rumus Bernoulli- rumus dalam teori probabilitas yang memungkinkan Anda menemukan probabilitas suatu peristiwa terjadi A (\gaya tampilan A) dalam tes independen. Rumus Bernoulli memungkinkan Anda untuk menyingkirkan sejumlah besar perhitungan - penambahan dan perkalian probabilitas - dengan jumlah tes yang cukup besar. Dinamai setelah ahli matematika Swiss terkemuka Jacob Bernoulli, yang menurunkan rumus ini.
YouTube ensiklopedis
1 / 3
Teori Probabilitas. 22. Rumus Bernoulli. Penyelesaian masalah
rumus Bernoulli
20 Tes berulang Formula Bernoulli
Subtitle
Susunan kata
Dalil. Jika kemungkinan p (\gaya tampilan p) peristiwa A (\gaya tampilan A) konstan pada setiap percobaan, maka peluangnya P k , n (\displaystyle P_(k,n)) bahwa acara A (\gaya tampilan A) datang tepat k (\gaya tampilan k) sekali n (\gaya tampilan n) tes independen sama dengan: P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot q^(n-k)), di mana q = 1 p (\displaystyle q=1-p).
Bukti
Biarkan itu diadakan n (\gaya tampilan n) tes independen, dan diketahui bahwa sebagai hasil dari setiap tes, suatu peristiwa A (\gaya tampilan A) datang dengan kemungkinan P (A) = p (\displaystyle P\left(A\right)=p) dan karena itu tidak terjadi dengan probabilitas P (A ) = 1 p = q (\displaystyle P\left((\bar (A))\right)=1-p=q). Biarkan, juga, selama tes probabilitas p (\gaya tampilan p) dan q (\gaya tampilan q) tetap tidak berubah. Berapa probabilitas bahwa sebagai hasilnya n (\gaya tampilan n) tes mandiri, acara A (\gaya tampilan A) datang tepat k (\gaya tampilan k) sekali?
Ternyata adalah mungkin untuk secara akurat menghitung jumlah kombinasi "berhasil" dari hasil tes yang acaranya A (\gaya tampilan A) datang k (\gaya tampilan k) sekali n (\gaya tampilan n) percobaan independen, persis jumlah kombinasi dari n (\gaya tampilan n) pada k (\gaya tampilan k) :
C n (k) = n! k! (n k) ! (\displaystyle C_(n)(k)=(\frac (n{k!\left(n-k\right)!}}} !}.
Pada saat yang sama, karena semua percobaan independen dan hasilnya tidak sesuai (event A (\gaya tampilan A) terjadi atau tidak), maka peluang mendapatkan kombinasi "berhasil" adalah tepat: .
Akhirnya, untuk mencari peluang bahwa n (\gaya tampilan n) acara tes independen A (\gaya tampilan A) datang tepat k (\gaya tampilan k) kali, Anda perlu menjumlahkan probabilitas mendapatkan semua kombinasi "berhasil". Probabilitas mendapatkan semua kombinasi "berhasil" adalah sama dan sama p k ⋅ q n − k (\displaystyle p^(k)\cdot q^(n-k)), banyaknya kombinasi yang "berhasil" adalah C n (k) (\gaya tampilan C_(n)(k)), jadi kita akhirnya mendapatkan:
P k , n = C n k ⋅ p k ⋅ q n − k = C n k ⋅ p k (1 p) n k (\displaystyle P_(k,n)=C_(n)^(k)\cdot p^( k)\cdot q^(n-k)=C_(n)^(k)\cdot p^(k)\cdot (1-p)^(n-k)).
Ekspresi terakhir tidak lain adalah rumus Bernoulli. Penting juga untuk dicatat bahwa, karena kelengkapan grup acara, itu akan menjadi benar:
k = 0 n (P k , n) = 1 (\displaystyle \sum _(k=0)^(n)(P_(k,n))=1).
Dalam penerapan praktis dari teori probabilitas, seseorang sering menghadapi masalah di mana eksperimen yang sama atau eksperimen serupa diulang lebih dari satu kali. Sebagai hasil dari setiap pengalaman, suatu peristiwa mungkin muncul atau tidak. TETAPI, dan kami tidak tertarik pada hasil setiap eksperimen individu, tetapi total penampilan acara TETAPI sebagai hasil dari serangkaian percobaan. Misalnya, jika sekelompok tembakan ditembakkan pada target yang sama, kami tidak tertarik pada hasil setiap tembakan, tetapi pada jumlah total pukulan. Masalah seperti itu diselesaikan dengan cukup sederhana jika eksperimennya mandiri.
Definisi. Percobaan yang tidak bergantung pada kejadian A adalah percobaan yang peluang kejadian A dalam setiap percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya.
Contoh. Beberapa pengambilan kartu yang berurutan dari geladak adalah eksperimen independen, asalkan kartu yang ditarik dikembalikan ke geladak setiap kali dan kartu dikocok; jika tidak, mereka adalah pengalaman yang bergantung.
Contoh. Beberapa tembakan adalah percobaan independen hanya jika membidik dilakukan lagi sebelum setiap tembakan; dalam kasus ketika membidik dilakukan sekali sebelum seluruh penembakan atau dilakukan terus menerus selama penembakan (menembak dalam ledakan, pemboman secara berurutan), tembakan adalah eksperimen yang bergantung.
Tes independen dapat dilakukan di bawah kondisi yang sama atau berbeda. Dalam kasus pertama, probabilitas acara TETAPI dalam semua percobaan sama, dalam kasus kedua probabilitas acara TETAPI bervariasi dari pengalaman ke pengalaman. Kasus pertama terkait dengan banyak masalah teori keandalan, teori pemotretan, dan mengarah pada apa yang disebut Skema Bernoulli, yaitu sebagai berikut:
1) urutan dilakukan n percobaan independen, di mana masing-masing peristiwa TETAPI mungkin atau mungkin tidak muncul;
2) peluang terjadinya suatu kejadian TETAPI dalam setiap pengujian adalah konstan dan sama dengan , serta probabilitas tidak terjadinya 
.
Rumus Bernoulli untuk mencari peluang suatu peristiwa terjadi sebuah k sekali n percobaan independen, di mana masing-masing peristiwa TETAPI muncul dengan kemungkinan p:
. (1)
Catatan 1. Dengan bertambahnya n dan k penerapan rumus Bernoulli dikaitkan dengan kesulitan komputasi, jadi rumus (1) digunakan terutama jika k tidak melebihi 5 dan n tidak hebat.
Catatan 2. Karena peluang dalam bentuk adalah anggota dari ekspansi binomial, distribusi peluang dari bentuk (1) disebut binomium distribusi.
Contoh. Probabilitas mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8. Temukan probabilitas lima pukulan dengan enam tembakan.
Keputusan. Dari dulu 
, selain dan . Dengan menggunakan rumus Bernoulli, kita peroleh:
Contoh. Empat tembakan independen ditembakkan pada target yang sama dari jarak yang berbeda. Probabilitas hit untuk tembakan ini masing-masing adalah:
Temukan probabilitas tidak ada, satu, dua, tiga, dan empat pukulan:
Keputusan. Kami menyusun fungsi pembangkit:
Contoh. Lima tembakan independen ditembakkan ke target dengan probabilitas hit 0,2. Tiga pukulan sudah cukup untuk menghancurkan target. Temukan probabilitas bahwa target akan dihancurkan.
Keputusan. Probabilitas penghancuran target dihitung dengan rumus:
Contoh. Sepuluh tembakan independen ditembakkan ke sasaran, kemungkinan mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah 0,1. Satu pukulan sudah cukup untuk mencapai target. Cari peluang mengenai sasaran.
Keputusan. Probabilitas setidaknya satu pukulan dihitung dengan rumus:
3. Teorema Moivre-Laplace Lokal
Dalam aplikasi, seringkali perlu untuk menghitung probabilitas berbagai peristiwa yang terkait dengan jumlah kemunculan peristiwa di n tes skema Bernoulli pada nilai besar n. Dalam hal ini, perhitungan dengan rumus (1) menjadi sulit. Kesulitan meningkat ketika seseorang harus menjumlahkan probabilitas ini. Kesulitan dalam perhitungan juga muncul untuk nilai-nilai kecil p atau q.
Laplace memperoleh rumus perkiraan penting untuk probabilitas suatu peristiwa yang terjadi TETAPI tepat m kali, jika adalah jumlah yang cukup besar, yaitu, ketika .
Teorema Lokal de Moivre–Laplace. Jika peluang p terjadinya kejadian A pada setiap percobaan konstan dan berbeda dari nol dan satu, , nilainya dibatasi seragam dalam m dan n, maka peluang terjadinya kejadian A tepat m kali dalam n percobaan bebas kira-kira sama dengan
Misalkan n percobaan dilakukan terhadap kejadian A. Mari kita perkenalkan event-event berikut: k -- event direalisasikan selama pengujian ke-k, $ k=1,2,\dots , n$. Maka $\bar(A)_(k) $ adalah kejadian sebaliknya (kejadian A tidak terjadi selama percobaan ke-k, $k=1,2,\dots , n$).
Apa itu uji coba sejawat dan independen?
Definisi
Pengujian disebut bertipe sama terhadap kejadian A jika probabilitas kejadian $A1, A2, \dots , An$ sama: $P(A1)=P(A2)= \dots =P(An) $ (yaitu, probabilitas terjadinya peristiwa A dalam satu percobaan adalah konstan di semua percobaan).
Jelas, dalam kasus ini, peluang kejadian yang berlawanan juga bertepatan: $P(\bar(A)_(1))=P(\bar(A)_(2))=...=P(\bar( A) _(n))$.
Definisi
Percobaan disebut independen terhadap kejadian A jika kejadian $A1, A2, \dots , An$ saling bebas.
Pada kasus ini
Dalam hal ini, kesetaraan dipertahankan ketika setiap peristiwa Ak diganti dengan $\bar(A)_(k) $.
Biarkan serangkaian n percobaan independen serupa dilakukan terhadap kejadian A. Kami membawa notasi: p - probabilitas acara A dalam satu tes; q adalah peluang kejadian yang berlawanan. Jadi P(Ak)=p, $P(\bar(A)_(k))=q$ untuk sembarang k dan p+q=1.
Peluang bahwa dalam serangkaian n percobaan kejadian A akan terjadi tepat sebanyak k kali (0 k ≤ n) dihitung dengan rumus:
$P_(n) (k)=C_(n)^(k) p^(k) q^(n-k) $ (1)
Persamaan (1) disebut rumus Bernoulli.
Probabilitas bahwa dalam serangkaian n percobaan bebas dari jenis kejadian A yang sama akan terjadi paling sedikit k1 kali dan paling banyak k2 kali dihitung dengan rumus:
$P_(n) (k_(1) \le k\le k_(2))=\sum \limits _(k=k_(1) )^(k_(2) )C_(n)^(k) p ^(k) q^(n-k) $ (2)
Penerapan rumus Bernoulli untuk nilai n yang besar menyebabkan perhitungan yang rumit, jadi dalam kasus ini lebih baik menggunakan rumus lain - yang asimtotik.
Generalisasi skema Bernoulli
Pertimbangkan generalisasi skema Bernoulli. Jika dalam serangkaian n percobaan independen, yang masing-masing memiliki m pasangan yang tidak kompatibel dan kemungkinan hasil Ak dengan probabilitas yang sesuai k= k(Аk). Maka rumus distribusi polinomial berlaku:
Contoh 1
Peluang terkena flu selama epidemi adalah 0,4. Tentukan peluang bahwa dari 6 karyawan perusahaan tersebut akan jatuh sakit!
- tepat 4 karyawan;
- karyawan tidak lebih dari 4 orang.
Keputusan. 1) Jelas, untuk memecahkan masalah ini, rumus Bernoulli dapat diterapkan, di mana n=6; k=4; p=0,4; q=1-p=0.6. Menerapkan rumus (1), kita mendapatkan: $P_(6) (4)=C_(6)^(4) \cdot 0.4^(4) \cdot 0.6^(2) \approx 0.138$.
Untuk mengatasi masalah ini, rumus (2) dapat diterapkan, di mana k1=0 dan k2=4. Kita punya:
\[\begin(array)(l) (P_(6) (0\le k\le 4)=\sum \limits _(k=0)^(4)C_(6)^(k) p^( k) q^(6-k) =C_(6)^(0) \cdot 0,4^(0) \cdot 0,6^(6) +C_(6)^(1) \cdot 0,4 ^(1) \cdot 0,6^(5) +C_(6)^(2) \cdot 0,4^(2) \cdot 0,6^(4) +) \\ (+C_(6) ^(3) \cdot 0,4^(3) \ cdot 0,6^(3) +C_(6)^(4) \cdot 0,4^(4) \cdot 0,6^(2) \ kira-kira 0,959.) \end(array)\]
Perlu dicatat bahwa tugas ini lebih mudah diselesaikan menggunakan acara sebaliknya - lebih dari 4 karyawan jatuh sakit. Kemudian, dengan mempertimbangkan rumus (7) tentang peluang kejadian yang berlawanan, kita peroleh:
Jawaban: $\ $0,959.
Contoh 2
Sebuah guci berisi 20 bola putih dan 10 bola hitam. 4 bola diambil, dan setiap bola yang dikeluarkan dikembalikan ke guci sebelum yang berikutnya diambil dan bola di guci dicampur. Tentukan peluang bahwa dari keempat bola yang diambil akan ada 2 bola putih pada Gambar 1.
Gambar 1.
Keputusan. Misalkan kejadian A adalah -- sebuah bola putih diambil. Maka probabilitas $D (A)=\frac(2)(3) ,\, \, D (\overline(A))=1-\frac(2)(3) =\frac(1)(3) $ .
Menurut rumus Bernoulli, probabilitas yang diperlukan adalah $D_(4) (2)=N_(4)^(2) \left(\frac(2)(3) \right)^(2) \left(\frac (1)( 3) \kanan)^(2) =\frac(8)(27) $.
Jawaban: $\frac(8)(27) $.
Contoh 3
Tentukan peluang bahwa sebuah keluarga dengan 5 anak akan memiliki tidak lebih dari 3 anak perempuan. Peluang memiliki anak laki-laki dan perempuan dianggap sama.
Keputusan. Probabilitas memiliki anak perempuan $\partial =\frac(1)(2) ,\, q=\frac(1)(2) $-probabilitas memiliki anak laki-laki. Tidak lebih dari tiga anak perempuan dalam sebuah keluarga, yang berarti bahwa salah satu, atau dua, atau tiga anak perempuan lahir, atau semua anak laki-laki dalam keluarga.
Temukan probabilitas bahwa tidak ada anak perempuan dalam keluarga, satu, dua atau tiga anak perempuan lahir: $D_(5) (0)=q^(5) =\frac(1)(32) $,
\ \ \
Oleh karena itu, probabilitas yang diperlukan adalah $D =D_(5) (0)+D_(5) (1)+D_(5) (2)+D_(5) (3)=\frac(13)(16) $ .
Jawaban: $\frac(13)(16)$.
Contoh 4
Penembak pertama dengan satu tembakan dapat mencapai sepuluh besar dengan probabilitas 0,6, sembilan dengan probabilitas 0,3, dan delapan dengan probabilitas 0,1. Berapa probabilitas bahwa, dengan 10 tembakan, dia akan memukul sepuluh enam kali, sembilan tiga kali, dan delapan delapan kali?
n percobaan dilakukan menurut skema Bernoulli dengan probabilitas sukses p. Biarkan X menjadi jumlah keberhasilan. Variabel acak X memiliki range (0,1,2,...,n). Probabilitas nilai-nilai ini dapat ditemukan dengan rumus: , di mana C m n adalah jumlah kombinasi dari n ke m . 
Seri distribusi memiliki bentuk:
| x | 0 | 1 | ... | m | n |
| p | (1-p)n | np(1-p) n-1 | ... | C m n p m (1-p) n-m | p n |
tugas layanan. Kalkulator online digunakan untuk merencanakan deret distribusi binomial dan perhitungan semua karakteristik deret: ekspektasi matematis, varians dan standar deviasi. Laporan dengan keputusan dibuat dalam format Word (contoh).
Instruksi video
Skema tes Bernoulli
Karakteristik numerik dari variabel acak yang didistribusikan menurut hukum binomial
Ekspektasi matematis dari variabel acak X, didistribusikan menurut hukum binomial.M[X]=np
Dispersi variabel acak X, didistribusikan menurut hukum binomial.
D[X]=npq
Contoh 1. Produk mungkin cacat dengan probabilitas p = 0,3 masing-masing. Tiga item dipilih dari satu batch. X adalah jumlah bagian yang rusak di antara yang dipilih. Cari (masukkan semua jawaban dalam bentuk pecahan desimal): a) deret distribusi X; b) fungsi distribusi F(x) .
Keputusan. Variabel acak X memiliki range (0,1,2,3).
Mari kita cari deret distribusi X.
P 3 (0) = (1-p) n = (1-0,3) 3 = 0,34
P 3 (1) = np(1-p) n-1 = 3(1-0,3) 3-1 = 0,44
P 3 (3) = p n = 0,3 3 = 0,027
| x saya | 0 | 1 | 2 | 3 |
| pi | 0.34 | 0.44 | 0.19 | 0.027 |
Ekspektasi matematis ditemukan dengan rumus M[X]= np = 3*0.3 = 0.9
Penyelidikan: m = x i p i .
Ekspektasi matematis M[X].
M[x] = 0*0,34 + 1*0,44 + 2*0,19 + 3*0,027 = 0,9
Dispersi ditemukan dengan rumus D[X]=npq = 3*0.3*(1-0,3) = 0,63
Penyelidikan: d = x 2 i p i - M[x] 2 .
Dispersi D[X].
D[X] = 0 2 *0,34 + 1 2 *0,44 + 2 2 *0,19 + 3 2 *0,027 - 0,9 2 = 0,63
Simpangan baku (x).
Fungsi distribusi F(X).
F(xF(0F(1F(2F(x>3) = 1
- Peluang suatu kejadian terjadi dalam satu percobaan adalah 0,6. 5 tes dilakukan. Tulis hukum distribusi variabel acak X - jumlah kemunculan suatu peristiwa.
- Buatlah hukum distribusi variabel acak X dari jumlah pukulan dengan empat tembakan, jika peluang mengenai target dengan satu tembakan adalah 0,8.
- Sebuah koin dilempar sebanyak 7 kali. Temukan ekspektasi matematis dan varians dari jumlah kemunculan lambang. Catatan: di sini peluang munculnya lambang adalah p = 1/2 (karena uang logam memiliki dua sisi).
Contoh #2. Probabilitas suatu peristiwa terjadi dalam satu percobaan adalah 0,6. Menerapkan teorema Bernoulli, tentukan jumlah percobaan independen, mulai dari probabilitas penyimpangan frekuensi suatu peristiwa dari probabilitasnya dalam nilai absolut kurang dari 0,1 , lebih besar dari 0,97 . (Jawaban: 801)
Contoh #3. Siswa melakukan tes di kelas ilmu komputer. Pekerjaan tersebut terdiri dari tiga tugas. Untuk mendapatkan nilai yang baik, Anda perlu menemukan jawaban yang benar untuk setidaknya dua masalah. Setiap masalah memiliki 5 jawaban, yang hanya satu yang benar. Siswa memilih jawaban secara acak. Berapa peluang dia mendapat nilai bagus?
Keputusan. Peluang menjawab pertanyaan dengan benar: p=1/5=0.2; n=3.
Data ini harus dimasukkan ke dalam kalkulator. Lihat P(2)+P(3) untuk jawabannya.
Contoh #4. Peluang penembak mengenai sasaran dengan satu tembakan adalah (m+n)/(m+n+2) . n + 4 tembakan dilepaskan. Temukan probabilitas bahwa dia meleset tidak lebih dari dua kali.
Catatan. Peluang dia akan meleset tidak lebih dari dua kali mencakup kejadian berikut: tidak pernah meleset P(4), meleset satu kali P(3), meleset dua kali P(2).
Contoh nomor 5. Tentukan distribusi peluang banyaknya pesawat yang gagal jika 4 pesawat terbang. Probabilitas operasi non-kegagalan pesawat = 0,99. Jumlah pesawat yang gagal dalam setiap sortie didistribusikan sesuai dengan hukum binomial.
Jika beberapa percobaan dilakukan, dan peluang kejadian A pada setiap percobaan tidak bergantung pada hasil percobaan lainnya, maka percobaan tersebut disebut percobaan independen terhadap kejadian A .
Dalam percobaan independen yang berbeda, peristiwa A mungkin memiliki probabilitas yang berbeda atau probabilitas yang sama. Kami selanjutnya akan mempertimbangkan hanya percobaan independen seperti itu di mana acara A memiliki probabilitas yang sama.
Di bawah ini kami menggunakan konsep kompleks peristiwa, memahaminya kombinasi dari beberapa peristiwa yang terpisah, yang disebut sederhana .
Biarkan itu diproduksi n percobaan independen, di mana masing-masing peristiwa A mungkin atau mungkin tidak terjadi. Mari kita setuju untuk mengasumsikan bahwa peluang kejadian A dalam setiap percobaan adalah sama, yaitu sama dengan R . Oleh karena itu, peluang tidak terjadinya kejadian A pada setiap percobaan juga konstan dan sama dengan q = 1 - p .
Mari kita tentukan sendiri tugas menghitung probabilitas bahwa n tes, acara A akan terjadi tepat k kali dan, oleh karena itu, tidak akan terwujud n-k sekali. Penting untuk ditekankan bahwa kejadian A tidak harus berulang dengan tepat k kali dalam urutan tertentu.
Misalnya, jika kita berbicara tentang terjadinya suatu peristiwa TETAPI tiga kali dalam empat percobaan, peristiwa kompleks berikut mungkin terjadi: AAA, AAA, AAA, AAA. Rekaman AAA artinya pada percobaan pertama, kedua dan ketiga kejadian tersebut TETAPI datang, tetapi pada tes keempat tidak muncul, yaitu. sebaliknya terjadi TETAPI; entri lain memiliki arti yang sesuai.
Tunjukkan probabilitas yang diinginkan Rp (k) . Misalnya simbol R5 (3) berarti peluang bahwa dalam lima percobaan peristiwa akan terjadi tepat 3 kali dan, oleh karena itu, tidak akan terjadi 2 kali.
Masalahnya dapat diselesaikan dengan menggunakan apa yang disebut rumus Bernoulli.
Turunan dari rumus Bernoulli. Probabilitas satu peristiwa majemuk yang terdiri dari fakta bahwa dalam P acara tes TETAPI akan datang k sekali dan tidak akan datang n - k kali, menurut teorema perkalian peluang kejadian bebas sama dengan p k q n - k . Ada banyak peristiwa kompleks seperti kombinasi dari P elemen oleh k elemen, yaitu C n k .
Sejak peristiwa kompleks ini tidak cocok, kemudian sesuai dengan teorema penjumlahan peluang kejadian yang tidak kompatibel probabilitas yang diinginkan sama dengan jumlah probabilitas dari semua kemungkinan kejadian kompleks. Karena probabilitas dari semua kejadian kompleks ini adalah sama, probabilitas yang diinginkan (dari kejadian k waktu acara TETAPI di P tes) sama dengan probabilitas satu peristiwa kompleks, dikalikan dengan jumlahnya:
Rumus yang dihasilkan disebut rumus Bernoulli .
Contoh 1. Peluang pemakaian listrik selama satu hari tidak akan melebihi norma yang ditetapkan adalah sama dengan p = 0,75 . Tentukan peluang bahwa dalam 6 hari ke depan pemakaian listrik selama 4 hari tidak akan melebihi norma.
Keputusan. Probabilitas konsumsi listrik normal selama masing-masing dari 6 hari adalah konstan dan sama dengan p = 0,75 . Oleh karena itu, probabilitas pengeluaran listrik yang berlebihan setiap hari juga konstan dan sama dengan q \u003d 1 - p \u003d 1 - 0,75 \u003d 0,25.
Probabilitas yang diinginkan menurut rumus Bernoulli sama dengan:
