• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain Aljabar dan Analisis Awal: Buku Ajar untuk Kelas 10-11 Institusi Pendidikan Umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (manual untuk pelamar ke sekolah teknik).

Dengan perkembangan masyarakat, kompleksitas produksi, matematika juga berkembang. Gerakan dari sederhana ke kompleks. Dari metode penghitungan penjumlahan dan pengurangan yang biasa, dengan pengulangan yang berulang-ulang, mereka sampai pada konsep perkalian dan pembagian. Pengurangan operasi perkalian berulang menjadi konsep eksponensial. Tabel pertama ketergantungan angka pada basis dan jumlah eksponensial disusun kembali pada abad ke-8 oleh ahli matematika India Varasena. Dari mereka, Anda dapat menghitung waktu terjadinya logaritma.

Garis besar sejarah

Kebangkitan Eropa pada abad ke-16 juga mendorong perkembangan mekanika. T membutuhkan sejumlah besar perhitungan berhubungan dengan perkalian dan pembagian bilangan multi-digit. Tabel kuno melakukan layanan hebat. Mereka memungkinkan untuk mengganti operasi kompleks dengan yang lebih sederhana - penambahan dan pengurangan. Sebuah langkah maju yang besar adalah karya matematikawan Michael Stiefel, yang diterbitkan pada tahun 1544, di mana ia mewujudkan gagasan banyak matematikawan. Ini memungkinkan untuk menggunakan tabel tidak hanya untuk derajat dalam bentuk bilangan prima, tetapi juga untuk bilangan rasional arbitrer.

Pada tahun 1614, orang Skotlandia John Napier, yang mengembangkan ide-ide ini, pertama kali memperkenalkan istilah baru "logaritma suatu bilangan". Tabel kompleks baru dikompilasi untuk menghitung logaritma sinus dan cosinus, serta garis singgung. Ini sangat mengurangi pekerjaan para astronom.

Tabel baru mulai muncul, yang berhasil digunakan oleh para ilmuwan selama tiga abad. Banyak waktu berlalu sebelum operasi baru dalam aljabar memperoleh bentuk akhirnya. Logaritma didefinisikan dan sifat-sifatnya dipelajari.

Baru pada abad ke-20, dengan munculnya kalkulator dan komputer, umat manusia meninggalkan tabel kuno yang telah berhasil dioperasikan sepanjang abad ke-13.

Hari ini kita memanggil logaritma b untuk mendasarkan a bilangan x, yang merupakan pangkat dari a, untuk mendapatkan bilangan b. Ini ditulis sebagai rumus: x = log a(b).

Misalnya, log 3(9) akan sama dengan 2. Ini jelas jika Anda mengikuti definisi. Jika kita menaikkan 3 pangkat 2, kita mendapatkan 9.

Dengan demikian, definisi yang dirumuskan hanya menempatkan satu batasan, angka a dan b harus nyata.

Varietas logaritma

Definisi klasik disebut logaritma real dan sebenarnya merupakan solusi dari persamaan a x = b. Opsi a = 1 adalah batas dan tidak menarik. Catatan: 1 pangkat berapa pun adalah 1.

Nilai nyata dari logaritma didefinisikan hanya jika basis dan argumen lebih besar dari 0, dan basis tidak boleh sama dengan 1.

Tempat khusus di bidang matematika mainkan logaritma, yang akan dinamai tergantung pada nilai basisnya:

Aturan dan batasan

Sifat dasar logaritma adalah aturannya: logaritma suatu produk sama dengan jumlah logaritma. log abp = log a(b) + log a(p).

Sebagai varian dari pernyataan ini, itu akan menjadi: log c (b / p) \u003d log c (b) - log c (p), fungsi hasil bagi sama dengan perbedaan fungsi.

Sangat mudah untuk melihat dari dua aturan sebelumnya bahwa: log a(b p) = p * log a(b).

Properti lainnya termasuk:

Komentar. Jangan membuat kesalahan umum - logaritma jumlah tidak sama dengan jumlah logaritma.

Selama berabad-abad, operasi menemukan logaritma adalah tugas yang agak memakan waktu. Matematikawan menggunakan rumus terkenal dari teori ekspansi logaritmik menjadi polinomial:

ln (1 + x) = x - (x^2)/2 + (x^3)/3 - (x^4)/4 + ... + ((-1)^(n + 1))* (( x^n)/n), di mana n adalah bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang menentukan keakuratan perhitungan.

Logaritma dengan basis lain dihitung menggunakan teorema transisi dari satu basis ke basis lain dan properti logaritma produk.

Karena metode ini sangat melelahkan dan saat memecahkan masalah praktis sulit untuk diterapkan, mereka menggunakan tabel logaritma yang telah dikompilasi sebelumnya, yang sangat mempercepat seluruh pekerjaan.

Dalam beberapa kasus, grafik logaritma yang dikompilasi secara khusus digunakan, yang memberikan akurasi yang lebih rendah, tetapi secara signifikan mempercepat pencarian nilai yang diinginkan. Kurva fungsi y = log a(x), dibangun di atas beberapa titik, memungkinkan penggunaan penggaris biasa untuk menemukan nilai fungsi di titik lain. Untuk waktu yang lama, para insinyur menggunakan apa yang disebut kertas grafik untuk tujuan ini.

Pada abad ke-17, kondisi komputasi analog tambahan pertama muncul, yang pada abad ke-19 telah memperoleh bentuk yang sudah jadi. Perangkat yang paling sukses disebut aturan slide. Terlepas dari kesederhanaan perangkat, penampilannya secara signifikan mempercepat proses semua perhitungan teknik, dan ini sulit untuk ditaksir terlalu tinggi. Saat ini, hanya sedikit orang yang akrab dengan perangkat ini.

Munculnya kalkulator dan komputer membuatnya tidak ada gunanya menggunakan perangkat lain.

Persamaan dan pertidaksamaan

Rumus berikut digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan dan pertidaksamaan menggunakan logaritma:

• Transisi dari satu basis ke basis lainnya: log a(b) = log c(b) / log c(a);
• Sebagai konsekuensi dari versi sebelumnya: log a(b) = 1 / log b(a).

Untuk menyelesaikan pertidaksamaan, perlu diketahui:

• Nilai logaritma hanya akan positif jika basis dan argumen keduanya lebih besar atau lebih kecil dari satu; jika setidaknya satu kondisi dilanggar, nilai logaritma akan negatif.
• Jika fungsi logaritma diterapkan ke sisi kanan dan kiri pertidaksamaan, dan basis logaritma lebih besar dari satu, maka tanda pertidaksamaan dipertahankan; jika tidak, itu berubah.

Contoh tugas

Pertimbangkan beberapa opsi untuk menggunakan logaritma dan propertinya. Contoh dengan menyelesaikan persamaan:

Pertimbangkan opsi untuk menempatkan logaritma dalam derajat:

• Tugas 3. Hitung 25^log 5(3). Solusi: dalam kondisi soal, notasinya mirip dengan berikut (5^2)^log5(3) atau 5^(2 * log 5(3)). Mari kita tulis secara berbeda: 5^log 5(3*2), atau kuadrat suatu bilangan sebagai argumen fungsi dapat ditulis sebagai kuadrat dari fungsi itu sendiri (5^log 5(3))^2. Menggunakan properti logaritma, ekspresi ini adalah 3^2. Jawaban: dari hasil perhitungan kita mendapatkan 9.

Penggunaan praktis

Menjadi alat matematika murni, tampaknya jauh dari kehidupan nyata bahwa logaritma tiba-tiba menjadi sangat penting dalam menggambarkan objek di dunia nyata. Sulit untuk menemukan ilmu yang tidak digunakan. Ini sepenuhnya berlaku tidak hanya untuk alam, tetapi juga untuk bidang pengetahuan humaniora.

Ketergantungan logaritmik

Berikut adalah beberapa contoh dependensi numerik:

Mekanika dan fisika

Secara historis, mekanika dan fisika selalu berkembang dengan menggunakan metode penelitian matematika dan pada saat yang sama menjadi pendorong bagi perkembangan matematika, termasuk logaritma. Teori sebagian besar hukum fisika ditulis dalam bahasa matematika. Kami hanya memberikan dua contoh deskripsi hukum fisika menggunakan logaritma.

Dimungkinkan untuk memecahkan masalah penghitungan kuantitas yang begitu kompleks seperti kecepatan roket menggunakan rumus Tsiolkovsky, yang meletakkan dasar bagi teori eksplorasi ruang angkasa:

V = I * ln(M1/M2), dimana

• V adalah kecepatan akhir pesawat.
• I adalah impuls spesifik dari mesin.
• M 1 adalah massa awal roket.
• M 2 - massa akhir.

Contoh penting lainnya- ini adalah penggunaan rumus ilmuwan hebat lainnya, Max Planck, yang berfungsi untuk mengevaluasi keadaan setimbang dalam termodinamika.

S = k * ln (Ω), dimana

• S adalah sifat termodinamika.
• k adalah konstanta Boltzmann.
• adalah bobot statistik dari negara bagian yang berbeda.

Kimia

Yang kurang jelas adalah penggunaan rumus dalam kimia yang mengandung rasio logaritma. Berikut ini hanya dua contoh:

• Persamaan Nernst, kondisi potensial redoks medium dalam kaitannya dengan aktivitas zat dan konstanta kesetimbangan.
• Perhitungan konstanta seperti indeks autoprolisis dan keasaman larutan juga tidak lengkap tanpa fungsi kita.

Psikologi dan biologi

Dan sama sekali tidak dapat dipahami apa hubungan psikologi dengannya. Ternyata kekuatan sensasi digambarkan dengan baik oleh fungsi ini sebagai rasio kebalikan dari nilai intensitas stimulus ke nilai intensitas yang lebih rendah.

Setelah contoh-contoh di atas, tidak mengherankan lagi jika tema logaritma juga banyak digunakan dalam biologi. Seluruh volume dapat ditulis tentang bentuk biologis yang sesuai dengan spiral logaritmik.

daerah lain

Tampaknya keberadaan dunia tidak mungkin tanpa hubungan dengan fungsi ini, dan itu mengatur semua hukum. Apalagi ketika hukum alam dihubungkan dengan deret geometri. Perlu merujuk ke situs web MatProfi, dan ada banyak contoh seperti itu di bidang aktivitas berikut:

Daftarnya bisa jadi tidak ada habisnya. Setelah menguasai hukum dasar fungsi ini, Anda dapat terjun ke dunia kebijaksanaan tanpa batas.

Apa itu logaritma?

Perhatian!
Ada tambahan
materi dalam Bagian Khusus 555.
Bagi mereka yang sangat "tidak terlalu..."
Dan bagi mereka yang "sangat banyak...")

Apa itu logaritma? Bagaimana cara menyelesaikan logaritma? Pertanyaan-pertanyaan ini membingungkan banyak lulusan. Secara tradisional, topik logaritma dianggap kompleks, tidak dapat dipahami, dan menakutkan. Terutama - persamaan dengan logaritma.

Ini sama sekali tidak benar. Sangat! Tidak percaya? Bagus. Sekarang, selama 10 - 20 menit Anda:

1. Pahami apa itu logaritma.

2. Belajar memecahkan seluruh kelas persamaan eksponensial. Bahkan jika Anda belum pernah mendengar tentang mereka.

3. Belajar menghitung logaritma sederhana.

Selain itu, untuk ini Anda hanya perlu mengetahui tabel perkalian, dan bagaimana suatu bilangan dipangkatkan ...

Saya merasa Anda ragu ... Yah, jaga waktu! Pergi!

Pertama, selesaikan persamaan berikut dalam pikiran Anda:

Jika Anda menyukai situs ini...

Omong-omong, saya punya beberapa situs yang lebih menarik untuk Anda.)

Anda dapat berlatih memecahkan contoh dan mengetahui level Anda. Pengujian dengan verifikasi instan. Belajar - dengan penuh minat!)

Anda bisa berkenalan dengan fungsi dan turunannya.

Berhubungan dengan

tugas menemukan salah satu dari tiga angka dari dua lainnya, diberikan, dapat diatur. Diberikan a dan kemudian N ditemukan dengan eksponensial. Jika N diberikan dan kemudian a ditemukan dengan mengekstrak akar pangkat x (atau eksponensial). Sekarang perhatikan kasus ketika, diberikan a dan N, diperlukan untuk menemukan x.

Biarkan angka N positif: angka a positif dan tidak sama dengan satu: .

Definisi. Logaritma dari angka N ke basis a adalah eksponen yang Anda perlukan untuk mendapatkan angka N; logaritma dilambangkan dengan

Jadi, dalam persamaan (26.1), eksponen ditemukan sebagai logaritma dari N ke basis a. Entri

memiliki arti yang sama. Kesetaraan (26.1) kadang-kadang disebut identitas dasar teori logaritma; sebenarnya, itu mengungkapkan definisi konsep logaritma. Dengan definisi ini, basis logaritma a selalu positif dan berbeda dari satu; bilangan logaritma N adalah positif. Bilangan negatif dan nol tidak memiliki logaritma. Dapat dibuktikan bahwa setiap bilangan dengan basis tertentu memiliki logaritma yang terdefinisi dengan baik. Oleh karena itu kesetaraan memerlukan . Perhatikan bahwa kondisinya penting di sini, jika tidak, kesimpulannya tidak akan dibenarkan, karena persamaan berlaku untuk semua nilai x dan y.

Contoh 1. Temukan

Keputusan. Untuk mendapatkan nomornya, Anda perlu menaikkan basis 2 ke pangkat Oleh karena itu.

Anda dapat merekam saat memecahkan contoh seperti itu dalam bentuk berikut:

Contoh 2. Temukan .

Keputusan. Kita punya

Dalam contoh 1 dan 2, kita dengan mudah menemukan logaritma yang diinginkan dengan menyatakan bilangan logaritma sebagai derajat basis dengan eksponen rasional. Dalam kasus umum, misalnya, untuk dll., ini tidak dapat dilakukan, karena logaritma memiliki nilai irasional. Mari kita perhatikan satu pertanyaan yang berkaitan dengan pernyataan ini. Dalam 12 kami memberikan konsep kemungkinan menentukan kekuatan nyata dari bilangan positif yang diberikan. Ini diperlukan untuk pengenalan logaritma, yang, secara umum, dapat berupa bilangan irasional.

Pertimbangkan beberapa sifat logaritma.

Sifat 1. Jika bilangan dan basis sama, maka logaritma sama dengan satu, dan sebaliknya, jika logaritma sama dengan satu, maka bilangan dan basis sama.

Bukti. Biarkan Dengan definisi logaritma, kami memiliki dan dari mana

Sebaliknya, biarkan Kemudian menurut definisi

Properti 2. Logaritma kesatuan untuk setiap basis sama dengan nol.

Bukti. Dengan definisi logaritma (pangkat nol dari setiap basis positif sama dengan satu, lihat (10.1)). Dari sini

Q.E.D.

Pernyataan sebaliknya juga benar: jika , maka N = 1. Memang, kita memiliki .

Sebelum menyatakan sifat-sifat logaritma berikut, kita setuju untuk mengatakan bahwa dua bilangan a dan b terletak pada sisi yang sama dari bilangan ketiga c jika keduanya lebih besar dari c atau lebih kecil dari c. Jika salah satu bilangan tersebut lebih besar dari c dan bilangan lainnya lebih kecil dari c, maka kita katakan bahwa bilangan-bilangan tersebut terletak pada sisi yang berlawanan dari c.

Sifat 3. Jika bilangan dan basis terletak pada sisi yang sama, maka logaritmanya positif; jika bilangan dan alas terletak pada sisi yang berlawanan, maka logaritmanya negatif.

Pembuktian sifat 3 didasarkan pada kenyataan bahwa derajat a lebih besar dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya positif, atau basisnya lebih kecil dari satu dan eksponennya negatif. Derajat kurang dari satu jika basis lebih besar dari satu dan eksponennya negatif, atau basisnya kurang dari satu dan eksponennya positif.

Ada empat kasus yang harus dipertimbangkan:

Kami membatasi diri pada analisis yang pertama, pembaca akan mempertimbangkan sisanya sendiri.

Biarkan eksponen dalam kesetaraan menjadi tidak negatif atau sama dengan nol, oleh karena itu, itu positif, yaitu, yang harus dibuktikan.

Contoh 3. Tentukan mana dari logaritma berikut yang positif dan mana yang negatif:

Penyelesaian, a) karena angka 15 dan alas 12 terletak pada sisi yang sama dari satuan;

b) , karena 1000 dan 2 terletak di sisi unit yang sama; pada saat yang sama, tidak penting bahwa basis lebih besar dari bilangan logaritmik;

c), karena 3.1 dan 0.8 terletak pada sisi yang berlawanan dari kesatuan;

G) ; mengapa?

e); mengapa?

Sifat-sifat berikut 4-6 sering disebut aturan logaritma: mereka memungkinkan, mengetahui logaritma dari beberapa angka, untuk menemukan logaritma dari produk mereka, hasil bagi, derajat masing-masing.

Properti 4 (aturan untuk logaritma produk). Logaritma dari produk dari beberapa bilangan positif dalam basis yang diberikan sama dengan jumlah logaritma dari angka-angka ini dalam basis yang sama.

Bukti. Biarkan angka positif diberikan.

Untuk logaritma produk mereka, kami menulis persamaan (26.1) mendefinisikan logaritma:

Dari sini kita menemukan

Membandingkan eksponen dari ekspresi pertama dan terakhir, kami memperoleh persamaan yang diperlukan:

Perhatikan bahwa kondisinya sangat penting; logaritma dari produk dari dua angka negatif masuk akal, tetapi dalam kasus ini kita mendapatkan

Secara umum, jika produk dari beberapa faktor adalah positif, maka logaritmanya sama dengan jumlah logaritma modul dari faktor-faktor ini.

Properti 5 (aturan logaritma hasil bagi). Logaritma dari hasil bagi bilangan positif sama dengan selisih antara logaritma pembagian dan pembagi, diambil dalam basis yang sama. Bukti. Temukan secara konsisten

Q.E.D.

Properti 6 (aturan logaritma derajat). Logaritma pangkat dari sembarang bilangan positif sama dengan logaritma bilangan tersebut dikalikan eksponen.

Bukti. Kami menulis lagi identitas utama (26.1) untuk nomor:

Q.E.D.

Konsekuensi. Logaritma dari akar bilangan positif sama dengan logaritma dari bilangan akar dibagi dengan pangkat dari akar:

Kita dapat membuktikan keabsahan akibat wajar ini dengan menyajikan bagaimana dan menggunakan properti 6.

Contoh 4. Logaritma ke basis a:

a) (diasumsikan bahwa semua nilai b, c, d, e positif);

b) (diasumsikan bahwa ).

Solusi, a) Lebih mudah untuk meneruskan ekspresi ini ke pangkat pecahan:

Berdasarkan persamaan (26.5)-(26.7) sekarang kita dapat menulis:

Kami memperhatikan bahwa operasi yang lebih sederhana dilakukan pada logaritma angka daripada pada angka itu sendiri: ketika mengalikan angka, logaritmanya ditambahkan, ketika dibagi, dikurangi, dll.

Itulah mengapa logaritma telah digunakan dalam praktik komputasi (lihat Bagian 29).

Tindakan kebalikan dari logaritma disebut potensiasi, yaitu: potensiasi adalah tindakan dengan mana bilangan itu sendiri ditemukan oleh logaritma yang diberikan dari suatu bilangan. Pada dasarnya, potensiasi bukanlah tindakan khusus: ia turun untuk menaikkan basis ke kekuatan (sama dengan logaritma angka). Istilah "potensiasi" dapat dianggap sinonim dengan istilah "eksponensial".

Saat mempotensiasi, perlu menggunakan aturan yang kebalikan dari aturan logaritma: ganti jumlah logaritma dengan logaritma produk, selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi, dll. Secara khusus, jika ada faktor apa pun di depan tanda logaritma, maka selama potensiasi itu harus ditransfer ke derajat indikator di bawah tanda logaritma.

Contoh 5. Carilah N jika diketahui

Keputusan. Sehubungan dengan aturan potensiasi yang baru saja dinyatakan, faktor 2/3 dan 1/3, yang berada di depan tanda-tanda logaritma di sisi kanan persamaan ini, akan dipindahkan ke pangkat di bawah tanda-tanda logaritma ini; kita mendapatkan

Sekarang kita ganti selisih logaritma dengan logaritma hasil bagi:

untuk mendapatkan pecahan terakhir dalam rantai persamaan ini, kami membebaskan pecahan sebelumnya dari irasionalitas dalam penyebut (bagian 25).

Sifat 7. Jika alas lebih besar dari satu, maka bilangan yang lebih besar memiliki logaritma yang lebih besar (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil), jika bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil (dan bilangan yang lebih kecil memiliki logaritma yang lebih kecil). satu memiliki yang lebih besar).

Sifat ini juga dirumuskan sebagai aturan untuk logaritma pertidaksamaan, yang keduanya positif:

Ketika mengambil logaritma pertidaksamaan ke basis lebih besar dari satu, tanda pertidaksamaan dipertahankan, dan ketika mengambil logaritma ke basis kurang dari satu, tanda pertidaksamaan dibalik (lihat juga item 80).

Pembuktian didasarkan pada sifat 5 dan 3. Perhatikan kasus ketika Jika , maka dan, dengan mengambil logaritma, kita peroleh

(a dan N/M terletak pada satu sisi yang sama). Dari sini

Kasus a berikut, pembaca akan mencari tahu sendiri.