Di mana kami menganalisis turunan paling sederhana, dan juga berkenalan dengan aturan diferensiasi dan beberapa teknik untuk menemukan turunan. Jadi, jika Anda tidak begitu baik dengan turunan fungsi atau beberapa poin dari artikel ini tidak sepenuhnya jelas, maka baca dulu pelajaran di atas. Silakan dengarkan suasana hati yang serius - materinya tidak mudah, tetapi saya akan tetap berusaha menyajikannya dengan sederhana dan jelas.
Dalam praktiknya, Anda harus sering berurusan dengan turunan dari fungsi kompleks, bahkan hampir selalu, ketika Anda diberi tugas untuk menemukan turunan.
Kami melihat dalam tabel pada aturan (No. 5) untuk membedakan fungsi kompleks:
Kami mengerti. Pertama-tama, mari kita lihat notasinya. Di sini kita memiliki dua fungsi - dan , dan fungsi, secara kiasan, bersarang di fungsi . Fungsi semacam ini (ketika satu fungsi bersarang di dalam fungsi lain) disebut fungsi kompleks.
Saya akan memanggil fungsinya fungsi eksternal, dan fungsi – fungsi dalam (atau bersarang).
! Definisi ini tidak teoretis dan seharusnya tidak muncul dalam desain tugas akhir. Saya menggunakan ungkapan informal "fungsi eksternal", fungsi "internal" hanya untuk memudahkan Anda memahami materi.
Untuk memperjelas situasi, pertimbangkan:
Contoh 1
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Di bawah sinus, kita tidak hanya memiliki huruf "x", tetapi seluruh ekspresi, jadi mencari turunan langsung dari tabel tidak akan berhasil. Kami juga memperhatikan bahwa tidak mungkin untuk menerapkan empat aturan pertama di sini, tampaknya ada perbedaan, tetapi kenyataannya adalah tidak mungkin untuk "merobek" sinus:
Dalam contoh ini, sudah dari penjelasan saya, secara intuitif jelas bahwa fungsi adalah fungsi kompleks, dan polinomial adalah fungsi internal (penyematan), dan fungsi eksternal.
Langkah pertama, yang harus dilakukan ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks adalah memahami fungsi mana yang internal dan mana yang eksternal.
Dalam kasus contoh sederhana, tampak jelas bahwa polinomial bersarang di bawah sinus. Tapi bagaimana jika itu tidak jelas? Bagaimana cara menentukan dengan tepat fungsi mana yang eksternal dan mana yang internal? Untuk melakukan ini, saya mengusulkan untuk menggunakan teknik berikut, yang dapat dilakukan secara mental atau dalam konsep.
Mari kita bayangkan bahwa kita perlu menghitung nilai ekspresi dengan kalkulator (bukan satu, bisa ada angka apa pun).
Apa yang kita hitung dulu? terutama Anda perlu melakukan tindakan berikut: , sehingga polinomial akan menjadi fungsi internal: 
Kedua anda perlu menemukan, sehingga sinus - akan menjadi fungsi eksternal: 
Setelah kita MEMAHAMI dengan fungsi dalam dan luar, saatnya untuk menerapkan aturan diferensiasi fungsi majemuk 
.
Kami mulai memutuskan. Dari pelajaran Bagaimana cara mencari turunannya? kami ingat bahwa desain solusi turunan apa pun selalu dimulai seperti ini - kami menyertakan ekspresi dalam tanda kurung dan memberi tanda guratan di kanan atas:
Pertama kami menemukan turunan dari fungsi eksternal (sinus), lihat tabel turunan dari fungsi dasar dan perhatikan bahwa . Semua rumus tabel berlaku bahkan jika "x" diganti dengan ekspresi kompleks, pada kasus ini:
Perhatikan bahwa fungsi dalam tidak berubah, kami tidak menyentuhnya.
Yah, cukup jelas bahwa
Hasil penerapan rumus 
bersih terlihat seperti ini:
Faktor konstanta biasanya ditempatkan di awal ekspresi:
Jika ada kesalahpahaman, tuliskan keputusan di atas kertas dan baca kembali penjelasannya.
Contoh 2
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Contoh 3
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Seperti biasa, kami menulis: 
Kami mencari tahu di mana kami memiliki fungsi eksternal, dan di mana fungsi internal. Untuk melakukan ini, kami mencoba (secara mental atau dalam konsep) menghitung nilai ekspresi untuk . Apa yang perlu dilakukan terlebih dahulu? Pertama-tama, Anda perlu menghitung apa yang sama dengan basis :, yang berarti polinomial adalah fungsi internal: 
Dan, hanya kemudian eksponensial dilakukan, oleh karena itu, fungsi daya adalah fungsi eksternal: 
Menurut rumus 
, pertama-tama Anda perlu menemukan turunan dari fungsi eksternal, dalam hal ini, derajat. Kami mencari formula yang diinginkan dalam tabel:. Kami ulangi lagi: rumus tabel apa pun tidak hanya valid untuk "x", tetapi juga untuk ekspresi kompleks. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks 
Selanjutnya:
Saya tekankan lagi bahwa ketika kita mengambil turunan dari fungsi luar, fungsi dalam tidak berubah: 
Sekarang tinggal menemukan turunan yang sangat sederhana dari fungsi dalam dan "sisir" hasilnya sedikit:
Contoh 4
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).
Untuk mengkonsolidasikan pemahaman tentang turunan dari fungsi kompleks, saya akan memberikan contoh tanpa komentar, coba cari tahu sendiri, alasannya, di mana fungsi eksternal dan di mana fungsi internal, mengapa tugas diselesaikan seperti itu?
Contoh 5
a) Tentukan turunan dari suatu fungsi
b. Tentukan turunan dari fungsi tersebut
Contoh 6
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Di sini kita memiliki akar, dan untuk membedakan akar, itu harus direpresentasikan sebagai derajat. Jadi, pertama-tama kita bawa fungsi ke dalam bentuk yang tepat untuk diferensiasi:
Menganalisis fungsi, kita sampai pada kesimpulan bahwa jumlah tiga suku adalah fungsi internal, dan eksponensial adalah fungsi eksternal. Kami menerapkan aturan diferensiasi fungsi kompleks 
:
Derajat direpresentasikan lagi sebagai radikal (akar), dan untuk turunan dari fungsi internal, kami menerapkan aturan sederhana untuk membedakan jumlah:
Siap. Anda juga dapat membawa ekspresi ke penyebut yang sama dalam tanda kurung dan menulis semuanya sebagai satu pecahan. Tentu saja indah, tetapi ketika turunan panjang yang rumit diperoleh, lebih baik tidak melakukannya (mudah bingung, membuat kesalahan yang tidak perlu, dan akan merepotkan guru untuk memeriksa).
Contoh 7
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).
Sangat menarik untuk dicatat bahwa kadang-kadang, alih-alih aturan untuk membedakan fungsi yang kompleks, seseorang dapat menggunakan aturan untuk membedakan hasil bagi 
, tetapi solusi seperti itu akan terlihat seperti penyimpangan yang tidak biasa. Berikut adalah contoh tipikal:
Contoh 8
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Di sini Anda dapat menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi 
, tetapi jauh lebih menguntungkan untuk menemukan turunan melalui aturan diferensiasi fungsi kompleks:
Kami menyiapkan fungsi untuk diferensiasi - kami mengambil tanda minus dari turunan, dan menaikkan kosinus ke pembilang:
Cosinus adalah fungsi internal, eksponensial adalah fungsi eksternal.
Mari gunakan aturan kami 
:
Kami menemukan turunan dari fungsi dalam, reset kosinus kembali ke bawah:
Siap. Dalam contoh yang dipertimbangkan, penting untuk tidak bingung dengan tanda-tandanya. Ngomong-ngomong, coba selesaikan dengan aturan 
, jawaban harus cocok.
Contoh 9
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk pemecahan diri (jawaban di akhir pelajaran).
Sejauh ini, kami telah mempertimbangkan kasus di mana kami hanya memiliki satu sarang dalam fungsi yang kompleks. Dalam tugas-tugas praktis, Anda sering dapat menemukan turunan, di mana, seperti boneka bersarang, satu di dalam yang lain, 3 atau bahkan 4-5 fungsi bersarang sekaligus.
Contoh 10
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Kami memahami lampiran dari fungsi ini. Kami mencoba untuk mengevaluasi ekspresi menggunakan nilai eksperimental. Bagaimana kita mengandalkan kalkulator?
Pertama, Anda perlu menemukan, yang berarti bahwa arcsine adalah sarang terdalam:
Arcsinus kesatuan ini kemudian harus dikuadratkan:
Dan akhirnya, kami menaikkan tujuh kekuatan: 
Artinya, dalam contoh ini kita memiliki tiga fungsi yang berbeda dan dua nesting, sedangkan fungsi terdalam adalah arcsinus, dan fungsi terluar adalah fungsi eksponensial.
Kami mulai memutuskan
Menurut aturan 
pertama Anda perlu mengambil turunan dari fungsi luar. Kami melihat tabel turunan dan menemukan turunan dari fungsi eksponensial: Satu-satunya perbedaan adalah bahwa alih-alih "x" kami memiliki ekspresi kompleks, yang tidak meniadakan validitas rumus ini. Jadi, hasil penerapan aturan diferensiasi fungsi kompleks 
Selanjutnya.
Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.
Contoh 2
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Seperti yang telah dicatat, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama, perlu Baik MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang trik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi yang mengerikan".
1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.
2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:
4) Kemudian kubus kosinus:
5) Pada langkah kelima, perbedaannya:
6) Dan akhirnya, fungsi terluar adalah akar kuadrat: 
Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks 
diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke terdalam. Kami memutuskan:
Tampaknya bebas dari kesalahan:
1) Kami mengambil turunan dari akar kuadrat.
2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan 
3) Turunan dari rangkap tiga sama dengan nol. Pada suku kedua, kami mengambil turunan dari derajat (kubus).
4) Kami mengambil turunan dari kosinus.
6) Dan akhirnya, kami mengambil turunan dari sarang terdalam .
Ini mungkin tampak terlalu sulit, tetapi ini bukan contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, atau tidak mengerti.
Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.
Contoh 3
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk
Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.
Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan lebih cantik.
Hal ini tidak biasa untuk situasi di mana produk bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana menemukan turunan dari produk tiga faktor?
Contoh 4
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin untuk mengubah produk tiga fungsi menjadi produk dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam produk, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.
Dalam kasus seperti itu, perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk 
dua kali
Triknya adalah bahwa untuk "y" kami menyatakan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - logaritma:. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu 
- ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:
Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya untuk kurung:
Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawabannya dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.
Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua:
Kedua solusi benar-benar setara.
Contoh 5
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel diselesaikan dengan cara pertama.
Perhatikan contoh serupa dengan pecahan.
Contoh 6
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Di sini Anda dapat melakukannya dengan beberapa cara:
Atau seperti ini:
Tetapi penyelesaiannya dapat ditulis lebih ringkas jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi 
, dengan mengambil seluruh pembilangnya:
Pada prinsipnya, contoh diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, itu tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa draf, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya?
Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan menyingkirkan pecahan tiga tingkat:
Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunan, tetapi ketika transformasi sekolah dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "mengingatnya" turunannya.
Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:
Contoh 7
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunan, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi
turunan kompleks. turunan logaritma.
Turunan dari fungsi eksponensial
Kami terus meningkatkan teknik diferensiasi kami. Dalam pelajaran ini, kita akan mengkonsolidasikan materi yang dibahas, mempertimbangkan turunan yang lebih kompleks, dan juga berkenalan dengan trik dan trik baru untuk menemukan turunan, khususnya, dengan turunan logaritma.
Pembaca yang memiliki tingkat persiapan rendah harus merujuk ke artikel Bagaimana cara mencari turunannya? Contoh solusi yang akan memungkinkan Anda untuk meningkatkan keterampilan Anda hampir dari awal. Selanjutnya, Anda perlu mempelajari halaman dengan cermat Turunan dari fungsi kompleks, pahami dan selesaikan semua contoh-contoh yang telah saya berikan. Pelajaran ini secara logis adalah yang ketiga berturut-turut, dan setelah menguasainya, Anda akan dengan percaya diri membedakan fungsi yang cukup kompleks. Tidak diinginkan untuk tetap pada posisi “Di mana lagi? Ya, dan itu sudah cukup! ”, Karena semua contoh dan solusi diambil dari tes nyata dan sering ditemukan dalam praktik.
Mari kita mulai dengan pengulangan. Pada pelajaran Turunan dari fungsi kompleks kami telah mempertimbangkan sejumlah contoh dengan komentar terperinci. Dalam mempelajari kalkulus diferensial dan bagian lain dari analisis matematika, Anda harus sering membedakan, dan tidak selalu nyaman (dan tidak selalu perlu) untuk melukis contoh dengan sangat rinci. Oleh karena itu, kami akan berlatih dalam penemuan turunan secara lisan. "Kandidat" yang paling cocok untuk ini adalah turunan dari fungsi kompleks yang paling sederhana, misalnya:
Menurut aturan diferensiasi fungsi kompleks 
:
Ketika mempelajari topik matan lain di masa depan, catatan terperinci seperti itu paling sering tidak diperlukan, diasumsikan bahwa siswa dapat menemukan turunan serupa dengan autopilot. Mari kita bayangkan bahwa pada jam 3 pagi telepon berdering, dan suara yang menyenangkan bertanya: "Apa turunan dari garis singgung dua x?". Ini harus diikuti dengan respons yang hampir seketika dan sopan: 
.
Contoh pertama akan segera ditujukan untuk solusi independen.
Contoh 1
Cari turunan berikut secara lisan, dalam satu langkah, misalnya: . Untuk menyelesaikan tugas, Anda hanya perlu menggunakan tabel turunan fungsi dasar(jika dia belum ingat). Jika Anda mengalami kesulitan, saya sarankan untuk membaca kembali pelajaran Turunan dari fungsi kompleks.
, , ,
, 
, , 
, , ,
, , 
,
, , 
,
, , ,
, 
,
Jawaban di akhir pelajaran
Turunan kompleks
Setelah persiapan artileri awal, contoh dengan 3-4-5 lampiran fungsi akan kurang menakutkan. Mungkin dua contoh berikut akan tampak rumit bagi sebagian orang, tetapi jika dipahami (seseorang menderita), maka hampir semua hal lain dalam kalkulus diferensial akan tampak seperti lelucon anak-anak.
Contoh 2
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Seperti yang telah dicatat, ketika menemukan turunan dari fungsi kompleks, pertama-tama, perlu Baik MEMAHAMI INVESTASI. Dalam kasus di mana ada keraguan, saya mengingatkan Anda tentang trik yang berguna: kami mengambil nilai eksperimental "x", misalnya, dan mencoba (secara mental atau dalam konsep) untuk mengganti nilai ini ke dalam "ekspresi yang mengerikan".
1) Pertama kita perlu menghitung ekspresi, jadi jumlahnya adalah sarang terdalam.
2) Maka Anda perlu menghitung logaritma:
4) Kemudian kubus kosinus:
5) Pada langkah kelima, perbedaannya:
6) Dan akhirnya, fungsi terluar adalah akar kuadrat: 
Rumus Diferensiasi Fungsi Kompleks 
diterapkan dalam urutan terbalik, dari fungsi terluar ke terdalam. Kami memutuskan:
Sepertinya tidak ada kesalahan ...
(1) Kami mengambil turunan dari akar kuadrat.
(2) Kami mengambil turunan dari perbedaan menggunakan aturan 
(3) Turunan dari rangkap tiga sama dengan nol. Pada suku kedua, kami mengambil turunan dari derajat (kubus).
(4) Kami mengambil turunan dari kosinus.
(5) Kami mengambil turunan dari logaritma.
(6) Akhirnya, kami mengambil turunan dari nesting terdalam .
Ini mungkin tampak terlalu sulit, tetapi ini bukan contoh yang paling brutal. Ambil, misalnya, koleksi Kuznetsov dan Anda akan menghargai semua pesona dan kesederhanaan turunan yang dianalisis. Saya perhatikan bahwa mereka suka memberikan hal serupa pada ujian untuk memeriksa apakah siswa memahami bagaimana menemukan turunan dari fungsi kompleks, atau tidak mengerti.
Contoh berikut adalah untuk solusi mandiri.
Contoh 3
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Petunjuk: Pertama kita terapkan aturan linearitas dan aturan diferensiasi produk
Solusi lengkap dan jawaban di akhir pelajaran.
Saatnya beralih ke sesuatu yang lebih kompak dan lebih cantik.
Hal ini tidak biasa untuk situasi di mana produk bukan dua, tetapi tiga fungsi diberikan dalam contoh. Bagaimana menemukan turunan dari produk tiga faktor?
Contoh 4
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Pertama, kita lihat, tetapi apakah mungkin untuk mengubah produk tiga fungsi menjadi produk dua fungsi? Misalnya, jika kita memiliki dua polinomial dalam produk, maka kita dapat membuka tanda kurung. Tetapi dalam contoh ini, semua fungsi berbeda: derajat, eksponen, dan logaritma.
Dalam kasus seperti itu, perlu berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi produk 
dua kali
Triknya adalah bahwa untuk "y" kami menyatakan produk dari dua fungsi: , dan untuk "ve" - logaritma:. Mengapa ini bisa dilakukan? Apakah itu 
- ini bukan produk dari dua faktor dan aturannya tidak berfungsi?! Tidak ada yang rumit:
Sekarang tinggal menerapkan aturan untuk kedua kalinya 
untuk kurung:
Anda masih dapat memutarbalikkan dan mengeluarkan sesuatu dari tanda kurung, tetapi dalam hal ini lebih baik meninggalkan jawabannya dalam formulir ini - akan lebih mudah untuk memeriksanya.
Contoh di atas dapat diselesaikan dengan cara kedua: 
Kedua solusi benar-benar setara.
Contoh 5
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh untuk solusi independen, dalam sampel diselesaikan dengan cara pertama.
Perhatikan contoh serupa dengan pecahan.
Contoh 6
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Di sini Anda dapat melakukannya dengan beberapa cara:
Atau seperti ini:
Tetapi penyelesaiannya dapat ditulis lebih ringkas jika, pertama-tama, kita menggunakan aturan diferensiasi hasil bagi 
, dengan mengambil seluruh pembilangnya:
Pada prinsipnya, contoh diselesaikan, dan jika dibiarkan dalam bentuk ini, itu tidak akan menjadi kesalahan. Tetapi jika Anda punya waktu, selalu disarankan untuk memeriksa draf, tetapi apakah mungkin untuk menyederhanakan jawabannya? Kami membawa ekspresi pembilang ke penyebut yang sama dan singkirkan pecahan tiga lantai:
Kerugian dari penyederhanaan tambahan adalah bahwa ada risiko membuat kesalahan bukan ketika menemukan turunan, tetapi ketika transformasi sekolah dangkal. Di sisi lain, guru sering menolak tugas dan meminta untuk "mengingatnya" turunannya.
Contoh sederhana untuk solusi do-it-yourself:
Contoh 7
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Kami terus menguasai teknik untuk menemukan turunan, dan sekarang kami akan mempertimbangkan kasus umum ketika logaritma "mengerikan" diusulkan untuk diferensiasi
Contoh 8
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Di sini Anda dapat melangkah jauh, menggunakan aturan diferensiasi fungsi kompleks:
Tetapi langkah pertama segera menjerumuskan Anda ke dalam kesedihan - Anda harus mengambil turunan yang tidak menyenangkan dari tingkat pecahan, dan kemudian juga dari pecahan.
Jadi sebelum cara mengambil turunan dari logaritma "mewah", sebelumnya disederhanakan menggunakan properti sekolah terkenal:
! Jika Anda memiliki buku catatan latihan, salin rumus ini di sana. Jika Anda tidak memiliki buku catatan, gambarlah di selembar kertas, karena sisa contoh pelajaran akan berkisar pada rumus-rumus ini.
Solusinya sendiri dapat dirumuskan seperti ini:
Mari kita ubah fungsinya:
Kami menemukan turunannya: 
Transformasi awal dari fungsi itu sendiri sangat menyederhanakan solusi. Jadi, ketika logaritma serupa diusulkan untuk diferensiasi, selalu disarankan untuk "memecahnya".
Dan sekarang beberapa contoh sederhana untuk solusi independen:
Contoh 9
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Contoh 10
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Semua transformasi dan jawaban di akhir pelajaran.
turunan logaritmik
Jika turunan dari logaritma adalah musik yang manis, maka muncul pertanyaan, apakah mungkin dalam beberapa kasus untuk mengatur logaritma secara artifisial? Bisa! Dan bahkan perlu.
Contoh 11
Tentukan turunan dari suatu fungsi 
Contoh serupa yang baru-baru ini kami pertimbangkan. Apa yang harus dilakukan? Satu dapat berturut-turut menerapkan aturan diferensiasi hasil bagi, dan kemudian aturan diferensiasi produk. Kerugian dari metode ini adalah Anda mendapatkan pecahan tiga lantai yang besar, yang tidak ingin Anda tangani sama sekali.
Tetapi dalam teori dan praktik ada hal yang luar biasa seperti turunan logaritmik. Logaritma dapat diatur secara artifisial dengan "menggantung" mereka di kedua sisi:
Catatan
: karena function dapat mengambil nilai negatif, maka, secara umum, Anda perlu menggunakan modul: 
, yang menghilang sebagai akibat dari diferensiasi. Namun, desain saat ini juga dapat diterima, di mana secara default kompleks nilai-nilai. Tetapi jika dengan semua ketelitian, maka dalam kedua kasus itu perlu untuk membuat reservasi itu.
Sekarang Anda perlu "mengurai" logaritma sisi kanan sebanyak mungkin (rumus di depan mata Anda?). Saya akan menjelaskan proses ini dengan sangat rinci:
Mari kita mulai dengan diferensiasi.
Kami menyimpulkan kedua bagian dengan stroke:
Turunan dari sisi kanan cukup sederhana, saya tidak akan mengomentarinya, karena jika Anda membaca teks ini, Anda harus dapat menanganinya dengan percaya diri.
Bagaimana dengan sisi kiri?
Di sisi kiri kita memiliki fungsi kompleks. Saya meramalkan pertanyaan: "Mengapa, ada satu huruf "y" di bawah logaritma?".
Faktanya adalah bahwa "satu huruf y" ini - ADALAH FUNGSI DI SENDIRI(jika tidak terlalu jelas, lihat artikel Turunan dari fungsi yang ditentukan secara implisit). Oleh karena itu, logaritma adalah fungsi eksternal, dan "y" adalah fungsi internal. Dan kami menggunakan aturan diferensiasi fungsi majemuk 
:
Di sisi kiri, seolah-olah dengan sihir, kami memiliki turunan. Selanjutnya, menurut aturan proporsi, kami membuang "y" dari penyebut sisi kiri ke atas sisi kanan:
Dan sekarang kita ingat fungsi "permainan" macam apa yang kita bicarakan saat membedakan? Mari kita lihat kondisinya: 
Jawaban akhir: 
Contoh 12
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Ini adalah contoh do-it-yourself. Contoh desain contoh jenis ini di akhir pelajaran.
Dengan bantuan turunan logaritmik, dimungkinkan untuk menyelesaikan salah satu contoh No. 4-7, hal lain adalah bahwa fungsinya lebih sederhana, dan, mungkin, penggunaan turunan logaritmik tidak terlalu dibenarkan.
Turunan dari fungsi eksponensial
Kami belum mempertimbangkan fungsi ini. Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki dan derajat dan basis bergantung pada "x". Contoh klasik yang akan diberikan kepada Anda di buku teks atau kuliah apa pun:
Bagaimana cara mencari turunan dari fungsi eksponensial?
Hal ini diperlukan untuk menggunakan teknik yang baru saja dipertimbangkan - turunan logaritmik. Kami menggantung logaritma di kedua sisi:
Sebagai aturan, derajat diambil dari bawah logaritma di sisi kanan:
Akibatnya, di sisi kanan kita memiliki produk dari dua fungsi, yang akan dibedakan menurut rumus standar 
.
Kami menemukan turunannya, untuk ini kami melampirkan kedua bagian di bawah goresan:
Langkah selanjutnya mudah:
Akhirnya: 
Jika beberapa transformasi tidak sepenuhnya jelas, harap baca kembali penjelasan Contoh 11 dengan seksama.
Dalam tugas-tugas praktis, fungsi eksponensial akan selalu lebih rumit daripada contoh kuliah yang dipertimbangkan.
Contoh 13
Tentukan turunan dari suatu fungsi
Kami menggunakan turunan logaritmik. 
Di sisi kanan kita memiliki konstanta dan produk dari dua faktor - "x" dan "logaritma dari logaritma dari x" (logaritma lain bersarang di bawah logaritma). Saat membedakan sebuah konstanta, seperti yang kita ingat, lebih baik segera menghilangkannya dari tanda turunannya agar tidak menghalangi; dan, tentu saja, terapkan aturan yang sudah dikenal 
:
Sejak Anda datang ke sini, Anda mungkin sudah berhasil melihat formula ini di buku teks
dan buat wajah seperti ini:
Teman, jangan khawatir! Faktanya, semuanya sederhana untuk dipermalukan. Anda pasti akan mengerti semuanya. Hanya satu permintaan - baca artikelnya perlahan-lahan mencoba memahami setiap langkah. Saya menulis sesederhana dan sejelas mungkin, tetapi Anda masih perlu mempelajari idenya. Dan pastikan untuk menyelesaikan tugas dari artikel.
Apa itu fungsi kompleks?
Bayangkan Anda pindah ke apartemen lain dan karena itu Anda mengemasi barang-barang dalam kotak besar. Biarlah perlu untuk mengumpulkan beberapa barang kecil, misalnya, alat tulis sekolah. Jika Anda hanya melemparkannya ke dalam kotak besar, mereka akan tersesat antara lain. Untuk menghindarinya, Anda terlebih dahulu memasukkannya, misalnya, ke dalam tas, yang kemudian Anda masukkan ke dalam kotak besar, setelah itu Anda menutupnya. Proses "paling sulit" ini ditunjukkan pada diagram di bawah ini:
Tampaknya, di mana matematika? Dan selain itu, fungsi kompleks dibentuk dengan cara yang PERSIS SAMA! Hanya kami "mengemas" bukan buku catatan dan pena, tetapi \ (x \), sementara "paket" dan "kotak" yang berbeda melayani.
Sebagai contoh, mari kita ambil x dan "paket" ke dalam sebuah fungsi:
Hasilnya, tentu saja, kita mendapatkan \(\cosx\). Ini adalah "kantong barang" kami. Dan sekarang kami memasukkannya ke dalam "kotak" - kami mengemasnya, misalnya, ke dalam fungsi kubik.
Apa yang akan terjadi pada akhirnya? Ya, benar, akan ada "paket dengan barang-barang di dalam kotak", yaitu, "cosinus dari x pangkat tiga."
Konstruksi yang dihasilkan adalah fungsi yang kompleks. Ini berbeda dari yang sederhana dalam hal itu BEBERAPA "dampak" (paket) diterapkan ke satu X berturut-turut dan ternyata, "fungsi dari fungsi" - "paket dalam paket".
Di kursus sekolah, ada sangat sedikit jenis "paket" yang sama ini, hanya empat:
Sekarang mari kita "kemas" x terlebih dahulu ke dalam fungsi eksponensial dengan basis 7, lalu ke fungsi trigonometri. Kita mendapatkan:
\(x → 7^x → tg(7^x)\)
Dan sekarang mari kita "kemas" x dua kali ke dalam fungsi trigonometri, pertama ke dan kemudian ke:
\(x → sinx → ctg (sinx)\)
Sederhana, bukan?
Sekarang tulis sendiri fungsinya, di mana x:
- pertama "dikemas" ke dalam kosinus, dan kemudian menjadi fungsi eksponensial dengan basis \(3\);
- pertama ke kekuatan kelima, dan kemudian ke garis singgung;
- pertama ke logaritma dasar \(4\)
, lalu ke pangkat \(-2\).
Lihat jawaban atas pertanyaan ini di akhir artikel.
Tapi bisakah kita "berkemas" x bukan dua, tapi tiga kali? Tidak masalah! Dan empat, dan lima, dan dua puluh lima kali. Di sini, misalnya, adalah fungsi di mana x "dikemas" \(4\) kali:
\(y=5^(\log_2(\sin(x^4)))\)
Tetapi formula seperti itu tidak akan ditemukan dalam praktik sekolah (siswa lebih beruntung - mereka bisa lebih sulit☺).
"Membongkar" fungsi yang kompleks
Lihat lagi fungsi sebelumnya. Bisakah Anda mengetahui urutan "pengemasan"? Apa yang diisi X dulu, lalu apa, dan seterusnya sampai akhir. Artinya, fungsi mana yang bersarang di mana? Ambil selembar kertas dan tuliskan apa yang Anda pikirkan. Anda dapat melakukan ini dengan rantai panah, seperti yang kami tulis di atas, atau dengan cara lain apa pun.
Sekarang jawaban yang benar adalah: pertama x "dikemas" ke dalam pangkat \(4\), kemudian hasilnya dimasukkan ke dalam sinus, itu, pada gilirannya, ditempatkan di basis logaritma \(2\), dan di akhirnya seluruh konstruksi didorong ke dalam kekuatan balita.
Artinya, perlu untuk melepaskan urutan DALAM ORDER TERBALIK. Dan inilah petunjuk bagaimana melakukannya dengan lebih mudah: lihat saja X - Anda harus menari darinya. Mari kita lihat beberapa contoh.
Misalnya, berikut adalah fungsi: \(y=tg(\log_2x)\). Kami melihat X - apa yang terjadi padanya terlebih dahulu? Diambil dari dia. Lalu? Tangen dari hasil diambil. Dan urutannya akan sama:
\(x → \log_2x → tg(\log_2x)\)
Contoh lain: \(y=\cos((x^3))\). Kami menganalisis - x pertama dipotong dadu, dan kemudian kosinus diambil dari hasilnya. Jadi urutannya adalah: \(x → x^3 → \cos((x^3))\). Perhatikan, fungsinya tampaknya mirip dengan yang pertama (di mana dengan gambar). Tapi ini adalah fungsi yang sama sekali berbeda: di sini di kubus x (yaitu, \(\cos((x x x)))\), dan di sana di kubus kosinus \(x\) (yaitu, \(\ cos x·\cosx·\cosx\)). Perbedaan ini muncul dari urutan "pengemasan" yang berbeda.
Contoh terakhir (dengan informasi penting di dalamnya): \(y=\sin((2x+5))\). Jelas bahwa di sini kita pertama kali melakukan operasi aritmatika dengan x, kemudian mereka mengambil sinus dari hasilnya: \(x → 2x+5 → \sin((2x+5))\). Dan ini adalah poin penting: terlepas dari kenyataan bahwa operasi aritmatika tidak berfungsi dalam dirinya sendiri, di sini mereka juga bertindak sebagai cara "mengemas". Mari kita mempelajari lebih dalam kehalusan ini.
Seperti yang saya katakan di atas, dalam fungsi sederhana x "dikemas" sekali, dan dalam fungsi kompleks - dua atau lebih. Selain itu, setiap kombinasi fungsi sederhana (yaitu, jumlah, selisih, perkalian, atau pembagian) juga merupakan fungsi sederhana. Misalnya, \(x^7\) adalah fungsi sederhana, begitu juga \(ctg x\). Oleh karena itu, semua kombinasinya adalah fungsi sederhana:
\(x^7+ ctg x\) - sederhana,
\(x^7 ctg x\) sederhana,
\(\frac(x^7)(ctg x)\) sederhana, dan seterusnya.
Namun, jika satu fungsi lagi diterapkan pada kombinasi seperti itu, itu akan menjadi fungsi yang kompleks, karena akan ada dua "paket". Lihat diagram:
Oke, mari kita lanjutkan sekarang. Tulis urutan fungsi "pembungkus":
\(y=cos((sinx))\)
\(y=5^(x^7)\)
\(y=arctg(11^x)\)
\(y=log_2(1+x)\)
Jawabannya ada lagi di akhir artikel.
Fungsi internal dan eksternal
Mengapa kita perlu memahami fungsi nesting? Apa yang ini berikan kepada kita? Intinya adalah bahwa tanpa analisis seperti itu kita tidak akan dapat menemukan turunan dari fungsi-fungsi yang dibahas di atas dengan andal.
Dan untuk melanjutkan, kita akan membutuhkan dua konsep lagi: fungsi internal dan eksternal. Ini adalah hal yang sangat sederhana, apalagi, sebenarnya, kami telah menganalisisnya di atas: jika kita mengingat analogi kita di awal, maka fungsi dalam adalah "paket" dan yang luar adalah "kotak". Itu. apa X yang "dibungkus" pertama adalah fungsi internal, dan apa yang internal "dibungkus" sudah eksternal. Yah, bisa dimengerti mengapa - itu di luar, itu berarti eksternal.
Di sini, dalam contoh ini: \(y=tg(log_2x)\), fungsi \(\log_2x\) adalah internal, dan 
- eksternal.
Dan yang ini: \(y=\cos((x^3+2x+1))\), \(x^3+2x+1\) adalah internal, dan 
- eksternal.
Lakukan latihan terakhir menganalisis fungsi kompleks, dan akhirnya, mari beralih ke titik di mana semuanya dimulai - kita akan menemukan turunan dari fungsi kompleks:
Isi celah pada tabel:
Turunan dari fungsi kompleks
Bravo untuk kami, kami masih sampai pada "bos" dari topik ini - pada kenyataannya, turunan dari fungsi yang kompleks, dan khususnya, formula yang sangat mengerikan dari awal artikel.☺
\((f(g(x)))"=f"(g(x))\cdot g"(x)\)
Rumus ini berbunyi seperti ini:
Turunan dari fungsi kompleks sama dengan produk turunan dari fungsi eksternal terhadap fungsi internal konstan dan turunan dari fungsi internal.
Dan segera lihat skema penguraian "dengan kata-kata" untuk memahami apa yang harus dikaitkan:
Saya berharap istilah "turunan" dan "produk" tidak menimbulkan kesulitan. "Fungsi kompleks" - kami telah membongkar. Tangkapannya adalah "turunan dari fungsi eksternal sehubungan dengan internal konstan." Apa itu?
Jawaban: ini adalah turunan biasa dari fungsi luar, di mana hanya fungsi luarnya yang berubah, sedangkan fungsi dalam tetap sama. Masih belum jelas? Oke, mari kita ambil contoh.
Katakanlah kita memiliki fungsi \(y=\sin(x^3)\). Jelas bahwa fungsi bagian dalam di sini adalah \(x^3\), dan bagian luar 
. Mari kita sekarang menemukan turunan dari luar sehubungan dengan bagian dalam yang konstan.
Operasi mencari turunan disebut diferensiasi.
Sebagai hasil dari pemecahan masalah untuk menemukan turunan dari fungsi yang paling sederhana (dan tidak terlalu sederhana) dengan mendefinisikan turunan sebagai batas rasio kenaikan terhadap kenaikan argumen, tabel turunan dan aturan diferensiasi yang didefinisikan secara tepat muncul . Isaac Newton (1643-1727) dan Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) adalah orang pertama yang bekerja di bidang pencarian turunan.
Oleh karena itu, saat ini, untuk menemukan turunan dari fungsi apa pun, tidak perlu menghitung batas rasio kenaikan fungsi yang disebutkan di atas terhadap kenaikan argumen, tetapi hanya perlu menggunakan tabel turunan dan aturan diferensiasi. Algoritma berikut cocok untuk mencari turunan.
Untuk mencari turunan, Anda memerlukan ekspresi di bawah tanda guratan uraikan fungsi-fungsi sederhana dan menentukan tindakan apa (produk, jumlah, hasil bagi) fungsi-fungsi ini saling berhubungan. Selanjutnya, kami menemukan turunan dari fungsi dasar dalam tabel turunan, dan rumus untuk turunan produk, jumlah dan hasil bagi - dalam aturan diferensiasi. Tabel aturan turunan dan diferensiasi diberikan setelah dua contoh pertama.
Contoh 1 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Dari aturan diferensiasi kita mengetahui bahwa turunan dari jumlah fungsi adalah jumlah dari turunan fungsi, yaitu.
Dari tabel turunan, kita mengetahui bahwa turunan dari "X" sama dengan satu, dan turunan dari sinus adalah cosinus. Kami mengganti nilai-nilai ini dalam jumlah turunan dan menemukan turunan yang diperlukan oleh kondisi masalah:
Contoh 2 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Diferensialkan sebagai turunan dari jumlah, di mana suku kedua dengan faktor konstan, dapat dikeluarkan dari tanda turunan:
Jika masih ada pertanyaan tentang dari mana sesuatu berasal, mereka, sebagai suatu peraturan, menjadi jelas setelah membaca tabel turunan dan aturan diferensiasi yang paling sederhana. Kami akan pergi ke mereka sekarang.
Tabel turunan fungsi sederhana
| 1. Turunan dari suatu konstanta (angka). Setiap angka (1, 2, 5, 200...) yang ada dalam ekspresi fungsi. Selalu nol. Ini sangat penting untuk diingat, karena sangat sering diperlukan | |
| 2. Turunan dari variabel bebas. Paling sering "x". Selalu sama dengan satu. Ini juga penting untuk diingat | |
| 3. Turunan derajat. Saat memecahkan masalah, Anda perlu mengubah akar non-kuadrat menjadi pangkat. | |
| 4. Turunan suatu variabel pangkat -1 | |
| 5. Turunan dari akar kuadrat | |
| 6. Turunan sinus | |
| 7. Turunan kosinus |  |
| 8. Turunan tangen |  |
| 9. Turunan dari kotangen |  |
| 10. Turunan dari arcsinus |  |
| 11. Turunan dari arc cosinus |  |
| 12. Turunan dari tangen busur |  |
| 13. Turunan dari tangen terbalik |  |
| 14. Turunan dari logaritma natural | |
| 15. Turunan dari fungsi logaritma |  |
| 16. Turunan dari eksponen | |
| 17. Turunan dari fungsi eksponensial |
Aturan diferensiasi
| 1. Turunan dari jumlah atau selisih |  |
| 2. Turunan dari suatu produk |  |
| 2a. Turunan dari ekspresi dikalikan dengan faktor konstan | |
| 3. Turunan dari hasil bagi |  |
| 4. Turunan dari fungsi kompleks |  |
Aturan 1Jika fungsi
terdiferensialkan pada suatu titik , maka pada titik yang sama fungsi
dan
itu. turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi tersebut.
Konsekuensi. Jika dua fungsi yang dapat diturunkan berbeda satu konstanta, maka turunannya adalah:, yaitu
Aturan 2Jika fungsi
terdiferensiasi pada suatu titik, maka produknya juga terdiferensiasi pada titik yang sama
dan
itu. turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain.
Konsekuensi 1. Faktor konstanta dapat dikeluarkan dari tanda turunan:
Konsekuensi 2. Turunan produk dari beberapa fungsi yang dapat diturunkan sama dengan jumlah produk turunan dari masing-masing faktor dan semua faktor lainnya.
Misalnya, untuk tiga pengganda:
Aturan 3Jika fungsi
terdiferensiasi di beberapa titik dan , maka pada titik ini hasil bagi mereka juga dapat dibedakan.u/v , dan
itu. turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah selisih antara hasil kali penyebut dengan turunan dari pembilangnya dan pembilangnya dengan turunan penyebutnya, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya .
Di mana mencarinya di halaman lain
Ketika menemukan turunan dari produk dan hasil bagi dalam masalah nyata, selalu perlu untuk menerapkan beberapa aturan diferensiasi sekaligus, jadi lebih banyak contoh tentang turunan ini ada di artikel."Turunan dari produk dan hasil bagi".
Komentar. Anda tidak boleh mengacaukan konstanta (yaitu, angka) sebagai istilah dalam jumlah dan sebagai faktor konstan! Dalam kasus suatu suku, turunannya sama dengan nol, dan dalam kasus faktor konstan, turunannya dikeluarkan dari tanda turunannya. Ini adalah kesalahan tipikal yang terjadi pada tahap awal mempelajari turunan, tetapi karena rata-rata siswa menyelesaikan beberapa contoh satu-dua komponen, kesalahan ini tidak lagi terjadi.
Dan jika, ketika membedakan produk atau hasil bagi, Anda memiliki istilah kamu"v, di mana kamu- angka, misalnya, 2 atau 5, yaitu konstanta, maka turunan dari angka ini akan sama dengan nol dan, oleh karena itu, seluruh istilah akan sama dengan nol (kasus seperti itu dianalisis dalam contoh 10) .
Kesalahan umum lainnya adalah solusi mekanis dari turunan fungsi kompleks sebagai turunan dari fungsi sederhana. Jadi turunan dari fungsi kompleks dikhususkan untuk artikel terpisah. Tapi pertama-tama kita akan belajar mencari turunan dari fungsi sederhana.
Sepanjang jalan, Anda tidak dapat melakukannya tanpa transformasi ekspresi. Untuk melakukan ini, Anda mungkin perlu membuka manual windows baru Tindakan dengan kekuatan dan akar dan Tindakan dengan pecahan .
Jika Anda mencari solusi turunan dengan pangkat dan akar, yaitu, ketika fungsinya terlihat seperti 
, lalu ikuti pelajaran " Turunan jumlah pecahan dengan pangkat dan akar".
Jika Anda memiliki tugas seperti 
, maka Anda berada dalam pelajaran "Turunan dari fungsi trigonometri sederhana".
Contoh langkah demi langkah - cara menemukan turunannya
Contoh 3 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Kami menentukan bagian-bagian dari ekspresi fungsi: seluruh ekspresi mewakili produk, dan faktor-faktornya adalah jumlah, di mana salah satu suku mengandung faktor konstanta. Kami menerapkan aturan diferensiasi produk: turunan dari produk dua fungsi sama dengan jumlah produk dari masing-masing fungsi ini dan turunan dari yang lain:
Selanjutnya, kami menerapkan aturan diferensiasi jumlah: turunan dari jumlah aljabar fungsi sama dengan jumlah aljabar dari turunan fungsi ini. Dalam kasus kami, dalam setiap jumlah, istilah kedua dengan tanda minus. Dalam setiap penjumlahan, kita melihat variabel bebas, turunannya sama dengan satu, dan konstanta (angka), turunannya sama dengan nol. Jadi, "x" berubah menjadi satu, dan minus 5 - menjadi nol. Dalam ekspresi kedua, "x" dikalikan dengan 2, jadi kita kalikan dua dengan satuan yang sama dengan turunan dari "x". Kami mendapatkan nilai turunan berikut:
Kami mengganti turunan yang ditemukan ke dalam jumlah produk dan memperoleh turunan dari seluruh fungsi yang diperlukan oleh kondisi masalah:
Dan Anda dapat memeriksa solusi dari masalah pada turunan di .
Contoh 4 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Kita diminta untuk mencari turunan dari hasil bagi. Kami menerapkan rumus untuk membedakan hasil bagi: turunan dari hasil bagi dua fungsi sama dengan pecahan yang pembilangnya adalah perbedaan antara produk dari penyebut dan turunan dari pembilang dan pembilang dan turunan dari penyebut, dan penyebutnya adalah kuadrat dari pembilang sebelumnya. Kita mendapatkan:
Kita telah menemukan turunan dari faktor-faktor dalam pembilang pada Contoh 2. Jangan lupa juga bahwa hasil kali, yang merupakan faktor kedua dalam pembilang, diambil dengan tanda minus pada contoh saat ini:
Jika Anda mencari solusi untuk masalah seperti itu di mana Anda perlu menemukan turunan dari suatu fungsi, di mana ada tumpukan akar dan derajat yang kontinu, seperti, misalnya, 
lalu selamat datang di kelas "Turunan dari jumlah pecahan dengan kekuatan dan akar" .
Jika Anda perlu mempelajari lebih lanjut tentang turunan sinus, cosinus, garis singgung, dan fungsi trigonometri lainnya, yaitu ketika fungsi terlihat seperti , maka Anda memiliki pelajaran "Turunan fungsi trigonometri sederhana" .
Contoh 5 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat produk, salah satu faktornya adalah akar kuadrat dari variabel independen, dengan turunan yang kita kenal dalam tabel turunan. Menurut aturan diferensiasi produk dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kita mendapatkan:
Anda dapat memeriksa solusi dari masalah turunan di kalkulator turunan online .
Contoh 6 Tentukan turunan dari suatu fungsi
Keputusan. Dalam fungsi ini, kita melihat hasil bagi, yang dividennya merupakan akar kuadrat dari variabel bebas. Menurut aturan diferensiasi hasil bagi, yang kami ulangi dan terapkan dalam contoh 4, dan nilai tabular turunan dari akar kuadrat, kami mendapatkan:
Untuk menghilangkan pecahan pada pembilangnya, kalikan pembilang dan penyebutnya dengan .
