Rasio antara fungsi trigonometri utama - sinus, kosinus, tangen dan kotangen - diberikan rumus trigonometri. Dan karena ada cukup banyak hubungan antara fungsi trigonometri, ini juga menjelaskan banyaknya rumus trigonometri. Beberapa rumus menghubungkan fungsi trigonometri dari sudut yang sama, yang lain - fungsi beberapa sudut, yang lain - memungkinkan Anda untuk menurunkan derajat, yang keempat - untuk mengekspresikan semua fungsi melalui garis singgung setengah sudut, dll.

Dalam artikel ini, kami membuat daftar secara berurutan semua rumus trigonometri dasar, yang cukup untuk menyelesaikan sebagian besar masalah trigonometri. Untuk kemudahan menghafal dan penggunaan, kami akan mengelompokkannya sesuai dengan tujuannya, dan memasukkannya ke dalam tabel.

Navigasi halaman.

Identitas trigonometri dasar

Identitas trigonometri dasar mengatur hubungan antara sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari satu sudut. Mereka mengikuti dari definisi sinus, cosinus, tangen dan kotangen, serta konsep lingkaran satuan. Mereka memungkinkan Anda untuk mengekspresikan satu fungsi trigonometri melalui yang lain.

Untuk penjelasan rinci tentang rumus trigonometri ini, turunan dan contoh aplikasinya, lihat artikel.

Cast formula

Cast formula mengikuti dari sifat-sifat sinus, kosinus, tangen dan kotangen, yaitu, mereka mencerminkan sifat periodisitas fungsi trigonometri, sifat simetri, dan juga sifat pergeseran dengan sudut tertentu. Rumus trigonometri ini memungkinkan Anda untuk beralih dari bekerja dengan sudut sembarang ke bekerja dengan sudut mulai dari nol hingga 90 derajat.

Alasan untuk formula ini, aturan mnemonik untuk menghafalnya, dan contoh penerapannya dapat dipelajari di artikel.

Rumus Tambahan

Rumus penjumlahan trigonometri menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri dari jumlah atau perbedaan dua sudut dinyatakan dalam fungsi trigonometri dari sudut-sudut ini. Rumus-rumus ini berfungsi sebagai dasar untuk penurunan rumus trigonometri berikut.

Rumus untuk double, triple, dll. sudut

Rumus untuk double, triple, dll. sudut (juga disebut rumus sudut ganda) menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri ganda, tiga, dll. sudut () dinyatakan dalam fungsi trigonometri sudut tunggal. Derivasi mereka didasarkan pada formula tambahan.

Informasi lebih rinci dikumpulkan dalam formula artikel untuk double, triple, dll. sudut .

Rumus Setengah Sudut

Rumus Setengah Sudut menunjukkan bagaimana fungsi trigonometri setengah sudut dinyatakan dalam kosinus sudut bilangan bulat. Rumus trigonometri ini mengikuti dari rumus sudut ganda.

Kesimpulan dan contoh penerapannya dapat ditemukan di artikel.

Rumus Pengurangan

Rumus trigonometri untuk menurunkan derajat dirancang untuk memfasilitasi transisi dari kekuatan alami fungsi trigonometri ke sinus dan kosinus di tingkat pertama, tetapi banyak sudut. Dengan kata lain, mereka memungkinkan seseorang untuk mengurangi kekuatan fungsi trigonometri menjadi yang pertama.

Rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri

Tujuan utama rumus jumlah dan selisih fungsi trigonometri terdiri dari transisi ke produk fungsi, yang sangat berguna saat menyederhanakan ekspresi trigonometri. Rumus ini juga banyak digunakan dalam menyelesaikan persamaan trigonometri, karena memungkinkan pemfaktoran jumlah dan perbedaan sinus dan cosinus.

Rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus

Transisi dari produk fungsi trigonometri ke jumlah atau perbedaan dilakukan melalui rumus untuk produk sinus, cosinus dan sinus dengan cosinus.

Substitusi trigonometri universal

Kami menyelesaikan ulasan rumus dasar trigonometri dengan rumus yang menyatakan fungsi trigonometri dalam hal garis singgung setengah sudut. Penggantian ini disebut substitusi trigonometri universal. Kemudahannya terletak pada kenyataan bahwa semua fungsi trigonometri dinyatakan dalam garis singgung setengah sudut secara rasional tanpa akar.

Bibliografi.

• Aljabar: Prok. untuk 9 sel. rata-rata sekolah / Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Pencerahan, 1990.- 272 hal.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bashmakov M.I. Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. rata-rata sekolah - edisi ke-3. - M.: Pencerahan, 1993. - 351 hal.: sakit. - ISBN 5-09-004617-4.
• Aljabar dan awal analisis: Proc. untuk 10-11 sel. pendidikan umum institusi / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn dan lainnya; Ed. A. N. Kolmogorova.- edisi ke-14.- M.: Enlightenment, 2004.- 384 hal.: sakit.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik): Proc. tunjangan.- M.; Lebih tinggi sekolah, 1984.-351 hal., sakit.

Hak Cipta oleh siswa pintar

Seluruh hak cipta.
Dilindungi oleh undang-undang hak cipta. Tidak ada bagian dari situs ini, termasuk materi internal dan desain eksternal, yang boleh direproduksi dalam bentuk apa pun atau digunakan tanpa izin tertulis sebelumnya dari pemegang hak cipta.

PADA transformasi identik ekspresi trigonometri trik aljabar berikut dapat digunakan: menambah dan mengurangi istilah identik; mengeluarkan faktor persekutuan dari kurung; perkalian dan pembagian dengan nilai yang sama; penerapan rumus perkalian yang disingkat; pemilihan kotak penuh; faktorisasi trinomial persegi; pengenalan variabel baru untuk menyederhanakan transformasi.

Saat mengonversi ekspresi trigonometri yang mengandung pecahan, Anda dapat menggunakan sifat-sifat proporsi, pengurangan pecahan, atau pengurangan pecahan ke penyebut yang sama. Selain itu, Anda dapat menggunakan pemilihan bagian bilangan bulat dari pecahan, mengalikan pembilang dan penyebut pecahan dengan nilai yang sama, dan juga, jika mungkin, memperhitungkan keseragaman pembilang atau penyebut. Jika perlu, Anda dapat menyatakan pecahan sebagai jumlah atau selisih dari beberapa pecahan yang lebih sederhana.

Selain itu, ketika menerapkan semua metode yang diperlukan untuk mengonversi ekspresi trigonometri, perlu untuk terus-menerus memperhitungkan rentang nilai yang diizinkan dari ekspresi yang dikonversi.

Mari kita lihat beberapa contoh.

Contoh 1

Hitung A = (sin (2x - ) cos (3π - x) + sin (2x - 9π/2) cos (x + /2)) 2 + (cos (x - /2) cos ( 2x – 7π /2) +
+ sin (3π/2 - x) sin (2x -5π/2)) 2

Keputusan.

Ini mengikuti dari rumus pengurangan:

sin (2x - ) \u003d -sin 2x; cos (3π - x) \u003d -cos x;

sin (2x - 9π / 2) \u003d -cos 2x; cos (x + /2) = -sin x;

cos (x - / 2) \u003d sin x; cos (2x - 7π/2) = -sin 2x;

sin (3π / 2 - x) \u003d -cos x; sin (2x - 5π / 2) \u003d -cos 2x.

Dari mana, berdasarkan rumus untuk penambahan argumen dan identitas trigonometri dasar, kami memperoleh

A \u003d (sin 2x cos x + cos 2x sin x) 2 + (-sin x sin 2x + cos x cos 2x) 2 \u003d sin 2 (2x + x) + cos 2 (x + 2x) \u003d
= sin 2 3x + cos 2 3x = 1

Jawaban 1.

Contoh 2

Ubah ekspresi M = cos + cos (α + ) cos + cos – sin (α + ) sin + cos menjadi produk.

Keputusan.

Dari rumus untuk penambahan argumen dan rumus untuk mengubah jumlah fungsi trigonometri menjadi produk, setelah pengelompokan yang sesuai, kami memiliki

M = (cos (α + β) cos - sin (α + ) sin ) + cos + (cos + cos ) =

2cos ((β + )/2) cos ((β – )/2) + (cos + cos (α + + )) =

2cos ((β + )/2) cos ((β – )/2) + 2cos (α + (β + )/2) cos ((β + )/2)) =

2cos ((β + )/2) (cos ((β – )/2) + cos (α + (β + )/2)) =

2cos ((β + )/2) 2cos ((β – )/2 + + (β + )/2)/2) cos ((β – )/2) – (α + ( + )/2)/2) =

4cos ((β + )/2) cos ((α + )/2) cos ((α + )/2).

Jawaban: = 4cos ((α + )/2) cos ((α + )/2) cos ((β + )/2).

Contoh 3.

Tunjukkan bahwa ekspresi A \u003d cos 2 (x + / 6) - cos (x + / 6) cos (x - / 6) + cos 2 (x - / 6) mengambil semua x dari R satu dan nilai yang sama. Temukan nilai ini.

Keputusan.

Kami menyajikan dua metode untuk memecahkan masalah ini. Menerapkan metode pertama, dengan mengisolasi kuadrat penuh dan menggunakan rumus trigonometri dasar yang sesuai, kami memperoleh:

A \u003d (cos (x + / 6) - cos (x - / 6)) 2 + cos (x - / 6) cos (x - / 6) \u003d

4sin 2 x sin 2 /6 + 1/2(cos 2x + cos /3) =

Sin 2 x + 1/2 cos 2x + 1/4 = 1/2 (1 - cos 2x) + 1/2 cos 2x + 1/4 = 3/4.

Memecahkan masalah dengan cara kedua, pertimbangkan A sebagai fungsi x dari R dan hitung turunannya. Setelah transformasi, kita mendapatkan

\u003d -2cos (x + /6) sin (x + /6) + (sin (x + /6) cos (x - /6) + cos (x + /6) sin ( x + /6)) - 2cos (x - /6) sin (x - /6) =

Sin 2(x + /6) + sin ((x + /6) + (x - /6)) - sin 2(x - /6) =

Sin 2x - (sin (2x + /3) + sin (2x - /3)) =

Sin 2x - 2sin 2x cos /3 = sin 2x - sin 2x 0.

Oleh karena itu, berdasarkan kriteria keteguhan suatu fungsi yang terdiferensiasi pada suatu interval, kita menyimpulkan bahwa

A(x) (0) = cos 2 /6 - cos 2 π/6 + cos 2 /6 = (√3/2) 2 = 3/4, x R.

Jawaban: A = 3/4 untuk x €R.

Metode utama untuk membuktikan identitas trigonometri adalah:

sebuah) pengurangan sisi kiri identitas ke sisi kanan dengan transformasi yang sesuai;
b) pengurangan sisi kanan identitas ke kiri;
di) pengurangan bagian kanan dan kiri identitas menjadi bentuk yang sama;
G) pengurangan menjadi nol dari perbedaan antara bagian kiri dan kanan dari identitas yang dibuktikan.

Contoh 4

Periksa bahwa cos 3x = -4cos x cos (x + /3) cos (x + 2π/3).

Keputusan.

Mengubah sisi kanan identitas ini sesuai dengan rumus trigonometri yang sesuai, kita memiliki

4cos x cos (x + /3) cos (x + 2π/3) =

2cos x (cos ((x + /3) + (x + 2π/3)) + cos ((x + /3) – (x + 2π/3))) =

2cos x (cos (2x + ) + cos /3) =

2cos x cos 2x - cos x = (cos 3x + cos x) - cos x = cos 3x.

Sisi kanan identitas direduksi menjadi sisi kiri.

Contoh 5

Buktikan bahwa sin 2 α + sin 2 β + sin 2 – 2cos cos cos = 2 jika , , adalah sudut dalam dari suatu segitiga.

Keputusan.

Dengan mempertimbangkan bahwa , , adalah sudut-sudut dalam dari suatu segitiga, kita peroleh bahwa

+ β + = dan karenanya = – – .

sin 2 + sin 2 + sin 2 – 2cos cos cos =

Sin 2 + sin 2 β + sin 2 (π - - ) - 2cos cos cos (π - - ) =

Sin 2 + sin 2 β + sin 2 (α + ) + (cos (α + ) + cos (α - ) (cos (α + ) =

Sin 2 + sin 2 + (sin 2 (α + ) + cos 2 (α + )) + cos (α - ) (cos (α + ) =

1/2 (1 - cos 2α) + (1 - cos 2β) + 1 + 1/2 (cos 2α + cos 2β) = 2.

Kesetaraan asli terbukti.

Contoh 6

Buktikan bahwa agar salah satu sudut , , dari segitiga sama dengan 60°, perlu dan cukup bahwa sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Keputusan.

Kondisi masalah ini mengandaikan bukti kebutuhan dan kecukupan.

Pertama kita buktikan membutuhkan.

Dapat ditunjukkan bahwa

sin 3α + sin 3β + sin 3γ = -4cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2).

Oleh karena itu, dengan memperhitungkan bahwa cos (3/2 60°) = cos 90° = 0, kita peroleh bahwa jika salah satu sudut , atau sama dengan 60°, maka

cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0 sehingga sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0.

Ayo buktikan sekarang kecukupan kondisi yang ditentukan.

Jika sin 3α + sin 3β + sin 3γ = 0, maka cos (3α/2) cos (3β/2) cos (3γ/2) = 0, dan oleh karena itu

cos (3α/2) = 0, atau cos (3β/2) = 0, atau cos (3γ/2) = 0.

Karena itu,

atau 3α/2 = /2 + k, mis. = /3 + 2πk/3,

atau 3β/2 = /2 + k, mis. = /3 + 2πk/3,

atau 3γ/2 = /2 + k,

itu. = /3 + 2πk/3, di mana k Z.

Dari fakta bahwa , , adalah sudut-sudut suatu segitiga, kita peroleh

0 < α < π, 0 < β < π, 0 < γ < π.

Oleh karena itu, untuk = /3 + 2πk/3 atau = /3 + 2πk/3 atau

= /3 + 2πk/3 dari semua kϵZ hanya k = 0 yang cocok.

Dari mana dapat disimpulkan bahwa = /3 = 60 °, atau = /3 = 60 °, atau = /3 = 60 °.

Pernyataan itu terbukti.

Apakah Anda memiliki pertanyaan? Tidak tahu cara menyederhanakan ekspresi trigonometri?
Untuk mendapatkan bantuan tutor - daftar.
Pelajaran pertama gratis!

situs, dengan penyalinan materi secara penuh atau sebagian, tautan ke sumber diperlukan.

Untuk memecahkan beberapa masalah, tabel identitas trigonometri akan berguna, yang akan mempermudah melakukan transformasi fungsi:

Identitas trigonometri paling sederhana

Hasil bagi pembagian sinus sudut alfa dengan cosinus dari sudut yang sama sama dengan tangen sudut ini (Rumus 1). Lihat juga bukti kebenaran transformasi identitas trigonometri paling sederhana.
Hasil bagi pembagian kosinus sudut alfa dengan sinus sudut yang sama sama dengan kotangen sudut yang sama (Rumus 2)
Garis potong suatu sudut sama dengan satu dibagi cosinus dari sudut yang sama (Rumus 3)
Jumlah kuadrat sinus dan kosinus dari sudut yang sama sama dengan satu (Rumus 4). lihat juga bukti jumlah kuadrat cosinus dan sinus.
Jumlah satuan dan garis singgung sudut sama dengan perbandingan satuan dengan kuadrat kosinus sudut ini (Rumus 5)
Satuan ditambah kotangen sudut sama dengan hasil bagi membagi satuan dengan kuadrat sinus sudut ini (Rumus 6)
Produk dari garis singgung dan kotangen dari sudut yang sama adalah sama dengan satu (Rumus 7).

Konversi sudut negatif fungsi trigonometri (genap dan ganjil)

Untuk menghilangkan nilai negatif dari ukuran derajat sudut saat menghitung sinus, kosinus atau tangen, Anda dapat menggunakan transformasi trigonometri (identitas) berikut berdasarkan prinsip-prinsip fungsi trigonometri genap atau ganjil.

Seperti yang terlihat, kosinus dan garis potong adalah fungsi genap, sinus, tangen, dan kotangen adalah fungsi ganjil.

Sinus sudut negatif sama dengan nilai negatif sinus sudut positif yang sama (dikurangi sinus alfa).
Kosinus "minus alfa" akan memberikan nilai yang sama dengan kosinus sudut alfa.
Tangen minus alpha sama dengan minus tangen alpha.

Rumus reduksi sudut ganda (sinus, cosinus, tangen dan kotangen dari sudut ganda)

Jika Anda perlu membagi sudut menjadi dua, atau sebaliknya, dari sudut ganda ke sudut tunggal, Anda dapat menggunakan identitas trigonometri berikut:

Konversi Sudut Ganda (sinus sudut ganda, cosinus sudut ganda dan tangen sudut ganda) menjadi satu terjadi sesuai dengan aturan berikut:

Sinus sudut ganda sama dengan dua kali produk sinus dan cosinus dari satu sudut

Cosinus sudut ganda sama dengan selisih antara kuadrat kosinus suatu sudut dan kuadrat sinus sudut tersebut

Cosinus sudut ganda sama dengan dua kali kuadrat kosinus dari satu sudut dikurangi satu

Cosinus sudut ganda sama dengan satu dikurangi kuadrat sinus ganda dari satu sudut

Garis singgung sudut ganda sama dengan pecahan yang pembilangnya dua kali garis singgung satu sudut, dan penyebutnya sama dengan satu dikurangi garis singgung kuadrat dari satu sudut.

Kotangen sudut ganda sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah kuadrat dari kotangen satu sudut dikurangi satu, dan penyebutnya sama dengan dua kali kotangen dari satu sudut

Rumus Pergantian Trigonometri Universal

Rumus konversi di bawah ini dapat berguna ketika Anda perlu membagi argumen fungsi trigonometri (sin , cos , tg ) dengan dua dan membawa ekspresi ke nilai setengah sudut. Dari nilai diperoleh /2 .

Rumus ini disebut rumus substitusi trigonometri universal. Nilainya terletak pada kenyataan bahwa ekspresi trigonometri dengan bantuan mereka direduksi menjadi ekspresi tangen setengah sudut, terlepas dari apa fungsi trigonometri (sin cos tg ctg) awalnya dalam ekspresi. Setelah itu, persamaan dengan garis singgung setengah sudut jauh lebih mudah untuk diselesaikan.

Identitas transformasi setengah sudut trigonometri

Berikut ini adalah rumus-rumus konversi trigonometri setengah nilai sudut ke nilai bilangan bulatnya.
Nilai argumen fungsi trigonometri /2 direduksi menjadi nilai argumen fungsi trigonometri .

Rumus trigonometri untuk menambahkan sudut

cos (α - ) = cos cos + sin sin

sin (α + ) = sin cos + sin cos

sin (α - ) = sin cos - sin cos
cos (α + ) = cos cos - sin sin

Tangen dan kotangen dari jumlah sudut alfa dan beta dapat dikonversi menurut aturan berikut untuk mengubah fungsi trigonometri:

Tangen jumlah sudut sama dengan pecahan, pembilangnya adalah jumlah garis singgung sudut pertama dan garis singgung sudut kedua, dan penyebutnya satu dikurangi hasil kali garis singgung sudut pertama dan garis singgung sudut kedua.

Perbedaan sudut tangen sama dengan pecahan, yang pembilangnya sama dengan selisih antara garis singgung sudut yang dikurangi dan garis singgung sudut yang akan dikurangi, dan penyebutnya adalah satu ditambah hasil kali garis singgung sudut-sudut tersebut.

Kotangen jumlah sudut sama dengan pecahan yang pembilangnya sama dengan hasil kali kotangen sudut-sudut ini ditambah satu, dan penyebutnya sama dengan selisih antara kotangen sudut kedua dan kotangen sudut pertama.

Kotangen beda sudut sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah produk dari kotangen sudut-sudut ini dikurangi satu, dan penyebutnya sama dengan jumlah kotangen dari sudut-sudut ini.

Identitas trigonometri ini nyaman digunakan saat Anda perlu menghitung, misalnya, tangen 105 derajat (tg 105). Jika direpresentasikan sebagai tg (45 + 60), maka Anda dapat menggunakan transformasi identik yang diberikan dari tangen dari jumlah sudut, setelah itu Anda cukup mengganti nilai tabular dari tangen 45 dan tangen dari 60 derajat.

Rumus untuk mengubah jumlah atau perbedaan fungsi trigonometri

Ekspresi yang mewakili jumlah dari bentuk sin + sin dapat dikonversi menggunakan rumus berikut:

Rumus sudut rangkap tiga - ubah sin3α cos3α tg3α menjadi sinα cosα tgα

Kadang-kadang perlu untuk mengubah nilai rangkap tiga dari sudut sehingga sudut menjadi argumen dari fungsi trigonometri, bukan 3α.
Dalam hal ini, Anda dapat menggunakan rumus (identitas) untuk transformasi sudut rangkap tiga:

Rumus untuk mengubah produk fungsi trigonometri

Jika menjadi perlu untuk mengubah produk sinus dari sudut yang berbeda dari cosinus dari sudut yang berbeda, atau bahkan produk dari sinus dan cosinus, maka Anda dapat menggunakan identitas trigonometri berikut:


Dalam hal ini, hasil kali fungsi sinus, kosinus, atau tangen dari berbagai sudut akan diubah menjadi jumlah atau selisih.

Rumus untuk mengurangi fungsi trigonometri

Anda perlu menggunakan tabel cast sebagai berikut. Di baris, pilih fungsi yang menarik bagi kita. Kolom adalah sudut. Misalnya, sinus sudut (α+90) di persimpangan baris pertama dan kolom pertama, kita menemukan bahwa sin (α+90) = cos .

Dieksekusi untuk semua nilai argumen (dari lingkup umum).

Rumus substitusi universal.

Dengan rumus ini, mudah untuk mengubah ekspresi apa pun yang berisi berbagai fungsi trigonometri dari satu argumen menjadi ekspresi rasional dari satu fungsi. tg (α/2):

Rumus untuk mengubah jumlah menjadi produk dan produk menjadi jumlah.

Sebelumnya, rumus di atas digunakan untuk menyederhanakan perhitungan. Mereka menghitung menggunakan tabel logaritmik, dan kemudian - aturan geser, karena logaritma paling cocok untuk mengalikan angka. Itulah sebabnya setiap ekspresi asli direduksi menjadi bentuk yang sesuai untuk logaritma, yaitu, menjadi produk, Sebagai contoh:

2 dosa α dosa b = karena (α - b) - karena (α + b);

2 karena α karena b = karena (α - b) + karena (α + b);

2 dosa α karena b = dosa (α - b) + dosa (α + b).

di mana adalah sudut yang, khususnya,

Rumus untuk fungsi tangen dan kotangen dengan mudah diperoleh dari atas.

Rumus pengurangan derajat.

sin 2 \u003d (1 - cos 2α) / 2;	cos2α = (1 + cos2α)/2;
dosa 3α = (3 sinα -dosa 3α )/4;	cos 3 a = (3 cosα + cos 3α )/4.

Dengan bantuan rumus ini, persamaan trigonometri dengan mudah direduksi menjadi persamaan dengan derajat yang lebih rendah. Dengan cara yang sama, menurunkan formula diturunkan untuk derajat yang lebih tinggi dosa dan karena.

Ekspresi fungsi trigonometri melalui salah satu dari mereka dari argumen yang sama.

Tanda di depan akar tergantung pada seperempat sudut α .