Asimtot dari grafik fungsi

Asimtot dari grafik fungsi y \u003d f (x) disebut garis yang memiliki sifat bahwa jarak dari titik (x, f (x)) ke garis ini cenderung nol dengan penghapusan titik grafik yang tidak terbatas dari titik asal.

Gambar 3.10. contoh grafik diberikan vertikal, horisontal dan miring asimtot.

Menemukan asimtot dari grafik didasarkan pada tiga teorema berikut.

Teorema asimtot vertikal. Biarkan fungsi y \u003d f (x) didefinisikan di beberapa lingkungan titik x 0 (mungkin tidak termasuk titik ini sendiri) dan setidaknya salah satu batas satu sisi fungsi sama dengan tak terhingga, mis. Maka garis x \u003d x 0 adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi y \u003d f (x).

Jelas, garis x \u003d x 0 tidak dapat menjadi asimtot vertikal jika fungsi kontinu pada titik x 0, karena dalam kasus ini . Oleh karena itu, asimtot vertikal harus dicari pada titik diskontinuitas suatu fungsi atau di ujung domainnya.

Teorema pada asimtot horizontal. Biarkan fungsi y \u003d f (x) didefinisikan untuk x yang cukup besar dan ada batas terbatas dari fungsi . Maka garis y = b adalah asimtot mendatar dari grafik fungsi tersebut.

Komentar. Jika hanya salah satu limitnya yang berhingga, maka fungsi tersebut masing-masing memiliki, sisi kiri atau sisi kanan asimtot horizontal.

Dalam hal , fungsi mungkin memiliki asimtot miring.

Teorema asimtot miring. Biarkan fungsi y = f(x) didefinisikan untuk x yang cukup besar dan ada batas yang terbatas . Maka garis y = kx + b adalah asimtot miring dari grafik fungsi tersebut.

Tanpa bukti.

Asimtot miring, serta asimtot horizontal, dapat bertangan kanan atau kidal jika basis dari batas yang sesuai adalah tak terhingga dari tanda tertentu.

Studi fungsi dan konstruksi grafiknya biasanya mencakup langkah-langkah berikut:

1. Temukan domain dari fungsi tersebut.

2. Selidiki fungsi genap-ganjil.

3. Temukan asimtot vertikal dengan memeriksa titik-titik diskontinuitas dan perilaku fungsi pada batas-batas domain definisi, jika terbatas.

4. Temukan asimtot horizontal atau miring dengan memeriksa perilaku fungsi di tak hingga.

Berapa banyak asimtot yang dapat dimiliki oleh grafik suatu fungsi?

Tidak ada, satu, dua, tiga ... atau jumlah yang tak terbatas. Kami tidak akan pergi jauh untuk contoh, kami akan mengingat fungsi dasar. Parabola, parabola kubik, sinusoidal tidak memiliki asimtot sama sekali. Grafik fungsi logaritma eksponensial memiliki asimtot tunggal. Arctangent, arccotangent memiliki dua di antaranya, dan tangen, cotangen memiliki jumlah tak terbatas. Tidak jarang sebuah graf memiliki asimtot horizontal dan vertikal. Hiperbola, akan selalu mencintaimu.

Apa yang dimaksud dengan mencari asimtot suatu graf suatu fungsi?

Ini berarti menemukan persamaan mereka, dan menggambar garis lurus jika kondisi masalah mengharuskannya. Prosesnya melibatkan menemukan batas-batas fungsi.

Asimtot vertikal dari grafik fungsi

Asimtot vertikal dari grafik, sebagai suatu peraturan, berada pada titik diskontinuitas tak terhingga dari fungsi tersebut. Sederhana saja: jika pada suatu titik fungsi mengalami pemutusan tak hingga, maka garis lurus yang diberikan oleh persamaan tersebut adalah asimtot vertikal dari grafik tersebut.

Catatan: Harap dicatat bahwa notasi digunakan untuk merujuk pada dua konsep yang sama sekali berbeda. Intinya tersirat atau persamaan garis lurus - tergantung pada konteksnya.

Jadi, untuk menetapkan keberadaan asimtot vertikal di suatu titik, cukup untuk menunjukkan bahwa setidaknya satu dari batas satu sisi tidak terbatas. Paling sering, ini adalah titik di mana penyebut fungsi sama dengan nol. Faktanya, kita telah menemukan asimtot vertikal dalam contoh terakhir dari pelajaran tentang kontinuitas suatu fungsi. Tetapi dalam beberapa kasus hanya ada satu batas satu sisi, dan jika itu tidak terbatas, sekali lagi - cintai dan sukai asimtot vertikal. Ilustrasi paling sederhana: dan sumbu y.

Fakta nyata juga mengikuti dari atas: jika fungsi kontinu, maka tidak ada asimtot vertikal. Untuk beberapa alasan, sebuah parabola muncul di benakku. Memang, di mana Anda bisa "menempel" garis lurus di sini? ... ya ... saya mengerti ... para pengikut Paman Freud meringkuk histeris =)

Pernyataan sebaliknya umumnya tidak benar: misalnya, fungsi tidak terdefinisi pada seluruh garis real, tetapi sama sekali tidak memiliki asimtot.

Asimtot miring dari grafik suatu fungsi

Asimtot miring (sebagai kasus khusus - horizontal) dapat ditarik jika argumen fungsi cenderung "plus infinity" atau "minus infinity". Oleh karena itu, grafik suatu fungsi tidak boleh memiliki lebih dari 2 asimtot miring. Misalnya, grafik fungsi eksponensial memiliki satu asimtot horizontal di, dan grafik garis singgung busur di memiliki dua asimtot yang sama, dan asimtot yang berbeda.

Definisi . Asimtot suatu graf fungsi adalah garis lurus yang memiliki sifat bahwa jarak dari titik grafik fungsi ke garis ini cenderung nol dengan jarak tak terbatas dari titik asal grafik.

Menurut metode menemukannya, tiga jenis asimtot dibedakan: vertikal, horizontal, miring.

Jelas, yang horizontal adalah kasus khusus dari yang miring (untuk ).

Menemukan asimtot dari grafik fungsi didasarkan pada pernyataan berikut.

Teorema 1 . Biarkan fungsi didefinisikan setidaknya di beberapa semi-tetangga dari titik dan biarkan setidaknya satu dari batas satu sisinya menjadi tak terbatas pada titik ini, mis. setara. Maka garis lurus adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi.

Jadi, asimtot vertikal dari grafik fungsi harus dicari di titik diskontinuitas fungsi atau di ujung domain definisinya (jika ini adalah bilangan berhingga).

Teorema 2 . Biarkan fungsi didefinisikan untuk nilai argumen yang cukup besar dalam nilai absolut, dan ada batas hingga fungsi . Maka garis adalah asimtot horizontal dari grafik fungsi tersebut.

Itu mungkin terjadi , sebuah , dan merupakan bilangan berhingga, maka graf tersebut memiliki dua asimtot horizontal yang berbeda: tangan kiri dan tangan kanan. Jika hanya ada satu dari limit berhingga atau ada, maka graf tersebut memiliki satu asimtot horizontal tangan kiri atau satu tangan kanan.

Teorema 3 . Biarkan fungsi didefinisikan untuk nilai argumen yang cukup besar dalam nilai absolut, dan ada batas yang terbatas dan . Maka garis lurus adalah asimtot miring dari grafik fungsi.

Perhatikan bahwa jika setidaknya salah satu dari batas-batas ini tidak terbatas, maka tidak ada asimtot miring.

Asimtot miring, seperti asimtot horizontal, bisa satu sisi.

Contoh. Temukan semua asimtot dari grafik fungsi.

Keputusan.

Fungsi didefinisikan dengan . Mari kita cari batas satu sisinya di titik.

Sebagai dan (dua batas satu sisi lainnya tidak dapat ditemukan lagi), maka garis adalah asimtot vertikal dari grafik fungsi.

Menghitung

(terapkan aturan L'Hopital) = .

Jadi garis tersebut merupakan asimtot mendatar.

Karena asimtot horizontal ada, kami tidak lagi mencari asimtot miring (tidak ada).

Menjawab: Grafik memiliki dua asimtot vertikal dan satu asimtot horizontal.

Studi Fungsi Umumkamu = f (x ).

Lingkup fungsi. Temukan domainnya D(f) . Jika tidak terlalu sulit, maka berguna juga untuk menemukan jangkauannya E(f) . (Namun, dalam banyak kasus, pertanyaan untuk menemukan E(f) ditunda hingga fungsi ekstrem ditemukan.)

Sifat khusus dari suatu fungsi. Cari tahu sifat-sifat umum fungsi: genap, ganjil, periodisitas, dll. Tidak setiap fungsi memiliki sifat seperti genap atau ganjil. Suatu fungsi pasti bukan genap atau ganjil jika domain definisinya asimetris terhadap titik 0 pada sumbu Sapi. Dengan cara yang sama, untuk setiap fungsi periodik, domain definisi terdiri dari seluruh sumbu real, atau gabungan sistem interval yang berulang secara periodik.

asimtot vertikal. Cari tahu bagaimana fungsi berperilaku ketika argumen mendekati titik batas domain definisi D(f) jika ada titik batas tersebut. Dalam hal ini, asimtot vertikal dapat muncul. Jika fungsi memiliki titik diskontinuitas yang tidak terdefinisi, maka titik-titik ini juga diperiksa untuk keberadaan asimtot vertikal dari fungsi tersebut.

Asimtot miring dan horizontal. Jika ruang lingkup D(f) termasuk sinar bentuk (a;+) atau (−;b), maka kita dapat mencoba mencari asimtot miring (atau asimtot horizontal) di x+ atau x−, yaitu. cari limxf(x). Asimtot miring : kamu = kx + b, di mana k=limx+xf(x) dan b=limx+(f(x)−x). asimtot horisontal : kamu = b, di mana limxf(x)=b.

Menemukan titik potong grafik dengan sumbu. Mencari titik potong grafik dengan sumbu Oy. Untuk melakukan ini, Anda perlu menghitung nilainya f(0). Temukan juga titik potong grafik dengan sumbu Sapi, mengapa menemukan akar persamaan f(x) = 0 (atau pastikan tidak ada akar). Persamaan sering dapat diselesaikan hanya secara kira-kira, tetapi pemisahan akar membantu untuk lebih memahami struktur grafik. Selanjutnya, Anda perlu menentukan tanda fungsi pada interval antara akar dan titik putus.

Menemukan titik potong grafik dengan asimtot. Dalam beberapa kasus, mungkin perlu untuk menemukan titik karakteristik dari grafik yang tidak disebutkan dalam paragraf sebelumnya. Misalnya, jika fungsi memiliki asimtot miring, maka Anda dapat mencoba mencari tahu apakah ada titik potong grafik dengan asimtot ini.

Menemukan interval kecembungan dan kecekungan. Ini dilakukan dengan memeriksa tanda turunan kedua f(x). Temukan titik belok di persimpangan interval cembung dan cekung. Hitung nilai fungsi pada titik belok. Jika fungsi memiliki titik kontinuitas lain (selain titik belok) di mana turunan kedua sama dengan 0 atau tidak ada, maka pada titik ini juga berguna untuk menghitung nilai fungsi. Setelah menemukan f(x) , kami menyelesaikan pertidaksamaan f(x)0. Pada setiap interval solusi, fungsinya akan cembung ke bawah. Memecahkan pertidaksamaan terbalik f(x)0, kami menemukan interval di mana fungsi tersebut cembung ke atas (yaitu, cekung). Kami mendefinisikan titik belok sebagai titik di mana fungsi mengubah arah kecembungan (dan kontinu).

Bagaimana cara memasukkan rumus matematika di situs?

Jika Anda perlu menambahkan satu atau dua rumus matematika ke halaman web, maka cara termudah untuk melakukannya adalah seperti yang dijelaskan dalam artikel: rumus matematika mudah dimasukkan ke dalam situs dalam bentuk gambar yang dihasilkan Wolfram Alpha secara otomatis. Selain kesederhanaan, metode universal ini akan membantu meningkatkan visibilitas situs di mesin pencari. Ini telah bekerja untuk waktu yang lama (dan saya pikir itu akan bekerja selamanya), tetapi secara moral sudah ketinggalan zaman.

Sebaliknya, jika Anda terus-menerus menggunakan rumus matematika di situs Anda, maka saya sarankan Anda menggunakan MathJax, pustaka JavaScript khusus yang menampilkan notasi matematika di browser web menggunakan markup MathML, LaTeX, atau ASCIIMathML.

Ada dua cara untuk mulai menggunakan MathJax: (1) menggunakan kode sederhana, Anda dapat dengan cepat menghubungkan skrip MathJax ke situs Anda, yang akan dimuat secara otomatis dari server jauh pada waktu yang tepat (daftar server); (2) unggah skrip MathJax dari server jauh ke server Anda dan hubungkan ke semua halaman situs Anda. Metode kedua lebih rumit dan memakan waktu dan akan memungkinkan Anda untuk mempercepat pemuatan halaman situs Anda, dan jika server induk MathJax untuk sementara tidak tersedia karena alasan tertentu, ini tidak akan memengaruhi situs Anda sendiri dengan cara apa pun. Terlepas dari kelebihan ini, saya memilih metode pertama, karena lebih sederhana, lebih cepat, dan tidak memerlukan keterampilan teknis. Ikuti contoh saya, dan dalam 5 menit Anda akan dapat menggunakan semua fitur MathJax di situs web Anda.

Anda dapat menghubungkan skrip perpustakaan MathJax dari server jauh menggunakan dua opsi kode yang diambil dari situs web MathJax utama atau dari halaman dokumentasi:

Salah satu opsi kode ini perlu disalin dan ditempelkan ke kode halaman web Anda, sebaiknya di antara tag dan atau tepat setelah tag . Menurut opsi pertama, MathJax memuat lebih cepat dan memperlambat halaman lebih sedikit. Tetapi opsi kedua secara otomatis melacak dan memuat versi terbaru MathJax. Jika Anda memasukkan kode pertama, maka itu perlu diperbarui secara berkala. Jika Anda menempelkan kode kedua, maka halaman akan dimuat lebih lambat, tetapi Anda tidak perlu terus-menerus memantau pembaruan MathJax.

Cara termudah untuk menghubungkan MathJax adalah di Blogger atau WordPress: di panel kontrol situs, tambahkan widget yang dirancang untuk memasukkan kode JavaScript pihak ketiga, salin versi pertama atau kedua dari kode pemuatan yang disajikan di atas ke dalamnya, dan letakkan widget lebih dekat ke awal templat (omong-omong, ini sama sekali tidak perlu, karena skrip MathJax dimuat secara tidak sinkron). Itu saja. Sekarang pelajari sintaks markup MathML, LaTeX, dan ASCIIMathML dan Anda siap untuk menyematkan rumus matematika ke dalam halaman web Anda.

Setiap fraktal dibangun sesuai dengan aturan tertentu, yang diterapkan secara konsisten dalam jumlah yang tidak terbatas. Setiap waktu tersebut disebut iterasi.

Algoritma berulang untuk membangun spons Menger cukup sederhana: kubus asli dengan sisi 1 dibagi dengan bidang yang sejajar dengan wajahnya menjadi 27 kubus yang sama. Satu kubus pusat dan 6 kubus yang berdekatan dengannya di sepanjang permukaan dikeluarkan darinya. Ternyata satu set terdiri dari 20 kubus kecil yang tersisa. Melakukan hal yang sama dengan masing-masing kubus ini, kami mendapatkan satu set yang terdiri dari 400 kubus yang lebih kecil. Melanjutkan proses ini tanpa batas, kami mendapatkan spons Menger.

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang perbedaan jaraknya ke dua titik tertentu, yang disebut fokus, adalah nilai konstan (konstanta ini harus positif dan lebih kecil dari jarak antara fokus).

Mari kita nyatakan konstanta ini dengan 2a, menyatakan jarak antara fokus dengan dan memilih sumbu koordinat dengan cara yang sama seperti pada 3. Membiarkan menjadi titik sewenang-wenang dari hiperbola.

Menurut definisi hiperbola

Di sisi kanan persamaan, Anda harus memilih tanda plus jika dan tanda minus jika

Karena persamaan terakhir dapat ditulis sebagai:

Ini adalah persamaan hiperbola dalam sistem koordinat yang dipilih.

Membebaskan diri kita dari radikal dalam persamaan ini (seperti pada 3), kita dapat mereduksi persamaan ke bentuk yang paling sederhana.

Mentransfer radikal pertama ke sisi kanan persamaan dan mengkuadratkan kedua sisi, setelah transformasi yang jelas kita dapatkan:

Sekali lagi mengkuadratkan kedua bagian persamaan, membuat pengurangan suku yang serupa dan membaginya dengan suku bebas, kita peroleh:

Karena , nilainya positif. Menunjukkannya melalui , yaitu, pengaturan

kita memperoleh persamaan kanonik dari hiperbola.

Kami mempelajari bentuk hiperbola.

1) Simetri hiperbola. Karena persamaan (3) hanya berisi kuadrat koordinat saat ini, sumbu koordinat adalah sumbu simetri hiperbola (lihat pernyataan analog untuk elips). Sumbu simetri hiperbola, di mana fokus berada, disebut sumbu fokus. Titik perpotongan sumbu simetri - pusat simetri - disebut pusat hiperbola. Untuk hiperbola yang diberikan oleh persamaan (3), sumbu fokus bertepatan dengan sumbu Ox, dan titik asal adalah pusat.

2) Titik potong dengan sumbu simetri. Temukan titik potong hiperbola dengan sumbu simetri - simpul hiperbola. Dengan asumsi dalam persamaan kita menemukan absis dari titik potong hiperbola dengan sumbu

Oleh karena itu, titik-titik tersebut adalah simpul dari hiperbola (Gbr. 51); jarak keduanya adalah 2a. Untuk mencari titik potong dengan sumbu Oy, kita masukkan ke dalam persamaan Kita memperoleh persamaan untuk menentukan ordinat titik-titik tersebut

yaitu untuk y kami telah memperoleh nilai imajiner; ini berarti bahwa sumbu y tidak memotong hiperbola.

Sesuai dengan ini, sumbu simetri yang memotong hiperbola disebut sumbu simetri nyata (sumbu fokus), sumbu simetri yang tidak memotong hiperbola disebut sumbu simetri imajiner. Untuk hiperbola yang diberikan oleh persamaan (3), sumbu simetri nyata adalah sumbu, sumbu simetri imajiner adalah sumbu Ruas yang menghubungkan titik-titik hiperbola, serta panjangnya 2a, disebut sumbu nyata dari hiperbola. Jika pada sumbu imajiner simetri hiperbola, pada kedua sisi pusatnya O, ruas OB, dan panjang b, maka ruas dan juga panjangnya disebut sumbu imajiner hiperbola. Besaran a dan b masing-masing disebut sumbu semi real dan imajiner hiperbola.

3) Bentuk hiperbola. Saat memeriksa bentuk hiperbola, cukup mempertimbangkan nilai positif x dan y, karena kurva terletak secara simetris relatif terhadap sumbu koordinat.

Karena mengikuti dari persamaan (3) bahwa 1, maka dapat bervariasi dari a ke Ketika meningkat dari a ke maka Y juga meningkat dari 0 ke Kurva memiliki bentuk yang ditunjukkan pada Gambar. 51. Terletak di luar jalur yang dibatasi oleh garis lurus dan terdiri dari dua cabang yang terpisah. Untuk setiap titik M dari salah satu cabang ini (cabang kanan), untuk setiap titik M dari cabang lain (cabang kiri).

4) Asimtot hiperbola. Untuk lebih jelas membayangkan bentuk hiperbola, pertimbangkan dua garis lurus yang terkait erat dengannya - yang disebut asimtot.

Dengan asumsi x dan y positif, kita selesaikan persamaan (3) hiperbola terhadap koordinat y:

Mari kita bandingkan persamaan tersebut dengan persamaan garis lurus, dengan memberi nama yang sesuai dua titik yang terletak masing-masing pada garis ini dan pada hiperbola dan memiliki absis yang sama (Gbr. 51). Jelas, perbedaan Y - pada ordinat titik-titik yang sesuai menyatakan jarak di antara mereka, yaitu.

Mari kita tunjukkan bahwa ketika jarak MN meningkat tanpa batas, saat membunuh, ia cenderung nol. Memang,

Setelah disederhanakan, kita mendapatkan:

Dari rumus terakhir, kita melihat bahwa dengan peningkatan absis yang tidak terbatas, jarak MN berkurang dan cenderung nol. Oleh karena itu, ketika titik M, yang bergerak sepanjang hiperbola di kuadran pertama, menjauh hingga tak terhingga, maka jaraknya ke garis lurus berkurang dan cenderung nol. Keadaan yang sama akan terjadi ketika titik M bergerak sepanjang hiperbola di kuadran ketiga (karena simetri terhadap titik asal O).

Akhirnya, karena simetri hiperbola terhadap sumbu Oy, kita akan mendapatkan garis lurus kedua yang terletak secara simetris dengan garis lurus, di mana titik M juga akan mendekat tanpa batas ketika bergerak sepanjang hiperbola dan bergerak menjauh hingga tak terhingga ( di kuadran kedua dan keempat).

Kedua garis lurus ini disebut asimtot hiperbola dan, seperti yang telah kita lihat, mereka memiliki persamaan:

Jelas, asimtot hiperbola terletak di sepanjang diagonal persegi panjang, satu sisinya sejajar dengan sumbu Ox dan sama dengan 2a, yang lain sejajar dengan sumbu Oy dan sama dengan dan pusatnya terletak di titik asal ( lihat Gambar 51).

Saat menggambar hiperbola menurut persamaannya, disarankan untuk membangun asimtotnya terlebih dahulu.

Hiperbola sama sisi. Dalam kasus hiperbola disebut sama sisi; persamaannya diperoleh dari (3) dan berbentuk:

Jelas, kemiringan asimtot untuk hiperbola sama sisi adalah Oleh karena itu, asimtot hiperbola sama sisi tegak lurus satu sama lain dan membagi dua sudut di antara sumbu simetrinya.