Seri "Ekonomi dan Manajemen"

6. Kondratiev N.D. Siklus konjungtur besar dan teori pandangan ke depan. - M.: Ekonomi, 2002. 768 hal.

7. Kuzyk B.N., Kushlin V.I., Yakovets Yu.V. Peramalan, perencanaan strategis dan program nasional. M.: Penerbitan "Ekonomi", 2008. 573 hal.

8. Lyasnikov N.V., Dudin M.N. Modernisasi ekonomi inovasi dalam konteks pembentukan dan pengembangan pasar ventura // Ilmu sosial. M.: Penerbitan "MII Nauka", 2011. No. 1. S. 278-285.

9. Sekerin V.D., Kuznetsova O.S. Pengembangan strategi manajemen proyek inovasi // Buletin Akademi Administrasi Bisnis Negara Moskow. Seri: Ekonomi. - 2013. Nomor 1 (20). - S.129 - 134.

10. Yakovlev V.M., Senin A.S. Tidak ada alternatif untuk tipe inovatif dari perkembangan ekonomi Rusia // Isu aktual dari ekonomi inovatif. M.: Penerbitan "Ilmu"; Institut Manajemen dan Pemasaran Akademi Seni dan Ilmu Pengetahuan Rusia di bawah Presiden Federasi Rusia, 2012. No. 1(1).

11. Baranenko S.P., Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Busygin KD. Menggunakan pendekatan lingkungan untuk pengembangan perusahaan industri yang berorientasi pada inovasi // American Journal of Applied Sciences.- 2014.- Vol. 11, No.2, - P. 189-194.

12. Dudin M.N. Pendekatan sistematis untuk menentukan mode interaksi bisnis besar dan kecil // European Journal of Economic Studies. 2012. Jil. (2), no.2, hal.84-87.

13. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Kuznecov A.V., Fedorova I.Ju. Transformasi Inovatif dan Potensi Transformasi Sistem Sosial Ekonomi // Jurnal Riset Ilmiah Timur Tengah, 2013. Vol. 17, No. 10. H. 1434-1437.

14. Dudin M.N., Ljasnikov N.V., Pankov S.V., Sepiashvili E.N. Pandangan ke depan yang inovatif sebagai metode pengelolaan pengembangan strategis berkelanjutan dari struktur bisnis // Jurnal Ilmu Pengetahuan Terapan Dunia. - 2013. - Jil. 26, No. 8. - Hal. 1086-1089.

15. Sekerin V. D., Avramenko S. A., Veselovsky M. Ya., Aleksakhina V. G. Pasar B2G: Esensi dan Analisis Statistik // Jurnal Sains Terapan Dunia 31 (6): 1104-1108, 2014

Konstruksi model stokastik satu parameter dari proses produksi

Ph.D. Asosiasi Mordasov Yu.P.

Universitas Teknik Mesin, 8-916-853-13-32, [dilindungi email] gi

Anotasi. Penulis telah mengembangkan model matematis, stokastik dari proses produksi, tergantung pada satu parameter. Modelnya sudah teruji. Untuk ini, model simulasi produksi, proses pembuatan mesin dibuat, dengan mempertimbangkan pengaruh gangguan-kegagalan acak. Perbandingan hasil pemodelan matematika dan simulasi menegaskan kelayakan penerapan model matematika dalam praktik.

Kata kunci: proses teknologi, matematis, model simulasi, kendali operasional, persetujuan, gangguan acak.

Biaya manajemen operasional dapat dikurangi secara signifikan dengan mengembangkan metodologi yang memungkinkan Anda menemukan optimal antara biaya perencanaan operasional dan kerugian yang diakibatkan oleh perbedaan antara indikator yang direncanakan dan indikator proses produksi nyata. Ini berarti menemukan durasi sinyal yang optimal dalam loop umpan balik. Dalam praktiknya, ini berarti pengurangan jumlah perhitungan jadwal kalender untuk meluncurkan unit perakitan ke dalam produksi dan, karenanya, menghemat sumber daya material.

Jalannya proses produksi dalam teknik mesin bersifat probabilistik. Pengaruh konstan dari faktor-faktor yang terus berubah tidak memungkinkan untuk memprediksi untuk perspektif tertentu (bulan, kuartal) jalannya proses produksi dalam ruang dan waktu. Dalam model penjadwalan statistik, keadaan bagian pada setiap titik waktu tertentu harus diberikan dalam bentuk probabilitas yang sesuai (distribusi probabilitas) keberadaannya di tempat kerja yang berbeda. Namun, perlu untuk memastikan determinisme hasil akhir perusahaan. Ini, pada gilirannya, menyiratkan kemungkinan, dengan menggunakan metode deterministik, untuk merencanakan persyaratan tertentu untuk suku cadang yang akan diproduksi. Namun, pengalaman menunjukkan bahwa berbagai keterkaitan dan transisi timbal balik dari proses produksi nyata beragam dan banyak. Ketika mengembangkan model deterministik, ini menciptakan kesulitan yang signifikan.

Upaya untuk mempertimbangkan semua faktor yang mempengaruhi jalannya produksi membuat model menjadi rumit, dan berhenti berfungsi sebagai alat perencanaan, akuntansi dan regulasi.

Metode yang lebih sederhana untuk membangun model matematika dari proses nyata yang kompleks yang bergantung pada sejumlah besar faktor yang berbeda, yang sulit atau bahkan tidak mungkin untuk diperhitungkan, adalah konstruksi model stokastik. Dalam hal ini, ketika menganalisis prinsip-prinsip fungsi sistem nyata atau ketika mengamati karakteristik individualnya, fungsi distribusi probabilitas dibangun untuk beberapa parameter. Dengan adanya stabilitas statistik yang tinggi dari karakteristik kuantitatif proses dan dispersinya yang kecil, hasil yang diperoleh dengan menggunakan model yang dibangun sesuai dengan kinerja sistem nyata.

Prasyarat utama untuk membangun model statistik proses ekonomi adalah:

Kompleksitas yang berlebihan dan inefisiensi ekonomi terkait dari model deterministik yang sesuai;

Penyimpangan besar dari indikator teoretis yang diperoleh sebagai hasil percobaan pada model dari indikator objek yang benar-benar berfungsi.

Oleh karena itu, diinginkan untuk memiliki peralatan matematika sederhana yang menggambarkan dampak gangguan stokastik pada karakteristik global dari proses produksi (output komoditas, volume pekerjaan yang sedang berjalan, dll.). Artinya, untuk membangun model matematis dari proses produksi yang bergantung pada sejumlah kecil parameter dan mencerminkan pengaruh total banyak faktor yang sifatnya berbeda pada jalannya proses produksi. Tugas utama yang harus ditetapkan oleh peneliti sendiri ketika membangun model bukanlah pengamatan pasif terhadap parameter sistem nyata, tetapi konstruksi model sedemikian rupa sehingga, dengan setiap penyimpangan di bawah pengaruh gangguan, akan membawa parameter yang ditampilkan. proses ke mode tertentu. Artinya, di bawah aksi faktor acak apa pun, suatu proses harus ditetapkan dalam sistem yang konvergen ke solusi yang direncanakan. Saat ini, dalam sistem kontrol otomatis, fungsi ini terutama diberikan kepada seseorang, yang merupakan salah satu mata rantai dalam rantai umpan balik dalam pengelolaan proses produksi.

Mari kita beralih ke analisis proses produksi yang sebenarnya. Biasanya, durasi periode perencanaan (frekuensi penerbitan rencana ke lokakarya) dipilih berdasarkan interval waktu kalender yang ditetapkan secara tradisional: shift, hari, lima hari, dll. Mereka dipandu terutama oleh pertimbangan praktis. Durasi minimum periode perencanaan ditentukan oleh kemampuan operasional badan yang direncanakan. Jika departemen produksi dan pengiriman perusahaan mengatasi penerbitan tugas shift yang disesuaikan ke toko, maka perhitungan dibuat untuk setiap shift (yaitu, biaya yang terkait dengan perhitungan dan analisis target yang direncanakan dikeluarkan setiap shift).

Untuk menentukan karakteristik numerik dari distribusi probabilitas acak

Serangkaian gangguan "Ekonomi dan Manajemen" akan membangun model probabilistik dari proses teknologi nyata dari pembuatan satu unit perakitan. Di sini dan selanjutnya, proses teknologi pembuatan unit perakitan berarti urutan operasi (pekerjaan untuk pembuatan bagian atau rakitan ini), yang didokumentasikan dalam teknologi. Setiap operasi teknologi produk manufaktur sesuai dengan rute teknologi hanya dapat dilakukan setelah yang sebelumnya. Akibatnya, proses teknologi manufaktur unit perakitan adalah urutan peristiwa-operasi. Di bawah pengaruh berbagai alasan stokastik, durasi operasi individu dapat berubah. Dalam beberapa kasus, operasi mungkin tidak selesai selama validitas pekerjaan shift ini. Jelas bahwa peristiwa-peristiwa ini dapat didekomposisi menjadi komponen-komponen dasar: kinerja dan non-kinerja dari operasi individu, yang juga dapat dimasukkan ke dalam korespondensi dengan probabilitas kinerja dan non-kinerja.

Untuk proses teknologi tertentu, probabilitas melakukan urutan yang terdiri dari operasi K dapat dinyatakan dengan rumus berikut:

PC5 \u003d k) \u003d (1-pk + 1) PG \u003d 1P1, (1)

di mana: P1 - kemungkinan melakukan operasi pertama, diambil secara terpisah; r adalah jumlah operasi berurutan dalam proses teknologi.

Rumus ini dapat digunakan untuk menentukan karakteristik stokastik dari periode perencanaan tertentu, saat rentang produk yang diluncurkan ke produksi dan daftar pekerjaan yang harus dilakukan dalam periode perencanaan tertentu, serta karakteristik stokastiknya, yang ditentukan secara empiris. , diketahui. Dalam praktiknya, hanya jenis produksi massal tertentu, yang memiliki stabilitas karakteristik statistik tinggi, yang memenuhi persyaratan yang tercantum.

Probabilitas melakukan satu operasi tunggal tidak hanya bergantung pada faktor eksternal, tetapi juga pada sifat spesifik dari pekerjaan yang dilakukan dan pada jenis unit perakitan.

Untuk menentukan parameter rumus di atas, bahkan dengan unit perakitan yang relatif kecil, dengan perubahan kecil dalam kisaran produk manufaktur, sejumlah besar data eksperimental diperlukan, yang menyebabkan biaya material dan organisasi yang signifikan dan menjadikan metode ini untuk menentukan kemungkinan produksi produk yang tidak terputus hampir tidak dapat diterapkan.

Mari kita tundukkan model yang diperoleh untuk dipelajari untuk kemungkinan penyederhanaannya. Nilai awal analisis adalah probabilitas eksekusi bebas kegagalan dari satu operasi proses teknologi produk manufaktur. Dalam kondisi produksi nyata, probabilitas melakukan operasi dari setiap jenis berbeda. Untuk proses teknologi tertentu, probabilitas ini tergantung pada:

Dari jenis operasi yang dilakukan;

Dari unit perakitan tertentu;

Dari produk yang diproduksi secara paralel;

dari faktor eksternal.

Mari kita menganalisis pengaruh fluktuasi dalam kemungkinan melakukan satu operasi pada karakteristik agregat dari proses produksi produk manufaktur (volume output komersial, volume pekerjaan yang sedang berjalan, dll.) ditentukan menggunakan model ini. Tujuan dari penelitian ini adalah untuk menganalisis kemungkinan penggantian dalam model berbagai probabilitas melakukan satu operasi dengan nilai rata-rata.

Efek gabungan dari semua faktor ini diperhitungkan saat menghitung probabilitas geometrik rata-rata untuk melakukan satu operasi dari proses teknologi rata-rata. Analisis produksi modern menunjukkan bahwa itu sedikit berfluktuasi: praktis dalam 0,9 - 1,0.

Sebuah ilustrasi yang jelas tentang seberapa rendah kemungkinan melakukan satu operasi

walkie-talkie sesuai dengan nilai 0,9, adalah contoh abstrak berikut. Katakanlah kita memiliki sepuluh potong untuk dibuat. Proses teknologi manufaktur masing-masing berisi sepuluh operasi. Probabilitas melakukan setiap operasi adalah 0,9. Mari kita temukan probabilitas tertinggal di belakang jadwal untuk sejumlah proses teknologi yang berbeda.

Sebuah peristiwa acak, yang terdiri dari fakta bahwa proses teknologi tertentu dari manufaktur unit perakitan akan jatuh di belakang jadwal, sesuai dengan kinerja yang kurang dari setidaknya satu operasi dalam proses ini. Ini adalah kebalikan dari suatu peristiwa: pelaksanaan semua operasi tanpa kegagalan. Probabilitasnya adalah 1 - 0,910 = 0,65. Karena penundaan jadwal adalah peristiwa independen, distribusi probabilitas Bernoulli dapat digunakan untuk menentukan probabilitas penundaan jadwal untuk sejumlah proses yang berbeda. Hasil perhitungan ditunjukkan pada Tabel 1.

Tabel 1

Perhitungan probabilitas tertinggal di belakang jadwal proses teknologi

ke C^o0.35k0.651O-k Jumlah

Tabel menunjukkan bahwa dengan probabilitas 0,92, lima proses teknologi akan tertinggal dari jadwal, yaitu setengahnya. Ekspektasi matematis dari jumlah proses teknologi yang tertinggal dari jadwal akan menjadi 6,5. Artinya, rata-rata 6,5 ​​unit perakitan dari 10 akan tertinggal dari jadwal, yaitu rata-rata 3 hingga 4 suku cadang akan diproduksi tanpa kegagalan. Penulis tidak mengetahui contoh-contoh tingkat organisasi buruh yang begitu rendah dalam produksi riil. Contoh yang dipertimbangkan dengan jelas menunjukkan bahwa pembatasan yang dikenakan pada nilai probabilitas melakukan satu operasi tanpa kegagalan tidak bertentangan dengan praktik. Semua persyaratan di atas dipenuhi oleh proses produksi toko perakitan mesin produksi pembuatan mesin.

Jadi, untuk menentukan karakteristik stokastik dari proses produksi, diusulkan untuk membangun distribusi probabilitas untuk pelaksanaan operasional satu proses teknologi, yang menyatakan probabilitas melakukan urutan operasi teknologi untuk membuat unit perakitan melalui probabilitas rata-rata geometrik dari melakukan satu operasi. Probabilitas melakukan K operasi dalam kasus ini akan sama dengan produk dari probabilitas melakukan setiap operasi, dikalikan dengan probabilitas tidak melakukan sisa proses teknologi, yang bertepatan dengan probabilitas tidak melakukan (K + T )-operasi. Fakta ini dijelaskan oleh fakta bahwa jika operasi apa pun tidak dilakukan, maka operasi berikut tidak dapat dijalankan. Entri terakhir berbeda dari yang lain, karena mengungkapkan kemungkinan perjalanan lengkap tanpa kegagalan seluruh proses teknologi. Probabilitas melakukan K operasi pertama dari proses teknologi secara unik terkait dengan probabilitas tidak melakukan operasi yang tersisa. Dengan demikian, distribusi probabilitas memiliki bentuk berikut:

PY=0)=p°(1-p),

(§=1) = 1(1-р), (2)

P(^=1) = p1(1-p),

P(t=u-1) = pn"1(1 - p), P(t=n) = pn,

di mana: ^ - nilai acak, jumlah operasi yang dilakukan;

p adalah probabilitas rata-rata geometrik untuk melakukan satu operasi, n adalah jumlah operasi dalam proses teknologi.

Validitas penerapan distribusi probabilitas satu parameter yang diperoleh secara intuitif terbukti dari alasan berikut. Mari kita asumsikan bahwa kita telah menghitung rata-rata geometrik dari probabilitas melakukan satu operasi 1 pada sampel n elemen, di mana n cukup besar.

p = USHT7P7= tl|n]t=1p!), (3)

di mana: Iy - jumlah operasi yang memiliki probabilitas eksekusi yang sama; ] - indeks sekelompok operasi yang memiliki probabilitas eksekusi yang sama; m - jumlah grup yang terdiri dari operasi yang memiliki probabilitas eksekusi yang sama;

^ = - - frekuensi relatif terjadinya operasi dengan probabilitas eksekusi p^.

Menurut hukum bilangan besar, dengan jumlah operasi yang tidak terbatas, frekuensi relatif kemunculan dalam urutan operasi dengan karakteristik stokastik tertentu cenderung dalam probabilitas ke probabilitas kejadian ini. Darimana jadinya?

untuk dua sampel yang cukup besar = , maka:

di mana: t1, t2 - jumlah kelompok dalam sampel pertama dan kedua, masing-masing;

1*, I2 - jumlah elemen dalam kelompok sampel pertama dan kedua, masing-masing.

Dari sini dapat dilihat bahwa jika parameter dihitung untuk sejumlah besar pengujian, maka akan mendekati parameter P yang dihitung untuk sampel yang agak besar ini.

Perhatian harus diberikan pada kedekatan yang berbeda dengan nilai sebenarnya dari probabilitas melakukan sejumlah operasi proses yang berbeda. Di semua elemen distribusi, kecuali yang terakhir, ada faktor (I - P). Karena nilai parameter P berada pada kisaran 0,9 - 1,0, maka faktor (I - P) berfluktuasi antara 0 - 0,1. Pengganda ini sesuai dengan pengganda (I - p;) dalam model aslinya. Pengalaman menunjukkan bahwa korespondensi untuk probabilitas tertentu ini dapat menyebabkan kesalahan hingga 300%. Namun, dalam praktiknya, seseorang biasanya tidak tertarik pada probabilitas melakukan sejumlah operasi, tetapi pada kemungkinan eksekusi lengkap tanpa kegagalan proses teknologi. Probabilitas ini tidak mengandung faktor (I - P), dan oleh karena itu, penyimpangannya dari nilai sebenarnya kecil (praktis tidak lebih dari 3%). Untuk tugas ekonomi, ini adalah akurasi yang cukup tinggi.

Distribusi probabilitas dari variabel acak yang dibangun dengan cara ini adalah model dinamis stokastik dari proses pembuatan unit perakitan. Waktu berpartisipasi di dalamnya secara implisit, sebagai durasi satu operasi. Model ini memungkinkan Anda untuk menentukan probabilitas bahwa setelah periode waktu tertentu (jumlah operasi yang sesuai) proses produksi pembuatan unit perakitan tidak akan terganggu. Untuk bengkel perakitan mekanis dari produksi pembuatan mesin, jumlah rata-rata operasi dari satu proses teknologi cukup besar (15 - 80). Jika kita menganggap angka ini sebagai angka dasar dan mengasumsikan bahwa, rata-rata, dalam pembuatan satu unit perakitan, satu set kecil jenis pekerjaan yang diperbesar digunakan (pembubutan, tukang kunci, penggilingan, dll.),

maka distribusi yang dihasilkan dapat berhasil digunakan untuk menilai dampak gangguan stokastik terhadap jalannya proses produksi.

Penulis melakukan eksperimen simulasi yang dibangun berdasarkan prinsip ini. Untuk menghasilkan urutan variabel pseudo-acak yang terdistribusi secara seragam selama interval 0,9 - 1,0, generator nomor pseudo-acak digunakan, dijelaskan dalam . Perangkat lunak percobaan ditulis dalam bahasa algoritme COBOL.

Dalam percobaan, produk dari variabel acak yang dihasilkan dibentuk, mensimulasikan probabilitas nyata dari eksekusi lengkap dari proses teknologi tertentu. Mereka dibandingkan dengan kemungkinan melakukan proses teknologi, diperoleh dengan menggunakan nilai rata-rata geometrik, yang dihitung untuk urutan angka acak tertentu dari distribusi yang sama. Rata-rata geometrik dinaikkan ke pangkat yang sama dengan jumlah faktor dalam produk. Di antara kedua hasil ini, perbedaan relatif dalam persen dihitung. Eksperimen diulangi untuk sejumlah faktor yang berbeda dalam produk dan jumlah angka yang rata-rata geometriknya dihitung. Sebagian dari hasil percobaan ditunjukkan pada Tabel 2.

Meja 2

Hasil percobaan simulasi:

n adalah derajat mean geometrik; k - tingkat produk

n ke Penyimpangan Produk ke Penyimpangan Produk ke Penyimpangan Produk

10 1 0,9680 0% 7 0,7200 3% 13 0,6277 -7%

10 19 0,4620 -1% 25 0,3577 -1% 31 0,2453 2%

10 37 0,2004 6% 43 0,1333 4% 49 0,0888 6%

10 55 0,0598 8% 61 0,0475 5% 67 0,0376 2%

10 73 0,0277 1% 79 0,0196 9% 85 0,0143 2%

10 91 0,0094 9% 97 0,0058 0%

13 7 0,7200 8% 13 0,6277 0% 19 0,4620 0%

13 25 0,3577 5% 31 0,2453 6% 37 0,2004 4%

13 43 0,1333 3% 49 0,0888 8% 55 0,0598 8%

13 61 0,0475 2% 67 0,0376 8% 73 0,0277 2%

13 79 0,0196 1% 85 0,0143 5% 91 0,0094 5%

16 1 0,9680 0% 7 0,7200 9%

16 13 0,6277 2% 19 0,4620 3% 25 0,3577 0%

16 31 0,2453 2% 37 0,2004 2% 43 0,1333 5%

16 49 0,0888 4% 55 0,0598 0% 61 0,0475 7%

16 67 0,0376 5% 73 0,0277 5% 79 0,0196 2%

16 85 0,0143 4% 91 0,0094 0% 97 0,0058 4%

19 4 0,8157 4% 10 0,6591 1% 16 0,5795 -9%

19 22 0,4373 -5% 28 0,2814 5% 34 0,2256 3%

19 40 0,1591 6% 46 0,1118 1% 52 0,0757 3%

19 58 0,0529 4% 64 0,0418 3% 70 0,0330 2%

19 76 0,0241 6% 82 0,0160 1% 88 0,0117 8%

19 94 0,0075 7% 100 0,0048 3%

22 10 0,6591 4% 16 0,5795 -4% 22 0,4373 0%

22 28 0,2814 5% 34 0,2256 5% 40 0,1591 1%

22 46 0,1118 1% 52 0,0757 0% 58 0,0529 8%

22 64 0,0418 1% 70 0,0330 3% 76 0,0241 5%

22 82 0,0160 4% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

22 100 0,0048 1%

25 4 0,8157 3% 10 0,6591 0%

25 16 0,5795 0% 72 0,4373 -7% 28 0,2814 2%

25 34 0,2256 9% 40 0,1591 1% 46 0,1118 4%

25 52 0,0757 5% 58 0,0529 4% 64 0,0418 2%

25 70 0,0330 0% 76 0,0241 2% 82 0,0160 4%

28 4 0,8157 2% 10 0,6591 -2% 16 0,5795 -5%

28 22 0,4373 -3% 28 0,2814 2% 34 0,2256 -1%

28 40 0,1591 6% 46 0,1118 6% 52 0,0757 1%

28 58 0,0529 4% 64 0,041 8 9% 70 0,0330 5%

28 70 0,0241 2% 82 0,0160 3% 88 0,0117 1%

28 94 0,0075 100 0,0048 5%

31 10 0,6591 -3% 16 0,5795 -5% 22 0,4373 -4%

31 28 0,2814 0% 34 0,2256 -3% 40 0,1591 4%

31 46 0,1118 3% 52 0,0757 7% 58 0,0529 9%

31 64 0,0418 4% 70 0,0330 0% 76 0,0241 6%

31 82 0,0160 6% 88 0,0117 2% 94 0,0075 5%

Saat menyiapkan percobaan simulasi ini, tujuannya adalah untuk mengeksplorasi kemungkinan memperoleh, dengan menggunakan distribusi probabilitas (2), salah satu karakteristik statistik yang diperbesar dari proses produksi - probabilitas melakukan satu proses teknologi pembuatan unit perakitan yang terdiri dari K operasi tanpa kegagalan. Untuk proses teknologi tertentu, probabilitas ini sama dengan produk dari probabilitas melakukan semua operasinya. Seperti yang ditunjukkan oleh eksperimen simulasi, deviasi relatifnya dari probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan model probabilistik yang dikembangkan tidak melebihi 9%.

Karena eksperimen simulasi menggunakan distribusi probabilitas yang lebih merepotkan daripada distribusi probabilitas nyata, perbedaan praktis akan semakin kecil. Penyimpangan diamati baik ke arah menurun maupun ke arah melebihi nilai yang diperoleh dari karakteristik rata-rata. Fakta ini menunjukkan bahwa jika kita mempertimbangkan penyimpangan probabilitas eksekusi bebas kegagalan dari bukan proses teknologi tunggal, tetapi beberapa, maka itu akan jauh lebih sedikit. Jelas, semakin kecil, semakin banyak proses teknologi yang akan dipertimbangkan. Dengan demikian, percobaan simulasi menunjukkan kesepakatan yang baik antara probabilitas kinerja tanpa kegagalan proses teknologi produk manufaktur dengan probabilitas yang diperoleh dengan menggunakan model matematika satu parameter.

Selain itu, percobaan simulasi dilakukan:

Untuk mempelajari konvergensi statistik dari estimasi parameter distribusi probabilitas;

Untuk mempelajari stabilitas statistik dari ekspektasi matematis dari jumlah operasi yang dilakukan tanpa kegagalan;

Menganalisis metode untuk menentukan durasi periode perencanaan minimum dan menilai perbedaan antara indikator proses produksi yang direncanakan dan yang sebenarnya, jika periode yang direncanakan dan produksi tidak tepat waktu.

Eksperimen telah menunjukkan kesepakatan yang baik antara data teoretis yang diperoleh melalui penggunaan teknik dan data empiris yang diperoleh dengan simulasi pada

Seri "Ekonomi dan Manajemen"

Komputer dari proses produksi nyata.

Berdasarkan penerapan model matematika yang dibangun, penulis telah mengembangkan tiga metode khusus untuk meningkatkan efisiensi manajemen operasional. Untuk persetujuan mereka, eksperimen simulasi terpisah dilakukan.

1. Metodologi untuk menentukan volume rasional tugas produksi untuk periode perencanaan.

2. Metodologi untuk menentukan durasi yang paling efektif dari periode perencanaan operasional.

3. Evaluasi ketidaksesuaian apabila terjadi ketidaksesuaian waktu antara periode yang direncanakan dengan periode produksi.

literatur

1. Mordasov Yu.P. Menentukan durasi periode perencanaan operasional minimum di bawah aksi gangguan acak / Ekonomi-matematis dan pemodelan simulasi menggunakan komputer. - M: MIU im. S.Ordzhonikidze, 1984.

2. Percobaan simulasi mesin Naylor T. dengan model sistem ekonomi. -M: Mir, 1975.

Transisi dari konsentrasi ke diversifikasi adalah cara yang efektif untuk mengembangkan ekonomi usaha kecil dan menengah

prof. Kozlenko N.N. Universitas Teknik Mesin

Anotasi. Artikel ini mempertimbangkan masalah memilih pengembangan usaha kecil dan menengah Rusia yang paling efektif melalui transisi dari strategi konsentrasi ke strategi diversifikasi. Masalah kelayakan diversifikasi, keuntungannya, kriteria untuk memilih jalur diversifikasi dipertimbangkan, klasifikasi strategi diversifikasi diberikan.

Kata kunci: usaha kecil dan menengah; diversifikasi; cocok strategis; keunggulan kompetitif.

Perubahan aktif dalam parameter lingkungan makro (perubahan kondisi pasar, munculnya pesaing baru di industri terkait, peningkatan tingkat persaingan secara umum) sering menyebabkan tidak terpenuhinya rencana strategis yang direncanakan dari usaha kecil dan menengah. bisnis berukuran besar, hilangnya stabilitas keuangan dan ekonomi perusahaan karena kesenjangan yang signifikan antara kondisi obyektif untuk kegiatan usaha kecil, perusahaan dan tingkat teknologi manajemen mereka.

Kondisi utama untuk stabilitas ekonomi dan kemungkinan mempertahankan keunggulan kompetitif adalah kemampuan sistem manajemen untuk merespons secara tepat waktu dan mengubah proses produksi internal (mengubah bermacam-macam dengan mempertimbangkan diversifikasi, membangun kembali proses produksi dan teknologi, mengubah struktur organisasi, gunakan alat pemasaran dan manajemen yang inovatif).

Sebuah studi tentang praktik perusahaan kecil dan menengah Rusia dari jenis dan layanan produksi telah mengungkapkan fitur-fitur berikut dan hubungan sebab-akibat dasar mengenai tren saat ini dalam transisi perusahaan kecil dari konsentrasi ke diversifikasi.

Sebagian besar UKM dimulai sebagai bisnis kecil satu ukuran untuk semua yang melayani pasar lokal atau regional. Pada awal kegiatannya, rangkaian produk perusahaan semacam itu sangat terbatas, basis modalnya lemah, dan posisi kompetitifnya rentan. Biasanya, strategi perusahaan semacam itu berfokus pada pertumbuhan penjualan dan pangsa pasar, serta

Sesuai dengan namanya, jenis model ini berfokus pada deskripsi sistem yang menunjukkan perilaku acak yang teratur secara statistik, dan waktu di dalamnya dapat dianggap sebagai nilai diskrit. Inti dari diskritisasi waktu adalah sama seperti pada model deterministik diskrit. Model sistem semacam ini dapat dibangun atas dasar dua skema deskripsi formal. Pertama, ini adalah persamaan beda hingga, di antara variabelnya adalah fungsi yang mendefinisikan proses acak. Kedua, mereka menggunakan automata probabilistik.

Contoh membangun sistem stokastik diskrit. Biarkan ada beberapa sistem produksi, yang strukturnya ditunjukkan pada Gambar. 3.8. Dalam kerangka sistem ini, aliran material yang homogen bergerak melalui tahapan penyimpanan dan produksi.

Misalnya, aliran bahan baku terdiri dari batangan logam, yang disimpan di gudang input. Kemudian cakram-cakram ini masuk ke produksi, di mana beberapa jenis produk dihasilkan darinya. Produk jadi disimpan di gudang keluaran, dari mana mereka diambil untuk tindakan lebih lanjut dengan mereka (ditransfer ke fase produksi berikutnya atau untuk dijual). Dalam kasus umum, sistem produksi seperti itu mengubah aliran material dari bahan mentah, bahan dan produk setengah jadi menjadi aliran produk jadi.

Biarkan langkah waktu dalam sistem produksi ini sama dengan satu (D? = 1). Kami akan mengambil perubahan dalam pengoperasian sistem ini sebagai satu kesatuan. Kami berasumsi bahwa proses pembuatan produk berlangsung satu langkah waktu.

Beras. 3.8, Diagram sistem produksi

Proses produksi dikendalikan oleh badan pengatur khusus, yang diberikan rencana pelepasan produk dalam bentuk intensitas keluaran yang terarah (jumlah produk yang harus diproduksi per satuan waktu, dalam hal ini, per shift). ). Kami menunjukkan intensitas ini dt. Sebenarnya, ini adalah tingkat produksi. Biarlah d t \u003d a + bt, yaitu adalah fungsi linier. Ini berarti bahwa dengan setiap shift berikutnya, rencana meningkat sebesar bt.

Karena kita berurusan dengan aliran bahan yang homogen, kami percaya bahwa, rata-rata, volume bahan mentah yang masuk ke sistem per unit waktu, volume produksi per unit waktu, volume produk jadi yang keluar dari sistem per unit waktu. waktu harus sama dengan dt.

Aliran input dan output untuk badan pengatur tidak dapat dikendalikan, intensitasnya (atau kecepatan - jumlah blanko atau produk per unit waktu, masing-masing, memasuki sistem dan meninggalkannya) harus sama dengan dt. Namun, disk mungkin hilang selama transportasi, atau beberapa di antaranya kualitasnya buruk, atau karena alasan tertentu akan tiba lebih dari yang diperlukan, dll. Oleh karena itu, kami berasumsi bahwa aliran input memiliki intensitas:

x t dalam \u003d d t + t di,

di mana 1 in adalah variabel acak terdistribusi seragam dari -15 hingga +15.

Kira-kira proses yang sama dapat terjadi dengan aliran keluaran. Oleh karena itu, aliran keluaran memiliki intensitas sebagai berikut:

x t dalam s x \u003d d t + tidak keluar,

di mana t out adalah variabel acak terdistribusi normal dengan ekspektasi matematis nol dan varians sama dengan 15.

Kami akan berasumsi bahwa dalam proses produksi ada kecelakaan yang terkait dengan tidak adanya pekerja untuk bekerja, kerusakan mesin, dll. Keacakan ini dijelaskan oleh variabel acak terdistribusi normal dengan harapan matematis nol dan varians sama dengan 15. Mari kita nyatakan dengan t/ Proses produksi berlangsung satu unit waktu, di mana x t bahan mentah, kemudian bahan mentah tersebut diproses dan dipindahkan ke gudang keluaran dalam satuan waktu yang sama. Badan pengawas menerima informasi tentang pengoperasian sistem dalam tiga cara yang mungkin (mereka ditandai dengan angka 1, 2, 3 pada Gambar 3.8). Kami percaya bahwa metode memperoleh informasi ini saling eksklusif dalam sistem untuk beberapa alasan.

Metode 1. Badan pengawas hanya menerima informasi tentang keadaan gudang input (misalnya, tentang perubahan stok di gudang atau tentang penyimpangan volume stok dari tingkat standarnya) dan menggunakannya untuk menilai kecepatan proses produksi. (tentang kecepatan penarikan bahan baku dari gudang):

1) ( kamu tidak masuk - kamu t-1 in )- perubahan volume stok di gudang (ut in - volume bahan baku di gudang input pada saat itu t);

2) (ù- u t in) - penyimpangan volume bahan baku di gudang input dari tingkat stok.

Jalan 2. Regulator menerima informasi langsung dari produksi (x t - intensitas produksi aktual) dan membandingkannya dengan intensitas arahan (dt-xt).

Metode 3. Badan pengawas menerima informasi seperti pada metode 1, tetapi dari gudang keluaran dalam bentuk ( kamu tidak - kamu t-1 keluar )- atau (u -u t keluar). Dia juga menilai proses produksi berdasarkan data tidak langsung - peningkatan atau penurunan stok barang jadi.

Untuk mempertahankan tingkat produksi tertentu t , badan pengawas membuat keputusan t ,(atau (y t - y t - 1)), bertujuan untuk mengubah intensitas keluaran aktual xt . Sebagai keputusan, badan pengawas menginformasikan produksi nilai intensitas yang digunakan untuk bekerja, mis. xt = yt . Versi kedua dari solusi kontrol - (yt-yt-1), itu. regulator memberi tahu produksi berapa banyak untuk menambah atau mengurangi intensitas produksi (x t -x t-1).

Tergantung pada metode memperoleh informasi dan jenis variabel yang menggambarkan tindakan pengendalian, besaran berikut dapat mempengaruhi pengambilan keputusan.

1. Dasar keputusan (nilai yang harus sama dengan intensitas produksi yang sebenarnya jika tidak ada penyimpangan):

intensitas keluaran direktif saat ini t(dt);

laju perubahan intensitas arahan output saat ini t(dt-dt-1).

2. Jumlah penyimpangan:

penyimpangan keluaran aktual dari arahan (dt-xt);

penyimpangan volume output aktual dari volume yang direncanakan

Σ d - Σ x

perubahan tingkat stok pada input ( ( kamu tidak masuk - u t-1 in) atau keluaran

(kamu keluar - u t-1 keluar) gudang;

penyimpangan tingkat stok pada input (ù- u t input) atau output ( kamu -u t out) gudang dari tingkat standar.

Secara umum, keputusan manajemen yang dibuat oleh badan pengawas terdiri dari komponen-komponen berikut:

Contoh solusi:

y t = d t +y(d t-1 -x t-1);

y t = d t -y(ù -u keluar)

Mengambil berbagai keputusan dalam bentuk, badan pengawas berusaha untuk mencapai tujuan utama - untuk membawa intensitas keluaran aktual lebih dekat ke yang direktif. Namun, dia tidak selalu dapat secara langsung dipandu dalam keputusannya dengan sejauh mana tujuan ini tercapai. (dt-xt). Hasil akhir dapat dinyatakan dalam pencapaian tujuan lokal - stabilisasi tingkat stok di gudang input atau output ( dan T masuk (keluar) - dan T-1 masuk (keluar)) atau dalam perkiraan tingkat stok di gudang dengan standar (dan-dan masuk (keluar)). Tergantung pada tujuan yang ingin dicapai, jenis tanda (+ atau -) di depan pecahan ketidaksesuaian yang digunakan untuk pengaturan ditentukan dalam larutan kontrol.

Biarkan dalam kasus kami, badan pengawas menerima informasi tentang keadaan gudang input (perubahan tingkat stok). Diketahui bahwa dalam setiap sistem kontrol ada keterlambatan dalam pengembangan dan implementasi solusi. Dalam contoh ini, informasi tentang status gudang input masuk ke badan pengawas dengan penundaan satu langkah waktu. Penundaan semacam itu disebut penundaan keputusan dan berarti bahwa pada saat informasi diterima oleh badan pengawas, keadaan sebenarnya dari tingkat stok di gudang input sudah akan berbeda. Setelah regulator membuat keputusan di t itu juga akan membutuhkan waktu (dalam contoh kita ini akan menjadi satuan waktu) untuk membawa solusi kepada pelaku. Artinya intensitas produksi yang sebenarnya tidak t , tetapi untuk keputusan yang dibuat oleh badan pengatur beberapa waktu lalu. Ini adalah keterlambatan dalam implementasi solusi.

Untuk menggambarkan sistem produksi kami, kami memiliki persamaan berikut:

x tbx=t + tidak masuk

x t KELUAR =dt + t keluar;

y t = dt + y(u -u t-2 di)

x t = y t-1 + t

kamu t di - kamu t-1 dalam = x t di - x t

Sistem persamaan ini memungkinkan Anda untuk membangun model sistem produksi, di mana variabel input akan menjadi t , t masuk, t keluar, t ,a

libur - xt . Ini benar karena pengamat eksternal memandang produksi kami sebagai sistem yang menerima bahan mentah dengan laju dt dan menghasilkan produk dengan intensitas xt , tunduk pada keacakan ξ t masuk, t keluar, t . Setelah melakukan semua substitusi dalam sistem persamaan yang dihasilkan, kami sampai pada satu persamaan dinamika yang mencirikan perilaku x t tergantung pada t , t masuk, t keluar, t .

Model yang dipertimbangkan di atas tidak mengandung batasan volume gudang dan kapasitas produksi. Jika diasumsikan kapasitas gudang input adalah Vx, kapasitas gudang output adalah V BX, dan kapasitas produksi adalah M, maka sistem persamaan baru untuk sistem produksi nonlinier tersebut adalah sebagai berikut:

x tBX=min((d t+ t in), (V in - kamu t in)) - tidak mungkin untuk memasukkan lebih banyak ke dalam gudang input daripada yang diizinkan oleh ruang;

x KELUAR =min((d t+ t keluar),(V keluar - kamu t out)) - Anda tidak dapat mengambil lebih banyak produk dari gudang keluaran daripada yang ada;

y t =d t + y(u masuk -u t-1 dalam)

x tBX = menit(( kamu masuk, ( t-1+ t dalam), M,(V keluar - kamu t out)) - tidak mungkin menghasilkan lebih banyak produk daripada yang dipesan, faktor pembatasnya adalah jumlah kosong yang tersedia dan ketersediaan ruang kosong di gudang keluaran;

kamu masuk -u t-1 dalam = x tBX-x t

Konstruksi model stokastik meliputi pengembangan, penilaian kualitas dan studi perilaku sistem menggunakan persamaan yang menggambarkan proses yang diteliti.

Untuk melakukan ini, dengan melakukan percobaan khusus dengan sistem nyata, diperoleh informasi awal. Dalam hal ini, metode perencanaan eksperimen, pemrosesan hasil, serta kriteria untuk mengevaluasi model yang diperoleh, berdasarkan bagian statistik matematika seperti dispersi, korelasi, analisis regresi, dll., digunakan.

Metode untuk membangun model statistik yang menggambarkan proses teknologi (Gbr. 6.1) didasarkan pada konsep "kotak hitam". Beberapa pengukuran faktor input dimungkinkan untuk itu: x 1 ,x 2 ,…,x k dan parameter keluaran: y 1 ,y 2 ,…,y p, sesuai dengan hasil dependensi yang ditetapkan:

Dalam pemodelan statistik, mengikuti rumusan masalah (1), faktor yang paling tidak penting disaring dari sejumlah besar variabel input yang mempengaruhi jalannya proses (2). Variabel input yang dipilih untuk penelitian lebih lanjut membuat daftar faktor x 1 ,x 2 ,…,x k di (6.1), dengan mengontrol yang memungkinkan untuk mengontrol parameter output y n. Jumlah keluaran model juga harus dikurangi sebanyak mungkin untuk mengurangi biaya eksperimen dan pemrosesan data.

Saat mengembangkan model statistik, strukturnya (3) biasanya diatur secara sewenang-wenang, dalam bentuk fungsi yang mudah digunakan yang mendekati data eksperimen, dan kemudian disempurnakan berdasarkan penilaian kecukupan model.

Bentuk polinomial dari model yang paling umum digunakan. Jadi, untuk fungsi kuadrat:

(6.2)

di mana b 0, b i , b ij , b ii adalah koefisien regresi.

Biasanya, pertama-tama kita membatasi diri kita pada model linier paling sederhana, yang dalam (6.2) b ii =0, b ij =0. Dalam hal ketidakcukupannya, model diperumit dengan pengenalan istilah yang memperhitungkan interaksi faktor x saya ,x j dan (atau) suku kuadrat .

Untuk memaksimalkan ekstraksi informasi dari eksperimen yang sedang berlangsung dan mengurangi jumlahnya, eksperimen direncanakan (4) yaitu. pemilihan jumlah dan kondisi untuk melakukan eksperimen yang diperlukan dan cukup untuk memecahkan masalah dengan akurasi tertentu.

Untuk membangun model statistik, dua jenis eksperimen digunakan: pasif dan aktif. Eksperimen pasif Ini dilakukan dalam bentuk pengamatan jangka panjang terhadap jalannya proses yang tidak terkendali, yang memungkinkan untuk mengumpulkan berbagai data untuk analisis statistik. PADA percobaan aktif adalah mungkin untuk mengontrol kondisi percobaan. Ketika dilakukan, yang paling efektif adalah variasi simultan dari besarnya semua faktor sesuai dengan rencana tertentu, yang memungkinkan untuk mengidentifikasi interaksi faktor dan mengurangi jumlah percobaan.

Berdasarkan hasil eksperimen (5), koefisien regresi (6.2) dihitung dan signifikansi statistiknya diperkirakan, yang melengkapi konstruksi model (6). Ukuran kecukupan model (7) adalah varians, yaitu. standar deviasi dari nilai yang dihitung dari yang eksperimental. Varians yang diperoleh dibandingkan dengan yang diterima dengan akurasi yang dicapai dari percobaan.

480 gosok. | 150 UAH | $7,5 ", MOUSEOFF, FGCOLOR, "#FFFFCC",BGCOLOR, "#393939");" onMouseOut="return nd();"> Tesis - 480 rubel, pengiriman 10 menit 24 jam sehari, tujuh hari seminggu dan hari libur

Demidova Anastasia Vyacheslavovna Metode untuk membangun model stokastik dari proses satu langkah: disertasi ... Kandidat Ilmu Fisika dan Matematika: 05.13.18 / Demidova Anastasia Vyacheslavovna; [Tempat pertahanan: Universitas Persahabatan Rakyat Rusia].- Moskow, 2014.- 126 p.

pengantar

Bab 1. Review karya dengan topik disertasi 14

1.1. Gambaran umum model dinamika populasi 14

1.2. Model populasi stokastik 23

1.3. Persamaan Diferensial Stokastik 26

1.4. Informasi kalkulus stokastik 32

Bab 2 Metode Pemodelan Proses Satu Langkah 39

2.1. Proses satu langkah. persamaan Kolmogorov-Chapman. Persamaan kinetik dasar 39

2.2. Metode untuk memodelkan proses satu langkah multidimensi. 47

2.3. Simulasi numerik 56

bagian 3 Penerapan metode pemodelan proses satu langkah 60

3.1. Model stokastik dinamika populasi 60

3.2. Model stokastik sistem populasi dengan berbagai interaksi antar dan intraspesifik 75

3.3. Model stokastik dari penyebaran worm jaringan. 92

3.4. Model stokastik dari protokol peer-to-peer 97

Kesimpulan 113

Sastra 116

Persamaan diferensial stokastik

Salah satu tujuan disertasi adalah tugas menulis persamaan diferensial stokastik untuk suatu sistem sehingga suku stokastik dikaitkan dengan struktur sistem yang diteliti. Salah satu solusi yang mungkin untuk masalah ini adalah untuk mendapatkan bagian stokastik dan deterministik dari persamaan yang sama. Untuk tujuan ini, akan lebih mudah untuk menggunakan persamaan kinetik dasar, yang dapat didekati dengan persamaan Fokker-Planck, yang, pada gilirannya, dapat dituliskan persamaan diferensial stokastik ekuivalen dalam bentuk persamaan Langevin.

Bagian 1.4. berisi informasi dasar yang diperlukan untuk menunjukkan hubungan antara persamaan diferensial stokastik dan persamaan Fokker-Planck, serta konsep dasar kalkulus stokastik.

Bab kedua memberikan informasi dasar dari teori proses acak dan, atas dasar teori ini, sebuah metode untuk memodelkan proses satu langkah dirumuskan.

Bagian 2.1 memberikan informasi dasar dari teori proses satu langkah acak.

Proses satu langkah dipahami sebagai proses Markov dengan waktu kontinu, mengambil nilai di wilayah bilangan bulat, matriks transisi yang hanya memungkinkan transisi antara bagian yang berdekatan.

Kami menganggap proses satu langkah multidimensi () = (i(),2(), ...,n()) = ( j(), = 1, ) , (0,1) , di mana adalah panjang interval waktu di mana proses X() ditentukan. Himpunan G \u003d (x, \u003d 1, NQ x NQ1 adalah himpunan nilai diskrit yang dapat diambil oleh proses acak.

Untuk proses satu langkah ini, probabilitas transisi per satuan waktu s+ dan s dari keadaan Xj ke keadaan Xj__i dan Xj_i, masing-masing, diperkenalkan. Dalam hal ini, dianggap bahwa probabilitas transisi dari keadaan x ke dua atau lebih langkah per satuan waktu sangat kecil. Oleh karena itu, kita dapat mengatakan bahwa vektor keadaan Xj dari sistem berubah dalam langkah-langkah dengan panjang ( dan alih-alih transisi dari x ke Xj+i dan Xj_i, kita dapat mempertimbangkan transisi dari X ke X + dan X - , masing-masing .

Ketika memodelkan sistem di mana evolusi temporal terjadi sebagai akibat dari interaksi elemen sistem, akan lebih mudah untuk menggambarkan menggunakan persamaan kinetik utama (nama lain adalah persamaan master, dan dalam literatur bahasa Inggris disebut persamaan Master).

Selanjutnya, muncul pertanyaan tentang bagaimana memperoleh deskripsi sistem yang dipelajari, dijelaskan dengan proses satu langkah, dengan bantuan persamaan diferensial stokastik dalam bentuk persamaan Langevin dari persamaan kinetik dasar. Secara formal, hanya persamaan yang mengandung fungsi stokastik yang harus diklasifikasikan sebagai persamaan stokastik. Jadi, hanya persamaan Langevin yang memenuhi definisi ini. Namun persamaan tersebut berhubungan langsung dengan persamaan lain yaitu persamaan Fokker-Planck dan persamaan kinetika dasar. Oleh karena itu, tampaknya logis untuk mempertimbangkan semua persamaan ini bersama-sama. Oleh karena itu, untuk memecahkan masalah ini, diusulkan untuk mendekati persamaan kinetik utama dengan persamaan Fokker-Planck, yang memungkinkan untuk menulis persamaan diferensial stokastik yang setara dalam bentuk persamaan Langevin.

Bagian 2.2 merumuskan metode untuk menggambarkan dan pemodelan stokastik dari sistem yang dijelaskan oleh proses satu langkah multidimensi.

Selain itu, ditunjukkan bahwa koefisien untuk persamaan Fokker-Planck dapat diperoleh segera setelah menulis untuk sistem yang sedang dipelajari skema interaksi, vektor perubahan keadaan r dan ekspresi untuk probabilitas transisi s+ dan s-, yaitu. dalam penerapan praktis metode ini, tidak perlu menuliskan persamaan kinetika utama.

Bagian 2.3. metode Runge-Kutta untuk solusi numerik persamaan diferensial stokastik dipertimbangkan, yang digunakan dalam bab ketiga untuk menggambarkan hasil yang diperoleh.

Bab ketiga menyajikan ilustrasi penerapan metode membangun model stokastik yang dijelaskan pada bab kedua, dengan menggunakan contoh sistem yang menggambarkan dinamika pertumbuhan populasi yang berinteraksi, seperti "predator-mangsa", simbiosis, kompetisi dan mereka modifikasi. Tujuannya adalah untuk menuliskannya sebagai persamaan diferensial stokastik dan untuk menyelidiki pengaruh pengenalan stokastik pada perilaku sistem.

Di bagian 3.1. penerapan metode yang dijelaskan dalam bab kedua diilustrasikan pada contoh model "pemangsa-mangsa". Sistem dengan interaksi dua jenis populasi dari jenis "predator-mangsa" telah dipelajari secara luas, yang memungkinkan untuk membandingkan hasil yang diperoleh dengan yang sudah dikenal.

Analisis persamaan yang diperoleh menunjukkan bahwa untuk mempelajari perilaku deterministik sistem, dapat digunakan vektor drift A dari persamaan diferensial stokastik yang diperoleh, yaitu. Metode yang dikembangkan dapat digunakan untuk menganalisis perilaku stokastik dan deterministik. Selain itu, disimpulkan bahwa model stokastik memberikan gambaran yang lebih realistis tentang perilaku sistem. Khususnya, untuk sistem "predator-mangsa" dalam kasus deterministik, solusi persamaan memiliki bentuk periodik dan volume fase dipertahankan, sedangkan pengenalan stokastik ke dalam model memberikan peningkatan volume fase yang monoton, yang menunjukkan kematian yang tak terhindarkan dari satu atau kedua populasi. Untuk memvisualisasikan hasil yang diperoleh, dilakukan simulasi numerik.

Bagian 3.2. Metode yang dikembangkan digunakan untuk memperoleh dan menganalisis berbagai model stokastik dinamika populasi, seperti model "predator-mangsa", dengan mempertimbangkan kompetisi interspesifik antara mangsa, simbiosis, kompetisi, dan model interaksi tiga populasi.

Informasi tentang kalkulus stokastik

Perkembangan teori proses acak menyebabkan transisi dalam studi fenomena alam dari representasi deterministik dan model dinamika populasi ke yang probabilistik dan, sebagai akibatnya, munculnya sejumlah besar karya yang ditujukan untuk pemodelan stokastik dalam biologi matematika. , kimia, ekonomi, dll.

Ketika mempertimbangkan model populasi deterministik, poin penting seperti pengaruh acak dari berbagai faktor pada evolusi sistem tetap tidak terungkap. Ketika menggambarkan dinamika populasi, seseorang harus memperhitungkan sifat acak reproduksi dan kelangsungan hidup individu, serta fluktuasi acak yang terjadi di lingkungan dari waktu ke waktu dan menyebabkan fluktuasi acak dalam parameter sistem. Oleh karena itu, mekanisme probabilistik yang mencerminkan momen-momen ini harus dimasukkan ke dalam model dinamika populasi apa pun.

Pemodelan stokastik memungkinkan deskripsi yang lebih lengkap tentang perubahan karakteristik populasi, dengan mempertimbangkan semua faktor deterministik dan efek acak yang dapat secara signifikan mengubah kesimpulan dari model deterministik. Di sisi lain, mereka dapat digunakan untuk mengungkapkan aspek kualitatif baru dari perilaku populasi.

Model stokastik dari perubahan keadaan populasi dapat dijelaskan dengan menggunakan proses acak. Di bawah beberapa asumsi, kita dapat berasumsi bahwa perilaku populasi, mengingat keadaannya saat ini, tidak bergantung pada bagaimana keadaan ini dicapai (yaitu, dengan masa kini yang tetap, masa depan tidak bergantung pada masa lalu). Itu. Untuk memodelkan proses dinamika populasi, akan lebih mudah untuk menggunakan proses kelahiran-kematian Markov dan persamaan kontrol yang sesuai, yang dijelaskan secara rinci di bagian kedua makalah ini.

N. N. Kalikin dalam karyanya untuk menggambarkan proses yang terjadi dalam sistem dengan elemen yang berinteraksi menggunakan skema interaksi dan, atas dasar skema ini, membangun model sistem ini menggunakan peralatan proses Markov bercabang. Penerapan pendekatan ini diilustrasikan dengan contoh proses pemodelan dalam kimia, populasi, telekomunikasi, dan sistem lainnya.

Makalah ini mempertimbangkan model populasi probabilistik, untuk konstruksi yang menggunakan peralatan proses kelahiran-kematian, dan sistem yang dihasilkan dari persamaan diferensial-perbedaan adalah persamaan dinamis untuk proses acak. Makalah ini juga mempertimbangkan metode untuk menemukan solusi untuk persamaan ini.

Anda dapat menemukan banyak artikel yang dikhususkan untuk konstruksi model stokastik yang memperhitungkan berbagai faktor yang mempengaruhi dinamika perubahan jumlah populasi. Jadi, misalnya, dalam artikel model dinamika ukuran komunitas biologis dibangun dan dianalisis, di mana individu mengkonsumsi sumber makanan yang mengandung zat berbahaya. Dan dalam model evolusi populasi, artikel memperhitungkan faktor pengendapan perwakilan populasi di habitatnya. Modelnya adalah sistem persamaan Vlasov yang self-consistent.

Perlu dicatat karya-karya yang dikhususkan untuk teori fluktuasi dan penerapan metode stokastik dalam ilmu alam, seperti fisika, kimia, biologi, dll. proses kelahiran-kematian.

Seseorang dapat mempertimbangkan model “predator-mangsa” sebagai realisasi dari proses kelahiran-kematian. Dalam interpretasi ini, mereka dapat digunakan untuk model di banyak bidang ilmu pengetahuan. Pada 1970-an, M. Doi mengusulkan sebuah metode untuk mempelajari model-model tersebut berdasarkan operator penciptaan-pemusnahan (dengan analogi dengan kuantisasi kedua). Di sini Anda dapat menandai pekerjaan. Selain itu, metode ini sekarang sedang aktif dikembangkan dalam kelompok M. M. Gnatich.

Pendekatan lain untuk pemodelan dan mempelajari model dinamika populasi dikaitkan dengan teori kontrol optimal. Di sini Anda dapat menandai pekerjaan.

Dapat dicatat bahwa sebagian besar karya yang ditujukan untuk konstruksi model stokastik dari proses populasi menggunakan peralatan proses acak untuk mendapatkan persamaan diferensial-perbedaan dan implementasi numerik berikutnya. Selain itu, persamaan diferensial stokastik dalam bentuk Langevin banyak digunakan, di mana istilah stokastik ditambahkan dari pertimbangan umum tentang perilaku sistem dan dimaksudkan untuk menggambarkan efek lingkungan acak. Studi lebih lanjut dari model adalah analisis kualitatif mereka atau menemukan solusi menggunakan metode numerik.

Persamaan diferensial stokastik Definisi 1. Persamaan diferensial stokastik adalah persamaan diferensial yang satu atau lebih sukunya mewakili proses stokastik. Contoh paling umum dan terkenal dari persamaan diferensial stokastik (SDE) adalah persamaan dengan istilah yang menggambarkan white noise dan dapat dilihat sebagai proses Wiener Wt, t 0.

Persamaan diferensial stokastik adalah alat matematika yang penting dan banyak digunakan dalam studi dan pemodelan sistem dinamis yang tunduk pada berbagai gangguan acak.

Awal dari pemodelan stokastik fenomena alam dianggap sebagai deskripsi fenomena gerak Brown, yang ditemukan oleh R. Brown pada tahun 1827, ketika ia mempelajari pergerakan serbuk sari tanaman dalam cairan. Penjelasan ketat pertama dari fenomena ini diberikan secara independen oleh A. Einstein dan M. Smoluchowski. Perlu dicatat kumpulan artikel di mana karya-karya A. Einstein dan M. Smoluchowski tentang gerak Brown dikumpulkan. Studi-studi ini telah memberikan kontribusi yang signifikan terhadap perkembangan teori gerak Brown dan verifikasi eksperimentalnya. A. Einstein menciptakan teori kinetika molekuler untuk deskripsi kuantitatif gerak Brown. Formula yang diperoleh dikonfirmasi oleh eksperimen J. Perrin pada tahun 1908-1909.

Metode untuk memodelkan proses satu langkah multidimensi.

Untuk menggambarkan evolusi sistem dengan elemen yang berinteraksi, ada dua pendekatan - ini adalah konstruksi model deterministik atau stokastik. Tidak seperti deterministik, model stokastik memungkinkan memperhitungkan sifat probabilistik dari proses yang terjadi dalam sistem yang diteliti, serta efek dari lingkungan eksternal yang menyebabkan fluktuasi acak dalam parameter model.

Subjek studi adalah sistem, proses yang terjadi di mana dapat dijelaskan menggunakan proses satu langkah dan proses di mana transisi dari satu keadaan ke keadaan lain dikaitkan dengan interaksi elemen-elemen sistem. Contohnya adalah model yang menggambarkan dinamika pertumbuhan populasi yang berinteraksi, seperti "predator-mangsa", simbiosis, kompetisi dan modifikasi mereka. Tujuannya adalah untuk menuliskan untuk sistem SDE tersebut dan untuk menyelidiki pengaruh pengenalan bagian stokastik pada perilaku solusi persamaan yang menggambarkan perilaku deterministik.

Kinetika kimia

Sistem persamaan yang muncul ketika menggambarkan sistem dengan elemen yang berinteraksi dalam banyak hal mirip dengan sistem persamaan diferensial yang menggambarkan kinetika reaksi kimia. Jadi, misalnya, sistem Lotka-Volterra awalnya disimpulkan oleh Lotka sebagai sistem yang menggambarkan beberapa reaksi kimia hipotetis, dan hanya kemudian Volterra menyimpulkannya sebagai sistem yang menggambarkan model "predator-mangsa".

Kinetika kimia menggambarkan reaksi kimia dengan bantuan yang disebut persamaan stoikiometrik - persamaan yang mencerminkan rasio kuantitatif reaktan dan produk dari reaksi kimia dan memiliki bentuk umum berikut: di mana bilangan asli m dan U disebut koefisien stoikiometri. Ini adalah catatan simbolis dari reaksi kimia di mana ti molekul reagen Xi, ni2 molekul reagen Xp, ..., tr molekul reagen Xp, setelah masuk ke dalam reaksi, membentuk u molekul zat Yї, u molekul zat I2, ..., nq molekul zat Yq, masing-masing .

Dalam kinetika kimia, diyakini bahwa reaksi kimia hanya dapat terjadi dengan interaksi langsung pereaksi, dan laju reaksi kimia didefinisikan sebagai jumlah partikel yang terbentuk per satuan waktu per satuan volume.

Postulat dasar kinetika kimia adalah hukum aksi massa, yang mengatakan bahwa laju reaksi kimia berbanding lurus dengan produk konsentrasi reaktan dalam pangkat koefisien stoikiometrinya. Oleh karena itu, jika kita menyatakan dengan XI dan y I konsentrasi zat yang sesuai, maka kita memiliki persamaan untuk laju perubahan konsentrasi zat dari waktu ke waktu sebagai akibat dari reaksi kimia:

Selanjutnya, diusulkan untuk menggunakan ide-ide dasar kinetika kimia untuk menggambarkan sistem yang evolusinya dalam waktu terjadi sebagai akibat dari interaksi unsur-unsur sistem ini satu sama lain, membuat perubahan utama berikut: 1. bukan laju reaksi dipertimbangkan, tetapi probabilitas transisi; 2. diusulkan bahwa probabilitas transisi dari satu keadaan ke keadaan lain, yang merupakan hasil interaksi, sebanding dengan jumlah kemungkinan interaksi jenis ini; 3. Untuk menggambarkan sistem dalam metode ini, digunakan persamaan kinetika utama; 4. persamaan deterministik diganti dengan persamaan stokastik. Pendekatan serupa dengan deskripsi sistem semacam itu dapat ditemukan dalam karya. Untuk menggambarkan proses yang terjadi dalam sistem simulasi, itu seharusnya menggunakan, seperti disebutkan di atas, proses satu langkah Markov.

Pertimbangkan sistem yang terdiri dari jenis elemen yang berbeda yang dapat berinteraksi satu sama lain dalam berbagai cara. Dilambangkan dengan elemen bertipe -th, di mana = 1, dan dengan - jumlah elemen bertipe -th.

Biarkan (), .

Mari kita asumsikan bahwa file tersebut terdiri dari satu bagian. Jadi, dalam satu langkah interaksi antara node baru yang ingin mendownload file dan node yang mendistribusikan file, node baru mendownload seluruh file dan menjadi node distribusi.

Membiarkan adalah penunjukan node baru, adalah node distribusi, dan adalah koefisien interaksi. Node baru dapat memasuki sistem dengan intensitas, dan node yang mendistribusikan dapat meninggalkannya dengan intensitas. Maka skema interaksi dan vektor r akan terlihat seperti:

Persamaan diferensial stokastik dalam bentuk Langevin dapat diperoleh 100 dengan menggunakan rumus yang sesuai (1,15). Karena vektor drift A sepenuhnya menggambarkan perilaku deterministik sistem, Anda bisa mendapatkan sistem persamaan diferensial biasa yang menggambarkan dinamika jumlah pelanggan dan benih baru:

Jadi, tergantung pada pilihan parameter, titik tunggal dapat memiliki karakter yang berbeda. Jadi, untuk /3A 4/I2, titik singular adalah fokus stabil, dan untuk relasi terbalik, titik singular adalah simpul stabil. Dalam kedua kasus, titik singular stabil, karena pilihan nilai koefisien, perubahan variabel sistem dapat terjadi di sepanjang salah satu dari dua lintasan. Jika titik singular adalah fokus, maka osilasi teredam dalam jumlah node baru dan distribusi terjadi dalam sistem (lihat Gambar 3.12). Dan dalam kasus nodal, perkiraan angka ke nilai stasioner terjadi dalam mode tanpa getaran (lihat Gambar 3.13). Potret fase sistem untuk masing-masing dua kasus ditunjukkan, masing-masing, dalam grafik (3.14) dan (3.15).