diturunkan dari definisinya. Dan jadi logaritma dari angka b dengan alasan sebuah didefinisikan sebagai eksponen yang angkanya harus dinaikkan sebuah untuk mendapatkan nomornya b(logaritma hanya ada untuk bilangan positif).

Dari rumusan ini maka perhitungannya x = log a b, setara dengan menyelesaikan persamaan kapak = b. Sebagai contoh, log 2 8 = 3 karena 8 = 2 3 . Rumusan logaritma memungkinkan untuk membenarkan bahwa jika b=a c, maka logaritma dari bilangan tersebut b dengan alasan sebuah sama dengan dengan. Jelas juga bahwa topik logaritma berkaitan erat dengan topik pangkat suatu bilangan.

Dengan logaritma, seperti halnya angka apa pun, Anda dapat melakukan operasi penjumlahan, pengurangan dan mengubah dalam setiap cara yang mungkin. Tetapi mengingat fakta bahwa logaritma bukanlah bilangan biasa, aturan khusus mereka sendiri berlaku di sini, yang disebut sifat dasar.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma.

Ambil dua logaritma dengan basis yang sama: log x dan log a y. Kemudian hapus dimungkinkan untuk melakukan operasi penambahan dan pengurangan:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Dari teorema logaritma hasil bagi satu lagi properti logaritma dapat diperoleh. Diketahui bahwa log sebuah 1 = 0, oleh karena itu,

catatan sebuah 1 /b= log sebuah 1 - log a b= -log a b.

Jadi ada persamaan:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritma dari dua bilangan yang saling berlawanan atas dasar yang sama akan berbeda satu sama lain hanya dalam tanda. Jadi:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Ekspresi logaritmik, solusi dari contoh. Pada artikel ini, kami akan mempertimbangkan masalah yang berkaitan dengan penyelesaian logaritma. Tugas menimbulkan pertanyaan untuk menemukan nilai ekspresi. Perlu dicatat bahwa konsep logaritma digunakan dalam banyak tugas dan sangat penting untuk memahami artinya. Adapun USE, logaritma digunakan dalam memecahkan persamaan, dalam masalah terapan, dan juga dalam tugas-tugas yang berkaitan dengan studi fungsi.

Berikut adalah contoh untuk memahami arti dari logaritma:

Identitas logaritma dasar:

Sifat-sifat logaritma yang harus selalu Anda ingat:

* Logaritma hasil kali sama dengan jumlah logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma hasil bagi (pecahan) sama dengan selisih logaritma faktor-faktornya.

* * *

* Logaritma derajat sama dengan produk eksponen dan logaritma basisnya.

* * *

*Transisi ke pangkalan baru

* * *

Lebih banyak properti:

* * *

Komputasi logaritma berkaitan erat dengan penggunaan sifat-sifat eksponen.

Kami mencantumkan beberapa di antaranya:

Inti dari properti ini adalah bahwa ketika mentransfer pembilang ke penyebut dan sebaliknya, tanda eksponen berubah menjadi kebalikannya. Sebagai contoh:

Konsekuensi dari properti ini:

* * *

Saat menaikkan pangkat ke pangkat, basisnya tetap sama, tetapi eksponennya dikalikan.

* * *

Seperti yang Anda lihat, konsep logaritma itu sederhana. Hal utama adalah bahwa latihan yang baik diperlukan, yang memberikan keterampilan tertentu. Tentu saja pengetahuan tentang rumus adalah wajib. Jika keterampilan dalam mengonversi logaritma dasar tidak terbentuk, maka ketika menyelesaikan tugas-tugas sederhana, seseorang dapat dengan mudah membuat kesalahan.

Berlatih, pecahkan contoh paling sederhana dari kursus matematika terlebih dahulu, lalu lanjutkan ke yang lebih kompleks. Di masa depan, saya pasti akan menunjukkan bagaimana logaritma "jelek" diselesaikan, tidak akan ada yang seperti itu di ujian, tetapi mereka menarik, jangan lewatkan!

Itu saja! Semoga sukses untuk Anda!

Hormat kami, Alexander Krutitskikh

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Dan logaritma terkait erat. Dan sebenarnya, adalah notasi matematika dari definisi logaritma. Mari kita menganalisis secara rinci apa itu logaritma, dari mana asalnya.

Pertimbangkan tindakan aljabar - perhitungan eksponen X sesuai dengan nilai spesifik yang diberikan derajat b dan yayasan sebuah. Tugas ini pada dasarnya adalah menyelesaikan persamaan sebuah x = b, di mana sebuah dan b adalah beberapa nilai yang diberikan, x - nilai yang tidak diketahui. Perhatikan bahwa masalah ini tidak selalu memiliki solusi.

Ketika, misalnya, dalam persamaan sebuah x = b nomorsebuah positif, dan bilangan b negatif, maka persamaan ini tidak memiliki akar. Tapi jika saja sebuah dan b positif dan 1, maka pasti hanya memiliki satu keunikan akar. Ini adalah fakta yang cukup terkenal bahwa grafik fungsi eksponensial y = a x pasti bersinggungan dengan lurus y = b dan hanya pada satu titik. Absis titik potong dan will akar persamaan.

Untuk menunjuk akar persamaan sebuah x = b biasanya menggunakan log a b (kita katakan: logaritma dari bilangan b ke basis a).

Logaritma angka b dengan alasan sebuah Ini eksponen, yang ingin Anda naikkan nomornya sebuah untuk mendapatkan nomornya b dan sebuah > 0, sebuah ≠ 1, b > 0.

Berdasarkan definisi, kita mendapatkan identitas logaritma dasar :

Contoh:

Konsekuensi identitas logaritma dasar adalah berikut ini aturan.

Dari persamaan dua logaritma nyata kita mendapatkan persamaan logaritma ekspresi.

Memang, ketika log a b = log a c, maka , di mana, b = c.

Pertimbangkan mengapa untuk identitas logaritma pembatasan diambil sebuah > 0, sebuah ≠ 1, b > 0 .

Kondisi pertama sebuah 1.

Telah diketahui bahwa unit dalam derajat akan menjadi kesatuan, dan persamaan x = log a b hanya dapat ada untuk b = 1, tapi diwaktu yang sama log 1 1 akan menjadi apa saja bilangan asli. Untuk menghindari ambiguitas ini, diterima sebuah 1.

Membenarkan perlunya kondisi a > 0.

Pada a = 0 pada definisi logaritma hanya bisa ada ketika b = 0. Dan karena itu maka log 0 0 bisa apa saja selain nol bilangan asli, karena nol untuk kekuatan apa pun selain nol adalah nol. Untuk mencegah ambiguitas ini, kondisi sebuah 0. Dan kapan sebuah< 0 kita harus meninggalkan penguraian rasional dan irasional nilai logaritma, karena derajat dengan rasional dan indikator irasional didefinisikan hanya untuk alasan positif. Karena alasan inilah kondisi a > 0.

Dan kondisi terakhir b > 0 merupakan akibat dari pertidaksamaan a > 0, karena x = log a b, dan nilai derajat dengan basis positif sebuah selalu positif.

Salah satu unsur aljabar tingkat primitif adalah logaritma. Nama ini berasal dari bahasa Yunani dari kata "angka" atau "derajat" dan berarti tingkat di mana perlu untuk menaikkan nomor di pangkalan untuk menemukan nomor akhir.

Jenis-jenis logaritma

• log a b adalah logaritma dari bilangan b ke basis a (a > 0, a 1, b > 0);
• lg b - logaritma desimal (basis logaritma 10, a = 10);
• ln b - logaritma natural (basis logaritma e, a = e).

Bagaimana cara menyelesaikan logaritma?

Logaritma dari bilangan b ke basis a adalah eksponen, yang mengharuskan basis a dinaikkan ke bilangan b. Hasilnya diucapkan seperti ini: "logaritma dari b ke basis a". Solusi untuk masalah logaritma adalah Anda perlu menentukan derajat yang diberikan dengan angka-angka dengan angka-angka yang ditentukan. Ada beberapa aturan dasar untuk menentukan atau menyelesaikan logaritma, serta mentransformasikan notasi itu sendiri. Dengan menggunakannya, persamaan logaritmik diselesaikan, turunan ditemukan, integral diselesaikan, dan banyak operasi lainnya dilakukan. Pada dasarnya, solusi untuk logaritma itu sendiri adalah notasi yang disederhanakan. Di bawah ini adalah formula dan properti utama:

Untuk setiap ; a > 0; a 1 dan untuk sembarang x ; y > 0.

• a log a b = b adalah identitas logaritma dasar
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x , untuk k 0
• log a x = log a c x c
• log a x \u003d log b x / log b a - rumus untuk transisi ke basis baru
• log a x = 1/log x a

Bagaimana memecahkan logaritma - petunjuk langkah demi langkah untuk memecahkan

• Pertama, tuliskan persamaan yang diperlukan.

Harap dicatat: jika logaritma dasar adalah 10, maka catatan dipersingkat, logaritma desimal diperoleh. Jika ada bilangan asli e, maka kita tulis, direduksi menjadi logaritma natural. Artinya, hasil dari semua logaritma adalah pangkat yang dipangkatkan bilangan dasar untuk memperoleh bilangan b.

Secara langsung, solusinya terletak pada perhitungan derajat ini. Sebelum menyelesaikan ekspresi dengan logaritma, itu harus disederhanakan sesuai dengan aturan, yaitu menggunakan rumus. Anda dapat menemukan identitas utama dengan kembali sedikit di artikel.

Ketika menjumlahkan dan mengurangkan logaritma dengan dua bilangan berbeda tetapi dengan basis yang sama, gantilah dengan logaritma tunggal dengan hasil kali atau pembagian masing-masing bilangan b dan c. Dalam hal ini, Anda dapat menerapkan rumus transisi ke basis lain (lihat di atas).

Jika Anda menggunakan ekspresi untuk menyederhanakan logaritma, ada beberapa batasan yang harus diperhatikan. Dan itu adalah: basis logaritma a hanya bilangan positif, tetapi tidak sama dengan satu. Angka b, seperti a, harus lebih besar dari nol.

Ada kasus ketika, setelah menyederhanakan ekspresi, Anda tidak akan dapat menghitung logaritma dalam bentuk numerik. Kebetulan ekspresi seperti itu tidak masuk akal, karena banyak derajat adalah bilangan irasional. Dalam kondisi ini, biarkan kekuatan angka sebagai logaritma.

Properti utama logaritma, grafik logaritma, domain definisi, himpunan nilai, rumus dasar, kenaikan dan penurunan diberikan. Menemukan turunan dari logaritma dipertimbangkan. Selain integral, ekspansi dan representasi deret pangkat melalui bilangan kompleks.

Definisi logaritma

Logaritma dengan basis a adalah fungsi y (x) = log x, invers ke fungsi eksponensial dengan basis a: x (y) = a y.

logaritma desimal adalah logaritma ke basis angka 10 : log x log 10 x.

logaritma natural adalah logaritma ke basis e: ln x log e x.

2,718281828459045... ;
.

Grafik logaritma diperoleh dari grafik fungsi eksponensial dengan refleksi cermin tentang garis lurus y \u003d x. Di sebelah kiri adalah grafik fungsi y (x) = log x untuk empat nilai dasar logaritma:a= 2 , a = 8 , a = 1/2 dan a = 1/8 . Grafik tersebut menunjukkan bahwa untuk a > 1 logaritma meningkat secara monoton. Ketika x meningkat, pertumbuhan melambat secara signifikan. Pada 0 < a < 1 logaritma menurun secara monoton.

Sifat-sifat logaritma

Domain, kumpulan nilai, naik, turun

Logaritma adalah fungsi monoton, sehingga tidak memiliki ekstrem. Properti utama logaritma disajikan dalam tabel.

Domain	0 < x < + ∞	0 < x < + ∞
Jarak nilai	- ∞ < y < + ∞	- ∞ < y < + ∞
Nada datar	meningkat secara monoton	berkurang secara monoton
Nol, y= 0	x= 1	x= 1
Titik potong dengan sumbu y, x = 0	Tidak	Tidak
	+ ∞	- ∞
	- ∞	+ ∞

Nilai pribadi

Logaritma basis 10 disebut logaritma desimal dan ditandai seperti ini:

logaritma dasar e ditelepon logaritma natural:

Rumus logaritma dasar

Sifat-sifat logaritma berikut dari definisi fungsi invers:

Properti utama logaritma dan konsekuensinya

Rumus pengganti dasar

Logaritma adalah operasi matematika mengambil logaritma. Saat mengambil logaritma, produk faktor dikonversi menjadi jumlah suku.

Potensiasi adalah operasi matematika kebalikan dari logaritma. Saat mempotensiasi, basis yang diberikan dinaikkan ke kekuatan ekspresi di mana potensiasi dilakukan. Dalam hal ini, jumlah istilah diubah menjadi produk faktor.

Bukti rumus dasar logaritma

Rumus yang terkait dengan logaritma mengikuti dari rumus untuk fungsi eksponensial dan dari definisi fungsi invers.

Pertimbangkan properti fungsi eksponensial
.
Kemudian
.
Terapkan properti fungsi eksponensial
:
.

Mari kita buktikan rumus perubahan basis.
;
.
Pengaturan c = b , kita memiliki:

Fungsi terbalik

Kebalikan dari logaritma dasar a adalah fungsi eksponen dengan eksponen a.

Jika kemudian

Jika kemudian

Turunan dari logaritma

Turunan dari modulo logaritma x :
.
Turunan dari orde ke-n:
.
Turunan rumus > > >

Untuk menemukan turunan dari logaritma, itu harus direduksi menjadi basis e.
;
.

Integral

Integral logaritma dihitung dengan mengintegrasikan bagian : .
Jadi,

Ekspresi dalam bilangan kompleks

Perhatikan fungsi bilangan kompleks z:
.
Mari kita nyatakan bilangan kompleks z melalui modul r dan argumen φ :
.
Kemudian, dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, kita memperoleh:
.
Atau

Namun, argumen φ tidak didefinisikan dengan jelas. Jika kita menempatkan
, di mana n adalah bilangan bulat,
maka itu akan menjadi nomor yang sama untuk yang berbeda n.

Oleh karena itu, logaritma, sebagai fungsi dari variabel kompleks, bukanlah fungsi bernilai tunggal.

Ekspansi seri daya

Untuk , ekspansi terjadi:

Referensi:
DI. Bronstein, K.A. Semendyaev, Buku Pegangan Matematika untuk Insinyur dan Mahasiswa Perguruan Tinggi, Lan, 2009.