persamaan pertama sama dengan $-1$, dan yang kedua adalah 1.

Artinya setiap persamaan tersebut harus memiliki satu akar, maka sistem asalnya akan memiliki dua solusi. Yaitu $D = 16a - 4 = 0$.

Menjawab.$a=\dfrac(1)(4)$

Temukan semua nilai parameter $a$ untuk masing-masing persamaan $4x-|3x-|x+a||=9|x-3|$ memiliki dua akar.

Keputusan

Mari kita tulis ulang persamaan dalam bentuk:

$ 9|x-3|-4x+|3x-|x+a|| = 0.$

Pertimbangkan fungsi $f(x) = 9|x-3|-4x+|3x-|x+a||$.

Untuk $x\geqslant 3$ modulus pertama diperluas dengan tanda tambah, dan fungsinya menjadi: $f(x) = 5x-27+|3x-|x+a||$. Jelas bahwa dengan perluasan modul apa pun, sebagai hasilnya, fungsi linier dengan koefisien $k\geqslant 5-3-1=1>0$ akan diperoleh, yaitu, fungsi ini tumbuh tanpa batas pada interval ini.

Pertimbangkan sekarang interval $x<3$. В этом случае первый модуль раскрывается с минусом, и функция принимает следующий вид: $f(x) = - 13x+27+|3x-|x+a||$. При любом раскрытии модулей в итоге будет получаться линейная функция с коэффициентом $k\leqslant - 13+3+1 = - 9<0$, то есть на этом промежутке функция убывает.

Jadi, kita mendapatkan bahwa $x=3$ adalah titik minimum dari fungsi ini. Dan ini berarti bahwa agar persamaan asli memiliki dua solusi, nilai fungsi pada titik minimum harus lebih kecil dari nol. Yaitu, ketidaksamaan terjadi: $f(3)<0$.

$ 12-|9-|3+a||>0 \quad \Panah kiri kanan \quad |9-|3+a||< 12 \quad \Leftrightarrow \quad -12 < 9-|3+a| < 12 \quad \Leftrightarrow \quad$

$\Leftrightarrow\quad |3+a|< 21 \quad \Leftrightarrow \quad - 21 < 3+a < 21 \quad \Leftrightarrow \quad -24

Menjawab.$a \dalam (-24; 18)$

Untuk nilai parameter $a$ berapakah persamaan $5^(2x)-3\cdot 5^x+a-1=0$ memiliki akar tunggal?

Keputusan

Mari kita buat perubahan: $t = 5^x > 0$. Kemudian persamaan aslinya berbentuk persamaan kuadrat: $t^2-3t+a-1 =0$. Persamaan asli akan memiliki akar tunggal jika persamaan ini memiliki satu akar positif atau dua akar, salah satunya positif, yang lain negatif.

Diskriminan dari persamaan tersebut adalah: $D = 13-4a$. Persamaan ini akan memiliki satu akar jika diskriminan yang dihasilkan sama dengan nol, yaitu untuk $a = \dfrac(13)(4)$. Dalam hal ini, akar $t=\dfrac(3)(2) > 0$, sehingga nilai $a$ yang diberikan cocok.

Jika ada dua akar, satu positif dan satu non-positif, maka $D = 13-4a > 0$, $x_1+x_2 = 3 > 0$ dan $x_1x_2 = a - 1 \leqslant 0$.

Yaitu, $a\in(-\infty;1]$

Menjawab.$a\in(-\infty;1]\cup\left\(\dfrac(13)(4)\right\)$

Temukan semua nilai parameter $a$ yang sistemnya

$ \begin(cases)\log_a y = (x^2-2x)^2, \\ x^2+y=2x\end(cases) $

memiliki tepat dua solusi.

Keputusan

Mari kita ubah sistem menjadi bentuk berikut:

$ \begin(cases) \log_a y = (2x-x^2)^2, \\ y = 2x-x^2. \end(kasus) $

Karena parameter $a$ berada di dasar logaritma, pembatasan berikut diterapkan padanya: $a>0$, $a \ne 1$. Karena variabel $y$ adalah argumen dari logaritma, maka $y > 0$.

Dengan menggabungkan kedua persamaan sistem, kita dapatkan persamaan: $\log_a y = y^2$. Bergantung pada nilai apa yang diambil parameter $a$, dua kasus dimungkinkan:

1. Biarkan $0< a < 1$. В этом случае функция $f(y) = \log_a y$ убывает на области определения, а функция $g(y)=y^2$ возрастает в той же области $y >0$. Dari perilaku grafik, jelas bahwa akar persamaan adalah satu, sedangkan kurang dari 1. Persamaan kedua dari sistem dan seluruh sistem secara keseluruhan, oleh karena itu, memiliki dua solusi, karena fakta bahwa diskriminan dari persamaan $ x^2-2x+y = 0$ pada $0
2. Biarkan sekarang $a > 1$. Dalam hal ini, fungsi $f(y)=\log_a y \leqslant 0$ untuk $y< 1$, а функция $g(y) = y^2 >0$ untuk $y$ yang sama. Artinya jika ada solusi, maka hanya untuk $y > 1$, tetapi persamaan kedua dari sistem tidak akan memiliki solusi, karena diskriminan dari persamaan $x^2 - 2x + y = 0$ untuk $y > 1$ negatif.

Menjawab.$a\in(0;1)$

Pertimbangkan kasus ketika $a > 1$. Karena untuk nilai besar $t$ grafik fungsi $f(t) = a^t$ terletak di atas garis lurus $g(t) = t$, satu-satunya titik persekutuan hanya dapat berupa titik kontak .

Biarkan $t_0$ menjadi titik kontak. Pada titik ini, turunan ke $f(t) = a^t$ sama dengan satu (garis singgung kemiringan garis singgung), selain itu, nilai kedua fungsi adalah sama, yaitu sistem terjadi:

$ \begin(cases) a^(t_0)\ln a = 1, \\ a^(t_0) = t_0 \end(cases) \quad \Leftrightarrow \quad \begin(cases) a^(t_0) = \dfrac (1)(\ln a), \\ a^(\tau) = \tau \end(kasus) $

Dari mana $t_0 = \dfrac(1)(\ln a)$.

$ a^(\frac(1)(\ln a))\ln a = 1 \quad \Leftrightarrow \quad a^(\log_a e) =\frac(1)(\ln a) \quad \Leftrightarrow \quad a = e^(\frac(1)(e)). $

Pada saat yang sama, fungsi langsung dan eksponensial jelas tidak memiliki poin umum lainnya.

Menjawab.$a \in (0;1] \cup \left\(e^(e^(-1))\right\)$

1. Tugas.
Berapa nilai parameternya sebuah persamaan ( sebuah - 1)x 2 + 2x + sebuah- 1 = 0 memiliki tepat satu akar?

1. Keputusan.
Pada sebuah= 1 persamaan berbentuk 2 x= 0 dan jelas memiliki akar tunggal x= 0. Jika sebuah No. 1, maka persamaan ini kuadratik dan memiliki akar tunggal untuk nilai-nilai parameter yang diskriminan trinomial kuadratnya sama dengan nol. Menyamakan diskriminan dengan nol, kita memperoleh persamaan untuk parameter sebuah 4sebuah 2 - 8sebuah= 0, dari mana sebuah= 0 atau sebuah = 2.

1. Jawaban: persamaan memiliki akar tunggal di sebuah O(0; 1; 2).

2. Tugas.
Temukan semua nilai parameter sebuah, yang persamaannya memiliki dua akar yang berbeda x 2 +4kapak+8sebuah+3 = 0.
2. Keputusan.
persamaan x 2 +4kapak+8sebuah+3 = 0 memiliki dua akar berbeda jika dan hanya jika D = 16sebuah 2 -4(8sebuah+3) > 0. Kita dapatkan (setelah dikurangi dengan faktor persekutuan 4) 4 sebuah 2 -8sebuah-3 > 0, dari mana

2. Jawaban:

sebuah O (-Ґ ; 1 -

C 7 2

) DAN (1 +

C 7 2

; Ґ ).

3. Tugas.
Diketahui bahwa
f 2 (x) = 6x-x 2 -6.
a) Gambarkan grafik fungsinya f 1 (x) pada sebuah = 1.
b) Berapa nilainya? sebuah grafik fungsi f 1 (x) dan f 2 (x) memiliki satu titik yang sama?

3. Solusi.
3.a. Mari bertransformasi f 1 (x) dengan cara berikut
Grafik fungsi ini sebuah= 1 ditunjukkan pada gambar di sebelah kanan.
3.b. Kami segera mencatat bahwa grafik fungsi kamu = kx+b dan kamu = kapak 2 +bx+c (sebuah No. 0) berpotongan di satu titik jika dan hanya jika persamaan kuadrat kx+b = kapak 2 +bx+c memiliki akar tunggal. Menggunakan Tampilan f 1 dari 3.a, kita samakan diskriminan dari persamaan sebuah = 6x-x 2 -6 ke nol. Dari Persamaan 36-24-4 sebuah= 0 kita peroleh sebuah= 3. Lakukan hal yang sama dengan persamaan 2 x-sebuah = 6x-x 2 -6 temukan sebuah= 2. Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa nilai parameter ini memenuhi kondisi masalah. Menjawab: sebuah= 2 atau sebuah = 3.

4. Tugas.
Temukan semua nilai sebuah, di mana himpunan solusi pertidaksamaan x 2 -2kapak-3sebuah i 0 berisi segmen .

4. Solusi.
Koordinat pertama titik parabola f(x) = x 2 -2kapak-3sebuah adalah sama dengan x 0 = sebuah. Dari sifat-sifat fungsi kuadrat, kondisi f(x) i 0 pada interval setara dengan totalitas tiga sistem
memiliki tepat dua solusi?

5. Keputusan.
Mari kita tulis ulang persamaan ini dalam bentuk x 2 + (2sebuah-2)x - 3sebuah+7 = 0. Ini adalah persamaan kuadrat, memiliki tepat dua solusi jika diskriminannya benar-benar lebih besar dari nol. Menghitung diskriminan, kita mendapatkan bahwa kondisi memiliki tepat dua akar adalah pemenuhan pertidaksamaan sebuah 2 +sebuah-6 > 0. Memecahkan pertidaksamaan, kita menemukan sebuah < -3 или sebuah> 2. Jelas, yang pertama dari pertidaksamaan tidak memiliki solusi dalam bilangan asli, dan solusi alami terkecil dari yang kedua adalah angka 3.

5. Jawaban: 3.

6. Tugas (10 sel)
Temukan semua nilai sebuah, yang grafik fungsi atau, setelah transformasi yang jelas, sebuah-2 = | 2-sebuah| . Persamaan terakhir setara dengan pertidaksamaan sebuah saya 2.

6. Jawaban: sebuah O )